4. Equaç˜oes diferenciais ordinárias

4.
Equações diferenciais ordinárias
Neste capı́tulo, em algumas ocasiões usaremos a notação simplificada
y , y ,. . . para representar as derivadas de uma função y. Deverá ficar claro,
dentro do contexto do problema, qual a variável em relação à que se deriva a
função. Por exemplo, se y for uma função da variável x, y 0 e y 00 representam:
0
00
y0 =
dy
dx
y 00 =
d2 y
dx2
(4.1)
Uma equação diferencial ordinária —ou em forma curta, uma EDO—
é uma equação que relaciona uma função y com as suas derivadas y 0 , y 00 , . . .
e com a variável x. Por exemplo, 3y 00 − (x − 2)y = y 0 . As funções y(x) que
verifiquem a EDO serão as soluções da equação.
Em muitos problemas, quando andamos a procura de uma função que
defina o valor de uma determinada grandeza fı́sica, as leis fı́sicas do sistema
conduzem a equações diferenciais que deverão ser resolvidas para encontrar a
função que procuramos.
4.1
Equações de primeira ordem
A ordem de uma EDO é a ordem da derivada de ordem superior que
apareça na equação. Se a única derivada da função y na equação é a sua
primeira derivada y 0 , a equação é de primeira ordem.
A forma geral das equações de primeira ordem é1
dy
= f (x, y)
dx
(4.2)
1 O problema de escrever uma equação como (3y 0 )2 = x sin(y 0 ) na forma geral 4.2 é um
problema algébrico que não vamos abordar aqui. Em alguns casos uma EDO pode conduzir
a um sistema de várias equações com a forma geral 4.2.
35
Esta equação pode ser escrita numa outra forma equivalente, designada
de equação inversa
dx
1
=
(4.3)
dy
f (x, y)
Na equação inversa y passa a ser a variável independente e x a variável
dependente; no entanto, as soluções implı́citas das duas equações são as mesmas. Por exemplo, a solução de uma equação pode ser y = x2 ; esta solução
é uma função de x, na forma explı́cita y = f (x), mas se quisermos escrever x
√
em função de y, a mesma solução conduz a duas soluções explı́citas x = y e
√
x = − y.
Para escrever uma EDO em Maxima pode usar-se o apóstrofo para que as
derivadas fiquem indicadas, sem serem calculadas; por exemplo:
(C1)
(2*x^2)/(y^3)*’diff(y,x) = (3+y)*sin(x);
(D1)
2x2 dy
= sin x (y + 3)
y 3 dx
(C2)
2*x + 2*y*’diff(y,x) = 0;
(D2)
2y
dy
+ 2x = 0
dx
Uma outra forma de escrever as equações diferenciais em Maxima consiste em usar o comando depends para declarar que y é uma variável dependente
de x:
(C3)
depends(y, x);
(D3)
[y (x)]
(C4)
(2*y + exp(x)*cos(y))*diff(y, x) = -exp(x)*sin(y);
(D4)
(ex cos y + 2y)
36
Fı́sica dos Sistemas Dinâmicos
dy
= −ex sin y
dx
4.2
Campo de direcções
Na equação 4.2, a função f (x, y) define, em cada ponto do plano (x, y),
o declı́ve que deverá ter uma curva y(x) que seja solução da EDO. O campo
de direcções é um desenho do plano (x, y), onde em cada ponto aparece um
vector com declı́ve igual a f (x, y).
A figura 4.1 mostra o campo de direcções da equação diferencial y 0 =
2
x + 3y e algumas soluções da equação. As soluções são as curvas que em cada
ponto seguem o sentido do campo de direcções.
-2.5
0
2.5
2.5
2.5
1
1
0
0
-2.5
-2.5
-2.5
0
2.5
Figura 4.1: Campo de direcções de y 0 = x2 + 3y, e seis soluções particulares.
Para desenhar um campo de direcções em Maxima, é preciso primeiro definir uma função que chamaremos plotdf. Entra-se numa sessão do
Lisp, por exemplo carregando simultaneamente em Ctrl e g, ou seleccionando “Interrupt”, no menu “File” (deverá aparecer o prompt MAXIMA>>). A
Equações diferenciais ordinárias
37
seguir, define-se a função assim2 :
(defun $plotdf() (show-open-plot "{plotdf}"))
Regressa-se à consola do Maxima (com :q na versão GCL do Maxima, ou com
:rt seguido de 0, na versão Clisp) e executa-se a função que se acabou de definir:
(C5)
plotdf();
Aparecerá uma janela com um campo de direcções predefinido. Passando
o cursor sobre os números no canto superior esquerdo, aparece o menu; a opção
“Config” no menu permite escrever a EDO que se quer representar. Seleccionase “dy/dx” e escreve-se a função f (x, y) no campo dy/dx. Depois de seleccionar
OK, será preciso usar a opção “Replot” no menu, para que seja desenhado o
campo da função que acaba de ser escrita. Carregando com o rato sobre um
ponto, aparece desenhada a solução y(x) que passa por esse ponto.
4.3
Problemas com condição inicial
Uma EDO tem infinitas soluçãoes. Por exemplo, a figura 4.1 mostra seis
possı́veis soluções da equação y 0 = x2 + 3y. Para determinar uma solução única
de uma equação de primeira ordem
dy
= f (x, y)
dx
(4.4)
é preciso impor uma condição inicial
y = y0
em
x = x0
(4.5)
No desenho do campo de direcções, a condição inicial corresponde a um ponto
(x0 , y0 ), e a solução do problema será a curva y(x) que passa por esse ponto e
segue as direcções do campo de direcções.
2 Esta
definição pode também ser copiada num ficheiro, em algum dos directorios onde o Maxima procura funções externas. Por exemplo, $home/.maxima/plotdf.lisp em GNU/Linux,
e poderá ser recuperada em sessões posteriores com o comando load("plotdf")
38
Fı́sica dos Sistemas Dinâmicos
4.4
4.4.1
Resolução de equações de primeira ordem
Um caso simples
Se a função no lado direito da equação 4.2 depende unicamente de x,
isto é,
dy
= f (x)
(4.6)
dx
a equação representa simplesmente a definição da derivada de uma função y(x).
A solução obtem-se facilmente por primitivação
Z
y = f (x) dx + C
(4.7)
onde C é poderá ser qualquer constante arbitrária. Cada possı́vel valor de
C define uma solução particular; a famı́lia de funções definida por 4.7 é
designada de solução geral.
4.4.2
Equações autonomas
Se a função no lado direito da EDO depende unicamente de y,
dy
= f (y)
dx
(4.8)
designamos a EDO de equação autónoma. Neste caso a equação inversa é do
tipo da equação 4.6 na secção anterior e resolve-se facilmente por primitivação.
Z
1
(4.9)
x=
dy + C
f (y)
4.4.3
Outras equações
No caso geral, pode usar-se o comando ode2 de Maxima para encontrar
a solução geral duma equação diferencial, e para aplicar a condição inicial à
solução geral obtida, usa-se o comando ic1
Exemplo 4.1
A partir dos dados demográficos para Portugal em Julho de 1993:
população: 10 486 140
taxa de natalidade anual: 11,59 por mil hab.
taxa de mortalidade anual: 9,77 por mil hab.
taxa de migração anual: 1,8 por mil hab.
Faça uma estimativa da população em 2010, admitindo taxas constantes (mo-
Equações diferenciais ordinárias
39
delo de Malthus) e taxa de mortalidade directamente proporcional à população
(modelo logı́stico).
Se t for o tempo, em anos, e p(t) o número de habitantes num determinado instante, p0 será a taxa de aumento anual da população. A taxa de aumento
da população será igual a p vezes a taxa de aumento por cada habitante. Com
os dados do problema, a taxa de aumento por um habitante é
(C6)
r: (11.59 - 9.77 + 1.8)/1000$
A taxa de aumento da população é, por um lado, rp, e por outro lado,
a derivada p0 . Assim, obtemos a equação diferencial
(C7)
(D7)
eq1: ’diff(p,t) = r*p;
dp
= 0.00362p
dt
a solução geral obtém-se com o comando ode2
(C8)
(D8)
sol1: ode2(eq1, p, t);
181t
p = %Ce 50000
Se o tempo t for medido a partir de 1993, a condição inicial escreve-se
(C9)
(D9)
malthus: ic1(sol1, t=0, p=10486140);
181t
p = 10486140e 50000
A população em 2100 será,
(C10)
(D10)
malthus, t=17, numer;
p = 1.1151727127034325 · 107
Segundo este modelo, a população cresce indefinidamente
40
Fı́sica dos Sistemas Dinâmicos
(C11)
(D11)
limit(malthus, t, inf);
p=∞
Um modelo mais realista, designado de modelo logı́stico, admite que
a taxa de mortalidade, por cada habitante, aumenta em forma directamente
proporcional ao número de habitantes. Isto é,
taxa mortalidade = k × p
onde k é uma constante; usando os dados do problema,
(C12)
k: (9.77/1000)/10486140$
As taxas de nascimento e migração, por habitante, admitem-se constantes:
(C13)
a: (11.59 + 1.8)/1000$
Assim, a equação diferencial para o aumento da população é
(C14)
(D14)
eq2: ’diff(p, t) = (a - k*p)*p;
dp
= 0.01339 − 9.3170604245222741 · 10−10 p p
dt
e a resolução do problema é:
(C15)
(C16)
(D16)
sol2: ode2(eq2, p, t)$
logistic: ic1(sol2, t=0, p=10486140);
−
39059 log (39059p − 561335846131) − 39059 log p
=
523
523t + 39059 log 10486140 − 39059 log (−151757703871)
523
Equações diferenciais ordinárias
41
População, em milhões
0
25
50
75
20
20
10
10
5
10
0
0
50
50
25
75
0
Tempo, em anos a partir de 1993
Figura 4.2: Aumento da população, no modelo logı́stico.
Aqui vamos dar alguma ajuda ao Maxima para resolver a equação para p:
(C17)
plogistic: solve(p/(39059*p-561335846131)=
exp(rhs(logistic*523/39059)),p);
(D17)
"
523t
p=
(C18)
(D18)
5886246269548124340e 39059
523t
409578142260e 39059 + 151757703871
plogistic[1], t=17, numer;
p = 1.1096894862054735 · 107
42
Fı́sica dos Sistemas Dinâmicos
#
Neste caso a população não cresce indefinidamente, mas alcança um limite de aproximadamente 14 milhões de habitantes:
(C19)
(D19)
limit(plogistic[1], t, inf), numer;
p = 1.4371485346040605 · 107
A figura 4.2 mostra o mapa de direcções e a solução particular.
4.5
Classificação das equações de primeira ordem
O comando ode2 do Maxima classifica a EDO dada e se estiver dentro
de alguma classe conhecida, será resolvida usando o método conhecido para
resolver esse tipo de equação. Para saber o tipo de método utilizado (e assim o
tipo de equação), pede-se o valor da variável method, logo a seguir ao resultado
de ode2. A continuação vamos ver alguns tipos de equações de primeira ordem.
4.5.1
Equações de variáveis separáveis
São equações que podem ser escritas na forma
dy
f (x)
=
dx
g(y)
(4.10)
a solução geral é
Z
Z
g(y) dy =
f (x) dx + C
(4.11)
Exemplo 4.2
Encontre a solução geral da equação
y 0 sin(x) = 4y 3
(C20)
(D20)
ode2(’diff(y,x)*sin(x) = 4*y^3, y, x);
−
1
log (cos x + 1) − log (cos x − 1)
= %C −
8y 2
2
Equações diferenciais ordinárias
43
(C21)
(D21)
solve(%, y);
"
1
,
y=− p
2 log (cos x + 1) − log (cos x − 1) − 2%C
#
1
y= p
2 log (cos x + 1) − log (cos x − 1) − 2%C
(C22)
(D22)
method;
SEPARABLE
4.5.2
Equações exactas
Uma EDO de primeira ordem pode sempre ser escrita na forma
M (x, y) + N (x, y)
dy
=0
dx
(4.12)
que é semelhante à expressão obtida para a derivada de uma função F (x, y),
de duas variáveis (x, y), com y dependente de x:
dF
∂F
∂F dy
=
+
dx
∂x
∂y dx
(4.13)
se conseguirmos encontrar uma função F (x, y) com derivadas parciais
∂F
= M (x, y)
∂x
∂F
= N (x, y)
∂y
(4.14)
então a equação diferencial 4.12 diz simplesmente que F (x, y) é uma função
constante, nomeadamente, a solução geral de 4.12 será:
F (x, y) = C
(4.15)
A condição necessária e suficiente para que exista a função F que verifica
as equações 4.14 é
∂M
∂N
=
(4.16)
∂y
∂x
44
Fı́sica dos Sistemas Dinâmicos
se esta condição for válida, diz-se que a EDO 4.12 é uma equação exacta. A
equação pode ser resolvida encontrando a função F e substituindo em 4.15.
Obviamente que existem várias formas de escrever uma equação na forma
4.12. Se multiplicarmos a equação toda por uma expressão qualquer, as funções
M e N serão modificadas. Se uma equação não for exacta, por vezes é possı́vel
descobrir uma função (factor integrante) que quando multiplicar à equação
torna-la-á numa equação exacta.
Exemplo 4.3
Resolva a seguinte equação
dy
9x2 + y − 1
=
dx
4y − x
(C23)
(D23)
(4.17)
ode2(’diff(y, x) = (9*x^2 + y - 1)/(4*y - x), y, x);
2y 2 − xy − 3x3 + x = %C
(C24)
(D24)
method;
EXACT
4.5.3
Equações lineares
São equações que podem ser escritas na forma
dy
+ p(x)y = f (x)
dx
(4.18)
o importante é que o único termo com a variável dependente y seja uma função
só de x a multiplicar a y. Por exemplo, não poderão aparecer termos da forma
yy 0 , y 2 ou sin(y).
Pode ser demonstrado que exp(P (x)), onde P (x) é uma primitiva3 de
p(x), é um factor integrante. Nomeadamente, é fácil ver que
eP
dy
+ eP (yp − f ) = 0
dx
(4.19)
é uma equação exacta e pode ser resolvida pelo método para equações exactas.
3 Isto
é, P 0 = p.
Equações diferenciais ordinárias
45
Exemplo 4.4
Encontre a solução geral da equação
dy
x3 − 2y
=
dx
x
(C25)
(D25)
ode2(’diff(y,x) = (x^3 - 2*y)/x, y, x);
(C26)
(D26)
method;
x5
+ %C
y= 5 2
x
LINEAR
4.5.4
Equações homogéneas
Uma equação de primeira ordem diz-se homogénea se tiver a seguinte
forma geral
y
dy
(4.20)
=f
dx
x
para resolver este tipo de equação usa-se a substituição
v=
y
x
−→
dy
dv
=v+x
dx
dx
que transforma a equação numa equação de variáveis separáveis.
Exemplo 4.5
Encontre a solução geral da equação
dy
y 2 − xy
=
dx
x2
(C27)
(D27)
ode2(’diff(y, x)=(y^2 - x*y)/x^2, y, x);
log
%Cx = e
(C28)
46
%, radcan;
Fı́sica dos Sistemas Dinâmicos
( y−2x
)−log( xy )
x
2
(4.21)
(D28)
√
%Cx =
(C29)
(D29)
solve(%^2, y);
y=−
(C30)
(D30)
y − 2x
√
y
2x
2
%C x2 − 1
method;
HOMOGENEOUS
O comando radcan foi usado para simplificar a expressão com logaritmos
e exponenciais.
4.6
Equação de Bernoulli
Um tipo de equação diferencial que pode ser reduzida a equação linear,
é a chamada equação de Bernoulli:
dy
+ p(x)y n = f (x)y
dx
(4.22)
onde o ı́ndice n é um número racional, diferente de 0 e de 1. A substituição
v = y 1−n
−→
v 0 = (1 − n)y −n y 0
(4.23)
transforma a equação de Bernoulli numa equação linear.
Exemplo 4.6
Encontre a solução geral da equação
dy
y 2 − xy
=
dx
x2
(C31)
ode2(’diff(y, x)=(y^2 - x*y)/x^3, y, x);
Equações diferenciais ordinárias
47
(D31)
1
ex
Z
y=
%C −
(C32)
(D32)
1
ex
dx
x3
method;
BERNOULLI
(C33)
(D33)
odeindex;
2
Neste caso, a resposta foi dada em função de um integral que não pode
ser calculado analı́ticamente e que define alguma função especial, que não pode
ser escrita em termos das funções elementares. O comando odeindex dá o valor
do ı́ndice n na equação 4.22.
4.7
Equações de segunda ordem
Nesta secção vamos usar t para a variável independente e x para a variável dependente. As derivadas de x(t) serão escritas em forma abreviada
como ẋ, ẍ, . . .. Esta notação será útil para fazer analogias com os sistemas
mecânicos, onde t será o tempo e x a posição.
Uma EDO de segunda ordem é uma equação com a forma geral
ẍ = f (t, x, ẋ)
(4.24)
onde f é uma função dada que depende da variável independente t, da função
x e da sua primeira derivada ẋ.
4.7.1
Equações autónomas
Se a função f , na forma geral 4.24, não depende da variável independente
t, diz-se que a equação é autónoma:
ẍ = f (x, ẋ)
48
Fı́sica dos Sistemas Dinâmicos
(4.25)
se designarmos de v(x) à função ẋ(t), a equação assume uma forma mais simples
v
dv
= f (x, v)
dx
(4.26)
que é uma EDO de primeira ordem. Cada solução dessa EDO será uma (ou
mais) função g(x) que representa a v em função da variável x. Para calcular
x(t) resolve-se a seguir
dx
= g(x)
(4.27)
dt
que é também uma equação autónoma, mas de primeira ordem. O problema é
que em alguns casos não é fácil escrever v na forma explı́cita g(x).
Na analogia mecânica, v é a velocidade e a função f na equação 4.25 é
a força resultante, por unidade de massa.
Exemplo 4.7
A aceleração de uma partı́cula, em função do tempo é ẍ = −3x − 5ẋ. No
instante t = 0, a partı́cula parte do repouso no ponto x = 1. Calcule a posição
e a velocidade da partı́cula em função do tempo, para t > 0.
Em função da velocidade v = ẋ, a equação da aceleração é
v v̇ = −3x − 5v
A condição inicial é v = 0 em x = 1. A solução obtida com Maxima é:
(C34)
(D34)
eq3: v*’diff(v,x) = -3*x - 5*v;
v
dv
= −3x − 5v
dx
(C35)
sol3: ode2(eq3, v, x)$
(C36)
(D36)
ic1(sol3, x=1, v=0), radcan;
5
√
13
22
x
√
=
13−5
√
√5
√
5 13 + 19 2 13 3 2 13
√
√5
13 x + 2v 2 13
√
√5 √
13 + 5 x + 2v 2 13 3x2 + 5vx + v 2
x
5−
Equações diferenciais ordinárias
49
Nessa expressão não é fácil obter v(x) em forma explı́cita. Para calcular x(t) neste caso será mais fácil resolver directamente a equação inicial
(C37)
(D37)
eq4: ’diff(x, t, 2) = -3*x -5*’diff(x, t);
(C38)
sol4: ode2(eq4, x, t)$
(C38)
(D39)
ic2(sol4, t=0, x=1, diff(x,t)=0);
d2 x
dx
= −5
− 3x
dt2
dt
√
√
(√13−5)t
(−√13−5)t
2
5 13 − 13 e
5 13 + 13 e 2
−
x=
26
26
Repare no uso da função ic2 para especificar as condições iniciais de
uma equação de segunda ordem. São precisos quatro, argumentos: a solução
geral, o valor da variável onde são conhecidas as condições iniciais, e os valores
da função e da sua derivada nesse ponto. Para dar o valor da derivada não faz
falta usar apóstrofo.
No exemplo anterior, a substituição de ẋ por uma função v(x) complicou
o problema. A equação 4.26 será muito útil nos casos em que a aceleração ẍ
não depende da velocidade ẋ, isto é, forças que não dependem da velocidade.
Veremos um exemplo.
Exemplo 4.8
A aceleração de uma partı́cula, em função do tempo é ẍ = −3x. No instante
t = 0, a partı́cula parte do repouso no ponto x = 1. Calcule a posição e a
velocidade da partı́cula em função do tempo, para t > 0.
(C40)
(D40)
eq5: v*’diff(v,x) = -3*x;
v
(C41)
50
dv
= −3x
dx
sol5: ode2(eq5, v, x)$
Fı́sica dos Sistemas Dinâmicos
(C42)
(D42)
ic1(sol5, x=1, v=0);
−
(C43)
(D43)
v2
x2 − 1
=
6
2
vel: solve(%,v);
h
√ p
v = − 3 1 − x2 ,
v=
i
√ p
3 1 − x2
obtivemos duas soluções para a velocidade. A equação D47 é a lei da
conservação da energia mecânica. A equação diferencial para a posição em
função da velocidade é:
(C44)
(D44)
eq6: ’diff(x,t) = v;
dx
=v
dt
podemos substituir uma das expressões obtidas para a velocidade, e
resolver a equação com as condição incial dada
(C45)
sol6: ode2(ev(eq6, vel[1]), x, t)$
(C46)
(D46)
solve(ic1(sol6, t=0, x=1), x);
h
x = cos
√ i
3t
se usarmos a segunda expressão obtida para a velocidade, obtem-se a
mesma resposta para x em função de t.
4.7.2
Equações lineares
A forma geral de uma EDO linear de segunda ordem é
ẍ + p(t)ẋ + q(t)x = f (t)
(4.28)
onde p(t), q(t) e f (t) são três funções que dependem de t. Se a função f for
nula, diz-se que a equação é linear homogénea.
Equações diferenciais ordinárias
51
A solução geral de uma EDO linear de segunda ordem depende de duas
constantes independentes. As soluções particulares definem um espaço vectorial
de funções, com dimensão igual a 2. Para fixar os valores das duas constantes
arbitrárias podemos impor condições iniciais, isto é, fixar o valor da função
e da sua derivada num mesmo ponto t0
x(t0 ) = t0
ẋ(t0 ) = v0
(4.29)
se as três funções p, q e f estiverem bem definidas, existirá sempre uma solução
única com essas condições iniciais. Para substituir as condições iniciais em
Maxima usa-se a função ic2, como já vimos no exemplo 4.7.
Uma outra forma de obter uma solução particular é impor condições
fronteira, que consiste em fixar o valor da função x(t) em dois pontos diferentes.
(4.30)
x(t1 ) = x1
x(t2 ) = x2
nesse caso, usa-se em Maxima a função bc2, como veremos no exemplo que se
segue.
Exemplo 4.9
A corrente I, no circuito LCR representado no diagrama, verifica a equação
diferencial (t em milisegundos e I em miliamperes)
I¨ + 4I˙ + 4I = cos(2t)
Os valores medidos da corrente, em t = 0 e t = π, são 0 e 5 respectivamente.
Encontre uma expressão para a corrente em função do tempo
4 kΩ
250 nF
1H
0.5 sin(2t) V
(C47)
(D47)
52
eq7: ’diff(I,t,2) + 4*’diff(I,t) + 4*I = cos(2*t);
Fı́sica dos Sistemas Dinâmicos
d2 I
dI
+4
+ 4I = cos (2t)
dt2
dt
(C48)
(D48)
sol7: ode2(eq7, I, t);
I=
(C49)
(D49)
sin (2t)
+ (%K2t + %K1) e−2t
8
bc2(sol7, t=0, I=0, t=%pi, I=5);
I=
4.8
sin (2t) 5te2π−2t
+
8
π
Espaço de fase
As equações lineares de ordem superior a dois podem ser resolvidas por
métodos analı́ticos semelhantes aos métodos usados para o caso de ordem 2. As
equações não-lineares de ordem 2 ou superior geralmente têm que ser resolvidas
em forma numérica. A resolução numérica de equações diferenciais é o tema
do próximo capı́tulo; mas antes de prosseguir, vamos definir alguns conceitos
importantes.
Todas as equações de ordem 1 ou superior que temos estudado neste
capı́tulo podem ser escritas na forma de um sistema de EDOs autónomas de
primeira ordem:
ẋ1
= f1 (x1 , . . . , xn )
(4.31)
ẋ2 = f2 (x1 , . . . , xn )
..
.
(4.32)
ẋn
= fn (x1 , . . . , xn )
As variáveis do problema, (x1 , x2 , . . . , xn ), designam-se de variáveis de
estado, e definem um espaço de n dimensões, chamado espaço de fase.
Vejamos alguns exemplos. Para escrever a equação y 0 = x2 + 3y como
um sistema autónomo, basta substituir x = t na EDO; a definição x = t pode
ser escrita como equação diferencial, derivando os dois lados em ordem a t, e
Equações diferenciais ordinárias
53
obtemos o sistema autónomo:
ẏ
= x2 + 3y
ẋ =
(4.33)
1
As variáveis de estado são x e y; o espaço de fase já foi representado na figura
4.1.
A equação de segunda ordem ẍ = −3x − 5ẋ, do exemplo 4.7, escrevese facilmente como um sistema autónomo se substituirmos a aceleração pela
derivada da velocidade:
v̇
= −3x − 5v
(4.34)
ẋ = v
O espaço de fase é um espaço a duas dimensões e as variáveis de estado são a
posição x e a velocidade v.
Finalmente, para escrever a equação do circuito do exemplo 4.9 como um
sistema autónomo de primeira ordem, para além de definir I˙ como uma outra
variável de estado J, será também preciso considerar o tempo t como variável
de estado, por exemplo, s = t. Assim, a equação é equivalente ao sistema:
J˙
I˙
=
cos(2s) − 4J − 4I
(4.35)
= J
ṡ =
1
o espaço de fase, neste caso, é um espaço com 3 dimensões.
4.9
1.
Problemas
Demonstre em cada caso que a função y(x), na coluna direita, é solução
da equação diferencial, na coluna esquerda (a e c são constantes).
p
dy
x
(a)
=√
(a 6= 0)
y = x2 + a2
2
2
dx
x +a
2 2
1 d y
dy
(b)
−x
+ y = 1 − x2
y = x2
4 dx2
dx
(c) yy 0 = e2x
54
Fı́sica dos Sistemas Dinâmicos
y 2 = e2x
(d) y 0 =
y2
xy − x2
y = c ey/x
Sugestão: quando for dada a função y = f (x) explicitamente, pode
substituir directamente na equação e mostrar que se chega a uma identidade. Se não tiver y = f (x), derive a equação que define y e simplifique
até obter a equação diferencial dada.
2.
Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias e
em cada caso diga a que classe pertence a equação.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
3.
dy
y 2 − 2ty
=
dt
y2
x
(2y + e cos y)y 0 = −ex sin y
dy
x2 − 1
= 2
dx
y +1
dy
√
+ 2ty = 2t3 y
dt
dy
x3 − 2y
=
dx
x
dy
x
= 2
dx
x y + y3
dy
x(2y + 1)
=
dx
y − x2
y − x2
dy
= 2
dx
y −x
Faça o desenho do campo de direcções de cada uma das equações que se
seguem, e desenhe a solução que verifica a condição inicial dada (encontre
um domı́nio que mostre bem o comportamento do campo)
dy
+ y = 1 + t2
dt
dy
x+y
(b)
=−
dx
x + 2y
dy
t sin y
(c)
cos y = −
dt
1 + t2
(a)
4.
y(1) = 2
y(2) = 3
y(1) =
π
2
Encontre a solução das seguintes equações de segunda ordem, com as
condições iniciais, ou de fronteira, dadas
(a) y 00 + y 0 − 2y = 3 − 6x
(b) y 00 − y = 0
2 00
0
2
4
(c) x y + xy − 4y = x + x
y(1) = 2
y 0 (1) = 1
y(0) = 2
y(1) = 3
y(−1) = 0
y 0 (−1) = −2
Equações diferenciais ordinárias
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