versão para tela

Ópera Complexa
Série Mátema
Objetivos
1. Contar a história dos números complexos;
2. Apresentar as contribuições feitas por
matemáticos ao longo da história para o
desenvolvimento do conceito dos números
complexos.
Ópera Complexa
Série
Mátema
Conteúdos
História da matemática.
Duração
Aprox. 10 minutos.
Objetivos
1. Contar a história dos números
complexos;
2. Apresentar as contribuições
feitas por matemáticos ao
longo da história para o
desenvolvimento do conceito
dos números complexos.
Sinopse
O programa apresenta a história
dos números complexos. Durante
o programa a professora conta a
Joãozinho e Sofia como surgiu a
ideia dos números complexos e
como que essa ideia
revolucionou a matemática e
dividiu opiniões de grandes
matemáticos ao longo da história
até chegar ao conceito que temos
hoje.
Material relacionado
Áudios: Intrigas cúbicas;
Softwares: Movimentos
complexos.
Introdução
Sobre a série
A série Mátema levanta aspectos históricos dos fundamentos da
matemática. O contexto da ficção tem o objetivo de tornar o programa
interessante para o ensino médio e para adolescentes, uma vez que
faz uso do estereótipo do Joãozinho, da Sofia e da professora. Em
geral, os assuntos são mais elaborados do que os que são vistos nos
programas de ensino médio. No entanto, o programa traz ricas
informações e tem o devido cuidado com as definições e conclusões
matemáticas.
Sobre o programa
Aqui reproduzimos parte de uma versão do roteiro original do prof.
Dicesar Fernandes que deu origem ao programa.
Primeira Parte:
Oi, gente, estamos novamente com vocês, com Joãozinho, aquele
menino terrível, com Sofia, aquela aluna aplicada, e nossa gentil e
simpática professora para contar mais uma das muitas histórias da
matemática.
Desta vez nossos amigos vão discutir a história dos números
complexos. São 300 anos de história que começa nos anos 1.500.
Vamos a ela, mas antes, PARLA BOMBELLI, PARLA!
Più via più di meno, fa più di meno
Meno via più di meno, fa meno di meno
Più via meno di meno, fa più di meno
Meno via meno di meno, fa più di meno
Più di meno via più di meno, fa meno
Più di meno via meno di meno, fa più
ÁUDIO
Ópera Complexa 3/12
meno di meno via più di meno, fa più
Meno di meno via meno di meno, fa meno.
Joãozinho:
Que que é isso, professora?
Professora: Durante muito tempo a matemática era dissertativa. Não
existiam os símbolos de soma multiplicação, igualdade, etc. Foi desta
forma que um matemático italiano, chamado Rafael Bombelli,
enunciou a regra dos sinais e o uso do número imaginário √− 1.
Sofia:
Mas eu não entendi nada do que ele falou!
Professora: Pois é, vocês reclamam que tem que decorar muitas
fórmulas, mas agora estão vendo que a vida sem fórmulas era muito
mais difícil. Esses versos são apenas para chamar a atenção, eles são
as regras dos sinais para a multiplicação de números e de raízes
imaginárias como a raiz quadrada de menos um. As mesmas que
vocês vão ter que saber de cor! Vou traduzir para vocês mais tarde e
dizer quem as escreveu.
Sofia:
Mas eu não sei italiano, professora!
Professora: Mas não precisa. Vocês vão aprender essas regras para
operar com os sinais e os números imaginários com notação moderna.
Joãozinho:
Professora, quem imaginou os números imaginários? Se
são imaginários podem ser números?
Professora: Calma, Joãozinho! É bom perguntar. Mas perguntando
assim você embola o meio de campo. Vamos começar pelo começo.
Joãozinho:
O começo eu sei. Em algumas equações do segundo
grau o discriminante é negativo e aí começa a confusão.
Professora:
Acontece que aí não é o começo. Quando as equações
do segundo grau foram estudas, a solução que apresentava o
discriminante negativo era declarada impossível e imediatamente
ÁUDIO
Ópera Complexa 4/12
ignorada. O primeiro a discutir um problema onde aparecem estranhos
objetos foi Girolamo Cardano. Lá na época de Cabral.
Joãozinho:
Cabral!
Puxa professora, pra senhora tudo começou com
Sofia:
Eu aprendi que naquele tempo Colombo descobriu a América,
que Fernão de Magalhães deu a volta ao mundo de navio...
Professora: Pois é, era uma época que muita coisa começou a
acontecer. Está época é chamada nos livros de história de Renascença
italiana.
Joãozinho:
Eu sei, dona. Não foi nessa época que os italianos
descobriram o macarrão, a pizza e a lasanha? Gênios.
Professora:
Sofia:
Não vou sequer responder!
Professora, não preste atenção nesse moleque!
Professora: Cardano era médico, astrólogo e matemático. Escreveu
um importante livro intitulado Ars Magna, em latim. Em português é A
Grande Arte. Neste livro, entre outras coisas, discute-se o problema de
achar dois números de modo que a soma seja dez e produto seja
quarenta.
Sofia:
Mas isso é fácil, basta equacionar o problema. Caímos então
numa equação do segundo grau. Aplicamos a fórmula e achamos a
solução.
Joãozinho:
Exibida!
Professora: Sim, foi o que Cardano fez. As soluções são 5+√− 5 e
5− √− 5. Cardano não sabia o que fazer com esse estranho objeto √− 5.
Ele procurava números, inteiros ou fracionários. Cardano tinha
problemas já com os números negativos. De qualquer maneira, venceu
sua repugnância por esse estranho objeto, fez as contas e verificou
que eram raízes da equação. Surpreso prometeu estudar a questão
mais tarde e abandonou o assunto.
ÁUDIO
Ópera Complexa 5/12
Sofia:
Puxa, esse Cardano abandonava cedo as coisas!
Professora: Absolutamente, Cardano era extremamente persistente.
Isto a gente vê em outras de suas histórias.
Sofia:
Que histórias, professora?
Professora: Ah! Por exemplo, a de sua contribuição para o estudo
das equações cúbicas. Lá esses estranhos objetos aparecem de modo
mais complicado ainda.
Joãozinho:
Não aguento.
complicar vida dos outros.
Esses
matemáticos
só
gostam
de
Professora: Pelo contrário Joãozinho. A intenção dos matemáticos é
esclarecer porque as coisas acontecem. Imaginar soluções para
equações que não tem solução. Imaginar o imaginário.
Joãozinho:
Tá bão! Fico quieto, mas não caio nessa conversa não.
É então que aparece uma nova personagem nessa história: Rafael
Bombelli. Pouco se sabe sobre a vida de Bombelli além de que viveu
em Bolonha e era mais novo que Cardano. Vamos agora a um
intervalo. Enquanto isso resolvam o problema de Cardano e verifiquem
se √− 2√− 2 = √(− 2 × − 2) = 2 ou − 2.
Segunda Parte:
Professora: Rafael Bombelli escreveu um livro intitulado, Álgebra,
que foi publicado em 1572. Neste livro, Bombelli expõe de forma
ordenada e completa tudo o que era conhecido sobre as equações do
primeiro ao quarto grau. Considera os radicais tratados por Tartaglia e
Cardano, com o radicando negativo, que não deve ser chamado nem
de mais nem de menos, mas sim mais de menos. Os versos que vocês
ouviram estão no livro de Bombelli e sua tradução é mais ou menos a
seguinte:
Mais vezes mais raiz de -1 é igual a mais a raiz de –1
Menos vezes mais raiz de -1 é igual a menos a raiz de –1
ÁUDIO
Ópera Complexa 6/12
Mais vezes menos raiz de -1 é igual a menos a raiz de –1
Menos vezes menos raiz de -1 é igual a mais raiz de –1
Mais raiz de -1 vezes mais raiz de -1 é igual a -1
Mais raiz de -1 vezes menos raiz de -1 é igual a +1
Menos raiz de -1 vezes mais raiz de -1 é igual a +1
Menos raiz de -1 vezes menos raiz de -1 é igual a -1.
Sofia:
Puxa como era complicado. Nunca mais vou falar mal da
notação moderna.
Professora: Bombelli fez mais nesse livro do que dar as regras de
cálculo com essa linguagem complicada. Estudou um método para
extrair a raiz cúbica de binômios da forma a + ib. Sem usar a notação
− 1 , pois ainda não havia sido introduzida. De qualquer forma,
Bombelli deve ser considerado fundador da teoria dos imaginários,
mesmo que esse termo também não havia ainda sido imaginado.
Sofia:
Mas a senhora ainda não contou quem imaginou a palavra
imaginário e o número i = − 1 .
Professora: O termo imaginário foi usado pela primeira vez por
René Descartes, o imaginador da Geometria Analítica, em 1637. O
problema de Descartes era saber quantas raízes uma equação de grau
n poderia ter. Concluiu que uma tal equação teria n raízes. Mas que
tem-se que contar as raízes reais, as falsas e as imaginárias. Por raiz
falsa, Descartes entendia as raízes negativas. Além disso, afirmava
que, em alguns casos, tanto as raízes verdadeiras quanto as falsas não
são sempre reais, mas algumas vezes somente imaginárias. O livro de
Descartes intitulava-se “O Discurso do Método”. Suas preocupações
eram mais sobre o significado das coisas do que sobre o cálculo.
Sofia:
Mas e a história do imaginário ser um número!
Professora: Calma, já chegamos lá. Antes é importante lembrar que
Newton, que aparece depois de Descartes na história, aceitava as
raízes negativas. No entanto, ele não aceitava os negativos como
números, mas como quantidades negativas, aqueles que eram
menores que zero. Já os imaginários. Newton chamava de raízes
ÁUDIO
Ópera Complexa 7/12
impossíveis, e argumentava que nada mais impossível que a raiz de
um número negativo. Não era maior do que zero, nem menor do que
zero. Dia desses vamos chamar o Newton para bater um papo com a
gente.
Sofia:
Mas Newton já morreu. Vamos falar com um fantasma?
Professora: Claro que não. Vamos apenas discutir as idéias de
número que Newton tinha, usando seus próprios argumentos. De
qualquer maneira, foi um contemporâneo de Newton que deu o
próximo passo para o melhor conhecimento desses objetos
imaginários: Abraham De Moivre. Foi De Moivre que obteve a fórmula
de calcular a potência n de um objeto da forma cos(x)+ − 1 sen(x). A
potência n é simplesmente e surpreendentemente
cos(nx) +
− 1 sen(nx). Uma fórmula muito bonita.
Joãozinho:
Eu não acho. Só não é mais feia que a Sofia!
Professora: Pois eu acho uma fórmula muito bonita. Mais bonita
ainda é a fórmula que Leonard Euler, um matemático genial, descobriu
alguns anos depois de De Moivre: e −1 x = cos(x)+ − 1 sen(x). Em
particular, Euler obteve a famosa relação que liga os três números
mais importantes da matemática:
e − 1 π = -1. Euler mostrou a
profunda conexão que havia entre os números complexos, as funções
trigonométrica e exponencial. Além disso, foi Euler que imaginou a
notação i = − 1 . Mas essa notação só se popularizou quando Gauss
passou a usá-la.
Sofia:
Puxa professora, esse Euler era fogo, né?
Professora: Claro, Euler era um gênio. Calcula com os imaginários
sem preconceito e com maestria. No entanto, Euler às vezes se
confundia. Em certo lugar ele escreve que − 2 × − 2 = -2 e em outro
que − 2 × − 3 = (−2)(−3) = 6 . Uma das contas está errada. Qual
delas gente?
Sofia:
É a segunda professora. A − 2 vezes
conforme as regras dadas por Bombelli.
− 3 é igual a − 6 ,
ÁUDIO
Ópera Complexa 8/12
Joãozinho:
Ô garota insuportável, tem que ficar se exibindo
mesmo, né?!
Professora: Muito bem Sofia! Mas, além disso, Euler não sabia
exatamente o que eram esses a+ib. Em seu famoso livro “Elementos de
Álgebra” ele escreveu:
Como todos os números que são possíveis de conceber são
maiores que zero ou menores que zero, ou mesmo zero, é evidente
que não podemos colocar a raiz quadrada de um número negativo
entre os possíveis números, e desta maneira devemos dizer que é uma
quantidade impossível. Então somos levados à idéia de números, os
quais por sua natureza são impossíveis. E, portanto, eles são
usualmente chamados quantidades imaginárias, porque só existem em
nossa imaginação.
Professora: Pois é, Euler seguia as idéias de Newton. Mas Gauss não
concordava. Gauss pensava que todos os números eram uma livre
criação do espírito humano. Portanto, todos os números eram
imaginários. Foi Gauss o primeiro a usar a expressão número
complexo. A opinião de Gauss tem que ser levada a sério, pois precisa
muita coragem para contradizer uma opinião do príncipe da
matemática.
Sofia:
Mas existem coisas que não são números? Como faço pra
saber se uma coisa é ou não um número?
Professora: Esse problema foi resolvido por Hermann Hankel em
1867. Hankel enunciou um princípio prático para se decidir se um
objeto é ou não um número. O princípio de Hankel é mais ou menos o
seguinte: 1) quando você estende uma classe de números e cria
objetos para os quais existe um sentido de soma e multiplicação as
propriedades básicas das operações devem ser mantidas, ou seja, as
propriedades comutativa, associativa e distributiva; 2) uma parte dessa
nova classe de números deve se identificar com os números os quais
estendeu. Assim um número real x pode ser identificado com o
número complexo x+0 i. Este é o caso da extensão dos números
naturais para os inteiros, e das outras classes de números que
conhecemos.
ÁUDIO
Ópera Complexa 9/12
Sofia:
Que bonita história! Mas um pouco complicada, não é?
Professora: Esta história é bem exemplar. Dificilmente uma pessoa
descobre alguma coisa, estuda e encerra o assunto. A história
começou com Cardano, passou por Bombelli, passou por Descartes,
passou por De Moivre, passou por Euler, passou por Gauss e chegou a
Hankel. Assim mesmo, fizemos apenas um resumo da história. Muitos
outros contribuíram para o perfeito conhecimento dos números
complexos. Além disso, sua história não termina com Hankel. Depois
dele muitos outros tiveram o que dizer sobre os números complexos.
Mas isso é assunto não apenas para outra história, é assunto para
muitas outras histórias. Espero que alguns de vocês estudem bastante
e no futuro venham a contar essas fabulosas histórias sobre os
números.
Sugestões de atividades
Antes da execução
Sugere-se ao professor que antes da execução do áudio revise com
seus alunos os conceitos básicos do conjunto dos números
complexos.
Um número complexo é um número composto por uma parte real e
por uma parte imaginária. Os números complexos podem ser
representados das seguintes formas:
Forma retangular ou cartesiana:
Z = ( x , y ) = x + iy
Onde x e y representam as partes real e imaginária, respectivamente.
Forma polar:
Z = r (cosθ + i sin θ )
Onde r é a distância do ponto Z = ( x, y ) até a origem do sistema de
coordenadas. θ é o ângulo entre a semi-reta OZ e o semi-eixo real.
ÁUDIO
Ópera Complexa 10/12
Forma exponencial:
Z = reiθ
Onde reiθ = cos θ + i sin θ
Plano complexo
No plano complexo, ou plano de ArgandGauss, o eixo das abscissas representa a
parte real e o eixo das ordenadas representa
a parte imaginária do número complexo.
Depois da execução
Após a execução do áudio, sugere-se uma revisão das operações
elementares com os números complexos visando solucionar o
problema proposto no intervalo entre a primeira e a segunda parte do
áudio. O problema de Cardano pede para verificar se − 2 ⋅ − 2 é igual
a +2 ou -2.
Partindo da identidade fundamental do número imaginário: i 2 = −1
define-se as operações elementares para o conjuntos dos números
complexos na forma cartesiana:
Dados dois números complexos X e Y , onde X = (a + bi) e Y = (c + di) ,
tem-se que:
Soma: X + Y = (a + bi ) + (c + di) = (a + c) + (b + d )i
Produto: XY = (a + bi )(c + di ) = (ac − bd ) + (bc + ad )i
Para o problema proposto, na primeira parte da igualdade, temos
que X = − 2 = 0 + 2i = 2i e Y = − 2 = 0 + 2i = 2i , portanto da definição
do produto dos números complexos temos:
X = 2i e Y = 2i , resultando:
X ⋅ Y = (0 + 2i )(0 + 2i ) = (0 ⋅ 0 − 2 ⋅ 2 ) + ( 2 ⋅ 0 + 0 ⋅ 2 )i = −2 + 0i = −2
ÁUDIO
Ópera Complexa 11/12
Portanto, problema de Cardano tem a seguinte solução:
− 2 ⋅ − 2 = −2
Sugestões de leitura
Eves, H., (2004). Introdução à história da Matemática. Editora
Unicamp, Campinas.
Boyer, C. B., (1996). História da Matemática, Edgar Bluncher Ltda, São
Paulo.
Sites recomendados:
Números Complexos, (Pág. Visitada em 14/06/2011, 15:00h)
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/euler/numeros
complexos.htm.
Ficha técnica
Autor William Martins Vicente
Revisão Samuel Rocha de Oliveira
Coordenação de Mídias Audiovisuais Prof. Dr. Eduardo Paiva
Coordenação Geral Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira
Universidade Estadual de Campinas
Reitor Fernando Ferreira Costa
Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca
Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Diretor Caio José Colletti Negreiros
Vice-diretor Verónica Andrea González-López
ÁUDIO
Ópera Complexa 12/12