G ( s )

AULA #13
Projeto de Controladores
Projeto de Controladores
Depois de escolhido o tipo de controlador (P, PI ou PID),
ainda existe a questão de se escolher quais os valores de
seus parâmetros (Kc , τI e τD ).
Este procedimento é conhecido como Projeto de Controladores ou Ajuste de Controladores, sendo baseado
na resposta estacionária e na resposta dinâmica do sistema de controle.
Critério de Performance da Resposta Estacionária
O principal critério de performance neste caso é estabelecer o erro igual a zero para o estado estacionário.
Tomando-se este critério, sabe-se que o controlador P, na
maioria das situações, não elimina o desvio permanente,
enquanto que o controlador PI sim. Além disso, em um
controlador PID, a medida que Kc aumenta, o ”offset”é
reduzido.
Critério de Performance da Resposta Transiente
A malha fechada deve satisfazer aos seguintes critérios de
performance:
• o sistema em malha fechada deve ser estável
• os efeitos da perturbação devem ser minimizados
• respostas rápidas, porém suaves, a variações no valor
de referência
– 1/4 de razão de declı́nio
– 5% de sobre-elevação
• evitar ações de controle excessivas (reduzir desgaste
da válvula de controle)
• o sistema de controle deve ser robusto: insensı́vel
a variações nas condições operacionais e a erros no
modelo do processo
Em problemas de controle é muito difı́cil atender a todos a
esses critérios, pois eles são muitas vezes conflitantes. Por
exemplo, diminuindo-se o valor da sobre-elevação através
da redução de Kc , torna a resposta em malha fechada
mais lenta. De uma maneira geral, ajustes de um controlador PID que minimizam os efeitos da perturbação
tendem a aumentar a sobre-elevação para variações no
valor de referência. De forma semelhante, ajustes para
gerar uma resposta rápida e suave a variações no valor de
referência, geralmente resultam em respostas lentas para
perturbações.
Outro conflito muito comum é entre robustez e performance: torna-se um sistema de controle robusto escolhendo valores conservativos para os parâmetros do controlador (por exemplo, Kc pequeno e τI grande). Entretanto, essa escolha resulta em respostas lentas a variações
na carga e valor de referência. Isto é, a performance do
controlador é afetada.
Cabe, então, ao projetista saber balancear as caracterı́sticas em conflito, a fim de se obter a melhor resposta
desejada.
Existem diversos procedimentos de ajuste de controladores. O objetivo desses métodos é fornecer valores aproximados para os parâmetros de controladores PID a serem
implementados na planta. Em última instância, a sintonia
em campo é a que será efetivamente usada.
Método da Sı́ntese Direta
O Método da Sı́ntese Direta consiste em especificar o
comportamento da malha fechada (1a ordem, 2a ordem
subamortecido, etc), GCL(s), calculando a função de transferência do controlador, Gc (s), que forneça este comportamento desejado. Portanto, a questão fundamental no
Método da Sı́ntese Direta é especificar a resposta em malha fechada desejada.
Seja o diagrama de blocos padrão para um sistema de
controle por realimentação
y
d (s )
e (s )
+
s p
(s )
G
-
y(s) =
c
(s )
u (s )
P r Go c ( e s s ) s o
+
+
y (s )
Gc (s)G(s)
1
ysp (s) +
d(s)
1 + Gc (s)G(s)
1 + Gc (s)G(s)
|
|
{z
}
{z
}
Gservo (s)
Gcarga (s)
Considerando operação servo
y(s) =
Gc (s)G(s)
ysp (s) = GCL(s)ysp (s)
1 + Gc (s)G(s)
|
{z
}
Gservo (s)=GCL (s)
A função de transferência G(s) = Gf (s)Gp (s)Gm (s) representa a função de transferência do processo mais a
instrumentação pertinente, menos o controlador.
Resolvendo a equação da malha fechada para Gc (s)
Gc (s) =
1
GCL(s)
G(s) [1 − GCL(s)]
Observações Importantes:
• a função de transferência do controlador, Gc (s), pode
resultar em uma equação de projeto pouco prática,
pois a função de transferência G(s) normalmente não
é conhecida. Neste caso, um procedimento de projeto seria obtido aproximando-se G(s) pelo modelo
do processo G̃(s) = G̃f (s)G̃p (s)G˜m (s).
• observe que o controlador Gc (s) contém o inverso do
processo, 1/G(s). Portanto, o cancelamento pólozero é usado na determinação de GCL(s): os pólos do
controlador cancelam os zeros do processo, enquanto
que os zeros do controlador cancelam os pólos do
processo.
• se o processo apresentar um pólo instável é matematicamente possı́vel introduzir um zero no controlador
de mesmo valor.
• cancelamento pólo-zero exato é praticamente impossı́vel de ser obtido, devido às imprecisões na localização dos pólos e zeros do processo. Um pólo
instável do processo, não exatamente cancelado pelo
zero do controlador, poderá redundar em uma operação instável.
• cuidado especial deve ser adotado na utilização do
Método da Sı́ntese Direta.
a). controle perfeito
No controle perfeito a variável controlada deve acompanhar qualquer variação no valor de referência instantaneamente e sem erro:
y(s) = ysp (s) ⇒ GCL(s) = 1
Com isso,
Gc (s) =
1
1
1 1
=
G(s) 1 − 1
G(s) 0
Portanto, controle perfeito não é alcançado com controle
por realimentação, pois a saı́da acompanharia o valor de
referência somente se o ganho do controlador fosse infinito. Como não existe erro, a ação corretiva ”feedback”não ocorre.
Entretanto, pode-se aproximar o controle perfeito fazendo
Gc (s) =
Kc
G(s)
O controle perfeito seria, então, igual a
GCL(s) =
1
Kc
G(s)
G(s)
Kc
+ G(s)
G(s)
=
Kc
1 + Kc
O controle perfeito é aproximado no limite quando Kc →
∞, desde que GCL(s) → 1.
Observações Importantes:
• o controlador perfeito não será realizável se o processo contiver atrasos ou mais pólos do que zeros
• se o processo contiver um zero positivo, o controlador
conterá também um pólo positivo e, portanto, será
instável
b). processos de fase mı́nima
Parece bem natural especificar que a resposta desejada
em malha fechada seja de primeira ordem, uma vez que
suas caracterı́sticas são bem conhecidas:
GCL(s) =
1
τc s + 1
Observe que τc é o único parâmetro a ser ajustado (parâmetro de projeto), representando a constante de tempo
da resposta em malha fechada:
• τc elevado → resposta lenta (mais robusta) em malha
fechada
• τc pequeno → resposta rápida em malha fechada
O ganho da malha fechada é feito igual a 1 para garantir
ausência de ”offset”. Portanto,
1
1
GCL(s)
1
1 1
τc s+1
Gc (s) =
=
=
1
G(s) [1 − GCL(s)]
G(s) 1 − τ s+1
G(s) τc s
c
Observe que o controlador obtido contém ação integral
(1/τc s) como resultado da especificação de ganho unitário
para a malha fechada.
b.1). processo de 1a ordem
Considere o processo de 1a ordem
G(s) =
Kp
τp s + 1
Resolvendo para Gc (s)
1 1
τp s + 1 1
τp
Gc (s) =
=
=
G(s) τc s
Kp τc s
Kp τc
1
1+
τp s
Veja que o controlador obtido pelo Método da Sı́ntese
Direta para um processo de 1a ordem é simplesmente um
controlador PI, onde
Kc = Kτppτc
τp
1
1
Gc (s) =
1+
≡ Kc 1 +
τI = τp
Kp τc
τp s
τ s
{z I }
|
{z
} |
sı́ntese direta
PI
Observações Importantes:
• observe que será necessário ajustar apenas um parâmetro: a constante de tempo da malha fechada,
τc
• faz-se τI = τp e ajusta-se Kc ”on-line”até obter a
resposta em malha fechada desejada
b.2). processo de 2a ordem
Considere o processo de 2a ordem
G(s) =
Kp
(τp1 s + 1)(τp2 s + 1)
Resolvendo para Gc (s)
Gc (s) =
Gc (s) =
Gc (s) =
Gc (s) =
1 1
(τp1s + 1)(τp2 s + 1) 1
=
G(s) τc s
Kp
τc s
τp1τp2 s2 + (τp1 + τp2 )s + 1 1
Kp
τc s
τp1 + τp2
1
τp1τp2s
+
+
Kpτc
Kp τc s
Kpτc
τp1 + τp2
1
τp1τp2s
1+
+
Kpτc
(τp1 + τp2)s
τp1 + τp2
Veja que o controlador obtido pelo Método da Sı́ntese
Direta para um processo de 2a ordem é simplesmente um
controlador PID, onde
τp1 + τp2
1
τp1τp2 s
Gc (s) =
1+
+
≡
Kp τc
(τp1 + τp2)s
τp1 + τp2
|
{z
}
sı́ntese 
direta
p2

Kc = τp1K+τ

τ
p c
1
≡ Kc 1 +
+ τD s
τI = τp1 + τp2

τI s
τ τ
|
{z
}  τD = τp1p1+τp2p2
PID
Observações Importantes:
• observe que será necessário ajustar apenas um parâmetro: a constante de tempo da malha fechada,
τc
τp2
e ajusta-se Kc ”on• faz-se τI = τp1 + τp2 e τD = τp1τp1+τ
p2
line”até obter a resposta em malha fechada desejada
c). processos de fase não mı́nima
Processos de fase não mı́nima apresentam tempos mortos
(”time delays”) e zeros no semi-plano direito do plano
complexo (”RHP zeros”):
Kpe−τd s
G(s) =
τp s + 1
Kp(−as + 1)
G(s) =
τp s + 1
: tempo morto
: RHP zero 1/a (a > 0)
Seria natural também escolher um sistema de primeira
ordem para representar o comportamento da malha fechada:
1
GCL(s) =
τc s + 1
Entretanto, essa escolha sem considerar o tempo morto
ou RHP zero tornará a malha fechada inviável de ser implementada ou instável:
• tempo morto
1 1
τp s + 1 1
τp
Gc (s) =
=
=
G(s) τc s
Kpe−τd s τc s
Kpτc
1
1+
τp s
eτd s
O controlador resultante corresponde a um controlador PI com o termo adicional eτd s. Este termo não é
fisicamente realizável porque requer o conhecimento
de erros futuros para obter a ação de comando presente.
• RHP zero
Gc (s) =
τp s + 1
1
1 1
=
G(s) τc s
Kp(−as + 1) τc s
A presença de pólo RHP é devido a inversão do RHP
zero do processo, tornando o controlador instável e
a ação de controle não limitada (elemento final de
controle irá saturar).
Por esses motivos, um controlador fisicamente realizável
e estável pode ser obtido se a resposta desejada da malha fechada contiver o mesmo atraso e RHP zeros do
processo.
c.1). processos com tempo morto
Reformulando a resposta desejada para a malha fechada,
incluindo o tempo morto, tem-se
e−τdc s
GCL(s) =
τc s + 1
onde, agora, τc e τdc são parâmetros de projeto (o controlador será fisicamente realizável se τdc ≥ τd ). Para τdc = τd ,
e−τds
Gc (s) =
1
GCL(s)
1
τc s+1
=
−τd s
G(s) [1 − GCL(s)]
G(s) 1 − τes+1
c
Gc (s) =
1
e−τd s
G(s) τc s + 1 − e−τd s
Aproximando-se e−τd s ≈ 1 − τd s no denominador de Gc (s),
este assumirá a forma de um controlador PID padrão:
1
e−τd s
Gc (s) =
G(s) (τc + τd )s
Observe que não foi necessário efetuar a mesma aproximação do e−τd s do numerador de Gc (s), pois este será
cancelado com termo idêntico em G(s).
c.1.1). processo de 1a ordem com tempo morto
Considere o processo de 1a ordem com tempo morto
Kpe−τd s
G(s) =
τp s + 1
Resolvendo para Gc (s)
Gc (s) =
Gc (s) =
e−τd s
τp s + 1 e−τd s
1
=
G(s) (τc + τd)s
Kp e−τd s (τc + τd )s
τp
1
1+
Kp (τc + τd )
τp s
Veja que o controlador obtido pelo Método da Sı́ntese
Direta para um processo de 1a ordem com tempo morto
é simplesmente um controlador PI, onde
τp
1
Gc (s) =
1+
Kp(τc + τd)
τp s
{z
}
|
direta
sı́ntese Kc = Kp (ττcp+τd )
1
Gc (s) = Kc 1 +
τI = τp
τ s
|
{z I }
PI
c.1.2). processo de 2a ordem com tempo morto
Considere o processo de 2a ordem com tempo morto
Kpe−τd s
G(s) =
(τp1 s + 1)(τp2 s + 1)
Resolvendo para Gc (s)
Gc (s) =
Gc (s) =
Gc (s) =
1
e−τd s
(τp1 s + 1)(τp2 s + 1) e−τd s
=
G(s) (τc + τd )s
Kp e−τd s
(τc + τd )s
τp1τp2s2 + (τp1 + τp2)s + 1
1
K
(τc + τd)s
p
τp1 + τp2
1
τp1 τp2s
1+
+
Kp(τc + τd )
(τp1 + τp2 )s
τp1 + τp2
Veja que o controlador obtido pelo Método da Sı́ntese
Direta para um processo de 2a ordem com tempo morto
é simplesmente um controlador PID, onde
τp1 + τp2
1
τp1τp2 s
Gc (s) =
≡
1+
+
Kp (τc + τd )
(τp1 + τp2)s
τp1 + τp2
{z
}
|
sı́ntesedireta
p2

Kc = Kτpp1(τ+τ

+τ
c
d)
1
≡ Kc 1 +
+ τD s
τI = τp1 + τp2

τ τ
τI s
|
{z
}  τD = τp1p1+τp2p2
PID
c.2). processos com um RHP zero 1/a (a > 0)
Reformulando a resposta desejada para a malha fechada,
incluindo o RHP zero 1/a (a > 0), tem-se
−as + 1
τc s + 1
onde, agora, τc e a são parâmetros de projeto. Assim,
GCL(s) =
−as+1
Gc (s) =
1
GCL(s)
1
τc s+1
=
G(s) [1 − GCL(s)]
G(s) 1 − −as+1
τ s+1
c
Gc (s) =
1 −as + 1
G(s) (τc + a)s
Observe que Gc (s) assume a forma de um controlador PID
padrão:
1 −as + 1
Gc (s) =
G(s) (τc + a)s
De forma semelhante, chegar-se-á às expressões para os
controladores PID considerando processos de 1a e 2a ordem com um RHP zero 1/a (a > 0):
c.2.1). processo de 1a ordem com um RHP zero
Considere o processo de 1a ordem com RHP zero 1/a (a >
0)
Kp(−as + 1)
G(s) =
τp s + 1
O controlador obtido pelo Método da Sı́ntese Direta para
um processo de 1a ordem com um RHP zero é simplesmente um controlador PI, onde
τp
1
Gc (s) =
1+
K (τ + a)
τp s
{z
}
| p c
sı́ntese direta
Kc = Kp(ττcp+a)
1
Gc (s) = Kc 1 +
τI = τp
τ s
{z I }
|
PI
c.2.2). processo de 2a ordem com RHP zero
Considere o processo de 2a ordem com RHP zero 1/a (a >
0)
Kp(−as + 1)
G(s) =
(τp1 s + 1)(τp2 s + 1)
O controlador obtido pelo Método da Sı́ntese Direta para
um processo de 2a ordem com um RHP zero é simplesmente um controlador PID, onde
τp1 + τp2
1
τp1 τp2s
Gc (s) =
1+
+
≡
Kp(τc + a)
(τp1 + τp2)s
τp1 + τp2
|
{z
}
sı́ntesedireta
p2

Kc = Kτpp1(τ+τ

+a)
c
1
≡ Kc 1 +
+ τD s
τI = τp1 + τp2

τ τ
τI s
|
{z
}  τD = τp1p1+τp2p2
PID
Controle com Modelo Interno – IMC
Diferentemente do Método da Sı́ntese Direta, o Controle
com Modelo Interno (IMC) considera o modelo do processo como parte integrante do controlador. Com o uso
explı́cito do conhecimento de processo, o projeto do controlador:
• leva em conta as incertezas do modelo
• permite contrabalancear a performance com a robustez do sistema de controle, a variações no processo
e erros de modelagem
a). desenvolvimento da estrutura IMC
Quando o processo está no estado estacionário, e não
há perturbações, então as entradas e saı́das são iguais a
zero (em variáveis-desvio). Considere, por exemplo, que
se deseja mudar a saı́da, y(s), de modo que ela siga o seu
valor de referência, ysp (s). Isso pode ser feito projetando
um controlador em malha aberta, G?c (s), tal que uma
relação desejada entre a y(s) e ysp (s) seja especificada
e tenha caracterı́sticas dinâmicas apropriadas (resposta
rápida sem muita sobre-elevação, sem ”offset”, etc):
y(s)
= G?c(s)G(s)
ysp (s)
onde G(s) = GF (s)Gp (s)Gm (s) relaciona o processo e toda
a instrumentação envolvida, menos o controlador.
y
s p
(s )
G *c(s )
u (s )
P r Go c ( e s s ) s o
y (s )
No entanto, na presença de incertezas no modelo do processo e de perturbações, alguma forma de realimentação
é necessária para compensar o efeito delas sobre a resposta, y(s).
Embora o procedimento de projeto do IMC seja idêntico
ao procedimento de projeto de um controlador em malha aberta, a sua implementação resulta em um sistema
de controle por realimentação. Isto é, o IMC é capaz
de compensar para incertezas no modelo e perturbações,
enquanto que o controle em malha aberta não.
Além disso, para muitos processos, a estrutura IMC pode
ser formulada como a estrutura ”feedback”padrão. Com
isso, nesses casos, o IMC acaba por se assemelhar a
um controlador PID. Isso é muito saúdavel, já que é
possı́vel se utilizar equipamentos e algoritmos padrões
(controladores PID) para implementar conceitos de controle avançado.
O desenvolvimento da estrutura IMC parte da estrutura
do controle em malha aberta:
• considere que um modelo do processo, G̃(s), está
disponı́vel e recebe a mesma variável manipulada que
chega ao processo real (planta)
y
s p
(s )
G *c(s )
u (s )
P r Go c ( e s s ) s o
~
P r Go c ( e s s ) s o
y (s )
~
y (s )
s a íd a
d o p ro c e s s o
s a íd a
d o m o d e lo
• pode-se, agora, subtrair a resposta do processo (medida real) da resposta do modelo (predição do modelo) para determinar o erro do modelo
y
s p
(s )
G *c(s )
u (s )
P r Go c ( e s s ) s o
~
P r Go c ( e s s ) s o
y (s )
~
y (s )
+
-
~
y (s )-y (s )
e rro
d o m o d e lo
• a perturbação, também, pode ser incorporada ao sistema
d (s )
y
s p
(s )
G * c(s )
u (s )
P r Go c ( e s s ) s o
~
P r Go c ( e s s ) s o
+
~
y (s )
y (s )
+
+
-
~
y (s )-y (s )
e r r o
d o m o d e lo
Assim, o cálculo da incerteza do modelo também inclui perturbações não-medidas.
• essa informação pode ser agora usada pelo controlador para compensar os erros de modelagem e perturbações
y
s p
(s )
+
~
d (s )
y
s p
(s )
-
G *c(s )
u (s )
P r Go c ( e s s ) s o
~
~
~
d (s )= y (s )-y (s )
P r Go c ( e s s ) s o
+
~
y (s )
y (s )
+
+
-
Forma-se, assim, a estrutura IMC, onde
d(s)
˜
d(s)
G(s)
G̃(s)
G?c(s)
ysp (s)
ỹsp (s)
=
=
=
=
=
=
=
perturbação
perturbação estimada
processo (planta)
modelo do processo
controle com modelo interno
valor de referência
valor de referência modificado
(corrige para erro no modelo e perturbações)
u(s) = variável manipulada (saı́da do controlador)
y(s) = variável de saı́da (medida) do processo
ỹ(s) = variável de saı́da do modelo
b). casos limites
b.1). modelo perfeito, sem perturbações
Se o modelo é perfeito (G̃(s) = G(s)) e não há perturbações (d(s) = 0), então o sinal de realimentação é
zero e
y(s) = G?c (s)G(s)ysp (s)
Note que esta relação é exatamente igual à relação obtida
com o controle em malha aberta. Isto é interessante, pois
se o controlador, G?c(s), é estável e o processo, G(s), é
também estável, o sistema em malha fechada é estável
(lembre que um controlador por realimentação padrão
pode se tornar instável com uma escolha incorreta dos
valores de seus parâmetros).
b.2). modelo perfeito, com perturbações
Se o modelo é perfeito (G̃(s) = G(s)) e há perturbações
˜
(d(s) 6= 0), então o sinal de realimentação é igual a d(s)
=
d(s): realimentação é necessária para compensar o efeito
de perturbações não-medidas.
b.3). incerteza no modelo, sem perturbações
Se o modelo apresenta erros (G̃(s) 6= G(s)) e não há perturbações (d(s) = 0), então o sinal de realimentação é
˜
igual a d(s)
= [G(s) − G?c (s)]u(s): realimentação é necessária para compensar o efeito das incertezas no modelo.
Isso ilustra que, as razões para controle por realimentação
são:
• presença de perturbações não-medidas
• presença de incertezas no modelo
• respostas em malha fechada mais rápidas do que em
malha aberta
• estabilização de sistemas instáveis em malha aberta
c). controle IMC-PID
A estrutura IMC pode ser rearranjada para fornecer a estrutura PID padrão. Desta forma, consegue-se utilizar
explicitamente o modelo do processo em um controlador
PID:
y
s p
(s )
~
d (s )
y
s p
+
(s )
u (s )
G *c(s )
-
P r Go c ( e s s ) s o
~
~
~
d (s )= y (s )-y (s )
y
s p
(s )
+
e (s )
-
+
~
y
G
s p
(s )
+
~
y (s )
(s )
c
P r Go c ( e s s ) s o
(IM C )
u (s )
G *c(s )
y (s )
+
+
~
y (s )
+
-
d (s )
P r Go c ( e s s ) s o
+
+
y (s )
~
P r Go c ( e s s ) s o
(P ID )
A equivalência entre as duas estruturas acontece quando
a malha interna formada por G?c(s) e G̃(s) corresponde ao
controlador PID padrão igual a
u(s)
= Gc (s) =
e(s)
G?c (s) =
G?c (s)
ou
1 − G?c(s)G̃(s)
Gc (s)
1 + Gc (s)G̃(s)
Portanto, a seguinte relação em malha fechada para o
IMC pode ser obtida:
y(s) =
G?c(s)G(s)
ysp (s) +
?
1 + Gc (s)[G(s) − G̃(s)]
1 − G?c (s)G(s)
d(s)
1 + G?c (s)[G(s) − G̃(s)]
c.1). modelo perfeito, operação servo (d(s) = 0) ou
operação reguladora (ysp(s) = 0)
y(s) = G?c(s)G(s)ysp (s) + [1 − G?c (s)G(s)]d(s)
Se o modelo é perfeito (G̃(s) = G(s)), seja para operação
servo – deseja-se que y(s) = ysp (s) – ou operação reguladora – deseja-se que y(s) = 0, o controlador IMC deve
ser igual ao inverso do modelo do processo
G?c(s) =
1
controle perfeito
G̃(s)
Desta forma, com ou sem erro entre o processo e seu
modelo, o controlador IMC resultante pode ser inviável,
seja por ser instável ou requerer predição.
d). procedimento de projeto do IMC
O procedimento de projeto do IMC ocorre nas seguintes
etapas:
Etapa 1 desenvolva um modelo para o processo, G̃(s)
Etapa 2 fatore o modelo do processo em duas partes:
uma parte que possa ser invertida (parte boa do modelo – G̃−(s)) e outra parte que não possa ser invertida (parte ruim do modelo – G̃+ (s)). A parte ruim
do modelo é aquela que conterá quaisquer atraso
por transporte e zeros no semi-plano direito do plano
complexo (RHP zeros):
G̃(s) = G̃+(s)G̃− (s)
O objetivo dessa fatoração é garantir que o controlador projetado seja estável e não requera predição.
Etapa 3 forme o controlador IMC ideal. O controlador
IMC ideal é aquele formado pelo inverso da parte
que pode ser invertida do modelo do processo, G̃−(s)
(parte boa do modelo):
G?c (s) =
1
G̃− (s)
Evita-se, assim, que o controlador IMC, G?c (s), contenha elementos que o tornariam instável ou requeririam predição (atraso por transporte e RHP zeros do
G̃+(s)).
Etapa 4 adicione um filtro, F (s), para tornar o controlador próprio (uma função de transferência é própria
se a ordem do polinômio do denominador é maior ou
igual a ordem do polinômio do numerador);isto é, que
G?c(s) seja fisicamente realizável:
G?c(s) =
1
F (s)
G̃−(s)
O filtro, F (s), pode assumir as seguintes formas:
• variação degrau no valor de referência: normalmente o filtro assume a forma
1
F (s) =
(τc s + 1)r
onde r é selecionado para tornar o controlador
próprio ou que a ação derivativa ideal seja permitida (a ordem do numerador excede a ordem do
denominador em 1).
• variação rampa no valor de referência: aconselha-se utilizar o filtro
F (s) =
rτc s + 1
(τc s + 1)r
• rejeição a perturbações degrau na carga e
processos integradores ou instáveis: o filtro
recomendado é o
F (s) =
τn s + 1
(τc s + 1)r
onde τn é selecionado para cancelar a constante
de tempo mais lenta do processo.
Etapa 5 ajuste a constante de tempo do filtro, τc , para
selecionar a velocidade da resposta da malha fechada
• τc elevado → resposta lenta (mais robusta) em
malha fechada
• τc pequeno → resposta rápida em malha fechada
Etapa 6 realize simulações em malha fechada para ambas as situações de modelo perfeito e com incertezas.
Ajuste τc balenceando performance e robustez. Valores iniciais para τc estão na faixa de 1/3 a 1/2 da
constante de tempo dominante do processo.
d.1). modelo perfeito
y(s) = G̃+(s)F (s)ysp (s) + [1 − G̃+F (s)]d(s)
• operação servo, d(s) = 0: y(s) = G̃+(s)F (s)ysp (s)
• operação reguladora, ysp (s) = 0:
y(s) = [1 − G̃+F (s)]d(s)
Observe que, nestes casos, a parte ruim do modelo, G̃+ (s),
aparece na resposta da malha fechada: resposta inversa
para RHP zeros e tempo morto para atraso por transporte.
e). projeto do IMC-PID
A estrutura IMC pode ser usada para obter os ajustes
PID de um controlador Gc (s) a uma grande variedade de
modelos de processos.
e.1). processo de 1a ordem
Considere o processo de 1a ordem
G̃(s) =
Kp
τp s + 1
passo 1 encontre a função de transferência própria do
controlador IMC, G?c (s), que inclua um filtro F (s):
Kp
G̃(s) = G̃+(s)G̃− (s) = |{z}
1 ·
τp s + 1
G̃+ (s) | {z }
G̃− (s)
G?c (s) =
G?c (s) =
1
τp s + 1
1
F (s) =
G̃−(s)
Kp τc s + 1
1 τp s + 1
Kp τc s + 1
passo 2 encontre o controlador por realimentação equivalente, Gc (s), usando a transformação:
G?c (s)
Gc (s) =
=
1 − G?c(s)G̃(s)
1−
1 τp s+1
Kp τc s+1
1 τp s+1 Kp
Kp τc s+1 τp s+1
=
τp s + 1
Kpτc s
passo 3 rearranje a equação de Gc (s) para que fique semelhante a um PID. Neste caso, o controlador resultante
é um PI:
Kc = Kτppτc
1
1
τp
1+
≡ Kc 1 +
Gc (s) =
τI = τp
Kp τc
τp s
τ s
{z I }
|
{z
} |
IMC
PI
Observações Importantes:
• veja que o ganho proporcional Kc é inversamente relacionado a constante de tempo da malha fechada, τc ,
o que faz sentido: se τc é pequeno (resposta rápida),
o ganho proporcional deve ser alto; se τc é grande
(resposta lenta), o ganho proporcional deve ser pequeno
• observe que será necessário ajustar apenas um parâmetro: a constante de tempo do filtro, τc
• faz-se τI = τp e ajusta-se Kc ”on-line”até obter a
resposta em malha fechada desejada
Este procedimento pode ser usado para desenvolver o
controlador PID equivalente para outras funções de transferência.
Ajuste do Controlador IMC-PID (Gc (s)) para Processos Estáveis
e Integradores
G̃(s)
F (s)
Kc
τI
τD
τF
A
Kp
τp s+1
1
τc s+1
τp
Kpτc
τp
—
—
Ba
Kp
τp s+1
τn s+1
(τc s+1)2
2τp −τc
Kpτc
2τp τc −τc2
τp
—
—
C
Kp
(τp1 s+1)(τp2 s+1)
1
τc s+1
τp1 +τp2
Kpτc
τp1 + τp2
τp1 τp2
τp1 +τp2
—
D
Kp
τ s +2ζτp s+1
1
τc s+1
2ζτp
Kpτc
2ζτp
τp
2ζ
—
Eb
Kp
τ s +2ζτp s+1
1
(τc s+1)2
ζτp
Kpτc
2ζτp
τp
2ζ
τc
2
Fc
Kp(−βs+1)
τp2 s2 +2ζτp s+1
1
(τc s+1)
2ζτp
Kp(β+τc )
2ζτp
τp
2ζ
—
Gb,c
Kp(−βs+1)
τp2 s2 +2ζτp s+1
−βs+1
(−βs+1)(τc s+1)
2ζτp
Kp(2β+τc )
2ζτp
τp
2ζ
βτc
2β+τc
2 2
p
2 2
p
Ajuste do Controlador IMC-PID (Gc (s)) para
Processos Estáveis e Integradores
G̃(s)
F (s)
Kc
τI
τD
τF
H
Kp
s
1
τc s+1
1
Kpτc
—
—
—
Id
Kp
s
2τc s+1
(τc s+1)2
2
Kpτc
2τc
—
—
J
Kp
s(τp s+1)
1
τc s+1
1
Kpτc
—
τp
—
Kd
Kp
s(τp s+1)
2τc s+1
(τc s+1)2
2τc +τp
Kp τc2
2τc + τp
2τc τp
2τc +τp
—
Observações Importantes:
aO
controlador é projetado para melhorar a rejeição a
2
perturbações na carga: τn = 2τp ττcp−τc . Observe que desejase τn > 0, o que conduz a τc < 2τp .
bO
éh um iPID com atraso dinâmico: Gc (s) =
i
hcontrolador
2
1
I s+1
·
.
Kc τI τD s τ+τ
s
τ
s+1
I
F
c
Assume-se β > 0 (resposta inversa, RHP zeros).
dO
controlador é projetado para variação rampa no valor de referência. Também conduz a melhor rejeição a
perturbações.
e.2). processo de 1a ordem com tempo morto
Considere o processo de 1a ordem com tempo morto
Kpe−τd s
G̃(s) =
τp s + 1
passo 1 use aproximação
de Padé de 1a ordem para o
τd
− s+1
tempo morto e−τd s ≈ τd2s+1 , tal que agora
2
G̃(s) =
Kp(− τ2d s + 1)
(τp s + 1)( τ2d s + 1)
passo 2 fatore G̃(s)
τd
Kp
G̃(s) = G̃+ (s)G̃− (s) = (− s + 1) ·
τd
s + 1)
| 2 {z
} |(τp s + 1)(
{z 2
}
G̃+ (s)
G̃− (s)
passo 3 forme o controlador idealizado
G?c (s)
(τp s + 1)( τ2d s + 1)
1
=
=
G̃−(s)
Kp
passo 4 adicione um filtro F (s)
G?c(s)
(τp s + 1)( τ2d s + 1)
1
1
F (s) =
=
Kp
τc s + 1
G̃−(s)
Observe que, propositadamente, G?c(s) não é feita própria.
Do contrário não seria obtido um controlador PID. Usa-se
a opção derivativa, onde permite-se o numerador ser uma
ordem de grandeza maior do que o denominador.
passo 5 encontre o controlador PID equivalente Gc (s)
τ
Gc (s) =
Gc (s) =
Gc (s) =
G?c(s)
=
1 − G?c (s)G̃(s)
1−
(τp s+1)( 2d s+1) 1
Kp
τc s+1
τd
τ
(τp s+1)( 2 s+1) 1
Kp(− 2d s+1)
τ
Kp
τc s+1 (τp s+1)( 2d s+1)
(τp s + 1)( τ2d s + 1)
Kp(τc + 12 )s
1
τ τ s2
2 p d
+ (τp + 12 τd)s + 1
Kp(τc + 12 )s
Multiplicando a equação de Gc (s) por
τp + 21
τd
,
+ 12 τd
τp
encontra-se
os parâmetros do controlador PID
"
#
1
τp + 2 τd
1
τp τd s
Gc (s) =
1
+
+
≡
2τp + τd
Kp (τc + 21 τd )
(τp + 21 τd )s
|
{z
}
IMC

τp + 21 τd

 Kc =
Kp(τc + 12 τd )
1
+ τD s
≡ Kc 1 +
τI = τp + 12 τd

τI s
|
{z
}  τD = τp τd
2τp +τd
PID
Observações Importantes:
• recomenda-se que τc > 0, 8τd devido à aproximação
de Padé realizada
• observe que será necessário ajustar apenas um parâmetro: a constante de tempo do filtro, τc
τd
• faz-se τI = τp + 21 τd e τD = 2ττpp+τ
e ajusta-se Kc ”ond
line”até obter a resposta em malha fechada desejada
Este procedimento pode ser usado para desenvolver o
controlador PID equivalente para outras funções de transferência com tempo morto.
Ajuste do Controlador IMC-PID (Gc (s)) para
Processos Estáveis com Tempo Morto
G̃(s)
F (s)
Kc
τI
τD
τF
Notasa
A
Kpe−τd s
τp s+1
1
τc s+1
τp + 21 τd
Kp (τc + 12 τd )
τp + 12 τd
τp τd
2τp +τd
—
1
B
Kpe−τd s
τp s+1
1
τc s+1
τp
Kpτc
τp
—
—
2
C
Kpe−τd s
τp s+1
1
τc s+1
τp
Kp(τc +τd )
τp
—
—
3
D
Kpe−τd s
s
τn s+1
(τc s+1)2
2τc +τd
Kp (τc +τd )2
2τc + τd
—
—
3
τd
6
2τc2 − 6d
4τc +τd
τ2
Eb
Kpe−τd s
1
(τc s+1)2
τd
Kp(4τc +τd )
τd
2
4
Observações Importantes:
a
IMC-PID é baseado na aproximação de 1a ordem de Padé
para o tempo morto, a não ser que se diga o contrário:
1. G?c(s) é imprópria; recomendando-se τc > 0, 8τd
2. tempo morto é desprezado; recomenda-se τc > 1, 7τd
3. tempo morto é aproximado por aproximação de séries
de Taylor: (−τd s + 1)
4. uma aproximação de 2a ordem de Padé foi utilizada
para o tempo morto
b
O hcontrolador
éh um iPID com atraso dinâmico: Gc (s) =
i
2
1
I s+1
· τF s+1
.
Kc τI τD s τ+τ
Is
Em todos os casos recomenda-se fazer τc > 0, 2τp .
e.3). processo de 1a ordem instável
Considere o processo de 1a ordem instável, com pólo 1/τp
G̃(s) =
Kp
−τp s + 1
passo 1 encontre a função de transferência do controlador IMC, G?c (s),
G?c (s) =
1
(−τp s + 1) τn s + 1
F (s) =
Kp
(τc s + 1)2
G̃− (s)
Escolha um filtro de segunda ordem para tornar o controlador G?c (s) próprio, com numerador e denominador
de mesma ordem. Deve-se, agora, encontrar τn tal que
F (s = 1/τp) = 1:
τn (1/τp ) + 1
τc
F (s = 1/τp ) =
= 1 ∴ τn = τc
+2
[τc (1/τp )s + 1]2
τp
passo 2 após algum algebrismo, encontre o controlador
PID equivalente Gc (s)
−τp s+1 τn s+1
Gc (s) =
G?c(s)
Kp (τc s+1)2
=
p s+1 τn s+1
1 − G?c(s)G̃(s)
1 − −τK
(τc s+1)2
p
τn
(τn s + 1)
Kp (2τc − τn )
τ s
n
1
τn
1+
Gc (s) =
≡
Kp (2τc − τn )
τn s
|
{z
}
IMC
τn
( Kc =
1
Kp(2τc −τ
n)
≡ Kc 1 +
τc
τI = τn = τc τp + 2
τ s
{z I }
|
Gc (s) =
PI
Ajuste do Controlador IMC-PID (Gc (s)) para Processos Instáveis
G̃(s)
F (s)
Kc
τI
τD
Notas
A
Kp
−τp s+1
τn s+1
(τc s+1)2
τn
Kp(2τc −τn )
τn
—
1
B
Kp
(−τp1 s+1)(τp2 s+1)
τn s+1
(τc s+1)2
−τp1 (τn +τp2 )
Kpτc2
τn + τp2
τn τp2
τn +τp2
2
C
Kp(τp3 s+1)
(−τp1 s+1)(τp2 s+1)
τn s+1
(τc s+1)2
τn
—
2,3
−1
Kp
2τp1
1 + τc
Observações Importantes:
1. τn = τc
2. τn = τc
τc
τp
τc
τp1
+2
+2
3. controlador é um PI com filtro: Gc (s) = Kc
h
i
τp2 s+1
τp3 s+1
h
τI s+1
τI s
i
·
Método de Ajuste Baseado na Oscilação em Malha
Fechada
Este foi o primeiro método de ajuste dos parâmetros de
um PID amplamente utilizado. Ele foi apresentado por
Ziegler e Nichols em 1942.
a). método de Ziegler-Nichols em malha fechada
A técnica de ajuste de Ziegler-Nichols em malha fechada
(ou simplesmente método de Ziegler-Nichols – ZN) foi
talvez o primeiro método rigoroso de ajuste de controladores PID. A técnica não é hoje mais utilizada extensamente, porque o comportamento da malha fechada tende
a se tornar oscilatório e sensı́vel a incertezas. Ela é apresentada mais por razões históricas e porque ela é similar
às técnicas usadas em controle auto-ajustáveis (”autotuning”).
O método de ZN consiste nas seguintes etapas:
1. com controle proporcional apenas (τI → ∞ e τD =
0), aumenta-se o valor do ganho proporcional Kc até
surgir uma oscilação contı́nua da variável controlada.
d (s )
y
e (s )
+
s p
(s )
-
K
G
c
c
u (s )
(s )
= K
P r Go c ( e s s ) s o
+
+
y (s )
u
2. o valor do ganho proporcional que provoca essa oscilação contı́nua é chamado de ganho crı́tico ou
último, Ku. Com esse valor do ganho proporcional,
a malha se encontra no limite de estabilidade (marginalmente estável) com um controlador proporcional.
O perı́odo de oscilação observado quando Kc = Ku
(o intervalo de tempo entre dois picos sucessivos)
chama-se perı́odo crı́tico ou último, Pu .
Oscilação Contínua com Controle Proporcional: Kc=Ku
3
P
2.5
u
2
y
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
0
5
10
15
tempo
3. os ajustes de ZN são calculados a partir de Ku e Pu ,
conforme mostra a tabela
Ajuste de ZN em Malha Fechada
Controlador
Kc
τI
τD
P
0, 5Ku
—
—
PI
0, 45Ku
Pu
1,2
—
PID
0, 6Ku
Pu
2
Pu
8
Observações Importantes:
• normalmente, o distúrbio na malha é introduzido pelo
valor de referência. Pode-se variar o seu valor com
pequenos degraus em torno da condição de operação
normal do processo. Cuidado especial deve ser adotado quando o ganho proporcional aumenta, pois isso
pode levar a válvula e o sensor a saturação.
• as relações de sintonia propostas por Ziegler e Nichols foram desenvolvidas para fornecer uma razão
de declı́nio 1/4.
• o ajuste de ZN freqüentemente conduz a malha a
oscilações indesejáveis para um processo tı́pico.
• os parâmetros de ajuste também não são muito robustos; isto é, são muito sensı́veis às incertezas do
processo.
• a malha pode se tornar instável com a mudança das
condições operacionais.
b). método de Tyreus e Luyben em malha fechada
Tyreus e Luyben sugeriram regras de ajuste de parâmetros
que provocam menos oscilações e que são menos sensı́veis
às mudanças nas condições operacionais e às incertezas
do processo:
Ajuste de Tyreus-Luyben em Malha Fechada
Controlador
Kc
τI
τD
PI
Ku
3,2
2, 2Pu
—
PID
Ku
2,2
2, 2Pu
Pu
6,3
Em ambos os casos, observe que a ação proporcional é
reduzida quando ação integradora é adicionada (PI). Já
quando a ação derivativa é incorporada, pode-se elevar
o efeito da ação proporcional, conseguindo uma resposta
mais rápida (PID).
Método de Ajuste Baseado na Curva de Reação de
Processo
O método de ajuste de ZN é baseado em testes que
forçam o processo a oscilar continuamente. O grande
problema desse procedimento é levar o sistema ao limite
da instabilidade, além de necessitar de um considerável
intervalo de tempo para obter a oscilação contı́nua.
Uma alternativa a esse método foi proposta por Cohen
e Coon, em 1953, que apresentaram relações de projeto
baseadas em modelos de processos obtidos a partir de
teste degrau em malha aberta.
a). método de Cohen-Coon (CC)
O procedimento de Cohen e Coon ficou conhecido como
Método da Curva de Reação de Processo. A aplicação
do método baseia-se nos seguintes procedimentos:
• abra-se a malha entre o controlador e o elemento
final de controle.
• introduz-se uma perturbação degrau de amplitude A
na variável que atua sobre o elemento final de controle.
• registra-se o valor da variável de saı́da com o tempo.
A curva y(t) é a chamada Curva de Reação de
Processo. A função de transferência entre y(s) e
u(s) chama-se Função de Transferência da Malha
Aberta
y(s)
= G(s) = Gf (s)Gp (s)Gm (s)
u(s)
e representa a função de transferência do processo
mais a instrumentação pertinente, menos o controlador.
A
y
e (s )
+
s p
(s )
-
G
c
d (s )
u (s )
P r Go c ( e s s ) s o
(s )
+
+
y (s )
Cohen e Coon observaram que uma grande variedade de
processos possuem curvas de reação de processo semelhantes e com forma S chamada sigmoidal
Curva de Reação de Processo: resposta ao degrau
350
y
300
250
200
150
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
tempo
Esta curva pode ser adequadamente aproximada pela resposta ao degrau de um sistema de primeira ordem com
tempo morto (”FOPDT”)
y(s)
Kp e−τd s
= G(s) ≈
u(s)
τp s + 1
Os parâmetros Kp, τp e τd podem ser estimados a partir da
curva de reação do processo, seguindo os passos abaixo:
1. Kp – ganho estacionário do processo
ele pode ser facilmente determinado lendo-se o valor
final de y(t) e calculando
Kp =
∆y
B
=
∆u
A
Curva de Reação de Processo: resposta ao degrau
350
300
u
1 5 0
B
1 0 0
0
y
A
250
t
200
150
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
tempo
2. τp – constante de tempo do processo
ela é calculada a partir da inclinação, S, da reta tangente ao ponto de inflexão de y(t)
∆y
B
=
S
S
Lembre que, para a resposta ao degrau de um sistema
de 1a ordem, a maior inclinação da reta tangente
τp =
ocorre a t = 0 (ou a t = τd, quando com tempo
morto), sendo igual a
S=
∆y
B
=
τp
τp
Curva de Reação de Processo: resposta ao degrau
350
reta tangente ao
ponto de inflexão
300
y
B
250
S=B/τ
p
200
τd
τ
p
resposta real
1a ordem + tempo morto
150
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
tempo
A presença de ruı́dos de medida é a principal desvantagem em utilizar a inclinação da reta tangente no
ponto de inflexão em y(t) para determinar τp . Tornase muito difı́cil identificar o ponto de inflexão.
3. τd – tempo morto do processo
tempo decorrido do inı́cio da perturbação até o inı́cio
em que a resposta sente a perturbação. Ele é encontrado a partir da interseção da reta tangente com a
abscissa, sendo considerado tempo morto aparente.
Com base no modelo aproximado (primeira ordem com
tempo morto), Cohen e Coon propuseram relações de
projeto baseadas em uma resposta com 1/4 de razão de
declı́nio (como Ziegler e Nichols):
Ajuste de Cohen-Coon em Malha Aberta
Curva de Reação de Processo
Controlador
P
PI
Kc
1 τp
Kp τd
1 τp
Kp τd
PD
1 τp
Kp τd
PID
1 τp
Kp τd
1+
9
10
5
4
4
3
τd
3τp
+
τd
12τp
+
τd
6τp
+
τd
4τp
τI
τD
—
—
d /τp
τd 30+3τ
9+20τd /τp
—
—
6−2τd /τp
τd 22+3τ
d /τp
32+6τd /τp
τd 13+8τ
d /τp
4
τd 11+2τ
d /τp
b). método de Ziegler-Nichols (ZN)
Ziegler e Nichols também obtiveram diferentes expressões
para o ajuste dos parâmetros dos controladores, através
de um procedimento semelhante ao utilizado por Cohen
e Coon. Os resultados foram os seguintes:
Ajuste de Ziegler-Nichols em Malha Aberta
Curva de Reação de Processo
Controlador
Kc
τI
τD
P
1 τp
Kp τd
—
—
PI
0,9 τp
Kp τd
3, 3τd
—
PID
1,2 τp
Kp τd
2τd
0, 5τd
Observações Importantes:
• um problema importante nesses métodos é que eles
normalmente não são muito robustos; isto é, pequenas variações nos parâmetros do processo podem
causar a instabilidade do sistema em malha fechada.
• esses métodos utilizam apenas um ponto para estimar
a constante de tempo, τp .
• para processos que apresentam atraso por transporte
muito pequeno; isto é, τd próximo de zero, a curva
de reação do processo fica semelhante à resposta ao
degrau de um sistema de primeira ordem simples. Os
ajustes de CC e ZN indicarão um valor extremamente
elevado de Kc . Escolhe-se o maior valor possı́vel para
reduzir o desvio permanente, quando um controlador
proporcional for empregado.
Modelos Empı́ricos
Para muitos processos é mais vantajoso, por questão de
tempo e/ou esforço, desenvolver modelos empı́ricos do
que fundamentais. Particularmente, se o interesse principal é ajustar uma malha de controle especı́fica, é mais interessante obter um modelo entrada-saı́da, do tipo função
de transferência, a partir de um teste na planta.
O teste na planta mais utilizado é realizar uma perturbação degrau na variável manipulada de interesse (saı́da
do controlador) e observar a resposta da saı́da medida do
processo. A partir de então, um modelo é desenvolvido
de modo a obter a melhor semelhança entre a saı́da do
modelo e a saı́da do processo observada.
Uma das principais considerações na hora de desenvolver um modelo entrada-saı́da é selecionar o melhor pareamento (casamento) entre as possı́veis variáveis de entrada
e saı́da do processo.
Feita essa seleção, traz-se o processo para uma condição
estacionária consistente e desejável, antes da perturbação
degrau ser aplicada. Uma importante decisão diz respeito
a amplitude do degrau a ser implementado na variável de
entrada:
• se o degrau tem amplitude muito pequena, a saı́da
medida pode não mudar significativamente para desenvolver o modelo. Este fato é particularmente importante quando o sinal medido apresenta muito ruı́do. Neste caso, a amplitude do degrau na entrada
deve ser tal que a relação sinal de saı́da / ruı́do seja
alta o suficiente para se obter um bom modelo.
• se o degrau tem amplitude muito elevada, a variável
de saı́da pode variar tanto, que o produto fica fora
de especificação durante muito tempo, enquanto o
teste é realizado (claramente, essa não é uma solução
economicamente recomendável). Também, se o degrau é elevado, efeitos não-lineares podem predominar, conduzindo o processo a condições operacionais
bem diferentes das desejadas.
Claramente, a perturbação deve ser de tal magnitude que
seja possı́vel observar o comportamento da variável de
saı́da (ela deve ir acima do ruı́do), mas não tão elevada de modo a provocar grandes alterações no seu valor
(causando problemas econômicos e/ou produzindo efeitos
não-lineares significativos).
O modelo mais utilizado para o projeto de sistemas de
controle é o modelo representado por uma função de
transferência de primeira ordem com tempo morto.
a). sistema de 1a ordem com tempo morto:
resposta ao degrau
A resposta ao degrau de amplitude A de um sistema de
1a ordem com tempo morto
y(s)
Kp e−τd s
= G(s) =
u(s)
τp s + 1
tem a seguinte expressão:

 0
y(t) =
−
 Kp A 1 − e
t−τd
τp
, 0 ≤ t < τd
, t ≥ τd
Os três parâmetros do processo Kp, τp e τd podem ser
estimados a partir de um único teste na planta:
• o ganho do processo, Kp, é obtido calculando-se a
razão entre o variação total da resposta ao degrau,
∆y, e a variação total da entrada perturbada com
um degrau de amplitude A, ∆u = A
• o tempo morto, τd , corresponde ao intervalo de
tempo observado entre o instante inicial da perturbação degrau e o momento inicial quando a resposta
começa a se alterar
Diversos métodos para determinar a constante de tempo
do sistema, τp, podem ser utilizados:
a.1). tempo para atingir 63,2% da variação final da
resposta
Fazendo-se t = τp + τd na equação da resposta ao degrau,
de um sistema de 1a ordem com tempo morto, obtém-se
h
i
τ +τ −τ
− p τpd d
−(1)
= Kp A 1 − e
y(τp + τd ) = Kp A 1 − e
y(τp + τd ) = 0, 632KpA = 0, 632∆y = 0, 632B
Portanto, t63,2% = τp + τd corresponde ao intervalo de
tempo para a resposta do sistema atingir 63,2% de sua
variação final.
Curva de Reação de Processo: resposta ao degrau
350
300
y
B
250
0,632 B
200
τ
τ
p
d
150
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
tempo
a.2). método da inclinação máxima
A máxima inclinação da reta tangente a resposta ao degrau, aplicado a t = 0, de um sistema de primeira ordem
com tempo morto ocorre em t = τd :
∆y
Kp ∆u
B
=
=
S
S
S
Portanto, a maior inclinação à curva de reação de processo, y(t), é utilizada na determinação de τp . Essa maior
inclinação ocorre no ponto de inflexão de y(t), sendo igual
a S.
τp =
Curva de Reação de Processo: resposta ao degrau
350
reta tangente ao
ponto de inflexão
300
y
B
250
S=B/τ
p
200
τd
τ
p
resposta real
1a ordem + tempo morto
150
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
tempo
Observe que, os dois métodos de cálculo de τp anteriores
são baseados em apenas um ponto da curva de reação de
processo.
a.3). método com dois pontos
Os métodos a seguir utilizam dois pontos da curva de
reação do processo para a determinação de τp .
a.3.1). tempo para atingir 28,3% e 63,2% da
variação final da resposta
A constante de tempo τp e o tempo morto τd podem ser
obtidos das seguintes relações
τp = 1, 5(t63,2% − t28,3% )
τd = t63,2% − τp
onde t28,3% e t63,2% são os tempos para atingir 28,3% e
63,2% da variação final da resposta, respectivamente.
Curva de Reação de Processo: resposta ao degrau
340
320
300
280
B
y
260
0,632 B
240
220
0,283 B
200
t
t28,3%
180
63,2%
160
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
tempo
a.3.2). tempo para atingir 35,3% e 85,3% da
variação final da resposta
Sundaresan e Krishnaswamy, em 1977, propuseram o cálculo
de τp e τd a partir de dois pontos da curva de reação do
processo, utilizando as seguintes relações
τp = 0, 67(t85,3% − t35,3% )
τd = 1, 3t35,3% − 0, 29t85,3%
onde t35,3% e t85,3% são os tempos para atingir 35,3% e
85,3% da variação final da resposta, respectivamente.
Curva de Reação de Processo: resposta ao degrau
350
300
y
B
0,853 B
250
0,353 B
200
t
t
35,3%
150
−0.5
0
0.5
85,3%
1
1.5
2
2.5
tempo
a.4). regressão linear
Pode-se determinar a constante de tempo ajustando os
pontos da curva de reação do processo a uma linha reta.
Para tanto, rearranja-se a solução ao degrau de um sistema de primeira ordem com tempo morto, tal que
t−τd
t−τd
−
−
y(t) = KpA 1 − e τp
= y∞ 1 − e τp
t−τ
y∞ − y(t)
− τp d
= e
y∞
y∞ − y(t)
t
τd
= − +
ln
y∞
τp
τp
onde y∞ = KpA = B é o valor final da resposta do sistema,
em variável-desvio. y(t) também está em variável-desvio.
Os parâmetros do modelo de primeira ordem com tempo
morto são assim calculados:
• o ganho do processo, Kp, é obtido calculando-se
Kp =
y∞
A
• a constante de tempo, τp , é calculada do coeficiente angular da reta ajustada, α,
τp = −
1
α
• o tempo morto, τd , é calculado do coeficiente linear
da reta ajustada, β,
τd = βτp
Regressão Linear
2
resposta real
regressão linear
τ /τ
1
d p
∞
−2
ln(y −y/y )
−1
∞
0
−3
α = −1/τ
p
−4
−5
−6
0
0.5
1
1.5
tempo
2
2.5
Após o ajuste linear, obtém-se o seguinte modelo de primeira ordem com tempo morto, representado na figura
abaixo e comparado à curva de reação de processo
Curva de Reação do Processo: resposta ao degrau
350
y
300
250
200
resposta real
regressão linear: 1a ordem+tempo morto
150
0
0.5
1
1.5
tempo
2
2.5
Método de Ajuste Baseado na Minimização da
Integral do Erro
Os parâmetros de ajuste baseados na razão de declı́nio
igual a 1/4 não são únicos.
Na tentativa de criar relações de projeto únicas, foram
desenvolvidos critérios de performance da malha fechada
que minimizavam o desvio entre o valor de referência e o
valor da variável controlada, ou o erro.
Como o erro é uma função do tempo, a soma do erro
a cada instante deve ser minimizada. Como as relações
de projeto pretendem minimizar a integral do erro, este
método é conhecido com Minimização da Integral do
Erro.
e (t)
o p . r e g u la d o r a
0
t
in te g r a l d o e r r o
e (t)
o p . s e rv o
0
in te g r a l d o e r r o
1
t
Como a integral do erro não pode ser minimizada diretamente, pois um erro negativo muito grande seria o
mı́nimo, são utilizadas diferentes formulações para a integral:
a.1). integral do erro absoluto (”IAE”)
IAE =
Z
∞
|e(t)|dt
0
O IAE é utilizado principalmente para suprimir erros pequenos. Lembrando que o e(t) = ysp (t) − y(t).
a.2). integral do quadrado do erro (”ISE”)
ISE =
Z
∞
e2 (t)dt
0
O ISE é utilizado principalmente para suprimir erros maiores, pois contribuem mais para o valor da integral do que
|e(t)| < 1. Esses erros maiores normalmente ocorrem no
inı́cio da resposta, do que erros pequenos, que ocorrem
ao final da mesma.
Entretanto, na tentativa de reduzir os erros iniciais, o
critério ISE resulta em ganhos proporcionais maiores e
respostas mais oscilatórias (razão de declı́nio alta), com
o erro oscilando ao redor de zero por um tempo relativamente longo.
Este fenômeno sugere que o critério de performance deveria conter uma penalidade que incluı́sse o tempo de
resposta.
a.2). integral do erro absoluto ponderado pelo
tempo (”ITAE”)
IT AE =
Z
∞
t|e(t)|dt
0
Esse critério é principalmente utilizado para suprimir erros
que persistem por um longo tempo, ampliando o efeito
mesmo dos pequenos erros no valor da integral.
a.2). integral do quadrado do erro ponderado pelo
tempo (”ITSE”)
IT SE =
Z
∞
te2(t)dt
0
Observações Importantes:
• os critérios de performance da integral do erro utilizam toda a resposta da malha fechada, indo de t = 0
até o novo estado estacionário.
• a menos que limt→∞ e(t) = 0, os ı́ndices de performance tendem a infinito.
• quando limt→∞ e(t) não tende a zero, pode-se definir
o erro como
e(t) = y(∞) − y(t)
Desta forma tem-se ı́ndices de performance finitos.
Este é o caso quando não se usa ação integral, onde
o erro não é forçado a zero.
• diferentes critérios de performance conduzem a diferentes projetos de controladores.
• a forma da perturbação considerada (degrau, rampa,
etc.) também afeta os parâmetros do controlador
projetado.
• o modo de operação da malha de controle (op. reguladora ou op. servo) conduz a projetos diferentes.
Fórmulas de ajuste para atender os critérios de performance da integral do erro foram calculadas para variações
degrau na carga e no valor de referência, considerando o
modelo do sistema como de primeira ordem com tempo
morto (Gp (s) = Gd(s)) e controlador PID:
Fórmulas para a Minimização do Erro Integral
Operação Servo
Modelo do Processo
Controlador PI
Integral do Erro
b1
a1 τd
Kc = Kp τp
τI =
τp
a2 +b2
τd
τp
Controlador PID
Integral do Erro
b1
a1 τd
Kc = K
τp
p
τI =
τp
a2 +b2
τD = a3τp
τd
τp
b 3
τd
τp
para 0, 1 ≤ τd/τp ≤ 1, 0
G(s) =
Kp e−τds
τp s+1
1
τI s
Gc (s) = Kc 1 +
a1 =
b1 =
IAE
0,758
-0,861
a2 =
b2 =
1,02
-0,323
Gc (s) = Kc 1 +
1
τI s
+ τD s
ITAE
0,586
-0,916
1,03
-0,165
a1 =
b1 =
IAE
1,086
-0,869
ITAE
0,965
-0,855
a2 =
b2 =
0,740
-0,130
0,796
-0,147
a3 =
b3 =
0,348
0,914
0,308
0,9292
Fórmulas para a Minimização do Erro Integral
Operação Reguladora
Modelo do Processo
G(s) =
Controlador P
Integral do Erro
b
a
Kc = Kp ττdp
Controlador PI
Integral do Erro
b1
a1 τd
Kc = Kp τp
τI =
τp
a2
b 2
τd
τp
Controlador PID
Integral do Erro
b1
a1 τd
Kc = Kp τp
τI =
τp
a2
b 2
τd
τp
τD = a3τp
b 3
τd
τp
para 0, 1 ≤ τd/τp ≤ 1, 0
Kp e−τds
τp s+1
Gc (s) = Kc
a=
b=
ISE
1,411
-0,917
IAE
0,902
-0,985
Gc (s) = Kc 1 +
a1 =
b1 =
ISE
1,305
-0,959
a2 =
b2 =
0,492
0,739
Gc (s) = Kc 1 +
1
τI s
ITAE
0,490
-1,084
IAE
0,984
-0,986
ITAE
0,859
-0,977
0,608
0,707
0,674
0,680
1
τI s
+ τD s
a1 =
b1 =
ISE
1,495
-0,945
IAE
1,435
-0,921
ITAE
1,357
-0,947
a2 =
b2 =
1,101
0,771
0,878
0,749
0,842
0,738
a3 =
b3 =
0,560
1,006
0,482
1,137
0,381
0,995