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−
Fator de Boltzmann: n(ε 2 ) = g (ε 2 ) e
n(ε 1 ) g (ε 1 )
ε 2 −ε 1
kT
Que fornece o no relativo de
partículas por estado quântico
a duas energias diferentes
Processos para transição entre 2 estados atômicos na presença de
um campo eletromagnético:
fóton de v = (ε2 – ε1)/h
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1
8πv 2
8πhv 3
1
hv
ρT (v) = 3 hv kT
=
c e
−1
c 3 e hv kT − 1
Vimos:
ρ (v ) =
A21 B21
B12 hv kT
e
−1
B21
Planck
Portanto:
B12
=1
B21
e
A21 A 8πhv 3
= =
B21 B
c3
O resultado de que B12 = B21 é muito interessante, pois mostra que os
processos de emissão e absorção (estimulados) são iguais e só dependem
das características físicas do átomo.
No entanto:
A21 A 8πhv 3
= =
B21 B
c3
A razão entre o coeficiente de emissão
espontânea (A21) e o coeficiente de
emissão estimulada (B21) varia com ν3
quanto maior a diferença de energia entre 2 níveis, mais provável fica a
emissão espontânea em relação à estimulada.
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2
Como
B12
=1 e
B21
A21 A
=
B21 B
temos também que:
e
ρ (v ) =
A21 B21
B12 hv kT
e
−1
B21
A21
= e hv kT − 1
B21 ρ (v)
⇒ para átomos em equilíbrio térmico, emissão espontânea >> estimulada,
se hv >> kT, que é a condição usual em átomos e moléculas. A emissão
estimulada pode ser importante se hv ≈ kT, ou se hv << kT.
taxa de emissão n2 hv kT
= e
taxa de absorção n1
Quando hv << kT, temos:
taxa de emissão n2  hv  n2
≅ 1 +
≈
taxa de absorção n1  kT  n1
Se o sistema está em equilíbrio térmico ⇒ Boltzmann ⇒ n2 << n1.
Se invertermos a população, fazendo n2 > n1, teremos emissão > absorção,
radiação na freqüência v = (ε2 – ε1)/h, é amplificada.
Processo faz a população mudar. Para manter o processo, injeção de energia
população invertida.
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Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation
~10-8seg
Transição rápida sem emissão de
≈
~10-3seg
Diferença de energia E3-E1
Em equilíbrio térmico a população dos estados é: n3<n2<n1
Bombeamento ótico (iluminação intensa) com 5500A estimula-se a absorção dos
fótons pelo átomo no estado fundamental, aumenta a população do nível de
energia E3 e despopula o nível E1.
Emissão espontânea, traz os átomos de E3 para E2, reforça a população deste
estado com tempo de vida longo
Resulta: n2 > n1 inversão de população
n1 de 6943A estimula novas transições, emissão
A emissão do fóton, n2
estimulada >> absorção estimulada, 6943A será reforçado, feixe coerente
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intenso
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EM RESUMO:
Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation
Existem vários tipos de laser, mas todos têm algumas características
comuns:
1) Uma iluminação intensa, processo conhecido como bombeamento ótico
capaz de produzir inversão de população entre níveis atômicos.
2) Um material cujos átomos tenham pelo menos 3 níveis de energia: o
estado fundamental; um estado intermediário com meia-vida, ts,
relativamente longa (metaestável); e um terceiro estado, de energia
mais alta, para bombeamento.
3) Um método possa estimular transições em outros átomos. Espelhos nas
extremidades do sistema, de forma que os fótons atravessem o meio
muitas vezes. Dessa forma, o laser pode ser entendido como um
ressoador ótico. Para que luz de alta intensidade seja extraída, um dos
espelhos é semi-transparente.
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Lasers de 4 níveis
Nesse caso, como E1 – E0 >> kT, o
nível E1 é praticamente despopulado,
ou seja, N1 ~ 0 ⇒ que a inversão de
população é muito fácil de ser atingida.
Assim: ∆Nc ~ N2 e a potência mínima
necessária é:
∆N c
P=
V
 hv  8πv 2t s
  = 3
c tp
 ts 
 hv  8πhv 3
  = 3
 ts  c t p
Notem que, no caso do laser de 3 níveis, o decaimento se faz entre o nível 1 e
o estado fundamental (E0), que é muito populado. Nesse caso: N0 ~ N >> ∆Nc
Para que se consiga inversão de população, aproximadamente N/2 átomos
têm que ir para o nível 2. Portanto:
P4 ∆N c 4
N2
≈
≈
≈2
P3 ∆N c 3 N 2 / 2
Assim, os lasers de 4 níveis são mais
eficientes que os de 3 níveis.
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Laser de rubi (Al2O3 + Cr)
Lasers pulsados de altíssima potência
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Laser de He-Ne
Por causa da forma como é produzida, a luz do laser apresenta algumas
propriedades muito importantes: coerência, monocromaticidade, baixa
divergência e alta densidade de energia (energia por unidade de área do
feixe).
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Laser de elétrons livres (free electron laser – FEL)
feixe de
elétrons
wiggler
bobagem
cuidado!
relatividade
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Distribuição de Fermi-Dirac
Vamos inicialmente lembrar as características de uma
coleção de férmions:
Energia de Fermi
1
n( E ) =
α
e e
E
kT
EF = – αkT
+1
1
f FD (E) =
e
E-E F
kT
+1
Limites de validade da distribuição de Maxwell-Boltzmann:
•λ << d (distância intermolecular muito maior que o comprimento de onda
de de Broglie).
h
V
3
<<
N
3mkT
(
2 πmkT )
=
3/ 2
eα
h3 N
V
⇒ e −α
h3
N
ou,  
<< 1
3/ 2
 V  (3mkT )
h3 N
=
3/ 2
(2πmkT ) V
⇒ e-α << 1 para que a função de distribuição de Boltzmann possa ser usada.
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11
Exercício
Caso de 1 mol de H em CNTP:
α
e ≈ 10
−3
Caso de e- de condução em um fio de cobre.
N
= 8,5 ⋅10 28 particulas/m 3
V
α
e ≈ 4000
Boltzmann
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Modelo de elétrons livres em um metal
Vamos considerar e– em um poço 3D (limites da rede cristalina)
Número de estados (caso anterior x 2, pois 2 estados de spin em cada nível):
8πV ( 2m 3 )1/ 2 1/ 2
g ( E ) dE =
E dE
3
h
Ocupação dos estados (distribuição de Fermi):
f (E) =
1
α
e e
E / kT
+1
=
1
e
( E − E F ) / kT
+1
, com E F = −αkT
Então a ocupação dos estados de energia do gás de e–, fica:
8πV ( 2m 3 )1/ 2 E 1/ 2 dE
n( E ) = f ( E ) g ( E ) dE =
h3
e ( E − E F ) / kT + 1
Normalização: se T = 0 K ⇒ estados
populados só até EF
⇒f(E) = 1, se E < EF e
⇒f(E) = 0, se E > EF.
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1,0
1/2
E
0,8
=
0,6
n(E)
X
0,4
0,2
0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
E
8πV ( 2m 3 )1/ 2 E 1/ 2 dE
n( E ) = f ( E ) g ( E ) dE =
h3
e ( E − E F ) / kT + 1
f(E) = 1, se E < EF
f(E) = 0, se E > EF.
Assim:
EF
3 1/ 2 EF
8πV ( 2m )
N = ∫ n( E ) dE =
3
h
0
h 2  3N 
⇒ E F (0) =


8m  πV 
2/3
3 1/ 2
16
π
V
(
2
m
)
1/ 2
3/ 2
E
dE
=
E
⇒
F
3
∫0
3h
Expressão define
EF em T = 0 K
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