curso anual de matemática volume 1

Сomentários

Transcrição

curso anual de matemática volume 1
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA
VOLUME 1
1) SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL
O sistema de numeração que usamos é o sistema de
numeração decimal, pelo fato de contarmos os elementos em
grupos de dez.
3) NÚMERO NATURAIS
Começando por zero e acrescentando sempre uma unidade,
obtemos o que chamamos de números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9, 10, 11, 12...
Dezenas  cada grupo de 10 unidades
dezenas = 10 unidades
Centenas  cada grupo de 10 dezenas
centenas = 100 unidades
Milhar  cada grupo de 10 centenas
milhar = 1000 unidades
O sucessor de um número natural n é escrito (n + 1), e o
antecessor de n é (n – 1)
Dizemos que cada algarismo ocupa uma ordem ou classe (ou casa)
no numeral:
Números consecutivos naturais podem ser consecutivos
pares, ímpares ou simplesmente consecutivos. Veja as seguintes
notações:
I. n, n + 1, n + 2, ... consecutivos
II. 2n, 2n + 2, 2n + 4, ... consecutivos pares
III. 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, ... consecutivos ímpares
Ex: 7 8 9
9  casa das unidades (ordem das unidades)
8  casa das dezenas (ordem das dezenas)
7  casa das centenas (ordem das centenas)
4) OPERAÇÕES:
A partir de 1000, os números são indicados por quatro ou mais
algarismos. Neste caso, separamos os algarismos em classes de
três, da direita pra esquerda (a última pode ficar incompleta)
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __
12º 11º 10º 9º 8º 7º 6º 5º 4º
3º 2º 1º
A + B + C = S, onde: A, B e C são as parcelas e S é a soma.
1º  Ordem das unidades
2º  Ordem das dezenas
3º  Ordem das centenas
4º  Ordem das unidades de milhar
5º  Ordem das dezenas de milhar
6º  Ordem das centenas de milhar
7º  Ordem das unidades de milhão
8º  Ordem das dezenas de milhão
9º  Ordem das centenas de milhão
10º Ordem das unidades de bilhão
11º Ordem das dezenas de bilhão
12º  Ordem das centenas de bilhão
2) FORMA POLINOMIAL
Baseado no sistema de numeração decimal (posicional)
podemos escrever da seguinte forma:
428 = 4.100 + 2.10 + 8.1
ou
4.102 + 2.101 + 8.100
ATENÇÃO!
Será bastante útil nas resoluções dos problemas
envolvendo sistema de numeração as notações.
Para um número de dois algarismos:
N = [ab]  forma polinomial: N = 10 a + b
Para um número de três algarismos:
N = [abc]  forma polinomial: 100 a + 10 b + c
I – Adição: Na adição de dois, três ou mais números naturais,
podemos substituir por um número o que chamamos de soma.
II – Subtração: Sejam a e b números naturais, partimos que a > b
escrevemos:
A – B = D ou A – B = R, onde: A é o minuendo, B é o subtraendo e D
ou R é o resto ou diferença.
III – Multiplicação: Na multiplicação de dois, três ou mais números
naturais, podemos substituir por um número ou (fator) o que
chamamos de produto.
A · B · C = P, onde A, B e C são fatores e P o produto.
É importante lembrar que a ordem desses fatores não altera o
produto.
IV – Divisão: A divisão pode ser exata ou não-exata.
Divisão Exata: Considerando a e b números inteiros onde a  b 
0. Dizemos que “b” é divisor de “a” quando existe “q” também inteiro
tal que A = B Q, onde A é dividendo, B é divisor e Q é o quociente.
Relação Fundamental da Divisão (R.F.D)
A B
R Q
A
B Q
R, onde 0
R
B.
A é o dividendo; B é o divisor; Q é o quociente e R o resto.
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 1
COMBINATÓRIA
5) NÚMEROS PRIMOS
O que é número primo?
A seguir estão representados os números naturais de 2 a 50:
11
21
31
41
2
12
22
32
42
3
13
23
33
43
4
14
24
34
44
5
15
25
35
45
6
16
26
36
46
7
17
27
37
47
8
18
28
38
48
9
19
29
39
49
10
20
30
40
50
Fazendo um círculo no número 2 e, em seguida, apagando todos os
outros números que são divisíveis por 2, que números
permanecem?
2
11
21
31
41
3
13
23
33
43
5
15
25
35
45
7
17
27
37
47
9
19
29
39
49
Agora, circulando o número 3 e apagando todos os outros
números que são divisíveis por 3, quais ficam?
2
11
31
41
3
13
23
5
25
35
43
7
17
37
47
19
29
49
Observações:
Pelo texto acima, os números 0 e 1 não entram na
classificação de primo ou composto. O número 0 é divisível por mais
de dois números naturais (é divisível por 1, por 2, por 3, por 4, etc.).
Por isso, é considerado número composto.
Já o número 1, que só e divisível por ele mesmo, não é
considerado primo nem composto.
5.1 Como reconhecer um número primo
Há infinitos números primos.
Para saber se um número é primo, devemos dividi-Io
sucessivamente pelos números primos (2, 3, 5, 7, etc.) e verificar o
que acontece:
 Encontrando um resto zero, o número não é primo.
 Se nenhum resto é zero, o número é primo. Nesse caso, só
precisamos fazer as divisões até obter um quociente menor ou
igual ao divisor.
Veja:
 197 não é divisível por 2, porque não é par.
 197 não é divisível por 3, porque a soma dos seus algarismos (1
+ 9 + 7 = 17) não é divisível por 3.
 197 não é divisível por 5, porque não termina em zero ou 5.
197 7

Fazendo agora um círculo em volta do próximo número, que
é o 5, e, em seguida, apagando todos os outros números divisíveis
por 5, quais ainda continuam?
2
11
31
41
3
13
23
5
7
17
37
47
43
19
29
Se prosseguirmos fazendo assim, colocando um círculo no
primeiro número não assinalado e apagando os demais números
que são divisíveis por ele, vão sobrar apenas os números
assinalados com o círculo. Veja os números que permanecem:
2
11
31
41
3
13
23
43
5
7
27
37
47
19
29
Esses números que ficaram assinalados com o circulo são
números primos. Você sabe o que é um número primo?
Um número natural, maior que 1, é primo quando só é
divisível por 1 e por ele mesmo.
Os números 2, 3, 5, 7, 11 e 13, por exemplo, são números
primos. Cada um deles é divisível por exatamente dois números: 1 e
ele mesmo.
Números como 4, 6, 8, 9, 10, 12 e 15 são chamados
números compostos. Cada um deles é divisível por mais de dois
números.
Um número natural, maior que 1, é composto quando é
divisível por mais de dois números naturais.
57 28
8
197 11

49
2
87 17
10
197 13

67 15
2
197 17

27 11
10
197 não é divisível por 7, porque nessa divisão
ocorre resto 1. O quociente (28) é maior que o
divisor (7).
197 não é divisível por 11, porque nessa divisão
ocorre resto 10. O quociente (17) é maior que o
divisor (11).
197 não é divisível por 13, porque nessa divisão
ocorre resto 2. O quociente (15) é maior que o
divisor (13).
197 não é divisível por 17, porque nessa divisão
ocorre resto 10. O quociente (11) é maior que o
divisor (17).
Não precisamos continuar as divisões. Como não
encontramos nenhum resto igual a zero até obter um quociente
menor que o divisor, concluímos que 197 é número primo.
6) ALGORITMO DA DIVISÃO
Dados dois números inteiros D e d, sendo d 0, existe um
único par de números inteiros (q, r) tal que D = d · q + r e
0 r d . Dizemos que q é o quociente e r é o resto da divisão de
D por q (D é o dividendo e d é o divisor).
dividendo
divisor
D d
r q
resto
D
d q
quociente
r onde 0
r
d
--
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 1
7) CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
É possível estabelecer algumas regras que permitem
verificar se um número natural é divisível por outro. Estas regras são
chamadas de critérios de divisibilidade.
Um número natural N é divisível por:
2 se seu algarismo da unidade é par:
Ex.: 31457968
3 se a soma de seus algarismos é divisível por 3.
Ex.: 96257832 ( = 42)
4 se o número formado por seus dois últimos algarismos é
divisível por 4.
Ex.: 63517916 ou 00
5 se seu algarismo da unidade é 0 ou 5.
Ex.: 73689210 ou 5
6 se é divisível por 2 e por 3.
Ex.: 96257832
7 *
8 se o número formado por seus três últimos algarismos é
divisível por 8.
Ex.: 42796512 ou 000
9 se a soma de seus algarismos é divisível por 9.
Ex.: 56482371 ( = 36)
10 se seu algarismo das unidades é 0.
Ex.: 27865390
11 *
Divisibilidade por 7
Um número com mais de 3 algarismos é divisível por 7
quando a diferença entre a soma das classes ímpares e a soma das
classes pares é zero ou múltiplo de 7.
Exemplo:
103381285 é divisível por 7?
103
381 285

3ª classe 2ª classe 1ª classe
Soma das classes ímpares
Soma das classes pares
Diferença
385 + 103 = 388
= 381
= 7
Como o obtido na diferença é um número múltiplo de 7,
temos que 103381285 também é múltiplo de 7.
Se a soma das classes ímpares for menor que a soma das
classes pares, somamos às classes ímpares tantos 7 quantos forem
necessários até que se torne maior ou igual à soma das classes pares.
Divisibilidade por 11
Um número é divisível por 11, quando a diferença entre a
soma dos algarismos de ordem ímpar e a sorna dos algarismos de
ordem par é zero ou múltiplo de 11.
Exemplo: 103742 é divisível por 11?
Note:
algarismos de ordem ímpar

1 0 3 7 4 2
algarismos de ordem par
Soma das ordens ímpares
2+7+0=9
Soma das ordens pares
4+3+1=8
Diferença
9–8=1
Logo, o número não é divisível por 11 e o resto na divisão
por 11 é 1.
TEORIA DOS CONJUNTOS
Observação
Se a soma dos algarismos de ordem ímpar for menor
que a soma dos algarismos de ordem par, somamos a ela
tantos 11 quantos forem necessários até torná-Ia maior ou igual
à soma dos algarismos de ordem par.
8) DESCOBRINDO OS DIVISORES DE UM NÚMERO
Existe um método prático para obter todos os divisores de
um número. Veja como vamos achar os divisores de 18:
1) Fatoramos o número 18.
18 2
9 3
3 3
1
2) Colocamos um traço vertical ao lado dos fatores primos.
18 2
9 3
3 3
1
3) Ao lado desse novo traço e uma linha acima, colocamos o sinal
de multiplicação e o número 1. Na linha seguinte (a linha do fator 2),
colocamos o produto de 2 pelo número que está na linha acima dele
(2 1 2).
1
18 2 2
9 3
3 3
1
4) Na linha seguinte (a linha do fator 3), colocamos o produto de 3
pelos números que estão nas linhas acima dele, à direita do traço
(3 1 3 e 3 2 6).
1
18 2 2
9 3
3–6
3 3
1
5) Repetimos esse procedimento nas outras linhas, anotando cada
resultado uma só vez (como o produto de 3 1 e 3 2 já foi
anotado, registramos 3 3 = 9 e 3 6 = 18).
1
18 2 2
9 3
3 3 3–6
1
9 – 18
Os números colocados à direita da segunda linha vertical
são os divisores do número 18:
1, 2, 3, 6, 9 e 18
9) QUANTIDADE DE DIVISORES POSITIVOS DE UM NÚMERO
NATURAL
Se N = 2ª · 3b · 5c · 7d · ..., a quantidade de divisores
(positivos) de N, dada por:
n[D(N)] = (a + 1) · (b + 1) · (c + 1) · (d + 1) ...
3
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 1
COMBINATÓRIA
Exemplo:
O número de divisores positivos de 90 é:
Exemplo:
Qual o resto da divisão de
2 2 2 1 4 por 6?
90 2
4
45 3
15 3 90 21 · 32 · 51
2
2 1)
4
4 7
32
Soma dos algarismos
res tantes
n[D(90)] (1 1)·(2 1)·(1 1) 2 · 3 · 2 12
quádruplo
32 6
Logo
2 5
Assim o resto procurado é 2.
5 5
1
Observação
Para encontrar os 12 divisores de 90 faça:
1
90 2 2
45 3 3, 6
15 3 9, 18
5 5 5, 10, 15, 30, 45, 90
1

Resto da divisão por 7.
Caso a diferença entre o somatório das classes não seja um
número múltiplo de 7, porém maior que 7 pode-se obter o resto,
efetuando-se a divisão da diferença obtida por 7.
Exemplo:
Qual o resto da divisão de 111381285 por 7?
111 381 285
3ª Classe 2ªClasse 1ªClasse
Soma das classes ímpares
Soma das classes pares
Diferença
Logo os 12 divisores de 90 são
D(90) = {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90}
10) RESTO DA DIVISÃO

Resto da divisão por 2 e por 5.
O resto da divisão de um número por 2 ou 5 é o mesmo que
o da divisão do algarismo das unidades por 2 ou 5. Exemplos:
3.277 (7 : 2)
resto 1
3.277 (7 : 5)
resto 2
1.323 (3 : 2)
resto 1
1.323 (3 : 5)
resto 3 (é o próprio algarismo das
unidades do nº).
Observação
No caso da divisão por 2, temos ainda a opção de
utilizarmos a seguinte regra prática:
Se o número a ser dividido for par o resto da divisão é
zero, e se for ímpar o resto será um.

Resto da divisão por 3 e por 9.
O resto da divisão de um número por 3 ou 9 é o mesmo que
o da divisão da sorna dos valores absolutos dos sem algarismos, por
3 ou 9.
Exemplos:
5.297
(5 + 2 + 9 + 7) : 3
23 : 3
resto 2
5.297
(5 + 2 + 9 + 7) : 9
23 : 9
resto 5

Resto da divisão por 4.
O resto da divisão de um número por 4 é o mesmo que o da
divisão do número formado pelos algarismos das dezenas e das
unidades de seu numeral por 4.
Exemplo:
49615
(15 : 4) resto 3

4 (2
Resto da divisão por 6.
O resto da divisão de um número por 6 é o mesmo que o
resto da divisão da sorna do algarismo das unidades do número
dado com o quádruplo da soma dos algarismos restantes.
285 + 111 = 396
= 381
= 15
Corno 15 não é múltiplo de 7 ternos que o número
111381285 não é divisível por 7 e o resto de sua divisão por 7 será:
15 7
resto
1 2
Porém se a diferença entre o somatório das classes não for
um número múltiplo de 7 mas menor que 7, esta diferença já será o
resto.
Exemplo: Qual o resto da divisão de 213340132 por 7?
213 340 132
3ª Classe 2ªClasse 1ªClasse
Soma das classes ímpares
Soma das classes pares
Diferença
213 + 132 = 345
= 340
= 5
Corno 5 não é múltiplo de 7, temos que o número
213340132 não é divisível por 7 e o resto de sua divisão por 7 será
5.

Resto da divisão por 8.
O resto da divisão de um número por 8 é o mesmo que o da
divisão do número formado pelos algarismos das centenas, dezenas
e das unidades de seu numeral por 8.
Exemplo:
318574
(574 : 8)
resto 6

Resto da divisão por 10.
O resto da divisão de um número por 10 é o algarismo das
unidades do numeral desse número.
Exemplo:
1.315
resto 5

Resto da divisão por 11.
Caso a diferença entre a soma dos algarismos de ordem
ímpar e a soma dos algarismos de ordem par não seja um número
múltiplo de 11, porém maior que 11, pode-se obter o resto
efetuando-se a divisão da diferença obtida por 11.
Exemplo: Qual o resto da divisão de 8192837 por 11?
algarismos de ordem ímpar
4
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 1
8 1 9 2 8 3 7
algarismos de ordem par
Soma das ordens ímpares
Soma das classes pares
Diferença
8 + 9 + 8 + 7 = 32
= 6
= 26
Como 26 não é múltiplo de 11, temos que o número 81
92837 não é divisível por 11 e o resto de sua divisão por 11 será:
26 11
resto
4 2
11) MÚLTIPLO DE UM NÚMERO
Múltiplo de um número natural é o produto dele por um
número inteiro. Assim, por exemplo, o conjunto dos múltiplos de 7
(indicado por M(7)) é:
7· (0) 0
7· ( 1)
7
7· ( 2)
14
7· ( 3)
21
7· ( 4)
28
M(7) {0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, ...)
7· ( 5)
35
7· ( 6)
42
.
.
.
12) MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC)
Definição:
O mínimo múltiplo comum (MMC) entre os números inteiros
e positivos a e b, MMC(a, b), é o produto dos fatores primos comuns
e não comuns de a e b, tomados com o maior expoente.
13) MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)
Definição:
O máximo divisor comum (MDC) entre os números inteiros e
positivos a e b, MDC(a, b), é o produto dos fatores primos comuns
de a e b, tomados com o menor expoente.
14) PROPRIEDADES DO MDC E DO MMC DE DOIS NÚMEROS
1ª)
Se dois números são primos entre si o MMC é o produto
deles e o MDC é 1.
Ex.: MMC(7, 9) = 63; MDC(7, 9) = 1
2ª)
Quando um número é divisível por outro, o maior deles é o
MMC e o menor é o MDC.
Ex.: MMC(6, 36) = 36; MDC(6, 36) = 6
3ª)
O produto de dois números a e b é igual ao produto do MDC
pelo MMC desses números.
a · b = MMC(a, b) · MDC(a, b)
Ex.: 15 20
300
MMC(15, 20) MDC(15, 20)
60
·
5
TEORIA DOS CONJUNTOS
5
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 1
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM
Questão 1
Sejam A e B algarismos que compõem os números AB e A1B
representados em notação posicional. Sabendo que B = 2.A e que
a diferença entre A1B e AB vale 280, determine o valor de A + B.
Questão 2
O número de inteiros positivos que são divisores do número N = 214
× 353, inclusive 1 e N, é
a) 84.
b) 86.
c) 140.
d) 160.
e) 162.
Questão 3
O Sr. Francisco foi com seu filho João, comprar azulejos que
necessitava para a reforma do banheiro de sua casa. O Sr Francisco
explicou ao vendedor da loja que a parede onde utilizaria os azulejos
era retangular e media 3,15 metros de altura por 6,15 metros de
comprimento. E por uma questão de economia ele gostaria de
utilizar o menor numero possível de azulejos quadrados. Antes que
o vendedor planejasse quantos azulejos seriam necessários para
revestir toda a parede, o Sr Francisco esclarecer que ele poderia
desprezar os espaços ocupados pelos rejuntes entre um azulejo e
outro. João ficou todo feliz e disse: papai eu sei calcular quantos
azulejos serão necessários e disse a seu pai a quantidade de
azulejo que ele deveria comprar.
Pergunta-se:
a) Quais cálculos devem ser feitos por João para encontrar o
numero de azulejos, nas condições acima?
b) Qual a quantidade de azulejos calculada por João
c) Qual a medida do lado do azulejo ?
Questão 4
Numa divisão, o quociente é igual ao divisor e o resto é o maior
possível. Sabendo que a soma do divisor com o quociente vale 6,
calcule o dividendo.
Questão 5
Ache um número de dois algarismos XY sabendo que a soma dos
seus algarismos vale 6 e que, subtraindo 36 unidades do número
XY, ele fica escrito na ordem inversa YX.
COMBINATÓRIA
6
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 1
Questão 6
O estoque de um depósito atacadista de cereais está constituído de
8 sacas de arroz com 60kg cada, 9 sacas de trigo com 64kg cada e
6 sacas de milho com 72kg cada. Os cereais disponíveis devem ser
reembalados em sacas menores, todas com o mesmo peso, com o
maior peso possível em cada saca, sem misturar os cereais e sem
sofrer qualquer perda. Nas novas embalagens, o estoque ficará
distribuído em n sacas. O valor de n é:
a) 29
b) 30
c) 31
d) 32
Questão 7 - (UECE)
Três cidades brasileiras, A, B e C, realizam grandes festas: de 5 em
5 meses em A, de 8 em 8 meses em B e de 12 em 12 meses em C.
Essas festas coincidiram em setembro, de 2002. Coincidirão
novamente em:
a) outubro de 2011.
b) setembro de 2003.
c) setembro de 2012.
d) algum mês de 2004.
e) fevereiro de 2015.
Questão 8
Seja N = 4784351269534. Sabe-se que os restos das divisões de N
por 5, 8 e 9 são respectivamente n, p e q. Então o mínimo múltiplo
comum de n, p e q vale:
a) 76
b) 84
c) 88
d) 92
e) 96
Questão 9
O número 97381285:
a) é divisível por 7.
b) na divisão por 7 deixa resto 1.
c) na divisão por 7 deixa resto 2.
d) na divisão por 7 deixa resto 3.
e) na divisão por 7 deixa resto 4.
TEORIA DOS CONJUNTOS
7
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 1
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
Questão 1
Ache um número de dois algarismos tal que o algarismo das
dezenas seja o triplo do das unidades e que subtraindo ao número
12 unidades o resto seja igual ao quadrado do algarismo das
dezenas.
Questão 2
O quociente da divisão de um número N de 2 algarismos pela soma
de seus algarismos é 7. Qual o número, se o dobro do algarismo das
dezenas excede de 3 o triplo das unidades ?
Questão 3 - (UECE)
O número de algarismos, contados com as repetições, necessários
para numerar as 96 páginas de um livro é igual a:
a) 180
b) 181
c) 182
d) 183
Questão 4 - (Fuvest)
Abaixo está representada uma multiplicação onde os algarismos a, b
e c são números desconhecidos. Qual o valor de a + b + c?
a) 5
b) 8
1abc
c) 11
3
d) 14
abc 4
e) 17
Questão 5
Qual o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) dos números 18, 24 e 30?
Questão 6
Qual o Máximo Divisor Comum (MDC) dos números 18, 24 e 30?
Questão 7
Sendo dois números A = 22 · 33 · 5 e B = 23 · 32 ·11, o quociente
da divisão do seu MMC pelo seu MDC será:
a) 5 · 11
b) 22 · 33
c) 2 · 3 · 5 · 11
d) 22 · 33 · 5 · 11
e) 22 · 3 · 52 · 11
Questão 8 (UECE)
n n n n n n n n
, , , , , , e
2 3 4 5 6 7 8 9
são números inteiros. O produto dos algarismos do número n é:
a) 0
b) 5
c) 10
d) 20
Seja n o menor inteiro positivo para o qual
COMBINATÓRIA
8
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 1
Questão 9 (PUC)
Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita na
máquina A a cada 3 dias, na máquina B, a cada 4 dias, e na
máquina C, a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a
manutenção nas três máquinas, após quantos dias as máquinas
receberão manutenção no mesmo dia ?
a) 9 de dezembro
b) 10 de dezembro
c) 11 de dezembro
d) 14 de dezembro
e) 28 de dezembro
Questão 10
Uma empresa de logística é composta de três áreas: administrativa,
operacional
e
vendedores.
A área administrativa é composta de 30 funcionários, a operacional
de 48 e a de vendedores com 36 pessoas. Ao final do ano, a
empresa realiza uma integração entre as três áreas, de modo que
todos os funcionários participem ativamente. As equipes devem
conter o mesmo número de funcionários com o maior número
possível. Determine quantos funcionários devem participar de cada
equipe e o número possível de equipes.
a) 19 equipes com 6 participantes cada uma
b) 18 equipes com 5 participantes cada uma
c) 20 equipes com 4 participantes cada uma
d) 21 equipes com 3 participantes cada uma
F1
GABARITO
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F10
F8
F9
TEORIA DOS CONJUNTOS
9
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 1
RESOLUÇÃO
Questão 01
XY
X = 3Y
XY – 12 = X2
Questão 07
A = 22 . 33 . 5
10X + Y – 12 = X2
MDC (A, B) = 22 . 32
30Y – Y – 12 = 9Y2
0 = 9Y2 – 31Y + 12
 = 961 – 432 = 529
31 + 23
Y=
18
X=9
Resposta: 93
XY
B = 23 . 32 . 11
MMC (A, B) = 23 . 32 . 5 . 11
10 . (3Y) + Y – 12 = (3X)2
Questão 02
N = XY
COMBINATÓRIA
Resposta:
22 + 33  5  11
22  22
= 2 . 3 . 5 . 11 = 230 opção C
Questão 08
N já deve ser múltiplo de 2 e 5 simultaneamente, logo também é
múltiplo de 10, então terminará em zero.
Logo o produto de seus algarismos será zero
Resposta: opção A
X+Y
7
XY = (X + Y) = 7
2X = 3Y + 3
10X – Y = 7X + 7Y
3X = 6Y  X = 2Y
2 . (2Y) = 3Y + 3
Y=3
X=6
Resposta: 63
Questão 03
De 1 a 9  9 algarismos
De 10 a 96  97 números  174 algarismos
Resposta: 174 + 9 = 183 algarismos
Questão 04
1abc
x
3
abc4
(1 . 1000 + 100a + 10b + c) . 3 = 1000a + 100b + 10c + 4
3000 + 300a + 30b + 3c = 4 + 1000a + 100b + 10c
2996 = 700a + 70b + 7c + (7)
428 = 100a + 10b + 1c
Logo
a=4
b=2
c=8
Resposta: D
Questão 05
18 = 2 . 32
24 = 23 . 3
30 = 2 . 3 . 5
MMC (18, 24, 30) – 23 . 32 . 5 = 360
Resposta: 360
Questão 06
MDC (18, 24, 30) – 2 . 3 = 6
Resposta: 6
10

Documentos relacionados

Apostila 04 - Laercio Vasconcelos

Apostila 04 - Laercio Vasconcelos centenas tem que ser 9. Resposta: (C) Questão 12) Valor: 0,5 (CM) Com os números 1, 3, 5 e 8, foi escrito o maior número possível de 4 algarismos diferentes onde o algarismo das centenas é 8. A ess...

Leia mais

Gilvan - ppgme

Gilvan - ppgme provas de olimpíadas de matemática pelo Brasil e mundo afora. Veremos contagem, sistema de base decimal, média aritmética, critérios de divisibilidade, dízimas periódicas simples e compostas, produ...

Leia mais

Critérios de divisibilidade

Critérios de divisibilidade Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, num dispositivo como mostra a figura ao lado. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números. Ao la...

Leia mais

Dúvdas.TJ Coletânea de dúvidas dos alunos do “TJ” O presente

Dúvdas.TJ Coletânea de dúvidas dos alunos do “TJ” O presente Por isso, a negativa de " "Nenhuma pessoa lenta em aprender frequenta a escola" é "Alguma pessoa lenta em aprender frequenta a escola"

Leia mais