Capítulo I Séries Numéricas
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Capítulo I Séries Numéricas
Capítulo I Séries Numéricas 2 Capitulo I – Séries 1. SÉRIES NÚMERICAS DEFINIÇÃO 1 Sendo u1 , u2 ,..., un ,... uma sucessão numérica, chama-se série numérica de termo geral un à expressão u1 u2 ... un ... que habitualmente se escreve u n 1 n ou simplesmente u n 1 n Para determinar a soma de uma série, usa-se a chamada sucessão de somas parciais. DEFINIÇÃO 2 Associada a uma série, existe a sucessão de somas parciais definida por s1 u1 s2 u1 u2 s3 u1 u2 u3 . . . sn u1 u2 u3 ... un . DEFINIÇÃO 3 Uma série u n 1 n quanto à sua natureza, pode ser convergente ou divergente. Será Convergente se a sucessão das somas parciais a ela associada for convergente, e isto sucede quando lim Sn for um valor finito e determinado. Será Divergente se a sucessão das n somas parciais a ela associada for divergente, e isto sucede quando lim Sn for um valor n infinito ou indeterminado. No caso da série ser convergente, o valor de lim Sn é a soma da série. n No caso da série ser divergente, não existe soma da série, como é obvio. Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica 3 Capitulo I – Séries ₪ EXEMPLO 1 Dada a série 1 n(n 1) , determine a sua natureza e, caso seja convergente, calcule a sua n 1 soma. RESOLUÇÃO: A Sucessão associada à série é: 1 2 1 1 s2 2 6 1 1 1 s3 2 6 12 1 1 1 1 s4 2 6 12 20 .................................. 1 1 1 1 1 sn ... 2 6 12 20 n n 1 s1 Efectuando as operações acima indicadas, obtemos: 1 2 2 s2 3 3 s3 4 4 s4 5 .................................. n sn n 1 s1 Vejamos então se existe e é finito o lim Sn . n n 1. n n 1 lim Sn lim n Como o lim Sn existe e é finito, podemos afirmar que a série é convergente e portanto é n possível determinar a sua soma que será o valor do lim Sn , ou seja 1. n Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica 4 Capitulo I – Séries ₪ EXEMPLO 2 Dada a série n , determine a sua natureza e, caso seja possível, determine a sua soma. n 1 RESOLUÇÃO: A Sucessão associada à série é: s1 1 s2 1 2 s3 1 2 3 s4 1 2 3 4 .................................. sn 1 2 3 4 ... n Efectuando as operações acima indicadas, obtemos: s1 1 s2 3 s3 6 s4 10 .................................. soma dos n primeiros termos de uma p. a. n 1 sn n u u 1 n 2 n 2 n2 n . n 2 Vejamos então se existe e é finito o lim Sn .Temos: lim Sn lim n n Então, podemos afirmar que a série é divergente e que não é possível determinar a sua soma . ₪ EXEMPLO 3 Dada a série 1 2 n 1 n Análise Matemática II , determine a sua natureza e, caso seja possível, determine a sua soma. Curso de Engª Electromecânica 5 Capitulo I – Séries RESOLUÇÃO: A Sucessão associada à série é: 1 2 1 1 s2 2 2 2 1 1 1 s3 2 3 2 2 2 1 1 1 1 s4 2 3 4 2 2 2 2 .................................. s1 1 1 1 Soma dos n primeiros termos n. 1 1 1 1 1 sn 2 3 4 ... n 2 2 2 de uma progressão geometrica 1 2 2 2 2 2 1 2 de razão 1 2 1 1 n 1 Vejamos então se existe e é finito o lim Sn .Temos: lim S n lim 2 2 1 . n n n 1 2 Então, podemos afirmar que a série é convergente e que a sua soma é lim Sn , ou seja 1 . n ₪ EXEMPLO 4 Dada a série 2 n , determine a sua natureza e, caso seja possível, determine a sua soma. n 1 RESOLUÇÃO: A Sucessão associada à série é: Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica 6 Capitulo I – Séries s1 2 s2 2 22 s3 2 22 23 s4 2 22 23 24 .................................. Soma dos n primeiros termos 2 2n.2 sn 2 2 2 2 ... 2 de uma progressão geometrica 1 2 de razão 2 2 3 4 n Vejamos então se existe e é finito o lim Sn .Temos: lim Sn lim 2n 1 2 . n n n Então, podemos afirmar que a série é divergente e que por isso não é possível calcular a sua soma. 1.1 ALGUMAS PROPRIEDADES DAS SÉRIES Se duas séries u n 1 n e v n n 1 i) convergem e têm somas respectivamente U e V, então: un vn , soma de un n 1 v e n 1 ii) , u n 1 n n 1 u n 1 , converge e tem soma U+V. , converge e tem soma U. Se a série n n for convergente e a série b n 1 n for divergente, a soma de u n 1 n e , b n un bn , é divergente. n 1 n 1 Se duas séries an e n 1 bn divergem, n 1 n 1 n 1 n 1 an bn , soma de an e bn , pode não divergir. Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica 7 Capitulo I – Séries 1.2 EXEMPLOS DE ALGUMAS SÉRIES 1.2.1 SÉRIE GEOMÉTRICA u Chama-se Série geométrica a n 0 n , onde un é uma progressão geométrica. A série geométrica representa-se, habitualmente, por: ar n n 0 A Sucessão associada à série é: s1 a s2 a ar s3 a ar ar 2 s4 a ar ar 2 ar 3 .................................. sn a ar ar 2 ar 3 ... ar n Vê-se facilmente que S n é a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica de a ar n r a 1 r 1 r 1 r n 1 razão r , que será portanto: Sn . Para identificar a natureza da série, teremos que analisar o lim Sn , que depende de r. n Vejamos: i) ii) iii) iv) Se r 1, temos lim Sn lim n a 1 r n 1 n r 1, temos lim Sn lim n Análise Matemática II 1 r a 1 r n 1 n r 1, temos lim Sn lim n 1 r n r 1, temos lim Sn lim n a 1 r n 1 n 1 r a 1 r a 1 1 2 n 1 não existe. Curso de Engª Electromecânica 8 Capitulo I – Séries ar Concluímos então que a série geométrica n é convergente se e só se r 1 e neste caso n 0 a sua soma é S a . 1 r ₪ EXEMPLO 5 a) Determine a natureza da série 2 3 n 1 n 1 . b) Determine, caso seja possível a sua soma. RESOLUÇÃO Podemos usar dois métodos: 1º método: a) Usando as propriedades das séries, temos: 2 1 2 1 = 2 . Ora, n 1 n 3 n 1 3n n 1 3 n 1 3 3 1 3 n 1 n é uma série geométrica de razão 1 1 , logo 3 convergente. b) A soma de uma série geométrica de razão r e cujo primeiro termo é a, é a . No nosso 1 r 1 1 1 caso, teremos então a soma da série n igual a 3 . Como a série que nos é dada é 1 2 n 1 3 1 3 2 1 1 2 1 , a sua soma será . n 3 2 3 3 n 1 3 2º Método: a) A Sucessão associada à série é: Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica 9 Capitulo I – Séries 2 32 2 2 s2 2 3 3 3 2 2 2 s3 2 3 4 3 3 3 .................................. 2 2 2 2 sn 2 3 4 ... n 1 3 3 3 3 s1 Ora, S n nada mais é do que a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica de 2 2 1 2 2 1 n 1 n 1 2 2 1 3 3 . Calculemos lim S : lim S lim 3 3 3 1 ( razão . Então S n 3 n n n n n 1 1 3 3 1 1 3 3 valor finito) logo, a série é convergente. 2 2 1 n 1 2 3 3 1. b) A sua soma será: lim Sn lim 3 n n 1 3 1 3 1.2.2 .SÉRIE DE DIRICHLET OU SÉRIE DE RIEMMAN Chama-se série de Dirichlet à série 1 n . n 1 Esta série é uma série divergente, se 1 e convergente se 1 . Se 1 , a série toma o nome de série harmónica. ₪ EXEMPLO 6 Determine a natureza da série n 1 Análise Matemática II 1 n 3 . Curso de Engª Electromecânica 10 Capitulo I – Séries RESOLUÇÃO A série dada é convergente, pois é uma série de Dirichlet, com 3 1 . 1.2.3 SÉRIE DE MENGOLI OU SÉRIE TELESCÓPICA Consideremos a série a n 1 n . Se for possível decompor o termo geral numa diferença tal que an un un p , à série u n 1 n un p dá-se o nome de Série de Mengoli ou Série Telescópica. A série de Mengoli u n 1 n un p será convergente se a sucessão un o for, ou seja se lim un k , sendo k um valor finito e determinado. Neste caso a soma da série será dada por: n s u1 u2 ... u p p lim un . n ₪ EXEMPLO 7 Determine a soma da série 1 n 1 n 2 . n 1 RESOLUÇÃO Vamos tentar decompor o termo geral numa subtracção de duas fracções, usando a seguinte regra: “Na primeira fracção colocamos todos os factores do denominador da fracção original menos o último e na segunda colocamos todos os factores do denominador da fracção original menos o primeiro”. 1 n 1 n 2 Análise Matemática II A B n 1 n 2 Curso de Engª Electromecânica 11 Capitulo I – Séries Deste modo, vem: 1 A(n 2) A(n 1) , logo A 1 e B 1 . Então: 1 1 1 1 n 1 n 2 = n 1 n 2 1 Ora, 1 1 1 n 1 n 2 nada mais é do que uma série de Mengolli, onde p=1. Já sabemos que uma série de Mengolli é convergente se a sucessão un for. Neste caso 1 =0, logo a sucessão un é convergente e a soma da n n 1 concreto temos lim un = lim n série dada será então: u1 1. lim n 1 1 . n 1 2 ₪ EXEMPLO 8 Caso seja possível, determine a soma da série 1 n n 3 n 6 , n 1. n 1 RESOLUÇÃO Vamos tentar decompor o termo geral numa subtracção de duas fracções, usando a seguinte regra: “Na primeira fracção colocamos todos os factores do denominador da fracção original menos o último e na segunda colocamos todos os factores do denominador da fracção original menos o primeiro”. 1 A B n n 3 n 6 n n 3 n 3 n 6 Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica 12 Capitulo I – Séries Deste modo, vem: 1 A(n 6 ) Bn , logo A 1 1 e B . Temos então: 6 6 1 1 1 1 n 1 n 2 = 1 n n6 3 n 36 n 6 1 1 6 6 Ora, nada mais é do que uma série de Mengolli, onde p=3. n 3 n 6 1 n n 3 Já sabemos que uma série de Mengolli é convergente se a sucessão un for. Neste caso 1 6 concreto temos lim un = lim =0, logo a sucessão un é convergente e a soma da n n n n 3 série dada será então: 1 n n n 3 u1 u2 u3 3. lim ou seja 1 1 1 6 6 6 1 1 1 0 4 10 18 1.3. CONDIÇÃO NECESSÁRIA DE CONVERGÊNCIA DE UMA SÉRIE A Condição necessária para que a série u n 1 n seja convergente é que lim un 0 . Isto n significa que: Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica 13 Capitulo I – Séries u Dada a série n 1 n , se: lim un 0 , a série é divergente n lim un 0 , a série poderá ser convergente ou divergente n ₪ EXEMPLO 9 5n 2 3 . 2 n 1 6n 1 Determine a natureza da série RESOLUÇÃO Calculemos lim un . n 5n2 3 5 0. n 6n 2 1 6 lim un lim n Uma vez que não obedece à condição necessária de convergência podemos afirmar que a série é divergente. ₪ EXEMPLO 10 Determine a natureza da série 1 n. n 1 RESOLUÇÃO Calculemos lim un . n lim un lim n n 1 0. n Nada podemos concluir pela análise do termo geral. Mas, 1 n é a série harmónica, de que já n 1 se falou anteriormente e já se afirmou ser divergente. Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica 14 Capitulo I – Séries 1.4 SOMA OU SUBTRACÇÃO DE UM NÚMERO FINITO DE TERMOS A UMA SÉRIE Não se altera a natureza de uma série, somando-lhe ou subtraindo-lhe um número finito de termos. ₪ EXEMPLO 11 Determinar a natureza da série 1+2+3+ 1 2 n 1 n . RESOLUÇÃO Consideremos apenas a série 1 2 n 1 n . É uma série geométrica de razão r 1 1 , logo 2 convergente. 1 1 A soma da série n é 2 1 . 1 n 1 2 1 2 Adicionando a este valor os restantes termos da série dada, ou seja 1, 2 e 3, vamos obter 1+1+2+3=7 , um valor finito. Podemos então dizer que a série 1+2+3+ 1 2 n 1 n também é convergente. 1.5 CONVERGÊNCIA DE SÉRIES DE TERMOS NÃO NEGATIVOS Vamos em seguida estudar vários critérios de convergência de séries. Consideraremos apenas séries de termos não negativos, ou seja séries de termos nulos ou positivos. Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica 15 Capitulo I – Séries 1.5.1.CRITÉRIO GERAL DE COMPARAÇÃO (1º CRITÉRIO DE COMPARAÇÃO) Se, para qualquer n N , se tem 0 an bn , i) Se bn é convergente, n 1 ii) Se a n 1 a n 1 n também é convergente. n é divergente, b n 1 n também é divergente iii) 1.5.2 COROLÁRIO DO CRITÉRIO GERAL DE COMPARAÇÃO ( 2º CRITÉRIO DE COMPARAÇÃO) Sejam as séries S1 an n 1 e S2 bn n 1 an k 0, , as séries são da mesma natureza. n b n i) Se lim ii) Se lim iii) Se lim an 0 , e se a série bn é convergente, também a série S1 é convergente. n b n an , e se a série bn é divergente, também a série S1 é divergente. n b n Para se aplicar o critério geral de comparação assim como o seu corolário, é necessário relacionar a série dada com qualquer outra série da qual se conheça a natureza. As séries que se utilizam habitualmente para fazer essa comparação são as Séries Geométricas, Séries de Mengoli e Séries de Dirichlet, já anteriormente mencionadas. ₪ EXEMPLO 12 Estude a natureza da série 5 n. n 1 Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica 16 Capitulo I – Séries RESOLUÇÃO Sabemos que: 1 5 e que a série n n 1 n (série harmónica) é divergente. Então, aplicando o n 1 critério geral de comparação( 1º critério de comparação) , podemos imediatamente concluir que 5 n também é divergente. n 1 ₪ EXEMPLO 13 Estude a natureza da série n n 1 2 1 . 3 RESOLUÇÃO Sabemos que 1 1 2 . Conhecemos também a natureza da série 2 n 3 n de Dirichlet com 2 , por isso convergente. Então, n n 1 2 1 n n 1 2 que é uma série 1 convergente. 3 ₪ EXEMPLO 14 Determine a natureza da série n n2 3 1 . ln 2 n RESOLUÇÃO Sabemos que 1 n n2 3 é convergente pois é uma série de Dirichlet com 3 . 1 2 Como lim n ln n 0 ,pelo corolário do critério geral de comparação concluimos que a n 1 n3 1 série 3 2 é também convergente. n 2 n ln n 3 ₪ EXEMPLO 15 Determine a natureza da série Análise Matemática II 3un , sabendo que a série n 1 2 un u n 1 n é convergente. Curso de Engª Electromecânica 17 Capitulo I – Séries RESOLUÇÃO Se a série u n 1 n é convergente, então obrigatóriamente lim un 0 ( pela cond. nec. de n convergência) .Usando o corolário do critério geral de comparação, temos que : 3un 2 un 3 3 lim lim 0, n n un 2 un 2 Sendo assim, as séries são da mesma natureza, logo convergentes. 1.5.3 CRITÉRIO DA RAZÃO OU CRITÉRIO DE D´ALEMBERT Consideremos a série u n 1 lim n un 1 un n , de termos não negativos. Se: 1, un e´convergente n 1 1, un e´divergente n 1 1 , un e´divergente n 1 1 , nada se pode concluir O critério de D´Alembert está especialmente indicado quando no termo geral da série aparecem factoriais, potências ou produtos sucessivos. ₪ EXEMPLO 16 Determine a natureza da série 1.3.5...( 2n 3 ) 2.4.6...( 2n 2 ) . n 1 Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica 18 Capitulo I – Séries RESOLUÇÃO No termo geral da série estão presentes produtos sucessivos, estando portanto indicada a utilização do critério de D´Alembert. Temos então: 1.3.5... 2n 5 2.4.6... 2n 4 u 2n 5 lim n 1 lim lim 1 n u n 1.3.5... 2n 3 n 2n 4 Logo, a série é Divergente. n 2.4.6... 2n 2 ₪ EXEMPLO 17 Determine a natureza das séries dadas abaixo, aplicando o critério de D´Alembert. 3n a) n 1 n! b) n2 n 1 ! n 1 3n ! 2 n 1 n! c) RESOLUÇÃO a) Aplicando o critério de D´Alembert temos: un 1 3n 1 n! 3 lim n lim 0 1. n u n n 1 ! n n 1 3 n lim Logo, a série dada é convergente. b) Aplicando o critério de D´Alembert temos: n3 n 2 ! lim n 3 n 1 ! lim n 3 0 1 u lim n 1 lim 2 n u n n n 2 ! n n2 n2 n 2 n n 1 ! Logo, a série dada é convergente. Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica 19 Capitulo I – Séries c) Aplicando o critério de D´Alembert temos: 3 n 1 ! n! 3n 1 3n 2 3n 3 un 1 lim lim 2 n u n n 1 n 1 n 1 ! 3n ! n n 2 lim Logo, a série dada é divergente. 1.5.4. CRITÉRIO DA RAIZ Consideremos a série u n 1 n , de termos não negativos. Se: 1, un e´convergente n 1 1, un e´divergente n 1 1 , un e´divergente n 1 1 , nada se pode concluir lim n un n O critério da raiz está especialmente indicado nos casos em que todos os factores do termo geral estão elevados pelo menos ao expoente n. ₪ EXEMPLO 18 Determine a natureza da série n 1 1 n 1 n . RESOLUÇÃO Aplicando o critério da raiz, temos: lim n un lim n n Logo, a série n 1 n 1 n 1 Análise Matemática II n 1 n 1 n 1 lim n n n 1 n 1 0 1 lim n n 1 é convergente. Curso de Engª Electromecânica 20 Capitulo I – Séries ₪ EXEMPLO 19 2n 3n 2 Determine a natureza da série 2 . n 1 8n 9 RESOLUÇÃO Aplicando o critério da raiz, temos: 3n2 lim un lim n 2 n n 8n 9 2n n 2 3n2 9 3 lim 2 1 n 8n 9 8 64 2 Logo, a série é convergente. ₪ EXEMPLO 20 n2 n Determine a natureza da série . n 1 n 3 RESOLUÇÃO Aplicando o critério da raiz, temos: n n lim n un lim n n n n3 n2 1 1 n lim 1 nlim n n 3 e 1 3 n n Logo, a série é convergente. 1.5.5.CRITÉRIO DO INTEGRAL Seja f: 1, uma função Contínua e Decrescente onde para cada n , un f n . A série de termo geral un e o integral f x dx são da mesma natureza. 1 Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica 21 Capitulo I – Séries OBSERVAÇÃO 1 Este critério permite concluir que a série de Dirichlet 1 1 n e o integral 1 x dx são da 1 mesma natureza. ₪ EXEMPLO 21 Estude a natureza das séries abaixo, recorrendo ao critério do integral. a) 1 4n b) 2 1 1 1 2n 1 RESOLUÇÃO a) 1 . Esta função é continua e decrescente em 4 x2 Consideremos a função f x 1, , então a série 1 2 é da mesma natureza que o integral 1 4n 1 4x 2 dx . Vejamos então 1 qual é a natureza do integral: 1 1 1 1 dx lim 1 4 x2 dx lim t 4 x 2 t 4 x 1 4 1 t t O integral é convergente e então, pelo critério do integral, concluimos que a série 1 4n 2 1 também é convergente. b) Consideremos a função f x então a série 1 . Esta função é contínua e decrescente em 1, , 2x 1 1 é da mesma natureza que o integral 2n 1 1 Vejamos então qual é a natureza do integral 1 1 Análise Matemática II 1 1 dx . 2x 1 1 dx 2x 1 t t 1 1 1 dx lim dx lim 2 x 1 2 t t 1 2x 1 2x 1 1 Curso de Engª Electromecânica 22 Capitulo I – Séries O integral é divergente e então, pelo critério do integral, concluímos que a série 1 1 2n 1 também é divergente. 1.6 SÉRIES ALTERNADAS DEFINIÇÃO 4 Chama-se série alternada a toda a série cujos termos são alternadamente positivos e negativos. A sua forma é 1 n 1 Por exemplo, n un , u n 0 . 1 2 3 4 n n , e ... 1 2 3 4 5 n 1 n 1 cos n n 1n 3 são séries n 1 alternadas. Para fazer o estudo da convergência deste tipo de séries é muito útil o critério de Leibniz, que diz o seguinte: 1.6.1 CRITÉRIO DE LEIBNIZ 1 Dada a série alternada n n 1 un , un 0 , se un for decrescente e se lim un 0 , n então a série é convergente. ₪ EXEMPLO 22 Determinar a natureza da série n 1 1 n n 1 . RESOLUÇÃO: A série dada é uma série harmónica alternada n 1 1 n n 1 . Pelo critério de Leibniz, podemos afirmar que é convergente, pois : Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica 23 Capitulo I – Séries 1 1 n 1 n 1 b )lim 0 n n a) ₪ EXEMPLO 23 Verifique se a série n 1 1 n 3n é convergentes ou divergente. 4n 1 RESOLUÇÃO É uma série alternada, por isso, para estudar a sua natureza, vamos recorrer ao critério de 3n 3 0 . Leibniz. Verificamos que a 2ª condição deste não é satisfeita, ou seja lim n 4n 1 4 Então, por este critério, nada podemos concluir. Mas, se recorrermos à condição necessária de convergência, vemos que 1 lim n n 3n 4n 1 não existe, logo a série é divergente. 1.6.2 CONVERGÊNCIA ABSOLUTA E CONVERGÊNCIA SIMPLES Consideremos as séries un e n 1 u n 1 n . TEOREMA 1 Se un converge também n 1 u n 1 n converge. DEFINIÇÃO 5 Se uma série un e a série dos seus módulos, n 1 u n 1 n , são ambas convergentes, a série u n 1 n diz-se ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE. Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica 24 Capitulo I – Séries DEFINIÇÃO 6 u Se a série dos módulos, n 1 , é divergente e a série n u n 1 n é convergente, a série u n 1 n diz-se SIMPLESMENTE CONVERGENTE. ₪ EXEMPLO 24 Verifique se as séries são absolutamente convergentes, ou simplesmente convergentes a) 1 n 1 n b) n n 1 1 n n3 RESOLUÇÃO a) Vamos analisar a série dos módulos: Sabemos que 1 Vamos ver se 1 e já vimos que esta série é divergente ( série harmónica). n 1 n n n 1 n 1 n 1 n é convergente ou divergente, aplicando o critério de Leibniz. Ora, n 1 1 1 , un1 un , então lim 0 e un é decrescente pois n n n 1 n convergente. Podemos então concluir que n 1 dos módulos diverge e n 1 1 n 1 n n 1 1 n n é n é simplesmente convergente, pois a série n converge. b) Vamos analisar a série dos módulos: Sabemos que 1 n 1 n 3 n 1 . Esta série é convergente (série de Dirichlet com 1 . 3 n 1 n Como a série dos módulos é convergente, pelo teorema 1.7.2.1, podemos afirmar que a série dada é convergente. Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica 25 Capitulo I – Séries Conclusão: A série 1 n3 n 1 n é absolutamente convergente, pois tanto a série dos módulos como ela própria são convergentes. OBSERVAÇÃO 2 Série Absolutamente Convergente Série Convergente. MAS A RECÍPROCA NÃO É VERDADEIRA 1.7. CRITÉRIO DA RAIZ E CRITÉRIO DE D´ALEMBERT PARA SÉRIES DE TERMOS POSITIVOS E NEGATIVOS 1.7.1CRITÉRIO DA RAIZ Consideremos a série u n 1 n , de termos positivos e negativos, mas não alternada. Se: 1, lim n un 1 n u n 1 n e´absolutamente convergente u n 1 e´divergente n u n 1 n e´divergente 1.7.2.CRITÉRIO DE D´ALEMBERT Consideremos a série u n 1 Análise Matemática II n , de termos positivos e negativos, mas não alternada. Se: Curso de Engª Electromecânica 26 Capitulo I – Séries lim n un 1 un 1, un e´ absolutamente convergente n 1 1, un e´divergente n 1 , un e´divergente n 1 ESTRATÉGIAS NA ESCOLHA DO CRITÉRIO A EFECTUAR PARA DETERMINAR A NATUREZA DE UMA SÉRIE Foram expostos aqui vários critérios para determinar a natureza de uma série. A destreza em escolher e aplicar os vários critérios, consegue-se apenas com a prática. A seguir serão apresentados um conjunto de procedimentos para escolher um critério adequado. A estratégia deverá ser a seguinte: 1) O n-ésimo termo da série tende a zero? Se não tende, a série é divergente (Condição necessária de convergência) 2) A série é uma série conhecida? ( geométrica, Mengolli, Dirichlet) 3) É uma série alternada? 4) Pode-se comparar com uma das séries conhecidas? 5) Pode-se aplicar o critério de D´Alembert, da raiz ou do integral? Aplicando as estratégias para determinar a natureza das séries, determine a convergência ou divergência das séries abaixo: n 1 a) n 1 5n 3 e) 1 n n 1 3 5n 3 b) n 1 5 f) c) nen 2 d) n 1 n! 5 n 1 n g) n n 1 5n 3 1 5n 3 n 1 n n 1 Solução a) Condição nec. de Convergência: lim n n 1 1 0, 5n 3 5 logo a série é Divergente b) Série geométrica: razão menor que 1, logo convergente. Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica 27 Capitulo I – Séries c) Critério do Integral. Série convergente d) Teste de Comparação: Comparar com a série harmónica: 1 1 lim 5n 3 0, , n 1 5 n logo as séries são da mesma natureza, por isso, divergentes. e) Série alternada(analisar a série dos módulos, que é div. E em seguida aplicar o critério de Leibniz), concluindo finalmente que é Convergente. f) Critério de D´Alembert (o termo geral tem factoriais). Divergente. g) Critério da raiz ( o termo geral está elevado ao expoente n). Convergente. EXERCÍCIOS I 1 – Determine a sucessão das somas parciais e, caso seja possível, a soma de cada uma das seguintes séries: a) 1 n n 1 2 b) 2 n c) n 1 n ln n 1 d) n 1 2 - Considere a série numérica C 2 n2 n 4 5 n e) n 1 1 1 n n 1 n 1 . a) Mostre que é convergente qualquer que seja o valor da constante C . b) Determine o valor da constante C de modo que a série tenha por soma 1. 3 – a) Verifique se x3n 5 x n n2 x2 2 x , para x 1 x2 1 b) Considere u n 1 n uma série geométrica de razão 1 com a \ 0 . Sabendo 1 a2 que a soma da série é 1, calcule o termo geral da série. 4 – Diga para que valores de a e b as séries n 1 5n b 1 n e a 1 n são convergentes e n 1 calcule a soma de cada uma das séries para os valores encontrados. Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica 28 Capitulo I – Séries 5 – Usando as propriedades das séries, determine, caso seja possível, a natureza das séries abaixo: 1 3 n a) n 2 n 1 3 1 2 n n 1 n 2 n 1 2 b) 1 1 n n n 4 n 1 c) 6- Determine a natureza das séries de Mengoli: a) 1 n n 1 b) 1 n 1 3n 3n 9 f) n 1 n 1 e) n 2 2 5n 4 n c) n2 1 n 2 2n 2n 4 1 2 1 d) n 1 2 n n 1 n 2 1 4n 3 4n 1 g) n 1 7 – Determine a natureza das séries, analisando o seu termo geral: 5n 2 3n 3 a) 2 n 1 7 n 2n 6 d) n 1 n e) 3n 2 2 n 1 b) n 1 2n 1 n2 c) 2 n 1 7 n 4 1 2n 1 n 1 f) 1 n n 1 n 1 4n 8 – Aplicando o 1º critério de comparação, classifique as séries abaixo a) 1 2 ln 1 n n 1 c) n n 1 e) n 2 1 12 n 1 n 5 comparar com comparar com n 1 2 b) 1 d) n 1 n 1 n 1 comparar com n 2 n 1 5 n 1 comparar com n! n 1 1 ln n n2 1 2 n n 1 comparar com n 1 dn , d 1 comparar com n 1 n f) 1 n 1 n n 1 9 – Estude, aplicando o 2º critério de comparação, a natureza das séries abaixo: n 2 5n 3 a) 4 2 n 1 2n 3n Análise Matemática II 1 b) 2 n 1 n n 1 c) n 1 2n 2 3n 5 n 5 d) 2 n 1 1 1 n Curso de Engª Electromecânica 29 Capitulo I – Séries e) 1 n 3 n 3 n sen n 1 1 n 2 n2 n n f) n 1 i) m) n 1 n n5 4 3 j) g) n2 3 n 1 n n 1 n2 1 n n 1 o) 1 3 n 1 n 5 l) n n2 2n n n 1 1 3 n 1 2 n 1 n h) k) n) 4 1 sen n n 1 p) n 1 5 1 ln 2 n n2 n 1 n6 n 2 1 2n 3 a n é convergente, sendo a n o termo geral de uma série n 1 n 1 10- Mostre que a série convergente. 11 – O que pode concluir quanto à natureza da série a n 1 a) lim n an 1 7 an b) lim n an 1 1 an c) lim n n ? an 1 0.99 an d) lim n an 2 an 1 12 – Estude a natureza das seguintes séries: 3.2n n n 1 b) n 1 n n 1 n 1 2 2 a) n 1 n n 1 n 2 1 3 n n 2 n 1 3 c) d) 1 2 2 n 1 n 2 n 1 n 13 – Recorrendo ao critério de D´Alembert, determine a natureza das seguintes séries: 2n ! a) 3 n 1 n ! 1.3.5... 2n 1 b) n 1 2.4.6... 2n d) bn , 0 b 1 n 1 n Análise Matemática II c) e) n! , d 0 n n 1 d f) n n! n 1 nn n n! n 1 nn Curso de Engª Electromecânica 30 Capitulo I – Séries n ! h) n 1 2n ! 2 n 2 2n 1 g) n 3 n0 2.4... 2n 2 i) 1.5... 4n 1 j) nn n! n 1 n 1 14 – Aplicando o critério da raiz, determine a natureza das séries abaixo n 1 a) n 1 3n n d) n 1 n 1 n 3n 1 2 b) n 1 5n 1 n n2 e) n 1 4n f) n 1 n 1 n n n3 n 15 – Discuta a natureza da série 1 1n 5 4n 1 n 1 4n 3 c) 1 1 n k , k . n n 1 16 – Recorrendo ao critério do integral, mostre que a série abaixo é divergente. n 4n 3 4n 1 n 1 17 – Recorrendo ao critério de Leibniz determine a natureza das séries abaixo: a) n 1 1 n b) n n 1 18 -. Utilize a série 1 n n c) n3 n 1 1 n n n 3n 1 1 n n 1 para mostrar que uma série pode ser simplesmente n n 0 convergente e não ser absolutamente convergente. 19 - Estude quanto à convergência simples e absoluta as séries a) (1)n n 1 d) 1 n 1 n 3n 1 n 2n 1 n n 1 Análise Matemática II n 1 (1) n 2n n 1 b) e) 1 n 1 n n2 n2 4 n c) (1) n n 1 f) 1 n 1 n n 1 2 n 6n 1 n Curso de Engª Electromecânica 31 Capitulo I – Séries 20- Determine a natureza das séries abaixo indicadas: sen 3 ( ) 5 a) 2 n n 1 f) (1) n n 2 n2 n 2 m) e3 n n n 1 n n) n2 3n 2 u) 1 4n 3 n 0 n z) 1 1 1 2 n n n 1 nn d3) 1 n! n2 n 3n g1) n n 1 5 n n 1 s) log n n x) 1 n 1 a1) n 1 n 1 1 q) n 1 ln n 1 n e2n m1) n n 1 n Análise Matemática II n 1 ( 1 )n 2n n 1 4n 1 n 1 ! t) n n 1 n 5n 2 n n 1 n 3 y) n4 n 1 cos n n n! 2 n 1 n 1 b1) 4 3 1 2 n 1 3n 2 4 22 n dn , d 1 d1) n 1 n d2) 3.2n n n 1 e1) n 1 n n 1 n 1 2 f1) 1 n5 n 2 3 h1) 2n 5 7 n n 1 2n n !2 2 n i1) n2n 3 n 1 n7 k1) 1 7 n 1 4n 3 n e2 n n1) 1 n n n 1 n 1 n n 1 1 1 1 n n2 1 n 1 2 2 n 1 n 2 n 1 j1) 1n1 k) 1 c1) 2 n 1 n 2n n 2 3n n n 1 n n! p) n 1 2n ! 1 1 n 1 n 1 1 1 o) 1 2 n3 n 5 n 1 r) 3n 2 n 1 n tan( 2n ) sen 3n j) n d) n 1 5n n 1 n! i) g) 1 2 n 1 n(1 ln n) 3n 3 n 1 2n 3 n n l) c) n 1 h) 2 5 n n! n n 1 n e) n sen n 2 n 1 b) n 3n l1) n 1 10 2 3 n n5 1 n 2 2n 1 o1) 3n n 0 Curso de Engª Electromecânica 32 Capitulo I – Séries n ! convergente. 21- Determine os valores inteiros positivos de K que tornam a série n 1 kn ! 22- Considere a série numérica k3 n 2 . n 1 a) Mostre que a série é convergente para todo o valor da constante k. b) Determine o valor da constante k de modo que a série tenha soma 1. Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica Capítulo II Séries de Potências Capitulo II – Séries de potências 34 2. SÉRIES DE POTÊNCIAS DEFINIÇÃO 7 Uma série de potências de (x-a) é uma série da forma: a x a n 0 n n = a0 a1 ( x a) a2 x a ... an ( x a) n ... 2 DEFINIÇÃO 8 Uma série de potências de x , é uma série da forma: a n 0 n x n = a0 a1 x a2 x 2 ... an x n ... ( É o caso particular das série de potências de (x-a) onde se considera a = 0) 2.1 SÉRIE DE POTÊNCIAS DE X Já vimos que uma série de potências de x é uma série da forma a n 0 n x n = a0 a1 x a2 x 2 ... an x n ... Para que valores de x será a série de potências a n 0 n x n convergente? Não há qualquer dúvida que para x = 0 a série é convergente, vejamos: a n 0 n x n = a0 a1 0 a2 0 ... an 0 a0 , reduzindo-se ao primeiro termo. Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica Capitulo II – Séries de potências 35 Para determinar para que outros valores de x a série convergirá, pode aplicar-se o critério de D´Alembert ou o Critério da Raiz à série dos módulos. Vejamos o exemplo abaixo: ₪ EXEMPLOS 25 x n 1 1Determinar a natureza da série de potências n 0 n 1 RESOLUÇÃO Vamos considerar a série dos módulos: n 0 x n 1 . Aplicando o critério de D´Alembert, temos: n 1 x n2 x n 1 xn2 n 1 n 1 n 2 lim n 1 lim n 1 lim x lim x n x n n n n2 n2 x n2 n 1 Se x 1 x 1,1 , a série Se x 1 a série n 0 n 0 x n 1 é absolutamente convergente . n 1 x n 1 é divergente. n 1 Se x= 1 teremos que fazer uma análise pontual. Se x=1 temos 1 1 n 1 que é uma série divergente (compara-se com n ) . n 0 (1) n 1 Se x=-1 temos que é uma série alternada simplesmente convergente pelo critério n 0 n 1 de Leibniz. Conclusão: A série é convergente para Análise Matemática II x 1,1 Curso de Engª Electromecânica Capitulo II – Séries de potências 36 ₪ EXEMPLO 26 xn Determinar a natureza da série de potências . n 0 n! RESOLUÇÃO Vamos considerar a série dos módulos: n 0 xn . Aplicando o critério de D´Alembert, temos n! x n 1 x n 1 n! (n 1)! x 1 lim lim n lim x lim 0 n n n ( n 1)! n n 1 x x n n 1 n! Conclusão: x , a série é convergente, pois 0<1. ₪ EXEMPLO 27 Determinar a natureza da série de potências n! 2 n 0 n xn . RESOLUÇÃO Vamos considerar a série dos módulos: n! 2 n 0 n x n . Aplicando o critério de D´Alembert, temos (n 1)! n 1 x n 1 n 1 ! 2n x x 2 lim lim n 1 x n 1 lim n 1 lim n 1 n n n n n! n n! x 2 2 n 2 x n 2 Conclusão: A série é divergente . Só é convergente quando x=0 (neste caso, reduz-se ao primeiro termo). Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica Capitulo II – Séries de potências 37 TEOREMA 2 Para toda a série de potências a n 0 n xn existe um número real r , chamado raio de convergência (que pode ser zero, qualquer outro número finito, ou infinito), tal que: - A série é absolutamente convergente se x r - A série é divergente se x r - Em x r a série pode ser convergente ou divergente. OBSERVAÇÃO 3 O raio de convergência pode ser determinado da seguinte forma: r lim n an an 1 r lim ou ainda n n 1 an ₪ EXEMPLO 28 Determinar o raio de convergência da série de potências 4 n xn . n 0 RESOLUÇÃO Segundo a definição anterior, r lim n n raio de convergência será então Análise Matemática II 1 an . No caso presente temos r lim n 1 n 4n 1 .O 4 1 . 4 Curso de Engª Electromecânica Capitulo II – Séries de potências 38 DEFINIÇÃO 9 Chama-se Intervalo de Convergência da série a n 0 n x n ao conjunto de pontos x para os quais a série de potências converge. Habitualmente é representado por I(r). O Intervalo de convergência pode ser: se r 0 se r = 0 r, r ou r, r ou r, r ou r, r , se r 0, ₪ EXEMPLO 29 Determinar o intervalo de convergência da série de potências 4 n xn . n 0 RESOLUÇÃO Já vimos no exemplo anterior que o raio de convergência é série será convergente para x : x 1 Vejamos quando x = , temos 4 1 .Então pelo teorema anterior a 4 1 . Analisemos agora os extremos do intervalo: 4 n n 1 4 1 que é uma série divergente uma vez 4 n 0 n 0 n que o limite do termo geral é diferente de zero. 1 Vejamos quando x = - , temos 4 1 4 1n que é uma série divergente uma 4 n 0 n 0 n n vez que o limite do termo geral não existe. Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica Capitulo II – Séries de potências 39 CONCLUSÃO: O INTERVALO DE CONVERGÊNCIA DA SÉRIE 4 n xn É n 0 1 1 4 , 4 . EXERCÍCIOS II 1. a) Defina série de potências de x. b) Defina raio e intervalo de convergência de uma série de potências de x e diga como se calculam. 2. Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências: 3n x n a) b) n 0 1n e) n 0 3n 2 n 1 m) n 1 1 n2 p) n 1 c) 2n x n n 1 n 1! 2 2.4.6... 2n 4.7.10... 3n 1 k) 1n n 0 n) d) n n 1 n 1 x 2n 2n ! n 1! xn n 0 xn xn n 2 log n l) 3n ! 2n!x n n 0 o) xn n n 0 3 r) q) n h) 1.2.3...n x 2 n 1 1.3.5...2n 1 xn n! 2 n 0 nn n x n 2 n ! 3n x n 3 n 0 n 2 xn n log 2 n xn g) j) 1n1 n 1 f) 2n x 2 n 1 i) x n 1 n 1 n 5 xn 2 n 1 n 2n x n 1 n0 n 1 3 - Provar que se a série de potências c n 0 n x n tem raio de convergência r, então a série c n 0 n x 2 n tem raio de convergência r. 4 – Se c 4 n 0 n n for convergente, as séries que se seguem são convergentes? a) c 2 n 0 n Análise Matemática II n b) c 4 n 0 n n Curso de Engª Electromecânica Capitulo II – Séries de potências 5 - Prove que a série 40 sen nx n n 3 é absolutamente convergente para x . n 1 n! n . x n 0 kn ! 6- Se k for um inteiro positivo, encontre o raio de convergência da série 2.2. k SÉRIES DE POTÊNCIAS DE (x-a) Já vimos que uma série de potências de (x-a) é uma série da forma: a x a n 0 n n n = a0 a1 ( x a) a2 x a ... an ( x a) ... 2 n , os teoremas e propriedades anteriormente a x a n Para séries de potências de (x-a) apresentados para as séries de potências de x são adaptados substituindo x por (x-a). Assim: TEOREMA 3 Para toda a série de potências a x a n 0 n n existe um número real r (que pode ser zero, qualquer outro número finito, ou infinito), tal que: - A série é absolutamente convergente se x a r - A série é divergente se x a r - Em x a r a série pode ser convergente ou divergente. Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica Capitulo II – Séries de potências 41 OBSERVAÇÃO 4: Chama-se Intervalo de Convergência da série a n 0 n ( x a) n ao conjunto de pontos x para os quais a série converge. Habitualmente é representado por I(r) . O intervalo de convergência pode ser: se r a se r = 0 a r, a r ou a r, a r ou a r, a r ou a r, a r , se r 0, ₪ EXEMPLO 30 Determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências x 1n 2n 4 n 0 RESOLUÇÃO an , temos: n a n 1 Partindo da definição de r lim 1 1 2n 6 r lim 2n 4 lim 1. n n 2n 4 1 1 2n 6 CONCLUSÃO: O RAIO DE CONVERGÊNCIA É 1. Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica Capitulo II – Séries de potências 42 Vejamos agora qual é o intervalo de convergência. Pelo teorema 2.3.1, a série será absolutamente convergente para x 1 1 , então temos : –1< x-1<1 e portanto 0 < x <2. Podemos então afirmar que a série é absolutamente convergente no intervalo 0,2 . Temos que analisar agora a natureza da série nos extremos do intervalo: Se x = 2 a série ficará 1 2n 4 que é uma série divergente (comparação com a série n 0 divergente 1 n ). n 1 Se x = 0 a série ficará 1n 2n 4 que é uma série alternada. Para estudar a sua natureza n 0 teremos que recorrer ao critério de Leibniz uma vez que a série dos módulos diverge . Aplicando o critério de Leibniz, concluímos que a série é simplesmente convergente em x= 0, pois 1 0 n 2 n 4 i) lim ii) a n é decrescente pois, 1 1 0 2n 4 2 n 6 ( an an1 0 ). Estando satisfeitas estas duas condições, podemos afirmar que a série é simplesmente convergente quando x=0. Conclusão: o intervalo de convergência é 0,2 . Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica Capitulo II – Séries de potências 43 ₪ EXEMPLO 31 Determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências n nx 3 . n 0 RESOLUÇÃO Partindo da definição de r temos: r lim n an . a n 1 n 1. n n 1 Como a n n , temos r lim CONCLUSÃO: O RAIO DE CONVERGÊNCIA É 1. Passemos à determinação do intervalo de convergência: Pelo teorema 2.3.1 a série será absolutamente convergente para x 3 1 , portanto, –1< x-3 <1 , logo 2< x <4. Se x = 2 a série ficará n n 1 que é uma série alternada divergente. n 0 .Se x = 4 a série ficará n que é uma série divergente(cond. nec. conv) n 0 Podemos então afirmar que a série é absolutamente convergente no intervalo 2,4 . Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica Capitulo II – Séries de potências 44 EXERCÍCIOS III 1.a) Defina série de potências de (x-a). b) Defina raio e intervalo de convergência de uma série de potências de (x-a) e diga como se calculam. 2 . Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências: n!x 2 a) n 1 n2 n 1 n j) 1 n x 2 n2 n 0 m) k) n n 0 x 2 q) n 3 Análise Matemática II l) n t) n 1 3x 2 n n3 n! 2 x 1 2n n n 1 o) x 3 n r) 4 x 1 u) n x 5 3 n n2 n 1 n n n n 1 x 1 n 1 n n 1 n n 1 n n n 10n n x 2 10 n n x k n) n n 0 7 6n 3 n n x 1 n 0 n 0 s) 2n x 1 i) 1 3n n 1 n 1 n 1 ! x 4 n 0 p) n 2n n 1!x 5n h) n 0 3 n f) x 5 n 0 4 n 1 x 3n n 0 n n x 12 n 2n 1! e) n x 2 g) c) 2n 4 n 0 1n1 x 1n b) d) 2 x 3n n n n 0 Curso de Engª Electromecânica Capitulo II – Séries de potências 45 2.3 REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÕES POR MEIO DE SÉRIES DE POTÊNCIAS Há funções que podem ser representadas por séries de potências, como por exemplo f(x) 1 1 representa a soma da série de 1 x x 2 x3 ... x n , para x 1 ( 1 x 1 x n 0 potências x n , para x 1 ). n 0 Se uma determinada função admitir representação em série de potências, em torno de um ponto a, então ela será da forma f n a n 0 n! f(x) x a n , para x a r ( raio de convergência da série ) A esta série chama-se Série de Taylor da função f centrada em a . OBSERVAÇÃO 5: f n a n0 n! x a n representa f(x) por uma série de potências de (x-a), cujo domínio é o intervalo de convergência ,I(r), da série. f n a n0 n! x a n diz-se desenvolvimento de f segundo as potências de (x-a) em I(r). Para o caso especial de a=0, a série de Taylor ficará: f n 0 n 0 n! f(x) x n , para x r ( raio de convergência da série ) que tem o nome de Série de Mac-Laurin. Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica Capitulo II – Séries de potências OBSERVAÇÃO 6 f n 0 n 0 n! 46 x n representa f(x) por uma série de potências de x, cujo domínio é o intervalo de convergência, I(r), da série . f n 0 n 0 n! x n diz-se desenvolvimento de f segundo as potências de x em I(r). TEOREMA 4 Uma função que admite representação em série de potências no intervalo r, r é contínua nesse intervalo, assim como uma função que admite representação em série de potências em a r, a r é também contínua nesse intervalo. ₪ EXEMPLO 32 Considere a função f x 1 . Represente-a através de uma série de potências de x e diga 1 x em que intervalo é válido esse desenvolvimento. RESOLUÇÂO Vamos achar a derivada de ordem n da função f x f n 0 n 0 n! f(x)= 1 , pois já sabemos que 1 x x n , para x r . Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica Capitulo II – Séries de potências 47 1 1 x 1 f x 2 1 x f x f x f x 2 1 x 3 6 1 x 4 . . . f n x n! 1 x n 1 agora facilmente calculamos f n 0 : f n 0 n! . f n 0 n 0 n! Então temos f(x)= f x x n , ou seja f x x n , que será o desenvolvimento de n 0 1 em série de potências de x. Falta saber agora qual é o intervalo em que este 1 x desenvolvimento é válido. Vejamos: O intervalo de convergência da série x n n 0 é 1,1 , logo o intervalo em que o desenvolvimento acima é válido é 1,1 . CONCLUSÃO: O DESENVOLVIMENTO DE f x VÁLIDO PARA 1 , EM SÉRIE DE POTÊNCIAS DE X É: f x x n , 1 x n 0 x 1,1 . TEOREMA 5 i) Se a série an x n tem raio de convergência r, então as séries n 0 x a t n 0 0 n n na n 1 n x n 1 e dt terão raio de convergência r. Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica Capitulo II – Séries de potências 48 ii) Se a série an ( x b) n tem raio de convergência r, então as séries n 0 na n 1 n ( x b) n 1 e x a n ( t b) n dt terão raio de convergência r. 0 n 0 Ou seja: Se derivarmos ou primitivarmos todos os membros de uma série de potências de intervalo I(r), obtemos uma série de potências cujo interior do intervalo é o mesmo. ₪ EXEMPLO 33 Desenvolver em série de potências de x a função f ( x ) ln( 1 x ) . RESOLUÇÃO Sabemos de um exemplo anterior que f x 1 1 x x n , para x 1 , e sabemos também que n 0 1 , então f x x n (válido para x 1 ). Pelo teorema 2.4.2 temos que 1 x n 0 x n 1 f ( x ) ln(1 x ) ( integraram-se todos os termos da série n 0 n 1 x n ),válido para n 0 x 1. EXERCÍCIOS IV 1 . Desenvolva em série de potências de x as funções de expressões analíticas indicadas e determine os intervalos de convergência das séries obtidas. a) 1 1 x b) 1 1 x c) 1 1 x2 d) 1 1 x2 e) 1 3 x f) 1 (1 x) 2 g) 1 (1 x) 2 h) 1 1 4x i) x 2 3x j) e x Análise Matemática II k) 3 x 2 l) ln 3 x Curso de Engª Electromecânica Capitulo II – Séries de potências 49 2. Desenvolva a) ln(x) segundo potências de (x-1) b) e x segundo potências de x c) e x segundo potências de (x+2) Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica