bibliografia básica

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bibliografia básica

Caros Colegas,
Em sua reunião de 28 de novembro de 2014, o Conselho Diretor da SBM decidiu relançar
os estudos com vista à elaboração de uma proposta curricular para os diferentes segmentos
do ensino de Matemática. Na sequência, foram formados 4 grupos de trabalho, compostos por
professores universitários e professores da educação básica com reconhecida competência, os
quais se vêm debruçado sobre a questão das diretrizes curriculares para o Ensino Fundamental
1, o Ensino Fundamental 2, o Ensino Médio e a Licenciatura em Matemática.
A metodologia utilizada é redigir uma primeira minuta da proposta e em seguida submetêla para análise em oficinas e outros fóruns, sempre contando com participação substancial de
professores atuantes em sala de aula no segmento respectivo. Os diferentes grupos iniciaram
em tempos distintos e, por essa, os seus trabalhos encontram-se em diferentes estágios de
amadurecimento.
O estágio atual das conclusões do grupo da Licenciatura já foi endossado pelo Conselho
Diretore é apresentado neste documento como uma contribuição da SBM ao debate do tema
na comunidade e à construção da Base Nacional Comum que está sendo levada a cabo pelo
Governo Federal.
Ressaltamos que a construção de uma proposta curricular nacional deve ser um processo
continuado, em constante evolução, alimentada por um amplo diálogo com todos os atores do
processo educativo. Assim, o presente documento deve ser visto como um esforço concreto da
SBM para enriquecer esse diálogo, a ser aprimorado sucessivamente e sem qualquer pretensão
de ser uma resposta “definitiva” à questão.
Uma excelente oportunidade para fomentar o diálogo sobre o tema será a Mesa Redonda
sobre o tema das Diretrizes Curriculares que terá lugar no dia 14 de agosto, durante o 2o
Simpósio Nacional da Formação do Professor de Matemática (acesse para http://anpmat.sbm.
org.br/simposio-nacional-2/) que será realizado no Colégio Militar de Brasília.
Contamos com a participação de todos neste debate de importância estratégica nacional!
Cordialmente,
Marcelo Viana
Presidente da SBM
1
1. APRESENTAÇÃO E UM BREVE HISTÓRICO
Essa proposta é a terceira etapa de um trabalho iniciado em 2010. Listamos, a seguir, as
pessoas envolvidas em cada uma dessas etapas.
Primeira Comissão
Ano: 2011
Membros da Comissão:
Cydara Cavedon Ripoll (UFRGS)
Maria Aparecida Soares Ruas (na ocasião Primeiro Secretário da SBM) (USP-São
Carlos)
Mario Jorge Dias Carneiro (UFMG)
Milton Lopes Filho (UNICAMP)
Nedir do Espírito Santo (Coordenação) (UFRJ)
Sandra Maria Semensato de Godoy (USP)
Yuriko Baldin (UFSCar)
Segunda Comissão
Período: Fevereiro/2015
Carlos Gustavo T. de A. Moreira (Coordenação) (IMPA)
Daniel Cordeiro Morais Filho (UFCG)
Elon Lages Lima (IMPA)
Nedir do Espirito Santo
Terceria Comissão
De abril a junho de 2015
Carlos Gustavo T. de A. Moreira (Coordenação) (IMPA)
Cydara Cavedon Ripoll (UFRGS)
Letícia Rangel (CAp UFRJ)
Ainda, em 09 de junho de 2015, a proposta da terceira Comissão foi apresentada a um grupo
de professores ligados à Licenciatura em Matemática ou à Escola Básica. São eles, além dos
membros da terceria comissão:
Fábio Júlio Valentim (UFES)
Fábio Simas (UNIRIO)
Graziele S. Mozer (Colégio Pedro II, RJ)
Humberto José Bortolossi (UFF)
Lúcio Sebastião Coelho da Silva (FIC - Faculdades Integradas Campograndenses;
CEL – Centro Educacional da Lagoa; SME/RJ - Escola Municipal Bento do Amaral
Coutinho)
Mariana Neto (E. M. Raphael de Almeida Magalhães, RJ; CIEP 386 Guilherme da
Silveira Filho, RJ).
Wanderley Moura Rezende (UFF)
A SBM é grata a todos os que se envolveram neste trabalho.
Este é um documento ainda em construção. Muitas das sugestões apontadas na oficina
realizada em junho de 2015 não foram ainda implementadas, tais como: a inclusão de Habilidades
e Comentários na apresentação de cada uma das disciplinas elencadas, no sentido de tentarem
responder a questão central “que matemática o professor precisa saber?”.
3
2. INTRODUÇÃO
Uma função essencial da educação institucionalizada, isto é, da escola, é oferecer a todos o
acesso e a reflexão sobre o patrimônio científico e cultural da humanidade. No caso da disciplina
matemática, na preparação do indivíduo para as demandas sociais e na formação para o exercício
da cidadania, deve-se lembrar que as metas não podem ser reduzidas a uma dimensão imediata
e utilitária. Isto é, os objetivos para o ensino básico de matemática não podem ser reduzidos
simplesmente à preparação dos estudantes para os desafios da sociedade como estes se
apresentam hoje, mas deve contemplar, além disso, a construção da bagagem cultural e crítica
indispensável para prepará-los para enfrentar, por si mesmos, os desafios que possam vir a se
configurar no futuro. Na sociedade permeada pelas tecnologias de informação e de comunicação,
esta constatação se torna ainda mais crítica: o que a escola tem a oferecer não é mais a simples
informação (pois esta é mais disponível e mais mutável), e sim a interpretação, a reflexão e a crítica
sobre a informação. Neste sentido, o acesso à produção científica e cultural da humanidade e o
desenvolvimento de uma visão crítica sobre essa produção são parte constituinte da formação
para o exercício da cidadania. Em particular, ao final da Escola Básica, espera-se que o aluno
tenha experimentado e percebido a essência da Matemática como ciência.
O 15th ICMI Study1 teve como foco a formação e o desenvolvimento profissional do professor
de matemática ao redor do mundo e envolveu pesquisadores de vários países, culminando com
uma conferência realizada no Brasil em maio de 2005 e, posteriormente, com a publicação do
volume: 15th ICMI Study – The Professional Education and Development of Teachers of Mathematics
(EVEN, BALL, 2009). Com a premissa de que a formação e o desenvolvimento profissional dos
professores são a chave para a oportunidade de aprendizagem da matemática por parte dos
estudantes, o 15th ICMI Study investigou práticas e programas de formação de professores de
matemática em diferentes países, contribuindo para a discussão sobre a formação do professor
de matemática. Em particular, diante do panorama revelado, esse estudo ressalta que ainda há
muito a aprender sobre como acompanhar e conectar o conhecimento e a formação profissional
dos professores de Matemática com a sua prática e a entender sobre como essa formação
pode ter uma efetiva intervenção no processo de aprender para ensinar Matemática. Sobre a
formação inicial do professor, o estudo não propõe um modelo ou uma prescrição de sucesso,
mas, entre outros aspectos, aponta a importância e a necessidade da discussão sobre a estrutura
e o currículo de formação dos professores.
1
Os ICMI studies compõem uma linha de ação importante do International Committee for Mathematical
Instruction (ICMI), configurando-se em um conjunto de atividades de pesquisa sobre um tema de particular
importância para a educação matemática contemporânea. Cada ICMI Study, desenvolvido em torno de uma
conferência internacional, envolve os principais estudiosos e profissionais no assunto em questão, sendo eles
designados pela Comissão Executiva da ICMI. Ao final, tem-se a publicação de um volume que visa promover e
apoiar a discussão e a ação em níveis internacional, regional ou institucional (http://www.mathunion.org/icmi/
conferences/icmi-studies/introduction/).
A matemática escolar é fonte primária de informação matemática para a maioria dos
membros da sociedade, assim, a forma como ela é promulgada na escola determina fortemente
a maneira como é entendida e estabelecida pela sociedade. Portanto, o ensino de matemática
e, consequentemente, a formação do professor têm, de fato, importância estratégica, tanto para
a formação de uma cidadania consciente como para a geração de capital humano qualificado e
indispensável para o desenvolvimento da Matemática.
Entendemos que, do ponto de vista das políticas públicas vigentes, os objetivos centrais do
ensino básico de matemática são:
i. formar uma população matematicamente letrada, com domínio dos instrumentos
quantitativos necessários para o cotidiano e para o mercado de trabalho. Estes
instrumentos abrangem: conhecimento do significado de números e de grandezas;
domínio das operações básicas com os números e suas aplicações relevantes na vida
cotidiana; desenvolvimento de raciocínios que conectem os conceitos abstratos
da linguagem matemática, que incluem as formas geométricas e a álgebra básica;
atividades mais complexas tais como a extração, interpretação e representação de
dados quantitativos em gráficos e tabelas e
ii. fornecer bases sólidas para a educação de nível médio e superior e estimular a vocação
para as profissões nas diversas áreas que são essenciais para o desenvolvimento
social, científico e tecnológico do país e que requerem formação matemática
especializada. Em particular, ao final da Escola Básica, espera-se que o aluno tenha
uma ideia sobre a Matemática como ciência e tenha sido introduzido ao método
matemático de argumentação, sabendo reconhecer o que é um argumento aceitável
matematicamente.
No que diz respeito à matemática como ciência, o Brasil tem tido bons resultados, tendo a
matemática brasileira atingido um padrão de excelência na qualidade da pesquisa e na formação
de pesquisadores. No entanto, persiste o desafio de atingir resultados semelhantes em relação
à Educação Básica2 e à formação dos professores que atuam nesse segmento. Nesse sentido,
entendemos que é fundamental discutir a formação profissional dos professores de Matemática
de forma conectada com as demandas próprias da prática do professor. É objetivo deste
documento caminhar nessa direção.
A Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), como representante da comunidade acadêmica
da área de matemática, tem se dedicado ao compromisso de contribuir para promover a
melhoria do ensino de matemática na escola básica. Nesse sentido, tem investido na elaboração
2
Os resultados do PISA2 (Programme for International Student Assessment) – matemática, exame de conteúdo
e competências básicas, apesar de avanços substanciais alcançados entre 2000 e 2006, apontam que o Brasil ainda
tem um dos piores desempenhos. O país ocupa a 58ª posição entre os 65 países participantes da última edição,
2012, duas posições a menos que em 2009, e mais de 100 pontos abaixo da média dos países da OCDE, que foi de
494 pontos.
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e divulgação de textos destinados à formação do professor, criou e mantém o Programa Nacional
de Mestrado Profissional em Matemática (www.profmat-sbm.org.br), conduziu a criação da
Associação Nacional dos Professores de Matemática (ANPMAT), apoiando suas iniciativas, como
os Simpósios de Formação do Professor de Matemática, regionais e nacional, além de promover
encontros nacionais tais como a Bienal de Matemática.
O presente documento constitui mais uma ação da SBM no sentido da formação do professor
de matemática, marcando um passo na direção de uma discussão sobre as Diretrizes Curriculares
para os cursos de formação do Professor (Parecer CNE/CP 9/2001), especialmente visando
contribuir para a reflexão sobre a abordagem dos conteúdos (Parecer CNE/CP 9/2001).
Com esse fim, é apresentada aqui uma discussão de Proposta de Currículo Nacional para
os Cursos de Licenciatura, elaborada a partir de parâmetros que têm como meta oferecer aos
professores do Ensino básico o conhecimento matemático necessário para a sua prática.
3. PRESSUPOSTOS PARA A COMPOSIÇÃO DA
PROPOSTA
Uma proposta de currículo para a licenciatura deve se basear no princípio de que a formação
em matemática forneça ao professor do ensino básico não só pleno domínio dos conteúdos
matemáticos, mas também conhecimento necessário para que possa promover a aprendizagem
de matemática dos seus alunos e exercer plenamente a sua prática.
Diversos autores têm chamado atenção para um saber particular do professor, que articula
conhecimentos da disciplina que ensina com o contexto pedagógico. Dentre esses, destacamse o trabalho de Shulman (1986, 1987), que propõe a noção de conhecimento pedagógico de
conteúdo, um conhecimento especial do professor que se constitui a partir do vínculo entre
conteúdo e pedagogia, “um amálgama especial de conteúdo e pedagogia”, nas palavras do
próprio Shulman. Especificamente em relação à matemática, destacam-se os trabalhos de Ball e
seus colaboradores (Ball, Bass, 2003, 2009; Ball, Thames, Phelps, 2008), que propõem a noção
de conhecimento de matemática para o ensino. Trata-se de um conhecimento matemático
necessário para o trabalho de ensino da matemática na educação básica, que vai além do
simples conhecimento do conteúdo. Por sua própria natureza, o conhecimento de matemática
para o ensino não se esgota na formação inicial do professor (ainda que não prescinda de
conhecimentos que devem ser adquiridos nessa etapa), devendo ser desenvolvido de forma
constante e permanente ao longo da sua prática profissional. Vários outros autores reconhecem
a relevância desse conhecimento particular do professor e suas implicações para a formação
acadêmica do mesmo (Ball, 1988; Davis, Renert, 2013; Fiorentini, Oliveira, 2013; Fiorentini et
Al, 2002; Moreira, David, 2007; Moreira, Ferreira, 2013; Fennema, Franke (1992; Noddings
1992; Manrique 2009).
O reconhecimento de que a formação do professor exige um conhecimento de matemática
próprio para a sua prática não implica no entendimento de uma separação estrita entre a
matemática escolar e a matemática como ciência. No entanto, destaca que estas precisam ser
observadas a partir de suas especificidades. Por exemplo, tanto o bacharel em Matemática
como o professor de Matemática da Escola Básica deve conhecer a definição formal da operação
de divisão envolvendo números naturais (Divisão Euclidiana), deve saber que o algoritmo usual
dessa operação se baseia na estrutura posicional do sistema de numeração decimal e deve
ser capaz de demonstrar detalhadamente esse algoritmo, justificando cada uma das etapas
que o compõe. No entanto, para um professor, é necessário, também identificar as diferentes
situações que são resolvidas por meio de tal operação, pois para um aluno não é tão clara a
relação entre as ideias de repartição e de comparação ou medida para que sejam modeladas por
uma mesma operação. É importante identificar e discutir diferentes formas de decomposições
7
e de reagrupamento da representação decimal dos números que permitam diversificar e tornar
mais simples a execução do algoritmo usual e compor e justificar outras formas de algoritmos e,
sobretudo; reconhecer a relevância de cada um desses aspectos para a aprendizagem, sendo capaz
de articulá-los para estabelecer estratégias de ensino, levando em conta as especificidades de cada
contexto de aprendizagem. Por exemplo, a operação 583 : 7 pode ser resolvida de diversas formas,
entre as quais, as chamadas divisão por ordem e divisão por estimativas
Algorítmo A
Algorítmo B
FIGURA 1 : O algoritmo A é frequentemente chamado algoritmo por ordens, enquanto que o algoritmo B é
conhecido como algoritmo por estimativas.
Ambos são desenvolvidos a partir do mesmo processo, envolvendo subtrações sucessivas
e a adição de quocientes. Do ponto de vista do conhecimento matemático per se, talvez a
única informação relevante seja a de que o algoritmo por ordens otimiza os passos envolvidos.
No entanto, do ponto de vista do conhecimento matemático para o ensino, é fundamental o
reconhecimento de que o uso do algoritmo por estimativas pode contribuir para a compreensão
dos alunos sobre a operação de divisão e sobre a natureza do próprio algoritmo. Não é difícil
observar que esse processo pode traduzir mais claramente o entendimento de que “7 cabe pelo
menos 10 vezes em 583” ou que “na divisão de 583 em 7 partes iguais, em cada uma das partes
haverá pelo menos 10 unidades”. Somente um conhecimento profundo de aspectos conceituais
particulares da operação de divisão e da estrutura de seu algoritmo pode munir o professor
com a habilidade de reconhecer a relevância para o ensino do uso de diferentes algoritmos e de
identificar em que situações pedagógicas o uso de determinado algoritmo é vantajoso.
Em um estudo com foco no conhecimento de matemática de estudantes de cursos
universitários americanos para formação de professores de matemática da escola básica
(equivalentes à nossa licenciatura), Ball (1988) propõe questões acerca do conhecimento desses
estudantes sobre a operação de divisão a partir da observação de três contextos diferentes:
divisão envolvendo frações, divisão por zero e divisão no contexto de equações algébricas. Em
relação à divisão envolvendo frações, a autora solicita aos futuros professores que desenvolvam
uma representação – uma história, um modelo, uma Figura, uma situação do mundo real – para a
divisão 1 3 : 1 . Ball pretende verificar que tipos de estratégias os futuros professores adotariam
4 2
para discutir, em sala de aula, o significado da operação de divisão no caso em que o divisor
é um número fracionário. Dos 18 estudantes participantes da investigação, apenas 5 foram
capazes de sugerir representações apropriadas; enquanto outros 5 apresentaram representações
impróprias, e os 8 restantes declararam-se incapazes de sugerir qualquer representação. Ball
destaca que mesmo as 5 respostas consideradas satisfatórias não eram isentas de problemas e
que os resultados observados sugerem um conhecimento bastante restrito desses estudantes
sobre a operação de divisão, sendo insuficiente para capacitá-los para o ensino. Em particular,
eles associavam a divisão apenas à interpretação de partição, não considerando a intepretação
de comparação ou medida, mais adequada ao universo de números racionais.
Ball não atribui os resultados do estudo a qualquer “deficiência” particular dos participantes
da investigação, e sim a características estruturais dos cursos de formação inicial de professor
de Matemática estejam relacionadas com a concepção de que a matemática a ser ensinada no
ensino básico é “simples demais” para se constituir em objeto de cursos universitários, podendo
ser alcançada apenas por meio do estudo dos conteúdos próprios da matemática universitária
(que não são aqueles que o professor ensinará em sua futura prática docente).
Para Ball (1988), os cursos de Licenciatura trazem implícito em sua estrutura a concepção de
que (i) os conteúdos da matemática escolar são simples e comumente entendidos; (ii) portanto,
não precisam ser reaprendidos no curso universitário; e (iii) as disciplinas de matemática
universitária são suficientes para equipar os futuros professores com um saber amplo e profundo
da matemática escolar.
Por exemplo, a construção dos números reais, no Brasil, é tradicionalmente abordada nos
cursos de Análise Real a partir de Cortes de Dedekind. No entanto, certamente essa construção
não é suficiente para que o professor planeje suas atividades de ensino de números reais em
uma turma de oitavo ano do ensino fundamental, como recomendam os PCN. É necessário que
o professor possa discutir criticamente a construção dos números reais, avaliando objetivos,
possibilidades e limitações do ensino desses números na educação básica.
A questão “que matemática o professor precisa saber?” é uma questão central que se apresenta, e
a resposta, certamente, não é tornar o conteúdo das disciplinas tradicionais mais fáceis. É necessária
uma abordagem própria para a licenciatura.
A noção de conhecimento de matemática para o ensino, que reflete um cenário contemporâneo,
sugere paralelos com as ideias de Felix Klein sobre a formação docente. Em sua obra, hoje
9
clássica, Matemática Elementar de um Ponto de Vista Superior3 , publicada pela primeira vez há
mais de um século, Klein constata uma ruptura entre a matemática escolar, aquela ensinada nos
sistemas de ensino básico, e a matemática acadêmica universitária, referida por ele como dupla
descontinuidade.
Os jovens estudantes universitários são confrontados com problemas
que nada têm a ver com as coisas que estudaram na escola e, naturalmente,
esquecem-nas rapidamente. Quando, depois de completarem o curso, se
tornam professores confrontados com a necessidade de ensinar a matemática
elementar na forma adequada ao grau de ensino a que se dedicam, primário
ou secundário, e como não conseguem estabelecer praticamente nenhuma
relação entre esta tarefa e a matemática que aprenderam na universidade,
facilmente aceitam o ensino tradicional, ficando os estudos universitários
como uma memória mais ou menos agradável que não tem influência na sua
forma de ensinar. (KLEIN, 2009, p.1)
Klein não compreende a matemática elementar e a matemática superior sob uma perspectiva
de descontinuidade, ao contrário, qualifica essa percepção hierárquica e estanque como um
obstáculo a ser vencido. Segundo Schubring (2014), Klein identifica como matemática elementar
aquela que congrega as partes essenciais que encerram a capacidade de sustentar e de estruturar
a disciplina. Assim, não há diferença de valor entre o que é elementar e o que é superior – são
partes que se fundem e se articulam compondo, sob a mesma importância, a Matemática como
ciência. Nesse sentido, cabe à escola não só a tarefa de difundir o conhecimento elementar, como
também contribuir para a elementarização e para o desenvolvimento da própria Matemática.
Em 2003, a Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM) elaborou o documento
“Subsídios para a Discussão de Propostas para os cursos de Licenciatura em Matemática: Uma
Contribuição da Sociedade Brasileira de Educação Matemática” (SBEM, 2003) com o propósito de
contribuir para as discussões sobre os Cursos de Licenciatura em Matemática. Sobre a formação
docente, o estudo conduzido pela SBEM destaca a necessidade de romper com a dicotomia
entre conhecimentos pedagógicos e conhecimentos específicos e entre teoria e prática. Esse
estudo reconhece ainda uma ruptura entre a formação profissional e prática do professor de
matemática e ressalta a especificidade da formação desse professor:
Estudos de diferentes autores apontam que o profissional da
educação básica, principalmente nos seus primeiros anos profissionais,
reproduz a prática de seus professores. O processo de escolarização,
do Ensino Fundamental ao Superior, colabora para que o professor
construa seus sistemas de crenças, concepções e representações sobre
3
Na versão original, Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus, publicada em 1908 e 1909 – Obra
em três volumes que traz lições de matemática elaboradas por Felix Klein para professores das séries finais do
ensino básico.
ensino de Matemática. Esses sistemas são reforçados, principalmente na
Licenciatura, por uma prática mais ou menos cristalizada e defendida por
muitos professores que aí atuam de que não se deve ensinar conteúdos
diferentes dos tratados no Bacharelado, mas sim torná-los mais fracos, sem
aprofundamento. O que se precisa é de uma mudança de foco, pois a questão
não é essa. Não se trata de enfraquecer o conteúdo e sim de ensinar o que
realmente é relevante e que tenha significado e sentido para a formação do
professor de Matemática, garantindo não só sua aprendizagem, mas que
esse saber passe a fazer parte de sua prática. (SBEM, 2003, p.25)
Sobre a grade curricular, o estudo conduzido pela SBEM identifica os conteúdos de
disciplinas como Cálculo Diferencial e Integral, Análise Matemática, Álgebra, Geometria,
Estatística, Combinatória, Probabilidade, entre outros, como conhecimentos substantivos do
futuro professor, que “devem ser selecionados e abordados de forma a possibilitar ao professor
em formação, conhecimento amplo, consistente e articulado da Matemática” (SBEM, p.15).
Essa articulação não deve ficar restrita à matemática em si, mas estabelecer também diferentes
conexões, por exemplo, entre os conhecimentos matemáticos e os conhecimentos pedagógicos
ou os conhecimentos de natureza teórica com os de natureza prática.
Outros autores (e.g, Moreira, 2012; Moreira, Ferreira, 2013; Fiorentini e Oliveira, 2013),
que discutem o lugar da matemática na formação do professor de matemática em cursos de
Licenciatura, apontam que ainda existem importantes desafios a serem enfrentados pelos
formadores no que diz respeito à formação matemática do professor. Entre outros aspectos,
destacam que a necessidade de que essa formação seja articulada com questões próprias do
ensino e da aprendizagem da disciplina na educação básica.
É certo que uma intervenção no cenário da formação inicial do professor não é simples,
nem, muito menos, alcançada a partir apenas de mudanças de ementas ou da reestruturação
de grades curriculares. Entendemos que essa é uma tarefa grandiosa que exige o envolvimento
de todos os atores em um processo amplo de discussão. Essa discussão, em suas diferentes
abordagens e vertentes, certamente terá reflexos nas diretrizes curriculares. Nosso foco neste
documento é contribuir para a reflexão sobre a abordagem dos conteúdos matemáticos.
11
4. PRINCÍPIOS
No contexto discutido, destacamos alguns princípios que identificamos como prioritários na
condução da discussão sobre uma proposta curricular para a formaçao inicial do professor:
i. Um princípio básico para um ensino efetivo de matemática é que o professor conheça
profundamente o conteúdo que ensina. Claro que a formação de um professor de
matemática não se encerra na própria matemática, pois ainda há que dominar a
conexão entre o conhecimento e sua sua prática de sala de aula.
ii. O ensino da matemática na educação básica não pode prescindir da abordagem de
conteúdos elementares para a matemática como ciência e como linguagem para
outras áreas do conhecimento, como a física, a química, a computação, etc. Portanto,
a formação do professor deve contemplar esses conteúdos como tal e garantir que
sejam aprofundados e articulados no contexto da própria matemática, visando
oferecer ao professor uma visão ampla e abrangente do edifício da matemática.
5. Linhas Norteadoras da Discussão sobre os
Conteúdos de Matemática
Apresentamos a seguir uma discussão que identifica linhas norteadoras para a composição
de um de currículo de um curso de licenciatura, bem como uma proposta de disciplinas com
as respectivas ementas e carga horária, encerrando com um exemplo de uma possível grade
curricular, segundo essa proposta. Os assuntos que norteiam a identificacam das linhas são
entendidos como elementares na formação do professor de matemática.
5.1. O raciocínio lógico-dedutivo como base da matemática
Para que tenhamos maior êxito na meta de formar estudantes que, ao final da Escola
Básica, percebam a matemática como ciência baseada no método dedutivo, como também
formar cidadãos críticos e capazes de desenvolver suas próprias argumentações, é essencial
que o raciocínio lógico-dedutivo seja parte da formação do professor, desde de ínicio de sua
graduação.. Nesse sentido, o reconhecimento do valor preponderante do raciocínio lógco
dedutivo é importante não só para fundamentar a matemática com ciência como para amparar
e tornar o futuro professor seguro para formular e/ou adaptar argumentações para a sua sala
de aula. Convencer o licenciando de que o raciocínio lógico-dedutivo certamente aparece e é
necessário na sala de aula deve ser uma das metas de um curso de Licenciatura. Por exemplo,
espera-se que o professor, uma vez consciente que para estabelecer-se um resultado não basta
testar alguns exemplos, procure estimular seus alunos a buscarem raciocínios generalizadores
para suas argumentações.
É indispensável, portanto, que, tanto nas disciplinas de conteúdo matemático (mesmo
aquelas que retomam conteúdos da escola básica), como nas disciplinas que têm o ensino e a
prática do professor no Ensino Básico como foco principal, seja enfatizado o raciocínio lógicodedutivo. Esta é uma das razões pela qual, nesta proposta, a disciplina Cálculo de uma Variável
não é sugerida como uma disciplina de primeiro semestre. Acredita-se que, se essa disciplina for
proposta no segundo ano de curso, sendo precedida de cursos que estabeleçam de modo preciso
os fundamentos sobre números e sobre funções reais e apresentem algumas demonstrações
simples, é possível que sejam tratadas sem maior dificuldade demonstrações de resultados
importantes de Cálculo de uma Variável.
Também nesta proposta, entendemos que as disciplinas do bloco correspondente à prática
como componente curricular (PCC) têm espaço para discussões específicas sobre o raciocínio
lógico-dedutivo em conteúdos abordados na escola. Por exemplo,
a imprecisão causada
pela falta do emprego e diferenciação entre a implicação lógica e a equivalência lógica ou o
13
reconhecimento da necessidade de demonstração de fatos matemáticos que não são axiomas,
por mais intuitivos que possam parecer (por exemplo, o resultado “se uma primeira reta é paralela
a outras duas retas então essas retas são também paralelas” precisa ser demonstrado, pois não
é um axioma da geometria).
A evolução de alguns conceitos e resultados ao longo da história da matemática, naturalmente
revela as ideias que os motivaram, os obstáculos enfrentados e, potencialmente, alcança a
abordagem de questões de enunciados simples da chamada “matemática de fronteira”,. São
exemplos importantes dessa abordagem, a história dos números negativos, a evolução do
conceito de função e, como resultados de fronteira, a conjectura de Goldbach e a viabilidade
computacional da fatoração de um número grande em primos. Assim, tópicos da História da
Matemática se revelam importantes para professores da Escola Básica. “Ao compreendermos
para quê seus objetos foram definidos, seus métodos foram inventados e seus teoremas foram
demonstrados, poderemos atribuir um sentido mais amplo aos conteúdos matemáticos que
ensinamos”. 4
5.2. Fundamentos de Números e de Álgebra
Nada é mais elementar para a matemática do que os números, quantificando grandezas, seja
por contagem ou por medida. Diante de seu caracter elementar, números devem ser tratados
na Escola Básica, desde as séries iniciais, começando com números naturais e podendo alcançar
os números complexos, incluindo operações e propriedades. A construção destes conjuntos
numéricos na graduação, ressaltando a necessidade de cada ampliação do universo numérico e
suas novas características é fundamental na formação do futuro professor.
Extrapolar o universo numérico e alcançar as estruturas algébricas que caracterizam os
conjuntos numéricos permite também perceber essas estruturas independentes do conceito
de número. Assim, por exemplo, funções, polinômios, matrizes compõem estruturas algébricas.
Nesse contexto, tem-se, por exemplo, que o número 1, a matriz unidade e a função identidade
têm papéis relevantes e análogos nessas estruturas. Conhecer as diferentes estruturas
algébricas e as características marcantes dessas estruturas, sendo capaz inclusive de identificar
os conjuntos que, algebricamente, são “essencialmente iguais” (ou seja, os isomorfos) e aqueles
que são “essencialmente distintos” dá ao professor maior suporte para trabalhar tanto nestes
como em outros campos.
O estudo de estruturas algébricas leva também aos grupos geométricos e aos problemas
clássicos de construções com régua e compasso (extensões de corpos), bem como ao problema
4
Frase mencionada na aba do livro Tópicos de História da matemática, coleção PROFMAT, SBM, 2012, de
Tatiana Roque e João Bosco Pitombeira.
da existência de fórmulas para as soluções de equações algébricas (Teoria de Galois), e pode
alcançar uma discussão sobre equações em outros contextos, como as equações diferenciais.
Na proposta aqui apresentada, são entendidas como disciplinas diretamente ligadas à Teoria
dos Números bem com aos outros objetivos desta seção: Aritmética, Introdução à Análise,
Álgebra II (Anéis e Grupos) e Cálculo com Variável Complexa.
5.3. Fundamentos de Geometria Euclidiana, Geometria Analítica e
Álgebra Linear
A geometria é um outro assunto de aspecto elementar para a matemática e para o dia a
dia. Várias construções têm por base a geometria euclidiana. Em uma abordagem axiomática, a
geometria euclidiana, se apresenta como um contexto propício para tratar o método dedutivo
e o chamado método axiomático, tão importantes na Matemática. A discussão sobre o mínimo
de resultados necessários para que a geometria euclidiana se estabeleça de forma consistente
oportuniza a construção de geometrias não euclidianas, como a geometria projetiva (em evidência
devido à sua aplicação na elaboração de filmes 3D), a geometria esférica (utilizada em cartografia
e astronomia), a geometria hiperbólica (fornecendo um modelo de espaço negativamente curvo).
Construções Geométricas evidenciam propriedades da Geometria Euclidiana e desafiam
o raciocínio geométrico. A utilização de recursos tecnológicos (Geogebra, Cabri por exemplo)
oportuniza que os estudantes façam suas próprias conjecturas, por meio da chamada geometria
dinâmica, e a experiência de procurar por uma demonstração para as mesmas, ajuda-os a
embrenharem-se no método matemático.
A Geometria Analítica, que congrega a álgebra e a geometria, permite traduzir problemas
geométricos para problemas de resoluções de equações e de sistemas de equações. Além disso,
oportuniza um tratamento matemático para a noção de vetor, fundamental para a Física.
As cônicas e as quádricas são objetos matemáticos com propriedades importantes, tanto em
matemática como em áreas afins, propriedades essas que podem ser explicadas com a geometria
analítica. Nesse contexto, aparecem os operadores lineares, não necessariamente formalizados,
ao tratar-se mudanças de sistemas de coordenadas (rotações e simetrias).
A Álgebra Linear oportuniza uma importante aplicação de matrizes, a saber, matrizes
representam transformações lineares, evidenciando sua importância e também justificando as
2
3
regras para as operações com matrizes. Os exemplos de transformações em  e em  permitem
uma visualização geométrica de transformações que preservam a linearidade e oportunizam a
generalização do conceito (transofrmação linear) a outros espaços, alcançando a classificação de
espaços vetoriais que são “essencialmente iguais” sob o ponto de vista da linearidade.
Combinada com o cálculo, a álgebra linear é importante na expressão de soluções de
15
equações diferenciais. Por sua maior simplicidade, ela é utilizada em aproximação e modelagem
de fenômenos não lineares, e, por isso, torna-se importante para muitas áreas do conhecimento,
tais como economia, computação (por exemplo, em animações).
A álgebra linear tem também sua conexão com a geometria. A estrutura adicional que o
espaço ℝn possui, a saber, a noção de norma de vetor proveniente de um produto interno, é a
base da geometria euclidiana. Os operadores lineares aparecem, por exemplo, na descrição de
movimentos em espaços euclidianos e a ação de um operador corresponde ao produto de uma
matriz por um vetor. Movimentos simples como rotações, simetrias, homotetias podem também
ser trabalhados no ensino médio, ainda que sem a formulação teórica completa, mas em exemplos
simples, evidenciando a utilidade de matrizes e justificando as regras de operações entre elas. A
aplicação dos movimentos rígidos e das homotetias à computação gráfica torna muito atual seu
estudo também fora da matemática. O estudo das cônicas, objetos que aparecem no dia a dia,
sob o ponto de vista matemático, pode ser feito como uma aplicação da álgebra linear.
O estudo de funcionais bilineares simétricos e sua representação matricial (matriz simétrica e
sua diagonalização) têm aplicações no estudo de superfícies quádricas e ilustram como é possível
encontrar uma maneira mais simples de olhar para uma transformação.
Na proposta aqui apresentada, são entendidas como disciplinas que contemplam os aspectos
mencionados nesta seção: Geometria I, Geometria II, Geometria Analítica e Álgebra Linear.
5.4. Fundamentos de Funções Reais, de Cálculo Diferencial e Integral,
de Análise Real e de Equações Diferenciais.
O cálculo diferencial e integral (de uma e várias variáveis) sustenta grande parte da matemática
e da física e ilustra de várias maneiras processos infinitos da matemática. De fato, vários conceitos
fundamentais para a matemática só poderão ser completamente entendidos com o uso do
cálculo integral e diferencial, como números irracionais, a existência e cálculo do número π, a
existência e cálculo do número e, o cálculo do volume de uma esfera, o cálculo da curvatura de
uma curva, bem como de sua torção, etc. Até mesmo conceitos de Física usualmente abordados
no Ensino Médio só poderão ser entendidos plenamente com o uso de limites e derivadas,
como o conceito de velocidade instantânea ou sistemas mola-massa. De fato, uma boa parte
dos modelos matemáticos e das leis da física, são expressos em termos de relações entre taxas
de variação, derivadas parciais ou ordinárias, como, por exemplo, as equações fornecidas pelos
sistemas mola-massa, crescimento populacional, resfriamento de um corpo.
Para modelagem e resolução de problemas, o cálculo numérico e o cálculo diferencial e integral,
incluindo as equações diferenciais, são ferramentas fundamentais, bem como o conhecimento
aprofundado das principais características das diferentes famílias de funções.
Ressaltamos que, nesta proposta, os fundamentos de análise são desenvolvidos em várias
etapas, começando com um aprofundamento sobre números reais (na disciplina Fundamentos
I: Números), seguida por um aprofundamento sobre funções reais de variável real (na disciplina
Fundamentos II: funções). Só depois das disciplinas operacionais (Cálculo I e II) retoma-se o
estudo dos fundamentos de análise, na disciplina Introdução à Análise, aprofundando-se o estudo
de processos infinitos e retomando-se questões elementares que até então eram tratadas de
forma intuitiva, tais como as diversas manifestações do infinito, área e comprimento do círculo
e a definição de π, definições de e, a irracionalidade de e. Também outras representações para
os números reais aparecem, agora podendo ser tratadas de forma precisa: como limite de uma
seqüência convergente, como uma série, como uma fração contínua. Em uma última etapa, na
disciplina Análise Real, retoma-se o estudo de funções, agora aprofundando muitas das ideias
abordadas nas disciplinas de cálculo e prova-se a irracionalidade de π. Os fundamentos de
Análise encerram-se com a discplina Cálculo com Variável Complexa.
Nesta proposta, a disciplina Cálculo de uma Variável está sugerida em dois semestres (Cálculo
de uma Variável A e Cálculo de uma Variável B) de 60 h cada. A razão para essa organização está
no entendimento de que um semestre é pouco para tratar adequadamente as ideias de limite,
derivada e integral, que envolvem processos infinitos. Por um lado, não cabe a formalização
desses conceitos no modelo atual de ensino médio brasileiro, mas, por outro lado, os processos
infinitos estão presentes em vários tópicos próprios do ensino básico, como, por exemplo,
números reais e soma dos infinitos termos de progressões geométricas. Assim, para um futuro
professor, é necessário que a discussão sobre os processos infinitos vá além da formalização de
conceitos, mas que se estabeleça de forma crítica e sedimentada, visando a sua abordagem no
ensino básico.
Na proposta aqui apresentada, são entendidas como disciplinas que contemplam o estudo de
pro-cessos infinitos, limite, derivada, integral e equações diferenciais: Fundamentos I: Números,
Fundamentos II: funções, Cálculo de Uma Variável I A, Cálculo de Uma Variável I B, Cálculo
II, Cálculo III (sugestão de eletiva/optativa), Cálculo com Variável Complexa, Matemática
Financeira. Cálculo Numérico, Introdução à Análise, Análise Real, Geometria Diferencial
(sugestão de eletiva/optativa), Física I, Física II, Introdução ao Eletromagnetismo (sugestão de
eletiva/optativa).
5.5. Fundamentos de Matemática Discreta e Combinatória
Uma das mais freqüentes questões matemáticas com a quais nos deparamos no dia a dia é a
de contagem: quantas são as duplas que podem ser formadas para uma primeira rodada de um
torneio de tênis, quantas são as possíveis filas a serem formadas por n pessoas; quantas placas
diferentes de carro podemos formar com letras e algarismos. Estas e outras questões, embora
17
de enunciados muito simples, frequentemente resultam em graves erros. Assim, um estudo
cuidadoso de métodos elementares envolvendo basicamente, apenas o princípio multiplicativo,
é indispensável na escola secundária. A Análise Combinatória fornece todas as diretrizes
necessárias para que se possa responder de forma precisa e concisa questões como estas.
A teoria dos grafos constitui uma ferramenta muito útil para a modelagem matemática de
problemas do nosso dia-a-dia. Alguns exemplos de problemas que podem ser tratados com
grafos e que podem ser propostos na escola são: (i) “Como podemos dividir m tarefas entre
n pessoas de tal forma que o maior número possível de tarefas seja realizado, sabendo que
cada pessoa tem aptidão para realizar um determinado subconjunto dessas tarefas?”; (ii) “Uma
empresa transportadora deve transportar uma mercadoria entre duas cidades. A partir de um
mapa que descreve um sistema de estradas ligando as duas cidades, como podemos escolher a
rota mais curta?” e (iii) Uma empresa de telefonia celular deseja instalar torres de transmissão
para garantir a cobertura de uma região. Após estudos, foram determinados locais possíveis
para instalação das torres e o alcance do sinal caso uma torre fosse instalada em cada um desses
locais. Qual é o menor número de torres que a empresa deve instalar para garantir que todos
esses pontos sejam cobertos?”.
Recursos de modelagem matemática fornecidos pela teoria dos grafos podem ser apresentados
a alunos do Ensino Médio, incentivando-os a encontrar uma representação abstrata de uma série
de problemas do mundo real. Essa capacidade de abstração é uma das habilidades fundamentais
a serem desenvolvidas no período escolar, devendo, portanto, fazer parte também da formação
do futuro professor.
No contexto de combinatória, cabe ainda uma discussão de técnicas de contagem mais
sofisticadas relacionadas às Funções Geratrizes, que também têm relação direta com séries de
Taylor, estudadas em Cálculo e em Análise, e um estudo de vários aspetos interessantes de
Teoria dos Grafos, tratando, além de tópicos clássicos, de resultados de pesquisa relativamente
recente, mas acessíveis a alunos de graduação.
Na proposta aqui apresentada, as disciplinas Matemática Discreta e Combinatória são
entendidas como aquelas que contemplam os tópicos sugeridos nesta seção.
5.6. Fundamentos de Probabilidade e Estatística
É inegável que a análise adequada de uma coleção de dados produzidos a todo momento pode
vir a constituír informação com potencialidade para, dentro de certos limites, se converter em
conhecimento. As análises de dados do governo (políticas publicas, disseminação da informação,
monitoramento de serviços), de indústria e negócios (controle de qualidade, eficiência, previsões),
de pesquisa (ciências exatas, biológicas e humanas), de Medicina (diagnóstico, prognóstico, ensaios
clínicos), de direito (DNA, investigação criminal) bem como do cidadão comum (investimentos
ótimos, tomada de decisão para controle de sua própria vida) caracterizam o que o eminente
estatístico C.R.Rao (IJMS, 1999) chamou de “Ubiquidade da Estatística”.
A Estatística está em toda a parte, e sabemos que está, então precisa estar presente na escola
básica. É importante que os alunos da escola básica sejam submetidos a raciocínios que levam em
conta incerteza e variabilidade além de raciocínios determinísticos. Os alunos devem aprender,
na escola básica, como interpretar informações de natureza científica e social e compreender
o caráter aleatório de fenômenos naturais e sociais, utilizando instrumentos adequados para
coleta de amostras, para o tratamento da informação e para o cálculo probabilístico.
O Cálculo de Probabilidades busca a quantificação da incerteza em processos de tomada
de decisão, servindo de “baliza” para a tomada de decisão em um processo experimental ou
observacional. Cabe ao professor de Matemática fornecer tais competências aos alunos da
Escola Básica. Assim, Fundamentos de Probabilidade e de Estatística devem fazer parte de sua
Graduação. Além disso, a Estatística pode permear várias etapas de um projeto interdisciplinar.
Na proposta aqui apresentada, Probabilidade e Estatística A e B são entendidas como
disciplinas que pretendem contemplar os tópicos sugeridos nesta seção.
5.7. Fundamentos da Física
É inquestionável o papel histórico da física como inspiradora e motivadora para muitos
conceitos da matemática. Além disso, a contextualização é uma ajuda importante na compreensão
e fixação de diversos conteúdos da matemática elementar, e por isso o professor deve dispor
de um acervo de exemplos e situações que motivem problemas e permitam a exploração de
diversos conceitos. A Física é, assim, um campo rico para amparar esse tipo de tarefa, pois, por
um lado, a maior parte de seus conceitos pode ser formulada precisamente com a matemática e,
por outro lado, ela está intimamente ligada à realidade visível.
Alguns exemplos: a cinemática permite contextualizar as ideias de taxa de variação (velocidade
média), de derivada (velocidade instantânea), de equação diferencial; a dinâmica permite visualizar
o conceito de vetor como sendo associado às forças que agem sobre determinado objeto; em
diversos problemas da mecânica surge naturalmente a necessidade de se usar a trigonometria e
na óptica aparece também a geometria.
Uma formação básica em Física é, assim, importante aos licenciandos em matemática para que
possam não apenas fornecer exemplos interessantes de aplicações dos conceitos que ensinam,
mas também oportunizar atividades interdisciplinares. Existe uma tendência de o currículo do
Ensino Médio olhar para as áreas e não para as disciplinas. Assim, o futuro professor deve estar
preparado para a interdisciplinaridade.
19
Na proposta aqui apresentada, são entendidas como as disciplinas que contemplam alguns
conteúdos de Física: Física I, Física II e Introdução ao Eletromagnetismo (esta última eletiva).
5.8. Fundamentos de Computação
A computação está hoje em toda a parte, e, em particular, na escola básica. Portanto, é
necessário, e inevitável, que alcance os processsos de ensino e de aprendizagem nessa etapa da
escolaridade. Nesse sentido, além de permear naturalmente a comunicação e a organização da
informação, os recursos computacionais se apresentam como uma ferramenta potencialmente
profícua para amparar e inovar a abordagem da matemática na educação básica. O professor de
matemática precisa estar preparado para essa realidade.
Além disso, são temas centrais em computação, algoritmos e complexidade de um algoritmo.
Esses temas têm relação com matemática discreta, combinatória, teoria de números e análise
real. Nesse sentido, a computação ampara a organização do raciocínio lógico-dedutivo.
Na proposta aqui apresentada, são entendidas como as disciplinas que contemplam
especificamente a computação: Introdução à Computação e, especificamente voltado para a
prática do professor, Tecnologias Digitais no Ensino de Matemática. Esta última tem por objetivo
explorar a integração de recursos computacionais com a sala de aula. As discussões nela propostas
devem contemplar: avaliação crítica de um recurso específico para um determinado conteúdo;
suas potencialidades e limitações e o; desenvolvimento de atividades envolvendo recursos
computacionais. Tais discussões e construções devem também fazer parte das disciplinas PCC
que a seguem, a saber: O Ensino de Geometria, O Ensino de Números e de Álgebra, O Ensino
de Funçõese Ensino de Combinatória e Probabilidade, sempre seguindo a filosofia de que uma
análise e o desenvolvimento de materiais didáticos podem culminar em propostas didáticas que
fazem uso da tecnologia. Assim, entendemos como recomendável que, a cada área específica
abordada em Prática como Componente Curricular, os licenciandos já tivessem tal ferramenta
para desenvolver suas propostas.
6. DISCIPLINAS – EMENTAS, CARGA HORÁRIA E
BIBLIOGRAFIA
Nesta seção, apresentamos uma sugestão de disciplinas para a composição do bloco de
conteúdo científico – Matemática, de áreas afins, e algumas sugeridas como parte do bloco
que contempla especificamente a prática como componente curricular (PCC). São discutidas
ementas, com a indicação de habilidades esperadas, apresentação de referências bibliográficas
correspondentes (em ordem alfabética), uma previsão de carga horária e alguns comentários no
sentido de esclarecer a relevâncias das disciplinas para a formação do professor.
A sugestão aqui apresentada tem como base a perspectiva de uma configuração mínima,
nos termos da lei, para um curso de Licenciatura em Matemática. No entanto, encerra também
o reconhecimento de conteúdos básicos, suas abordagens e a necessária articulação entre
esses conteúdos para a formação do professor. Assim, entendemos que é importante que a
discussão sobre o ensino não fique restrita às disciplinas do bloco PCC, mas que, sempre que
possível5, esteja presente também nas disciplinas de conteúdo científico. Além disso, em relação
ao conteúdo científico – Matemática, são indicadas disciplinas de caráter essencial e outras
que ilustram conteúdos e abordagens que podem determinar características particulares de
diferentes realidades. Essas disciplinas podem ser oferecidas de modo a adequar ou ampliar
a grade mínima proposta, em uma configuração obrigatória ou como disciplinas eletivas ou
optativas. Destacamos, em particular, a recomendação e o entendimento do potencial das
disciplinas eletivas ou optativas como forma de enriquecer e de diversificar a formação do futuro
professor.
Nota 1:
A proposta de currículo para o Curso de Licenciatura em Matemática que aqui é
apresentada está alinhada com a Resolução CNE/CP 1, de 18 de fevereiro de 2002 fundamentada
no Parecer CNE/CP 9/2001 e Parecer CNE/CP 27/2001 (o segundo dá nova redação ao item 3.6
(c) do primeiro), que trata das Diretrizes Curriculares Nacionais para a Formação de Professores
da Educação Básica, em nível superior, curso de licenciatura e de graduação plena.
Quanto aos conteúdos curriculares, ela está em sintonia com a Resolução CNE/CES n.3, de
18 de fevereiro de 2003, que estabelece as Diretrizes Curriculares dos cursos de Matemática,
fundamentada no Parecer CNE/CES 1.302/2001, e determina que a carga horária da licenciatura
deverá cumprir o estabe-lecido na Resolução CNE/CP 2/2002, resultante do Parecer CNE/CP
28/2001.
No Anexo I, é apresentado um resumo das diretrizes para a Licenciatura Plena em Matemática
de 1939 a 2014.
5
Sabe-se que, frequentemente, algumas disciplina de conteúdos científico (por exemplo, álgebra linear e
cálculos) são oferecidas junto com os cursos de, Engenharia, Física, Economia, etc.
21
Nota 2:
A presente proposta atém-se fundamentalmente às ementas das disciplinas que
envolvem conteúdo matemático.
Nota 3:
No presente documento, conteúdos que, em geral, são ministrados em turmas
comuns à licenciatura e ao bacharelado tiveram suas abordagens revistas e direcionadas,
especificamente, para a formação do professor. Assim, por exemplo, a menção à coleção Revista
do Professor de Matemática, publicação que tem por objetivo a articulação entre o universo
escolar e o acadêmico pautada na precisão da abordagem da matemática, é intencional. Essa
sugestão, para o professor responsável pelas disciplinas do bloco científico,
aponta uma
referência para abordagens de conteúdos da escola básica no contexto dessas disciplinas.
Nota 4: Chamamos a atenção para o fato de o programa proposto a seguir ter, principalmente
em seus primeiros períodos, um caráter mais elementar que a maioria dos programas usuais
de licenciatura em Matemática. Por exemplo, a proposição das disciplinas Fundamentos I:
Números, Fundamentos II: Funções e a organização do curso de Cálculo de uma Varíavel em
dois semestres e com início a partir do terceiro período. Essa escolha se deve ao fato de que
o conhecimento de matemática que um ingressante na Universidade traz da escola básica não
é suficiente para amparar satisfatóriamente a reflexão necessária a um futuro professor para
lidar com as questões próprias do ensino e da aprendizagem que envolvem conteúdos dessas
disciplina na escola básica. É necessário que os conteúdos da Matemática do ensino básico
sejam revisitados na graduação do futuro professor, de um ponto de vista mais aprofundado e
com maior precisão matemática, não se resumindo portanto a uma mera revisão dos conteúdos.
Nota 5: Considerando as especificidades da licenciatura e o objetivo de estruturar o curso
direcionado para a formação docente, constatou-se uma certa dificuldade na indicação de
bibliografia para algumas disciplinas. Há ainda no país pouco material com esta ênfase. Nesse
sentido, apresenta-se a chamada para a nova Coleção Formação de Professores de Matemática:
Teoria e Prática Docente, fruto de uma parceria SBM/SBEM. Esta coleção visa oferecer aos
professores uma abordagem que favoreça a aproximação entre os conteúdos dos cursos de
formação de professores e as práticas e problemáticas próprias da sala de aula da educação
básica, com apoio em resulta-dos de pesquisas. Assim, objetiva-se constituir uma coleção de
obras que tenham potencial de impacto efetivo nas práticas de sala de aula.
PRIMEIRO PERÍODO
23
FUNDAMENTOS I: NÚMEROS (60 horas)
EMENTA
Introdução ao pensamento matemático: o método dedutivo, demonstrações de proposições
enunciadas como implicações, demonstrações de proposições não enunciadas como
implicações, demonstração por indução matemática. Definições básicas da teoria de
conjuntos e a sua relação com lógica elementar (a relação de inclusão, o complementar de
um conjunto, união e interseção). Números naturais. comentários sobre os Axiomas de
Peano. Números inteiros: comentários sobre a divisão euclidiana e o Teorema Fundamental
da Aritmética. Números racionais: definição de suas operações e da relação de ordem, sua
densidade, representações decimais de números racionais e recuperação da fração geratriz.
Aproximação e estimativa. Segmentos comensuráveis e não comensuráveis. Números reais
e a reta numérica; ordem, valor absoluto, intervalos; completeza da reta e o princípio dos
intervalos encaixantes, representação decimal dos números reais, densidade dos racionais
nos reais. Operações com números reais. Comentários sobre a representação de números
reais em outras bases e Frações contínuas (as melhores aproximações de números reais por
números racionais). Comentários sobre números complexos.
HABILIDADES:
Espera-se que ao final do curso o aluno seja capaz de:
• Compreender logicamente uma sentença matemática elementar, diferenciando, na
prática, uma implicação direta de sua recíproca bem como uma implicação de uma
equivalência;
• Relacionar uma sentença lógica com seu análogo na linguagem dos conjuntos (ex: Como
se prova uma igualdade de conjuntos?);
• Construir demonstrações simples aplicando diferentes formas de demonstração;
• Explicar a densidade do conjunto  ;
• Reconhecer que no processo das divisões sucessivas nunca ocorre período 9;
• Obter a fração geratriz de uma dízima periódica de período não formado só por 9;
• Explicar comensurabilidade e incomensurabilidade e reconhecer a necessidade de
ampliação do conjunto numérico  ;
• Entender um número irracional como um número real que é incomensurável
• com a unidade;
3
• Apresentar exemplos de números irracionais não usuais (ex.: 2 + 2 , 2 − 5 7 ), sabendo
comprovar sua irracionalidade.
• Explicar a densidade do conjunto  no conjunto  ;
• Aproximar, mediante um erro preestabelecido, um número real (irracional ou racinal) por
números racionais usando a representação decimal;
• Explicar as operações com números reais expressos na forma decimal;
• Operar com números reais, sendo capaz de expressar o resultado na forma decimal com
a idenificação de tantas casas decimais quanto o desejado (ex: considerando os números
reais x = 1, 484... e y = 1, 715..., sobre os quais estão identificadas precisamente as três
primeiras casas de sua expansão decimal, perguta-se: Quantas casas decimais exatas é
possível garantir para a expansão decimal de x + y?).
COMENTÁRIOS:
• Em cursos de Licenciatura em Matemática, a discussão sobre números precisa se ater a
questões que podem não ser tão relevantes para um curso de bacharelado. “Por exemplo,
≠
é uma fração?” Por isso, a proposta de tal disciplina.
3
• Os conteúdos da Escola Básica referentes a números são aqui revisitados, de um ponto de
vista mais aprofundado e com maior precisão matemática, não se resumindo, portanto, a
uma mera revisão dos conteúdos desses conteúdos.
• Noções importantes que devem ser contempladas nesta disciplina são as de estimativa
(ordem de grandeza de um número) e de aproximação, que preparam para a ideia de
limite. Observando que não é só na abordagem de números reais que cabe falar em
aproximação e estimativa, tal conteúdo está proposto ainda dentro do tratamento de
números racionais.
• O termo “comentários” na ementa se refere a tópicos que serão mencionados em caráter
introdutório neste curso, mas discutidos e aprofundados com detalhe em outros cursos.
• A introdução da noção de limite é necessária para a abordagem de números reais e
perpassa todos os desdobrametos do tratamento desses números. Ainda que não se
proponha uma formalização rigorosa do conceito de limite, é objetivo desta disciplina
que a noção de limite seja introduzida e comentada no contexto dos números reais.
BIBLIOGRAFIA BÁSICA:
[1]. Caraça, Bento de Jesus. Conceitos fundamentais da matemática. 5 ed. Lisboa : Gradiva,
2003.
[2]. Carvalho, P. C., Lima, E. L., Morgado, A., Wagner, E., A Matemática do Ensino Médio, vol.
1 – Coleção do Professor de Matemática, SBM, 10ª edição, 2012.
[3]. Carvalho, P. C., Lima, E. L., Morgado, A., Wagner, E., A Matemática do Ensino Médio,
vol. 4 – Enunciados e Soluções dos Exercícios – Coleção do Professor de Matemática,
SBM, 2007.
[4]. Costa, Manuel Amoroso, As Idéias Fundamentais da Matemática. São Paulo, Editora
Grijalbo, 1971.
[5]. Ferreira, J., A construção dos números – Coleção Textos Universitários, SBM.
[6]. Lima, E. L., Números e funções reais – Coleção PROFMAT, SBM
[7]. Martinez, F., Moreira, C., Saldanha, N., Tópicos de Teoria dos Números - Coleção
PROFMAT, SBM.
[8]. Revista do Professor de Matemática, SBM.
[9]. Ripoll, J.B.; Ripoll, C. C.; Silveira, J. F. P., Números racionais, reais e complexos. Porto
Alegre, UFRGS, 2006.
25
GEOMETRIA ANALÍTICA (60 horas)
EMENTA
Coordenadas na reta, no plano e no espaço. Segmentos de reta. Distância entre dois pontos
no plano e no espaço. Equações da reta: como gráfico de função afim, implícita, paramétrica,
simétricas. Distância de um ponto a uma reta. Ângulo entre duas retas. Equação da
circunferência. Vetores no plano e no espaço. Operações com vetores: adição, multiplicação
por escalar e produto interno. Equação vetorial de uma reta. Interpretação geométrica de
sistemas de equações lineares com duas incógnitas. Equações reduzidas da elipse, hipérbole
e parábola. A equação geral do segundo grau no plano. Produto interno, produto vetorial
e produto misto. Equação do plano. Sistemas de duas ou três equações lineares em 3
incógnitas e seu significado geométrico. Distância entre ponto e plano, entre reta e plano e
entre planos Quádricas centrais. A equação geral do segundo grau em 3 variáveis.
[10]. Baldin, Y.Y., Furuya, Y.S., Geometria Analitica para Todos e Atividades com octave e
geogebra, EdUFScar, 2012.
[11]. Boulos, P., Camargo, I., Geometria Analítica, um tratamento vetorial, Ed.Makron,
1986/1987.
[12]. Delgado, J., Frensel, K., Crissaff, Lhaylla, Geometria Analítica – Coleção PROFMAT,
SBM, 2013.
[13]. Lima, E. Matemática e Ensino, SBM, 2007
[14]. Lima, E., com a colaboração de Carvalho, P. C., Coordenadas no Espaço, Coleção do
Professor de Matemática, SBM, 1999.
[15]. Lima, E., Geometria Analítica e Álgebra Linear – Coleção Matemática Universitária,
IMPA, 2008.
GEOMETRIA I (60 horas)
EMENTA
Posições relativas de retas no plano. Ângulos. Paralelismo e perpendicularismo. Comentários
sobre o quinto postulado de Euclides. Triângulos. Congruência e semelhança de triângulos.
Teorema de Tales. Elementos de trigonometria: relações métricas no triângulo retângulo.
Definição das funções trigonométricas. Relações métricas nos triângulos: leis dos senos
e dos cossenos, teorema de Stewart, teoremas de Ceva e Menelaus. Pontos notáveis de
triângulos: baricentro, circuncentro e ortocentro. Círculos, ângulos inscritos. Tangentes e
secantes. Potência de ponto em relação a um círculo. Comprimento de arco. O número π.
Polígonos inscritos. Polígonos regulares. Áreas.
COMENTÁRIOS:
• É importante observar que o livro Geometria Euclidiana Plana, de João Lucas Barbosa,
consta da relação bibliográfica não como uma recomendação de uma abordagem axiomática para a disciplina, mas como uma referência para, por exemplo, o tópico “comentário sobre o quinto postulado de Euclides”.
[1]. Barbosa, J.L., Geometria Euclidiana Plana, SBM, 2004.
[2]. Caminha, A., Tópicos de Matemática elementar – Vol. 2 – Geometria Euclidiana Plana –
Coleção do Professor de Matemática – SBM, 2012.
[3]. Caminha, A., Geometria – Coleção PROFMAT, SBM, 2013.
[4]. Euclides, Os Elementos – Tradução e Introdução de I. Bicudo – Ed. UNESP, 2009.
[5]. Hilbert, D., Cohn-Vossen, S., Geometry and the Imagination, AMS Chelsea Pub., 1999.
[6]. Lima, Elon Lages. – Medida e Forma em Geometria, Coleção Professor de Matemática,
SBM, 2009.
[7]. Moise, E., Elementary Geometry from an Advanced Standpoint, Addison-Wesley, 1990.
[9]. Sá, C.C., Rocha, J., Treze Viagens pelo Mundo da Matemática, Coleção Professor de
Matemática, SBM, 2012.
[10]. Geometria Euclidiana por meio da Resolução de Problemas. Rio de Janeiro: IME/
UFRJ, 1999. Lúcia Tinoco.
27
INTRODUÇÃO À COMPUTAÇÃO (60 horas)
EMENTA
Características básicas da organização de um computador. Algoritmos, programação básica
e estrutura de um programa. Representação de dados. Introdução a softwares básicos:
processadores de texto e planilhas eletrônicas. Introdução à programação, utilizando uma
linguagem à escolha da instituição (como por exemplo Pascal, Matlab, Basic, etc). Solução
de problemas com a utilização de computadores.
[1]. Jensen, K. e Wirth, N., PASCAL SEM– Manual do Usuário e Relatório. Editora CAMPUS,
1988.
[3]. Schmitz, E. A. e Teles, A. S.- PASCAL e Técnicas de Programação. Editora LTC, 3ª edição,
1988.
[4]. Welsh, J. e Elder, J.- Introdução a Linguagem PASCAL , Editora PHB.
Neste período, prevê-se ainda a disciplina Fundamentos Sociológicos da Educação, que
corresponde à formação específica de conteúdo pedagógico, compondo 60 horas.
SEGUNDO PERÍODO
29
FUNDAMENTOS II: FUNÇÕES (60 horas)
EMENTA
A noção intuitiva de função real de variável real. Função afim, função linear, função
quadrática. Gráficos de funções reais de variável real. Caracterizações de funções lineares e
afins por suas propriedades fundamentais e aplicações. Taxa de variação. O conceito geral
de função (pares ordenados) e a identificação de uma função com o seu gráfico. Funções
injetivas, sobrejetivas e bijetivas. Funções monótonas. Funções polinomiais e aplicações.
Números algébricos e transcendentes. Funções exponenciais e logarítmicas. Caracterizações
de funções exponenciais e logarítmicas por suas propriedades fundamentais e aplicações.
Funções trigonométricas e aplicações. Inversibilidade de uma função real de variável real;
restrição de funções; as funções trigonométricas inversas.
COMENTÁRIOS:
• Em cursos de Licenciatura em Matemática, a discussão sobre funções precisa se ater a
questões que podem não ser tão relevantes para um curso de bacharelado. Por exemplo,
“como relacionar seno de um ângulo, o seno de um arco e a função seno (de domínio IR)?”.
Outro questão importante é a retomada da discussão sobre a exponeciação, iniciada em
Fundamentos I, para definir a função exponencial e provar suas propriedades.
• A ideia de variação, atualmente pouco explorada no ensino básico, deve ser aqui
contemplada (por meio das funções afim e exponencial), com o objetivo de preparar o
aluno para a noção de derivada a ser abordada em Cálculo de Uma Variável A.
[1]. Caraça, Bento de Jesus. Conceitos fundamentais da matemática. 5 ed. Lisboa : Gradiva,
2003.
[2]. Carvalho, P. C., Lima, E. L., Morgado, A., Wagner, E., A Matemática do Ensino Médio,
vols. 1 e 4, SBM, 2006.
[3]. Costa, Manuel Amoroso, As Idéias Fundamentais da Matemática. São Paulo, Editora
Grijalbo, 1971.
[4]. Do Carmo, M. P., Morgado, A. C., Wagner, E., com notas históricas de Pitombeira, J.
B., Trigonometria e Números Complexos. Coleção do Professor de Matemática, SBM, 3ª
edição, 2005.
[5]. Lima, E. L., Números e funções reais – Coleção PROFMAT, SBM, 2012.
MATEMÁTICA DISCRETA (60 horas)
EMENTA
Princípios de contagem: princípio aditivo e multiplicativo. Combinações com repetições.
Triângulo de Pascal, identidades diversas envolvendo números binomiais: demonstrações
algébricas e combinatórias. Princípio da inclusão e exclusão. Relações de recorrência,
aplicações a problemas de contagem. Resolução de relações de recorrência lineares de
segunda ordem e coeficientes constantes (equações a diferenças finitas). Probabilidades
discretas. Princípio da casa dos pombos. Introdução à teoria dos grafos. Caminhos eulerianos
e hamiltonianos. Coloração. Planaridade.
[1]. Lima, E. Matemática e Ensino, SBM, 2007.
[2]. Lovász,L., Pelikán, J. , Vesztergombi, K., Matemática Discreta (Discrete Mathematics)
Tradução , SBM, 2010.
[3]. Morgado, A.C.O., Carvalho, J.B.P, Carvalho, P.C.P e Fernandez, P, Análise Combinatória
e Probabilidade, SBM, 2004.
[4]. Morgado, A.C.O., Carvalho, P.C.P., Matemática Discreta, Coleção PROFMAT, SBM,
2013.
Matemática, SBM, 2012.
[7]. Santos, J.; Mello, M.; Murari, I. , Introdução à Análise Combinatória, 4ª edição. Editora
Ciência Moderna Ltda, 2008.
31
GEOMETRIA II (60 horas)
EMENTA
Cônicas: definições e propriedades básicas de elipses, parábolas e hipérboles e suas
propriedades óticas. Transformações geométricas no plano: translações, rotações,
homotetias, inversões. Geometria espacial: paralelismo de retas e planos, perpendicularidade
de retas e planos, o axioma da tridimensionalidade, ângulos. Volumes e áreas de sólidos de
revolução. Polígonos, poliedros, simetrias. Teorema de Euler. Sólidos platônicos. Introdução
à geometrias não-euclidianas.
[1]. Carvalho, Paulo Cezar Pinto. Introdução à Geometria Espacial. 4. ed. Rio de Janeiro:
SBM, 2002.
[2]. Greenberg, Marvin Jay. Euclidean & Non-Euclidean Geometry. 3. ed. WH Freeman &
Co.: 1993.
[3]. Lima, Elon. Isometrias,. SBM, 1996.
TECNOLOGIAS DIGITAIS NO ENSINO DE
MATEMÁTICA (PCC)
(60 horas)
EMENTA
Análise e proposta de utilização de diferentes softwares para o ensino e aprendizagem da
Matemática na escola, como planilha eletrônica, hipertexto. programas educativos, softwares
de geometria dinâmica, acompanhada de prática pedagógica. Análise de sites Web na área
de ensino da Matemática e suas possíveis utilizações no dia a dia da sala de aula.
[1]. Barr, Feigenbaum, The Hanbook of Artificial Inteligence, vol. 1, Heuris Tech Press, 1981.
Stanford, California.
[2]. Dreyfus, Dreyfus, Mind over Machine. The Free Press, 1986.
[3]. Giraldo, V., Caetano, P., Mattos, F., Recursos Computacionais no Ensino da Matemática,
Coleção PROFMAT, SBM, 2012
[4]. Papert , S., Logo: Computadores e Educação, Brasiliense, São Paulo, 1985
[5]. Revista do Professor de Matemática, SBM
[6]. http://www2.mat.ufrgs.br/edumatec/atividades_index.phphttp://www.uff.br/cdme/
Neste período, prevê-se ainda a disciplina Didática Geral, que corresponde à formação
especifica de conteúdo pedagógico, compondo a 60 horas.
33
TERCEIRO PERÍODO
CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL A (60 horas)
EMENTA
Limites. Continuidade. Noção intuitiva de derivada: os problemas da reta tangente e da
velocidade instantânea. O conceito de derivada. Aplicações: velocidade, aceleração,
densidade. Regras de derivação, problemas envolvendo taxas de variação, regra da cadeia,
derivada da função inversa, derivadas das funções elementares (polinômios, funções
exponenciais, logarítmicas, funções trigonométricas, funções hiperbólicas), problemas
sobre taxas relacionadas, aproximações lineares e diferenciais, derivadas de ordem superior.
Aplicações das derivadas: classificação de pontos críticos, Teorema do Valor Médio,
problemas de máximos e mínimos. Polinômio de Taylor e aproximações de funções. Séries
de Taylor. As séries de Taylor das funções elementares. Formas indeterminadas e a Regra de
L’Hôpital. Esboço de gráficos de funções.
[1]. Ávila, G., Cálculo, Livros Técnicos e Científicos, 1983.
[2]. Guidorizzi, H. L.,Um Curso de Cálculo. vol 1. Rio de Janeiro: LTC, 1985.
[3]. Hughes-Hallet, D.; Gleason, A.; Lock, P. F.; Flath, D.; at al. Cálculo e Aplicações. Tradução
Elza Gomide. São Paulo: Editora Edgard Blucher, 1999. Consórcio Harvard.
[5]. Simmons, G. F., Cálculo com Geometria Analítica, Vol 1 e 2, Rio de Janeiro: Mc Graw
Hill, 1987.
[6]. Stewart, J., Cálculo, vol. I, Ed. Thompson, 2001.
[7]. Thomas, G.B. Cálculo, vol. 1, 10 ed, São Paulo: Addison-Wesley, 2002.
35
ARITMÉTICA (60 horas)
EMENTA
Indução Matemática. Números inteiros: divisão euclidiana, máximo divisor comum e seu
algoritmo, equações diofantinas. Teorema Fundamental da Aritmética, Congruência módulo
n; critérios de divisibilidade; o anel dos inteiros módulo n e o corpo dos inteiros módulo p. Os
Teoremas de Fermat, Euler e Wilson. O Teorema Chinês de Restos. Aplicações à Criptografia.
[1]. Coutinho, S.C., Números Inteiros e Criptografia RSA, IMPA e SBM, série de Computação
e Matemática, 2ª edição, 2014.
[2]. Hefez, A., Elementos de Aritmética, Textos Universitários, SBM, 2005.
[3]. Hefez, A., Aritmética, Coleção PROFMAT, SBM, 2014.
[4]. Martinez, F., Moreira, C., Saldanha, N., Tengan, E., Teoria dos Números – um passeio pelo
mundo inteiro com primos e outros números familiares, Projeto Euclides, IMPA, 2010
[5]. Millies, C. P. – Coelho, S. P. C., Números: Uma introdução à Matemática, Editora da USP,
2003.
[7]. Rousseau, C., Saint-Aubin, Y., Matemática a Atualidade, Vol. 1, Coleção PROFMAT,
SBM, 2015
Matemática, SBM, 2012
[9]. Shokranian, S., Uma introdução à teoria dos Números, Ciência Moderna Ltda., 2008.
[10]. Vidigal, A., Avritzer, D., Soares, E.F., Bueno, H.P., Ferreira, M.C., Faria, M.C.,
Fundamentos de Álgebra, UFMG, 2005.
ÁLGEBRA LINEAR (60 horas)
EMENTA
Espaços Vetoriais: Definição, Subespaços. Combinações lineares, subespaços gerados por
um conjunto de vetores. Dependência linear, bases e dimensão. Subespaços. Posto de uma
matriz. Aplicações aos Sistemas de Equações Lineares. Transformações Lineares, Propriedades
das transformações lineares. Núcleo e Imagem. Geometria das transformações lineares
em dimensões 2 e 3. Matrizes das transformações lineares. Escalonamento (eliminação
gaussiana). Determinantes e a regra de Cramer. Áreas, volumes e a matriz de Gram. Espaços
com Produto Interno: Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Comprimento e ângulo. Bases
Ortonormais. Processo de Gram-Schmidt. Coordenadas e mudança de base. Autovalores
e Autovetores: Definição. Diagonalização. Matrizes Simétricas. Diagonalização ortogonal
(teorema espectral). Formas quadráticas. Aplicações de diagonalização na caracterização de
cônicas e quádricas.
[1]. Boldrini, J. L.; Rodrigues, S., Figueiredo, V.L.; Wetzler, H. Álgebra Linear - Editora
Harbra. Ed. 3., 1984
[2]. Hefez, A., Fernandez, C.S., Introdução à Álgebra Linear, Coleção PROFMAT, SBM, 2012
[3]. Lima, E. L., Álgebra Linear, Col. Matemática Universitária, IMPA, 1995.
[4]. Lima, E. Matemática e Ensino, SBM, 2007
[6]. Rousseau, C., Saint-Aubin, Y., Matemática a Atualidade, Vol. 1, Coleção PROFMAT,
SBM, 2015.
37
O ENSINO DE GEOMETRIA (PCC) (60 horas)
REQUISITOS:
Geometria I, Geometria II, Geometria Analítica
EMENTA
O objetivo desta disciplina é evidenciar e discutir a articulação entre os conteúdos que
permeiam os currículos da escola básica e a ciência matemática. Análise de livros didáticos
(com prioridade a livros didáticos aprovados no PNLD) e de outros materiais didáticos e
paradidáticos, bem como de propostas curriculares oficiais relacionadas ao ensino de
geometria, buscando identificar pontos de dificuldades tanto para o ensino como para
a aprendizagem. Preparação, execução de material didático, buscando também incluir
tecnologia. Avaliação de experiências relativas à prática do futuro professor.
COMENTÁRIOS:
• É importante que esta disciplina contemple a discussão sobre a utilização de materiais
didáticos diversos, incluindo recursos tecnológicos digitais.
[1]. Bortolossi, H., Pasquini, R., Simetria – História de um Conceito e suas Implicações no
Contexto Escolar, LF Editorial, 2015
[2]. BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental.Parâmetros
Curriculares Nacionais.Brasília: MEC, 1997.
[3]. BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica.
Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasília: MEC, 1999.
[4]. BRASIL. PCNEM Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio, Secretaria de
Eduação Média e Tecnológica do Ministério da Educação. Brasília: SEMT/MEC, 1999
[5]. BRASIL. PCN+ Ensino Médio: Orientações Educacionais complementares aos Parâmetros
Curriculares Nacionais. Linguagens, códigos e suas tecnologias. Brasília: Ministério da
Educação/Secretaria de Educação Média e Tecnológica, 2002.
[6]. Carvalho, P. C., Lima, E. L., Morgado, A., Wagner, E., Temas e problemas elementares,
Coleção PROFMAT – SBM.
[7]. Carvalho, Paulo Cezar Pinto. Introdução à Geometria Espacial,. 4. ed. Rio de Janeiro:
SBM, 2002.
[8]. Corcho, A., Oliveira, K., Iniciação à Matemática: um curso com problemas e soluções,.
Coleção Olimpíadas de Matemática – SBM.
[9]. Giraldo, V., Rangel, L., Ripoll, C.C., Livro do Professor de Matemática da Escola Básica,
Coleção Matemática para o Ensino, SBM, a aparecer.
[10]. Lima, Elon Lages, Medida e Forma em Geometria, Coleção Professor de Matemática,
SBM.
[11]. Lima, E. L. (editor), Exame de Textos - Análise de Livros de Matemática para o Ensino
Médio,. SBM, 2001.
[12]. Livros didáticos aprovados no PNLD mais recente
[13]. Martínez, S. et al. Geometria, Resources for the preparation of preservice elementary
school teachers in mathematics, Coleção ReFIP, edition of 5000 books for use in
Elementary School Teacher Programs 2012. Disponível em http://refip.cmm.uchile.cl/
[14]. Mega, E., Watanabe, R. (organizadores), Olimpíadas Brasileiras de Matemática, 1a a 8a
- Problemas e resoluções, Coleção Olimpíadas de Matemática, SBM, 2010.
[15]. Moreira, C.G., Motta, E., Tengan, E., Amâncio, L., Saldanha, N., Rodrigues, P.,
Olimpíadas Brasileiras de Matemática, 9a a 16a - Problemas e resoluções,. Coleção
Olimpíadas de Matemática, SBM, 2009.
[16]. Moreira, C.G., Motta, E., Tengan, Saldanha, N., Shine, C.Y., Olimpíadas Brasileiras de
Matemática, 17a a 24a - Problemas e resoluções,. Coleção Olimpíadas de Matemática,
SBM, 2015.
[18]. Wagner, Eduardo, Construções Geométricas, Coleção Professor de Matemática, SBM,
2001.
39
MATEMÁTICA NA ESCOLA (PCC) (60 horas)
EMENTA
É esta a primeira disciplina que vai colocar o aluno frente à escola, agora no lugar de professor.
Assim, como licenciando, experimenta a prática docente, por exemplo, observando a atuação
de professores em exercício, analisando alguns dos conteúdos matemáticos abordados
no Ensino Fundamental e Médio, buscando identificar pontos de dificuldades tanto para
o ensino como para a aprendizagem e analisando o desenvolvimento de tais conteúdos
em livros didáticos, com prioridade aos livros aprovados no PNLD. Nessa perspectiva, os
conteúdos e os assuntos que serão tratados devem contemplar o programa curricular da
educação básica, e devem ser revisados e aprofundados, caso se revele necessária uma
revisão e aprofundamento.
[1]. BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental,.Parâmetros
Curriculares Nacionais,.Brasília, MEC, 1997.
Parâmetros Curriculares Nacionais, Brasília, MEC, 1999.
Eduação Média e Tecnológica do Ministério da Educação, Brasília, SEMT/MEC, 1999
Curriculares Nacionais. Linguagens, códigos e suas tecnologias,. Brasília, Ministério da
[5]. Carvalho, P. C., Lima, E. L., Morgado, A., Wagner, E., Temas e problemas elementares,.
Coleção PROFMAT – SBM, 3ª edição, 2012.
[6]. Corcho, A., Oliveira, K., Iniciação à Matemática: um curso com problemas e soluções,
Coleção Olimpíadas de Matemática – SBM, 2010.
[8]. Lima, E. Matemática e Ensino, SBM, 2007.
[9]. Livros didáticos aprovados no PNLD mais recente.
- Problemas e resoluções, Coleção Olimpíadas de Matemática – SBM, 2010.
[12]. Ripoll, Cydara, Mal ditas frases encontradas em livros didáticos de Matemática para a
Escola Básica, disponível em www.mat.ufrgs.br/~cydara/mal_ditas.pdf
[13]. Textos acadêmicos (artigos, dissertações, teses) que dizem respeito à discussão
própria desta disciplina.
QUARTO PERÍODO
41
CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL B (60 horas)
EMENTA
Integrais indefinidas, propriedades da integral, integração por substituição. Integrais
definidas, interpretações como área, trabalho, etc. Propriedades e cálculo de integrais
definidas. O Teorema Fundamental do Cálculo. A regra da substituição, integração por partes.
A função logaritmo definida como uma integral. Aplicações da integral definida ao cálculo
de áreas e volumes. Técnicas de Integração. Integrais impróprias. Caminhos e equações
paramétricas de curvas, derivadas e integrais de caminhos. Equações diferenciais lineares
de 1ª ordem. Equações diferenciais de 2ª ordem com coeficientes constantes. Modelos e
Aplicações.
COMENTÁRIOS:
• O conteúdo relativo a equações diferenciais é abordado parcialmente nesta disciplina,
ficando uma abordagem mais aprofundada sobre o assunto para uma disciplina optativa.
[3]. Simmons, G. F., Cálculo com Geometria Analítica, Vol 1 e 2, Rio de Janeiro: Mc Graw
Hill, 1987.
[4]. Stewart, J., Cálculo, vol. I, Ed. Thompson, 2001.
[5]. Thomas, G.B.,.Cálculo, vol. 1, 10 ed, São Paulo: Addison-Wesley, 2002.
ÁLGEBRA I (Polinômios e equações
algébricas) (60 horas)
EMENTA
Relações de equivalência. A construção do anel dos números inteiros a partir dos naturais e
do corpo dos números racionais a partir dos inteiros. Resolução de equações: o corpo dos
números complexos; raízes n-ésimas de um número complexo; equações de grau 2, 3 e 4. O
Teorema Fundamental da Álgebra (enunciado e ideias de demonstrações). Exemplos simples
de grupos e suas estruturas: raízes complexas n-ésimas da unidade, grupos de permutações,
grupos de rotações. Máximo divisor comum de polinômios. Polinômios irredutíveis. Fatoração
de polinômios. Decomposição em frações parciais. Comentários sobre construtibilidade
com régua e compasso. Números algébricos e transcendentes.
COMENTÁRIOS:
• Neste curso pode ser estendido o estudo sobre conjuntos numéricos com a discussão da
questão: “existem conjuntos numéricos além de  ?” – pode ser utilizado por exemplo
o apêndice da referência [3] sobre números hipercomplexos, em que em particular é
apresentada a teoria básica dos quatérnios.
[1]. Garcia, A. e Lequain, Y., Elementos de Álgebra, Projeto Euclides, IMPA, 2002.
[2]. Gonçalves, A. Introdução à Álgebra, Projeto Euclides, IMPA, 1979.
[3]. Hefez, A., Villela, M.L.T., Polinômios e equações algébricas – Coleção PROFMAT, SBM,
2012.
[4]. Lang, S. - Algebraic Structures. Addison-Wesley, 1967
[5]. Lima ,E.L., Carvalho ,P.C.P., Wagner,E., Morgado, A.C., A Matemática do Ensino Médio,
Volume 3, Coleção do Professor de Matemática, SBM, 2006.
43
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA A (60 horas)
EMENTA
Estatística como disciplina (objetivos, características, aspectos históricos e filosóficos,
questões éticas). O ciclo da investigação estatística. Variáveis e processos em Estatística.
Coleta de dados: População, Valor N e Censo; Amostra e Base de Amostragem; Viés de
Seleção, Amostragem por Conveniência, Autosseleção; Amostragem por Cotas, Aleatória
e Estratificada; Estatística e Parâmetro; Erro de Amostragem: erros aleatórios e viés
de amostragem; Estudos Clínicos: variáveis de confusão, grupo de tratamento, grupo
de controle. Efeito Placebo, Estudo Cego e Estudo Duplo-Cego; O Método da CapturaRecaptura. Estatística Descritiva: Tabelas de frequência, frequências absolutas e frequências
relativas;Pictogramas, diagramas de barra, diagramas de setores circulares, diagramas de
pontos, diagramas de ramo e folhas, histogramas; Medidas de posição: moda, média e
mediana, quartis e percentis; Medidas de dispersão: amplitude, desvio médio absoluto, desvio
padrão, amplitude interquartílica, coeficiente de variação; Boxplot e o resumo dos cinco
números; Dados discrepantes. Estatística bivariada: Diagramas de dispersão e tabelas de
dupla entrada; Associação, regressão e correlação (associações entre variáveis quantitativas
e qualitativas; regressão linear e não-linear, o Método dos Mínimos Quadrados, o Método
dos Mínimos Desvios Aboslutos, coeficiente de correlação de Pearson, interpolação e
extrapolação).
COMENTÁRIOS:
• Mais do que simplesmente preparar para ensinar o conteúdo de probabilidade e estatística
da escola básica, as disciplinas que estamos sugerindo para a grade curricular ajudarão
o licenciando a ler e propor de forma crítica pesquisas educacionais com fundamento
estatístico. DIto de outra maneira: durante o próprio curso de licenciatura e em sua vida
profissional, o professor de matemática lerá textos defendendo ou criticando técnicas e
propostas educacionais por meio de pesquisas estatísticas qualitativas e quantitativas.
Saber analisar de forma crítica este material é fundamental.
• Alguns podem estranhar a seção de “amostragem”. Talvez com exceção do método de
captura e recpatura, o teor é menos “matemático” e mais metodológico (quais protocolos
seguir para minimizar vieses de amostragem). Os pesquisadores de ensino de estatística,
contudo, defendem que o cidadão tenha contato com esta importante parte do ciclio de
investigação estatística (PPDAC: problema, planejamento, dados, análise e conclusão):
sem saber como os dados foram coletados, qualquer análise posterior pode estar
equivocada.
[1]. Bandyopadhyay, Prasanta S.; Forster, Malcolm R. Philosophy of Statistics. Elsevier,
2011.
[2]. Bluman, Allan. Elementary Statistics: A Step-by-Step Approach. Eighth Edition. McGrawHill, 2012.
[3]. Hoy, Wayne Kolter. Quantitative Research in Education: A Primer. SAGE Publications,
Inc., 2009.
[4]. Jackson, Sherri L. Research Methods and Statistics A Critical Thinking Approach. Third
Edition. Wadsworth, Cengage Learning, 2006.
[5]. Johnson, Robet; Kuby, Patricia. Elementary Statistics. Tenth Edition.Thomson,
Thomson, Brooks/Cole, 2008.
[6]. Merriam, Sharan B., Qualitative Research and Case Study Applications in Education:
Revised and Expanded from Case Study Research in Education,. Jossey-Bass, 1998.
[7]. Moore, David S. A Estatística Básica e Sua Prática. Quinta Edição. Livros Técnicos e
Científicos, 2011.
[8]. Moore, David S.; Notz, William I. Statistics: Concepts and Controversies. Seventh
Edition. W. H. Freeman and Company, 2009.
[9]. Moore, David S.; Notz, William I.; Fligner, Michael A. Statistics in Practice. W. H.
Freeman and Company. 2015.
[10]. Pfenning, Nancy. Elementary Statistics: Looking At The Big Picture. Brookes/Cole,
CENGAGE Learning, 2011.
[11]. Tannenbaum, Peter. Excursions in Modern Mathematics. Eighth Edition. Pearson,
2012.
[12]. Tanner, David E. Using Statistics to Make Educational Decisions. SAGE Publications,
Inc., 2011.
45
O ENSINO DE NÚMEROS E DE ÁLGEBRA
(PCC) (60 horas)
REQUISITOS
Fundamentos de Matemática I, Aritmética, Álgebra I, Álgebra II
EMENTA
(com prioridade a livros didáticos aprovados no PNLD) e de outros materiais didáticos e
paradidáticos, bem como de propostas curriculares oficiais relacionadas ao ensino de números
(com alguma ênfase em números racionais) e álgebra no Ensino Fundamental e Médio,
buscando identificar pontos de dificuldades tanto para o ensino como para a aprendizagem.
Preparação, execução de material didático, buscando também incluir tecnologia. Avaliação
de experiências relativas à prática do futuro professor.
COMENTÁRIOS:
[1]. Belfort, E. e Guimarães, L.C. Álgebra para Professores, Rio de.Janeiro: IM-UFRJ, 2000.
Curriculares Nacionais,.Brasília: MEC, 1997.
Parâmetros Curriculares Nacionais, Brasília: MEC, 1999.
Eduação Média e Tecnológica do Ministério da Educação, Brasília, SEMT/MEC, 1999
Curriculares Nacionais. Linguagens, códigos e suas tecnologias, Brasília, Ministério da
[6]. Caraça, Bento de Jesus, Conceitos Fundamentais da Matemática, Lisboa, Gradiva, 2004.
[7]. Carvalho, P. C., Lima, E. L., Morgado, A., Wagner, E., Temas e problemas elementares,.
Coleção PROFMAT – SBM, 2012.
[8]. Corcho, A., Oliveira, K., Iniciação à Matemática: um curso com problemas e soluções,
Coleção Olimpíadas de Matemática, SBM, 2010.
[9]. Costa, Manuel Amoroso, As Idéias Fundamentais da Matemática, São Paulo, Editora
Grijalbo, 1971.
[10]. Do Carmo, M. P., Morgado, A. C., Wagner, E., com notas históricas de Pitombeira,
J. B., Trigonometria e Números Complexos, Coleção do Professor de Matemática, SBM
Médio,. SBM, 2001.
[13]. Livros didáticos aprovados no PNLD mais recente
[14]. Martínez, S. et al, Números, Coleção ReFIP Resources for the preparation of
preservice elementary school teachers in mathematics, edition of 5000 books for use
in Elementary School Teacher Programs 2012. Disponível em http://refip.cmm.uchile.
cl/
[15]. Martinez, S. et al,. Algebra, Coleção ReFIP Resources for the preparation of
preservice elementary school teachers in mathematics, edition of 5000 books for use
in Elementary School Teacher Programs 2012. Disponível em http://refip.cmm.uchile.
cl/
[17]. Ripoll, Cydara, Mal ditas frases encontradas em livros didáticos de Matemática para a
Escola Básica, disponível em www.mat.ufrgs.br/~cydara/mal_ditas.pdf
[18]. Wu, Hung-Hsi. Understanding Numbers in Elementary School. Providence: American
Mathematical Society, 2011
Neste período, se prevê ainda a disciplina Psicologia da Educação, que corresponde à
formação específica de conteúdo pedagógico, compondo 60 horas.
47
QUINTO PERÍODO
CÁLCULO II (60 horas)
EMENTA
Caminhos e equações paramétricas de curvas, derivadas e integrais de caminhos. Funções
de duas variáveis, gráficos, curvas de nível, limite e continuidade. Funções com três ou mais
variáveis, derivadas parciais, derivadas de ordem maior, planos tangentes e aproximações
lineares, diferenciais, regra da cadeia, derivadas direcionais, vetor gradiente, superfícies de
nível. Pontos críticos: máximos, mínimos e pontos de sela. O teorema da função implícita.
Máximos e mínimos condicionados, multiplicadores de Lagrange. Integrais duplas sobre
retângulos, integração repetida, integrais duplas sobre regiões genéricas do plano, integrais
duplas em coordenadas polares, aplicações das integrais duplas.
[1]. Kaplan, Wilfred. Cálculo Avançado, São Paulo: Edgard Blücher, 2002. vol. 1.
[2]. Stewart, J., Cálculo, vol.1 e 2, 4 ed, Ed. Thompson, 2001.
[3]. Thomas, G.B. Cálculo, vol. 2, 10ed. São Paulo:Addison-Wesley, 2002.
49
ÁLGEBRA II (ANÉIS E GRUPOS) (60 horas)
EMENTA
Anéis. O anel de polinômios A[X] (A anel). Domínios euclidianos: elementos invertíveis,
irredutíveis e fatoração única. A noção de isomorfismo entre estruturas algébricas e
exemplos. Grupos. Grupos finitos. Teorema de Lagrange. Grupos de permutações. Grupos
de matrizes. Extensões algébricas dos racionais; números algébricos e transcendentes;
adjunção de raízes; corpo de decomposição de um polinômio; grau de extensão; números
construtíveis com régua e compasso; os problemas clássicos da Geometria.
[1]. Figueiredo, D., Números irracionais e transcendentes. Rio de Janeiro: SBM, 1985
[2]. Gonçalves,A. - Introdução à Álgebra, Projeto Euclides, IMPA, 1979.
[3]. Garcia, A. e Lequain, Y., Elementos de Álgebra, Projeto Euclides, IMPA, 2002.
[4]. Hefez, A., Villela, M.L.T., Polinômios e equações algébricas – Coleção PROFMAT, SBM.
[5]. Lang, S. - Algebraic Structures. Addison-Wesley, 1967
[6]. Niven, I., Números racionais e irracionais, Coleção Fundamentos da Matemática
Elementar, SBM, 1984.
[7]. Wagner, E., Construções Geométricas, Col. Professor de Matemática, IMPA,1998.
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA B (60 horas)
EMENTA
Aleatoriedade: questões conceituais. Probabilidade: questões conceituais; espaço amostral
e eventos; regras básicas; probabilidade via simulações; eventos equiprováveis e não
equiprováveis; probabilidade condicional; independência; O Teorema de Bayes. Variáveis
aleatórias discretas: função de probabilidade, média e desvio padrão, modelos e aplicações.
Variáveis Aleatórias Contínuas: função densidade de probabilidade, média e desvio padrão,
modelos e aplicações. Distribuições e suas aplicações: Bernoulli, binomial, geométrica,
Poisson, uniforme, normal, leis de potência, chi quadrada. O Teorema do Limite Central.
A distribuição normal como uma aproximação para a binomial. Inferência estatística:
distribuições amostrais para uma população, distribuição amostral da média, proporção e
variância, cálculo do tamanho da amostra; métodos de estimação, estimadores de momentos,
estimadores de máxima verossimilhança, comparação entre estimadores; estimação por
intervalos, intervalos de confiança para média, proporção e variância; distribuição amostral
para duaus populações; testes de hipótese: definições básicas (erro I, erro II, poder do teste,
região crítica, hipótese nula e alternativa), probabilidade de significância: p-valor. Teste chiquadrado. Noções da Teoria de Resposta ao Item em avaliações educacionais.
COMENTÁRIOS:
• Mais do que simplesmente preparar para ensinar o conteúdo de probabilidade e estatística
da escola básica, as disciplinas que estamos sugerindo para a grade curricular ajudarão
o licenciando a ler e propor de forma crítica pesquisas educacionais com fundamento
estatístico. DIto de outra maneira: durante o próprio curso de licenciatura e em sua vida
profissional, o professor de matemática lerá textos defendendo ou criticando técnicas e
propostas educacionais por meio de pesquisas estatísticas qualitativas e quantitativas.
Saber analisar de forma crítica este material é fundamental!
[1]. Bandyopadhyay, Prasanta S.; Forster, Malcolm R. Philosophy of Statistics. Elsevier,
2011.
[2]. Bluman, Allan. Elementary Statistics: A Step-by-Step Approach. Eighth Edition. McGrawHill, 2012.
[3]. Hoy, Wayne Kolter. Quantitative Research in Education: A Primer. SAGE Publications,
Inc., 2009.
[4]. Jackson, Sherri L. Research Methods and Statistics A Critical Thinking Approach. Third
Edition. Wadsworth, Cengage Learning, 2006.
[5]. Johnson, Robet; Kuby, Patricia. Elementary Statistics. Tenth Edition.Thomson,
Thomson, Brooks/Cole, 2008.
51
[6]. Merriam, Sharan B. Qualitative Research and Case Study Applications in Education:
Revised and Expanded from Case Study Research in Education. Jossey-Bass, 1998.
[7]. Moore, David S. A Estatística Básica e Sua Prática. Quinta Edição. Livros Técnicos e
Científicos, 2011.
[8]. Moore, David S.; Notz, William I. Statistics: Concepts and Controversies. Seventh
Edition. W. H. Freeman and Company, 2009.
[9]. Moore, David S.; Notz, William I.; Fligner, Michael A. Statistics in Practice. W. H.
Freeman and Company. 2015.
[10]. Pfenning, Nancy. Elementary Statistics: Looking At The Big Picture. Brookes/Cole,
CENGAGE Learning, 2011.
[11]. Tannenbaum, Peter. Excursions in Modern Mathematics. Eighth Edition. Pearson,
2012.
[12]. Tanner, David E. Using Statistics to Make Educational Decisions. SAGE Publications,
Inc., 2011.
[13]. Volchan, Sérgio B. What is A Random Sequence? The American Mathematical Monthly,
vol. 109, p. 46-63, January, 2002. http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/news/
monthly046-063.pdf.
FÍSICA I (60 horas) – Áreas Afins
EMENTA
Mecânica: Cinemática: velocidade, aceleração (escalar e centrípeta). Estática e vetores.
Dinâmica: força, trabalho, leis de Newton. Energia e princípio da conservação. Gravitação.
Leis de Kepler.
[1]. Halliday. D., Resnick , R. e Walker, J. , Fundamentos de Física, 4a ed – John Wiley &
Sons, 1995.
[2]. Nussenzveig, M., Curso de Física Básica, vol.1 – Mecânica, Editora Edgard Blücher
Ltda, 2005.
53
O ENSINO DE FUNÇÕES (PCC) (60 horas)
REQUISITOS:
Cálculo I, Fundamentos II: Funções, Matemática Discreta
EMENTA
(com prioridade a livros didáticos aprovados no PNLD) e de outros materiais didáticos e paradidáticos, bem como de propostas curriculares oficiais relacionadas ao ensino de funções
no Ensino Fundamental e Médio, buscando identificar pontos de dificuldades tanto para o
ensino como para a aprendizagem. Preparação, execução de material didático, buscando
também incluir tecnologia. Avaliação de experiências relativas à prática do futuro professor.
COMENTÁRIOS:
Curriculares Nacionais.Brasília, MEC, 1997.
Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasília, MEC, 1999
Eduação Média e Tecnológica do Ministério da Educação. Brasília, SEMT/MEC, 1999.
Curriculares Nacionais. Linguagens, códigos e suas tecnologias, Brasília, Ministério da
[5]. Carvalho, P. C., Lima, E. L., Morgado, A., Wagner, E., Temas e problemas elementares,
Coleção PROFMAT – SBM, 2012.
[6]. Corcho, A., Oliveira, K., Iniciação à Matemática: um curso com problemas e soluções.
[7]. Costa, Manuel Amoroso, As Idéias Fundamentais da Matemática, São Paulo, Editora
Grijalbo, 1971.
Médio, SBM, 2001.
[10]. Livros didáticos aprovados no PNLD mais recente.
Neste período, prevê-se ainda a disciplina Filosofia da Educação, que corresponde à formação
específica de conteúdo pedagógico, compondo 60 horas.
55
SEXTO PERÍODO
INTRODUÇÃO À ANÁLISE (60 horas)
EMENTA
Conjuntos finitos e infinitos. Conjuntos enumeráveis e não-enumeráveis. Cardinais. Números
reais: R é um corpo ordenado completo. R é um corpo arquimediano. Comentários sobre
as diferentes construções dos números reais. Seqüências de números reais: monótonas,
limitadas, convergentes. Teoria básica das frações contínuas: as melhores aproximações
de reais por racionais.Teorema de Bolzano–Weierstrass. Critério de Cauchy. Limites e
desigualdades. Operações com limites. Limites infinitos. Séries de números reais. Principais
critérios de convergência. Convergência absoluta e condicional. Área e comprimento do
círculo via sequências (envolvendo aproximações por dentro e por fora por polígonos
regulares) e definição de π. Definições de e via sequências e séries. Prova da irracionalidade
de e.
[1]. Aragona, Jorge, Números Reais, Livraria da Física Editora, São Paulo, 2010
[2]. Ávila, G.,. Análise Matemática para a Licenciatura; 3 ed. São Paulo: Edgard Blucher,
2006.
[4]. Ferreira, Jamil, A construção dos Números, Textos Universitrários, SBM, 2010
[5]. Figueiredo, D. G., Análise I, LTC, 1975.
[6]. Lima, E., Análise Real, vol. 1 – Coleção Matemática Universitária – IMPA, 12ª edição,
2014.
mundo inteiro com primos e outros números familiares, Projeto Euclides, IMPA, 2010
[8]. Ripoll, J.B.; Ripoll, C. C.; Silveira, J. F. P., Números racionais, reais e complexos, Porto
57
MATEMÁTICA FINANCEIRA (30 horas)
EMENTA
Conceitos Fundamentais. Juros Simples e Compostos. Taxas de Juros. Rendas ou Anuidades.
Sistemas de Amortização.
HABILIDADES:
Espera-se que ao final do curso o aluno seja capaz de:
• resolver problemas do cotidiano, envolvendo taxas de juros, descontos, financiamentos
e amortização.
[1]. Puccini, E.C., Matemática Financeira, Universidade Aberta do Brasil, 2007
[2]. Morgado, A. C. ; Wagner, E.; Zani, S. Progressoões e Matemática Financeira. Coleção do
Professor de Matemática, SBM, 2005.
[3]. Lima, E.L., et AL., A Matemática do Ensino Médio, Volume 2. 6a Ed. Rio de Janeiro,
Coleção do Professor de Matemática SBM, 2006.
FÍSICA II (60 horas) – Áreas Afins
EMENTA
Eletricidade e magnetismo. Movimento ondulatório e luz. Calor. Acústica. Comentários
sobre tópicos de física moderna.
[1]. Halliday,D., Resnick , R. e Walker, J., Fundamentos de Física, 4a ed – John Wiley &
Sons, 1995.
[2]. Nussenzveig, M., Curso de Física Básica, vol. 3 – Eletromagnetismo, - Ed. Edgard
Blücher Ltda, 2002.
59
O ENSINO DE PROBABILIDADE E
ESTATÍSTICA (60 horas)
REQUISITOS
Probabilidade e Estatística A e Probabilidade e Estatística B
EMENTA
permeiam os currículos da escola básica e a ciência matemática. Questões de avaliação,
análise de livros didáticos (com prioridade a livros didáticos aprovados no PNLD) e de
outros materiais didáticos e paradidáticos, bem como de propostas curriculares oficiais
relacionadas ao ensino probabilidade e estatística no Ensino Fundamental e Médio,
buscando identificar pontos de dificuldades tanto para o ensino como para a aprendizagem.
Preparação, execução de material didático, buscando também incluir tecnologia. Avaliação
de experiências relativas à prática do futuro professor.
COMENTÁRIOS:
[1]. American Statistical Association, Guidelines for Assessment and Instruction in Statistics
Education (GAISE), Report: A Pre-K–12 Curriculum Framework. 2005.
[2]. American Statistical Association, Guidelines for Assessment and Instruction in Statistics
Education (GAISE), Report: College Report. 2010.
[3]. Araneda, Ana Maria; Chandía, Eugenio; Sorto, María Alejandra Sorto. Datos y Azar
para Futuros Professores de Educación Básica. ReFIP Matemática. Ediciones SM Chile
S.A., 2013.
[4]. Batanero, Carmen; Burrill, Gail; Reading, Chris. (Eds.). Teaching Statistics in School
Mathematics-Challenges for Teaching and Teacher Education, A Joint ICMI/IASE Study:
The 18th ICMI Study. Springer-Verlag, 2011.
[5]. Cazorla, Irene Maurício; Santana, Eurivalda Ribeiro dos Santos. Tratamento da
Informação para O Ensino Fundamental e Médio. Segunda Edição. Itabuna, BA : Via
Litterarum, 2009.
[6]. Cazorla, Irene Maurício; Santana, Eurivalda Ribeiro dos Santos (Org.). Do Tratamento
da Informação ao Letramento Estatístico,. Itabuna, BA : Via Litterarum, 2010.
[7]. Chernoff, Egan J.; Sriraman, Bharath (Eds.). Probabilistic Thinking: Presenting Plural
Perspectives. Springer-Verlag, 2014.
[8]. Coutinho, Cilideda de queiroz Silva (Org.),. Discussões sobre O Ensino e A Aprendizagem
da Probabilidade e da Estatística na Escola Básica, Mercado de Letras, 2013.
[9]. Garfield, Joan, B., Ben-Zvi, Dani (Ed.), Developing Students’ Statistical Reasoning
Connecting Research and Teaching Practice,. Springer-Verlag, 2008.
[10]. Gerlman, Andrew; Nolan, Deborah. Teaching Statistics: A Bag of Tricks. Oxford
University Press, 2002.
[11]. Jones, Graham A. (Ed). Exploring Probability in School: Challenges for Teaching and
Learning. Springer-Verlag: 2005.
[12]. Van de Walle, John A. Matemática no Ensino Fundamental: Formação de Professores e
Aplicação em Sala de Aula. Sexta Edição. Artmed Editosa S.A., 2009.
Neste período, de acordo com as recomendações do CNE/CP 009/200, prevê-se ainda o
desenvolvimento do estágio supervisionado – Ensino da Matemática e estágio supervisionado,
compondo 120 horas.
61
SÉTIMO PERÍODO
ANÁLISE REAL (60 horas)
EMENTA
Noções sobre a topologia da reta.: conjuntos abertos, fechados e compactos. Funções reais
de variável real e exemplos. Funções limitadas, monótonas, periódicas. A noção geométrica
de limites de funções reais. Limites e desigualdades. Operações com limites. Limites
infinitos. Continuidade. Teorema de Weierstrass. Teorema do valor intermediário. Definição
rigorosa das funções exponenciais e sua continuidade. Continuidade uniforme. Derivadas.
Teorema do valor médio. Ordens de magnitude de funções reais (infinitos e infinitésimos).
Crescimento logarítmico, polinomial e exponencial. Derivadas de ordem superior. Fórmulas
de Taylor. Séries de Taylor. Integral de Riemann. Integrabilidade das funções contínuas.
Teorema fundamental do cálculo. Prova da irracionalidade de π.
[1]. Ávila, G., Análise Matemática para a Licenciatura; 3 ed. São Paulo: Edgard Blucher,
2006.
[2]. Figueiredo, D. G., Análise I, LTC, 1975
[3]. Figueiredo, D., Números irracionais e transcendentes. Rio de Janeiro: SBM, 1985
[4]. Lima, E. – Análise Real, vol. 1 – Coleção Matemática Universitária – IMPA
[5]. Niven, I., Números racionais e irracionais, Coleção Fundamentos da Matemática
Elementar, SBM, 1984.
63
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS (60 horas)
EMENTA
Estratégias para resolução de problemas. Análise de casos iniciais e de versões simplificadas
de problemas e formulação de conjecturas. Técnicas gerais: redução ao absurdo, indução,
princípio da casa dos pombos, análise de casos extremais. Problemas de Combinatória.
Problemas de Teoria dos Números. Problemas de Geometria. Problemas de Álgebra.
Problemas combinando diversos assuntos. Estudo de provas de olimpíadas: OBM, OBMEP,
Olimpíada do Cone Sul, Olimpíada Internacional de Matemática, Olimpíada Ibero-americana
de Matemática, Concurso Canguru sem fronteiras.
[1]. Caminha, A.. Convite à Matemática Elementar. UFC/SECITECE, 2009.
[2]. Corcho, A., Oliveira, K., Iniciação à Matemática: um curso com problemas e soluções.
[3]. Fomin, D., Itenberg, I., Genkin, S.. Círculos Matemáticos – A Experiência Russa. IMPA,
2010.
- Problemas e resoluções. Coleção Olimpíadas de Matemática – SBM, 2010.
[5]. Moreira, C.G., Motta, E., Tengan, E., Amâncio, L., Saldanha, N., Rodrigues, P., Olimpíadas
Brasileiras de Matemática, 9a a 16a - Problemas e resoluções. Coleção Olimpíadas de
Matemática – SBM, 2009.
[6]. Moreira, C.G., Motta, E., Tengan, Saldanha, N., Shine, C.Y., Olimpíadas Brasileiras de
Matemática, 17a a 24a - Problemas e resoluções. Coleção Olimpíadas de Matemática –
SBM, 2015.
[7]. E. Lima, P. C. Carvalho, A. Morgado e E. Wagner. Temas e Problemas. SBM. 2003.
[8]. E. Lima, P. C. Carvalho, A. Morgado e E. Wagner. Temas e Problemas Elementares. SBM.
2006.
[9]. C. Moreira e E. Motta (editores). Revista Eureka! (atualmente com 38 números
publicados). SBM.
[10]. Páginas da OBM (www.obm.org.br) e da OBMEP (www.obmep.org.br).
COMBINATÓRIA (60 horas)
EMENTA
Indução e Contagem. Sequências recorrentes lineares ([MMST, apêndice B). Funções
geratrizes [G,W]. Conceitos básicos de grafos ([D, Cap. 1] e [B, Cap. 1]). Teoria extremal de
grafos: Teorema de Turán. ([D, Cap. 7] e [B, Cap. 4]). Introdução à teoria de Ramsey ([B, Cap.
6], [D, Cap. 9], [KM]). Introdução ao método probabilístico. Aplicações de Álgebra Linear à
Combinatória [KM].
COMENTÁRIOS:
• Esta disciplina, tem relação com teoria de números e com grafos, e oferece a oportunidade
de abordar problemas problemas da matemática de ponta, seguindo o espírito Klein.
• Nesta proposta, é entendido que o curso de Combinatória tem início com o estudo
das Sequências recorrentes lineares, que aparecem em diversos problemas de contagem,
e são uma generalização natural das progressões aritméticas e geométricas estudadas
no ensino médio (é portanto um assunto bastante relevante para professores do
ensino médio). Prossegue com um assunto relacionado: uma discussão de técnicas de
contagem mais sofisticadas do que as estudadas em Matemática Discreta, relacionadas
às Funções Geratrizes, que também têm relação direta com séries de Taylor, estudadas
em Cálculo e em Análise. Passa por um estudo de vários aspetos interessantes de Teoria
dos Grafos, tratando, além de tópicos clássicos, de resultados de pesquisa relativamente
recente, mas acessíveis a alunos de graduação. Inclui, em particular, uma introdução
ao Método Probabilístico de Erdös, que permite provar a existência de certos objetos
combinatórios sem construí-los explicitamente, e que tem aplicações em diversas áreas
da Matemática. Conclui com um estudo de belas aplicações de técnicas de Álgebra
Linear em Combinatória.
[1]. Bollobás, B., Modern Graph Theory, 2nd ed,. Springer, 2002.
[2]. Diestel, R., Graph Theory, 3rd. ed,. Springer, 2005. Disponível online em http://www.
math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/GraphTheoryIII.counted.
pdf
[3]. Graham, R., Knuth, D., Patashink, E O.,.Concrete Mathematics, 2nd ed,. AddisonWesley,1994.
[4]. Kohayakawa, Y., Moreira, C. G., Tópicos em Combinatória Contemporânea,. IMPA, 2001.
[5]. Lovász, L., Pelikán, J., Vesztergombi, K.,. Matemática Discreta (Discrete Mathematics),
Tradução , SBM, 2010.
mundo inteiro com primos e outros números familiares, Projeto Euclides, IMPA, 2010.
65
[7]. Morris, R., Oliveira, R.I., Extremal and Probabilistic Combinatorics, Publicações
Matemáticas, IMPA, 2011. Disponível em http://www.impa.br/opencms/pt/
biblioteca/cbm/28CBM/28CBM_04.pdf
[8]. Wilf, H., Generatingfunctionology, Academic Press, 1990.
MONOGRAFIA I (30 horas)
EMENTA
Introdução à metodologia científica. Escolha e delimitação do problema a ser trabalhado e
da metodologia a ser utilizada na monografia de final de curso. Redação de uma proposta
inicial.
[9]. Figueiredo, Nebia Maria Almeida de, Método e Metodologia na Pesquisa Científica, Ed.
Difusão.
[10]. Oliveira, Jorge Leite de, Técnicas de Redação e Pesquisa Científica Conforme Normas
da ABNT, Ed. Vozes 2ª. Ed.
Neste período, prevê-se ainda a disciplina Estrutura da Educação Básica, que corresponde
à formação específica de conteúdo pedagógico, compondo 60 horas e, de acordo com as
recomendações do CNE/CP 009/200, o desenvolvimento do estágio supervisionado – Ensino
da Matemática e estágio supervisionado, compondo 140 horas.
67
OITAVO PERÍODO
CÁLCULO COM VARIÁVEL COMPLEXA
(60 horas)
EMENTA
Números Complexos. Funções Analíticas. Funções elementares. Diferenciação. Integrais.
Fórmula integral de Cauchy. Séries de potências. Resíduos e pólos. O Teorema de Liouville e
o Teorema Fundamental da Álgebra. Transformações por funções elementares.
COMENTÁRIOS:
• Esta discipllina fornece uma continuação natural do estudo de funções reais de
variável real nos cursos de Cálculo e Análise reais. Funções complexas deriváveis são
automaticamente infinitamente deriváveis e analíticas. Com os resultados deste curso,
a teoria das séries de Taylor (mesmo para funções reais) fica mais clara e completa. Fica
completo também o estudo das funções elementares (como logaritmos e exponenciais),
e nele passam a fazer sentido fórmulas muitas vezes apresentadas no ensino médio,
como eiθ = cos (θ ) + i.sen (θ ) . Nessa disciplina é demonstrado o Teorema Fundamental da
Álgebra como consequência do Teorema de Liouville.
• Além disso, esta disciplina oferece conhecimentos sobre funções de uma variável
complexa que têm aplicações em Física, Engenharia e diversas áreas da Matemática,
como Análise, Geometria, Teoria dos Números e Sistemas Dinâmicos. Em particular,
funções deriváveis complexas preservam ângulos em pontos de derivada não nula, o
que as tornam muito relevantes em Cartografia, e podem ser utilizadas para construir
modelos simples de Geometrias não Euclidianas, como o disco de Poincaré.
[1]. Churchill, R.V., Variáveis Complexas e suas aplicações, editora da USP.
[2]. Fernandez, C.S., Bernardes Jr, N.C., Introdução às Funções de uma Variável Complexa,
Textos Universitários – SBM
[3]. Gamelin, T.W., Complex Analysis, Springer, 2000
[4]. Honig, C.H., Introdução às Funções de uma Variável Complexa, Editora Guanabara Dois,
4a. edição, 1981
[5]. Howie, M.H., Complex Analysis, Springer, 2003
[6]. Ripoll, J.B.; Ripoll, C. C.; Silveira, J. F. P., Números racionais, reais e complexos. Porto
[7]. Soares, M., Cálculo em uma Variável Complexa, Coleção Matemática Universitária –
IMPA.
69
TÓPICOS DE HISTÓRIA DA MATEMÁTICA (60 horas)
EMENTA
Origens da Matemática. Tópicos da evolução da Matemática da antiguidade até a época
contemporânea.
[1]. Aaboe, Asger, Episódios da História Antiga da Matemática, Coleção Fundamentos da
Matemática Elementar , SBM, 1984
[2]. Boyer, C., História da Matemática, São Paulo: Edgard Blücher, 1974.
[3]. Eves, H., An Introduction to the History of Mathematics, New York: Holt, Rinehart and
Winston, 1976.
[4]. Ifrah, F., Os números – A História de uma Grande Invenção, São Paulo: Globo, 2001.
[5]. Milles, F.C.P. e Coelho, S.P., Números: uma Introdução à Matemática, São Paulo: Edusp,
1999.
[6]. Roque, Tatiana, História da Matemática – Uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas,
Zahar, 2010
[7]. Roque, T.; Pitombeira, J.B., Tópicos de História da Matemática, Coleção PROFMAT,
SBM, 2012.
MONOGRAFIA II (30 horas)
EMENTA
Levantamento bibliográfico. Levantamento e preparação dos resultados. Avalia-ção. Redação
do projeto.
A bibliografia é específica de cada trabalho e é analisada pelo respectivo orientador de
monografia de final de curso.
Neste período, de acordo com o capítulo II, DA INCLUSÃO DA LIBRAS COMO DISCIPLINA
CURRICULAR, do Decreto nº 5.626, de 22 de dezembro de 2005 que regulamenta a lei no.
10.436, de 24 de abril de 2002, que dispõe sobre a Língua Brasileira de Sinais - Libras, e o art.
18 da Lei no 10.098, de 19 de dezembro de 2000, se prevê ainda a disciplina libras, compondo
30 horas. Além disso, de acordo com as recomendações do CNE/CP 009/2001, se prevê ainda o
desenvolvimento do estágio supervisionado – Ensino da Matemática e estágio supervisionado,
compondo 140 horas.
71
ELENCO DE DISCIPLINAS OPTATIVAS
TÓPICOS SELECIONADOS DE ANÁLISE –
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS (60 horas)
OPTATIVA
EMENTA
Equações Diferenciais Ordinárias de 1a e 2a Ordens: resolução e aplicações. Aplicações de
séries na resolução de equações diferenciais ordinárias. Soluções de Equações Diferenciais
em Séries de Potências. Sistemas de Equações Diferenciais Lineares. Métodos numéricos
para integração de equações diferenciais ordinárias. Séries de Fourier e Equações Diferenciais
Parciais clássicas.
[1]. Boyce, Diprima, Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno,
Ed. Guanabara, 1990.
[2]. Figueiredo, D. G., Equações Diferenciais Aplicadas, Coleção Matemática Universitária
– IMPA
[3]. Figueiredo, D. G., Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais, Projeto Euclides
– IMPA
73
CÁLCULO III (60 horas)
OPTATIVA
EMENTA
Integrais triplas, integração repetida, aplicações das integrais triplas, integrais triplas em
coordenadas cilíndricas e esféricas, centros de massa e Teorema de Pappus. Mudança de
variáveis em integrais múltiplas. Campos vetoriais, campos gradientes. Integrais de linha.
Integrais de linha de campos vetoriais. Teorema de Green. Área e Integrais de superfície.
Teorema da divergência. Teorema de Stokes.
[1]. Kaplan, Wilfred, Cálculo Avançado, São Paulo: Edgard Blücher, 2002. vol. 1.
[2]. Stewart, J., Cálculo, vol.1 e 2, 4 ed, Ed. Thompson, 2001.
[3]. Thomas, G.B., Cálculo, vol. 2, 10ed. São Paulo:Addison-Wesley, 2002.
TÓPICOS SELECIONADOS DE ÁLGEBRA (60 horas)
OPTATIVA
EMENTA
Extensões de corpos e os problemas gregos clássicos de impossibilidade; teoria de Galois.
[1]. Edwards, H.M., Galois Theory, Springer, 1998.
[2]. Garcia, A, Lequain, Y.; Álgebra: Um curso de introdução, Projeto Euclides, Impa, 1998.
[3]. Gonçalves, A., Introdução à Àlgebra, IMPA, Rio de Janeiro, 1977.
[4]. Rotman, J., Galois Theory, (New York, 1998).
[5]. Stewart, I., Galois Theory, Chapman & Hall, 3a.ed., 2004.
75
TÓPICOS SELECIONADOS DE GEOMETRIA –
CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS (30 horas)
OPTATIVA
EMENTA
Os elementos primitivos da Geometria Euclidiana (ponto reta, plano) e os Postulados de
Euclides. Construções básicas: retas paralelas/perpendiculares, mediatriz de um segmento,
bissetriz de um ângulo, divisão de um segmento em partes proporcionais, razão áurea,
triângulos, quadriláteros e polígonos em geral. Baricentro, circuncentro e ortocentro de
um triângulo. Discussão dos casos de congruência/semelhança de triângulos a partir da
construção. Circunferência, inscrição e circunscrição de polígonos. Polígonos construtíveis.
Tratamento geométrico da desigualdade das médias. Transformações geométricas
(translações, reflexões rotações, homotetias), equivalência plana e razão entre áreas de
figuras semelhantes. Reflexões a respeito dos três problemas clássicos da Geometria grega
e a construtibilidade com régua e compasso.
[1]. E. Wagner, Construções geométricas, 6ªed, Rio de Janeiro: SBM, 2009.
[2]. LIMA, E. L. Medida e Forma em Geometria, Rio de Janeiro: SBM, 2009.
[3]. CARVALHO J. P. de. Os três problemas clássicos da matemática grega, Bienal SBM,
2004.
GEOMETRIAS NÃO EUCLIDIANAS (60 horas)
OPTATIVA
EMENTA
(sem dados conferir pag 61 Word)
[4]. (sem dados conferir pag 61 Word).
77
INTRODUÇÃO À GEOMETRIA DIFERENCIAL
(60 horas)
OPTATIVA
EMENTA
Estudo de curvas parametrizadas: curvatura, torção,Teorema Fundamental das Curvas.
Problema isoperimétrico no plano. Superfícies. Formas fundamentais. Elementos de
geometria intrínseca das superfícies.
[1]. Do Carmo, Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies, Coleção Textos Universitários,
SBM, 6ª edição, 2014.
[2]. Alencar, H., Santos, W., Geometria Diferencial das curvas planas, Ed. da UFG, 2002.
[3]. Saldanha, N. Moreira,C.G., A desigualdade isoperimétrica, Matemática Universitária
15, dez/1993, 13-19.
CÁLCULO NUMÉRICO (60 horas)
OPTATIVA
EMENTA
Aritmética de Ponto Flutuante; Análise de erros nas operações aritmética de ponto flutuante.
Zeros de Funções: Método de Bisseção; Método de Falsa Posição; Método Iterativo Linear;
Método de Newton – Raphson; Método da Secante, Método Especial para raízes de equações
polinomiais. Resolução de Sistemas Lineares: Métodos Diretos: Métodos de Eliminação de
Gauss, Fatoração LU; Métodos Iterativos: Método Iterativo de Gauss – Jacobi, Método
Iterativo de Gauss – Seidel. Interpolação Polinomial: Forma de Lagrange para o polinômio
interpolador, Forma de Newton para o polinômio interpolador, Forma de Newton-Gregory
para o polinômio interpolador; Estudo do Erro na interpolação; Interpolação Inversa; Estudo
sobre a escolha do polinômio interpolador; Fenômeno de Runge; Funções Spline (linear) em
interpolação. Integração Numérica. Fórmula de Newton-Cotes; Regra dos Trapézios ; Regra
de Simpson; Estudo dos Erros. Soluções Numéricas de Equações Diferenciais Ordinárias:
Métodos de passo simples: Método de Série de Taylor, Método de Euler , Método de Euler
Modificado, Método de Runge – Kutta de 4.º ordem, Métodos de previsão – correção.
[1]. Burden, Richard L., Faires, J. Douglas, Análise Numérica, 8. ed. São Paulo: Thompson,
2008.
[2]. Ruggiero, Márcia A. Gomes e Lopes, Rocha, Vera Lucia, Cálculo Numérico, Aspectos
Teóricos e Computacionais 2. ed. São Paulo: Makron Books, 2004.
79
TÓPICOS SELECIONADOS DE FISICO-MATEMÁTICA:
INTRODUÇÃO AO ELETROMAGNETISMO (60 horas)
OPTATIVA
EMENTA
Carga e Força Elétrica. Campo e Potencial Elétrico. Lei de Gauss. Energia. Fluxo e Indução
Magnéticos. Força de Lorentz. Leis de Ampére e Biot-Savart. Leis de Faraday e Lenz.
Equações de Maxwell.
[1]. Alonso, M. e Finn, E. J. - Física: Um curso universitário, vol. 2: Campos e Ondas, Ed.
Edgard Blücher, 1999.
[2]. Halliday. D., Resnick , R. e Walker, J. , Fundamentos de Física, 4a ed, John Wiley &
Sons, 1995.
[3]. Tipler, P. A. (traduzido por Horacio Macedo), Física, vol. 2a, Ed. Guanabara Dois, 1986.
[4]. Tipler, P. A. (traduzido por Horacio Macedo), Física - vol. 2b, Ed. Guanabara Dois, 1986.
[5].
SUGESTÕES PARA AACC
81
SUGESTÕES PARA AACC (100 HORAS)
Como Atividades Acadêmicas, Científicas e Culturais (AACC), destacamos as seguintes
atividades, desde que realizadas após o ingresso no curso, devidamente documentadas e, preferencialmente, diversificadas:
• Participação em atividades de extensão universitária (por exemplo, treinamento para
Olimpíadas);
• Cursos de extensão com carga horária definida e que incluam avaliação de freqüência e
desempenho (por exemplo, seminários de resoluções de problemas);
• Disciplinas de outros cursos, de escolha livre do futuro professor, contemplando assim a
chance de o professor ter uma formação que favoreça a interdisciplinaridade.
• Participação em atividades de iniciação científica;
• Atividades de monitoria;
• Atividades desenvolvidas como Bolsa PET, Bolsa EAD, Bolsa PIBID e demais bolsas
acadêmicas;
• Apresentação de trabalho por alunos não bolsistas de IC em jornadas, simpósios,
congressos,
• encontros ou conferências nas áreas: Educação, Educação Matemática, Estatística ou
Matemática;
• Participação efetiva e comprovada em jornadas, simpósios, congressos, encontros ou
conferências nas áreas mencionadas no item anterior.
7. Exemplo de grade, segundo a proposta
FORMAÇÃO CIENTÍFICA
1800 h
PRÁTICA COMO COMPONENTE CURRICULAR
400 h
per
CONTEÚDO MATEMÁTICO
ÁREAS AFINS
ENSINO E HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
Conteúdo
(As disciplinas marcadas com (*) devem completar
pedagógico
também atividades práticas)
Introdução à
Computação
Fund. Sociol.
da Educação
60
Didática
Geral
60
1
Fundamentos
I: Números
60
Geometria
Analítica
60
Geometria I
60
2
Fundamentos
II: Funções
60
Matemática
Discreta
60
Geometria II
60
3
Cálculo de
uma Variável
A
60
Aritmética
60
Álgebra
Linear
60
4
Cálculo de
uma Variável
B
60
Álgebra I
(Polinômios
e equações
algébricas)
60
Probabilidade
e Estatística
A
60
5
Cálculo II
60
Álgebra II
(Anéis e
Grupos)
60
Probabilidade
e Estatística
B
60
6
Introdução à
Análise
60
Matemática
Financiera
30
7
Análise Real
60
Resolução de
Problemas
60
Combinatória
Estrutura da
Educação
Básica
60
Monografia I
8
Cálculo com
Variável
Complexa
60
OPTATIVA
60
Tópicos de
História da
Matemática
Libras
30
Monografia II
60
Física I
60
Física II
60
Tecnologias
Digitais no
Ensino
60
O ensino de
Geometria
60
Psicologia da
Educação
60
O ensino de
Números e
Álgebra
60
Filosofia
da Educação
60
O ensino de
Funções
60
Ensino de
Probabilidade
e Estatistica
60
Matemática
na Escola
PRÁTICA DE
ENSINO
400 h
ATIVIDADES
ACADÊMICAS,
CIENTÍFICAS
C.H.
E CULTURAIS Semestral
(AACC)
200 h
60
30
330
50
350
30
330
30
330
360
Ensino
da Mat.
e Estágio
Supervis
120
30
Ensino
da Mat.
e Estágio
Supervis
140
30
Ensino
da Mat.
e Estágio
Supervis
140
30
360
410
30
410
0
480
Total
450
420
1350
180
180
1800
270
270
300
60
420
60
400
400
200
200
2820
2820
8. Referências
[1]. BALL, DEBORAH. (1988) The subject matter preparation of prospective mathematics
teachers: Challenging the myths. National Center for Research on Teacher Education,
College of Education, Michigan State University, 1988.
[2]. BALL, DEBORAH; BASS, HYMAN. (2003). Toward a Practice-Based Theory of
Mathematical Knowledge for Teaching. In B. Davis, E. Simmt (Ed.), Proceedings of the
2002 Annual Meeting of the Canadian Mathematics Education Study Group, (pp. 3-14).
Edmonton, AB: CMESG/GCEDM.
[3]. BALL, DEBORAH; THAMES, MARK HOOVER; PHELPS, GEOFFREY. (2008). Content
knowledge for teaching: What makes it special? Journal of Teacher Education, 59 (5),
389-407.
[4]. BALL, DEBORAH; BASS, HYMAN. (2009). With an eye on the mathematical horizon:
Knowing mathematics for teaching to learners’ mathematical futures. Paper prepared
based on keynote address at the 43rd Jahrestagung für Didaktik der Mathematik held in
Oldenburg, Germany, March 1 – 4, 2009.
[5]. DAVIS, BRENT; RENERT, MOSHE. (2013). The Math Teachers Know – Profound
Understanding of Emergent Mathematics. Routledge, London.
[6]. EVEN, RUHAMA; BALL, DEBORAH. (Eds.). (2009). The professional education and
development of teachers of mathematics – The 15th ICMI Study. New York, NY: Springer.
[7]. FIORENTINI, DARIO; NACARATO, ADAIR MENDES; FERREIRA, ANA CRISTINA;
LOPES, CELI SPASANDIN; FREITAS, MARIA TERESA; MISKULIN, ROSANA. (2002)
Formação de professores que ensinam Matemática: um balanço de 25 anos da pesquisa
brasileira. Dossiê: Educação Matemática. Educação em Revista, Belo Horizonte, v. 17, n.
36, pp. 137-160.
[8]. FIORENTINI, DARIO; OLIVEIRA, ANA. TERESA. (2013) O Lugar das Matemáticas na
Licenciatura em Matemática: que matemáticas e que práticas formativas? Bolema, Rio
Claro (SP), v. 27, n. 47, p. 917-938, dez.
[9]. FENNEMA, ELIZABETH; FRANKE, MEGAN LOEF. (1992). Teachers’ knowledge and its
impact. In: GROUWS, DOUGLAS. (Ed). (1992). Handbook of Research on Mathematics
Teaching and Learning. (pp. 147-164). New York, NY: Macmillan.
[10]. KLEIN, FELIX. (2009). Matemática Elementar de um Ponto de Vista Superior. Volume I,
Parte I: Aritmética. Lisboa: Sociedade Portuguesa de Matemática.
[11]. MANRIQUE, ANA LUCIA. (2009) Licenciatura em matemática: formação para a docência
x formação específica Educação Matemática Pesquisa, São Paulo, v.11, n.3, pp.515-534.
[12]. MOREIRA, PLÍNIO C.; DAVID, MARIA MANUELA M. SOARES. (2007) A formação
matemática do professor: licenciatura e prática docente. Belo Horizonte: Autêntica.
Coleção Tendências em Educação Matemática. (1ª reimpressão)
[13]. MOREIRA, PLÍNIO C. (2012). 3+1 e suas (In)Variantes: Reflexões sobre as possibilidades
de uma nova estrutura curricular na Licenciatura em Matemática. Bolema, Rio Claro (SP),
v. 26, n. 44, pp. 1137-1150, dez.
[14]. MOREIRA, PLÍNIO C.; FERREIRA, ANA CRISTINA.(2013). O Lugar da Matemática na
Licenciatura em Matemática. Bolema, Rio Claro (SP), v. 27, n. 47, pp. 981-1005, dez.
[15]. NODDINGS, NEL. (1992). Professionalization and Mathematics Teaching In: GROUWS,
D. (Ed). (1992) Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. (pp. 197208). New York, NY: Macmillan.
[16]. SHULMAN, LEE. (1986). Those who understand: Knowledge growth in teaching.
Educational Researcher, Vol.15, pp. 4-14.
[17]. SHULMAN, LEE. (1987) Knowledge and teaching: foundations of the new reform.
Havard Educational Review, 1997, v. 57, pp. 1–22.
[18]. SCHUBRING, GERT. (2014). A Matemática Elementar de um Ponto de Vista Superior:
Felix Klein e a sua Atualidade. In ROQUE, T; GIRALDO, V. (Eds.), O Saber do Professor de
Matemática: Ultrapassando a Dicotomia entre Didática e Conteúdo. Cap.2 – pp. 39–54.
Rio de Janeiro: Ciência Moderna.
[19]. SOCIEDADE BRASILEIRA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA – SBEM. Subsídios para a
Discussão de Propostas para os Cursos de licenciatura em Matemática: Uma contribuição
da Sociedade Brasileira de Educação Matemática. São Paulo, 2003, 43f.
85
ANEXOS
9.1. ANEXO 1
Resumo de diretrizes para a Licenciatura Plena em Matemática de
1939 a 2014.
Em muitas instituições de ensino, as licenciaturas em matemática surgiram de cursos de
bacharelado em matemática acrescidos de um conjunto de disciplinas pedagógicas conforme
estabelecido pelo Decreto- lei 1.190, de 4/4/1939, criando o curso de didática de 1 ano e que,
quando cursado por bacharéis, daria o título de licenciado, permitindo o exercício do magistério
nas redes de ensino. Este é o famoso esquema que ficou conhecido como 3 + 1.
O Parecer CFE 292/62, de 14/11/62, estabeleceu a carga horária dos conteúdos de formação
pedagógica a qual deveria ser acrescida aos que quisessem ir além do bacharelado. Esta duração
deveria ser de, no mínimo, 1/8 do tempo dos respectivos cursos e que, neste momento, eram
escalonados em 8 semestres letivos e seriados.
Em 1971, a Lei Nº 5.692/71, que fixa Diretrizes e Bases para o ensino de 1° e 2º graus, e dá
outras providências, em seu artigo 30 a), cria a licenciatura curta ou de 1º grau como formação
mínima para o exercício do magistério no ensino de 1º. Grau.
O Parecer 895/71, de 9/12/71, examinando a existência da licenciatura curta face à plena
e as respectivas horas de duração, propõe para as primeiras uma duração entre 1200 e 1500
horas e para as segundas uma duração de 2.200 a 2.500 horas de duração. A Resolução CFE
1/72 fixava entre 3 e 7 anos com duração variável de 2200h e 2500h as diferentes licenciaturas,
respeitados 180 dias letivos, estágio e prática de ensino. Tal Resolução se vê reconfirmada pela
Indicação 22/73, de 8/2/73.
As informações sobre legislação contidas nos parágrafos acima foram obtidas no Parecer
CNE/CP 28 de 2001, homologado.
Em 2001, surgem as diretrizes curriculares para a Licenciatura em Matemática por meio
do Parecer CNE/CES 1.302/2001, homologado em 6 de novembro de 2001, que estabelece
Diretrizes Curriculares Nacionais para os Cursos de Matemática, Bacharelado e Licenciatura,
do qual transcrevemos, a seguir, trecho referente à estrutura curricular (o negrito faz parte do
original)
Parecer CNE/CES 1.302/2001
Os conteúdos descritos a seguir, comuns a todos os cursos de Licenciatura, podem ser
distribuídos ao longo do curso de acordo com o currículo proposto pela IES:
• Cálculo Diferencial e Integral
• Álgebra Linear
• Fundamentos de Análise
87
• Fundamentos de Álgebra
• Fundamentos de Geometria
• Geometria Analítica
A parte comum deve ainda incluir:
a) conteúdos matemáticos presentes na educação básica nas áreas de Álgebra,
Geometria e Análise;
b) conteúdos de áreas afins à Matemática, que são fontes originadoras de problemas e
campos de aplicação de suas teorias;
c) conteúdos da Ciência da Educação, da História e Filosofia das Ciências e da
Matemática.
Para a licenciatura serão incluídos, no conjunto dos conteúdos profissionais, os conteúdos
da Educação Básica, consideradas as Diretrizes Curriculares Nacionais para a formação de
professores em nível superior, bem como as Diretrizes Nacionais para a Educação Básica e para
o Ensino Médio.
Desde o início do curso o licenciando deve adquirir familiaridade com o uso do computador
como instrumento de trabalho, incentivando-se sua utilização para o ensino de matemática, em
especial para a formulação e solução de problemas. É importante também a familiarização do
licenciando, ao longo do curso, com outras tecnologias que possam contribuir para o ensino de
Matemática.
As IES poderão ainda organizar os seus currículos de modo a possibilitar ao licenciado uma
formação complementar propiciando uma adequação do núcleo de formação específica a outro
campo de saber que o complemente.
O parecer não determina carga horária mínima, mas é claro em relação ao perfil do licenciado
em matemática, às competências e habilidades a serem desenvolvidas e à estrutura curricular
dos cursos de licenciatura em matemática.
Em 2002, surge a Resolução CNE/CP n. 1, de 18 de fevereiro de 2002, que institui
Diretrizes Curriculares Nacionais para a formação de professores da Educação Básica, em nível
superior, curso de licenciatura, de graduação plena. Esta resolução vem nortear a estrutura das
licenciaturas, ou seja, os projetos pedagógicos, ressaltando que a carga horária e as diretrizes
curriculares específicas serão estabelecidas em resoluções posteriores.
Conforme o esperado, em 2003, é publicada a Resolução CNE/CES 3, de 18 de fevereiro
de 2003, que institui Diretrizes Curriculares Nacionais para a formação de professores da
Educação Básica em nível superior, em curso de licenciatura, de graduação plena para os cursos
de matemática, fundamentada no que está estabelecido no Parecer CNE/CES 1.302/2001,
homologado em 6 de novembro de 2001.
A carga horária mínima das licenciaturas é determinada na Resolução CNE/CP n. 02, de 19 de
fevereiro de 2002 que institui a duração e carga horária dos cursos de licenciatura, de graduação
plena, de formação de professores da Educação Básica em nível superior, fundamentada no
Parecer CNE/CP 28 de 2001, estabelece
A carga horária dos cursos de Formação de Professores de Educação Básica, em nível superior,
em curso de licenciatura, de graduação plena, será efetivada mediante integralização de, no
mínimo, 2800 (duas mil e oitocentas) horas, nas quais, a articulação teoria-prática garanta, nos
termos dos seus projetos pedagógicos, as seguintes dimensões das componentes comuns:
I. 400 (quatrocentas) horas de prática como componente curricular, vivenciadas ao
longo do curso;
II. 400 (quatrocentas) horas de estágio curricular supervisionado a partir do início da
segunda metade do curso;
III. 1800 (mil e oitocentas) horas de aulas para os conteúdos curriculares de natureza
científico cultural;
IV. 200 (duzentas) horas para outras formas de atividades acadêmico-científicoculturais.
Sobre o item IV, consta no parecer:
Deve-se acrescentar que a diversificação dos espaços educacionais, a ampliação do universo
cultural, o trabalho integrado entre diferentes profissionais de áreas e disciplinas, a produção
coletiva de projetos de estudos, elaboração de pesquisas, as oficinas, os seminários, monitorias,
tutorias, eventos, atividades de extensão, o estudo das novas diretrizes do ensino fundamental,
do ensino médio, da educação infantil, da educação de jovens e adultos, dos portadores de
necessidades especiais, das comunidades indígenas, da educação rural e de outras propostas
de apoio curricular proporcionadas pelos governos dos entes federativo, são exigências de um
curso que almeja formar os profissionais do ensino.
Este enriquecimento exigido e justificado por si só e pelas diretrizes do Parecer 9/2001 não
poderá contar com menos de 200 horas. Cabe às instituições, consideradas suas peculiaridades,
enriquecer a carga horária por meio da ampliação das dimensões dos componentes curriculares
constantes da formação docente.
Além disso, há a possibilidade do aproveitamento criterioso de estudos e que pode ser
exemplificado no proposto na Resolução CNE/CP 1/99.
89
9.2. ANEXO 2
Sobre as Atividades acadêmico-científico-culturais
As atividades sugeridas no Parecer CNE/CP 28 de 2001 denominadas acadêmico-científicoculturais enriquecem e diversificam a formação do professor:
Seminários, apresentações, exposições, participação em eventos científicos, estudos de
caso, visitas, ações de caráter científico, técnico, cultural e comunitário, produções coletivas,
monitorias, resolução de situações-problema, projetos de ensino, ensino dirigido, aprendizado
de novas tecnologias de comunicação e ensino, relatórios de pesquisas são modalidades,
entre outras atividades, deste processo formativo. Importante salientar que tais atividades
devem contar com a orientação docente e ser integradas ao projeto pedagógico do curso.
Deve-se acrescentar que a diversificação dos espaços educacionais, a ampliação do universo
cultural, o trabalho integrado entre diferentes profissionais de áreas e disciplinas, a produção
coletiva de projetos de estudos, elaboração de pesquisas, as oficinas, os seminários, monitorias,
tutorias, eventos, atividades de extensão, o estudo das novas diretrizes do ensino fundamental,
do ensino médio, da educação infantil, da educação de jovens e adultos, dos portadores de
necessidades especiais, das comunidades indígenas, da educação rural e de outras propostas
de apoio curricular proporcionadas pelos governos dos entes federativos são exigências de um
curso que almeja formar os profissionais do ensino.”
Comissão Coordenadora e Redatora
Carlos Gustavo Moreira, Cydara Ripoll e Letícia Rangel

bibliografia básica

Transcrição

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