dominios espa um registrador

Curso Analises de Sinais
Definição e caracterização do sinal em
geofísica.
Aula 1
Prof. George Sand França
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1.Introdução
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●
Medições realizadas em um trabalho de campo buscar inferir o
desconhecido sob a Terra. Tais medidas, por exemplo, incluem
observações magnéticas e de gravidade alongo de linha ou área, e
sinais sísmicos e eletromagnéticos produzido por uma fonte natural
ou artificial com variação no tempo.
Gravímetro LaCoste e Romberg e o GEO GSM-19 magnetômetro
http://geosignals.org/
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1.Introdução
●
Medidas de Gravidade e magnéticas são registradas no espaço, dados sísmicos
e eletromagnéticos são ambas funções do espaço e do tempo. Chamamos essas
medidas como sendo feitas no domínio espacial (x, y, z) ou no domínio do tempo
(t).
San Diego State University
Terra Australis Geophysica Pty Ltd
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1.Introdução
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●
●
Exemplo do domínio do Espaço de e dados de campo magnético. Poucas medições
são feitas ”continuamente” nos domínios do espaço ou tempo. Registradores antigos ou
analógicos fazem esses registros contínuos.
Os computadores exigem valores discretos para os levantamentos, então os dados
geofísicos devem ser discretos (ou digitalizados) para análise. Medidas de gravidade e
magnéticas são realmente discretos devido os instrumentos serem deslocados de um
ponto a outro para fazer uma leitura.
Sensores sísmicos e eletromagnéticos mede os sinais no domínio do tempo, a saída
digital de um instrumento analógico para conversor digital A-to-D. A-to-D=converte um
quantidade contínua em amostras com intervalos regulares no espaço ou no tempo.
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Fazendo um gráfico simples no
Python
Entrar no intepretador python
>> import numpy as np
>> import matplotlib.pyplot as plt
>> y = np.random.rand(10)
>> x = np.linspace(0,10,10,endpoint=False)
>> plt.stem(x,y,'b')
>> plt.plot(x,y,'r-',label='continuo')
>> plt.legend(loc='best')
>> plt.xlabel('x')
>> plt.ylabel('Amplitude(mm)')
>> plt.show()
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1.Introdução
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●
A digitalização perfeita é feita em intervalos de tempo ou espaço iguais. Esse
procedimento é bastante fácil no domínio do tempo, mas não é simples para o
domínio do espaço, principalmente onde a acessibilidade do levantamento é
limitado.
Os dados digitais sísmica tem uma rotina de gravação desde a década de 1960, e
atualmente todos os dados são gravados na forma digital.
Digitalização não era um processo trivial, pois há uma série de ERROS em
potenciais à espreita esperando na etapa de conversão. Por exemplo;
●
Questões como deve ser o intervalo de digitalização no espaço ou no tempo,
●
Por quanto tempo o sinal deve ser registrado,
●
Como a amplitude do sinal deve ser amostrado.
http://datapreservation.usgs.gov/
Liu et al., 2001, figura 5
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1.Introdução
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●
Atenção - Uma vez que os dados digitais foram indevidamente gravados podem ser
totalmente inútil ou enganoso. ”Depois de convertidos”, os dados corretos não pode
ser recuperado!
Ninguém quer voltar ao campo para preencher a gravidade mal amostradas ou
levantamento magnético, ou descobrir que perderam a única oportunidade de gravar
corretamente um evento sísmico raro. Vamos ver isso na frente com essas
considerações e relaciona-os com as consequências inerentes à transformação de
dados de domínio de espaço e tempo para o domínio da frequência, frequência
normal, f (= 1/period, T) ou frequência angular, ω (= 2πf) .
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1.Introdução
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A análise do conteúdo de frequência dos dados geofísicos é chamado de análise espectral. A
frequência temporal em uso doméstico corrente elétrica na maioria dos lugares têm uma
frequência de 50 Hz ou 60 Hz (ciclos /s). Os dados geofísicos no domínio do espaço, que são
expressas as frequências espaciais em ciclos/distância, por exemplo, ciclos/km, ou ciclos/m.
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1.Introdução
●
●
Podemos visualizar os componentes de frequência em dados geofísicos nos
domínios do espaço ou tempo.
Por exemplo, identificar três diferentes componentes de frequência dos dados
magnéticos.
Um ciclo é de ~ 1 ciclo/4m centrado em cerca de 5 m de distância e em
cerca de 10 m de distância existem frequências espaciais de 1 ciclo/2m e
1/1 m. Há muitos componentes mais frequência, neste sinal magnético Mas
eles não são tão fáceis de se identificar com o olho.
●
Análise de Fourier descreve como obter todos os componentes espectrais.
Usamos a análise de Fourier devido os Sinais geofísicos (com poucas
exceções) podem ser representados por funções trigonométricas (senos e
cossenos).
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1.Introdução
●
●
Para alguns sinais, existe um pequeno número de componentes de frequência, e
para outros apresenta um número infinito de frequência que contribui para a
construção da forma de onda complexa.
Uma descrição completa dos componentes no domínio da frequência de um sinal
produz todo o espectro do sinal contínuo, e as amplitudes das componentes de
frequência podem ser plotados versus frequência.
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www.aprenderciencias.com
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1.Introdução
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●
●
A visualização de dados geofísicos no domínio da
frequência pode revelar claramente outras
características não revelada inicialmente. Por exemplo,
a gravidade, e dados magnéticos (slide 3), com maior
conteúdo de frequência espacial sensíveis variações de
superfície rasas. Em baixas frequências temporais
registrados pelo método magnetotelúrico são originários
das camadas mais profundas em comparação com
dados de alta frequência.
O conceito e análise usando em dados filtrados. A
filtragem pode ser aplicado no domínio no tempo,
espaço ou da frequência. Esse processo é chamado
convolução linear ou filtragem e é uma das
operações fundamentais usada na teoria de
processamento e na interpretação dos dados
geofísicos. E é umas das ferramentas mais usada na
geofísica.
A última parte do curso usaremos exemplos de
gravação digital, análise espectral e filtragem de sinais
geofísicos e ondas.
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2.Registro Digital
O sinal do slide 3 é dados magnéticos gravados com um
magnetômetro de vapor de césio. Não precisa ser geofísico para
entender que as variações do Campo Magnético são devido a
corpos magnéticos no interior da terra (ou melhor, enterrados).
Certamente não saberemos o que está exatamente ”enterrado”,
entretanto a análise digital pode contribuir para melhorar a
estimativa na localização e dimensão de corpos ”enterrados”.
Classiicação dos sinais
Sinais de tempo contínuo e de tempo discreto
Sinal analógio e digital
Sinal periódico e não periódico
Sinal deterministico e probablistico
Sinal par ou impar
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2.Registro Digital
Sinal de tempo(espaço) contínuo e discreto
Sinais de tempo contínuo (CT continuous-time) – são sinais que estão definidos em
todos os pontos de um intervalo real. O sinal s é representado matematicamente
como s(t), t ∈ R. Exemplos: variação da temperatura em um dia; sinal de voz.
Sinais de tempo discreto (DT – Dicrete time) – são sinais que estão definidos apenas em
instantes isolados de tempo (em tempo discretos). Geralmente, estes sinais só têm
valores definidos para instantes de tempo inteiros. O sinal x é representado
matematicamente por x[n], n ∈ Z. Exemplos: valor do índice BOVESPA a cada uma
hora. Neste curso nos ocuparemos principalmente dos sinais de tempo discreto.
x[kT], k = 0, ±1, ±2, ±3,...
Onde T denota o intervalo de tempo entre duas amostras consecutivas.
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2.Registro Digital
Sinal de tempo(espaço) contínuo e discreto
Observe que que nem todos sinais DT não são em funções do
tempo. A figura abaixo mostra um saída de uma camera, onde a
saída varia espacialmente em duas dimensões. Aqui, as variáveis
independentes são (m,n), onde m e n são coordenadas discretas
horizontal e vertical do elemento da imagem. Nesse caso, 2D, o
sinal discreto representa um carga espacial é indicada por x[m, n].
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Example 1.1
●
Considere um sinal contínuo x(t)=sen(πt) em
função do tempo t. Discretize o sinal usando
uma taxa de amostragem de T=0,25s e mostre
o seu resultado de discreto para o intervalo de
-2 ≤ k ≤ 9
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Resposta
●
Substituindo t = kt, o discreto
x[kT] = sen(0.25πk)
Para k = -2,-1,0,+1,+2,...9, o sinal discreto x[k]
tem o seguintes valores por exemplo
x[-8]=x(-8T)=sen(-2π)=0...Faça no Python os
demais e mostre o gráfico.
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Exemplo 1.1 - python
>> import numpy as np
>> import matplotlib.pyplot as plt
>> t = np.arange(-2,9.25,0.25)
>> x = np.sin(0.25*np.pi*t)
>> plt.stem(t,x)
>> plt.show()
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2.Registro Digital
Sinais ou Sequências
Função de uma ou mais variáveis que carrega
informação sobre um determinado fenômeno
●
1 variável sinal unidimensional
●
N variáveis sinal multidimensional
Classificação dos sinais Sinais analógicos e
digitais
Sinais analógicos – um sinal é chamado de
analógico quando pode assumir qualquer valor em
um intervalo. Exemplo: potência fornecida por uma
usina no decorrer de um dia.
Sinais digitais – um sinal é chamado de digital
quando só pode assumir um número finito de
valores diferentes. Exemplo: sinal binário.
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2.Registro Digital
(Sequências fundamentais)
●
São a amostra unitária, o degrau unitário e a exponencial.
A amostra unitária, denotada por δ(n), é definida por
δ(n)=
{
1
n=0
0 em caso contrário
no processamento de sinais, desempenha o mesmo papel em
tempo discreto que o impulso unitário faz em tempo contínuo.
●
O degrau unitário, denotado por u(n), é definido por
e relaciona-se com amostra unitária
e amostra unitária pode ser descrita
como um diferença entre dois degraus
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{
n≥0
u(n)= 1
0 em caso contrário
n
u(n)=∑−∞ δ(k )
δ(n)=u (n)−u(n−1)
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2.Registro Digital
(Sequências fundamentais)
●
Uma sequência exponencial é definida por
n
x[n]=a .
onde a pode ser um número real ou complexo. De
particular interesse, é a sequência exponencial
jWo
formada quando a= e , onde Wo é um número
real. Nesse caso, x(n) é uma exponencial complexa
cos(nWo)+isen(nWo)
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2. Registro Digital
(Duração do Sinal)
●
●
●
Sinais de tempo discreto podem ser classificados em termos de sua
duração ou extensão.
Por exemplo, uma sequência de tempo discreto é dita sequência de
comprimento finito se ela for igual a zero para todos os valores
de n fora de um intervalo finito [N1, N2]. Sinais que não têm
comprimento finito, como o degrau unitário e a exponencial
complexa, são ditos sequências de comprimento infinito.
Sequências de comprimento infinito podem ser classificadas ainda
como laterais direitas, laterais esquerdas ou bilaterais.
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2. Registro Digital
●
Sequencias periódico e aperiódico
●
●
Um sinal x(n) é dito periódico com período se, para algum inteiro real
positivo N tivermos
x(n) = x(n+N) ou x(t) = x(t+ T0)
– Se for periódico com período N, ele será também será nos peíodos
2N, 3N... → N período fundamental
●
O sinal x[k] discreto é periódico se satisfazer
–
x[k] = x[k+K0]
em todo tempo t e algum valor positivo constante de K0. O menor valor
também é conhecido como periodo fundamental de x[k].
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2. Registro Digital
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Registro Digital
●
●
●
●
Para a frequência é chamada de frequência fundamental.
–
f0=1/T0, para o sinal contínuo
–
f0=1/K0, para o sinal discreto
A frequência de um sinal fornece informações úteis sobre o quão rápido o sinal muda
sua amplitude.
A unidade de frequência é ciclos por segundo (c/s) ou hertz (Hz). Às vezes,
também usamos radianos por segundo, como uma unidade de frequência. Uma vez
que existem 2π radianos (ou 360◦) em um ciclo, uma frequência de f 0 hertz equivale a
2πf0 radianos por segundo. Se radianos por segundo é utilizada como uma unidade de
frequência, a frequência é conhecida como a frequência angular e é dada pela
–
ω 0 = 2π/T0 para o sinal contínuo
–
Ω 0 = 2π/K0 para o sinal discreto
Um exemplo de sinal periódico é uma função senoide
–
x(t) = A sen(ω0t + θ)
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Registro Digital
●
O sinal senoidal x(t) tem período fundamental t0 = 2π/ω0, vamos
provar isso? Substituindo t por t+T0 na função seno
x(t+T0) = A sen(ω0t +ω0T0 + θ)
já que
x(t) = A sen(ω0t + θ) = A sen(ω0t +2mπ + θ), para m = 0,±1,±2,...
Acima as duas expressões são iguais se ω0T0=2mπ. Selecionado
m=1, o periodo fundamental é dado por T0=2π/ω0 .
●
Identidade de Euler
ei(ω0t + θ)=cos(ω0t + θ) + isen(ω0t+ θ)
Observe que a parte real e imaginária da função exponencial são
periódicas com período fundamental T0=2π/ω0.
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Registro Digital
●
Embora toda senoide contínua é periódica, a discreta x[k]=Asen(Ω0k + θ)
pode não ser periódica. Vamos ver para um periódo K0.
x[k+K0]=Asen(Ω0(k+K0)+ θ)= sen(Ω0k+Ω0K0+ θ)
●
Já que x[k] pode ser x[k]= sen(Ω0t +2mπ + θ), o valor do período
fundamental é dado por K0 = 2mπ/Ω0 para m = 0,±1,±2,....Como estamos
usando tudo no discreto, o valor do periodo fundamental K0 deve ser
inteiro. Ou seja, x[k] é periódica se podemos encontrar um conjunto de
valores para m, K0e Z+, onde usamos a notação para conjunto positivo
inteiro.
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Registro Digital
●
Preposição 1.1: Uma senoide arbitraria de sequência
Discreta x[k]=Asen(Ω0k + θ) é periódica se Ω0k/2π for um
numero racional.
●
Por exemplo, a sequência tem relação periódica
Ω0k/2π = m/Κ0
Κ0 = 2πm/Ω0.
Exemplo: Determine se a senóide discreta é periódica
f[k] = sen(πκ/12 + π/4)
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Registro digital
●
O valor de Ω0 em f[k] é π/12. Desde que Ω0/π = 1/24 é um
número racional, a sequência discreta f[k] é periódica.
Usando a equação do slide 22, o período fundamental de
f[k] é dado por
Κ0 = 2πm/Ω0. = 24m
supondo m=1, então o período fundamental é Κ0=24
●
Para demonstra que f[k] é um sinal periódico;
f[k+Κ0] = sen(π[k+Κ0]/12+π/4) Κ0 é 24
f[k+Κ0] = sen(πk/12+2π+π/4)=sen((πk/12+π/4)=f[κ]
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Exercícios
(i)f[k] = cos(3πκ/10+θ)
(ii)f[k] = cos(0.5k+φ)
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Manipulação
●
●
Sequências simétricas – PAR e IMPAR
O sinal contínuo xp(t) e discreto xp[k] é dito par
todo sinal se
xp(t)=xp(-t) ou xp[k]=xp[-k]
●
E impar se
xi(t)=-xi(-t) ou xp[k]=-xp[-k]
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Manipulação de sinais
●
Transformação da variável indenpendente.
●
y(n)=x(f(n))
–
–
●
Deslocamento
●
●
Definida por f(n)=n-n0, sendo y(n)=x(n-n0), x(n) é deslocado n0 amostra à
direita se n0 for positivo e deslocado n0 amostras à esquerda n0 for negativa.
Inversão
●
●
f(n) é função de n
Se, para algum valor de n, f(n) não for inteiro, y(n)-x(f(n)) é indefinida.
Essa transformação é dada por f(n)=-n e envolve simplesmente o
espelhamento do sinal x(n) em relação ao índice n.
Mudança de escala do tempo
●
É definida por f(n) = Mn ou f(n)=n/N onda M e N são inteiros positivos.
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Manipulação de sinais
●
Escalamento ou Mudança de escala do tempo
●
f(n) = Mn
–
●
A sequência x(Mn) é formada tomando-se cada M-ésima
amostra de x(n) (down-sampling)
f(n) = n/N
–
A sequência y(n) = x(f(n)) é definida abaixo (up-sampling)
 n=
{
x
n
 n=0,± N ,±2N, ...
N
0
em caso contrário
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Exemplo de deslocamento, inversão
e escalamento de tempo
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Vamos ver no Python
Criando o Sinal
>> import numpy as np
>> import matplotlib.pyplot as plt
>> t = np.arange(-2,9)
>> x = [ 0, 0, 0, 1, 2, 3, 2, 1, 0, 0, 0]
>> plt.stem(t,x)
>> plt.show()
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Deslocamento n0=2
>> t = np.arange(-2,9) + 2 (Porque??)
>> plt.stem(t,x)
>> plt.show()
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Inversão
>> t1 = np.arange(-2,9)*-1
>> plt.stem(t1,x,'r')
>> plt.show()
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Escalamento (ou Mudança de
Escala) de Tempo
●
Down-sampling
>> import matplotlib.pyplot as plt
>> import numpy as np
>> x1=x[0:9:2]
>> t1 = np.arange(-1,4)
>> plt.stem(t1,x1)
>> plt.show()
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Escalamento (ou Mudança de
Escala) de Tempo
●
Up-sampling
>> import matplotlib.pyplot as plt
>> import numpy as np
>> x1 = np.zeros(16)
>> for t in np.arange(0,15):
if t % 2 == 0:
x1[t] = x[t/2]
else:
x1[t] = 0
>> t1 = np.arange(-4,12)
>> plt.stem(t1,x1)
>> plt.show()
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Adição, Multiplicação e
Escalamento
●
Adição: É feita somando-se amostras de mesmo
índice
●
●
-∞ < n < ∞
Multiplicação: Produto das amostras de mesmo
índice
●
●
y(n) = x1(n)+x2(n)
y(n) = x1(n)x2(n)
-∞ < n < ∞
Escalamento: escalamento da amplitude de x(n) por
uma constante c.
●
y(n) = cx(n)
-∞ < n < ∞
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Criar dois sinais aleatórios e soma,
multiplicar e escalonar o sinal
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40
●
FIM
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