Superposição - Universidade Santa Cecília
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Superposição - Universidade Santa Cecília
Univesidade Santa Cecília Engenharia Mecânica Resistência dos Materiais I De acordo com o principio da superposição, a situação de carga apresentada na figura 1 pode ser encarada como a superposição entre outras duas situações: a) Uma apenas com a carga distribuída b) Uma apenas com a força concentrada. Princípio da Superposição Sabe-se que dentro do regime elástico a tensão e a deformação são linearmente dependentes. Isto é, a deformação e a tensão são proporcionais. Sabe-se, ainda, que as tensões, no plano da seção, e os esforços internos que atuam neste plano, também, são linearmente dependentes. Estas duas situações podem ser observadas na figura 2. Situação 1 Assim, é possível dizer que as deformações e os deslocamentos são linearmente dependentes dos esforços que atuam nas estruturas. S Com este raciocínio se pode dizer que: “o deslocamento do centro de gravidade de uma seção transversal qualquer de uma barra, pertencente a uma estrutura solicitada por n esforços, é igual à soma dos n deslocamentos desta seção, decorrentes de cada um dos esforços”. P Situação 2 S figura 2 – Duas situações para uma barra solicitada por uma carga distribuída e por uma força concentrada Por exemplo, seja a barra da figura 1. esta barra está solicitada por uma carga distribuída q e por uma força concentrada P. Os deslocamentos que irão ocorrer na seção S indicada na barra, são ϕs e υs que, usando o principio da superposição, podem ser determinados pela soma algébrica entre os deslocamentos que irão ocorrer na situação1 e na situação 2. isto é: P q S figura 1 – Barra solicitada por uma carga distribuída e por uma força concentrada Prof. José Carlos Morilla 1 ϕ S = ϕ S1 + ϕ S 2 (1) υ S = υ S1 + υ S 2 (2) Princípio da superposição Univesidade Santa Cecília Engenharia Mecânica Resistência dos Materiais I Observações Estruturas Hiperestáticas 1. Deve-se sempre observar que, a superposição entre as situações de carga deve levar à situação original. 2. Não existe regra para a “separação” em situações; entretanto, a colocação de cargas distribuídas e cargas concentradas em situações diferentes pode facilitar a execução. 3. Mesmo uma única carga pode ser “separada”, de maneira a se obter situações diferentes. Este fato pode ser observado na figura 3. Uma estrutura é chamada de hiperestática quando o número de reações que seus apoios oferecem for maior que o necessário para mantê-la em equilíbrio. A figura 4 mostra estrutura hiperestática. figura 4 – Estrutura hiperestática Note-se que para que o equilíbrio da estrutura possa ocorrer (independentemente dos esforços aplicados), são necessárias três reações: uma para o equilíbrio de forças na horizontal, uma para o equilíbrio de forças na vertical e outra para o equilíbrio dos momentos. Situação Original q 1 q 2 Situação 1 1 uma Note-se, ainda, que na estrutura da figura 4 existem quatro reações de apoio; três delas ocorrem no engastamento e uma no apoio móvel. 2 q Situação 2 1 Desta forma existem mais reações que o necessário para o equilíbrio da estrutura. Esta estrutura é hiperestática. 2 Diz-se que uma estrutura é tantas vezes hiperestáticas quantas forem as reações além das necessárias para o equilíbrio. figura 3 – duas situações para uma barra solicitada por uma carga distribuída. Na figura 4 a estrutura é uma vez hiperestática pois são necessárias três reações para que ocorra o equilíbrio e nela os apoios oferecem quatro reações. Prof. José Carlos Morilla 2 Princípio da superposição Univesidade Santa Cecília Engenharia Mecânica Resistência dos Materiais I A estrutura da figura 5 é três vezes hiperestática pois são oferecidas seis reações e são necessárias apenas três para o equilíbrio. uma isostática substituindo as causa de hiperestáticidade por suas reações e pelas condições de restrição de deslocamento, razões da existência destas reações. figura 5 – Estrutura três vezes hiperestática As equações obtidas destas condições de deslocamento são conhecidas como Equações de Compatibilidade dos Deslocamentos. Exemplos: 1. A barra da figura 7 é uma vez hiperestática. Método dos esforços para solução de estruturas hiperestáticas. A Este método se baseia no fato que: uma reação de apoio ocorre quando existe uma restrição ao movimento na direção da reação. B figura 7 – Estrutura uma vez hiperestática Pode-se imaginar que a reação excedente ao equilíbrio é aquela oferecida pelo apoio B. Este apoio pode ser substituído por sua reação e pela razão da existência desta reação (o deslocamento na direção da reação é igual a zero). Isto é: Tome-se, por exemplo, um apoio móvel que oferece uma única reação na direção em que ele oferece restrição ao movimento (perpendicular à linha de solo). A B VB figura 8 – barra isostática com a reação em B Direção da Reação υB = 0 (equação de compatibilidade dos deslocamentos) figura 6 – Apoio móvel e a direção de sua reação Note-se que para um apoio oferecer uma reação é necessário que o deslocamento da seção da estrutura que está sobre ele, na direção da reação seja igual a zero. 2. A barra da figura 9 é três vezes hiperestática. A B Para utilizar este método, deve-se “transformar” a estrutura em figura 9 – Barra três vezes hiperestática. Prof. José Carlos Morilla 3 Princípio da superposição Univesidade Santa Cecília Engenharia Mecânica Resistência dos Materiais I Pode-se imaginar que um dos engastamentos seja a causa de hiperestáticidade. Assim, é possível fazer: N cabo A B figura 12 – barra isostática com a força que o cabo exerce am B MA B HA A υB = ∆l A −B (equação de compatibilidade dos deslocamentos) VA figura 10 – Barra isostática com as reações em A υA = 0 ϕA = 0 ∆l A −B = 0 (equações de compatibilidade dos deslocamentos) 3. A barra da figura 11 é uma vez hiperestática. A B Cabo C figura 11 – Estrutura uma vez hiperestática Pode-se imaginar que a reação excedente ao equilíbrio é aquela oferecida pelo cabo AB. Este cabo pode ser substituído pela força que ele exerce na barra e pela equação de compatibilidade do deslocamento (o deslocamento do ponto B na direção do cabo é igual à variação de comprimento deste cabo). Isto é: Prof. José Carlos Morilla 4 Princípio da superposição