Séries Temporais e Modelos Dinâmicos em Econometria

Transcrição

Modelo Estrutural e Forma Reduzida
Processos Estocásticos Estacionários
Ergodicidade
Exemplo
Séries Temporais e Modelos Dinâmicos em
Econometria
Marcelo C. Medeiros
Departamento de Economia
Pontifı́cia Universidade Católica do Rio de Janeiro
Aula 2
Marcelo C. Medeiros
Séries Temporais e Modelos Dinâmicos
Ergodicidade
Exemplo
Definição
Função de Resposta ao Impulso
O Modelo Estrutural
Seja zt = (z1t , . . . , zmt )0 ∈ Rm um vetor composto das
variáveis de interesse.
Considere o seguinte modelo “estrutural”:
Bzt = A0 + A1 zt−1 + . . . + Ap zt−p + ut ,
Bzt = A0 + A(L)zt + ut ,
onde:
B ∼ (m × m), A0 ∼ (m × 1),
A1 ∼ (m × m), . . . , Ap ∼ (m × m) são parâmetros;
ut = (u1,t , . . . , um,t )0 é um vetor composto pelos choques
(efeitos não-antecipados) estruturais e
A(L) = A1 L + A2 L2 + · · · + Ap Lp ; L é o operador defasagem.
Em geral, os elementos da diagonal principal de B são todos
iguais a 1.
Marcelo C. Medeiros
Ergodicidade
Exemplo
Definição
Operador Defasagem
Definição
Seja {yt } um processo estocástico. Defina o operador defasagem L
tal que:
Lyt = yt−1
Lj yt = yt−j ∀ j ∈ N.
Se |α| < 1, então:
(1 − αL)−1 = 1 + αL + α2 L2 + . . .
Marcelo C. Medeiros
Ergodicidade
Exemplo
Definição
Operador Diferença
Definição
Seja {yt } um processo estocástico. Defina o operador diferença ∆
tal que:
∆yt = (1 − L)yt = yt − yt−1
∆j yt = (1 − L)j yt ∀ j ∈ N+
∆j yt = 1 − Lj yt = yt − yt−j .
Marcelo C. Medeiros
Ergodicidade
Exemplo
Definição
O Modelo Estrutural - Hipóteses
Algumas hipóteses importantes:
Seja Ft−1 o conjunto de toda a informação disponı́vel até o
instante t − 1.
E[ut |Ft−1 ] = 0 ⇒ ut é um processo diferença martingal.
E[ut u0t |Ft−1 ] = Σu , onde Σu é uma matriz de covariância
diagonal ⇒ Toda simultaneidade está modelada via B.
Na verdade, os parâmetros B, A0 , A1 , . . . , Ap são
“pseudo”-estruturais, dado que eles são funções dos
parâmetros primitivos (deep) da economia (ver o exemplo de
otimização intertemporal da Aula 1).
Atenção
Note que, devido à presença de simultaneidade, E[uit |zjt ] 6= 0,
∀ i 6= j e i = 1, . . . , m.
Marcelo C. Medeiros
Ergodicidade
Exemplo
Definição
Processos Martingais
Considere a seguinte sequência de σ-álgebras
{Ft , t = . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}
de forma a representar o conjunto de informação até o
instante t.
Suponha também a seguinte ordenação:
. . . , Ft−2 ⊆ Ft−1 ⊆ Ft ⊆ Ft+1 ⊆ Ft+2 , . . . .
O conhecimento se acumula ao longo do tempo!
Marcelo C. Medeiros
Ergodicidade
Exemplo
Definição
Considere também a sequência aleatória (processo
estocástico) {yt , t = . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} tal que
σ(yt , yt−1 , . . .) ⊆ Ft .
Neste caso, yt é Ft -mensurável e a sequência {yt } é
“adaptada” para {Ft }.
{yt , Ft } é chamada de sequência adaptada.
Mensurabilidade implica que a expectativa condicional existe
(a condição E[|yt |] < ∞ é suficiente). Portanto,
E[yt |Ft ] = yt , a.s..
No entanto, E[yt |Ft−1 ], quando existir, é uma variável
aleatória!
Marcelo C. Medeiros
Ergodicidade
Exemplo
Definição
Martingal
Uma sequência adaptada {yt , Ft } é chamada de martingal se para
todo instante t:
E[|yt |] < ∞ e
E[yt |Ft−1 ] = yt−1 , a.s..
Marcelo C. Medeiros
Ergodicidade
Exemplo
Definição
Diferença Martingal
Uma sequência adaptada {yt , Ft } é chamada de diferença
martingal se para todo instante t:
E[|yt |] < ∞ e
E[yt |Ft−1 ] = 0, a.s..
Marcelo C. Medeiros
Ergodicidade
Exemplo
Definição
Um Teorema Importante para Processos Martingais
Seja {yt } uma sequência do tipo diferença martingal (DM) e
gt−1 = g (yt−1 , yt−2 , . . .) uma função não-linear mensurável e
integrável de valores defasados da sequência {yt }. Portanto,
{yt gt−1 } também é uma sequência do tipo diferença martingal e
yt e gt−1 são variáveis aleatórias não correlacionadas.
Prova: {yt gt−1 } será uma sequência DM dado que
E(yt gt−1 |Ft−1 ) = E(yt |Ft−1 )gt−1 = 0 a.s.
Pela Lei das Expectativas Iteradas (LEI),
E(yt ) = E[E(yt |Ft−1 )] = E(0) = 0
E(yt gt−1 ) = E[gt−1 E(yt |Ft−1 )] = E(gt−1 · 0) = 0.
Portanto, C(gt−1 , yt ) = E(gt−1 yt ) − E(yt )E(gt−1 ) = 0 − 0 = 0.
Marcelo C. Medeiros
Ergodicidade
Exemplo
Definição
O Modelo Estrutural - Um Caso Particular
Suponha que zt = (yt , x0t )0 , onde yt ∈ R e xt ∈ Rm−1 . Logo,
a1,y a01,yx yt−1
1 b0yx yt
a0,y
=
+ ···
+
bxy Bx xt
a0,x
a1,xy A1,x xt−1
uy ,t
ap,y a0p,yx yt−p
.
+
+
ux,t
ap,xy Ap,x xt−p
Neste caso,
yt = a0,y − b0yx xt +
p
X
i =1
yt = α0 +
p
X
i =0
β 0i xt−i +
ai ,y yt−i + a0i ,yx xt−i + uy ,t
p
X
αi yt−i + uy ,t
i =1
⇒ Modelo Auto-regressivo com defasagens distribuı́das.
Marcelo C. Medeiros
Ergodicidade
Exemplo
Definição
A Forma Reduzida
Considere agora a forma reduzida (supondo que B seja
invertı́vel):
zt = B−1 A0 + B−1 A1 zt−1 + . . . + B−1 Ap zt−p + B−1 ut ,
zt = C0 + C1 zt−1 + . . . + Cp zt−p + vt ,
zt = C0 + C(L)zt + vt ,
⇒ Modelo Auto-regressivo Vetorial de ordem p – VAR(p)
onde:
C0 ∼ (m × 1), C1 ∼ (m × m), . . . , Cp ∼ (m × m) são novos
parâmetros;
vt é um vetor de erros (que são combinações lineares dos
choques estruturais) e
C(L) = C1 L + C2 L2 + · · · + Cp Lp .
Marcelo C. Medeiros
Ergodicidade
Exemplo
Definição
Em geral, estamos interessados no efeito causal dinâmico
∂zt+h
, j = 1, . . . , m , h = 0, 1, 2, . . . .
∂uj,t
Para isto precisamos conhecer B!
Marcelo C. Medeiros
Ergodicidade
Exemplo
Definição
Considere p = 1 e escreva
zt = C0 + C1 zt−1 + vt ⇒ VAR(1).
Portanto,
zt = C0 + C1 zt−1 + vt
zt+1 = C0 (I + C1 ) + C21 zt−1 + C1 vt + vt+1
zt+2 = C0 I + C1 + C21 + C31 zt−1 + C21 vt + C1 vt+1 + vt+2
..
.
zt+h = C0
h
X
Ci1
+
Ch+1
1 zt−1
i =0
Marcelo C. Medeiros
+
h
X
Ci1 vt+h−i .
i =0
Ergodicidade
Exemplo
Definição
Mas vt = B−1 ut . Logo,
zt+h = C0
zt+h = C0
h
X
i =0
h
X
Ci1 + Ch+1
1 zt−1 +
Ci1 + Ch+1
1 zt−1 +
i =0
h
X
Ci1 B−1 ut+h−i
Φi ut+h−i ,
i =0
i =0
onde
h
X

φ11,i
 ..
Φi =  .
φm1,i
Marcelo C. Medeiros
···
..
.
···

φ1m,i
..  .
. 
φmm,i
Ergodicidade
Exemplo
Definição
A quantidade de interesse é
∂zj,t+h
= φjk,h ⇒ Resposta impulsional!
∂uk,t
o∞
n
∂z
é chamada de
A sequência ∂uj,t+h
k,t
h=0
Função de Resposta ao Impulso (FRI).
Marcelo C. Medeiros
Ergodicidade
Exemplo
Definição
Qual é o formato esperado da FRI?
Vai depender da dinâmica do processo estocástico vetorial zt .
Mais precisamente, o formato da FRI vai depender de uma
propriedade chamada de estacionariedade.
Mas o que é estacionariedade e quais são as condições para
que zt seja um processo estacionário?
Marcelo C. Medeiros
Ergodicidade
Exemplo
Estacionariedade Fraca
Um processo estocástico {yt } é dito fracamente estacionário (ou
estacionário de segunda ordem, ou ainda estacionário em
covariância) se, e somente se, os dois primeiros momentos de {yt }
existirem e forem constantes ao longo do tempo, ou seja:
E[yt ] = µ, |µ| < ∞, ∀ t ∈ T e
E[(yt − µ)(yt−h − µ)] = γh , |γh | < ∞, ∀ t ∈ T e h = 0, ±1, ±2, . . .
Estacionariedade implica que γ−h = γh .
Marcelo C. Medeiros
Ergodicidade
Exemplo
Estacionariedade Forte
Um processo estocástico {yt } é dito fortemente estacionário (ou
estacionário no sentido estrito) se, e somente se, a distribuição
conjunta de (y1 , y2 , . . . , yT ) for invariante com relação à
translações temporais, ou seja,
F (y1 , y2 , . . . , yT ) = F (y1+τ , y2+τ , . . . , yT +τ ), ∀ τ.
Pontos importantes:
distribuição conjunta é constante ao longo do tempo e
estacionariedade forte implica que todos momentos existentes
sejam constantes ao longo do tempo.
No entanto, estacionariedade forte não implica em
estacionaridade fraca! Exemplo: variáveis Cauchy.
Marcelo C. Medeiros
Ergodicidade
Exemplo
Ergodicidade
Ergodicidade é uma propriedade referente à relação entre a
média temporal de um processo estocástico calculada a partir
de uma realização temporal (série temporal).
Ergodicidade
Seja {yt (ω), ω ∈ Ω, t ∈ T } um processo estocástico fracamente
estacionário,
taloque E[yt (ω)] = µ < ∞ e
n
P
E [yt (ω) − µ]2 = γ0 < ∞, ∀ t ∈ T e y T = T1 T
t=1 yt (média
amostral). Se o processo {yt } for ergódico para média, então
p
y T −→ µ, T −→ ∞.
Marcelo C. Medeiros
Ergodicidade
Exemplo
Blanchard e Perotti - QJE (2002)
An Empirical Characterization Of The Dynamic Effects Of
Changes In Government Spending And Taxes On Output.
VAR com três variáveis timestrais - impostos (Tt ), gastos do
governo (Gt ) e PIB (Xt ):
zt = C(L)zt−1 + vt ,
onde zt = (Tt , Gt , Xt )0 e vt = (tt , gt , xt ).
Forma reduzida x forma estrutural:
tt = a1 xt + a2 etg + ett ,
gt = b1 xt + b2 ett + etg ,
xt = c1 tt + c2 gt + etx ,
onde ett , etg e etx são choques estruturais.
Marcelo C. Medeiros

Séries Temporais e Modelos Dinâmicos em Econometria

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