Lista C (Limites e Continuidade) - Laboratório de Matemática Aplicada

Cálculo Infinitesimal I - 2015/01 - Marco Cabral
Graduação em Matemática Aplicada - UFRJ
Monitores: Zair Henrique & Jonathas Ferreira
Lista C - Limites e Continuidade
”Perhaps the only difference between me and other people
was that I’ve always demanded more from the sunset;
more spectacular colors when the sun hit the horizon.
That’s perhaps my only sin.”
- Joe, Nymphomaniac: Vol. I (2013)
1.
Definição 1. Seja f : X → R uma função real. Seja a ∈ X. Diremos que o número real L é o limite
de f (x) quando x tende para a, e escreveremos
lim f (x) = L
x→a
quando ∀ > 0, ∃δ > 0 tal que se 0 < |x − a| < δ então |f (x) − L| < .
Leia e releia a Definição 1.
(a) Prove que o limite da soma de duas funções é igual a soma dos limites.
(b) Mostre que o limite, quando existe, é único.
Dica: Suponha por contradição que não é único, isto é, existem L1 e L2 diferentes que satisfazem
2|
a condição e então tome = |L1 −L
. Uma figura ajuda.
2
1, se x ∈ Q,
2. A função de Dirichlet é definida por f (x) =
0, se x 6∈ Q.
Mostre que para qualquer a ∈ R não existe lim f (x). Dica: Fixado a qualquer, mostre um (em
x→a
função de a) que vai tornar impossı́vel a escolha de δ.
3. Uma função real f : A → R é dita limitada se existe uma constante real M ≥ 0 tal que
|f (x)| ≤ M, ∀x ∈ A.
Sejam f e g duas funções reais. Mostre que se f é limitada e se lim g(x) = 0, então lim f (x)g(x) = 0
x→a
x→a
(mesmo que lim f (x) não exista).
x→a
4. Apresentamos no inı́cio da lista uma das 15 definições de limite possı́veis. De fato, fixado c ∈ R,
lim f (x) = B tem sentido com A ∈ {c, c+ , c− , ∞, −∞} e B ∈ {c, ∞, −∞}. A proposta aqui é adaptar
x→A
para cada caso. Vamos pedir somente dois, mas pense nos outros casos . . .
(a) Defina lim f (x) = ∞ (utilizando δ e N ).
x→c+
(b) Defina lim f (x) = c (utilizando e N ).
x→∞
(c) Prove pela definição que lim
x→∞
5. Sejam os polinômios p(x) =
n
P
k=0
1
= 0.
x
ak xk e q(x) =
m
P
bk xk , onde m, n ∈ N, ai ∈ R para i = 1, ..., n, bi ∈ R
k=0
para i = 1, ..., m e an , bm 6= 0. Calcule (em função de m, n, an , bm ) os limites abaixo:
p(x)
x→∞ q(x)
(a) lim
(b)
lim p(x)
x→−∞ q(x)
(c) lim+
x→0
p(x)
q(x)
6.
1
Definição 2. Seja f : X ∈ R uma função real. Seja a ∈ X. Diremos que f é contı́nua em a se
lim f (x) = f (a)
x→a
ou utilizando definição de limites, se ∀ > 0, ∃δ > 0 (que depende de e de a) ∀x ∈ X que satisfaça
¿|x − a| < δ, temos que |f (x) − f (a)| < .
(a) Prove que se f, g : X → R são contı́nuas no ponto a ∈ X então
i. f + g é contı́nua em a.
ii. existe δ > 0 tal que f é limitada (ver definição nesta lista) numa vizinhança δ de a.
iii. f · g é contı́nua em a.
(b) Seja f uma função contı́nua em x = 0 que satisfaz f (x + y) = f (x) + f (y). Mostre que f é
contı́nua em todo ponto.
(c) Prove o princı́pio da permanência de sinal de uma função contı́nua. Se f : X → R é contı́nua
em a ∈ X e f (a) > 0, então ∃δ > 0 tal que f (x) > 0 se |x − a| < δ. Tradução: se f é positiva
num ponto, é positiva numa vizinhança deste ponto.
7.
Definição 3 (Teorema do Valor Intermediário). Seja f : [a, b] → R contı́nua. Se f (a) < d < f (b),
então existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = d.
(a) Procure uma boa definição do que é uma função ser contı́nua em um intervalo aberto. Procure
também para um intervalo fechado. Atenção na diferença.
(b) Suponha que f é contı́nua em [a, b] e que f (x) ∈ Q para todo x ∈ [a, b]. Mostre que f é constante.
(c) Seja f : [0, 1] → [0, 1] uma função contı́nua. Mostre que f tem um (leia-se pelo menos um) ponto
fixo, ou seja, existe x ∈ [0, 1] tal que f (x) = x. Generalize mostrando que toda função contı́nua
f : [a, b] → [a, b] tem um ponto fixo. Esse é o caso unidimensional do Teorema do ponto fixo de
Brouwer.
A proposta da próxima questão é bem simples: assumindo que a função temperatura é contı́nua,
queremos provar que existem dois pontos na Terra com a mesma temperatura. Porém, a demonstração requer algumas sutilezas, vejamos:
i. Suponha, primeiramente, que a Terra é uma esfera. Chame-a de S, e corte esta esfera com
um plano que passe pelo centro dela. Convença-se de que a intersecção deste plano com a
esfera é um cı́rculo com o mesmo raio da esfera.
ii. Sejam P1 e P2 dois pontos diametralmente opostos do cı́rculo e T : S → R uma função que
diga a temperatura de um ponto S. Defina a função f tal que:
f (P1 ) = T (P1 ) − T (P2 )
para todos os pares P1 , P2 de pontos diametralmente opostos do cı́rculo cortado pelo plano.
iii. Use a hipótese de que T é contı́nua, aplique o TVI e conclua o resultado.
Note que não provamos somente que dois pontos na Terra tem a mesma temperatura, provamos
também que são pontos antipodais (diametralmente opostos). Isso pode ser generalizado para
que toda função contı́nua de uma n-esfera em um n−espaço euclidiano tenha pelo menos um
par de pontos antipodais com o mesmo valor. Esse resultado é conhecido como o teorema de
Borsuk-Ulam.
8.
Definição 4. Uma função f : X → R é chamada de uniformemente contı́nua quando, para cada
> 0, existe δ > 0 tal que se x, y ∈ X, |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < . Em outras palavras, o δ não
depende dos pontos do domı́nio, ele depende somente do dado.
Pense nessa definição. Tente compreende-la pois a mesma não é trivial.
(a) Compare com a definição de continuidade dada na lista. Diga, em suas palavras, a diferença entre
continuidade em todos pontos de X e continuidade uniforme.
2
(b) Mostre que uma função f : R → R definida por f (x) = ax + b, com a, b ∈ R, é uniformemente
contı́nua.
9.
Definição 5. Uma função f : X → R é dita Lipschitz contı́nua se existe uma constante K ≥ 0 tal
que |f (x) − f (y)| ≤ K|x − y| para todo x, y ∈ X.
2x, se x ≥ 0,
(a) Mostre que a função g(x) =
é Lipschitz contı́nua em R. Dica: Valor de K é
3x, se x < 0,
dado pelo pior caso.
(b) Mostre que o módulo do coeficiente angular da reta secante de uma função p
Lipschitz contı́nua é
limitada por uma constante. Utilize isto para mostrar que a função g(x) = |x| não é Lipschitz
contı́nua (esboce o gráfico e veja o que ocorre com a reta secante passando por (0, 0)).
(c) Mostre que toda função Lipschitz contı́nua é uniformemente contı́nua. Dica: Dado tome δ =
/K.
(d) Mostre que se f é derivável em R com |f 0 (x)| ≤ M (limitada) para todo x ∈ R, então f é
Lipschitz contı́nua em R. Na verdade está é a essência de ser Lipschitz contı́nua (é praticamente
uma função derivável).
3