L - engenharia santos
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P aLo..de .L'0- ç, 1..0- Cj ill- 1'2, s: 3 P< -- 10 M -- úle~~Lade ------_ I f1t' 1.cJ:JJ711']( 6.1.. .J..dJJde ~c:iJ....>-..-D..(if\ I L.J...f) ~ z: me;, ..10 'l UNISANTA - ELETROMAGNETlSMO 11 - Prof. Hugo Santana EQUAÇÕES DE MAXWELL E CAMPO MAGNÉTICO VÁRlÁ VEL NO TEMPO LISTA DE EXERCÍCIOS - PI 1) A figura abaixo mostra uma barra condutora paralela ao eixo y, que completa uma malha através de contatos deslizantes com os condutores em y = O e em y = 0,05 [m]. a) Calcular a tensão induzida quando a barra está parada em x 0,05 [rn] e 4 B = 0,30sen10 t [T]. b) Repita o item acima supondo que a barra desloca-se com velocidade v = 150 a x y B /7' 0,05 B / /~- v) ...•..v , tem L--------+----~~~----------·x Resolução: fem a) -J .-ctL = 'jJ(v x B) _ \~ Sentido de circulação (Regra do saca-rolhas) .(.ôB ~ 4 - J.-dS-;-ond B~-0-se n-I-O-'-1:a z s ôl Barra parada => ; = O => .. fem = - fem = - i(; x B) • dL ôR f·dS, s ôt 0,050,05 . L = - v (01) O - onde dS = dxdy a- ;:J 4 c/ fy=o x=of --ôt (0,30 sen - io t)az. - dxdy a , 0,050,05 fem =- f f (0,30.104 . COSI04t)dxdy y=Ox=O fem = -0,30.104 b) • i(v x R). dL Cálculo de v x R : fem = vxR = vB . COS104t· (0,05)2 -7,5· COSI04t, sen 90 (-ãy) 0 => =>Iffem = --7,5- .-~~~-I04-;---[vT\I onde dL = dy;y vxR = -45 senl04tãy Substituindo (03) em (02), temos: 0,05 fem =-45senl04t· fãy .dyãy -7,5,COSI04t y=O fem = -45 sen 104t· (0,05) -7,5· IIfem = -2,25 sen 104t -7,5· COS 104t COS 104t [V] ~ - Página}- (02) [T] (03) UNISANTA - EQUAÇÕES ELETROMAGNETISMO II - Prof. Hugo Santana DE MAXWELL E CAMPO MAGNÉTICO V ÁRIÁ VEL NO TEMPO 2) Uma bobina de 50 espiras tem uma área de 20 [cnr'] e gira em torno de um eixo situado em um plano perpendicular a um campo magnético uniforme de 40 [mT]. a) Considerando que a bobina gira a uma velocidade de 360 [rpm], calcular o fluxo máximo que atravessa a espira e o valor médio da fem induzida nesta bobina; b) Considerando que a bobina está em repouso e seu plano é perpendicular ao campo, determinar o valor médio da fem induzida na bobina, quando se retira o campo em t = 0,004 [s]; c) Considerando que a bobina não se move e que seu plano forma um ângulo de 60° com a direção do campo de indução, calcular o valor médio da fem induzida na bobina, supondo que o campo de 40 [mT] se anula em t = 0,004 [s]. Resolução: a) / , , } ~ N \ \E S H+-1S_-:'!" ' , \ o' Posição para rft= • , ~nax Posição para rft= o. rPmax = 80 [fLWb] Cálculo de tPmax: rPmax = BS :::::> .20.10-4 rPmax = 40.10-3 :::::> Cálculo do valor médio da fem: femmed = -N . I":.rP , onde I":.té o tempo gasto para o fluxo variar de ~max até zero. (01) ót • Cálculo de Ót: 1 360· - voltas ~ 1s 60 :::::>.M =- 1 - volta ~ ót 4 1 (02) [s] 24 Substituindo (02) em (01), temos: 6 femmed = -50. (O - 80 .10- ) 1 ~I femmed = 96 [mv]~ 24 b) femmed Posição para r/l= timx - Página 2- = I":.rjJ -N·I":.t UNISANTA - ELETROMAGNETISMO EQUAÇÕES DE MAXWELL 11 - Prof. Hugo Santana E CAMPO MAGNÉTICO = 4': lemmed V ÁRIÁ VEL NO TEMPO -N . (qJfinal - qJinicial ) .ó.t = 4': lemmed -N . (O - qJmax) .ó.t femmed = (O - 80 . 10-6 -50· -'-------'4.10-3 ) = 1 [V] ~ ~femmed c) .ó.qJ = fel11med -N .- .ó.t (O 1) • Cálculo de qJinicial : = qJinicial fR. dS ~ qJinicial fB' d S· cos 30° ~ = s do... 1"1I11cla I qJinicial B· S· cos 30° = (02) s = 40 . 10-3 . 20 . 10-4 O, 866 ~ . I do ... 1"1I11cla = 69,282 [IIWb] r Substituindo (02) em (01), temos: I~ 6 (O - 69,282.10- ) femmed =-50· 3) ~ ~mllled 4 . 10- 3 ~ [V] =0,866 'I::::::==========='=!J_ Na figura abaixo, B é constante com o tempo, mas não é uniforme leitura VI2 do voltímetro no instante t = 0,2 [s] se L = 0,4 [m] e: a) [m]e li = (Ji'}z [T]; b) Y ~ 50t' [rnl e li ~(~i}z [Tl; c) y = 10t y = 50i [m] e R=~ y);z (x - no espaço. Encontrar E Z [T]. V L" '/~~" í . /r* !~ 12 i. 2+ .. ) <, ---~: lih·..-;:-;· ;.-,;L:C\;::>">' .. <.. , '1· Resolucão: VI2 = fem para t fem = = 0,2 [s] 1(v x B). d-L- _ f_Ô_B • (01) X . as: B = c-te---- S 8t - Página 3- I)'" y . li-v ,,;,., \ ~ - Sentido de circulação _.iR_t_.Qf_a~jo saca-rolhas) a L-I _ T - ELE.TRO~1AG ETISMO II - Prof. Hugo Santana sou ÇÚE DE tAXWELL E CAMPO MAG ÉTICO VÁRlÁ VEL NO TEMPO (02) a) Cálculo de V(t): V(t) • = dy -ay dt =:> V(t) = d -(IOt)ay dt =:> V(t) 10ay = [is] ms Cálculo de v x B : y-v x B = 1Oay x "2 a z =:> v x B = 5ya x (03) Substituindo (03) em (02), temos: fem = L f 5y;x J- 5ydx = =:> fem • (- dx;x) =:> fem = -5yL x=O = -50tL [V] Substituindo t = 0,2 [s] e L = 0,4 [m] em (04), temos: (04) :. fem fem = = -4,0 ( 50t 2)-ay -50 . 0,2 . 0,4 =:> fem [V] (05) Substituindo (05) em (01), temos: b) Cálculo de v(t): v(t) = dy -ay dt =:> v(t) = -d dt =:> v(t) = - 100tay • • Cálculo de v x B : yv x B = 100t ay x - az =:> v x B 2 = 50tyax (03) Substituindo (03) em (02), temos: fem = L f 50ty;x • (- dx;x) =:> fem = f - 50tydx =:> fem = -50tyL x=O .. fem = Substituindo t 3 -2500t = L [V] (04) 0,2 [s] e L = 0,4 [m] em (04), temos: (05) Substituindo (05) em (01), temos: - Página 4- UNISANTA EQUAÇÕES c) ELETROMAGNETISMO DE MAXWELL II - Prof. Hugo Santana E CAMPO MAGNÉTICO V ÁRlÁ VEL NO TEMPO Cálculo de v(t): v(t) = dy;y dt • - Cálculo de v x v x fi = fem = => v(t) = ~ (50t2 );y => v(t) = 100t;y [m/ ] /s s dt fi : 100t;y x ~(x - y);z 2 Substituindo (03) em (02), temos: f 50t(x => v x fi = 50t(x - y);x (03) L - Y);x • (- dX;x) => fem f - 50t(x = - y)dx x=O fem = 50tyL - 25tL2 => Substituindo t fem = fem = 2500t3 L - 25tL2 [v] (04) = 0,2 [s] e L = 0,4 [m] em (04), temos: 2500· (0,2)3 ·0,4 - 25 ·0,2· (0,4)2 => fem Substituindo (05) em (01), temos: - Página 5- = 8,0 - 0,8 z> fem = 7,2 [v] (05) UNISANTA - ELETROMAGNETISMO 11 - Prof. Hugo Santana EQUAÇÕES DE MAXWELL E CAMPO MAGNÉTICO VÁRIÁ VEL NO TEMPO EXERCÍCIOS PROPOSTOS B 1) Sendo no espaço livre VxB = - l.Ocosú» t -3x) ay =[ÔBz _ ÔBY)ã. +(ÔB&x _ ÔBz)ã +[ÔB& & x & y ôy ÔBx)ã _ y 2) Sendo no espaço livre B ? = 3) Sendo no espaço livre B= 4) Sendo no espaço livre E= ôy - 5 y- cos(m t -x) a , - 40 - - 50sen(2áJ t - x) az - 35y2 z sen(m t - 2x);z - 75 z senit» t - 2x) az determinar z senitu - 2x) a. t- [T], determinar 6) Uma corrente - [T], determinar o campo elétrico [Vim], determinar E o campo elétrico E o campo magnético reto e infinito, colocado no vácuo, possui uma corrente de campo magnético a uma distância de 2 metros do fio. (wt)] H/m H = 0,238cos B= 0,3.10-<; cos(wt)] E z 5) Um condutor filamentar intensidade o campo elétrico H 1= 3cos(wt) A. Qual densidade e a T uniforme Sendo a condutividade de 10A flui por um condutor do material = 5,8.10 7 O' de cobre de raio r =1 Omm, sem isolamento S/ m , pede-se e posicionado no ar. determinar: a) A intensidade de campo magnético a 0,5metro da borda do condutor. b) O campo elétrico de provoca a corrente de condução. 7) Uma bobina de 100 espiras tem uma área de 25 [crrr'] e gira em torno de um eixo situado em um plano perpendicular a um campo magnético uniforme de 60 [mT]. Considerando que a bobina gira a uma velocidade de 360 [rpm], calcule o fluxo máximo que atravessa a espira e o valor médio da fem induzida nesta bobina; Posição Posição para para ~~=Y\t\~ q.,= o. 8) Determine a amplitude da densidade da corrente de deslocamento: (a) próximo à antena de um carro onde a intensidade de campo magnético de um sinal FM é : H, = 0,15cos[2,12 (3.108t-y)] Alm (b) no espaço livre, em um ponto no interior de um transformador By = O,8cos[1,257.10-6 8 (3.l0 t-x)] de distribuição de grande potência onde: T (c) no interior de um capacitor de grande potência preenchido com óleo, no qual E=Ex = O,9cos[1,257.10-ó (3.10 t-z.J5)] 8 (d) em um condutor metálico em 60Hz, se J=Jx = sen (377t-117,lz)] Resp: 0,318 Alm2 G = G o' MV/m fl = flo e O' = 5,8.1 ° 7 S/ me: 2 MAlm - 0,800 A/m2 - 0,01502 Alm2 - Página 6- - 57,6 pA/m2 GI' =5 e: J.~ L f~:d:«L E.Le -- - = ~e 6~ V ~Ô ~ -ô~ ~~ ;;.-:]... 07' (J"X '" ::Q.. Jríau..e CS + Ê ::_ 4 uJo JJ....::..P..D [ill .• é -= éo o /-- 7 --------.----"\ d~ '0) J ~ :;.-[(-50). (-:1) => . =(u.H, - '!>7'I)l ~ uaer-n(QuJ-t-7<) ~ - ~ ~ <1.D. (-::,) z: . [-;)5 Er = .1 ilr .;:: .. ()13~ ~ r. '3:l .f.lec<o( ·;;tuJt. - 'O 11 ()1 z; ~~ ~'t ~ sx: i ~ ~O c.ro C ~W-L ,fY2CT1 cOe,,-. (uJt b~ -» ') ~ (uJt - ::,?IJ - ';S'A ') ?ia uo (uJt - "lí'l) ~ - J -, ) ] (i.'?J V/"" }J!?Eo f '"~ uJ.fU>-Co _[;;)5 rer»> ( ';)f.t}L - ?I ) ô.;} -I-- 'YJ o» (uJl - J V;,.-n 0}Í) 0Ij 7J ~ ~ / ~ ~ - () u'" U '71 = () • ~lj -v À..!O 'ú J)esrl ( wi - Q 7\) J ~CJ2D(uJt--7\) J-~= [15~ - -= - Eb 'D lC.fD 1- ~ z: ~ CQ~o.~(-I) 8J1) (uJt.. - ~" ) OB (uJt - ~í\ ') ~ + 4 Cij~ Y0lJ~~ (u..J-t ~ uJi - ?\ ~.JE;-n (wi -à ') ut .L ~~CuJi- [- .M-D 0fQ ::: J-LOÔD (b~.jCJ20 [- tD l + 5~~(wt-7\)~ ut (uJ-L- QJ() ci±- ~ + 5tj~~ (Wt -7\ ')cllÔJ l I o [_ --=----vv----eo ~ J:ffhluJt- 'J.r.) ~ - 5 ~eID l wl-7\ ')~ -- }JJoEo uJ iÊ~~ l U-Ê V o ~E -~ ~/ JJ.() ;;)7-)~ ü.e J~ poro E;;: ~ . 8 (wt-7\) -Ã) 4 g= CJõ) ( W t. - ~ 'li) uOern ~~ ~~ ei = - 8:J cn ur.J ~, ~ ~ - 01\ 071 V?I uà C- e 0(5 Ó Of3y Oíj -t ô~ ~~ + ( ()f ~ - Ory/)õf() X ~~ y?\6 ~ -Ô5~ - - UJl1J)C% .[-eJY'2J~(wt-'J7<)~ . LU - 'õ;=-' (w+- .. ;i)~J t~ W Ê= ~ y_p&. o w [ Eb~~Cu.JL-;:07\)~ -l- 5~Q.Ip (wt7\)~lI1~ ] <li() @ 6~ -D'S~~ ~~ ou tuJ"i-~) [-Y J vieH~~-JV&+(~- ~)~ +(~ - 3?f)~ vx6=-(u5~ m - UB:t ~ ') 0~ ()71 ') 'Of;)'f> =]L ()~ (uJ-l- ';).7- }Q1\] uDern U<j _ ()~ Q . [- 85~:l.'êJ tJ:Bn .:= _ c}x (vJ-l- = - ~\) 'j't n 'rI, o. '()f" - z: ~ O Ôf. )J...Oen Ê ~ j ,[ - P-0" =- ~ )J..O (ult - - ~D t1 ~ ~ 10'0~ ~em ,"-']1)""2" - ':1-0 'J 'õ )u!:er<> (uJ \. - ;)71) ill:.. <Xx - ":1 () *- - 01.) ~ ~7<)~ (W1-- '+0 ~ ~ cro CuJt - ';l"!-~ ~Q.'()02D (W (W-l W ';L'I;) J ;,z)\)~=- - em (u)i, - ~h j CfD ~ fioro. 'õE 'Õ! l 0-'71)~ (vJi - Q1<) di ~ b o & f -,;: ~ j.>.f0 :to ~~~ [- =to ~ - 0 +'()\J~ _ I~ ~ (uJ-t - J(( )Q7l 1-7 ~(Wt~7\!~, J)ârl (ult- =-t - ~ u!}m ~,,)ir~l·t{f~Q,llo (-~) u']Ç V'X Ô.= - "ia ~ E L - :J'5'j~D o [_ '10 ~"'t ($) _:0 uJ .L ~o'j"l5 cw &J. uJ I õ:x (uJl- ()';\ ~":l ~ (uJt - ~J( ~ O; 1 t0 (w±- - ~')()Ô1!- '::\a \)1\ ~ (w\:' - l Q)\lc% y)( E::. j:1" ;. - H" - I ':ia ~ t) <C1;Q( uJt - (v;IÊ.) L • [ I~ 07\) ~ di: 'J ) _ c.eD ( uJt. - "f) cLt cu.J 1 )..L I-i "- _ i jJ.. .[ .1W '5 tJ)e<T1 eu..Lb) ~] .) uJ c ~ I=-'3 ooC wt) A 6== ? 1-1 =.? d =. Q. tJtJ?P (""'f"T"\e w=- ;J e. I tt ri.= ~ U0 ( uJt ) J rr o ~ -"' H== ~ }J-- o, '<X.3~C§) (uJ t):=: - Ô _-':f. yTf o 10 A r' :: J O C"T"ncon z: 5 t)f) ID~ (}:: J Q,) H-=-0 ~ 0)0 S/~ 1...0 ~ o}5 ~eim:P o.o, ~ cU0 ~~ 1t ~ 1-1= ~ e---'------~p ,;)rrf0 ri z: ---Q o/51 J.D {To ~ -= '1),L~l b) -:;.'J E ] H/n-n • => E. - .I -~--1). (rrr . Q;:lJ) E -= .-LO '1 5/8. JO •• (rr r E.õO .1, I I olD" o o,SJ I 'dv) L "/,,...--, 1 -- ® N=-Jro~ CJ:= ~.::: 60 "1/ == ~S~~ «rn D(ô o -= 0rrn~7- =- T z: !tp <O-ô) tJ - - - ? _ 9 o - G O JX3 ?/2:/D -V~~ J"-I \loLtoP ~-l - --- - 8 a) H'](:= I 7)'0 I.::. 01 I5 L a ~ I r; VX~L(~~t~+(~-~O~ 'J,I~b 8-./ ~.IO/.::: W uJ-= ;;,),J~o3o 105 ç.:. 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