Apêndice: Função Delta de Dirac e Função Sinal

Apêndice: Função Delta de Dirac e Função Sinal
Observação: use e abuse, mas em hipótese alguma mostre estas notas para um matemático.
Denição: para uma função f (x) qualquer regular, denimos a "função generalizada"' ou
"distribuição"' delta de Dirac (δ(x − a)) através da integral:
Zc


 f (a)
se a ∈ (b, c)

se a ∈
/ (b, c)
f (x)δ(x − a)dx = 
b
0
A distribuição δ(x−a) tambem pode ser denida como o limite da função contínua δε (x−a),
denida por:



0,



se x < a − ε
1
, se
2ε



 0,
δε (x − a) = 
a−ε<x<a+ε
se
x>a+ε
Para um ε sucientemente pequeno (ε ¿ 1), a integral:
Zc
b
µ
¶
1
2ε ' f (a),
f (x)δε (x − a)dx ' f (a)
2ε
a precisão sendo tanto maior quanto menor for o ε. Logo: limε→0 δε (x − a) → δ(x − a).
Propriedades
1. Sendo a e b constantes, δ(ax − b) =
1
δ(x
|a|
1
− ab ).
(1)
2.
R
R
d
d
dx f (x) dx
δ(x − a) = − dx dx
f (x) δ(x − a)
3. Transformada de Fourier
Z
dk
√ δε (k, a)eikx
2π
Z
dx
√ δε (x − a)e−ikx
δε (k, a) =
2π
(2)
δε (x − a) =
a+ε
Z
δε (k, a) =
a−ε
(3)
dx 1 −ikx
√
e
2π 2ε
´
1
1 ³ −ik(a+ε)
√
e
− e−ik(a−ε)
2ε 2π −ik
e−ika sin(kε)
= √
2π kε
=
Agora, observe que
+∞
Z
δε (x − a) =
−∞
Z
=
"
#
dk e−ika sin(kε) ikx
√
√
e
2π
2π kε
Ã
eik(x−a)
dk
2π
!Ã
sin(kε)
kε
!
Assim, tomando o limite ε → 0, obtemos a representação de Fourier do delta de Dirac:
+∞
1 Z
δ(x − a) =
dkeik(x−a) .
2π
−∞
Função degrau e Função Sinal
2
(4)


.  1 se
θ(x − a) =


x>a


.  1 se
θ(a − x) = 

a>x
0 se x < a
0 se a < x
θ(x − a) + θ(a − x) = 1



1 se x > a
. x−a
ε(x − a) =
=

|x − a|  −1 se x < a



1 se a > x
. a−x
ε(a − x) =
=
|a − x|  −1 se a < x
ε(a − x) = −ε(a − x)
ε(x − a) = θ(x − a) − θ(a − x)
A função "generalizada" θ(x − a) é o limite de função contínua θε (x − a) tal que:






θε (x − a) =  12 +




se
0
x−a
2ε
x<a−ε
se a − ε < x < a + ε
se x > a + ε
1
Derivando esta função, vemos que:



0



d
θε (x − a) = 
dx


se x < a − ε
1
2ε
se

 0
a−ε<x<a+ε
se
3
x>a+ε
≡ δε (x − a)
De onde (após tomar o limite) seguem os resultados:
d
θ(x − a)
dx
d
ε(x − a)
dx
d
ε(a − x)
dx
d
θ(a − x)
dx
= δ(x − a)
= 2δ(x − a)
= −2δ(x − a)
= −δ(x − a)
Representação de Fourier de θ(x − a)
Denindo: θη (x − a) = e−η(x−a) θ(x − a), podemos calcular sua transformada de Fourier e
escrever sua transformada inversa (representação de Fourier) como
+∞
1 Z
i
θ(x − a) = lim θη (x − a) =
dk
eik(x−a)
η→0+
2π
k + iη
−∞
Observação: a função contínua δε (x − a) usada acima para denir o δ(x − a) é um exemplo dentre muitas diferentes funções que podem ser usadas para o mesmo m. Outras
interessantes (que além de serem contínuas, tem tb derivadas contínuas) são:
1 −(x−a)2 /ε2
e
, (ε → 0)
ε2 π
1
ε
, (ε → 0)
δε (x − a) =
π (x − a)2 + ε2
1 sen[(x − a)η]
δη (x − a) =
, (η → ∞).
π
(x − a)
δε (x − a) = √
4