Aula 2

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO
CENTRO DE CIENCIAS TECNOLÓGICAS
CURSO DE ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO
Disciplina de Sinais e Sistemas
Prof. Leonardo Gonsioroski da Silva
Séries e
Transformadas de Fourier
Análise de um sinal senoidal no tempo
v (t ) = A ⋅ cos( ω 0 t + ϕ )
Expressamos a onda senoidal como
Onde
é o valor de pico ou amplitude
Onde
é a freqüência em radiano
Onde
é a fase que representa o desvio do valor de pico da
origem por um tempo
A equação (1) implica que
repetição
se repete com período de
Séries e
Transformadas de Fourier
Séries e
Transformadas de Fourier
Analisando um sinal qualquer
A equação que rege essa forma de
onda no tempo é:
Lembrando que :
A ⋅ cos(ω0t + φ ) = A ⋅ cos(2πft + φ )
− A ⋅ cos(2πft ) = A ⋅ cos(2πft ± 180o )
sen(ω 0 t ) = cos(2πft − 90o )
então podemos reescrever a equação acima desta forma:
Séries e
Transformadas de Fourier
Desenhando o espectro de freqüências...
Vamos agora plotar no domínio da freqüência os valores correspondentes a amplitude e
fase deste sinal:
Séries e
Transformadas de Fourier
Série de Fourier
Séries e
Transformadas de Fourier
Série de Fourier
Fourier foi levado a desenvolver suas séries ao estudar a propagação do calor em
corpos sólidos.
Levando-se em conta de que a propagação do calor deveria se dar por ondas e que a
forma mais simples de uma onda é a função senoidal, Fourier mostrou que:
“ Qualquer função, por mais complicada que seja, pode ser decomposta como uma
soma de senos e cossenos.”
Seja a função periódica f(x) = sen(x), com período 2π e a função periódica g(x) = cos(x)
de período também 2π, defasado π/2 da função seno.
Séries e
Transformadas de Fourier
Série de Fourier
f (t ) =
1
a0 + a1 cos(ω 0 t ) + a2 cos(2ω 0 t ) + ... + b1sen(ω0t ) + b2 sen( 2ω0t ) + ...
2
∞
1
= a0 + ∑ (an cos(nωo t ) + bn sen(nωo t ))
2
n =1
Séries e
Transformadas de Fourier
Série de Fourier
f (t ) =
1
a0 + a1 cos(ω 0 t ) + a2 cos(2ω 0 t ) + ... + b1sen(ω0t ) + b2 sen(2ω0t ) + ...
2
∞
1
= a0 + ∑ (an cos(nωot ) + bn sen(nωot ))
2
n =1
Onde:
T
2 2
an = ∫ f (t ). cos(nω0t )dt n = 0,1,2,...
T −T
2
T
2 2
bn = ∫ f (t ). sin(nω0t )dt n = 1,2,...
T −T
2
T
2 2
a0 = ∫ f (t )dt
T −T
2
Séries e
Transformadas de Fourier
Série de Fourier
Exemplo
− 1
1,
Determinar a série de Fourier do sinal f (t ) = 
- T/2 < t < 0
0 < t < T/2
Cujo gráfico em função do tempo é dado por:
Como o sinal é periódico, é possível o cálculo da
série de Fourier.
A tarefa é portanto o cálculo dos coeficientes da
série de Fourier, lembrando que:
2
1.5
1
0.5
T
0
2 2
an = ∫ f (t ). cos(nω0t )dt n = 0,1,2,...
T −T
-0.5
-1
2
T
-1.5
-2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2 2
bn = ∫ f (t ). sin( nω0t )dt n = 1,2,...
T −T
2
T
2 2
a0 = ∫ f (t )dt
T −T
2
Séries e
Transformadas de Fourier
Cálculo do a0 e an
T
0

2


2
2
a 0 = ∫ f ( t ).dt =  ∫ − 1.dt + ∫ 1.dt  = 0
T T
T T

0
−
−
2
 2

T
2
T
0

2


2
2
an = ∫ f (t ). cos(nω0t ).dt =  ∫ − 1. cos(nω0t ).dt + ∫ 1. cos(nω0t ).dt  =
T T
T T

0
−
2
−2

T
2
T
2
0
=


2
1
2 1
 −
sin( n.ω0 .t )  + 
sin( n.ω0 .t ) 
T  n.ω0
 −T T  n.ω0
0
Lembrando que ω0 =
2
a integral acima é nula. Portanto :
an = 0
∀n∈N
2π
,
T
Séries e
Transformadas de Fourier
Cálculo do bn
T
0

2


2
2
b n = ∫ f ( t ).sin ( nω0 t )dt =  ∫ − 1.sin (nω0 t ).dt + ∫ sin (nω0 t ).dt  =
T T
T T

0
−
−
2
 2

T
2
T
2
0


2 1
2 1

cos(nω0 t )  =
cos(nω0 t )  +  −
T  nω0
 − T T  nω0
0
2
0, se n par
2

(1 − cos(nπ)) =  4
nπ
 nπ , se n ímpar
Séries e
Transformadas de Fourier
2
A série de Fourier fica então assim:
sin(3ω0t ) sin(5ω0t )
4 ∞ 1
4

f (t ) =
sin(
n
t
)
=
sin(
t
)
+
+
+
...
ω
ω


∑
0
0
3
5
π n=ímpar n
π

A seguir façamos uma análise da série de Fourier tomando-se
um número de termos cada vez maior
1.5
1.5
1.5
sin(6πt ) sin(10πt )
f (t ) = (sin(2πt ) +
+
π
3
5
1
4
0.5
0
sin(14πt ) sin(18πt )
+
+
)
7
9
-0.5
-1
1
1
0.5
0.5
0
-0.5
-1
-1
-1.5
-2
-2
-1.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-1.5
-1.5
-1
-1
-0.5
-0.5
00
0.5
0.5
11
1.5
1.5
22
Séries e
Transformadas de Fourier
Série de Fourier
Voltando a fórmula de série de Fourier, e sendo gT0(t) um sinal periódico:
∞
1
gT0 (t ) = a0 + ∑ (an cos(nωot ) + bn sen(nωot ))
2
n =1
e sabendo que cosseno e seno podem ser escritos na forma complexa:
1
cos(2πnf 0t ) = [exp( j 2πnf 0t ) + exp(− j 2πnf 0t )]
2
1
sen(2πnf 0t ) = [exp( j 2πnf 0t ) − exp(− j 2πnf 0t )]
2j
Podemos reescrever a série de Fourier em termos complexos, acrescentando um
coeficiente Cn (chamado de coeficiente complexo de Fourier) dado por:
an − jbn , n > 0
cn =
a0 ,
n=0
an + jbn , n < 0
Séries e
Transformadas de Fourier
Série de Fourier
∞
Portanto gT0(t) pode ser escrito como: gT0 (t ) =
∑C
n = −∞
1
C
=
e Cn vale: n
T0
∫
T0 / 2
−T0 / 2
gT0 (t ) ⋅ exp(− j 2πnf 0t ) dt
chamado de coeficiente complexo de Fourier
n
⋅ exp( j 2πnf 0t )
Séries e
Transformadas de Fourier
Transformada de Fourier
Façamos em gT0(t) (periódica), T0 -> ∞:
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
O que significa dizer que: g (t ) = lim g T (t )
0
T0
∞
1.5
2
T0
Séries e
Transformadas de Fourier
Transformada de Fourier
Então sendo: g (t ) = lim g T0 (t )
T0
∞
1
n
e fazendo as seguintes definições: ∆f =
, fn =
T0
T0
e G ( f n ) = Cn T0
Podemos ajustar a equação :
Transformada inversa de Fourier
∞
gT0 (t ) =
∑C
n = −∞
n
f nt0)t ) ∆f
⋅ exp( j 2πnf
+∞
g (t ) = ∫ G ( f ) exp( j 2πft ) ⋅ df
−∞
da seguinte forma
Considerando a definição de integral:
+∞
∫
−∞
Transformada direta de Fourier
+∞
f ( x)dx = lim ∑ f ( xi )∆xi
Δxi
∞i = −∞
+∞
G( f ) =
∫ g (t ) exp(− j 2πft ) ⋅ dt
−∞
Séries e
Transformadas de Fourier
Transformada de Fourier
Transformada de Fourier de um pulso retangular.
Séries e
Transformadas de Fourier
Transformada de Fourier
Séries e
Transformadas de Fourier
Transformada de Fourier
Séries e
Transformadas de Fourier
Transformada de Fourier
Séries e
Transformadas de Fourier
Transformada de Fourier
Séries e
Transformadas de Fourier
Propriedades da Transformada de Fourier
Linearidade ou Superposição
Seja
g1 (t ) ⇔ G1 ( f )
e
g 2 (t ) ⇔ G2 ( f ) ,
então:
c1 g1 (t ) + c2 g 2 (t ) ⇔ c1G1 ( f ) + c2G2 ( f )
Para todo
c1 e c2 constantes.
Dilatação
Seja
Notem que quando
teremos:
g1 (t ) ⇔ G1 ( f ) , então:
g (at ) ⇔
Onde a é um número real.
1
f
G( )
a
a
a = −1
g ( −t ) ⇔ G( − f )
Séries e
Transformadas de Fourier
Propriedades da Transformada de Fourier
Regra da Conjugação
Seja
g1 (t ) ⇔ G1 ( f ) ,
então:
g * (t ) ⇔ G * (− f )
Dualidade
Seja
g1 (t ) ⇔ G1 ( f )
, então:
G (t ) ⇔ g (− f )
Séries e
Transformadas de Fourier
Propriedades da Transformada de Fourier
Deslocamento no tempo
Seja
g1 (t ) ⇔ G1 ( f ) ,
então:
g (t − t0 ) ⇔ G ( f ) ⋅ e − j 2πft0
Deslocamento na Freqüência
Seja
g1 (t ) ⇔ G1 ( f ) ,
então:
e j 2πf ct ⋅ g (t ) ⇔ G ( f − f c )
Séries e
Transformadas de Fourier
Propriedades da Transformada de Fourier
Exercício: Deslocamento no tempo
Sabendo que um sinal x(t) tem transformada de Fourier X(f), encontre a
transformada de Fourier de y(t) = x(3-t) + x(-2-t) em função de X(f).
Séries e
Transformadas de Fourier
Propriedades da Transformada de Fourier
Diferenciação no domínio do tempo
Seja
g1 (t ) ⇔ G1 ( f ) ,
d
g (t ) ⇔ j 2πfG ( f )
dt
então:
generalizado para
Integração no domínio do tempo
Seja
g1 (t ) ⇔ G1 ( f c ) ,
∫
t
−∞
então:
g (τ ) ⇔
1
G( f )
j 2πf
dn
n
(
)
g
(
t
)
⇔
j
2
π
f
G( f )
n
dt
Séries e
Transformadas de Fourier
Propriedades da Transformada de Fourier
Exercício: Função de Transferência e Diferenciação no Tempo
A figura abaixo mostra o circuito eletrônico de um filtro RC passa-baixa passivo que
permite a passagem de baixas freqüências sem dificuldades e atenua (ou reduz) a
amplitude das freqüências maiores que a freqüência de corte. Com base neste
circuito e utilizando transformadas de Fourier encontre a função de transferência do
filtro.
Séries e
Transformadas de Fourier
Teorema da Modulação e Teorema da Convolução
Seja
g1 (t ) ⇔ G1 ( f ) e g 2 (t ) ⇔ G2 ( f ) , então:
∞
g1 (t ) g 2 (t ) ⇔ ∫ G1 (λ )G2 ( f − λ )dλ = G1 ( f ) ∗ G2 ( f )
−∞
Teorema da Modulação
∞
g1 (t ) ∗ g 2 (t ) ⇔
∫ g (τ )g
1
2
(t − τ )dτ = G1 ( f )G2 ( f )
−∞
Teorema da Convolução
A multiplicação de dois sinais no domínio do tempo é igual a convolução de
seus espectros no domínio da freqüência
A multiplicação de dois sinais no domínio da freqüência é igual a
convolução de seus espectros no domínio do tempo
Séries e
Transformadas de Fourier
Função Delta de Dirac
δ (t ) ⇔ 1
Séries e
Transformadas de Fourier
Funções exponecial complexa e senoidal
e j 2πf ct ⋅ g (t ) ⇔ G ( f − f c )
1
cos(2πf c t ) ⇔ [δ ( f − f c ) + δ ( f + f c )]
2
Cosseno
sen(2πf c t ) ⇔
Seno
1
[δ ( f − f c ) − δ ( f + f c )]
j2
Séries e
Transformadas de Fourier
Função Sinal
Aproximação de um pulso
exponencial dobrado
e − at , t > 0
g (t ) =
0, t = 0
− e at , t < 0
sgn(t ) ⇔
1
jπf
Séries e
Transformadas de Fourier
Função Degrau
O degrau pode ser visto como a
soma de uma função sinal + 1.
u (t ) =
1,
1
,
2
0,
t>0
t =0
t<0
1
u (t ) = [sgn(t ) + 1]
2
1
1
u (t ) ⇔
+ δ( f )
j 2πf 2
Séries e
Transformadas de Fourier
Exercícios
Exercícios da Lista
2a
Questão – Use a propriedade trigonométrica
18a Questão
1
sen x = [1 − cos 2 x]
2
2