Tema 3 - Cinemática vetorial

Cinemática vetorial
No Vestibular
1. b) b 2 a 5 c
5. a) 5 km/h
Com base no diagrama temos:
Adotamos a seguinte legenda:
a 1 c 5 b ] vrel 5 velocidade relativa do barco às águas
] a 1 c 1 (2 a) 5 b 1 (2 a) ] c 5 b 2 a
varr 5 velocidade com que o barco é arrastado
vres 5 velocidade resultante do barco
2. b) 6 N e 30 N
O valor mínimo para a soma ocorre se os vetores têm
vrel
mesma direção e sentidos opostos; nesse caso, a soma
vres
tem módulo igual a 6 N.
varr
18 N
12 N
O valor máximo, por
18 Nse os vetores têm
12 sua
N vez, ocorre
mesma direção e mesmo sentido; nesse caso, a soma tem
módulo igual a 30 N.
Do enunciado, temos que varr 5 3 km/h
Ss
2
​   ​ 5 ___
​     ​  ] vres 5 4 km/h
vres 5 ___
St 0,5
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo
da figura, temos:
12 N
18 N
12 N
18 N
v 2rel 5 v 2res1 v 2arr 5 42 1 32 5 25 ]
] vrel 5 5 km/h
Logo, a soma desses dois vetores tem módulo
compreendido entre 6 N e 30 N.
6. b) 400 km
Considere a legenda:
3. a) 130 N
varr 5 velocidade do ar em relação à Terra
Pela regra do paralelogramo, temos:
50 N
FR
vrel 5 velocidade do avião em relação ao ar
vres 5 velocidade do avião em relação à Terra
Então, com base no enunciado, segue a figura:
120 N
Aplicando o teorema de Pitágoras ao
B
varr = 50 km/h
4. b) 2 u, e sua orientação é vertical, para baixo.
A partir da figura temos que a 5 b.
Logo: a 2 b 5 0 e d 5 c
Ou seja, o vetor d tem módulo 2 u, e sua orientação é
vertical e para baixo.
vres
vrel = 150 km/h
triângulo retângulo da figura, temos:
F2R 5 1202 1 502 ] FR 5 130 N
A
De onde se obtém:
vres 5 vrel 2 varr 5 150 2 50 ]
] vres 5 100 km/h
Dado que a viagem de B a A dura 4 h e supondo vres
constante, temos:
Ss
Ss
​   ​  ] 100 5 ​ ___ ​  ]
vres 5 ___
4
St
] Ss 5 400 km
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7. b) 3
10. (A) A velocidade angular da polia vale: a) 2 rad/s
Vamos primeiramente obter o equivalente da frequência
Para calcular a velocidade angular da polia, devemos
de 20 rpm em rps. Para tanto, utilizamos uma simples
determinar o raio R da polia utilizando a relação v 5 hR.
regra de três:
Admitindo que os pontos A e B sejam fixos, ambos
20 rot. 60 s
1s
f possuem mesma velocidade angular. Isto é:
vB
vA
​   ​  5 ______
   ​ 
​ 
]
hA 5 hB ] __
R
R 2 20
10
50
   ​ 
] R 5 25 cm
] ​ ___ ​ 5 ​ ______
R
R 2 20
De onde se obtém:
1
1
​   ​  Hz
60f 5 20 ] f 5 __
​   ​  rps 5 __
3
3
1
Sabendo que T 5 __
​   ​  , temos:
f
1
T 5 ] T 5 3 s
1
3
Logo, a velocidade angular da polia será:
vA 50
​    ​ ] h 5 2 rad/s
h 5 __
​   ​  5 ___
25
R
B) O diâmetro da polia vale: b) 50 cm
Com base na questão anterior, o diâmetro D da polia será:
8. b) 1,5 m/s
Na direção x temos um movimento uniforme regido pela
D 5 2R 5 2 3 25 ] D 5 50 cm
função horária:
sx 5 s​0​ ​1 v​0​ ​ 3 t 5 0 1 v0t ]
x
x
] sx 5 v0t (1)
Na direção y temos um movimento uniformemente
variado regido pela função horária:
at2
10t2
​   ​   ]
sy 5 s​0​ ​ 1 v​0​ ​ t 1 ​ ___ ​ 5 0 1 0 3 t 1 ____
2
2
y
y
2
] sy 5 5t (2)
Obtém-se o tempo de queda substituindo-se sy = 0,2 m na
expressão (2):
0,2 = 5t2 ] t2 5 0,04 ]
] t 5 0,2 s
Por outro lado, nesse mesmo instante, na direção x, temos:
sx 5 0,3 m. Finalmente, substituindo na expressão (1):
sx 5 v0t ] 0,3 5 v0 3 0,2 ]
] v0 5 1,5 m/s
9. b) 4s
2s
acp 5 h2R, em que h 5 ___
​   ​  
T
llll
2s 2
4s2R
4s2 ___
2s
2
___
____
​    ​ ​  
5 ​    ​   ]
acp 5​​ ​   ​    ​​ ​R ] T 5 ​   ​   ] T 5 ​ ____
a
0,25 0,5
T
cp
@  #
d
] T 5 4s s
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11. e) I, II e III.
12. a) 20 m
I.Correta. A polia motriz gira no sentido horário e
Na direção vertical ao movimento, temos um MUV com
transmite esse sentido de rotação para as outras duas.
a 5 g 5 10 m/s2, orientando a trajetória para baixo.
Nos limites de tangência da esteira com a polia, seus
Adotando a origem dos espaços no ponto A, temos:
vetores de velocidade linear coincidem e, no ramo
at2
sy 5 s0y 1 v0y t 1 ​ ___ ​  ] H 5 5t2
2
em que estão os objetos, esse vetor tem sentido da
Portanto, o tempo gasto pelo motociclista até atingir
esquerda para a direita.
ll
H
novamente a rampa é t 5 ​ ​ __ ​ ​  
5
II.Correta. Indicando por (1) a polia motriz, por (2) a polia
d
Na direção horizontal ao movimento, temos um MU,
maior e por (3) a outra polia pequena, a aceleração
orientando a trajetória para a direita; assim
centrípeta de um ponto na periferia da polia (1) será:
sx 5 s0x 1 vxt ] D 5 10t
v2
​   ​ 
acp1 5 __
R
ll
ll
D
H
​   ​ ​  5 ​ __
​   ​ ​  em D 5 10t, temos:
Substituindo t por ​ __
5
5
ll
D
D
2
__
__
D 5 10 ​ ​   ​ ​   ] D 5 100 ​   ​  ] D 5 20 m
5
5
(I)
Como as polias (1) e (2) estão unidas por uma correia,
d
d
d
temos v2 5 v
Como as polias (2) e (3) estão rigidamente unidas,
temos:
Dado que a velocidade (v) do projétil é constante, temos:
v
v
​  3 ​  ]
h2 5 h3 ] ​ ___2  ​ 5 __
2R
v
v
​  2 ​  5 __
​    ​ 
] v3 5 __
2 2
2hr
13. b) ____
​   ​ 
 
s
R
Logo, a aceleração centrípeta de um ponto na periferia
da polia (3) é:
v2 v2
​    ​  (II)
acp3 5 ​ __3 ​ 5 ___
R 4R
Comparando as expressões (I) e (II),
obtemos acp1 5 4acp3
Ss 2r
​    ​
v 5 ___
​   ​  5 ___
St St
Mas St corresponde ao intervalo de tempo necessário
T
para que a placa dê meia-volta; logo, St 5 __
​    ​, em que T é o
2
período de rotação do disco.
2s
2s
Agora: h 5 ___
​   ​    ] T 5 ​ ___
h ​ 
T
s
Sendo T 5 2St ] St 5 __
​ h  ​ 
2hr
 ​ 
Retornando à relação inicial: v 5 ​ ____
s
III.Correta. Com base na afirmação I, sabemos que os
objetos são transportados pela esteira com velocidade
linear igual à de um ponto na periferia da polia menor.
v
​    ​ 
A partir da afirmação II, temos v3 5 __
2
14. a)Numa queda livre, temos |a| 5 g 5 10 m/s
2
b)Tomando como origem da trajetória o solo e orientando-a
para cima, pela equação de Torricelli, temos:
v2 5 v20 1 2gSs 5 02 1 2 3 10 3 (75 2 30) 5 900 ]
] OvO 5 30 m/s
c) Novamente pela equação de Torricelli, temos:
v2 5 v20 1 2aSs ] 0 5 302 1 2 3 a(30 2 0) ]
900
  ​  ]
] 260a 5 900 ] a 5 ____
​ 
260
] a 5 215 m/s2
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