Correção da fuvest 2009 2ª fase - Matemática feita pelo Intergraus

Correção
da fuvest 2009
2ª fase - Matemática
feita pelo Intergraus.
08.01.2009
MATEMÁTICA
Q.01
Na figura ao lado, a reta r tem equação y  2 2 x  1 no plano cartesiano Oxy.
Além disso, os pontos B0, B1, B2, B3 estão na reta r, sendo B0 = (0,1) . Os pontos A0,
y
A1, A2, A3 estão no eixo Ox, com A0 = O = (0,0). O ponto Di pertence ao segmento
—–—
—–—
—–—
—–—
Ai B i , para 1 i  3. Os segmentos A1B1, A2B 2 , A3B 3 são paralelos ao eixo Oy, os
———
———
r
B3
B2
B1
B0
———
D3
D2
D1
segmentos B 0D1, B1D2 , B 2D3 são paralelos ao eixo Ox, e a distância entre Bi e Bi + 1
é igual a 9, para 0  I  2.
O
A1
A2
A3
x
Nessas condições:
a) Determine as abscissas de A1, A2, A3.
b) Sendo Ri o retângulo de base Ai Ai + 1 e altura Ai + 1 Di + 1, para 0  i  2 , calcule a soma das áreas dos
retângulos R0 , R1 e R2.
RESOLUÇÃO:
y
B0 (0,1)
B1
9

a
9
B2
9
a
b
D2
a
b
D1
B3
b
D3
1
A1
(x1)
A0
A2
(x2)
A3
(x3)
x
a) No B 0B1D1 temos tg   2 2 
b
a

b  2a 2
e
a 2  b 2  9 2  a 2  (2a 2) 2  81 (a > 0 ) a  3, temos então x1 = a, x2 = 2a e x3 = 3a (os B 0B1D1, B1B2D2
e B2B3D3 são congruentes).
logo x1 = 3, x2 = 6 e x3 = 9.
b) SR  3  1, SR  3  (1  b) e SR  3  (1  2b) e
0
1
3
Então SR  SR  SR  3  3(1  b)  3(1  2b) 
0

1
3
SR  SR  SR  9  9b = 9(1 + 2a 2 ) = 9(1 + 2  3 2)  9(1  6 2)
0
1
RESPOSTA:
a) 3, 6 e 9
b) 9(1  6 2)
3
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08.01.2009
Q.02
Na figura, estão representadas a circunferência C, de centro O e raio 2, e os pontos A, B, P e Q, de tal modo
que:
1. O ponto O pertence ao segmento PQ.
2. OP = 1, OQ = 2.
3. A e B são pontos da circunferência, AP  PQ e BQ  PQ .
Assim sendo, determine:
a) A área do triângulo APO.
b) Os comprimentos dos arcos determinados por A e B em C.
c) A área da região hachurada.
RESOLUÇÃO:
Y
P 1 O
2
A
Q
2
X
B
a) APO: (AP) 2  12  2 2
b) APO: sen  



AP  3, logo S APO 
3
2
, BQO: sen  
2
2

  60 e   45 .
Temos então   180 – (60  45 )  75 .
75
5
5
med (AXB) 
 2  2 
 2  2  
24
6
360
5 19
med (AYB) = 2  2 – med (AXB)  4 –

6
6
c) S hach 
3

2
RESPOSTA:
3
2
5 19
b)
e
6
6
3
5
c)
 1
2
6
a)
31
3

2
2
2 2
75
3
5

 2 2 
 1
2
360
2
6
P
A
O
Q
B
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Q.03
Considere o sistema de equações nas variáveis x e y, dado por
 4x  2m 2 y  0

 2mx  (2m – 1)y  0
Desse modo:
a) Resolva o sistema para m = 1.
b) Determine todos os valores de m para os quais o sistema possui infinitas soluções.
c) Determine todos os valores de m para os quais o sistema admite uma solução da forma (x, y) = (, 1),
sendo  um número irracional.
RESOLUÇÃO:
 4x  2m 2 y  0

 2mx  (2m – 1)y  0

 2x  m 2 y  0
 –m

 2mx  (2m – 1)y  0

 2x  m 2 y  0
I

 (– m 3 + 2m – 1)y  0
II
 2x  y  0

a) Para m = 1 temos 
 y   e x  – ;  C
0y

0
2

b) O sistema terá infinitas soluções se – m 3  2m – 1  0 . Como 1 é raiz da equação, utilizando o dispositivo
de Briot-Ruffini, obtemos:

–1  5 
m 3 – 2m  1  (m – 1)(m 2  m – 1)  0   m  1 ou m 

2


c) Se (, 1) é solução do sistema, sendo  irracional, então:
m2
de I :   –
, com m 2 irracional.
2

–1  5 
3
de II : m – 2m  1  0   m  1 ou m 

2


–1  5
2
.
Como m é irracional, segue que m 
2
RESPOSTA:
 –  

a) S   
,   ;   C
2



–1  5 –1 – 5
b) 1,
,
2
2
–1  5
–1– 5
c)
e
2
2
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Q.04
C
O triângulo ABC da figura ao lado é eqüilátero de lado 1. Os pontos E, F e G
pertencem, respectivamente, aos lados AB, AC e BC do triângulo. Além disso,
 e CGF
 são retos e a medida do segmento AF é x.
os ângulos AFE
G
Assim, determine:
a) A área do triângulo AFE em função de x.
 também é reto.
b) O valor de x para o qual o ângulo FEG
RESOLUÇÃO:
A
C
60°
1–
x
G
1
1 – 2x
60°
F
x
60°
2x
A
30°
60°
E
60°
1 – 2x
B
a) AFE
EF EF

 3  EF  3 x
x
x
x  3x
3 2
S AFE 

x
2
2
FG
3
3
b) FCG:
 sen 60 
 FG 
(1– x)
1– x
2
2
 = 90°  EG // AC  EBG é eqüilátero  EG = 1 – 2x
 FEG
2
 3

1
 FEG: 
(1– x)  ( 3 x) 2  (1– 2x) 2  ( 5x – 1) 2  0  x 
2
5


tg 60 
RESPOSTA
a) S AFE 
b) x 
1
5
x
3x2
2
F
E
B
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08.01.2009
Q.05
A soma dos cinco primeiros termos de uma PG, de razão negativa, é
sétimo termo e o segundo termo da PG é igual a 3.
1
. Além disso, a diferença entre o
2
Nessas condições, determine:
a) A razão da PG.
b) A soma dos três primeiros termos da PG.
RESOLUÇÃO:
1

2
3
4
 a1  a1q  a1q  a1q  a1q  2

II
a)  a1q 6 – a1q  3


 q  0
a1q (q 5 – 1)
II
3


2
3
4
I
a1 (1  q  q  q  q ) 1/ 2

q2 – q – 6  0

q(q – 1)(q 4  q 3  q 2  q  1)
1 q  q2  q3  q4
q=–2
3
1

q – q (–2) – (–2) 66 22
1
3
Logo a1  a1q  a1q 2  a1 (1  q  q 2 ) 
(1– 2  4) 
22
22
b) II

a1 
6
3
(a > 0 )
I

RESPOSTA:
a) A razão da P.G. é – 2.
3
b)
22
6
3

6
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Q.06
Um apreciador deseja adquirir, para sua adega, 10 garrafas de vinho de um lote constituído por 4 garrafas
da Espanha, 5 garrafas da Itália e 6 garrafas da França, todas de diferentes marcas.
a) De quantas maneiras é possível escolher 10 garrafas desse lote?
b) De quantas maneiras é possível escolher 10 garrafas do lote, sendo 2 garrafas da Espanha, 4 da Itália e
4 da França?
c) Qual é a probabilidade de que, escolhidas ao acaso, 10 garrafas do lote, haja exatamente 4 garrafas da
Itália e, pelo menos, uma garrafa de cada um dos outros dois países?
RESOLUÇÃO:
a) O lote possui 15 garrafas. O número de maneiras de escolher 10 garrafas é:
15  14  13  12  11
15 !

 3 003
10 ! 5 !
5 4 3 21
4 3 5 6 5
4!
5!
6!
b) C4,2  C5,4  C6,4 



 
 450
2! 2! 4! 1! 4! 2! 2  1 1 2  1
c) Casos favoráveis:
C15,10 
Itália
Espanha
França
4
1
5
4
2
4
4
3
3
4
4
2
números de modos
C5,4  4  C6,5  5  4  6  120
450 (pelo item a)
C 5,4  C4,3  C 6,3  5  4  20  400
C 5,4  1  C 6,2  5  1  15  75
Total de casos favoráveis = 120 + 450 + 400 + 75 = 1 045
A probabilidade pedida é
RESPOSTA:
a) 3 003
b) 450
95
c)
273
1 045 5  11  19
95


3 003 3  11  91 273
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Q.07
No plano cartesiano Oxy, a circunferência C tem centro no ponto A = (–5,1) e é tangente à reta t de equação
4x – 3y – 2 = 0 em um ponto P. Seja ainda Q o ponto de intersecção da reta t com o eixo Ox.
Assim:
a) Determine as coordenadas do ponto P.
b) Escreva uma equação para a circunferência C.
c) Calcule a área do triângulo APQ.
RESOLUÇÃO:
t: 4x –3y –2 = 0
A (–5,1)
( (
1
Q —, 0
2
P

4
3
 m   – (t é perpendicular a AP)
3
4
AP

3
A equação de AP é y – 1  –
(x  5)
4
3


y – 1  – (x  5)
 P(–1,–2)
P  t  AP  P: 
4
 4x – 3y – 2  0
a) m t 
b) R  AP  (–5  1) 2  (1  2) 2  5
uma equação de C é (x  5) 2  (y – 1) 2  5 2
2
1
5

c) PQ   –1 –   (–2 – 0) 2 
2
2

5
5
25
S APQ  2

2
4
RESPOSTA:
a) P(–1, – 2)
b) (x + 5)2 + (y – 1)2 = 25
25
c) S APQ 
4
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Q.08
Para cada número real m, considere a função quadrática f(x) = x2 + mx + 2.
Nessas condições:
a) Determine, em função de m, as coordenadas do vértice da parábola de equação y = f (x).
b) Determine os valores de m  IR para os quais a imagem de f contém o conjunto {y  IR : y  1}.
c) Determine o valor de m para o qual a imagem de f é igual ao conjunto {y  IR : y  1} e, além disso, f é
crescente no conjunto {x  IR : x  0} .
d) Encontre, para a função determinada pelo valor de m do item c) e para cada y  2, o único valor de x  0
tal que f(x) = y.
RESOLUÇÃO:
a) Lembrando que se f(x) = ax2 + bx + c, a  0, a parábola tem vértice V com coordenadas x V 
yV 
–
, temos:
4a
xV 
–(m 2 – 8) 8 – m 2
–m
.
e yV 
=
2
4
4
b) Como a > 0, no domínio R o conjunto imagem é Im  {y  R |y  y V } (concavidade “para cima”).
Para ter {y  R |y  1}  Im, basta impor y V  1. Então:
8 – m2
1
4
m 2  4  (m  – 2 ou m  2)
c) Para Im  {y  R |y  1} e f crescente no conjunto {x  R |x  0}, devemos impor:
–m

x V  0  2  0  m  0
logo, m = 2.

2
y V  1  8 – m  1  m   2

4
d) Para m = 2, a função será f(x) = x2 + 2x + 2.
Para f(x) = y, vem
x2 + 2x + 2 = y
x2 + 2x + 1 + 1 = y
(x + 1)2
=y–1
x  –1 y – 1
Logo, para cada y  2, o único x  0 será x  – 1 
RESPOSTA:
8 – m2
–m
e yV 
2
4
b) m  –2 ou m  2
c) m = 2
d) x  – 1  y – 1
a) x V 
y – 1.
–b
e
2a
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08.01.2009
Q.09
3
2
 
Seja x no intervalo  0,  satisfazendo a equação tg x 
sec x  .
2
 2
5
Assim, calcule o valor de:
a) sec x.


b) sen  x  
4

RESOLUÇÃO:
a) tg x 
2
sec x 
5
tg 2 x  1  sec 2 x
3
3
2
sec x
 tg x  –
2
2
5
2

2
3
sec x   1  sec 2 x
 –
2
5


65
2
sec x  6 5 sec x –
0
4
– 13 5
5
sec x 
ou sec x 
2
2

5
.
Como x ] 0, [, temos sec x > 0; logo sec x =
2
2
b) sec x 
x ] 0,

2

sen  x 


sen  x 

5

2    cos x  2 e sen x  1 – 4  1 
 
5
5
5 
[  




  sen x cos  sen cos x
4
4
4
3 2 3 10

1
2
2 2
.






4
2
2
10
5
5 2 5
RESPOSTA:
5
2
3 10
b)
10
a)
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Q.10
A figura representa uma pirâmide ABCDE, cuja base é o retângulo ABCD. Sabe-se que
3
E
AB  CD 
2
Q
AD = BC = AE = BE = CE = DE = 1
P
1
D
AP  DQ  .
2
A
Nessas condições, determine:
C
a) A medida de BP.
b) A área do trapézio BCQP.
c) O volume da pirâmide BPQCE.
B
RESOLUÇÃO:
a) Destacando o triângulo ABE, temos a figura abaixo:
E
1
2
1
P
1
2
A
B
 , temos no ABE:
Chamando de  a medida de AEB
2
 3
5
2
2


 2   1  1 – 2  1  1 cos   cos   8


No triângulo PEB temos, então:
2
1
1 5
10
 1
(BP) 2  12    – 2  1 
cos   (BP) 2  1  –  BP 
2
4 8
4
 2
b) Observando que os triângulos ABE e CDE são congruentes, temos que BP = CQ. Destacando o trapézio
isósceles BCQP, temos a situação abaixo. Observe também que PQ é base média do ADE..
P
1
2
Q
h
B
1
4
1
2
Q’
1
4
C
2
2
 10 
3
 1
  h .
No QQ’C temos h 2     

4
4
 4


1 3

 1 
9
2 4
A área de BCQP é: 

2
16
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08.01.2009
c) Destacando a pirâmide BCQPE, temos a situação abaixo:
E
P
Q
M
C
N
1


3


3
2
Traçando EM, altura do triângulo equilátero PQE  EM 
, MN, altura do trapézio BCQP

2
4 







1 3
3
3

 temos então o triângulo MNE que

 MN   e EN, altura do triângulo equilátero BCE  EN 

4
2
2



B
2
2
2
 3
 3
3
 
    .
é retângulo em M, já que 
 4 

 4
 2 


Como EM  PQ e EM  MN temos que EM  pl (BCPQ) e portanto EM é a altura da pirâmide BCPQE.
Temos então:
VBCPQE 
RESPOSTA
10
4
9
b)
16
a)
c)
3 3
64
1
1 9
3 3 3
 SBCQP  EM  VBCPQE  


3
3 16 4
64