Apostila de Matemática II - 3° Bimestre-2016

Apostila de Matemática II
3º bimestre/2016
Professora : Cristiane Fernandes
Pirâmide
A pirâmide é uma figura geométrica espacial, um poliedro composto por uma base (triangular, pentagonal,
quadrada, retangular, paralelogramo), um vértice (vértice da pirâmide, o ponto mais distante da base da
pirâmide) que une todas as faces laterais triangulares.
Em outros termos, a pirâmide é um sólido geométrico de base poligonal que possui todos os vértices num
plano (plano da base) donde sua altura corresponde a distância entre o vértice e sua base. Observe que o número
de lados do polígono da base corresponde o número de faces laterais da pirâmide.
Elementos da Pirâmide



Base: corresponde à região plana poligonal na qual se sustenta a pirâmide.
Altura: designa a distância do vértice da pirâmide ao plano da base.
Arestas: são classificadas em arestas da base, ou seja, todos os lados do polígono da base, e arestas
laterais, segmentos formados pela distância do vértice da pirâmide até sua base.

Apótemas: corresponde à altura de cada face lateral, apótema da pirâmide (também é a hipotenusa do
triângulo retângulo circunscrito) e apótema da base que corresponde à distância do centro da base ao ponto
médio da aresta dessa mesma base.

Superfície Lateral: É a superfície poliédrica composta por todas as faces laterais da pirâmide.
Tipos de Pirâmide
Da mesma forma que os prismas, as pirâmides também podem ser classificadas de acordo com sua base.
Segundo as bases e o número arestas que formam as pirâmides, elas são classificadas em:

Pirâmide Triangular: sua base é um triângulo, composta de quatro faces: três faces laterais e a face da
base.

Pirâmide Quadrangular: sua base é um quadrado, composta de cinco faces: quatro faces laterais e a
face da base.

Pirâmide Pentagonal: sua base é um pentágono, composta de seis faces: cinco faces laterais e a face da
base.

Pirâmide Hexagonal: sua base é um hexágono, composta de sete faces: seis faces laterais e face da
base.
No tocante à inclinação da base, as pirâmides são classificadas em pirâmides retas, que formam um ângulo de
90º, ou pirâmides oblíquas, que apresentam ângulos diferentes de 90º.
Pirâmide regular
Uma pirâmide é regular quando a base é um polígono regular e a altura é igual à distância do vértice ao centro
da pirâmide.
Numa pirâmide regular temos:
-as arestas laterais são congruentes;
- as faces laterais são triângulos isósceles congruentes entre si.
Pirâmide oblíqua
Área
Para calcular a área total da pirâmide, utiliza-se a seguinte fórmula:
Área total: Al + Ab
Donde,
Al: Área lateral (soma das áreas de todas as faces laterais)
Ab: Área da base
Volume
Para calcular o volume da pirâmide, tem-se a expressão:
V=1/3 Ab.h
Onde:
Ab: Área da base
h: altura
Exercícios
1) Uma pirâmide hexagonal regular tem a área da base igual a 12m2 e altura 10m. Calcule o seu volume.
2) Calcule o volume de uma pirâmide triangular regular que tem uma aresta da base igual a 6cm e altura igual a 8cm.
3) Numa pirâmide quadrangular regular, as arestas da base medem 10 cm e a altura 12 cm. Calcule o apótema da base e
o apótema da pirâmide.
4) Uma aresta da base de uma pirâmide quadrangular regular mede 8cm. Calcule a área da base, a área lateral e o
volume dessa pirâmide sabendo-se que ela tem uma altura igual a 3 cm.
5) O apótema da base e o apótema de uma pirâmide quadrangular regular medem, respectivamente, 5 cm e 13 cm.
Calcule a altura e o volume dessa pirâmide.
Cilindro
O formato cilíndrico possui várias aplicações no cotidiano: peças de carros, compartimentos de produtos
gasosos e líquidos, máquinas industriais, embalagens de produtos para consumo e etc. Vamos conhecer as
propriedades, os elementos e as classificações de um cilindro.
O cilindro é um corpo redondo com duas bases opostas e paralelas. Podem ser classificados, de acordo com
a inclinação da geratriz em relação aos planos das bases, em: cilindro circular oblíquo (a geratriz é oblíqua às
bases) e cilindro circular reto (a geratriz é perpendicular às bases).
Sejam α e β dois planos paralelos distintos, uma reta s secante a esses planos e um círculo C de centro O
contido em α. Consideremos todos os segmentos de reta, paralelos a s, de modo que cada um deles tenha
um extremo pertencente ao círculo C e o outro extremo pertencente a β.
A reunião de todos esses segmentos de reta é um sólido chamado de cilindro circular, limitado de bases C e
C’ ou simplesmente cilindro circular.
Cilindro circular reto
No cilindro circular reto a geratriz forma com o plano da base um ângulo de 90º. No cilindro circular reto a
medida h de uma geratriz é a altura do cilindro.
O cilindro circular reto também é conhecido por cilindro de revolução, pois pode ser obtido pela revolução de
360º de uma região retangular em torno de um eixo.
Cilindro equilátero
Quando a altura é igual ao dobro do raio das bases.
O cilindro que possui as seções meridianas quadradas é chamado de cilindro equilátero.
No cilindro equilátero a altura é igual ao diâmetro da base: h = 2r.
Área Lateral e Área total de um cilindro circular reto
A superfície de um cilindro reto de altura h e raio da base r é equivalente à reunião de uma região retangular,
de lados 2πr e h, com dois círculos de raio r. Observe a planificação do cilindro.
A área do retângulo equivalente à superfície lateral do cilindro é a área lateral Aℓ do cilindro, ou seja:
Aℓ = 2*π*r*h
A área total At do cilindro é igual à soma da área lateral Aℓ com as áreas das duas bases, ou seja:
At = 2*π*r*h + π*r2 + π*r2 → At = 2*π*r*h + 2π*r2
Volume do cilindro circular
O volume V de um cilindro circular de altura h e raio da base r é igual ao produto da área da base, πr2, pela
altura h, isto é:
V = π*r2*h
Secção
Secção transversal é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano paralelo às bases.
Todas as secções transversais são congruentes.
Secção meridiana é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano que contém o eixo.
Exercícios
1) Dado um cilindro reto de altura h= 10cm e raio da base 4cm, calcule:
a) a área da base;
b) a área lateral;
c) a área total.
2) Determine a área total e o volume de um cilindro reto de altura 3m e diâmetro da base 2m.
3) Calcule a área da base, a área lateral, a área total e o volume de um cilindro equilátero ( h=2r) cujo raio da base é
igual a 5 dm.
4) Se a área da base de um cilindro reto é Sb=36π cm2, calcule o raio da base desse cilindro.
5) Um cilindro equilátero tem área da base Sb= 25π cm2. Calcule o seu volume.