Análise Dinâmica de Estruturas, utilizando o software SAP
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Análise Dinâmica de Estruturas, utilizando o software SAP
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Análise Dinâmica de Estruturas, utilizando o software SAP 2000 Lucas Tunis Martins Veloza Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Departamento de Engenharia Civil da Universidade Federal de São Carlos como parte dos requisitos para a conclusão da graduação em Engenharia Civil Orientador: Prof. Dr. Clemente de Souza São Carlos 2009 Alex Sander DEDICATÓRIA Dedico esta monografia a meus pais Sergio e Ivonir e ao irmão Sergio, que sempre me deram todo apoio que precisei. AGRADECIMENTOS Meus sinceros agradecimentos primeiramente a Deus. Ao Professor Dr. Alex Sander pelo apoio nos trabalhos de Iniciação Científica e neste TCC. A toda minha família. Aos meus amigos. RESUMO Atualmente vê-se o crescente desenvolvimento de novos materiais, técnicas construtivas, novos projetos, e como consequência as estruturas estão cada vez mais esbeltas. Aliado a isso, o uso de equipamentos vibratórios e atividades como: dança e aeróbica são cada vez mais comuns. A atuação desses fatores nos leva a ter uma preocupação com as vibrações e as respostas estruturais geradas sob essas novas solicitações, pois elas podem gerar desconforto aos usuários e até mesmo causar o colapso da estrutura. Atualmente a análise dinâmica já passa a ser indispensável para o cálculo de grandes estruturas, porém não existe um consenso da metodologia dessa análise entre as Normas existentes, e muitas ainda tratam o tema muito superficialmente. O presente trabalho teve como objetivo estudar o que são essas vibrações, quais suas causas e efeitos, como são feitas as modelagens matemáticas e metodologias de cálculo, quais são os critérios de aceitação de conforto e de utilização existentes, e principalmente abordar como são feitas as discretizações da estrutura pelo método dos elementos finitos e como calcular alguns parâmetros dessas vibrações no software SAP 2000. Foram descritos e analisados comparativamente alguns critérios de aceitação de vibrações propostos por pesquisadores estrangeiros e por algumas Normas Internacionais. Alguns exemplos analíticos foram feitos e posteriormente também resolvidos pelo software SAP 2000, houve uma comparação entre os resultados obtidos por cada um dos métodos. No software SAP 2000, foram realizados diversos exemplos comparativos, em alguns casos resolvia-se a mesma estrutura variando apenas o material dela, em outros casos variava-se apenas a seção transversal. Finalmente foi proposta a solução de uma laje maciça de concreto composta por pilares metálicos e por vigas metálicas pelo SAP 2000, para efeitos de comparação, em alguns exemplos variou-se a altura da laje, e em outros casos, a seção das vigas de bordo. Palavras-chave: SAP 2000, Análise Dinâmica, Elementos Finitos. ABSTRACT ABSTRACT Today we see the increasing development of new materials, construction techniques, new projects, and as a result the structures are increasingly slim. Allied to this, the use of vibrating equipment and activities such as dance and aerobics are increasingly common. The role of these factors leads us to be concerned with the vibrations and structural responses generated under these new demands, because they can cause discomfort to users and even cause the collapse of the structure. Currently, the dynamic analysis already becomes necessary for the calculation of large structures, but there is no consensus on the methodology of analysis of existing Standards, and many still treat the subject superficially. This study aimed to investigate what these vibrations, its causes and effects, how it's done mathematical modeling and calculation methods, which are the acceptance criteria of comfort and use of existing, and mostly deal with how it's done discretizations of the structure by finite element method and how to calculate some parameters of these vibrations in SAP 2000. Were described and analyzed in comparison some acceptance criteria proposed by vibrations foreign researchers and some International Standards. Some analytical examples were made and later also solved by SAP software in 2000, there was a comparison between the results obtained by each method. In SAP 2000, were conducted several comparative examples, in some cases resolved to the same structure, varying only the material of it, in other cases varied only the cross section. Finally it was proposed to settle a slab of concrete composed of metallic pillars and girders by SAP 2000 for the purpose of comparison, in some instances varied the height of the slab, and in other cases, the section of the beams on-board. Key-words: SAP 2000, Dynamic Analysis, Finite Element Method. SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO ........................................................................................................................1 1.1 JUSTIFICATIVA ..........................................................................................................................1 1.2 OBJETIVOS ...............................................................................................................................2 1.3 METODOLOGIA ..........................................................................................................................3 2. CONCEITOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................4 2.1 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ..........................................................................................................4 3. ANÁLISE DINÂMICA UTILIZANDO O PROGRAMA SAP2000. ........................................ 43 3.1 APRESENTAÇÃO E DESCRIÇÃO DO PROGRAMA ........................................................................ 43 3.1.1 DESCRIÇÃO DO PROGRAMA .................................................................................................... 44 3.1.2 DESCRIÇÃO DO MODELO ESTRUTURAL .................................................................................... 44 3.1.3 ANÁLISE MODAL .................................................................................................................... 45 3.2 ANÁLISE DINÂMICA ANALÍTICA DE ESTRUTURAS ..................................................................... 47 3.2.1 1º CASO – VIBRAÇÃO SOMENTE COM FORÇA RESTAURADORA .................................................. 51 3.2.2 2º CASO – FORÇA RESTAURADORA LINEAR E FORÇA HARMÔNICA ........................................... 58 3.2.3 3º CASO – VIBRAÇÕES COM FORÇA RESTAURADORA LINEAR E COM AMOR- TECIMENTO VISCOSO...... ....................................................................................................................................... 61 3.2.4 4º CASO – VIBRAÇÕES COM AMORTECIMENTO VISCOSO, FORÇA RESTAURADORA LINEAR E COM A APLICAÇÃO DE UMA CARGA HARMÔNICA. .............................................................................................. 64 3.3 EXEMPLOS ANALÍTICOS RESOLVIDOS PASSO A PASSO NO SAP2000 .................... 68 3.3.1 SOLUÇÃO DO PRIMEIRO EXEMPLO PELO SAP2000 .................................................................. 68 3.3.1.1 COMPARAÇÃO DA ESTRUTURA RESOLVIDA NO SAP2000 COM A RESOLVIDA MANUALMENTE ..... 93 3.3.2 SOLUÇÃO DO SEGUNDO EXEMPLO PELO SAP2000 .................................................................... 93 3.3.2.1 RESPOSTAS DAS SOLUÇÕES DO PROBLEMA E COMPARAÇÃO COM O CASO MANUAL ................ 937 3.3.3 RESOLUÇÃO DO TERCEIRO EXEMPLO UTILIZANDO O SAP2000. .............................................. 103 4. APLICAÇÕES.................................................................................................................... 112 4.1 VIGAS .................................................................................................................................. 112 4.1.1 EXEMPLO DE UMA VIGA ENGASTADA ..................................................................................... 112 4.1.1.1 ANÁLISE DOS GRÁFICOS ....................................................................................................... 112 4.1.2 ESTUDO DE VIGA COM SEÇÃO METÁLICA................................................................................ 118 4.2 COMPARAÇÃO DAS MUDANÇAS DE FREQUÊNCIAS PELA MUDANÇA DOS MATERIAIS .................. 121 4.3 ESTUDO DE VIGA COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE ............................................................. 122 4.3.1 EXEMPLO PRÁTICO ............................................................................................................... 124 4.3.2 COMPARAÇÃO ENTRE RESULTADOS ...................................................................................... 131 4.3.3 EXEMPLO DE UM PAVIMENTO SISTEMA MISTO (AÇO – CONCRETO) ........................................... 131 4.3.3.1 PRIMEIRO CASO ................................................................................................................... 131 4.3.3.2 SEGUNDO CASO – MODIFICANDO A VIGA DE BORDO ............................................................... 131 4.3.3.3 TERCEIRO CASO .................................................................................................................. 131 4.3.3.4 COMPARAÇÃO ENTRE OS TRÊS PRIMEIROS CASOS - SOMENTE VARIAÇÃO DAS VIGAS DE BORDO............................................................................................................................................. 131 4.3.3.5 QUARTO CASO – MODIFICANDO A ALTURA DA LAJE............................................................ . 131 4.3.3.6 QUINTO CASO – MODIFICANDO A ALTURA DA LAJE.......................... ..................................... 131 4.3.3.7 COMPARAÇÃO ENTRE O PRIMEIRO, QUARTO E QUINTO CASOS - VARIAÇÃO DA ALTURA DA LAJE............................................................................................................................................ .. 1314 5. CONCLUSÕES .................................................................................................................. 176 6. REFERÊNCIAS ................................................................................................................. 178 1 1. INTRODUÇÃO As tendências de construção civil que vão à direção de estruturas mais leves e com vãos mais longos, combinadas com uma redução de amortecimento e o aparecimento de novas atividades, como aeróbicas, danças, acabaram por resultar num significante aumento no número de reclamações sobre as vibrações. Este fato fez com que o grau de atenção sobre os efeitos de vibrações estruturais aumentasse sobre as condições de reduzir, prevenir e projetar estruturas. Atividades feitas pelos ocupantes das edificações podem causar vibrações perceptíveis na edificação. Dentre estas atividades estão: caminhar, dançar, pular, aeróbica, participação pública em concertos musicais ou atividades esportivas. O funcionamento de aparelhos mecânicos também são causadores destas vibrações, são eles: máquinas de lavar, sistemas de ventilação e ar condicionado, aquecedores, etc. As análises dinâmicas realizadas nas estruturas atualmente são feitas por meio de softwares específicos que possibilitam o cálculo das freqüências naturais da estrutura, dos modos de vibração, dos deslocamentos e das cargas. Os métodos computacionais, em sua grande parte, baseiam-se na discretização da estrutura por meio do método dos elementos finitos, método que discretiza a estrutura em determinado número finito de nós. Com o método de elementos finitos, os resultados obtidos dependem de quanto maior for o número de nós que se discretiza na estrutura, assim, quanto mais nós maior a precisão. Vê-se que as tendências atuais em considerar os efeitos das vibrações para o dimensionamento das estruturas estão aumentando consideravelmente, vendo que já ocorreram diversos acidentes devido os calculistas desprezarem esses efeitos para o dimensionamento. 1.1 JUSTIFICATIVA Com o crescente desenvolvimento de novos materiais, técnicas construtivas e de projeto, os edifícios estão se tornando cada vez mais esbeltos. Aliado a isso, o uso de equipamentos vibratórios e atividades com danças e aeróbica são cada vez mais comuns 2 nas edificações de uso geral. Estes fatos têm aumentado a preocupação e os problemas com vibrações nas edificações, pois as respostas estruturais sob essas novas solicitações podem causar desconforto aos usuários, e até o colapso da estrutura. Assim a análise das vibrações se tornou indispensável atualmente, constando e sendo exigida pela maioria das normas de projeto estrutural, mostrando assim a importância deste trabalho. A análise das vibrações das estruturas nada mais é do que a análise dinâmica da mesma. Essa análise dinâmica quando realizada por meios de softwares computacionais, como SAP 2000 é muito mais precisa do que a realizada por meio de cálculos manuais, devido ao fato que a modelagem matemática para a resolução destes sistemas envolve uma imensa quantidade de equações diferenciais matriciais (quanto maior a precisão, maior deverá ser o número de pontos discretizados na estrutura, e quanto mais o número de elementos discretizados, maior o número de equações), e somente com o auxílio de sistemas computacionais é possível obter uma resposta satisfatória num curto espaço de tempo, assim então se justifica aqui o uso do software para este trabalho. 1.2 OBJETIVOS O objetivo do trabalho de conclusão de curso é de que se consiga propor exemplos numéricos e práticos de diversas estruturas e efetuar sua análise dinâmica em softwares existentes como SAP 2000, para isso haverá o uso de todo embasamento teórico adquirido anteriormente em um trabalho de iniciação científica sobre análise de vibrações estruturais. Os exemplos numéricos serão realizados em diversas vigas (engastadas, apoiadas, etc.), uma caixa d’água, um pavimento e outras estruturas. Com o auxílio do software, será possível calcular vários dados da estrutura como: seus modos de vibração, freqüências naturais, reações e esforços. Ressalta-se que serão feitos diversos exemplos de vigas com variações dimensionais (modulo de elasticidade, largura, altura, vão, rigidez específica) para que assim possam ser comparados os resultados obtidos no programa (freqüências, modos de vibração) com as características dimensionais das vigas, sendo o objetivo disto realmente conseguir estabelecer um parâmetro de comparação ente as características da viga com seus modos de vibração e freqüências. Também haverá uma comparação entre os resultados que se obter calculando a estrutura manualmente (estruturas com menor número de elementos discretizados) e com o uso do software. O objetivo disto está em observar uma grandeza de comparação entre os erros que se obtém no uso do software e do cálculo manual e também poder detalhar as metodologias adotadas nos programas comerciais para as análises dinâmicas. 3 Com os vários dados já obtidos dos exemplos numéricos, será realizado também para alguns casos a análise de alguns dos critérios de aceitação para vibrações quanto ao conforto dos usuários. 1.3 METODOLOGIA A metodologia deste trabalho consiste em explicar através de exemplos simples de lajes, vigas e outras estruturas de aço e concreto, como são feitas as modelagens destas estruturas em programas computacionais como SAP 2000, como são obtidos os resultados, e o que esses resultados obtidos siguinificam para a estrutura estudada. Primeiramente, na parte das referências bibliográficas deste trabalho, será dada uma explicação geral dos tipos de vibrações existentes, dos tipos de carregamentos dinâmicos existentes, e toda a conceituação de modelagem matemática existente para o cálculo dessas vibrações. Esta explicação geral é fundamental para o entendimento de todo este Trabalho de Conclusão de Curso. Será feito um exemplo de uma estrutura calculada manualmente, com várias discretizações, após isso, essa mesma estrutura será calculada pelo uso do software SAP2000 e os resultados serão comparados para que se possa mostrar as discrepâncias entre os cálculos manuais e cálculos computacionais. Serão realizados diversos exemplos de vigas, lajes e estruturas com diferentes solicitações, diferentes rigidez e diferentes vãos, para que se possa fazer uma comparação da variação das características de freqüências naturais e vibracionais para cada tipo de caso. Lembra-se que para algumas destas estruturas calculadas, será feito uma análise específica de alguns casos dos critérios de aceitação de vibrações nas estruturas, quanto ao conforto humano. Posteriormente, será explanado todas essas comparações numa conclusão final do trabalho. 4 2. CONCEITOS FUNDAMENTAIS Neste capítulo procura-se explicar os conceitos fundamentais da análise dinâmica através de revisões bibliográficas. 2.1 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Segundo o trabalho de iniciação científica de Veloza (2008)*, será dada uma abordagem inicial sobre os tipos de vibrações existentes, sua conceituação como segue abaixo: Cientificamente vibrações são fenômenos mecânicos onde certas características de movimento de um corpo ou ponto material se repetem permanentemente em torno de uma posição de equilíbrio, se a repetição for periódica e uniforme dizemos que são vibrações periódicas, se não, são não – periódicas, o terremoto é um bom exemplo de vibração periódica e a explosão de uma bomba ou batida de um carro na estrutura é um exemplo de vibração não periódica (impacto). As vibrações estão presentes na maioria das máquinas e estruturas e são indesejáveis, pois causam movimentos desnecessários, ruídos, tensões dinâmicas (que dependendo pode até levar uma estrutura à ruptura), desconforto e sensação de insegurança para os usuários e perdas de energia que acompanham essas vibrações. Geralmente criam-se vibrações quando um corpo sai da sua posição de equilíbrio estável, e devido a forças restauradoras, o sistema tende a retornar à sua posição de equilíbrio original, porém esse corpo retorna com certa velocidade, assim este processo fica se repetindo tornando o movimento oscilatório em torno da posição de equilíbrio, até que se atinja uma estabilidade. Podem-se classificar as vibrações nos seguintes tipos: • Vibrações Amortecidas: existe a presença de forças restauradoras, dependendo se o amortecimento for muito grande podem nem ocorrer vibrações; * Trabalho de Iniciação Científica Realizado pelo próprio autor em 2008, Análise dinâmica de estruturas. 5 • Vibrações não Amortecidas: não existe nenhuma força restauradora; • Vibrações forçadas: Ações devido a uma força periódica aplicada ao sistema; Dentre os fatores mais importantes que ocasionam vibrações em estruturas destacam-se: • Ação dinâmica do vento; • Ações sísmicas; • Carregamentos desbalanceados; • Movimentação de veículos; • Movimentos devidos ao caminhar e dançar de público; Os carregamentos dinâmicos são aqueles carregamentos que variam suas aplicações com o tempo, à resposta de uma estrutura sujeita a qualquer carregamento dinâmico é expressa em termos de deslocamento da estrutura em função com o tempo. Abaixo se mostram alguns exemplos de carregamentos dinâmicos, a figura 2.1 (a) mostra o esquema básico de um carregamento muito simples que é o Harmônico Simples como o senóide, já a figura 2.1 (d) mostra o exemplo de um carregamento impulsivo, de impacto, como o caso de uma batida de carro ou explosão de uma bomba como já foi citado anteriormente. 6 Tipos de Carregamento Dinâmicos: Figura 2.1 - Tipos de carregamentos dinâmicos Vibrações não amortecidas Figura 2.2 – Modelo simples para estudo de vibração No modelo acima se vê um corpo de massa m, que pode se movimentar somente na direção u(t), ou seja, era uma estrutura que foi discretizada em apenas um grau de 7 liberdade, essa discretização possibilita torná-lo de um problema que antes não existia métodos para resolver, num problema com solução possível. Supondo-se dois eixos ortogonais x,y passando pelo centro de gravidade da massa m, temos que após o deslocamento (u) da massa (m) a partir do ponto de origem, surge uma força restauradora do sistema que depende proporcionalmente da constante k da mola, sendo: Fm ( x ) = − ku (Equação 2.1) Equação da força restauradora da mola. Tem-se que da Lei de Newton, a força resultante Fr = mu&& , onde u&& é a aceleração do corpo, assim aplicando o equilíbrio na figura abaixo: Figura 2.3 – Diagrama de corpo livre Fr + ku = 0 mu&& + ku = 0 Substitui-se u&& por ∂ 2u , e divide-se toda a equação por m: ∂t 2 ∂ 2u k + u = 0 (Equação 2.2) 2 ∂t m Obtem-se uma equação diferencial de segunda ordem, típica de movimento Harmônico Simples, que tem como solução uma combinação de duas funções linearmente independentes, portanto A1 sen( wn t ) (Equação 2.3) e A2 cos(wn t ) (Equação 2.4) satisfarão a 8 equação, o que pode ser demonstrado por meio de substituição. Tem-se que A1 e A2 são k [Rad/s], m duas constantes de integração, e wn é uma constante que vale: Assim a solução é: u = A1sen(wn t ) + A2 cos(wn t ) (Equação 2.5) Nesta equação tem-se o movimento do corpo em função do tempo, para descobrir a velocidade deriva-se a Equação 2.5 pelo tempo uma vez, e para encontrar a aceleração basta a deriva-se duas vezes em relação ao tempo, e obtem-se: u& = A1wn cos(wnt ) − A2 wn sen(wnt ) (Equação 2.6) 2 2 u&& = − A1wn sen(wn t ) − A2 wn cos(wnt ) (Equação 2.7) Estas equações podem ter significativa importância para a resolução de problemas, pois podem ser aplicadas como condições de contorno para que sejam encontradas as constantes A e B citadas anteriormente. Um exemplo tem-se um corpo com u = u 0 e u& = u& 0 em um instante de tempo t = 0, teremos substituindo esses valores nas expressões 2.6 e 2.7 que: A2 = u 0 (Equação 2.8) A1 = u& 0 k m (Equação 2.9) Assim a expressão do deslocamento em função do tempo ficará: 9 k u& 0 k t + t (Equação 2.10) u = u 0 cos sen k m m m Percebe-se que a equação deduzida é feita para uma mola, que não é o caso especifico que desejamos estudar, porém ela pode ser usada para todos os casos em que existir uma força restauradora. Para isso deve-se achar o valor da constante do outro material a ser estudado, chamada de constante de mola equivalente Ke, que para realizar sua medição, é aplicada uma força na estrutura e medida sua deflexão estática δ . Ke = F δ (Equação 2.11) Assim pode-se calcular a freqüência natural de uma estrutura qualquer: 1 2π Ke m [ Hz ] (Equação 2.12) ou Ke [ Rad/s] (Equação 2.13) m Essa freqüência natural equivale ao número de ciclos que o sistema repetirá quando perturbado em uma unidade de tempo. Com isso concluí-se que a freqüência natural não depende da amplitude do movimento, mas somente da massa e da rigidez do sistema. A expressão 2.5 tem matematicamente uma forma mais simples de ser representada. Tem-se que da trigonometria: u = A1 sen( wn t ) + A2 cos( wn t ) = Asen( wn t + ϕ 0 ) (Equação 2.6), onde ϕ 0 representa um ângulo de fase. 10 Assim, a determinação de A e ϕ 0 , a partir do conhecimento de A1 e A2, pode ser feita com algumas manipulações matemáticas com o auxilio dos Vetores Girantes de Fresnel, assim: A = A12 + A22 (Equação 2.14) A1 A2 (Equação 2.15) ϕ 0 = arctg A partir das derivadas da equação 2.6, obtem-se as equações de velocidade e aceleração: u& = v = wn A cos( wn t + ϕ 0 ) (Equação 2.16) u&& = a = − wn ² Asen( wn t + ϕ 0 ) (Equação 2.17) O intuito da simplificação da equação 2.5 para as outras equações, deve-se ao fato de que com estas Funções Horárias do Espaço,Velocidade e Aceleração podem ser feitas analogias a partir da projeção delas num movimento circular: 11 Figura 2.4 – Analogia com o movimento circular. Vibrações com Força Restauradora e com Força Harmônica A figura 2.5 abaixo, segue o mesmo padrão de discretização da figura 2.2, onde a mudança está na carga aplicada, neste caso agora tem-se uma carga Harmônica aplicada ao corpo de massa m. Figura 2.5 – Modelo de vibração forçada com amortecimento 12 Tem-se neste caso temos uma força senoidal atuando sobre a mola, com freqüência (w) e amplitude (F0). Aplicando-se as condições de equilíbrio temos: m∂ 2 u = − ku + F0 sen(wt ) (Equação 2.18) dividindo por m ∂t 2 F ∂ 2u k + u = 0 sen(wt ) (Equação 2.19) 2 ∂t m m A equação 2.19 é diferencial não-homogênea que tem como resultado a combinação de uma equação homogênea mais uma equação particular. Para se obter a solução particular pega-se up = A3sen(wt) que é aplicado na equação 2.19 para achar o valor de A3, assim: A3 = ( F0 / m) (k / m − w 2 ) (Equação 2.20) A solução homogênea é: k k t + A2 sen u h = A1 cos m t (Equação 2.21) m A solução geral da equação não homogênea fica: k k ( F0 / m) t + A2 sen t + u g = A1 cos sen( wt ) (Equação 2.22) 2 m m (k / m − w ) Com o exemplo de os um corpo com u = u 0 e u& = u& 0 em um instante de tempo t = 0, tem-se ao substituir esses valores na expressão 2.22 que: 13 A1 = A2 = u 0 u&0 k m − ( wF0 / m) k (k / m − w ) m (Equação 2.23) 2 Observa-se que na equação geral u varia em função do tempo com a superposição de dois movimentos harmônicos, um de freqüência w (função de excitação) e outro com a freqüência wn (freqüência natural). Tem-se que geralmente w e wn são diferentes. O movimento se divide em transiente, que é a parte correspondente à solução homogênea, e em permanente, que corresponde à parte da solução particular. Pode-se simplificar a parte permanente do movimento com a seguinte expressão: up = F0 / k sen( wt ) (Equação 2.24) 1 − ( w / wn ) 2 Observando a eq. 2.24, vê-se que o fator F0 / k 1 − ( w / wn ) 2 dá a amplitude do movimento, e assim analisa-se a variação desta amplitude utilizando um gráfico onde no eixo y está a amplificação e no eixo x está a relação entre freqüência de excitação e freqüência natural. Assim é fácil observar que quando a relação entre a freqüência de excitação e a freqüência natural é igual a um, ocorre um fenômeno que deve ser analisado cuidadosamente: ressonância, ou seja, o fator de amplificação da onda tende a infinito, o que pode levar uma estrutura a movimentações excessivas e até a ruína. Abaixo segue um gráfico do fator de amplificação entre as freqüências F0 / k versus a relação 1 − ( w / wn ) 2 F w , levando em consideração que 0 = 1 : wn k 14 6 5 2 l 1/ [1- (w/wn) ] l 4 3 2 1 0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 ( w/wn) Figura 2.6 – Gráfico de vibração com força Hamônica e Restauradora Vibrações com força restauradora linear e de amortecimento viscoso Tem-se que as vibrações são amortecidas em maior ou menor grau pelas forças de atrito: • Atrito seco; • Atrito fluído; • Atrito interno; Um tipo de especial interesse é o atrito fluido (amortecimento viscoso), pois nele o amortecimento é diretamente proporcional à velocidade: FAmortecimento = c. u& (Equação 2.25), onde c é o coeficiente de amortecimento viscoso [N.s/m] Assim tem-sE que nas condições de equilíbrio de um corpo: 15 ∂ 2u ∂u m 2 + ku + c = 0 (Equação 2.26) ∂t ∂t Esta é uma equação diferencial de segunda ordem, onde a solução pode ser duas funções independentes com duas constantes arbitrarias. Assim por teste: u = Ce λt (Equação 2.27), onde C é uma constante. Colocando a equação 2.22 na 2.21, temos: λ2 + c k λ + = 0 (Equação 2.28) m m 2 −c k c λ= ± − (Equação 2.29) 2m m m Está é uma equação de segundo grau, que possui três tipos possíveis de soluções para a equação diferencial homogênea. Para ajudar na definição de qual caso a estrutura se encontra, define-se aqui uma fórmula para um coeficiente de amortecimento crítico: ccr = 2 km = 2mwn (Equação 2.30) Chama-se ζ = c c = de Fator de Amortecimento. ccr 2mwn Assim, sendo c’ for o coeficiente de amortecimento da estrutura: • c’< ccr tem-se um movimento Subamortecido • c’> ccr tem-se um movimento Superamortecido • c’= ccr tem-se um movimento de Amortecimento Crítico 16 1º caso: Superamortecido Tem-se que se na expressão 2.29 ∆ > 0 , temos duas soluções distintas λ1 e λ2 que pertencem ao conjunto dos Reais, onde o movimento fica: u = C1e λ1t + C 2 e λ2t (Equação 2.31) Onde se percebe que se o tempo tende a infinito o deslocamento tende a zero sem que ocorra nenhuma oscilação. O que é representado no gráfico abaixo: Deslocamento Modelo Superamortecido Tempo Figura 2.7 – Gráfico de movimento Superamortecido 2º caso: Subamortecido Neste caso temos que na expressão 2.29 ∆ < 0 , assim temos também duas soluções distintas λ1 e λ2 , porém elas pertencem ao conjunto dos números Complexos, e o movimento fica: u = C1e λ1t + C 2 e λ2t (Equação 2.32) 17 Onde temos um movimento oscilatório, com a amplitude diminuindo de acordo com o passar do tempo. Figura 2.8 – Gráfico de movimento Subamortecido Tem-se que o deslocamento u que é uma função de t, é uma grandeza física real, então todas as operações efetuadas pela equação 2.32 devem resultar num número real. Porem fica difícil imaginar como a equação formada por números complexos resulta no final em uma grandeza real. A explicação a este fato pode ser provada aplicando a Fórmula de Euler da Teoria dos números complexos, onde: e ± iθ = cos θ ± isenθ (Equação 2.33), sendo i a unidade imaginaria igual a 2 −1 . −c k c λ= ± − , substituem-se os termos desta formula pelo fator de 2m m m amortecimento ζ e alterando de um modo que a torne mais fácil para os cálculos: 18 λ = −ζwn ± (1 − ζ 2 )(−1).wn λ = −ζwn ± i (1 − ζ 2 ).wn (Equação 2.34) Chama-se wd = (1 − ζ 2 ) .wn , assim a solução geral homogênea é: ugh = C1e( −ζwn +iwd )t + C2e( −ζwn −iwd )t u gh = e −ζwnt (C1eiwd t + C2e − iwd ) (Equação 2.35) (Equação 2.36) Aplica-se a Fórmula de Euler, na equação 2.36: u gh = e −ζwnt [(C1 + C2 ) cos wd t + i(C1 − C2 ) senwd t ] (Equação 2.37) Prova-se que neste caso C1 e C2 são números complexos conjugados, o que implica que sua soma e suma subtração multiplicada ao termo imaginário i resultará num termo Real, que para a equação será nada mais que uma constante. Assim, substituiremos C1 + C 2 por A1 , e i (C1 − C 2 ) por A2 , o que resultará: u gh = e −ζwnt [A1 cos wd t + A2 senwd t ] (Equação 2.38) Como já foi provado anteriormente, esta equação pode ser simplificada originandose: u gh = e −ζwnt [Asen( wd t + ψ )] (Equação 2.39) Assim, de uma equação que continha termos pertencentes ao conjunto dos Complexos, obteve-se uma equação com resultado pertencente aos Reais. 19 3º caso: Amortecimento Crítico Neste caso tem-se que ∆ = 0 e assim somente uma solução para λ : λ= −c (Equação 2.40) 2m x = (C1 + C2t )e − ( c / 2 m ) t (Equação 2.41) Neste caso é perceptível pela equação 2.41 que o movimento não é oscilatório. Deslocamento Vibração Criticamente amortecida Tempo Figura 2.9 – Gráfico de movimento criticamente amortecido. 20 Vibrações com força restauradora linear, amortecimento viscoso e excitação harmônica A figura 2.10 abaixo segue o mesmo padrão de discretização da figura 2.5, onde a mudança agora está que o corpo de massa m discretizado e com um grau de liberdade é capaz de ter um amortecimento viscoso. Figura 2.10 – Modelo de Vibração O sistema é submetido a uma força P (t ) = F0 sen( wt ) . Tem-se assim, pelo diagrama de corpo livre representado abaixo, que a equação de equilíbrio para o sistema fica: Figura 2.11 – Modelo de equilíbrio do corpo m ∂ 2u ∂u +c + ku = F0 sen ( wt ) 2 ∂t ∂t (Equação 2.42) 21 A solução desta equação diferencial é dada pela soma de uma equação geral mais uma equação particular, faz-se aqui o estudo da equação particular, supondo: u part = B1 senwt + B2 cos wt (Equação 2.43) Onde a substituição da eq. 2.43 na equação 2.42 tem-se um sistema de duas equações e duas incógnitas ( B1 , B2 ), que resolvido dará: B1 = (k − mw²) F (Equação 2.44) [(k − mw²)² + (cw)²] 0 B2 = − cw F (Equação 2.45) [(k − mw²)² + (cw)²] 0 Assim já se tem o resultado da solução particular, porém como foi feito anteriormente, podemos simplificar esta expressão, vendo que elas são equivalentes: u part = B1 senwt + B2 cos wt O valor de U e φ , lembrando que ζ = u part = Usen( wt + φ ) (Equação 2.46) c w é o fator de amortecimento e que r = é ccr wn a relação entre a freqüência aplicada pela força com a freqüência natural da estrutura, serão: U = B1 ² + B2 ² U= U= F0 k F0 (k − mw²) 2 + (cw)² 1 2 (1 − r ²) + (2ζ .r )² (Equação 2.47) (Equação 2.48) 22 tg (φ ) = 2(c / ccr )( w / wn ) 2ζr = 1 − ( w / wn )² 1− r² (Equação 2.49) Uma consideração importante neste caso é o fato de que o termo F0 na expressão k (2.48) representa o deslocamento obtido no sistema caso a força F0 agisse na estrutura estaticamente. É muito importante reparar que a resposta dinâmica final da estrutura não pode ser dada estaticamente, mais sim com o termo Amplificação Dinâmica que é χ = 1 (1 − r ²) 2 + (2ζ .r )² F0 multiplicado por um Fator de k , ou seja, U = F0 χ . Assim se k interpreta esse fator como uma correção da resposta estática da estrutura pelo fato de ela atuar dinamicamente. Abaixo seguem nas figuras 2.12, 2.13, um gráfico de χ versus r, com vários valores de amortecimento, e também outro gráfico do ângulo de fase φ versus a relação entre as freqüências r. Figura 2.12 – Gráfico de amplificação 23 Figura 2.13 – Gráfico do ângulo de fase em função de r. Ainda seguindo algumas citações da iniciação científica de Veloza (2008), mostra-se aqui alguns parâmetros sobre a análise da sensibilidade e conforto devido às vibrações estruturais: Há muitos fatores que influem no nível de percepção e o grau de sensibilidade das pessoas com as vibrações, fato estudado por diversos pesquisadores como: Dossing, Murray, Hanes, Lenzen, Allen, Rainer, Meister, Pernica, Ravara, entre outros. Entre os fatores que influem na percepção humana estão: - Posição do corpo humano: imaginando um sistema tri axial x,y,z como mostra a figura 2 - 2, tem-se que a o eixo x é o eixo que tem a direção e sentido saindo do peito da pessoa, o eixo y define a direção saindo do lado direito para o lado esquerdo da pessoa, e o eixo z é o que define a direção no sentido dos pés a cabeça da pessoa. Segundo o ISO, a extensão de máxima sensibilidade de aceleração para os humanos varia numa taxa de 4 a 8 Hz para vibrações ao longo do eixo z e de 0 a 2 Hz ao longo dos eixos x e y. Tem-se que a análise das vibrações no eixo z é mais importante nos casos de escritórios e locais destinados a trabalho, e os eixos x, y são importantes nas análises de hotéis, residências, locais onde o conforto para o sono deve ser considerado. 24 Figura 2.14 – Eixos do corpo humano - Características da fonte de vibrações : tais como amplitude, freqüência e duração. - Exposição ao tempo: a tolerância humana para as vibrações diminui de um modo característico de acordo com o aumento de sua exposição no tempo. - Nível de expectativa: quanto mais uma pessoa tem expectativa para as vibrações menos chocantes elas se tornam. Ansiedade e desconforto podem ser reduzidos se os ocupantes são conscientes das naturezas das vibrações e estão assegurados que eles não corram nenhum perigo e sua segurança está garantida. - Tipo da atividade envolvida: o nível de percepção varia de acordo com a atividade envolvida tais como: trabalho, dança, jantar ou caminhar. Categorias das repostas humanas Dada uma situação onde se envolve vibrações que causam desconforto aos usuários, há sempre três fatores envolvidos: 25 - Fonte: é onde as forças dinâmicas são geradas; - Caminho: como a energia é transmitida; - Receptor: qual o tanto que as vibrações podem ser toleradas. Segundo (Dossing 1988). Segundo a classificação do ISO 2631-1, as respostas humanas sobre os efeitos das vibrações podem ser classificadas em três categorias: - Quando o limite do conforto é extrapolado (“limite da redução do conforto”); - Quando o limite é extrapolado e influi na eficiência do trabalho (“limite onde há um decréscimo na taxa de trabalho”); - Quando o limite entre a saúde e a segurança é extrapolado (“exposição limite”). Estas categorias são derivadas de vários estudos conduzidos por indústrias de transportes e geralmente refletem um nível mais alto de tolerância do que seria aceitável para o setor de construções. De acordo com a ISO 2631-2: “Experiências tem demonstrado que as queixas a respeito de construções em situações residenciais são comumente notadas nos casos em que as magnitudes das vibrações são de níveis perceptíveis. Em geral, as magnitudes satisfatórias são relatadas com um mínimo nível de comentários adversos pelos ocupantes e não são determinadas por nenhuns outros fatores tais como o reduzido termo de saúde e a eficiência do trabalho. De fato, em praticamente todos casos as magnitudes são tais que não é possível a fadiga ou outros sintomas induzidos por vibrações. ” A categorização segundo Murray (1979) das respostas humanas é tem um projeto mias orientado e mais utilizável. Ele define quatro principais categorias de respostas, entre as quais as duas primeiras são aceitáveis no que o projeto diz respeito: - Vibrações, ainda que presente, não é perceptível pelos ocupantes; - Vibrações perceptíveis mais não irritam os usuários; 26 - Vibrações irritam e atrapalham os usuários; - Vibrações são tão severas que fazem com que os ocupantes fiquem doentes. Tolaymat (1988) desenvolveu um novo procedimento para a avaliação de vibrações em pisos. Baseando - se na menor freqüência natural do sistema e no amortecimento conhecido, o autor classificou os sistemas de pisos em três diferentes categorias: - Sistemas que dissipam energia de vibração rapidamente. As pessoas não percebem a vibração; - Sistemas que não dissipam a energia de vibração rapidamente. As pessoas percebem a vibração, mas a aceitam; - Sistemas que não dissipam a energia de vibração rapidamente. As pessoas percebem a vibração indesejável. Limites de Conforto Humano a Vibrações de Pisos Devido a aplicações de cargas dinâmicas em estruturas geram-se vibrações. As vibrações dependem principalmente da relação entre a freqüência de excitação dominante com a freqüência natural da estrutura. Quando essas freqüências têm valores próximos a amplitude da vibração aumenta, sendo esta regulada apenas pela quantidade de amortecimento presente no sistema. O aumento da amplitude do movimento pode causar desconforto ao usuário ao utilizar a estrutura, quanto problemas estruturais a mesma. Pessoas em escritórios ou residências percebem vibrações em torno de 0,5% da aceleração da gravidade (g), enquanto pessoas que estão praticando atividades físicas aceitam vibrações de até 5%g ou mais segundo (Sommer, 2002). A faixa de vibração entre 2 a 10 Hz, com grandes amplitudes de oscilação pode provocar deformações significativas no corpo humano, como a ressonância de órgãos específicos, aumentando a sensação de desconforto, provocando até lesões, e muitas vezes prejudicando a habilidade de desenvolver atividades mecânicas. 27 Diferentes tipos de critérios para a avaliação de pisos Faz-se aqui uma abordagem geral sobre os principais critérios nacionais e internacionais sobre a limitação das vibrações quanto ao conforto e segurança para a estrutura. Há atualmente diversas normas especificas sobre analise dinâmica, como a escala da CSA (Canadian Standard Association), a norma DIN 4150 Parte 2 (German Institute for Standadization), ISO (International Organization for Standardization), NBC (Natinal Building Code of Canada), BSI (British Standards Institution), etc. Escala Reither – Meister e Reither – Meister modificada Escalas contendo critérios de aceitabilidade humana para vibrações em pisos existem para ambos os casos de vibrações transientes e permanentes. Na década de 30, Reiher e Meister desenvolveram uma escala de resposta humana para o caso de vibrações permanentes baseado nas freqüências e amplitudes de vibração de Murray (1979), onde sujeitou-se um grupo de pessoas em pé a vibrações permanentes, com uma variação de freqüência de 5 a 100 Hz e na amplitude de 0,01 a 10 mm, as reações das pessoas em média foi anotada numa faixa de poucamente perceptível até intolerável. Lenzen (1966) sugeriu que a escala de Reither-Meister é aplicada a somente pisos com amortecimento crítico menor que 5% se a amplitude da escala for aumenta por um fator 10. Segue a escala na figura 2.15 abaixo: 28 Figura 2.15 - Escala de respostas humanas segundo Reiher e Meister Escala CSA A NBC (National Building Code of Canada) segundo (MURRAY et al. (1997)) recomenda um conjunto de acelerações limites para cada ocupação relacionando-os com a aceleração da gravidade g, de acordo com a tabela 2.1: Tabela 2.1 – Acelerações limites para cada tipo de edificações 29 Abaixo segue a figura 2.16 com uma escala de analise dinâmica para estruturas visando o conforto dos usuários baseada no trabalho de Allen e Rainer (1976) que está presente no Anexo G da CAN3-S16.1 (CSA 1984 – Canadian Standards Association) que quantifica o limite de vibrações em pisos de residências, escolas e escritórios devido ao caminhar de pessoas. Os testes para a conclusão da escala foram feitos com dados de testes de 42 tipos diferentes de pisos com vãos grandes combinados com a avaliação subjetiva de pessoas. Figura 2.16 - CSA Standard Critério de Ellingwood e Tallin Ellingwoog e Talin (1984) e Ellingwood et al (1986) apud Moreira (2004) recomendaram um critério para pisos comerciais, onde o limite de tolerância a aceleração é de 0,005g devido a caminhadas. O critério é satisfeito se a deflexão máxima sobre uma força de 2 Kn, aplicada a qualquer lugar do sistema, não exceder a 0,5 mm, isto é, uma rigidez de 4Kn/mm. 30 Critério da ISO Nas especificações da ISO são fornecidas curvas de pico de aceleração em função da freqüência e do tempo de exposição, levando em consideração a posição do corpo. A ISO caracteriza três faixas de conforto humano, como já foi descrito anteriormente, e além disso trás dois gráficos 2.17, 2.18, 2.19 que relacionam os limites de queda de eficiência para vibrações verticais, sendo que elas variam em função do tempo, com os valores em r.m.s. (raiz quadrada média), abaixo seguem os gráficos: Figura 2.17 – Curvas de acelerações verticais limites, segundo a ISO 2631/1 31 Figura 2.18 – Curva base de acelerações verticais perceptíveis pelo ser humano, segundo a ISO 2631/1 Figura 2.19 - Escala ISO (1989) 32 Critério de Murray Murray (1991) investigou mais de 100 construções problemáticas e na maioria dos casos, a primeira freqüência natural dos pisos era entre 5 e 8 Hz. Murray (1979) reviu quatro critérios sistemas de vibrações estruturais e concluiu que eles eram inconsistentes e subestimavam a forte influência do amortecimento da estrutura na aceitabilidade. Um novo critério para vigas de aço ou ainda mistas de aço concreto foi proposto baseado em atividades normais de humanos em escritórios e meios residenciais após 90 testes in-situ. O critério propõe que os pisos, devido às ações das atividades humanas não serão objecionadas pelos ocupantes se a seguinte equação for satisfeita: D > 35 A0 f + 2.5 (Equação 2.50) Onde: D = Amortecimento em percentagem crítica; A0 = Amplitude inicial máxima (in) no piso devido à excitações de quedas; f = freqüência natural do piso. Critério de Allen Allen (1990) diz que baseado no tipo de atividade que estão sendo realizadas, os humanos tem certo limiar de tolerância às vibrações. Pessoas em locais de trabalho ou residências irão tolerar muito baixos níveis de vibrações do que os que estão participando numa atividade . Allen, Rainer e Pernica (1985), desenvolveram uma fórmula para uma mínima freqüência natural que tenha como atividade a dança, onde essa atividade produz aproximadamente um carregamento sinuoso dinâmico. A formula segue abaixo: 33 f0 ≤ f 1 + 1,3αw p a0 g wt (Equação 2.50) Onde: f 0 = freqüência da força (Hz); α = coeficiente do carregamento dinâmico; a0 /g = aceleração limite; wp wt = carregamento equivalente uniformemente distribuído para os participantes; = peso total do piso (incluindo os participantes). Exercícios de pular, tais como os impactos causados em movimentos de aeróbica onde ambos os pés deixam o pavimento, produzem “componentes de carregamentos senoidais que não apenas envolvem a batida da musica, mas também harmônicos das batidas das músicas” (Allen 1990). Allen (1990) desenvolveu uma norma de procedimento especificamente para pavimentos feitos para suportar atividades e exercícios de dança. Uma aceleração limite de 2% g, foi proposta para instalações combinando aeróbica e levantamento de peso no mesmo pavimento, enquanto um limite de 7% g foi sugerido para instalações de apenas atividades aeróbicas. Allen (1990) propôs uma formula de mínima freqüência natural recomendada para pavimentos com atividades aeróbicas baseada na equação 2.50 acima, no qual sugere: f 0 ≤ if 1 + 2α i w p a0 wt g (Equação 2.51) 34 Onde i = número da harmônica freqüência aplicada, os outros termos são iguais aos descritos na eq. 2.51 acima. A eq. 2.51 leva em conta os três primeiros harmônicos do carregamento. Freqüências devido ao carregamento senoidais alem do terceiro harmônico tipicamente são relativamente de magnitudes pequenas se comparadas aos três primeiros harmônicos e podem ser desconsiderados para finalidades práticas. Músicas para exercícios de aeróbica, geralmente ocorrem numa faixa de 150 batidas por minuto, ou 2,5 Hz, a um máximo de 2,75 Hz. O segundo e terceiro harmônicos de freqüências forçadas de 2,5 Hz, são correspondentes a 5 Hz e 7,5 Hz, a qual podem corresponder com a freqüência natural da estrutura, resultando numa situação de ressonância. Em geral, a equação 2.52 resulta numa freqüência natural exigida maior que 9 – 10 Hz. Critério de Bachmann Segundo (Bachmann, 1992) na realização de um projeto é importante estabelecer que as freqüências naturais dominantes na estrutura sejam afastadas das freqüências dos harmônicos críticos da força dinâmica para que se evite a ressonância. Na tabela 2.2 abaixo, seguem as freqüências naturais (Hz) recomendadas para importantes tipos de estruturas submetidas a vibrações induzidas por pessoas: 35 Tabela 2.2 – Freqüências naturais recomendadas. Critério de Hanes Hanes (1970) descreveu que baseado em estudos de conforto de passageiros de automóveis, a freqüência natural dos órgãos internos humanos está entre 5-8 Hz. Portanto, os sistemas dos pisos com freqüências naturais nesta taxa possivelmente irá causar o desconforto para os usuários. Critério de Lenzen Lenzen (1966) pesquisou as respostas humanas para vibrações transientes e descobriu que o amortecimento da estrutura é um fator crítico no controle dessas vibrações. As vibrações transientes não eram problemáticas se havia amortecimento suficiente para reduzir as vibrações para uma soma negligenciavel com cinco ciclos. 36 Critério da Norma Inglesa A mais relevante especificação Inglesa é a BS 6472: Avaliação da exposição humana à edifícios (1 a 80 Hz) (British Standards Institute, 1984), a qual é fortemente ligada a norma internacional ISO 2631: Guia de Avaliação a exposição humana à vibração total do corpo, que é em parte descendente das especificações Alemãs feitas para condições industriais de trabalho. Entretanto ela incorporou revisão substancial num contexto mais amplo, incluindo o trabalho de Irwin (1978). A BS 6472 define uma curva base de aceleração em função da freqüência, com multiplicadores para definir os níveis aceitáveis em relação a função do edifício e a natureza da excitação. A curva base é idêntica em forma as linhas da figura (CSA Standard), com os valores numéricos um décimo em relações as curvas canadenses para oscilações. Entretanto, a medida utilizada na BS 6472 é o valor quadrático médio (r.m.s.) da aceleração, e não o pico médio. Para respostas dominadas por componentes simples de excitação harmônica, o valor do r.m.s. vale 1 / 2 vezes o pico. Moreira (2004). Critério Europeu Os critérios europeus aceitáveis são normalmente mais rigorosos que os critérios norte americanos, devido normalmente ao uso tradicional de pisos de concreto com pequenos vãos. A princípio Bachmann e Ammann (1987) recomendaram que o sistema de piso composto de laje de concreto e vigas metálicas tenham uma freqüência natural menor que 9 Hz. A maioria dos pisos citados acima em edifícios comerciais da América do Norte estão com uma freqüência entre 5 – 9 Hz, mesmo assim são aceitáveis pelos ocupantes. Moreira (2004). Isto prova que realmente a Norma Européia é mais rigorosa quanto aos fenômenos das vibrações. Critério da Norma Brasileira - NBR 8800 No Brasil, para a avaliação de vibrações em pisos, tem-se como guia a NBR 8800 – Anexo L (2008). A qual segue conceitos do ISO 2631/1 e 2. 37 A Norma indica que o uso de estruturas de pisos com vãos grandes e de amortecimento reduzido pode resultar em vibrações que causem desconforto durante as atividades humanas normais ou causar prejuízo ao funcionamento de equipamentos. Para esse estado-limite de serviço, devem-se utilizar as combinações freqüentes de serviço, dadas por: m n i =1 j =2 Fser = ∑ FGi ,k + ψ 1 FQ1,k + ∑ (ψ 2 j FQj ,k ) (Equação 2.53) Ela cita também que em nenhum momento a freqüência natural da estrutura deve ser inferior a 3Hz. Avaliação precisa O problema de vibração em pisos deve ser levada em conta no projeto da estrutura por meio de análise dinâmica, levando-se em conta pelo menos: - As características e a natureza das excitações dinâmicas, como, por exemplo, as decorrentes do caminhar de pessoas e atividades rítmicas; - Os critérios de aceitação para conforto humano em função do uso e ocupação das áreas do piso; - A freqüência natural da estrutura do piso; - A razão de amortecimento modal; - Os pesos efetivos do piso. Daí então a Norma cita uma lista de referencia bibliográfica para que se faça uma avaliação precisa, ou seja, a Norma não define nenhum critério único para que seja feita esta análise. 38 Avaliação Simplificada Humana para atividades Normais Aqui a Norma indica que esta avaliação simplificada é somente para atividades humanas normais, e que este tipo de avaliação fica a critério do projetista, e pode não ser a solução correta. - Nos pisos em que as pessoas caminham regularmente, como os de escritórios, residências, a freqüência natural não deve ser inferior a 4 Hz. Essa condição fica satisfeita se o deslocamento vertical total do piso causado pelas ações permanentes, excluindo a parcela dependente do tempo, e pelas ações variáveis, calculado considerando-se as vigas como bi apoiadas e usando as combinações freqüentes de serviço não superar 20 mm. - Nos pisos em que pessoas dançam ou saltam de forma rítmica, como academias de ginástica, salões de dança, ginásios e estádios de esportes, a menor freqüência natural não pode ser inferior a 6 Hz, devendo ser aumentada em 8 Hz se a atividade for muito repetitiva, como ginástica aeróbica. Essas condições ficam satisfeitas, respectivamente, se o deslocamento vertical total do piso causado pelas ações permanentes, excluindo a parcela dependente do tempo, e pelas ações variáveis, calculado considerando-se as vigas como bi apoiadas e usando as combinações freqüentes de serviço não superar 9 mm e 5 mm. Como se vê a Norma brasileira ainda está muito imprecisa sobre as questões de vibrações, fato que deve ter posterior aprofundamento. - NBR 6123 Segundo um critério da NBR 6123, a aceleração máxima no topo de um edifício não deve ultrapassar a amplitude máxima de 0,1m/s² para que se atendam as exigências de conforto aos usuários. Conhecidos a freqüência natural fj e o deslocamento máximo uj no topo da edificação sob a ação do vento determinada dinamicamente, a aceleração neste nível pode ser obtida analiticamente por: a j = 4π ² f j2 u j (Equação 2.54) 39 RAVARA (1969) recomenda um critério simplificado de conforto para edificações de até 20 pavimentos limitando as amplitudes de amplificações a um milésimo da altura H: δ máx = 0,001H (Equação 2.55) Para edifícios de altura superior, esta limitação passa a ser insuficiente, sendo necessário simultaneamente considerar a amplitude e a freqüência das vibrações, conforme a figura abaixo: Figura 2.20 - Níveis de vibração e graus de conforto CHANG (1976), fonte BLESSMANN (1998). 40 Análise por outras revisões bibliográficas Segundo Ribeiro (2007), o autor faz análises de torres metálicas de diversas alturas, de seções transversais quadradas, em diversos casos de solicitações de ações dinâmicas e estáticas, sendo algumas dessas ações dinâmicas realizadas pelo vento e outras realizadas pela ruptura de algum dos cabos de sustentação da estrutura. As análises das ações dinâmicas do vento são bastante interessantes, sendo que em um caso ele calcula essas ações pelo método tradicional de cálculo e no outro pelo método estatístico de Monte Carlo, com base em dados práticos sobre o vento. Os principais objetivos do trabalho são provar que as ações dinâmicas nestas torres metálicas são de extrema importância, vendo que já houve vários casos de queda destas estruturas, e outro objetivo é poder comparar os resultados entre os resultados das ações dinâmicas quando obtidas pelo programa SAP 2000, e pelo programa de Menin (2002). As justificativas do projeto estão em estabelecer que cada vez mais essas torres metálicas estão sendo utilizadas como elementos de radiodifusão, que é um mercado que vem crescendo muito ultimamente, as estruturas estão sendo cada vez mais esbeltas, e os projetistas não estão levando em conta as ações dinâmicas do vento para o dimensionamento delas. Assim, por base deste trabalho pretende-se explorar para a realização do TCC as modelagens matemáticas utilizadas para o cálculo destas estruturas, a entrada de dados de ações do vento no programa SAP 2000, a forma de discretização da estrutura e a análise dos dados obtidos pelo uso do programa SAP 2000. No livro de Filho (2005), há uma breve descrição de como se realizam as modelagens matemáticas pelo método de Elementos Finitos para o cálculo destes efeitos dinâmicos nas estruturas, além disso o livro possui bastante exemplos numéricos de fácil compreensão e forte presença teórica. O livro dá também noções de estruturas discretizadas com diversos graus de liberdade com o uso de autovalores e autovetores. Para o TCC, este trabalho dará grandes exemplos e descrições sobre a metodologia de cálculo usado nos softwares de análise dinâmica, vendo que a maioria dos programas computacionais utilizados para o cálculo de ações dinâmicas utilizam este método de elementos finitos, assim, pode-se ter uma melhor compreensão do funcionamento do programa, além disso, ressalta-se o uso de um exemplo de cálculo manual de uma estrutura realizado no trabalho de Iniciação Científica para a comparação entre resultados obtidos por 41 meio do cálculo manual e cálculo por meio do programa SAP 2000, sendo que este exemplo da Iniciação Científica tomou como base os fundamentos deste livro. Mostra-se abaixo algumas das deduções de fórmulas baseadas no livro de Filho (2005) a parte que diz a respeito de auto valores e auto vetores será estudada nos capítulos iniciais desta monografia, devido sua maior importância para o trabalho: Conceito de Energia num Movimento Harmônico Simples Tem-se num MHs uma certa quantidade de Energia Cinética e uma certa quantidade de Energia Potencial Elástica, e a soma destas duas parcelas dá a Energia Mecânica do sistema, que tem a propriedade de ser sempre constante independente da posição do corpo ou do tempo. Ec = mv 2 2 E elástica = E mecânica = Ku 2 Kx ² = (Equação 2.56) 2 2 mv 2 Ku 2 (Equação 2.57) + = cte 2 2 Existe pontos da trajetória onde a energia cinética é máxima e a energia potencial é zero, e pontos onde ocorre o oposto. Assim podemos calcular um valor fixo para a energia mecânica. E mecânica = m( w² A) = 2mπ ² f ² A² (Equação 2.58) 2 No trabalho de Nóbrega (2004), onde o autor discorre sobre diversos exemplos práticos e teóricos realizados em estruturas pré-moldadas de concreto, sendo que estes exemplos são realizados com o uso de ferramentas computacionais baseadas no uso de elementos finitos, há também a comparação entre os diversos resultados obtidos. 42 Com esse trabalho, pretende-se explorar para o TCC a modelagem matemática das estruturas utilizadas, a entrada e saída de dados nos programas computacionais, além de toda conceituação teórica que existe no trabalho. Nos trabalhos realizados por Alcantara (2005), utiliza-se exemplos teóricos e práticos das ações dinâmicas nas estruturas, com posterior comparação entre resultados. Para o TCC, pretende-se utilizar também as modelagens matemáticas das estruturas utilizadas, a entrada e saída de dados nos programas computacionais. No trabalho de Rakesh (2000) que aborda as conceituações sobre como realizar a entrada de dados e como rodar uma estrutura no SAP 2000, pretende-se, se necessários, alguns conceitos de como utilizar o programa SAP 2000 corretamente. No trabalho de Alcantara (2005), onde também são abordados os aspectos de modelagem computacional, exemplos numéricos e práticos de ações de vibrações, pretende-se para o TCC, explorar como são realizados estes exemplos e suas comparações de resultados. Em Yum et. al. (2005), há uma breve descrição sobre vibrações em edifício de aço, neste caso o autor dá uma certa ênfase na norma regulamentadora Australiana sobre os critérios de aceitação das vibrações e além disso propõe um exemplo numerico de uma laje sujeta à vibrações e cálcula a aceitação dessas vibrações segundo os pré-requisitos da norma Australiana. Para o presente trabalho, este exemplo sera de extrema importância, vendo que também será realizado um exemplo de verificação de aceitação das vibrações para uma estrutura. Em Craig (2007), há também uma descrição dos critérios de aceitação de vibrações nas estruturas, onde cita diversas pesquisas de autores de renome sobre o assunto. Este trabalho também servirá para o TCC como base de dados para a verificação de uma estrutura sobre os critérios de conforto das vibrações. 43 3. ANÁLISE DINÂMICA UTILIZANDO O PROGRAMA SAP2000. 3.1 APRESENTAÇÃO E DESCRIÇÃO DO PROGRAMA A sigla S.A.P. é a abreviação de Structural Analysis Program e pertence a família de softwares para estruturas mais usada no mundo. O Autor do Software SAP é o Prof. Edward L. Wilson da Universidade da California, Berkeley. Ressalta-se que o termo Elementos Finitos foi criado pelo Prof. Ray Clough também da Universidade de Berkeley, considerada como "o berço" dos Elementos Finitos. Cronologia dos Programas SAP: • SAP II - ano 1972 - tese de doutorado do Prof. Wilson • SAP IV - ano 1974 - surge o software de Elementos Finitos mais usado no mundo • SAP80 - ano 1982 - primeiro software de Elementos Finitos para microcomputador • SAP90 - ano 1989 - introduz avançados recursos gráficos • SAP2000 - ano 1997 - surge o mais moderno software de Elementos Finitos • SAP2000 v.8 - ano 2003 - geração paramétrica e nova Análise Não-linear • SAP2000 v.9 - ano 2004 - novos recursos para pontes e estruturas offshore • SAP2000 v.10 - ano 2005 - recursos para Construção em Etapas e Interação Solo-estrutura 44 • SAP2000 v.11 - ano 2006 - novos recursos para Análise Dinamica e Nãolinear 3.1.1 • SAP2000 v.12 - ano 2007 • SAP2000 v.14 - ano 2009 DESCRIÇÃO DO PROGRAMA O software SAP2000 é o mais utilizado no mundo para Análise Estrutural, por meio dele pode-se analisar e projetar uma estrutura desejada utilizando uma interface gráfica de fácil aplicação. O programa utiliza para seus cálculos o processo de subdivisão da estrutura por elementos finitos, ou seja, ele discretiza a estrutura em pequenas regiões (pontos) onde se efetuam os cálculos. A precisão dos resultados varia de acordo com o número de elementos finitos que a estrutura é discretizada, ou seja, quanto maior o número de discretizações, maior será o resultado, sendo que o programa possibilita essa manipulação. 3.1.2 DESCRIÇÃO DO MODELO ESTRUTURAL O SAP2000 analisa e projeta sua estrutura usando um modelo que pode-se definir por uma interface gráfica. A composição do modelo consiste primariamente na definição dos seguintes componentes: • Unidades • Objetos e elementos • Grupos de objeto e elementos • Sistemas de coodenadas (x,y,z) • Propriedades (seção, tipo de material) • Casos de carregamentos (peso próprio, cargas) • Funções • Casos a serem analisados 45 • Combinações • Definições de projeto • Definições de saída de dados Nos manuais do SAP2000 existe uma completa definição de todos esses parâmetros e uma explicação bem detalhada de toda composição do programa, abaixo apenas entra-se em detalhe sobre como é realizada a análise modal da estrutura no SAP2000, vendo que este é o tema principal deste TCC. 3.1.3 ANÁLISE MODAL A análise modal é utilizada para determinar os modos de vibração da estrutura. Estes modos são bastante úteis para entender o comportamento da estrutura. Eles podem também ser utilizados como base para uma superposição modal nos casos de análise pra um response-spectrum e modal time-history. Seguem abaixo dois tipos de casos que definem uma análise modal: • Eigenvector • Ritz-vector A análise modal é sempre linear. Um caso de análise modal pode ser baseado na rigidez de toda a estrutura sem sofrer nenhuma tensão, ou sobre a rigidez do fim da análise de um caso não linear. No caso de se utilizar a rigidez no fim de um caso não linear, pode-se estimar os modos no caso P-Delta, análise da rigidez geométrica em diferentes etapas da construção, ou seguir uma significante excursão por uma análise não linear de um terremoto. 3.1.3.1 Eigenvector A análise por meio de Eigenvector determina os modos de vibrações livres e não amortecidas e as freqüências do sistema. Estes modos naturais dão um excelente 46 conhecimento sobre o comportamento da estrutura, eles também podem ser utilizados como base para os casos de response-spectrum e time-history analisis. A análise por Eigenvector envolve a solução para o generalizado Eigen valor do problema: [K − Ω² M ]Φ = 0 Equação 3.1 Onde K é a matriz de rigidez, M é a matriz diagonal de massa e Ω² é a matriz diagonal de eigen valores e Φ é a matriz de correspondentes eingen vetores (formatos dos modos). Cada par de Eigen valor – Eigen vetor é chamado de modo de vibração natural da estrutura. Os modos são identificados por números de 1 a n pela ordem em que eles são calculados pelo programa. O Eigen valor é o quadrado da freqüência natural, w. Pode-se especificar pelo programa o numero de modos a serem encontrados, a tolerância de convergência e as taxas de interesse de freqüências. 3.1.3.2 Análise por Ritz-Vector Pesquisas têm indicado que os modos naturais de livre vibrações não são a melhor base para a análise do modo de superposição de estruturas com carregamentos dinâmicos. Isso tem sido demonstrado por vários pesquisadores. A razão pela qual os Ritz vectors produzem excelentes resultados está por eles levarem em consideração a distribuição espacial do carregamento dinâmico, ao passo que o uso direto dos formatos de modos naturais negligenciam essa importante informação. Além disso o algoritmo de Ritz vectors automaticamente inclui técnicas numéricas de condensação. 47 3.2 ANÁLISE DINÂMICA ANALÍTICA DE ESTRUTURAS Neste item apresentam-se exemplos numéricos de caráter prático para conseguir exemplificar os diversos modos de vibrações existentes numa estrutura real e as diversas maneiras de solicitações de cargas dinâmicas. Pretende-se explorar aqui os conceitos da resolução de exercícios dinâmicos solucionados “manualmente”, com cálculos menos elaborados e menos precisos. A estrutura escolhida para ser estudada é uma caixa d’água devido à facilidade de conhecimento das propriedades dos materiais, seções, solicitações que a compõe, e por ser ela uma estrutura que apresenta normalmente uma solicitação dinâmica devido a ação de cargas de vento e o carregamento da própria água. Na figura 3.0 tem-se a configuração de uma caixa d’água que será solicitada por diversas cargas que variam entre seu peso próprio e até cargas de caráter variável (cargas periódicas senoidais). Figura 3.0 – Modelo real de caixa d’água a ser analisado Supõe-se inicialmente um modelo discretizado com apenas um grau de liberdade pela facilidade de resolução manualmente, assim então a estrutura estará restrita a movimentos em apenas um plano, vale ressaltar que toda a massa da caixa estará concentrada em um único ponto como mostra a figura 3.1 abaixo: 48 Figura 3.1 – Modelo para cálculo Inicia-se o cálculo dinâmico da estrutura calculando primeiramente a constante de mola equivalente (Ke), que nada mais é que um fator particular da estrutura que dá a ela rigidez, assim primeiramente será feita a análise do deslocamento (deflexão estática) da estrutura devido à aplicação da força concentrada estática, neste caso estipulou-se uma carga de, 300N: Figura 3.2 – Modelo de deslocamento Para o calculo deste deslocamento usa-se teorias da Resistência dos Materiais, assim tem-se: Um corpo solicitado por esforços de flexão, está sujeito à deformação em relação a sua posição inicial, a curva que o corpo forma define a linha elástica cuja equação possibilita 49 determinar o deslocamento transversal ou flecha, o deslocamento angular ou giro de qualquer posição ao longo do eixo do corpo (KOMATSU,2006). A equação diferencial da linha elástica é dada por: 1 = r ∂ 2u ∂x 2 ∂u 1 + ∂x 2 3 2 (Equação 3.2) Onde ∂v é diferencial de deslocamento e r é o raio da linha elástica. Fazendo algumas modificações com equações da Lei de Hooke e admitindo pequenas deformações tem-se: ∂ 2u M =− (Equação 3.3) 2 EI Z ∂x Onde M é o momento fletor, E o módulo de elasticidade, e Iz o momento de inércia em relação ao eixo z. Calcula-se o momento para o caso da caixa d’água em relação ao eixo x da figura 3.3 abaixo: Figura 3.3 – Cálculo de momento A equação do momento será: 50 M = − Fx = −300 x (Equação 3.4) Coloca-se na equação 3.5 a equação de momento e respeitando as condições de contorno exigidas, chegamos que o deslocamento (u) no ponto x = 0, será: u= Fl 3 (Equação 3.5) u = 2,339x10-6 m 3EI Z Cálculo do momento de inércia Iz: IZ = π (D 4 ) −d4 = 5,6306 x10 −3 m 4 (Equação 3.6) 64 Dados: • E (aço) = 20500 kN/cm² • Densidade do aço = 7860 kg/m³ Agora já se tem dados suficientes para o cálculo da constante de mola equivalente da estrutura: ke = F δ (Equação 3.7) ke = 3EI Z (Equação 3.8) l3 k e = 128252,555 X 10 3 N / m Para o cálculo da freqüência natural deve-se calcular a massa total da estrutura de foi discretizada em apenas um ponto, assim como temos a densidade do aço, basta efetuar o calculo do volume real de aço que a estrutura possui: 51 Figura 3.4 – Seção Transversal do pilar Volume 1 (Diâmetro de 1m) = Volume 2 (Diâmetro de 0,97m) = πD ² 4 πD ² 4 ×h = 3,141 × 1² × 3 = 2,3561m³ 4 ×h = 3,141 × 0,97² × 3 = 2,2168m³ 4 Volume 1 – Volume 2 = 0,13922m³ Volume Real * Densidade do aço (7860) = 1094,26 kg wn = 3.2.1 Ke [Rad/s] (Equação 3.9) m wn = 342,35rad/s 1º CASO – VIBRAÇÃO SOMENTE COM FORÇA RESTAURADORA Adotando o sentido do deslocamento positivo para a direita, como o indicado na figura abaixo, temos: 52 Figura 3.5 – Modelo de deslocamento As equações de deslocamento, velocidade e aceleração são respectivamente: u = x = Asen( wn t + ϕ 0 ) (Equação 3.10) u& = v = wn A cos( wn t + ϕ 0 ) (Equação 3.11) u&& = a = − wn ² Asen( wnt + ϕ 0 ) (Equação 3.12) Primeiramente antes de começar a efetuar os cálculos, deve-se ressaltar que para que se consiga efetuar os cálculos do modelo da caixa d’água supõe-se uma condição de contorno que é a ação de uma carga de caráter apenas impulsivo que gera apenas um leve deslocamento na estrutura, esta carga serve apenas para tirar a estrutura de sua condição de repouso estático, para que assim ela possa em resposta a este pequeno deslocamento tentar voltar a sua condição de repouso estático, agindo assim dinamicamente. Exemplificando a carga de caráter impulsivo tem-se que esta carga é como se fosse uma batida externa de duração de pouquíssimos segundos na estrutura, ou seja, como se alguma coisa tivesse batido na caixa d’água. Neste exemplo como já tínhamos anteriormente utilizado a carga de 300N para acharmos a constante equivalente de mola da estrutura, já se aproveitou esta mesma carga e os cálculos anteriores supondo que a carga de caráter impulsivo é de 300N. 53 Deve-se ressaltar principalmente que neste exemplo o ponto inicial para os cálculos de velocidade, aceleração e deslocamento, ocorre após o momento em que a carga recebe a força impulsiva e se encontra no ponto O (origem), ou seja, momento em que t = 0. A trajetória da carga pode ser ilustrada na figura 7.6, primeiramente ela se encontra em O, após a ação da força Impulsiva ela vai para o ponto A, seguindo para O e logo depois para o ponto B, após passar pelo ponto B a carga retorna para O, onde o ciclo se fecha. Figura 3.6 – Modelo da trajetória. Dos dados acima, temos que wn = 342,35 rad/s, A= u = 2,339x10-6 m, e ϕ 0 = 0 , assim: u = x = 2,339 x10 −6 sen(342,35t ) (Equação 3.13) u&& = a = −0,27413sen(342,35t ) (Equação 3.14) u& = v = 8,0075 x10 −4 cos(342,35t ) (Equação 3.15) Assim, plota-se as funções e as apresenta nas figuras 3.7, 3.8, 3.9, 3.10: 54 Figura 3.7 – Deslocamento em função do tempo 55 Figura 3.8 – Aceleração em função do tempo 56 Figura 3.9 – Velocidade em função do tempo 57 Figura 3.10 – Aceleração, velocidade e deslocamento em função do tempo Pode-se também fazer o cálculo do período (T), da freqüência natural (f), da velocidade máxima e da aceleração máxima: wn = 2π 2π = 2πf T = = 0,018353 (s) T 342,35 f = 1 = 54,486 (Hz) T u& máx = wn A = ±8,0075 × 10 −4 (m/s) ou ± 0,8007 (mm/s) u&&máx = wn2 A = ±0,27413 (m/s²) 58 É perceptível pela que as três curvas possuem o mesmo período e mesma freqüência, diferenciando-se um dos outros nos valores do eixo y, o que é obvio, pois se tratam de diferentes propriedades analisadas. O fato de no ponto inicial eles começarem com formas diferentes nas curvas como por exemplo, a curva de deslocamento começa com uma crista, e a curva de aceleração começa com um vale, mostra a correspondência entre a velocidade, deslocamento e aceleração de acordo com o sentido adotado. Assim, quando o deslocamento atinge a amplitude máxima positiva a aceleração e a máxima negativa e a velocidade é zero, quando o deslocamento é zero, a aceleração também e zero e a velocidade é a máxima. 3.2.1.1 Cálculo da velocidade pelo conceito de conservação de energia Seguindo o exemplo anterior acima, podemos calcular qual a velocidade do corpo quando o deslocamento for de u = 2,0 × 10 −6 m, assim: E mec = 2mπ ² f ² A² = 2.(1094,26).π ².54,486².(2,339 x10 −6 )² = 3,5081 × 10 −4 E mec = E c + E p = 1094,26(v ²) (128252,55 x10 3 ).(2 x10 −6 )² + 2 2 Resolve-se a equação acima se obtêm que u& = 4,15 × 10 −4 m/s, o que pode ser verificado nos gráficos de deslocamento e velocidade acima. 3.2.2 2º CASO – FORÇA RESTAURADORA LINEAR E FORÇA HARMÔNICA Neste caso temos para o mesmo exemplo da caixa d’água, a ação da força restauradora linear, porém com a aplicação de uma força harmônica, F = F0 sen(wt). Abaixo segue uma figura ilustrativa: 59 Figura 3.11 – Modelo de aplicação de força harmônica Agora para exemplificar este caso numericamente, tem-se que: F0 = 300 N, w = 28 rad/s . E como o exemplo anterior tem-se que: • wn = 342,35 (rad/s), • u = 2,339x10-6 m • E (aço) = 20500 KN/cm² • m = 1094,26 Kg • k e = 128252,555 X 10 3 N / m Assim como se vê na explicação teórica acima descrita, este tipo de movimento é composto por uma parte transiente e outra permanente: Solução particular: up = F0 / k sen( wt ) u p = 2,3548 x10 −6 sen(28t ) Equação 3.16 2 1 − ( w / wn ) 60 Solução homogênea: u = x = 2,339 x10 −6 sen(342,35t ) Equação 3.17 Figura 3.12– Solução homogênea e particular. 61 Figura 3.13 – Supeposição de soluções. Com a inclusão do atrito (amortecimento), fato que ocorrerá no 4º exemplo, tem-se que a parte do movimento transiente desaparecerá. 3.2.3 3º CASO – VIBRAÇÕES COM FORÇA RESTAURADORA LINEAR E COM AMORTECIMENTO VISCOSO. Figura 3.14 – Modelo de amortecimento viscoso. 62 Segue este exemplo como no primeiro caso, ou seja, sendo a caixa d’água com as mesmas propriedades físicas, com uma força Impulsiva de 300N, com o coeficiente de amortecimento viscoso (c) igual a 38x104 (N.s/m), e velocidade inicial igual a 8,0075x10-4 (m/s). Também se ressalta que o movimento se inicia na origem O, como mostrado na figura 3.14. Como explicado anteriormente, para o amortecimento viscoso são possíveis três casos de vibrações: Superamortecido, Subamortecido e Amortecido crítico. Tem-se que: cc = 2 km = 749243,994 , assim c < cc, o que caracteriza um movimento subcrítico, onde ocorrem vibrações. A equação do deslocamento é dada por: u = e −ζwnt [ A1 cos(wd t ) + A2 sen( wd t )] onde ζ = Equação 3.18, c = 0,5071 , cc wd = 1 − ζ 2 wn = 295,051 (rad/s) Substituindo os termos na equação, tem-se: u = e −173, 60t [ A1 cos(295,051t ) + A2 sen(295,051t )] Equação 3.19 Para se conseguir encontrar os coeficientes A1, A2, deve-se resolver equações de contorno como a da velocidade, que é a derivada da equação acima, assim: Para t = 0, u = 0, o que pela equação: 63 u = e −173, 60t [ A1 cos(295,051t ) + A2 sen(295,051t )] , tem-se que A1 = 0. Abaixo segue a equação da velocidade: u& = −173,60e −173, 60t [ A1 cos(295,051t ) + A2 sen(295,051t )] + 295,051e −173, 60t [− A1 sen(295,051t ) + A2 cos(295,051t )] Equação 3.20 Para t = 0 temos que u& = 8,0075 x10 −4 (m/s), o que implica: A2 = 2,7139 x10 −6 . Substituindo os coeficientes: u = e −173, 60t [2,739 x10 −6 sen(295,051t )] Equação 3.21 Segue abaixo o gráfico desta equação: 64 Figura 3.15 – Vibração com amortecimento subcrítico. 3.2.4 4º CASO – VIBRAÇÕES COM AMORTECIMENTO VISCOSO, FORÇA RESTAURADORA LINEAR E COM A APLICAÇÃO DE UMA CARGA HARMÔNICA. Seguindo os mesmos parâmetros físicos dos exemplos anteriores, tem-se: Figura 3.16 – Modelo de amortecimento viscoso, com força restauradora e aplicação de carga Harmônica. 65 Sendo: • F0 = 300N; • w = 205,41, wn = 342,35; • cc = 2 km = 749243,994 (Ns/m); • c = 112386,599 (Ns/m); Este caso de vibração merece especial atenção devido ao fato de qu e nele são possíveis dois tipos diferentes de respostas, sendo uma a solução particular da eq. Diferencial, e outra a solução particular somada com a solução homogênea. No primeiro caso, onde a resposta final é somente a solução particular é uma situação na qual a carga de massa m começa seu movimento apenas com a aplicação da força senoidal. A resposta para este caso é chamada: Resposta Transiente. O segundo caso que se caracteriza pela solução geral (soma da solução particular com a solução homogênea), ocorre quando anteriormente a aplicação da força senoidal sobre a carga m, esta carga já está em movimento devido a uma aplicação anterior de uma força qualquer de caráter Impulsivo. A resposta para este caso é chamada: Resposta Permanente. Neste exemplo especifico, faz-se a interpretação do segundo caso, ou seja, a carga anteriormente a aplicação da carga senoidal sofreu a ação de uma força Impulsiva. Ressalta-se, que a ação desta força Impulsiva ocorre no momento em que a massa m se encontra na origem O, e a ação da força senoidal começa a partir do momento em que a massa m atinge o ponto A, como mostra a figura 3.17. Tem-se que: u g = u p + uh (solução geral) u h = e −ζwnt [ A1 cos(wd t ) + A2 sen( wd t )] (solução homogênea) 66 u part = Usen( wt + φ ) tg (φ ) = (solução particular) 2(c / c cr )( w / wn ) 2ζ r = 1 − ( w / wn )² 1 − r² U= F0 (k − mw²) 2 + (cw)² Substituindo os valores nas equações: ζ = c 112386,599 = = 0,15 cc 749243,994 , wd = 1 − ζ 2 wn = 338,47 r= (rad/s) w 205,41 = = 0,60 wn 342,35 u h = e −51,352t [2,3657 x10 −6 sen(338,47t )] Equação 3.22 u p = 7,7973x10 −6 sen(205,41t + 0,2741) Equação 3.23 67 Figura 3.17 – Resposta permanente e transiente. 68 Figura 3.18 – Superposição das duas respostas. 3.3 EXEMPLOS ANALÍTICOS RESOLVIDOS PASSO A PASSO NO SAP2000 Neste tópico serão realizados por meio do programa SAP2000 os exemplos analíticos da caixa d’água solucionados acima. O objetivo é criar uma abordagem bem simples e descritiva do uso do software. 3.3.1 SOLUÇÃO DO PRIMEIRO EXEMPLO PELO SAP2000 Neste caso, como é o primeiro exemplo a ser realizado pelo programa SAP2000, será dado uma abordagem didática sobre como se efetua o lançamento da estrutura, como são realizados os cálculos dinâmicos, como se obtém as respostas. Inicialmente o programa SAP2000 é aberto, após isso basta clicar no painel de funções na opção New Model, então irá aparecer a figura 3.19 como mostra abaixo. Neste quadro pode-se escolher as unidades padrões e o um tipo de estrutura para se calcular: 69 Figura 3.19– New Model no SAP2000. No caso em questão foi escolhida uma treliça 2D com banzos diagonais, pois é uma estrutura que se aproxima daquela que realmente queremos lançar, nota-se que por este quadro já se pode definir o número de divisões da treliça, a altura, a espessura das divisões e além disso definir as propriedades das seções que definem a treliça: 70 Figura 3.20 – Modelo da Treliça. Após escolhida a treliça com as dimensões mais próximas da estrutura que se deseja lançar (caixa d’água), apenas com a tecla delete pode-se apagar componentes da treliça que não serão utilizados, como mostram a figura 3.21 abaixo: 71 Figura 3.22 – Apagando a estrutura no SAP2000. Com o uso da função de linha, marcada por um quadrado vermelho na figura 3.22 acima, pode-se desenhar uma linha vertical no Grid (linhas cinza) que sobrou após se ter 72 deletado a treliça, observa-se que o grid tem a altura de 3m , que é o mesmo da seção da caixa d’água, ou seja, no lançamento da treliça já foi pensado isso previamente. Figura 3.23 – Grid com apenas uma linha lançada. Clicando em toda a estrutura, e a deixando tracejada, vá para a função Assing Joint Restraints, pode-se escolher o tipo de apoio da estrutura (apoio simples, engaste, nó), como se ilustra nas duas figuras abaixo: Figura 3.24 – Estrutura selecionada no nó e seção. 73 Figura 3.25 – Aplicando restrição aos nós. Figura 3.26 – Opções de restrição dos nós. 74 Figura 3.27 – Estrutura já lançada com engaste no nó. Após definir os vínculos da estrutura definem-se as propriedades do material, que no caso estudado (caixa d’água) é o aço, conforme realizado nas figuras abaixo: 75 Figura 3.28 – Como definir tipos de materiais. 76 Figura 3.29 – Adicionando novo material. 77 Figura 3.30 – Modificando e adicionando propriedades do novo material. Para se definir as seções entra em DefineFrame Sections, como mostra abaixo: 78 Figura 3.31 – Definindo a seção transversal da estrutura. Após isso aparece a janela do tipo de seção para ser escolhida: 79 Figura 3.32 – Escolha do tipo de seção. No quadro abaixo foram lançadas as propriedades da seção que compõe a estrutura, que no caso é uma caixa d`água de formato cilíndrico, nota-se que o material escolhido foi o material definido no passo anterior, nomeou-se a seção de CAIXA: 80 Figura 3.33 –Definindo as propriedades dimensionais da seção transversal. Com um clique em Section Properties, da figura 3.33 acima se obtém as características da seção lançada como: momento de inércia nos dois eixos, áreas, módulos plástico, etc,, como é mostrado na figura 3.34 abaixo. Vale ressaltar que o valor do momento de inércia da estrutura lançada no SAP2000 (mostrado no retângulo vermelho da figura 3.34 abaixo) deu igual ao valor calculado no exemplo manual acima. 81 Figura 3.34 – Verificando as propriedades de inércia. Agora para definir a seção definida na estrutura basta marcar a estrutura com o mouse e fazer o mesmo procedimento que as figuras abaixo: 82 Figura 3.35 – Adicionando a seção lançada na estrutura. 83 Figura 3.36 – Escolha da seção. Figura 3.37 – Estrutura com nó e seção definida. 84 Assim, basta definir em Analysis Options os tipos de casos a serem estudados (2D, 3D, eixos x-y, x-z), basta para isso ir em Analysis Set Analysis Options que aparecerá a seguinte imagem: Figura 3.38 – Eixos que se deseja analisar. Neste caso como o estudo da caixa d’água é apenas plano, escolheu-se a opção marcada com o retângulo vermelho. Para efetuar a análise basta clicar no botão F5 e verificar se os casos que devem ser executados estão com a opção Run na coluna de Action, como mostra a figura x abaixo: 85 Figura 3.39 – Habilita-se casos que o programa irá calcular. Aí então os resultados já são obtidos: Figura 3.40 – Display que mostra as propriedades de cálculos, número de iterações. 86 Os resultados obtidos podem ser bem explorados no programa SAP2000, para um maior detalhamento basta exportar todos os resultados obtidos para o Excel o Acess, porém para uma análise menos detalhista apenas com a figura 7.31 acima já se percebe que para a estrutura da caixa d’água foram encontrados dois casos de vibrações: o primeiro tem freqüência natural de 70,02 Hz e período T = 0,014281 s e o segundo caso apresenta freqüência natural de 383,09 Hz e período T = 0,002610 s. Após a visualização das deformadas modais verifica-se que o primeiro caso de vibração era o caso que era o procurado, ou seja, o mesmo caso que foi realizado no exemplo 1 resolvendo manualmente a estrutura. Abaixo seguem duas figuras, a figura 3.41 mostra a deformada da estrutura no sentido vertical (eixo z) devido a aplicação da carga DEAD (estática) que neste caso é o peso próprio da estrutura e a figura 3.42 mostra a deformada da estrutura no primeiro modo de vibração. Figura 3.41 – Deslocamento no nó devido a carga vertical. 87 Figura 3.42 – Deformada da estrutura no seu segundo modo de vibrar. Obtenção dos resultados no Excel Retira-se do Excel algumas tabelas exportadas pelo SAP2000, mostra-se aqui somente as tabelas que tem maior interesse de estudo para este problema: A primeira tabela retirada é nomeada como Assembled Joint Masses, o que mostra se há concentração de massa em nós da estrutura, como neste exemplo não foi realizada concentração de massas nos nós da estrutura a tabela apenas mostra a divisão de carga para cada eixo da estrutura, sendo a estrutura em 3 eixos a parcela correspondente deu 0,5474 Kn.s²/m o que é o mesmo que Kg . 88 Tabela 3.1 – Concentração de massa nos nós da estrutura. TABLE: Assembled Joint Masses Joint U1 U2 Text KN-s2/m KN-s2/m 8 0,547443735 0,547443735 9 0,547443735 0,547443735 U3 R1 R2 R3 KN-s2/m KN-m-s2 KN-m-s2 KN-m-s2 0,547443735 0 0 0 0,547443735 0 0 0 A Tabela 3.2 a seguir mostra as reações da base para cada tipo de carga calculado: Tabela 3.2 – Reações da base. TABLE: Base Reactions OutputCase CaseType StepType StepNum Text Text Text Unitless DEAD LinStatic MODAL MODAL LinModal LinModal Mode Mode GlobalFX KN GlobalFY GlobalFZ GlobalMX GlobalMY GlobalMZ KN KN KN-m KN-m KN-m 0 0 10,73717843 0 0 0 1 143229,8819 0 6,60E-11 0 429689,6456 0 2 -3,69E-10 0 4286869,109 0 -2,09E-10 0 Nota-se que na análise modal 1 (que é o mesmo caso da caixa d’água) os valores de Global FX e Global MY são muitíssimos grande, mesmo não existido a aplicação de cargas nesse sentido, assim pode se supor que eles exemplificam que eles estão tendendo ao infinito por serem valores relativos a um caso de ressonância. A Tabela 3.3 abaixo apenas exemplifica os números de solicitações de análises dinâmicas mínimas e máximas exigidas nas configurações de análise dinâmica do SAP2000, e também mostra se a análise foi feita por Ritz Vectors ou Engen Vectors. Tabela 3.3 – Configurações dinâmicas do caso a ser analisado . TABLE: Case - Modal 1 – General Case ModeType MaxNumModes MinNumModes EigenShift EigenCutoff EigenTol AutoShift Text Text Unitless Unitless Cyc/sec Cyc/sec Unitless Text MODAL Eigen 12 1 0 0 0,000000001 Yes A Tabela 3.4 abaixo mostra todas as respostas de carga resultantes na barra da estrutura (força peso, cortantes e momentos), a tabela mostra essas respostas em função do tipo do carregamento, do tipo do caso estudado e da posição na estutura (início = 0, meio = 1,5 m e fim = 3m): 89 Tabela 3.4 – Forças resultantes nos elementos de barra. TABLE: Element Forces – Frames Frame Station OutputCase CaseType Text M Text Text 12 0 DEAD LinStatic 12 1,5 DEAD LinStatic 12 3 DEAD LinStatic 12 0 MODAL LinModal 12 1,5 MODAL LinModal 12 3 MODAL LinModal 12 0 MODAL LinModal StepType StepNum Text Unitless Mode Mode Mode Mode 1 1 1 2 12 1,5 MODAL LinModal Mode 2 12 3 MODAL LinModal Mode 2 P V2 M3 ElemStation KN KN KN-m m -10,73718 0 0 0 -5,368589 0 0 1,5 0 0 0 3 -6,60E-11 143229,88 429689,6 0 -6,60E-11 143229,88 214844,8 1,5 -6,60E-11 143229,88 0 3 -4286869 3,69E-10 2,09E-10 0 -3,45E-4286869 3,69E-10 10 1,5 -8,99E-4286869 3,69E-10 10 3 A Tabela 3.5 abaixo tem a mesma função da tabela de cima, porém mostra as respostas de carga nos nós: Tabela 3.5 – Forças resultantes nos nós. TABLE: Element Joint Forces – Frames Frame Joint OutputCase CaseType StepType StepNum Text 12 12 Text 8 9 Text DEAD DEAD Text LinStatic LinStatic Text Unitless 12 12 12 8 9 8 MODAL MODAL MODAL LinModal LinModal LinModal Mode Mode Mode 1 1 2 12 9 MODAL LinModal Mode 2 F1 F3 KN 0 0 KN 10,737178 0 -143230 6,60E-11 143229,9 -6,60E-11 -3,6E-10 4286869,1 3,69E-10 4286869,1 M1 KNm 0 0 M2 M3 0 0 0 KN-m KN-m 0 0 0 0 429689,6 0 0 0 -2,09E-10 0 0 -8,99E-10 FrameElem 0 A Tabela 3.6 a seguir mostra todas as propriedades físicas da seção lançada, cuja nomeou-se anteriomente de CAIXA: Tabela 3.6 – Propriedades físicas da seção da caixa d água. TABLE: Frame Section Properties 01 - General SectionName Material Shape t3 Text Text Text m CAIXA Aço Pipe 1 I/Wide FSEC1 A992Fy50 Flange 0,3048 t2b m 0,127 tfb m Area TorsConst m2 m4 4,64E-02 1,13E-02 0,009652 0,004264508 9,65E-08 t2 m tf m 0,127 0,009652 tw m 0,015 0,00635 I33 I22 AS2 m4 m4 m2 5,63E-03 5,63E-03 2,32E-02 6,57E-05 3,30E-06 0,001935 Text 1 1 1 1 1 1 90 AS3 m2 2,32E-02 2,04E-03 ConcCol Yes/No No No S33 m3 1,13E-02 4,31E-04 S22 m3 1,13E-02 5,20E-05 ConcBeam Color Yes/No Text No White No Green Z33 m3 0,014555 4,91E-04 Z22 R33 R22 m3 m m 0,014555 0,34829 0,34829 8,07E-05 0,124145 2,78E-02 TotalWt TotalMass FromFile KN KN-s2/m Yes/No 10,73718 1,094887 No 0 0 No AMod Unitless 1 1 A Tabela 3.7 a seguir mostra todas as reações e deslocamentos dos nós: Tabela 3.7 – Reações e deslocamentos dos nós. TABLE: Joint Displacements Joint OutputCase CaseType Text Text Text 8 DEAD LinStatic 8 MODAL LinModal 8 MODAL LinModal 9 DEAD LinStatic 9 MODAL LinModal 9 MODAL LinModal TABLE: Joint Reactions Joint OutputCase CaseType Text Text Text 8 DEAD LinStatic 8 MODAL 8 MODAL LinModal LinModal StepType StepNum Text Unitless Mode Mode Mode Mode U2 m 0 0 0 0 1 1,3515442 2 -2,08E-17 F1 KN U3 m 0 0 0 0 0 0 0 -1,69E-06 0 -2,08E-17 0 -1,351544 1 2 StepType StepNum Text Unitless Mode Mode U1 m F2 KN 0 F3 KN 0 10,737178 1 -143229,9 2 -3,69E-10 0 6,60E-11 0 4286869,1 R1 R2 R3 Radians Radians Radians 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,55838243 0 0 -8,97E-16 0 M1 KN-m M2 KN-m 0 0 0 429689,646 0 -2,09E-10 A próxima Tabela 3.8 mostra as restrições de movimento do apoio escolhido para a estrutura: Tabela 3.8 – Condições de restrição do apoio. TABLE: Joint Restraint Assignments Joint U1 U2 U3 Text Yes/No Yes/No Yes/No 8 Yes Yes Yes R1 Yes/No Yes R2 Yes/No Yes R3 Yes/No Yes M3 KN-m 0 0 0 91 A Tabela 3.9 abaixo mostra as propriedades do material aço que foi lançado no SAP2000: Tabela 3.9 – Propriedades do material da seção. TABLE: Material Properties 01 – General Material Type SymType TempDepend Text Text Text Yes/No Aço TABLE: Material Text Aço TABLE: Material Text Aço SHard Unitless 0,02 Color Text GUID Text Notes Text ASTM A36 added 22/09/2009 23:41:09 Steel Isotropic No Blue Material Properties 02 - Basic Mechanical Properties UnitWeight UnitMass E1 G12 U12 KN/m3 KN-s2/m4 KN/m2 KN/m2 Unitless 77,1066 7,862685 205000000 78846154 0,3 Material Properties 03a - Steel Data Fy Fu EffFy EffFu SSCurveOpt KN/m2 KN/m2 KN/m2 KN/m2 Text 248211,3 399896 372316,926 439885,55 Simple Kinematic SMax Unitless 0,14 A1 1/C 0,0000117 SSHysType Text SRup Unitless 0,2 As próximas tabelas são as de maiores importância para este estudo, pois são elas que dão as respostas da análise dinâmica. A Tabela 3.10 abaixo mostra onde a análise dinâmica pode ser calculada, ou seja, foi o que foi definido na parte de Set Analysis Options: Tabela 3.10 – Escolha dos eixos para a análise dinâmica. TABLE: Modal Load Participation Ratios OutputCase ItemType Item Static Dynamic Text Text Text Percent Percent MODAL Acceleration UX 100 100 MODAL Acceleration UY 0 0 MODAL Acceleration UZ 100 100 A Tabela 3.11 a seguir mostra os períodos resultantes de cada modo de vibrar e a taxa de participação de massa em cada um dos modos de vibração: 92 Tabela 3.11 – Modos de vibrar e taxa de participação da massa em cada eixo. TABLE: Modal Participating Mass Ratios OutputCase StepType StepNum Period Text Text Unitless Sec MODAL Mode 1 1,43E-02 MODAL Mode 2 2,61E-03 SumUZ Unitless 2,37E-34 1 RX Unitless 0 0 RY Unitless 1 2,37E-34 RZ Unitless 0 0 UX UY UZ SumUX SumUY Unitless Unitless Unitless Unitless Unitless 1 0 2,37E-34 1 0 2,37E-34 0 1 1 0 SumRX Unitless 0 0 SumRY SumRZ Unitless Unitless 1 0 1 0 A Tabela 3.12 mostra as taxas de participação por eixo da estrutura: Tabela 3.12 – Taxas de participação por eixo da estrutura. TABLE: Modal Participation Factors OutputCase StepType StepNum Period UX Text Text Unitless Sec KN-s2 MODAL Mode 1 1,43E-02 -0,73989440 MODAL Mode 2 2,61E-03 1,14E-17 UZ KN-s2 1,14E-17 0,73989441 RX KN-m-s2 0 0 RY KN-m-s2 -2,219683 3,42E-17 RZ KN-m-s2 0 0 UY KN-s2 0 0 ModalMass ModalStiff KN-m-s2 KN-m 1 193581,52 1 5793893,1 A Tabela 3.13 mostra todos os períodos, freqüências obtidas em cada um dos modos de vibração da estrutura: Tabela 3.13 – Respostas modais: períodos e freqüências. TABLE: Modal Periods And Frequencies OutputCase StepType StepNum Period Frequency CircFreq Eigenvalue Text Text Unitless Sec Cyc/sec rad/sec rad2/sec2 MODAL Mode 1 1,43E-02 70,02483206 439,9789959 193581,5168 MODAL Mode 2 2,61E-03 383,0940182 2407,050706 5793893,104 A exportação de dados do SAP2000 gera inúmeras tabelas, aqui foram colocadas apenas as mais úteis para nosso estudo. 93 3.3.1.1Comparação da estrutura resolvida no SAP2000 com a resolvida manualmente Verifica-se que a diferença que ocorre da análise manual para a análise realizada pelo SAP2000, se pensarmos no parâmetro de freqüência natural é de a freqüência do SAP2000 ser aproximadamente 28,6% maior do que a estrutura calculada manualmente. Tabela 3.14 – Comparação entre resolução manual e resolução pelo SAP2000. Estrutura SAP2000 Manual % Diferença 3.3.2 Periodo Frequencia CircFreq Eigenvalue s Hz rad/s rad2/s2 1,43E-02 70,024832 439,979 193581,52 1,84E-02 54,486 342,33554 117193,62 28,6% SOLUÇÃO DO SEGUNDO EXEMPLO PELO SAP2000 Para a realização deste exemplo no software SAP2000 ressalta-se que todas as propriedades de seção e materiais definidas no primeiro exemplo, mostrado alguns itens acima, foram consideradas iguais. Neste caso específico, fez-se para a estrutura da caixa d água quatro tipos de estudos de caso, um dos casos chamado pelo programa de DEAD, é de peso próprio (o que já vem automaticamente com o lançamento das propriedades da seção), outro caso é o caso modal, e os outros dois casos são carregamentos periódiocos (ressalta-se que cada carregamento é analisado separadamente), um dos carregamentos periódicos chamado de c1 tem a freqüência de vibração de 28 rad/s e amplitude de 300N (conforme a descrição do exercício), e o outro também tem amplitude de 300N porém sua freqüência é de 439,38 rad/s, colocou-se um exemplo com a aplicação desta freqüência de excitação devido ao fato dela ser muito próxima a freqüência natural da estrutura (342,35 rad/s), como supõe-se que nesta estrutura estudada não existe amortecimento, pode acontecer um caso próximo a ressonância. Primeiramente ilustra-se como foi modelada a aplicação das cargas periódicas: 94 Figura 3.43 – Aplicação de uma carga peródica na estrutura. Após isso, surge na tela a um quadro onde existem todas as configurações prontas, basta preenche-las de acordo com a função a ser utilizada: 95 Figura 3.44 – Configuração da Carga periódica. Para aplicar essa carga periódica, basta selecionar na estrutura o local desejado de aplicação entrar na opção Assing Joint Loads e fazer como segue nas figuras 3.45 e 3.46 abaixo: Entra-se em Define Load Cases e faza adição das cargas: 96 Figura 3.45 – Definição das cargas. Figura 3.46 – Aplicação da carga periódica c1. Após isso, na função Define Analysis Case, se abre uma janela, nela deve-se clicar nas cargas periódicas e depois em modify, aí então aparecerá uma janela para 97 configurar o tipo de carga, o tipo de análise que será feita com ela e opções de quantidades de respostas, como mostra a figura 3.47 abaixo: Figura 3.47 – Configuração de análise para a carga periódica. Após isso basta clicar em F5 e solucionar o problema. 3.3.2.1 Respostas das soluções do problema e comparação com o caso manual Neste caso colocam-se algumas figuras da função c1 (mesma do exercício 2 manual): 98 Abaixo se tem na figura 3.48 o deslocamento inicial no tempo zero da estrutura submetida à função c1: Figura 3.48 – Deslocamento usando a função c1. Percebe-se que a solução do SAP2000 fica próxima da solução desenvolvida manualmente, quando se observa no programa as deformações da estrutura a cada tempo. Na próxima figura 3.49 tem-se o diagrama de momentos da estrutura sob o carregamento c1, nota-se que existem momentos dos dois lados do diagrama, isto é devido ao fato da estrutura estar sob um carregamento periódico. 99 Figura 3.49 – Diagrama de momento usando a função c1. Seguem agora respostas exportadas do programa para o Excel: A Tabela 3.15 abaixo, mostra os quatro casos a serem analisados pelo programa SAP2000. Tabela 3.15 – Casos analisados pelo SAP2000. TABLE: Analysis Case Definitions Case Type InitialCond ModalCase RunCase Text Text Text Text Yes/No DEAD LinStatic Zero Yes MODAL LinModal Zero Yes c1 LinModHist Zero MODAL Yes c2 LinModHist Zero MODAL Yes GUID Text Notes Text Tabela 3.16 – Reações da base. TABLE: Base Reactions OutputCase CaseType StepType StepNum GlobalFX GlobalFY GlobalFZ GlobalMX GlobalMY Text Text Text Unitless KN KN KN KN-m KN-m DEAD LinStatic 0 0 10,94513602 0 0 MODAL LinModal Mode 1 -141862,6726 0 8,80E-11 0 -425588,0178 100 MODAL c1 c1 c2 c2 LinModal LinModHist LinModHist LinModHist LinModHist Mode Max Min Max Min 2 -2,39E-10 0,347435564 -0,347492223 2,578080672 -2,578254009 0 0 0 0 0 4245948,548 3,509157746 -3,506528821 3,378858236 -3,346851144 0 0 0 0 0 -1,32E-10 1,042306691 -1,042476668 7,734242016 -7,734762028 Tabela 3.17 – Carregamentos periódicos. TABLE: Case - Modal History 2 - Load Assignments Case LoadType LoadName Function LoadSF Text Text Text Text Unitless c1 LoadPattern c1 FUNC1 1 c2 LoadPattern c2 FUNC2 1 TimeFactor Sec 1 1 ArrivalTime Sec 0 0 Tabela 3.18 – Esforços resultantes na barra. TABLE: Element Forces - Frames Frame Station OutputCase CaseType StepType StepNum P V2 M3 ElemStation Text m Text Text Text Unitless KN KN KN-m m 12 0 DEAD LinStatic -10,94513602 0 0 0 12 1,5 DEAD LinStatic -5,472568009 0 0 1,5 12 3 DEAD LinStatic 0 0 0 3 12 0 MODAL LinModal Mode 1 -8,80E-11 141862,7 425588,0178 0 12 1,5 MODAL LinModal Mode 1 -8,80E-11 141862,7 212794,0089 1,5 12 3 MODAL LinModal Mode 1 -8,80E-11 141862,7 0 3 12 0 MODAL LinModal Mode 2 -4245948,548 2,39E-10 1,32E-10 0 12 1,5 MODAL LinModal Mode 2 -4245948,548 2,39E-10 -2,27E-10 1,5 12 3 MODAL LinModal Mode 2 -4245948,548 2,39E-10 -5,86E-10 3 12 0 c1 LinModHist Max 3,506528821 0,347492 1,042476668 0 12 1,5 c1 LinModHist Max 1,86789179 0,347492 0,521238334 1,5 12 3 c1 LinModHist Max 0,229394764 0,347492 2,58E-16 3 12 0 c1 LinModHist Min -3,509157746 -0,34744 -1,042306691 0 12 1,5 c1 LinModHist Min -1,869124126 -0,34744 -0,521153345 1,5 12 3 c1 LinModHist Min -0,229536872 -0,34744 -2,58E-16 3 12 0 c2 LinModHist Max 3,346851144 2,578254 7,734762028 0 12 1,5 c2 LinModHist Max 1,780939378 2,578254 3,867381014 1,5 12 3 c2 LinModHist Max 0,215027612 2,578254 2,46E-16 3 12 0 c2 LinModHist Min -3,378858236 -2,57808 -7,734242016 0 12 1,5 c2 LinModHist Min -1,837010715 -2,57808 -3,867121008 1,5 12 3 c2 LinModHist Min -0,295163194 -2,57808 -2,54E-16 3 101 Tabela 3.19 – Esforços resultantes no nó. TABLE: Element Joint Forces - Frames Frame Joint OutputCase CaseType Text Text Text Text 12 8 DEAD LinStatic 12 9 DEAD LinStatic 12 8 MODAL LinModal 12 9 MODAL LinModal 12 8 MODAL LinModal 12 9 MODAL LinModal 12 8 c1 LinModHist 12 9 c1 LinModHist 12 8 c1 LinModHist 12 9 c1 LinModHist 12 8 c2 LinModHist 12 9 c2 LinModHist 12 8 c2 LinModHist 12 9 c2 LinModHist StepType StepNum Text Unitless Mode Mode Mode Mode Max Max Min Min Max Max Min Min 1 1 2 2 F1 KN 0 0 -141863 141862,7 -2,39E-10 2,39E-10 0,347436 0,347492 -0,34749 -0,34744 2,578081 2,578254 -2,57825 -2,57808 F3 KN 10,94514 0 8,80E-11 -8,80E-11 4245949 -4245949 3,509158 0,229395 -3,506529 -0,229537 3,378858 0,215028 -3,346851 -0,295163 M2 KN-m 0 0 -425588,02 1,16E-10 -1,32E-10 -5,86E-10 1,0423067 9,30E-17 -1,0424767 -9,34E-17 7,734242 2,13E-15 -7,734762 -2,13E-15 Tabela 3.20 – Aceleração resultante no nó TABLE: Joint Accelerations - Absolute Joint OutputCase CaseType StepType StepNum U1 Text Text Text Text Unitless m/sec2 8 DEAD LinStatic 0 8 MODAL LinModal Mode 1 0 8 MODAL LinModal Mode 2 0 8 c1 LinModHist Max 0 8 c1 LinModHist Min 0 8 c2 LinModHist Max 0 8 c2 LinModHist Min 0 9 DEAD LinStatic 0 9 MODAL LinModal Mode 1 -254212,9407 9 MODAL LinModal Mode 2 1,58E-10 9 c1 LinModHist Max 9,63E-02 9 c1 LinModHist Min -9,67E-02 9 c2 LinModHist Max 4,619830269 9 c2 LinModHist Min -4,620140884 U2 m/sec2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 U3 R2 m/sec2 rad/sec2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5,27E-12 -105026,5613 7608591,087 3,36E-09 0,411322036 3,98E-02 -0,411067382 -3,99E-02 0,528922106 1,908655341 -0,385321949 -1,90878367 Tabela 3.21 – Deslocamentos do nó. TABLE: Joint Displacements Joint OutputCase CaseType StepType StepNum Text Text Text Text Unitless 8 DEAD LinStatic 8 MODAL LinModal Mode 1 8 MODAL LinModal Mode 2 8 c1 LinModHist Max U1 m 0 0 0 0 U3 m 0 0 0 0 R2 Radians 0 0 0 0 102 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 c1 c2 c2 DEAD MODAL MODAL c1 c1 c2 c2 LinModHist LinModHist LinModHist LinStatic LinModal LinModal LinModHist LinModHist LinModHist LinModHist Min Max Min Mode Mode Max Min Max Min 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1,73E-06 0 1,338642961 -2,78E-17 0,553052361 -2,78E-17 -1,338642961 -5,91E-16 3,28E-06 5,89E-07 1,35E-06 -3,28E-06 -5,89E-07 -1,35E-06 2,43E-05 5,61E-07 1,01E-05 -2,43E-05 -5,79E-07 -1,01E-05 Tabela 3.22 – Reações do nó. TABLE: Joint Reactions Joint OutputCase CaseType StepType StepNum F1 F3 M2 Text Text Text Text Unitless KN KN KN-m 8 DEAD LinStatic 0 10,94513602 0 8 MODAL LinModal Mode 1 -141862,6726 8,80E-11 -425588,0178 8 MODAL LinModal Mode 2 -2,39E-10 4245948,548 -1,32E-10 8 c1 LinModHist Max 0,347435564 3,509157746 1,042306691 8 c1 LinModHist Min -0,347492223 -3,506528821 -1,042476668 8 c2 LinModHist Max 2,578080672 3,378858236 7,734242016 8 c2 LinModHist Min -2,578254009 -3,346851144 -7,734762028 Tabela 3.23 – Velocidades atuantes do nó. TABLE: Joint Velocities - Absolute Joint OutputCase CaseType StepType StepNum U1 U3 R2 Text Text Text Text Unitless m/sec m/sec rad/sec 8 DEAD LinStatic 0 0 0 8 MODAL LinModal Mode 1 0 0 0 8 MODAL LinModal Mode 2 0 0 0 8 c1 LinModHist Max 0 0 0 8 c1 LinModHist Min 0 0 0 8 c2 LinModHist Max 0 0 0 8 c2 LinModHist Min 0 0 0 9 DEAD LinStatic 0 0 0 9 MODAL LinModal Mode 1 583,3526922 -1,21E-14 241,0086879 9 MODAL LinModal Mode 2 -6,62E-14 -3191,423961 -1,41E-12 9 c1 LinModHist Max 2,85E-04 1,84E-04 1,18E-04 9 c1 LinModHist Min -2,82E-04 -1,84E-04 -1,16E-04 9 c2 LinModHist Max 1,06E-02 3,97E-04 4,38E-03 9 c2 LinModHist Min -1,06E-02 -3,82E-04 -4,38E-03 103 3.3.3 RESOLUÇÃO DO TERCEIRO EXEMPLO UTILIZANDO O SAP2000. Na resolução para este caso com amortecimento pelo SAP2000, lançou-se a estrutura normalmente, com todas aquelas propriedades de seção e materiais existentes nos exercícios anteriores. Após lançada todas as propriedades de materiais e seções, lança-se a uma carga de caráter impulsivo de 300N aplicados num tempo de 0,9s, o lançamento desta carga é realizado do mesmo modo que o lançamento de uma carga periódica, porém neste caso a função foi digitalizada, como mostra a figura 3.50 abaixo: Figura 3.50 – Lançamento da carga impulsiva. 104 Após isso, é feita uma configuração detalhada no tipo de análise que esta carga de impacto deve realizar: Figura 3.51 – Configuração da análise da carga impulsiva. Nota-se que o nome do caso é c3 e da função é impacto. Na figura 3.51 define-se o amortecimento da estrutura clicando em Other Parameters Modal Damping Modify/Show: 105 Figura 3.52 – Definição da taxa de amortecimento. Após isso foram realizados os procedimentos restantes e posterirormente executado o cálculo da estrutura, abaixo seguem algumas figuras que ilustrarão as respostas desta estrutura (caixa d água solicitada por carga de impacto, com amortecimento). Na figura 3.53 abaixo mostra o deslocamento máximo do nó que fica no topo da estrutura. 106 Figura 3.53 – Deslocamento do nó superior. Nas próximas figuras, será ilustrado o desenvolvimento do deslocamento da estrutura em função do tempo: 107 Figura 3.54 – Deslocamento no caso c3, no tempo 0. 108 Figura 3.55 – Deslocamento no caso c3, no tempo 0,2. 109 Figura 3.56 – Deslocamento no caso c3, no tempo 0,6. 110 Figura 3.57 – Deslocamento no caso c3, no tempo 0,9. 111 Figura 3.58 – Deslocamento no caso c3, no tempo 2,5. Nota-se que no tempo aproximadamente após 0,9 segundos, o deslocamento é nulo e fica para sempre nulo, isto ocorreu devido a presença do amortecimento na estrutura. Todas as estruturas reais possuem um certo grau de amortecimento, esse amortecimento varia de acordo com as propridades do material. Comparando este caso com o exemplo resolvido manualmente nota-se uma grande semelhança pois no gráfico gerado pelo exemplo manual a estrutura começa a ter deslocamentos insginificantes a partir do tempo de 0,9s. No caso do deslocamento máximo, os valores não deram muito parecidos, porem isso se deve ao fato de que no caso resolvido manualmente já se supois inicialmente que o deslocamento máximo causado pela carga impulsiva era um número já pré – definido e estipulado, no caso do cálculo realizado pelo SAP2000 esse deslocamento máximo foi realmente calculado. 112 4. APLICAÇÕES Este capítulo pretende abordar diversos exemplos de estruturas no programa SAP2000 e efetuar comparações entre as respostas obtidas. Os parâmetros de comparação para essas estruturas serão feitos variando a inércia da estrutura, o material, as condições de apoio, entre outros. 4.1 VIGAS Neste tópico pretende-se abordar aspectos comparativos entre as respostas dinâmicas geradas pelo SAP2000, o principal intuito desta pesquisa é verificar como essas respostas geradas se relacionam com as inércias das seções, com os tipos de materiais, com os tamanhos dos vãos da estrutura. 4.1.1 EXEMPLO DE UMA VIGA ENGASTADA Neste caso foram resolvidos inúmeros casos no SAP2000 de uma viga engastada em apenas um dos apoios, com vão de 5 metros de material concreto armado (com barras de Φ=10mm), ressalta-se que essa viga possui apenas um grau de liberdade, que é a seu único nó livre. As propriedades do concreto são mostradas na figura 4.1 abaixo: 113 Figura 4.1 – Lançamento da viga Em cada uma das soluções variava-se apenas o tamanho da seção transversal da viga, ou variava a base, ou a altura, ou ambos, abaixo seguem algumas imagens: A figura 4.2 mostra como é a estrutura: 114 Figura 4.2 – Lançamento da viga. Figura 4.3 – Características da viga e eixos. Após a resolução de inúmeros casos desta viga gerou-se três tabelas com um resumo das freqüências naturais obtidas em função da base e da altura da viga de concreto, chegou-se para a estrutura em três freqüências naturais possíveis: f1 – no eixo y, f2 – no eixo z, f3 – no eixo x, os eixo podem ser observados na figura (4.3) acima. Seguem agora as três tabelas geradas dos exemplos: 115 Tabela 4.1 – Tabela Frequência 1 (eixo y). Tabela de valores para programa - F1 Eixo Y Base Altura (m) 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,15 2,17 2,17 2,17 2,17 2,17 2,17 2,17 2,17 2,17 2,17 2,17 0,2 2,17 2,892 2,892 2,892 2,892 2,892 2,892 2,892 2,892 2,892 2,892 0,25 2,17 2,892 3,614 3,614 3,614 3,614 3,614 3,614 3,614 3,614 3,614 0,3 2,17 2,892 3,614 4,335 4,335 4,335 4,335 4,335 4,335 4,335 4,335 0,35 2,17 2,892 3,614 4,335 5,055 5,055 5,055 5,055 5,055 5,055 5,055 0,4 2,17 2,892 3,614 4,335 5,055 5,774 5,774 5,774 5,774 5,774 5,774 0,45 2,17 2,892 3,614 4,335 5,055 5,774 6,492 6,492 6,492 6,492 6,492 0,5 2,17 2,892 3,614 4,335 5,055 5,774 6,492 7,208 7,208 7,208 7,208 0,55 2,17 2,892 3,614 4,335 5,055 5,774 6,492 7,208 7,923 7,923 7,923 0,6 2,17 2,892 3,614 4,335 5,055 5,774 6,492 7,208 7,923 8,636 8,636 0,65 2,17 2,892 3,614 4,335 5,055 5,774 6,492 7,208 7,923 8,636 9,348 0,7 2,17 2,892 3,614 4,335 5,055 5,774 6,492 7,208 7,923 8,636 9,348 0,7 2,17 2,892 3,614 4,335 5,055 5,774 6,492 7,208 7,923 8,636 9,348 10,06 Tabela 4.2– Tabela Frequência 2 (eixo z). Tabela de valores para programa - F2 Eixo Z Base Altura (m) 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,15 2,17 2,892 3,614 4,335 5,055 5,774 6,492 7,208 7,923 8,636 9,348 0,2 2,892 2,892 3,614 4,335 5,055 5,774 6,492 7,208 7,923 8,636 9,348 0,25 3,614 3,614 3,614 4,335 5,055 5,774 6,492 7,208 7,923 8,636 9,348 0,3 4,335 4,335 4,335 4,335 5,055 5,774 6,492 7,208 7,923 8,636 9,348 0,35 5,055 5,055 5,055 5,055 5,055 5,774 6,492 7,208 7,923 8,636 9,348 0,4 5,774 5,774 5,774 5,774 5,774 5,774 6,492 7,208 7,923 8,636 9,348 0,45 6,492 6,492 6,492 6,492 6,492 6,492 6,492 7,208 7,923 8,636 9,348 0,5 7,208 7,208 7,208 7,208 7,208 7,208 7,208 7,208 7,923 8,636 9,348 0,55 7,923 7,923 7,923 7,923 7,923 7,923 7,923 7,923 7,923 8,636 9,348 0,6 8,636 8,636 8,636 8,636 8,636 8,636 8,636 8,636 8,636 8,636 9,348 0,65 9,348 9,348 9,348 9,348 9,348 9,348 9,348 9,348 9,348 9,348 9,348 0,7 10,06 10,06 10,06 10,06 10,06 10,06 10,06 10,06 10,06 10,06 10,06 0,7 10,06 10,06 10,06 10,06 10,06 10,06 10,06 10,06 10,06 10,06 10,06 10,06 Tabela 4.3 – Tabela F3. 116 Tabela de valores para programa - F3 Eixo X Base Altura (m) 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,15 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 0,2 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 0,25 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 0,3 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 0,35 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 0,4 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 0,45 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 0,5 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 0,55 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 0,6 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 0,65 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 0,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 0,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 144,7 4.1.1.1 ANÁLISE DOS GRÁFICOS Faz –se uma análise superficial dos resultados obtidos e conclui-se que no primeiro caso, onde a viga movimenta-se no eixo y, a variação da freqüência natural se dá quando o valor da altura é igual ou menor que o da base, caso contrário (se a base for igual a altura ou maior), os valores das freqüências são todos iguais ao caso base = altura. No caso das freqüências quando a movimentação está no eixo z, percebe-se uma mudança nos valores quando a altura é igual ou maior que a base, no caso contrário os valores da freqüência sempre são igual ao do caso em que a base é igual à altura. No caso da movimentação da viga no eixo x, independente das variações nas propriedades da viga, as freqüências naturais não se modificaram. Abaixo se apresenta um gráfico de estudo da relação entre as freqüências da estrutura com os parâmetros da altura da viga para o caso da viga se movimentando no eixo z, essa relação é diretamente proporcional a altura da viga e a base, como mostra os gráficos e explicações abaixo: 117 Figura 4.4 – Variação da frequência em função da variação da base e altura da viga. No gráfico da Figura 4.5 abaixo mostra-se retas vermelhas, que possuem praticamente a mesma constante de reta c = 14,43 [Hz/m], e os números na frente de cada reta significam o valor da base. Este gráfico foi feito apenas como ilustração de como há proporcionalidade entre os parâmetros de base e altura com as freqüências naturais da estrutura. 118 Figura 4.5 – Características da viga e eixos. 4.1.2 ESTUDO DE VIGAS COM SEÇÃO METÁLICA Neste caso, para o estudo da mesma viga do caso anterior, engastada em somente um dos apoios, com 5 m de vão, variou-se apenas as propriedades da seção, porém estas seções são agora perfis metálicos. Segue abaixo a Figura 4.6, que mostra as propriedades do material (aço) utilizado para a viga: 119 Figura 4.6 – Características da viga e eixos. A tabela 4.4 a seguir mostra os perfis metálicos adotados, as inércias das seções em relação ao eixo z (eixo que tem o sentido da carga do peso próprio) e as respectivas freqüências naturais, ressalta-se que f1, f2 e f3, estão nos mesmos eixo que o caso anterior estudado: 120 Tabela 4.4 – Tabela de freqüências e seções. Viga engastada em apenas 1 apoio - Perfil Metálico Viga Inércia (z) f1 f2 f3 T1 T2 T3 W 8 x 10 W 8 x 24 W 8 X 40 W 10 x 12 W 10 x 49 W 10 x 68 W 12 x 14 W 12 x 19 W 12 x 65 W 12 x 210 W 14 x 30 W 14 x 61 W 14 x 109 W 14 x 283 W 14 x 605 W 16 x 36 W 16 x 50 W 16 x 100 W 18 x 119 W 18 x 283 W 21 x 57 W 21 x 101 W 24 x 146 W 27 x 336 W 30 x 326 W 33 x 318 W 36 x 800 W 44 x 335 1,28E-05 3,44E-05 6,08E-05 2,24E-05 1,13E-04 1,64E-04 3,69E-05 5,41E-05 2,22E-04 8,91E-04 1,21E-04 2,66E-04 5,16E-04 1,60E-03 4,50E-03 1,87E-04 2,74E-04 6,20E-04 9,12E-04 2,57E-03 4,87E-04 1,01E-03 1,91E-03 6,08E-03 6,99E-03 8,12E-03 2,69E-02 1,29E-02 1,679573 3,212654 4,092631 1,568546 5,086215 5,169226 1,505496 1,642236 6,025177 6,542059 2,973703 4,882815 7,455669 8,290257 9,062002 3,037777 3,178582 5,014288 5,360348 5,803415 2,704916 5,758339 6,018186 6,890563 7,175298 7,402536 8,405942 6,959798 6,433801 6,803356 7,027231 7,771031 8,619199 8,801925 9,191547 9,614144 10,44251 11,62052 11,37437 11,80868 12,24259 13,33607 15,26945 12,87332 13,24409 13,99812 15,51849 16,86697 16,5071 17,61862 20,06383 23,39696 25,33895 27,42216 31,15976 33,29702 227,203574 227,203574 227,203574 227,203575 227,203574 227,203574 227,203577 227,203574 227,203574 227,203574 227,203574 227,203574 227,203574 227,203574 227,203574 227,203574 227,203574 227,203574 227,203574 227,203574 227,203574 227,203574 227,203574 227,203574 227,203574 227,203574 227,203574 227,203574 0,595389 0,311269 0,244342 0,637533 0,19661 0,193453 0,664233 0,608926 0,16597 0,152857 0,336281 0,2048 0,134126 0,120624 0,110351 0,329188 0,314606 0,19943 0,186555 0,172312 0,369697 0,173661 0,166163 0,145126 0,139367 0,135089 0,118963 0,143682 0,155429 0,146986 0,142304 0,128683 0,11602 0,113612 0,108796 0,104013 0,095762 0,086055 0,087917 0,084683 0,081682 0,074985 0,06549 0,07768 0,075505 0,071438 0,064439 0,059287 0,06058 0,056758 0,049841 0,042741 0,039465 0,036467 0,032093 0,030033 0,004401 0,004401 0,004401 0,004401 0,004401 0,004401 0,004401 0,004401 0,004401 0,004401 0,004401 0,004401 0,004401 0,004401 0,004401 0,004401 0,004401 0,004401 0,004401 0,004401 0,004401 0,004401 0,004401 0,004401 0,004401 0,004401 0,004401 0,004401 Plota-se um gráfico que relaciona a inércia no eixo do deslocamento z, com as respectivas freqüências naturais para o mesmo eixo, como mostra a figura 4.7 abaixo: 121 Figura 4.7 – Gráfico de Inércias x Freqüências. Analisando o gráfico percebe-se que o comportamento das freqüências naturais não tem nenhuma relação diretamente proporcional com as inércias. 4.2 COMPARAÇÃO DAS MUDANÇAS DE FREQUENCIAS PARA MUDANÇAS DE MATERIAIS Neste caso, como foram realizados dois exemplos de uma viga engastada de mesmo comprimento onde somente se utilizou materiais diferentes (uma foi utilizado o aço e na outra o concreto), procura-se comparar as freqüências naturais obtidas com os parâmetros de rigidez dessas vigas. Abaixo segue uma tabela com as inércias, materiais, as freqüências e a comparação entre essas freqüências: 122 Tabela 4.5 – Tabela de freqüências e seções. Concreto Inércia 5,63E-05 1,13E-04 2,67E-04 9,00E-04 1,07E-03 1,60E-03 4,58E-03 1,14E-02 Frequência Fc 2,89201 5,774063 5,774063 5,774063 5,055023 5,774063 9,347745 10,057149 Aço Inércia 5,41E-05 1,13E-04 2,66E-04 9,12E-04 1,01E-03 1,60E-03 4,50E-03 1,29E-02 Frequência Fa 9,614144 8,619199 11,808684 15,518486 17,618615 13,336073 15,269451 33,29702 Fa/Fc 3,324381313 1,492744191 2,04512559 2,687619792 3,48536792 2,309651453 1,633490323 3,310781216 Percebe-se através dos dados obtidos que as freqüências naturais entre as vigas de aço são normalmente bem maiores que as freqüências obtidas para o concreto. O fato dessa discrepância pode ser explicado se for feito uma análise na fórmula da freqüência natural: f = k , tem-se que para uma mesma viga, as seções transversais de aço m utilizadas têm áreas bem menores que as seções de concreto para os mesmos casos, o que já faz com que a massa (m) seja reduzida e conseqüentemente a freqüência natural aumentada (basta observar a fórmula), outra coisa deve ao fato de a constante k ser diretamente proporcional ao módulo de elasticidade E do material, e tem-se que o módulo de elasticidade do aço é cerca de 10 vezes maior que a do concreto, assim, conclui-se que para casos gerais, normalmente materiais de aço tendem a possuir freqüências naturais maiores que a de concreto. 4.3 ESTUDO DE VIGA COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE Para introduzirmos este caso de estudo faz-se inicialmente a dedução de um modelo matemático para calcular os três primeiros modos de vibrar de uma viga simples bi apoiada, para isso, toma-se como exemplo um modelo de FILHO (2005). Neste modelo tem-se a separação da viga em diversos graus de liberdade, tem-se que cada grau de liberdade em que a viga é separada tem sua maneira própria de vibrar em 123 MHS, ou seja, cada grau de liberdade se movimenta em MHS, porém essas vibrações se processam harmonicamente seguindo uma equação horária de deslocamento: U = U 0 senwt , sendo que para todos os pontos existe a mesma freqüência natural w, porém o que diferencia cada grau de liberdade é o fato de cada um ter sua amplitude própria na vibração livre, ou seja, eles vibram todos harmonicamente, mais possuem deslocamentos diferentes. Este fato explicado acima pode ser exemplificado na figura 4.8 abaixo, onde cada uma dessas retas mostrando os deslocamentos exemplifica um grau de liberdade da estrutura. Figura 4.8 – Gráfico de Inércias x Freqüências. O cálculo de todos os pontos nodais no modelo de elementos finitos pode se resumir a esta equação de deslocamento: U 1 (t ) U 01 sen( wt ) U 01 U (t ) U sen( wt ) U 02 2 02 M {U (t )} = M = = M sen( wt ) Equação 4.1 M M M U n (t ) U 0n sen( wt ) U 0n 124 Para esses casos da viga, se chega que os modos de vibrar do primeiro, segundo e terceiro modos são respectivamente: w1 = π ² EI Equação 4.2 L² µ w2 = 4w1 Equação 4.3 w1 = 9w1 Equação 4.4 Onde o parâmetro µ é dado por: massa / comprimento. 4.3.1 EXEMPLO PRÁTICO Agora é feito um exemplo de uma viga bi apoiada no software SAP2000 com vários graus de liberdade, com o objetivo de se calcular suas freqüências e verificar seus modos de vibração, o mesmo exemplo também é realizado por meio do cálculo manual com o uso das equações descritas no item acima, posteriormente é realizado uma comparação entre os resultados. Primeiramente são realizados os cálculos manuais dos três modos de vibrar da viga, abaixo seguem os cálculos e a descrição da viga: • Viga bi apoiada de 5m de vão com seção retangular de concreto de 0,50m (h) x 0,20m (l) • Concreto com módulo de elasticidade de 2,48555 x 107 Kn/m² • Massa por volume = 2,408 Kg/m³ • Peso por volume = 23,5631 Kn/m³ • Fck de aprox. 27,5 Mpa 125 Abaixo segue uma figura ilustrativa da viga e da sua seção: Figura 4.9 – Gráfico de Inércias x Freqüências. Segue agora abaixo os caçulos das freqüências naturais: w1 = π ² EI 3,1415² 24855578.0,0020833 = = 183,258 Equação 4.2 L² µ 5² 0,24028 w1 = 183,258[rad / s ] = 29,167[ Hz ] w2 = 4w1 = 4.29,167 = 116,668 [Hz] Equação 4.3 w1 = 9w1 = 9.29,167 = 262,503 [Hz] Equação 4.4 Agora o mesmo exemplo é calculado com vários graus de liberdade no programa SAP2000, como está explicado abaixo: Primeiramente são mostradas as características do concreto utilizado na viga, como mostra a figura 4.10 abaixo: 126 Figura 4.10 – Propriedades do concreto. 127 Figura 4.11 – Propriedades da seção. Na figura 4.12 abaixo mostra-se como é realizado o procedimento para separar uma estrutura em vários graus de liberdade no SAP2000, para este caso, basta dividir a viga em vários nós, neste caso dividiu-se a viga em 20 partes iguais: 128 Figura 4.12 – Comando para dividir a viga em vários nós. Na figura 4.13 abaixo se pode observar que a viga está dividida em diversos nós, possuindo assim vários graus de liberdade. 129 Figura 4.13 – Viga com vários graus de liberdade. Nas figuras 4.14, 4,15, 4.16 abaixo se pode observar que os modos de deslocamento para o primeiro, segundo e terceiro modos de vibrar respectivamente: Figura 4.14 – Primeiro modo de vibrar. 130 Figura 4.15 – Segundo modo de vibrar. Figura 4.16 – Terceiro modo de vibrar. Abaixo segue uma tabela com os resultados obtidos pelo SAP2000: Tabela 4.6 – Tabela de freqüências e períodos. TABLE: Períodos e Freqüências OutputCase StepType StepNum Text MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL Text Mode Mode Mode Mode Mode Mode Unitless 1 2 3 4 5 6 Period Frequency CircFreq Eigenvalue Sec 3,47E-02 8,97E-03 4,20E-03 3,11E-03 2,53E-03 1,75E-03 Cyc/sec 28,82843 111,470504 237,940653 321,298937 395,570124 572,185429 rad/sec 181,13437 700,38983 1495,0252 2018,7808 2485,4404 3595,1471 rad2/sec2 32809,65926 490545,9181 2235100,387 4075475,746 6177413,951 12925082,53 131 MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL Mode Mode Mode Mode Mode Mode 7 8 9 10 11 12 1,56E-03 1,32E-03 1,06E-03 1,05E-03 8,86E-04 7,90E-04 640,616958 757,800543 944,954185 955,985363 1128,33959 1265,4598 4025,1151 4761,4012 5937,3223 6006,6332 7089,5667 7951,1184 16201551,25 22670941,76 35251795,5 36079642,28 50261956,63 63220284,26 4.3.2 COMPARAÇÃO ENTRE RESULTADOS Abaixo segue uma tabela comparativa com os resultados obtidos na resolução manual, na resolução por meio do SAP2000 e as discrepâncias entre as respostas: Tabela 4.7 – Tabela de freqüências do SAP2000 e do exemplo manual. Frequências Modelo Manual (Fm) [Hz] Frequências SAP2000 (Fs) [Hz] Discrepância (Fm - Fs)/ Fm [%] 29,167 28,82928027 1,157882971 116,668 111,4737917 4,452127703 262,503 237,9476704 9,354304383 Conclui-se pela análise que os resultados obtidos foram realmente muito próximos, e os modos de deslocamento da viga foram exatamente os modos estudados no exemplo manual. 4.3.3 EXEMPLO DE UM PAVIMENTO DE SISTEMA MISTO (AÇO – CONCRETO) Neste caso, pretende-se fazer um exemplo de um pavimento de 6,0 x 6,0 m com um sistema construtivo misto de vigas e pilares de aço e composto por uma laje maciça de concreto. Pretende-se mostrar por este exemplo como que se introduz no SAP2000 uma estrutura em 3D, como modelar uma laje através de membrana (Shell), como obter os esforços e as tensões que atuam nesta membrana segundo as convenções do programa SAP2000. 132 Pretende-se também explorar a comparação de diversos exemplos em dois casos principais, um somente com a variação da espessura da laje e outro com somente a variação dos perfis metálicos das vigas. Abaixo segue uma ilustração detalhada de como será a estrutura a ser estudada: Figura 4.17 – Planta baixa do pavimento Os pilares que sustentam a estrutura terão 3,0 m de comprimento e serão do perfil metálico W 530 x 150, e todos serão engastados na base. As lajes serão de concreto armado e maciças, podendo medir 8,0 cm 10,0 cm ou 12,0 cm, as vigas de bordo serão de tamanhos variáveis entre VS 300, VS 400, VS 500, ou por perfis similares a esses. A viga V1 (como mostra a figura 4.17 acima) será sempre uma W 250 x 25,3. 133 4.3.3.1 PRIMEIRO CASO O primeiro caso a ser analisado no SAP2000 é o que possui as vigas de bordo W 410 x 46,1, os pilares W 530 x 150, e a viga V1 (figura 4.17) W 250 x 25,3. Neste caso a laje possui concreto de aproximadamente 27 MPa e 8,0 cm de espessura. As propriedades de módulo de elasticidade, peso por volume, massa por volume, tanto do aço quanto do concreto serão mostradas em tabelas e serão as mesmas para todos os exemplos daqui em diante. Daqui em diante será mostrado bem detalhadamente como foi lançado o modelo por meio de várias figuras. Primeiramente é escolhido a opção 3D frames para poder lançar a estrutura em 3D, como mostra a figura 4.18: Figura 4.18 – Iniciando o novo modelo Após a escolha, aparecerá uma tela com as opções de vãos (bays), opções de pavimentos (stories) e suas respectivas distâncias (width e Heigth), como mostra abaixo: 134 Figura 4.19 – Lançamento da estrutura Após o aparecimento da estrutura, foi feita a divisão das vigas em que as lajes se apóiam em diversos nós, ou seja, em diversos graus de liberdade (no caso deste exemplo foi feita 20 graus de liberdade para cada viga de bordo). As duas figuras abaixo exemplificam bem essa etapa. Ressalta-se que as vigas que cortam o pavimento interiormente também são divididas em vários graus de liberdade, porém isso é feito posteriormente, junto com a divisão da laje. 135 Figura 4.20 – Dividir as vigas de bordo Figura 4.21 –Vigas com vários graus de liberdade 136 Abaixo seguem as propriedades do concreto utilizadas para a laje e as propriedades do aço utilizada para as vigas, ressalta-se novamente que essas propriedades serão sempre as mesmas nos exemplos posteriores. Figura 4.22 – Propriedades do concreto 137 Figura 4.23 – Propriedades do aço Nas três próximas figuras tem-se o lançamento dos perfis metálicos que irão compor a estrutura. 138 Figura 4.24 – Importando perfil metálico de biblioteca 139 Figura 4.25 – Propriedades do perfil Figura 4.26 – Três perfis lançados 140 Nas duas próximas figuras explica-se como lançar a laje e sua espessura: Figura 4.27 – Lançando área 141 Figura 4.28 – Definindo propriedades da laje Em modify/show Shell design parameters, na figura 4.28 é possível colocar a laje armada em uma direção, ou em duas direções, neste caso a laje foi armada em duas direções em cima e em baixo, com grelhas ASTM GR.60. Após lançada a laje, deve-se desenhá-la em seu local de uso na estrutura, para isso segue-se o seguinte procedimento: 142 Figura 4.29 – Desenhando a laje Figura 4.30 – Desenhando a laje 143 Depois de efetuado o desenho da laje, deve-se dividi-la em diversos graus de liberdade (nós), neste caso a laje foi dividida em 400 pequenos pedaços. As três próximas figuras exemplificam bem como executar tal procedimento: Figura 4.31 – Procedimento para dividir área 144 Figura 4.32 – Definição da quantidade de divisões da laje Figura 4.33 – Laje dividida em diversos graus de liberdade Abaixo seguem figuras que mostram como a estrutura realmente ficou depois de lançada suas propriedades de seções, seus graus de liberdade, seus apoios, etc.: 145 Figura 4.34 – Figura com todas propriedades lançadas Figura 4.35 – Vista da figura em planta 146 Figura 4.36 – Vista nos eixos z-y Figura 4.37 – Vista 3D por baixo Nas próximas duas figuras seguem os modelos deslocados da estrutura pela ação de seu peso próprio: 147 Figura 4.38 – Deslocamento pelo peso próprio Figura 4.39 – Deslocamento pelo peso próprio Agora seguem 20 ilustrações que mostram todos os modos de vibração que essa estrutura possui, observa-se que o período da oscilação é dado no topo da figura. 148 Figura 4.40 – Primeiro modo de vibrar Figura 4.41 – Segundo modo de vibrar 149 Figura 4.42 – Terceiro modo de vibrar Figura 4.43 – Quarto modo de vibrar 150 Figura 4.44 – Quinto modo de vibrar Figura 4.45 – Sexto modo de vibrar 151 Figura 4.46 – Sétimo modo de vibrar Figura 4.47 – Oitavo modo de vibrar 152 Figura 4.48 – Nono modo de vibrar Figura 4.49 – Décimo modo de vibrar 153 Figura 4.50 – Décimo Primeiro modo de vibrar Figura 4.51 – Décimo segundo modo de vibrar 154 Figura 4.53 – Décimo Terceiro modo de vibrar Figura 4.54 – Décimo quarto modo de vibrar 155 Figura 4.55 – Décimo quinto modo de vibrar Figura 4.56 – Décimo sexto modo de vibrar 156 Figura 4.57 – Décimo sétimo modo de vibrar Figura 4.58 – Décimo oitavo modo de vibrar 157 Figura 4.59 – Décimo nono modo de vibrar Figura 4.60 – Vigésimo modo de vibrar 158 Abaixo seguem três figuras que mostram os diagramas de momentos nas vigas e nos pilares devido a ação do peso próprio da estrutura: Figura 4.61 – Diagrama de momentos 3-3 159 Figura 4.62 – Detalhe do momento no primeiro pilar 160 Figura 4.63 – Diagramas de momento 2-2 Antes de colocar as figuras de esforços e tensões na laje, mostra-se as convenções de cargas e tensões utilizadas pelo SAP2000: Figura 4.64 – Convenções para as tensões no SAP2000 161 Figura 4.65 – Convenções para os esforços no SAP2000 [SAP2000 (1997) – Analysis Reference] Agora sim seguem várias figuras de esforços e tensões na laje (Shell): Figura 4.66 – Diagrama F11 162 Figura 4.67 – Diagrama F22 Figura 4.68 – Diagrama FMAX 163 Figura 4.69 – Diagrama M11 Figura 4.70 – Diagrama M22 164 Figura 4.71 – – Diagrama M12 Figura 4.72 – – Diagrama MMAX 165 Figura 4.73 – Diagrama V13 Figura 4.74– Diagrama V23 166 Figura 4.75 – – Diagrama VMAX Figura 4.76 –Diagrama S11 167 Figura 4.77 –Diagrama S22 Figura 4.78 – Diagrama S12 168 Figura 4.79 – Diagrama SMAX Figura 4.80 – Diagrama SMAXV 169 Abaixo seguem tabela com os parâmetros de resposta do SAP2000: Tabela 4.8 – Tabela das reações da base para diversos casos. TABLE: Base Reactions OutputCase CaseType StepNum GlobalFX GlobalFY GlobalFZ Text Text Unitless KN KN KN DEAD LinStatic -1,56E-13 -1,07E-14 99,359954 MODAL LinModal 1 -12,56423 -1,70E-06 -5254,48 MODAL LinModal 2 -2,84E-05 7940,5262 -1,31E-04 MODAL LinModal 3 17839,554 1,82E-06 -1574,327 MODAL LinModal 4 -28788,95 2,60E-05 -1070,637 MODAL LinModal 5 9,53E-04 1101,1377 -5,72E-04 MODAL LinModal 6 3,30E-04 50,200938 -5,18E-03 MODAL LinModal 7 8,76E-04 -1,935655 -3,50E-03 MODAL LinModal 8 -152,9005 3,48E-05 -24199,77 MODAL LinModal 9 -180,6637 4,28E-04 -48836,39 MODAL LinModal 10 3958,2704 -1,25E-04 -4389,847 MODAL LinModal 11 -5,77E-03 4043,9313 -4,17E-03 MODAL LinModal 12 -7596,263 8,59E-04 9987,9516 MODAL LinModal 13 -3,33E-03 3045,5128 -3,88E-02 MODAL LinModal 14 2353,0461 2,80E-03 45793,349 MODAL LinModal 15 1865,5219 -7,97E-03 -424,324 MODAL LinModal 16 0,1701724 -0,342662 -0,483239 MODAL LinModal 17 5,01E-03 0,8449933 8,79E-02 MODAL LinModal 18 -186,6559 9,26E-03 -41763,17 MODAL LinModal 19 -2,72E-02 962,4624 2,82E-02 MODAL LinModal 20 -938,7544 0,0134062 -87175,09 GlobalMX KN-m -6,34E-12 -5,47E-05 -23441 4,80E-04 1,12E-04 -66351,3 -570,977 25,94078 1,35E-02 -3,91E-02 -2,16E-02 33175,52 -3,82E-02 -237027 -0,2129 0,387312 -32,8578 1,879984 -0,80909 -62128,2 -0,51044 GlobalMY KN-m 1,138914 393,88793 -5,17E-04 17006,895 -111172,9 1,90E-02 1,17E-03 3,67E-02 -5938,522 14846,08 -78144,01 0,0511308 -141558,5 0,0400508 46444,122 23159,122 1,627413 0,2730074 43790,197 -0,136151 14758,671 GlobalMZ KN-m 3,55E-14 1,52E-04 -120,2327 -2,69E-04 -1,71E-03 -893,5039 133889,44 -9292,373 -3,27E-03 9,99E-03 -3,33E-02 20,15152 -2,55E-03 10,648325 -2,24E-02 5,59E-03 -39382,9 -43236,96 0,1258438 -30,70307 0,1274747 Muitas tabelas foram descartadas de ser colocadas aqui devido a imensa quantidade de valores resultantes do SAP2000, e sendo que não vem ao caso de nosso estudo colocar todas as respostas, assim, segue aqui abaixo uma tabela com os valores de freqüências e períodos: Tabela 4.9 – Tabela de períodos e frequências. TABLE: Modal Periods And Frequencies OutputCase StepType StepNum Period Frequency CircFreq Eigenvalue Text Text Unitless Sec Cyc/sec rad/sec rad2/sec2 MODAL Mode 1 0,13 7,59 47,69 2274,17 MODAL Mode 2 0,12 8,15 51,18 2619,32 MODAL Mode 3 0,06 16,41 103,13 10634,84 MODAL Mode 4 0,06 17,01 106,88 11423,44 MODAL Mode 5 0,05 19,84 124,64 15534,42 MODAL Mode 6 0,05 19,98 125,57 15767,13 MODAL Mode 7 0,04 25,55 160,51 25765,01 170 MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0,04 0,03 0,03 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,01 0,01 0,01 26,27 33,28 36,84 40,42 42,54 49,48 50,10 56,86 61,60 62,75 71,30 74,18 75,62 165,08 209,10 231,50 253,97 267,26 310,90 314,79 357,24 387,06 394,30 448,02 466,09 475,14 27252,08 43722,65 53593,20 64499,88 71430,50 96656,39 99095,21 127618,09 149819,04 155470,62 200717,73 217243,52 225759,06 4.3.3.2 SEGUNDO CASO – Modificação da viga de bordo Para o segundo caso em diante somente será feita uma breve descrição dos materiais utilizados, das modificações ocorridas. As imagens serão poupadas devido a descrição bem clara e detalhada dos itens anteriores, porém ressalta-se que os modos de vibrar são diferentes para cada caso, assim, somente será colocada a tabela de freqüências e períodos obtidas para que posteriormente possa ser realizada comparações entre os resultados. Para o segundo caso, toda a estrutura permanece a mesma que o primeiro caso, somente com a modificação das vigas de bordo, sendo trocadas de W 410 x 46,1 por W 530 x 85. Abaixo segue a tabela de freqüências e períodos para este novo caso: Tabela 4.10 – Tabela de períodos e freqüências. TABLE: Modal Periods And Frequencies OutputCase StepType StepNum Period Frequency CircFreq Eigenvalue Text Text Unitless Sec Cyc/sec rad/sec rad2/sec2 MODAL Mode 1 0,13 7,94 49,86 2485,86 MODAL Mode 2 0,11 8,76 55,02 3026,75 MODAL Mode 3 0,06 17,90 112,48 12652,16 MODAL Mode 4 0,05 18,34 115,21 13272,36 MODAL Mode 5 0,05 21,06 132,32 17507,67 MODAL Mode 6 0,05 21,56 135,49 18357,62 MODAL Mode 7 0,04 26,16 164,35 27010,47 MODAL Mode 8 0,03 30,37 190,81 36406,58 MODAL Mode 9 0,03 38,19 239,95 57574,35 MODAL Mode 10 0,02 41,31 259,54 67363,09 171 MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,01 0,01 0,01 43,96 44,20 52,71 54,29 60,90 64,14 64,53 71,17 76,21 76,59 276,19 277,70 331,16 341,09 382,64 403,03 405,47 447,16 478,85 481,24 76280,01 77114,56 109669,66 116344,73 146415,11 162429,61 164407,72 199953,58 229298,33 231589,08 4.3.3.3 TERCEIRO CASO - Modificação da viga de bordo Para o terceiro caso, toda a estrutura permanece a mesma, somente com a modificação das vigas de bordo, sendo trocadas de W 530 x 85 por W 610 x 125. Abaixo segue a tabela de freqüências e períodos para este novo caso: Tabela 4.11 – Tabela de períodos e frequências. OutputCase Text MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL TABLE: Modal Periods And Frequencies StepType StepNum Period Frequency CircFreq Text Unitless Sec Cyc/sec rad/sec Mode 1 0,12 8,09 50,82 Mode 2 0,11 8,71 54,75 Mode 3 0,05 18,68 117,36 Mode 4 0,05 19,02 119,49 Mode 5 0,05 21,35 134,17 Mode 6 0,05 22,15 139,16 Mode 7 0,04 26,52 166,62 Mode 8 0,03 32,61 204,91 Mode 9 0,03 39,99 251,29 Mode 10 0,02 43,53 273,51 Mode 11 0,02 45,33 284,83 Mode 12 0,02 46,31 290,94 Mode 13 0,02 54,71 343,76 Mode 14 0,02 56,87 357,34 Mode 15 0,02 63,45 398,67 Mode 16 0,02 65,08 408,94 Mode 17 0,02 65,34 410,56 Mode 18 0,01 71,17 447,18 Mode 19 0,01 76,93 483,34 Mode 20 0,01 77,06 484,21 Eigenvalue rad2/sec2 2582,79 2997,77 13772,20 14277,50 18002,16 19366,88 27762,33 41986,91 63144,39 74806,41 81127,74 84648,79 118168,98 127695,15 158939,76 167231,61 168556,91 199970,94 233622,23 234455,30 172 4.3.3.4 COMPARAÇÃO ENTRE OS TRÊS PRIMEIROS CASOS – SOMENTE VARIAÇÃO DAS VIGAS DE BORDO Variaram-se somente as vigas da borda da estrutura para verificar o que isso provocaria na alteração de freqüências, percebe-se que quanto mais a viga de bordo é aumentada maior fica a freqüência natural da estrutura, ressaltando que isso acontece na grande maioria dos casos. Abaixo a tabela 4.12 mostra essa variação: Tabela 4.12 – Comparação entre frequências. Comparação entre os 3 casos estudados Frequência Frequência Frequência Variação Variação - Primeiro - Segundo - Terceiro entre o 1 entre o 2 OutputCase StepNum caso caso caso e 2 caso e 3 caso Text MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL Unitless 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 rad/sec rad/sec rad/sec 47,69 49,86 50,82 51,18 55,02 54,75 103,13 112,48 117,36 106,88 115,21 119,49 124,64 132,32 134,17 125,57 135,49 139,16 160,51 164,35 166,62 165,08 190,81 204,91 209,10 239,95 251,29 231,50 259,54 273,51 253,97 276,19 284,83 267,26 277,70 290,94 310,90 331,16 343,76 314,79 341,09 357,34 357,24 382,64 398,67 387,06 403,03 408,94 394,30 405,47 410,56 448,02 447,16 447,18 466,09 478,85 483,34 475,14 481,24 484,21 % 4,35 6,97 8,32 7,23 5,80 7,32 2,33 13,48 12,86 10,80 8,05 3,76 6,12 7,71 6,64 3,96 2,76 -0,19 2,66 1,27 % 1,89 -0,48 4,15 3,58 1,38 2,64 1,36 6,88 4,51 5,11 3,03 4,55 3,66 4,55 4,02 1,45 1,24 0,00 0,93 0,61 173 4.3.3.5 QUARTO CASO – Modificação da altura da laje Para o quarto caso, toda a estrutura permanece a mesma que o primeiro caso, as vigas de bordo são W 410 x 46,1, os pilares são W 530 x 150 a viga V1 é W 250 x 25,3. Neste caso o que altera é a altura da laje, passando agora a ter 10,0 cm. Abaixo segue a tabela de freqüências e períodos para este novo caso: Tabela 4.13 – Tabela de períodos e frequências. OutputCase Text MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL TABLE: Modal Periods And Frequencies StepType StepNum Period Frequency CircFreq Text Unitless Sec Cyc/sec rad/sec Mode 1 0,13 7,93 49,79 Mode 2 0,11 9,06 56,92 Mode 3 0,06 17,27 108,52 Mode 4 0,05 19,67 123,56 Mode 5 0,05 21,12 132,70 Mode 6 0,04 24,03 150,97 Mode 7 0,03 32,71 205,51 Mode 8 0,03 34,82 218,76 Mode 9 0,02 42,54 267,30 Mode 10 0,02 45,24 284,23 Mode 11 0,02 53,08 333,50 Mode 12 0,02 53,14 333,88 Mode 13 0,02 57,37 360,48 Mode 14 0,02 57,87 363,61 Mode 15 0,01 67,21 422,30 Mode 16 0,01 79,60 500,11 Mode 17 0,01 80,30 504,55 Mode 18 0,01 81,64 512,95 Mode 19 0,01 87,27 548,34 Mode 20 0,01 89,55 562,65 Eigenvalue rad2/sec2 2479,52 3239,52 11776,40 15267,19 17609,14 22790,74 42233,86 47856,89 71448,51 80787,84 111224,25 111475,18 129945,94 132214,83 178340,85 250113,00 254574,46 263118,33 300677,36 316570,39 4.3.3.6 QUINTO CASO – Modificação da altura da laje Para o quarto caso, toda a estrutura permanece a mesma que o primeiro caso, as vigas de bordo são W 410 x 46,1, os pilares são W 530 x 150 a viga V1 é W 250 x 25,3. Neste caso o que altera é a altura da laje, passando agora a ter 12,0 cm. Abaixo segue a tabela de freqüências e períodos para este novo caso: 174 Tabela 4.14 – Tabela de períodos e frequências. TABLE: Modal Periods And Frequencies StepType StepNum Period Frequency CircFreq Eigenvalue Text Unitless Sec Cyc/sec rad/sec rad2/sec2 Mode 1 0,13 7,47 46,91 2200,14 Mode 2 0,10 10,07 63,24 3999,38 Mode 3 0,06 16,29 102,35 10475,39 Mode 4 0,05 18,85 118,44 14028,72 Mode 5 0,04 22,99 144,45 20865,51 Mode 6 0,04 25,83 162,32 26349,12 Mode 7 0,03 35,92 225,68 50933,48 Mode 8 0,03 38,57 242,34 58729,34 Mode 9 0,02 43,92 275,97 76160,49 Mode 10 0,02 46,87 294,47 86713,38 Mode 11 0,02 56,60 355,60 126451,21 Mode 12 0,02 62,22 390,93 152823,87 Mode 13 0,02 63,27 397,55 158042,53 Mode 14 0,02 65,13 409,23 167472,34 Mode 15 0,01 73,39 461,15 212662,80 Mode 16 0,01 92,24 579,56 335885,12 Mode 17 0,01 92,93 583,88 340917,25 Mode 18 0,01 93,83 589,57 347591,82 Mode 19 0,01 100,48 631,33 398576,32 Mode 20 0,01 104,43 656,16 430544,86 OutputCase Text MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL 4.3.3.7 COMPARAÇÃO ENTRE PRIMEIRO, QUARTO E QUINTO CASO – Variação da altura da laje Variaram-se somente as alturas da laje da estrutura para verificar o que isso provocaria na alteração de freqüências, percebe-se que quanto mais alta a laje, maior é a freqüência natural da estrutura. Abaixo a tabela 4.15 mostra essa variação: Tabela 4.15 – Comparação entre frequências. OutputCase Text MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL StepNum Frequência Primeiro caso Frequência Segundo caso Frequência Terceiro caso Variação entre o 1 e 2 caso Variação entre o 2 e 3 caso Unitless rad/sec rad/sec rad/sec % % 47,69 49,79 46,91 51,18 56,92 63,24 103,13 108,52 102,35 106,88 123,56 118,44 124,64 132,70 144,45 1 2 3 4 5 4,23 10,08 4,97 13,50 6,08 -6,16 10,00 -6,03 -4,32 8,13 175 MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL MODAL 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 125,57 150,97 162,32 160,51 205,51 225,68 165,08 218,76 242,34 209,10 267,30 275,97 231,50 284,23 294,47 253,97 333,50 355,60 267,26 333,88 390,93 310,90 360,48 397,55 314,79 363,61 409,23 357,24 422,30 461,15 387,06 500,11 579,56 394,30 504,55 583,88 448,02 512,95 589,57 466,09 548,34 631,33 475,14 562,65 656,16 16,82 21,89 24,54 21,77 18,55 23,85 19,95 13,75 13,43 15,41 22,60 21,85 12,66 15,00 15,55 7,00 8,94 9,73 3,14 3,48 6,21 14,59 9,32 11,15 8,42 13,71 13,59 13,00 13,15 14,25 176 5. CONCLUSÕES Primeiramente foi abordado no trabalho toda uma parte de conceituação de vibrações, tipos de vibrações e critérios de aceitação existentes pelas Normas e por autores renomados. Chegou-se a conclusão que o tema já possui uma quantidade significativa de estudos, porém nenhuma tese ou Norma tem uma solução definitiva e padronizada. A questão dos critérios de aceitação das vibrações tem um contexto muito subjetivo, o que torna a análise muito mais complexa, alguns critérios utilizados atualmente têm embasamento empírico. Ressalta-se também que algumas Normas ainda deixam a desejar no conteúdo de análise dinâmica, como é o caso da Norma brasileira. Esse trabalho realizou diversos exemplos analíticos de estruturas além de efetuar as análises dinâmicas no software SAP 2000. Os exemplos numéricos foram realizados em diversas vigas (engastadas, apoiadas, etc.), uma caixa d’água, um pavimento e outras estruturas. Com o auxílio do software, foi possível calcular vários dados da estrutura como: seus modos de vibração, freqüências naturais, reações e esforços. Também foram feitos diversos exemplos de vigas com variações dimensionais (modulo de elasticidade, largura, altura, vão, rigidez específica). Na comparação entre os resultados verificou-se que realmente a frequência natural da estrutura está diretamente ligada: às propriedades do material que a constitui, as condições de apoio, ao tipo de seção. No exemplo em que houve a variação das seções da viga de concreto, as freqüências naturais sempre aumentavam no caso em que base era mantida constante e havia o aumento da altura, e para o caso da altura constante e variação da base acontecia a mesma coisa. No caso em que a seção era mantida constante e só ocorria a mudança do material de concreto para aço, as frequências também aumentavam significativamente, se a comparação fosse feita pela inércia da seção. Houve uma comparação entre os resultados obtidos calculando a estrutura por meio de expressões analíticas e com o uso do software. O objetivo disto estava em observar uma grandeza de comparação entre os erros que se obtém no uso do software e do cálculo analítico. Neste caso, os erros não foram muito grandes, mostrando a credibilidade das expressões analíticas. 177 No exemplo final, fez-se a resolução de um pavimento, onde havia variação das vigas de bordo e das alturas das lajes. Em ambas variações, quanto mais rígida a estrutura ficava, maior era sua frequência, ou seja, com o aumento da altura da laje a frequência aumentava, e com o aumento da seção da viga de bordo a mesma coisa ocorria. Chega-se a conclusão que este assunto de análise dinâmica de estruturas é de extrema importância para o cálculo e dimensionamento de estruturas, devendo sim ser aplicado em projetos, visando a qualidade de conforto e segurança. Outro aspecto é a necessidade de aprofundamento e a elaboração de mais estudos sobre o tema, pois como foi abordado, ele ainda tem algumas discrepâncias entre autores e Normas. 178 6. REFERÊNCIAS ALLEN, D.E.; MURRAY, T.M. Design Criterion for Vibrations Due to Walking – Engineering Journal, American Institute of Steel Construction, FOURTH QUARTER/1993, p.117-129. 1993. ALCANTARA, P. G. Analise teórico - experimental de um tabuleiro misto madeira - concreto composto por vigas circulares, 2005. 127 p. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil). Departamento de Engenharia Civil, Unesp – Universidade Estadual Paulista, Ilha Solteira, 2005. BAPTISTA, M.A. Análise experimental para obtenção das características dinâmicas do edifício da Portugal TELECOM no parque das Nações. In: SÍSMICA - CONGRESSO NACIONAL DE SISMOLOGIA E ENGENHARIA SÍSMICA. 6. Portugal. Anais... Lisboa. p. 566 – 574. 2004. CRAIG, M.F. Evaluation of a floating aerobics floor. Master Tesis. Virginia Polytechnic Institute.1997. FILHO, A.A. Elementos Finitos – A Base da Tecnologia CAE. 1. ed. São Paulo: Editora Érica, 2005. 301 p. FILHO, L.A.C. Curso de dinâmica das estruturas. Rio de Janeiro, Rio de Janeiro: Instituto Militar de Engenharia – Departamento de Engenharia Civil, 2004. 30 p. Notas de aula. 179 INCH, Z. et al. Elementos Finitos com Funções “Spline” para Instabilidade e Dinâmica de Estruturas, 2008. 94 p. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil). Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2008. MOREIRA, B.C., et al. Avaliação das vibrações em pisos segundo a variação da taxa de amortecimento. In. JORNADAS SULAMERICANAS DE ENGENHARIA ESTRUTURAL. 32. 2006. Brasil. Anais... Campinas. p. 841 – 856. MURRAY, T. M.; ALLEN, D. E.; UNGAR, E. E. Floor vibration due to Human Activities AISC Steel Design Guide Series, vol 11, 1997. NBR 6118. Projeto e execução de obras de concreto armado, ABNT, 2003. NBR 8800. Projeto e execução de estruturas de aço de edifícios, ABNT, 1998. Ng. A.; Yum Gary. Floor vibrations in composite steel office buildings, March, 2005. NÓBREGA, P.G.B., Análise dinâmica de estruturas de concreto: estudo experimental e numérico das condições de contorno de estruturas pré - moldadas, 2004. 239 p. Dissertação (Doutorado em Engenharia Civil). Departamento de Engenharia Civil, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2004. RAKESH, K.G. Tutorial do SAP 2000 Educational. San Luis Obispo, California: California Polytechnic State University - Department of Civil and Environmental Engineering, 2001. 22 p. Apostila. RIBEIRO, E. de C. Análise de torres metálicas estaiadas submetidas à ação do vento, 2007. 177 p. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil). Departamento de Engenharia Civil e Ambiental, Universidade de Brasília, Brasília, 2007. SOMMER, R.M.R. Análise de vibrações em pisos mistos de aço/concreto, 2002. 138 p. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil).Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, 2002. YANG, T. Behavior of plastic design of steel structures. Berkeley, California: University of California - Department of Civil Engineering, 2005. 30 p. Notas de aula.