método de runge-kutta de 2 estágios e ordem 2 solução

MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE 2 ESTÁGIOS E ORDEM 2: SOLUÇÃO
NUMÉRICA DE UM PROBLEMA DE VALOR INICIAL VIA MAPLET.
J. M. Pereira, O. A. Gonzatto Júnior, T. M. P. Garcia, C. G. A. Pereira, A. M. Lobeiro,
Coinf/UTFPR, Campo Mourão, Brasil
e-mail: [email protected]
Resumo
Neste trabalho desenvolve-se o Método de
Runge-Kutta de 2 estágios e ordem 2 para
resolver Problema de Valor Inicial (PVI). A
partir de Runge-Kutta deduziu-se os
Métodos de Euler Modificado e Melhorado.
Utilizou-se o Maple 16 para programar uma
Maplet para auxiliar o processo de
encontrar a Solução Numérica do PVI,
através dos Métodos de Euler Modificado e
Melhorado e esboçar os seus respectivos
gráficos. A Maplet também apresenta o
gráfico da solução analítica do PVI quando
a mesma existe.
Leibniz,
Abstract
This work was developed theRunge-Kutta
methodof order2 and 2 stages for solving
Initial Value Problem (PVI). From the
Runge-Kutta Methods was deduced and
Improved Modified Euler. We used the
Maple 16 for program a Maplet to aid the
process of finding the Numerical Solution
of PVI, through the Modified Euler
Methods and Improved and outline their
respective graphical. The Maplet outlines
the graph of the analytical solution when
the PVI it exists.
tanto na matemática quanto em cálculo
Palavras-chave: Runge-Kutta, Maple 16,
Maplet.
de
forma
independente.
Os
avanços na teoria das equações diferenciais
cresceram com o desenvolvimento dos
conhecimentos adquiridos por Newton, em
Principia (1687), ao trabalhar com modelos
específicos
da
física,
fragmentos
estudados
contudo,
de
os
outrora,
se
tornaram uma área bem definida e coerente
da matemática [1].
Para evitar o comportamento defensivo
numérico devido a quantidade excessiva de
conteúdos ministrados num curto intervalo
de tempo através de aula expositiva [2]. Por
isso,
algumas
utilizam
instituições
softwares
de
ensino
interativos
como
ferramenta adicional. Esta experiência tem
apresentado êxito em países como o Japão
[3].
Este trabalho visa contribuir com uma
ferramenta adicional, Maplet, que modela e
introduz de forma interativa, diversificados
Introdução
conteúdos da Matemática, principalmente
relacionado
O estudo das equações diferenciais
iniciou em meados do século XVII, com a
descoberta do cálculo por Newton e
1/9
à
computação
numérica,
algébrica e simbólica. A ferramenta é o
softwate Maple 16, que apresenta um
 Na seção SOLUÇÃO DO PVI VIA
assistente para a construção de Maplets,
tornando
possível
a
programação
de
MAPLET
apresenta-se
a
Maplet
procedimentos desejados que porventura
programada e obtém-se com o uso desta
não venham pré-instalados com o software,
a solução numérica de um PVI.
 Na seção CONCLUSÃO, encerra-se o
trabalho fazendo uma análise da
aplicação da ferramenta criada.
ou mesmo se o software já possuir a Maplet
é possível aprimorá-la com o intuito de
torná-la mais atrativa [4].
Desta forma, criou-se uma Maplet capaz
Ideia da Solução Numérica
de descrever a solução numérica de um PVI
juntamente com sua solução algébrica, se
A equação diferencial e condição inicial,
esta existir, proporcionando uma inovação
constitui um PVI
tecnológica na área da matemática.
{
A Maplet programada com base no
A
Método de Runge-Kutta de 2 estágios e
de
um
PVI,
grande
maioria
das
equações
encontradas, na prática, não pode ser
ordem 2 foi utilizada para obter a solução
numérica
(1)
solucionada analiticamente. O recurso de
aplicando-se,
que
especificamente, os Métodos de Euler
se
dispõe
para
se
obter
uma
aproximação da solução é o emprego de
Melhorado e Euler Modificado a um
métodos numéricos. Para isso, considera-se
problema de escoamento de água em um
a sequência de pontos
tanque na forma de um cone.
definida por
, onde
A estrutura desse artigo esta organizada
,
em seções descritas brevemente abaixo:
com
e
,
comprimento do subintervalo,
 Na seção IDEIA DA SOLUÇÃO
onde o
, é o
tamanho do passo, os pontos são os pontos
NUMÉRICA explica-se o procedimento
da malha e
para efetuar a discretização do domínio
Uma
de um PVI para obter a solução
é o número de passos
propriedade
importante
dos
métodos computacionais para a solução do
numérica.
PVI (1) é a discretização, isto é, deseja-se
 Na seção MÉTODO DE RUNGE-
obter a solução aproximada do PVI não
KUTTA DE 2 ESTÁGIOS E ORDEM
num intervalo contínuo
2 deduz-se esse método.
, mas sim
num conjunto discreto de pontos {
 Na seção APLICAÇÃO apresenta-se
que
um PVI que será resolvido via Maplet.
Denota-se por
.
uma aproximação para
a solução analítica em
2/9
} tal
, isto é,
e por
. O objetivo é
então determinar aproximações
solução verdadeira
da
(7)
nos pontos da
malha, sendo a solução numérica uma
tabela de valores de pares
.
no
sentido
de
obter
Métodos
de
determinada ordem.
Métodos de Runge-Kutta
Métodos de Runge-Kutta de 2 Estágios e
Ordem 2
Definição 1: O Método geral de RungeKutta de
estágios é definido por
Considera-se inicialmente obter Métodos
(2)
de Runge-Kutta de 2 estágios. Deve-se
onde
tomar então
∑
, na Definição 1 e
considerando
(3)
e
para
simplificar a notação, tem-se
onde
(8)
(4)
onde
e
(
∑
)
(5)
(9)
onde
com
e
(10)
e
∑
sendo
(6)
(11)
.
Sendo
, tem-se de (11) que,
Para se obter Métodos de Runge-Kutta
deve-se determinar as constantes
(12)
e
Aplicando o desenvolvimento em série de
da Definição 1.
Determina-se
comparando
a
Taylor em (12), ou seja para a função de
estas
expansão
constantes
da
duas variáveis obtém-se
função
, definida por (3), em potências de
, com a função
do Método de
[
Taylor. Tem-se
(13)
]
3/9
Substituindo (10) e (12) na equação (9),
[
]
tem-se
[
[
(22)
]
]
[
(14)
que pode ser escrita como
]
[
]
[
Denotando
(15)
Comparando
com
]
(23)
, tem-se
e
{
(16)
(24)
e substituindo em (14), obtém-se
Resolvendo esse sistema obtém-se o
Método de Runge-Kutta de ordem 2, pois
[
]
(17)
na Definição 1 tem-se
e,
portanto, impõe-se a igualdade até termos
Expandindo
Taylor [5]
em
substituindo
de
em série de
torno do ponto
. Além disso, como o sistema (25)
possui duas equações e três incógnitas, este
,
possui infinitas soluções e, portanto, pode-
e
se afirmar que existem infinitos métodos de
, tem-se
Runge-Kutta de 2 estágios e ordem 2.
Atribuindo-se um valor para uma das
constantes em (24) obtém-se as outras duas,
(18)
em função desta.
Os métodos de Runge-Kutta de 2
onde
estágios e ordem 2 mais usados são obtidos
(19)
tomando-se:
e

(20)
;
e
em (25) obtêm-se
e
. Daí substituindo os valores
(21)
(8), (9), (10) e (11) tem-se
(25)
Substituindo (19), (20) e (21) em (18) tem-
onde
se
(26)
e
4/9
(
)
Nesta seção apresenta-se um problema
(27)
que será resolvido posteriormente via
que é conhecido como Método de Euler
Maplet.
Modificado.

Problema: A água flui de um tanque cônico
;
invertido com um orifício circular, com
Substituindo-se
obtêm-se
em
e
(24)
.
uma velocidade
Daí
√
√
substituindo os valores (8), (9), (10) e
(32)
(11) tem-se
[
]
onde
(28)
é o raio do orifício,
é altura do
nível do líquido medido desde o vértice do
onde
cone, e
(29)
é a área da seção transversal
do tanque a
e
unidades acima do orifício
conforme mostra a Figura 1. Suponha que
(30)
,
que é conhecido como Método de Euler
e que o tanque
Melhorado.
tenha um nível inicial de água de
Ao comparar (17) com (23) observe que
volume inicial de
e um
. Calcule o
nível de água depois de
para obter um método de Runge-Kuta de 2
com
estágios e ordem 3, é necessário resolver o
[6].
sistema
𝑅
𝑧
𝑅𝑚
𝑥
(31)
𝑥
{
𝑟
𝑧
Figura 1. Seção transversal do cone.
O sistema (31) só pode ser resolvido
impondo severas condições sofre a função
, e, portanto não existem Métodos de
Solução
Runge-Kutta de 2 estágios e ordem 3.
Observando a Figura 1 obtêm-se as
seguintes relações trigonométricas
Aplicação
onde:
5/9


: raio da seção transversal do tanque a
e,
portanto
unidades acima do orifício.
Substituindo o valor de
em (32), tem
–se
: raio da seção transversal do tanque a
√
unidades acima do vértice.

.
: altura medida desde o vértice do cone
até o orifício.
Portanto, tem-se o seguinte PVI
e como


√
{
: raio do orifício
(33)
: altura do nível do líquido medido
desde o vértice do cone no instante .

√
Na próxima seção obtém-se a solução do
: área da seção transversal a
PVI.
unidades acima do orifício.

: altura do nível da água
Solução do PVI via Maplet
medida desde o vértice do cone no
instante inicial.
A seguir é apresentado, o funcionamento

: volume do cone de altura .
da Maplet programada via software Maple

: aceleração da água.
16, capaz de solucionar um PVI de forma

: velocidade da água.
analítica e numérica. Sendo, esta última
Como o volume do cone de altura
dado por
e sendo
pelos
é
métodos
numéricos
de
Modificado e Euler Melhorado.
, no
Na Figura 2, visualiza-se a tela inicial da
instante inicial, tem-se
Maplet com seus principais atributos.
o que implica que
. Das relações
trigonométricas, tem-se
onde segue que
Euler
, de
, logo
6/9
Figura 2. Tela inicial da Maplet.
1.
Adicionar a EDO do PVI (Campo para
ao passo 6.
que o usuário digite a EDO desejada).
2.
3.
8.
Inserir os extremos do intervalo onde o
Euler Modificado, Euler Melhorado e a
PVI será calculado.
solução
Inserir a quantidade se subintervalos
respectivos gráficos.
que será divido o intervalo
4.
Inserir a condição inicial do PVI.
5.
Esboçar o gráfico da solução analítica,
6.
7.
Comparar os resultados do Método
9.
analítica,
plotando
seus
Mostrar os gráficos gerados por cada
método de solução.
10. Mostrar a tabela de resultados dos
caso existe.
métodos numéricos.
Apresentar a solução numérica para o
Na Figura 3, visualiza-se a utilização
Método de Euler Modificado; gerar a
dos itens 5 e 6, com a exibição gráfica da
tabela de aproximação numérica e
solução
plotar o gráfico ponto a ponto, a partir
numéricos
dos valores da tabela.
Modificado do problema apresentado na
O Método Euler Melhorado é análogo
seção Aplicação.
analítica
para
e
o
dos
método
resultados
de
Euler
Figura 3. Esboço do gráfico da solução analítica e tabela de valores da solução numérica.
7/9
Além disso, pode-se também analisar a
solução analítica, observe a solução para o
solução numérica para ambos os métodos
método de Euler Modificado. Na Figura 4 é
verificando graficamente a assertividade
apresentado o conjunto de pontos da
dos valores quando dispostos próximos à
solução sobre a curva da solução analítica.
Figura 4. Solução numérica pelo método de Euler Modificado.
Ainda, é possível realizar uma análise
tabela com os resultados obtidos por ambos
comparativa entre os dois métodos e seus
os métodos para cada passo e com a solução
resultados,
analítica, se existir, ao lado, conforme
bastando
clicar
no
botão
Comparar. Então a Maplet organizará uma
ilustrado na Figura 5.
Figura 5. Solução numérica pelo método de Euler Melhorado.
o Método de Euler Modificado uma
Conclusão
quantidade excessiva de cálculos para obter
Observou-se ao desenvolver o método de
uma melhor aproximação
da solução
Runge-Kutta de 2 estágios e ordem 2, em
analítica de um PVI. Ao utilizar a Maplet
particular, o método de Euler Melhorado e
programada via Maple 16, para resolver o
8/9
PVI em questão, obteve-se uma otimização
Referências
do tempo para obter a solução numérica e
uma melhor precisão,
[1] Robinson,
J.
C.
(2004),
An
Introduction to Ordinary Differential
Equations, New York: Cambridge
University Press.
visto que, ao
aumentar a quantidade de subintervalo não
há um custo operacional tão elevado.
Observou-se um entusiasmo significativo
no uso
da Maplet
[2] Dias, T. C. (1999) O Ensino do
Cálculo Diferencial e Integral e o
Pensamento Reversível, Brasília, 1999.
pela comunidade
acadêmica da região, como projeto de
[3] Chitose, “Institute of Science and
Technology”,
In: The PC-Maestro
Project, 2004.
extensão.
A contribuição deste trabalho consiste na
possibilidade de incentivar a utilização de
[4] Eberhart, C. (1998), Problem Solving
with
Maple,
Department
of
Mathematics: University of Kentucky.
softwares matemáticos como ferramenta de
ensino, e de cooperar como complemento
às aulas de cálculo numérico.
[6] Burden, R. L., Faires, J. D. (2003),
Análise Numérica, L. F. Mello, Ed.,
São Paulo: Pioneira Thomson Learning.
Agradecimentos
[7] Hoffmann, L. D., Bradley, G. L. (2002),
Cálculo: Um Curso Moderno e Suas
Aplicações, 7ª ed., Rio de Janeiro: S.A..
Esse trabalho foi desenvolvido com o
apoio da Fundação Araucária e UTFPR
campus Campo Mourão.
[8] Zill, D. G.; Cullen, M. R. (2001),
Equações Diferencias, 3ª ed., vol. II,
São Paulo: Pearson Makron Books.
9/9