Fatorial e Princípio da Contagem

Fatorial e Princípio da Contagem - PFC
Antonio Luiz Santos
Fatorial
Definição: Seja n ϵ N, com n > 1.
Definimos o fatorial de n, e representamos por n!,
o seguinte produto:
n! = n∙(n-1)∙(n-2)∙...∙1
Casos especiais:
0! = 1 e 1! = 1
Fatorial
Exemplo de aplicação:
1. Simplifique as frações:
10!
a)
7!
Solução:
10∙9∙8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1
10!
=
7!
7∙6∙5∙4∙3∙2∙1
Fatorial
Usando a propriedade do cancelamento, temos:
10!
= 10∙9∙8
7!
Fatorial
8!
b)
5!∙3!
8! = 8∙7∙6∙5!
5!∙3!
5!∙3!
Fatorial
Cancelando no numerador e denominador o
fator comum 5!, teremos:
8!
87 6

 8 7
5!3! 3  2 1
Fatorial
Um resultado interessante!
(n+1)! = (n+1).n!
Desse modo, teremos:
10! = 10.9!
8! = 8.7!
Fatorial
Outro resultado interessante!
(n+1)!-n!=(n+1).n!-n!=n!.(n+1-1)=n.n!
Desse modo, sempre que tivermos o produto
de um número pelo seu fatorial, poderemos
transformar isso numa subtração.
Fatorial
Calcule a soma abaixo:
1.1!+2.2!+3.3!+4.4!+...+10.10!=
Princípio Multiplicativo ou
Princípio da Contagem(PFC)
Se uma tarefa tem k etapas, e cada etapa i,
com i = 1,2,3,...,k, tem nᵢ maneiras
diferentes de ser realizada, então o número
total de maneiras para realizar a tarefa é o
produto n₁ x n₂ x n₃ x...x nk.
Princípio Multiplicativo ou Princípio
da Contagem(PFC)
Exemplos de aplicação do princípio:
1. Para fazer uma viagem Teresina – Fortaleza -Teresina,
posso usar como transporte o avião, o ônibus ou o carro
particular. De quantos modos posso fazer a viagem, com
essas escolhas de transportes, se não desejo usar na
volta o mesmo meio de transporte usado na ida?
Solução:
Transportes disponíveis: avião,ônibus ou carro.
Etapas
Ida
Volta
Total
Nº maneiras da
etapa
3
2
3.2=6
2. Quantos números naturais de três algarismos distintos
existem escritos na base 10?
Solução:
Etapas
Centena Dezen Unidad
Total
a
e
Nº maneiras da
9
9
8
9.9.8=648
etapa
3. Quantos números naturais de três algarismos existem
escritos na base 10?
Solução:
Etapas
Centen Dezena Unidade
Total
a
Nº maneiras
9
10
10
9.10.10=900
da etapa
4. Uma bandeira retangular é formada por quatro listas,
que devem ser coloridas usando-se apenas as cores
amarelo, branco e cinza, não devendo listas adjacentes ter
a mesma cor. De quantos modos pode ser colorida a
bandeira?
Solução:
Cores disponíveis: amarelo, branco e cinza
Etapas
Nº
maneiras
da Etapa
1ª
lista
3
2ª
lista
2
3ª
lista
2
4ª
lista
2
Total
3.2.2.2=24
5. De quantos modos 3 pessoas podem sentar-se em 5
cadeiras em fila?
Solução:
Etapas
1ª
2ª
3ª
pessoa pessoa pessoa
Nº maneiras
5
4
3
da etapa
Total
5.4.3=60
6. A figura seguinte mostra um mapa com 4 países: A, B, C
e D. Cada país deve ser colorido com uma cor, sendo que
dois países com linha de fronteira comum não podem ter a
mesma cor. De quantos modos esse mapa pode ser
colorido se dispomos de 5 cores?
A
D
B
C
Total de cores disponíveis: 5
Solução: Consideraremos dois casos excludentes.
1º caso: A e C com cores iguais
2º caso: A e C com cores diferentes
A
D
B
C
Total de cores disponíveis: 5
A
B
C
Nº de maneiras da 5
etapa
4
1
Etapas
D
Total de
modos de
colorir o mapa
4
5.4.1.4=80
A
B
D
C
Total de cores disponíveis: 5
A
B
C
5
3
4
Etapas
Nº de maneiras da
etapa
D
Total de
modos de
colorir o mapa
3
5.3.4.3=180
Total de modos: 80 + 180 = 260