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Luiz Eduardo Teixeira Brandão
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 9824825/CA
UMA APLICAÇÃO DA TEORIA DAS OPÇÕES REAIS EM
TEMPO DISCRETO PARA AVALIAÇÃO DE UMA
CONCESSÃO RODOVIÁRIA NO BRASIL
Tese de Doutorado
Tese apresentada ao Programa de Pós-graduação
em Engenharia de Produção do Departamento de
Engenharia Industrial da PUC-Rio como parte dos
requisitos para obtenção do titulo de Doutor em
Engenharia de Produção.
Orientador: José Paulo Teixeira
Rio de Janeiro
Dezembro de 2002
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Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou
parcial do trabalho sem autorização da Universidade, do autor e
do orientador.
Luiz Eduardo Teixeira Brandao
Engenheiro Civil pela PUC-Rio, Mestre em Engenharia Civil
pela Universidade de Stanford (1977) e Mestre em
Administração de Empresas (MBA) pela Stanford Graduate
School of Business (1979). Trabalhou na Shell Brasil e foi
Diretor Financeiro da Encal Consultoria e Aerolevantamentos
S/A. Foi professor do IAG da PUC-Rio e do FGV Management.
Atualmente é consultor de empresas e Professor Visitante da
McCombs School of Business da Universidade do Texas em
Austin.
Ficha Catalográfica
Brandão, Luiz Eduardo Teixeira
Uma aplicação da teoria das Opções Reais em tempo
discreto para avaliação de uma concessão rodoviária no
Brasil / Luiz Eduardo Teixeira Brandão; orientador: José
Paulo Teixeira. – Rio de Janeiro: PUC, Departamento de
Engenharia Industrial, 2002.
[14], 118 f. : il. ; 30 cm
Tese (doutorado) – Pontifícia Universidade Católica do
Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Industrial.
Inclui referências bibliográficas.
1. Engenharia industrial – Teses. 2. Finanças. 3. Opções
reais. 4. Análise de projetos. 5. Investimento sob incerteza.
6. Análise de decisões. I. Teixeira, José Paulo. II. Pontifícia
Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de
Engenharia Industrial. III. Título.
CDD: 658.5
À minha família
Agradecimentos
Ao meu orientador Prof. José Paulo Teixeira pela orientação e auxílio nesta
caminhada,
Ao meu co-orientador Prof. Tara Nanda K. Baidya, pelo incentivo, exemplo e
apoio inestimável,
Ao Prof. Jim Dyer, que me recebeu na Universidade do Texas em Austin e abriu
as portas para novos conhecimentos,
Aos professores e colegas José Carlos Abreu Filho, Celso Funcia Lemme,
Roberto Montezano, Roberto Moreno, Nelson Leão Pedrozo e Walter Lee Ness,
que participaram da Comissão examinadora,
À CAPES, CNPq e PUC-Rio, pelos auxílios concedidos, sem os quais este
trabalho não teria sido possível,
Às funcionárias Claudia Teti, do Dept. de Engenharia Industrial, e Etiene Farias e
Magda Flegr do IAG PUC-Rio, pela colaboração e ajuda,
Aos meus pais, Desio (in memorian) e Ilvaita Brandão, pelo carinho e pela
formação que recebi,
À minha esposa Sonia, pelo apoio incansável e incentivo nas horas difíceis, e aos
meus filhos, Luiz Felipe e João Pedro, pela compreensão.
Resumo
Brandão, Luiz Eduardo Teixeira; Teixeira, José Paulo. Uma aplicação da
teoria das opções reais em tempo discreto para avaliação de uma
concessão rodoviária no Brasil. Rio de Janeiro, 2002, 132p.Tese de
Doutorado, Departamento de Engenharia Industrial, Pontifícia Universidade
Católica do Rio de Janeiro.
Um dos problemas da avaliação por Opções Reais é a exigência de se ter
mercados completos para que possam ser utilizados métodos baseados no
princípio da não arbitragem para a sua solução. Outro problema é a inclusão de
duas ou mais fontes de incerteza na modelagem matemática do projeto, que
aumenta a complexidade do problema, especialmente quando essas incertezas
envolvem risco privado, não correlacionado com o mercado. Este trabalho
sintetiza conceitos aplicados a Teoria das Opções Reais desenvolvidos por
diversos autores com ferramentas de Decision Analysis para propor uma
metodologia de avaliação de projetos em tempo discreto utilizando algoritmo
próprio aplicado a modelo de árvore de decisão com malha binomial que pode ser
implementada utilizando-se programas de software padrão já existentes no
mercado. O método é computacionalmente intenso, mas de modelagem mais
simples e intuitiva que os métodos tradicionais de Opções Reais, permitindo assim
uma maior flexibilidade na elaboração do modelo. Esta metodologia é aplicada ao
problema de valoração de uma concessão rodoviária no Brasil com flexibilidade
gerencial em mercados incompletos e risco político.
Palavras-chave
Finanças; Opções Reais; Análise de Projetos; Investimento sob Incerteza;
Análise de Decisões.
Abstract
Brandão, Luiz Eduardo Teixeira; Teixeira, José Paulo. A discrete time
application of Real Options theory for the valuation of a highway
concession project in Brazil. Rio de Janeiro, 2002, 132p. Tese de
Doutorado, Departamento de Engenharia Industrial, Pontifícia Universidade
Católica do Rio de Janeiro.
One of the problems of the evaluation for Real Options is the need to have
complete markets so that non arbitrage methods can be used for its solution. When
that is not the case, or when the determination of a dynamic portfolio of market
securities that replicate the stochastic characteristics of the project is not feasible
for any reason, the alternative is to use an exogenous and arbitrary discount rate.
Another problem is the inclusion of two or more uncertainty sources in the
mathematical modeling of the project, which brings a certain degree of
complexity to the problem, especially when those uncertainties involve private
risk, not correlated with the market. This work synthesizes some Real Options
Theory concepts developed by several authors with Decision Analysis tools to
propose a method for evaluation of projects in incomplete markets by dynamic
programming using an innovative algorithm to model the project’s stochastic
process with a binomial lattice and decision tree. The method is computationally
intense, but simpler and more intuitive than that the traditional methods of Real
Options, allowing for a greater flexibility in the modeling of the problem.
This methodology is applied to the problem of the valuation a highway
concession in Brazil with managerial flexibility in incomplete markets and
political risk.
Keywords
Finance; Real Options; Valuation; Capital Budgeting, Investment under
Uncertainty; Decision Analysis.
Sumário
1 Introdução
15
1.1. A Decisão de Investimento na Empresa
15
1.2. Programa de Privatização de Rodovias no Brasil
16
1.3. Posicionamento da Tese no Contexto Científico e Tecnoló-gico
17
1.4. Estrutura da Tese
18
2 Revisão da Literatura
19
2.1. Método do Fluxo de Caixa Descontado (FCD)
2.1.1. Taxa Ajustada ao Risco (CAPM)
2.1.2. Equivalente Certo
2.1.3. Probabilidades Neutras a Risco
2.1.4. Limitações do Método do Fluxo de Caixa Descontado
19
20
20
21
22
2.2. Método das Opções Reais
2.2.1. Opções Reais em Mercados Completos
2.2.2. Opções Reais em Mercados Incompletos
2.2.3. Contingent Claims Analysis
2.2.4. Programação Dinâmica
2.2.5. Decision Tree Analysis (DTA)
2.2.6. O Modelo Binomial
24
26
26
28
33
35
37
3 Modelo Teórico
40
3.1. Determinação da Taxa de Desconto em Mercados Incompletos
3.1.1. Premissa Primeira
40
42
3.2. O Processo Estocástico do Valor do Projeto
3.2.1. Premissa Segunda
42
46
3.3. Modelagem do Risco Privado
3.3.1. Premissa Terceira
3.3.2. Investidor Neutro a Risco Privado
3.3.3. Investidor Avesso ao Risco Privado
48
49
49
50
3.4. Um Modelo em Tempo Discreto
3.4.1. Modelagem Determinística
3.4.2. Simulação de Monte Carlo (SMC)
3.4.3. Árvore Binomial do Projeto
3.4.4. Árvore de Decisão do Projeto
3.4.5. Generalização da Fórmula do Valor do Projeto
3.4.6. Modelagem das Opções
3.4.7. Exemplo
54
55
56
59
62
64
65
68
4 Aplicação ao Caso de uma Concessão Rodoviária
73
4.1. Introdução
73
4.2. Histórico
74
4.3. A Concessão Rodoviária
77
4.4. O Projeto
4.4.1. Investimento e Depreciação
4.4.2. Custos Operacionais
4.4.3. Plano Financeiro
78
79
79
80
4.5. Análise de Risco
4.5.1. Risco de tráfego
4.5.2. Risco Cambial
4.5.3. Riscos de Inflação e taxa de juros
4.5.4. Risco Político
80
80
81
83
84
4.6. Modelo Financeiro
86
4.7. Flexibilidade Gerencial do Projeto: Opções Reais
4.7.1. Opção de Abandono
4.7.2. Opção de Expansão
89
89
91
4.8. Solução
4.8.1. Modelagem Determinística: FCD sem Opções
4.8.2. Determinação da Volatilidade do Projeto
4.8.3. Árvore do Projeto
4.8.4. Modelo 1 - Opção de Expansão
4.8.5. Modelo 2 - Opção de Expansão e de Abandono
4.8.6. Modelo 3 - Opção de Expansão e de Abandono com
Risco Político
94
94
95
96
98
102
105
5 Conclusões e Recomendações
109
5.1. Conclusões
109
5.2. Limitações da metodologia
111
5.3. Recomendações para trabalhos futuros:
5.3.1. Modelagem de Opções Reais
5.3.2. Ferramentas de Análise
112
112
113
6 Apêndices
114
6.1. Processos Estocásticos
114
6.2. Programação Dinâmica com Processos Estocásticos Distintos
115
6.3. Transformação Algébrica da Árvore Binomial
117
6.4. Código VBA
6.4.1. Determinação da Volatilidade do Projeto através da SMC
6.4.2. Exemplo de 4 Períodos: Valor do Projeto
6.4.3. Exemplo de 4 Períodos: Valor do Projeto com Opção de
Abandono
123
123
124
6.5. Simulação de Monte Carlo
6.5.1. Risco de Tráfego
6.5.2. Risco de Câmbio
6.5.3. Risco de Taxa de Juros
126
126
126
127
6.6. Verificação da Premissa de Normalidade dos Retornos
128
7. Referências Bibliográficas
130
124
Lista de Figuras
Figura 1 – Projeto com dois estados da natureza
35
Figura 2 – Portfólio livre de Risco
36
Figura 3 – Modelo de Cox, Ross e Rubinstein
37
Figura 4 – Modelo Binomial de um Período
38
Figura 5 – Strip de Contratos Futuros
45
Figura 6 – Nível de Tolerância ao Risco
53
Figura 7 – Dinâmica da Evolução do Valor do Projeto
56
Figura 8 – Árvore Binomial Recombinante
59
Figura 9 – Árvore Binomial com Dividendos
60
Figura 10 – Pseudo Fluxos de Caixa
63
Figura 11 – Valor do Projeto em (T,S)
65
Figura 12 – Árvore de Decisão do Projeto
69
Figura 13 – Modelo do Projeto com Opção de Abandono
70
Figura 14 – Projeto com Opção de Abandono
70
Figura 15 – Modelo do Projeto com Opção de Abandono e Expansão
71
Figura 16 – Projeto com Opção de Abandono e Expansão
72
Figura 17 – Participação do Transporte Rodoviário de Carga no Total
76
Figura 18 – Carga transportada por modalidade no Brasil (19901999)
76
Figura 19 – Variação Anual do PIB (1970 - 2001)
81
Figura 20 – Variação Mensal da Taxa de Câmbio (1994-2002)
82
Figura 21 – LIBOR 6 meses
84
Figura 22 – Dinâmica do Valor do Projeto
95
Figura 23 – Modelo Binomial do Projeto
97
98
Figura 25 – Árvore de Decisão com Opção de Expansão
99
Figura 26 – Valor do Projeto com Opção de Expansão
100
Figura 27 – Política Ótima de Investimentos
100
Figura 28 – Valor do Projeto: Sensibilidade ao Fator de Expansão
101
Figura 29 – Valor do Projeto: Sensibilidade ao Investimento na
Expansão
101
Figura 30 – Modelo Parcial com Opção de Expansão e Abandono
102
Figura 31 – Árvore de Decisão com Opção de Expansão e
Abandono
103
104
Figura 33 – Modelagem do Risco Político
106
Figura 34 – Análise de Sensibilidade: Nível de Tolerância ao Risco
108
Figura 35 – Modelo Matemático para Árvores de Decisão
121
Figura 36 – Tráfego: Simulação de Monte Carlo
126
Figura 37 – Taxa de Câmbio: Simulação de Monte Carlo
127
Figura 38 – Taxa de Juros: Simulação de Monte Carlo
127
Figura 39 – Erro da Distribuição dos Retornos
128
Figura 40 – QQ Plot dos Retornos
129
Lista de Tabelas
Tabela 1 – Diferenças entre Ativos Financeiros e Ativos Reais
23
Tabela 2 – Fatores de Tolerância ao Risco de Howard
54
Tabela 3 – Planilha Determinística do Projeto
68
Tabela 4 – Comparação da Malha de Transporte
75
Tabela 5 – Resumo das Concessões
77
Tabela 6 – Parâmetros do Risco Político
85
Tabela 7 – Fluxo de Caixa do Projeto
87
Tabela 8 – Dados do Projeto
88
Tabela 9 – Parâmetros para a Opção de Abandono
91
Tabela 10 – Parâmetros para a Opção de Expansão
93
Tabela 11 – Simulação de Monte Carlo
96
Tabela 12 – Determinação da Tolerância ao Risco para CNO
107
1 Introdução
1.1. A Decisão de Investimento na Empresa
Devido à sua importância para a criação de valor para o acionista, a
decisão de investimento na empresa sempre foi o foco de grande interesse
acadêmico e empresarial. O método do Fluxo de Caixa Descontado (FCD),
introduzido nas empresas na década de 50, foi inicialmente considerado um
método sofisticado de avaliação de projetos devido à necessidade do uso de
tabelas de Valor Presente. Apesar das suas óbvias vantagens sobre o
obsoleto método do Payback utilizado até então, a sua popularização só se
deu após o advento dos computadores e calculadoras portáteis que
automatizaram os cálculos de matemática financeira necessários, sendo
atualmente o método de uso mais difundido nas empresas.
Mais recentemente, a partir do trabalho pioneiro de Black, Scholes e
Merton (1973) para a avaliação de opções financeiras, surgiu a idéia de se
incorporar métodos semelhantes ao problema do investimento sob
condições de incerteza. Estes métodos visam agregar o valor da
flexibilidade gerencial à metodologia de valoração tradicional do FCD, e
passaram a ter denominação geral de Teoria das Opções Reais, para indicar
o conceito de opções sobre ativos reais, ao invés de sobre ativos financeiros.
No entanto, apesar de representar uma importante evolução sobre o método
do FCD, devido a sua complexidade teórica e matemática avançada, o seu
uso mais difundido na indústria tem sido limitado. Um dos motivos é a
complexidade adicional que decorre do uso de opções reais. Opções
financeiras têm como ativo básico, ativos financeiros ou commodities que
possuem determinadas características que facilitam o seu tratamento, como
preço de mercado, series históricas, divisibilidade e razoável conhecimento
das suas distribuições probabilísticas, que permitem modelar as suas
distribuições futuras com alguma facilidade. Já o mesmo não ocorre com as
opções reais, onde o ativo básico geralmente não possui essas características
16
necessárias. Outro motivo é o alto grau de complexidade matemática
exigido para a modelagem em tempo contínuo, geralmente acima das
qualificações dos gerentes tradicionais. Mas, da mesma forma com o que
ocorreu com o método do FCD, a contínua evolução das ferramentas
computacionais disponíveis para automatizar as partes trabalhosas do
processo e alguns avanços teóricos tendem a tornar o seu uso cada vez mais
difundido.
1.2. Programa de Privatização de Rodovias no Brasil
Em 1995 o governo brasileiro anunciou um plano para transferir
rodovias e outras instalações públicas e serviços para concessionários
particulares, com o objetivo de reduzir os encargos de investimento e
manutenção das redes de estradas federais e estaduais. Desde então, o
governo federal e diversos estados brasileiros iniciaram um processo de
licitação pública dos contratos de concessão, através do qual diversos
grupos nacionais passaram a investir e operar estradas em troca do direito de
cobrança de pedágio. Dada a extensão territorial do país e a continuada
ausência de capacidade de investimento do Estado existem grandes
perspectivas de um crescimento continuado nestas concessões e de um
aumento significativo da presença do setor privado na infra-estrutura de
transportes do país.
Por outro lado, esses investimentos apresentam um certo grau de risco.
Como acontece em muitos países, ocorre na sociedade brasileira um intenso
debate a respeito dos custos e benefícios para a população das políticas de
desregulamentação e privatização nos setores de serviço e infra-estrutura e
sobre qual deve ser o papel do governo nessas áreas. Embora na década de
90 tenhamos visto uma maior desregulamentação e grande crescimento nas
privatizações, seguindo uma tendência mundial,
a continuidade dessas
políticas é incerta, o que cria um fator de risco político aos investimentos
nessa área.
Dado que essas concessões são outorgadas a empresa que, atendendo
as demais exigências do contrato, ofereçam o menor preço para o pedágio, a
correta análise do valor da concessão se torna imprescindível para que a
17
empresa possa ganhar a concessão ofertando o menor preço possível dentro
dos seus objetivos de risco de retorno. Os métodos de opções reais permitem
que sejam incluídos na análise os benefícios da flexibilidade gerencial
presente nestes projetos e a incorporação adequada da análise de risco
político.
1.3. Posicionamento da Tese no Contexto Científico e Tecnológico
Esta tese pertence à linha de pesquisa de Análise de Investimentos em
condições de incerteza, considerando a existência de opções reais. O
objetivo deste trabalho é a análise da dinâmica de investimento privado no
setor de infra-estrutura de transporte rodoviário no Brasil através da Teoria
das Opções Reais, considerando-se inicialmente mercados incompletos. Ao
contrário de projetos do setor de energia ou de exploração mineral onde o
produto do projeto (energia, petróleo, minério, etc.) é comercializado em
mercado, uma concessão rodoviária não representa um processo industrial,
mas sim uma prestação de serviços, para o qual os mercados são
incompletos. Isso faz com que a solução usual de se aplicar os métodos de
opções reais considerando que os mercados são completos não possa ser
aplicado nesse caso, tornando-se necessário um outro tipo de solução.
A grande maioria dos problemas de decisão de investimento na prática
cai nesta categoria. Mesmo quando o produto do projeto é uma commodity
negociado em mercado, é comum adotar-se a premissa de que o produto do
projeto é perfeitamente correlacionado com os riscos do projeto em todos os
estados da natureza, e em todos os períodos futuros, o que nem sempre é
verdadeiro, mas tal premissa permite considerar-se que o mercado é
completo e a partir daí aplicar-se os métodos de avaliação neutra a risco ao
problema em questão.
Outro problema que surge da aplicação de métodos de opções reais é
que a modelagem matemática do projeto quando há mais de uma fonte de
incerteza torna o problema extremamente complexo e de solução trabalhosa.
Por outro lado, neste trabalho mostraremos que a flexibilidade gerencial
pode ser mais facilmente modelada através de ferramentas de Análise de
18
Decisão, como Árvores de Decisão, que são uma forma de Programação
Dinâmica. A incerteza e a flexibilidade que possibilitam a adoção de
diferentes estratégias à medida que as incertezas vão se resolvendo são
características tradicionais dos métodos de Análise de Decisão, que
permitem a modelagem dos fluxos de caixa em grande detalhe e a
consideração de diversas fontes de incerteza com facilidade.
Até recentemente, os modelos de Árvores de Decisão em tempo
discreto não apresentavam a mesma complexidade dinâmica dos modelos de
opções reais em tempo contínuo. No entanto, avanços recentes em
capacidade computacional têm possibilitado o desenvolvimento de
ferramentas de modelagem cada vez mais poderosas, possibilitando a
construção de árvores de decisão com centenas de milhares de alternativas.
Com a contínua evolução dessas ferramentas computacionais, os métodos
de Análise de Decisão começam a se aproximar da complexidade dinâmica
dos modelos em tempo contínuo. Este trabalho mostra como podemos
incorporar diversas fontes de incerteza ao projeto com facilidade com o uso
da Simulação de Monte Carlo, modelando-se o processo estocástico do
projeto e suas opções reais através de um modelo binomial e árvore de
decisão, através do uso de probabilidades neutras a risco.
1.4. Estrutura da Tese
Essa tese está organizada da seguinte forma. O capítulo 1 apresenta o
problema da avaliação de ativos em condições de incerteza em mercados
incompletos e indica os métodos que serão adotados para a sua análise. O
capítulo 2 apresenta a revisão da literatura e o estado da arte da Teoria das
Opções Reais. O capítulo 3 apresenta as premissas do modelo teórico
adotado e sua modelagem matemática. O capítulo 4 apresenta a aplicação
desta metodologia para a valoração de um projeto de concessão rodoviária
no Brasil e seus resultados. No capítulo 5 mostramos as conclusões e propõe
extensões para pesquisa futura. O capítulo 6 apresenta os apêndices técnicos
e referências bibliográficas.
2 Revisão da Literatura
2.1. Método do Fluxo de Caixa Descontado (FCD)
Em mercados completos, podemos determinar o valor de um projeto
pelo método do FCD, observando o preço de mercado de um conjunto de
investimentos financeiros que repliquem os fluxos de caixa futuros do
projeto em todos os estados da natureza e em todos os períodos futuros. Para
assegurar o direito aos fluxos de caixa futuros, o gerente então estaria
indiferente entre adquirir o projeto ou os ativos financeiros que compõe este
portfólio replicante, já que ambos produzem exatamente os mesmos fluxos
de caixa. Em conseqüência disso, pelo princípio da não arbitragem, ambos
terão necessariamente o mesmo valor.
Por outro lado, os custos de cada um desses investimentos podem ser
diferentes. Num mercado de ativos financeiros eficiente, não é possível criar
valor adquirindo este portfólio, pois o seu custo será sempre igual ao seu
valor, e conseqüentemente, o seu VPL será zero. Já o mercado de ativos
reais não é eficiente, e a empresa poderá criar valor se puder comprar os
direitos aos fluxos de caixa futuros através de um projeto que tenha um
custo menor do que o do seu portfólio replicante, e conseqüentemente, VPL
positivo. Uma empresa pode então criar valor para seus acionistas se ela
consegue gerar essas oportunidades de arbitragem entre os mercados de
ativos reais e os mercado de ativos financeiros.
Em condições de incerteza em mercados incompletos, haverá sempre
um erro (“tracking error”) oriundo da diferença entre os fluxos do portfólio
replicante e os do projeto, a não ser em alguns casos especiais como em
alguns projetos de extração mineral onde os fluxos do projeto podem ser
perfeitamente replicados por um portfólio de contratos futuros da
commodity e investimentos em ativos sem risco. Nesses casos, algumas
alternativas existentes para avaliar um projeto de risco pelo método do FCD
são a de descontar os fluxos futuros esperados a uma taxa ajustada ao risco,
20
descontar os Equivalente Certos dos fluxos de caixa futuros à taxa livre de
risco, ou utilizar Probabilidades Neutras a Risco para descontar os fluxos de
caixa futuros à taxa livre de risco.
2.1.1. Taxa Ajustada ao Risco (CAPM)
A taxa de desconto apropriada ao risco do projeto é determinada
através do CAPM, sendo o ajuste ao risco feito no denominador. O Valor
Presente nesse caso é dada por:
∞
VP = E ∫ C (t ) e− k t dt
onde
o
k = R f + β  E ( Rm ) − R f 
e
C (t ) = Fluxos de Caixa futuros no instante (t).
ou, em tempo discreto:
(
E C (t )
n
VP = ∑
t =1
(1 + R
f
)
+ β  E ( Rm ) − R f 
)
(2.1)
i
2.1.2. Equivalente Certo
O ajuste ao risco pode também ser feito no numerador, substituindo-se
o Fluxo de Caixa Esperado pelo seu Equivalente Certo (EC) e descontandose este à taxa livre de risco. Começando pelo retorno no modelo
uniperiódico, temos:
VP =
βj =
E (C )
1+ k j
(
cov k , Rm
( )
var Rm
e
)=
k=
C
−1
VP
(
)
1 cov C , Rm
VP var Rm
( )
e também
Substituindo a expressão de β em (2.1), ficamos com:
VP =
( )
E C
(
 1 cov C , Rm
1+ Rf + 
VP var Rm

( )
)   E


(R ) − R
m
f


21
VP =
( )
(
E C − λ ⋅ cov C , Rm
(1 + R f )
)
λ=
onde
( )
var ( R )
E Rm − R f
m
para chegarmos a:
VP =
onde
( )
EC C
(2.2)
(1 + R f )
( )
( )
(
EC C = E C − λ ⋅ cov C , Rm
)
O Valor Presente é determinado descontando-se o Equivalente Certo à
taxa livre de risco. No caso de commodities negociados em mercados
futuros, os preços futuros de mercado são os equivalentes certos do valor
destas commodities. Em projetos cujos fluxos de caixa futuro sejam
perfeitamente correlacionados com o valor destas commodities, podemos
achar o seu valor simplesmente utilizando estes preços futuros diretamente e
descontando-os à taxa livre de risco. No caso de um investidor avesso a
( )
risco, o Valor Esperado do Fluxo de Caixa { E C } é substituído pelo seu
( )
Valor Esperado da Utilidade do Fluxo de Caixa { EU C }, onde a função
utilidade U(.) reflete a aversão a risco do investidor.
2.1.3. Probabilidades Neutras a Risco
O ajuste ao risco pode também ser feito nas probabilidades de
mercado atribuídas aos diversos estados da natureza. Esse método é
simplesmente uma aplicação do princípio da não arbitragem, em que os
preços dos ativos devem ser consistentes de forma que seja impossível
auferir lucros sem correr risco. Dessa forma, sempre existirá uma
distribuição neutra a risco em relação a qual o retorno esperado de qualquer
ativo é à taxa livre de risco. Isso foi primeiro constatado por De Finetti
(1937) na década de 30 e posteriormente por Arrow (1950). Em mercados
completos, onde o número de ativos linearmente independentes é igual ou
maior do que o número de estados, as distribuições de probabilidades
neutras a risco e o preço dos ativos têm solução única. Em mercados
22
incompletos, a distribuição neutra a risco não tem solução única, mas é
composta de um conjunto de distribuições que determinam os limites
superior e inferior de preços dos ativos. No caso de um projeto em que o
investimento necessário representa uma parcela significativa da riqueza (ou
do orçamento de investimento de uma empresa), a distribuição de
probabilidades neutra a risco em mercados incompletos pode ser
determinada através da sua função utilidade e probabilidades subjetivas.
Infelizmente essas ferramentas não nos dão o valor de mercado do projeto,
mas apenas um valor que leva em conta a aversão a risco de um
determinado investidor.
Segundo Smith & Nau (1993), uma alternativa utilizada é a de separar
os riscos do projeto em riscos de mercado (riscos que podem ser replicados
por um portfólio de títulos de mercado) e riscos privados (riscos que não
podem ser replicados no mercado), Para o primeiro caso, é considerado que
o mercado é completo, e para o segundo caso, pode ser desenvolvida uma
função utilidade que leve em conta a aversão a risco do investidor, a partir
do qual se determina o Equivalente Certo, que é então descontado à taxa
livre de risco.
2.1.4. Limitações do Método do Fluxo de Caixa Descontado
Como a maioria das ferramentas utilizadas para valoração de ativos, o
método do FCD foi desenvolvido para valorar ativos financeiros como
títulos e ações. Lemme (2000) identifica alguns dos problemas decorrentes
da aplicação deste método para ativos reais: (Tabela 1)
23
Ativos Financeiros
Ativos Reais
Comentário
Divisibilidade
Indivisibilidade
Projetos não são divisíveis ;valor
do controle faz com que o todo não
corresponda a soma das partes
Repetição de Eventos
Eventos únicos
Não replicabilidade reduz utilidade
de medidas estatísticas
Alta liquidez
Baixa Liquidez
Baixa liquidez aumenta o risco
Baixo custo de
transação
Alto custo de transação
Viola premissa do CAPM
Informações
amplamente
difundidas
Assimetria de
informação entre
investidores
Permite ganhos de arbitragem
Existe Mercado
Ausência de Mercado
Sem preço de mercado
Risco de Mercado
Risco de Mercado e
Risco Privado
Risco Privado não correlacionado
com o Mercado
Curto Prazo
Longo Prazo
Tempo para expiração
Tabela 1 – Diferenças entre Ativos Financeiros e Ativos Reais
Além desses, outra característica importante é que ativos financeiros
são investimentos tipicamente passivos onde o preço é determinado pelo
mercado e independe de qualquer ação que um investidor individual possa
tomar. Embora isso possa ser verdade no caso de alguns ativos reais,
certamente não o é para muitos outros que apresentam flexibilidade
operacional e interações estratégicas com outros projetos. Deparado com
uma incerteza futura a respeito do nível de preços ou de demanda do
mercado, o método do FCD atribui probabilidades a cada um dos estados
possíveis e calcula o Valor Esperado desta incerteza. Dessa forma, o método
do FCD avalia o projeto apenas com as informações disponíveis no instante
zero. Na prática, ao tomar conhecimento na época futura do real nível de
preço e de demanda, o gerente pode ajustar a sua produção e/ou estratégia
empresarial a realidade do mercado para maximizar o seu lucro ou para
minimizar o seu prejuízo. O importante é notar que a operação do projeto, e
conseqüentemente, os seus fluxos de caixa futuros, podem ser alterados em
função de decisões gerenciais à medida que esse futuro for se revelando,
fato esse que é desconsiderado no método do FCD.
Dessa forma, o gerente de uma empresa que investe em um ativo real
como um projeto de investimento que apresente flexibilidade gerencial, tem
a responsabilidade de administrar e operar este investimento visando
maximizar o valor para os acionistas. Para tanto, ele tem a flexibilidade de
24
escolher entre diferentes estratégias de investimento e operacionais e tomar
decisões que afetarão os fluxos de caixa futuros deste projeto, e
conseqüentemente, o seu valor. Nestas condições, o método tradicional do
FCD é falho porque não captura o valor que essa flexibilidade gerencial traz
para o projeto ao assumir que o projeto é gerenciado de forma estática, e
não dinâmica. A premissa implícita no método do FCD é que a taxa de
desconto e o Valor Esperado dos fluxos de caixa futuros são conhecidos, e
que o projeto será iniciado imediatamente. Ao considerar que projetos de
investimento são operados de forma passiva, sem nenhuma interferência ou
flexibilidade gerencial após o seu início, o método do FCD ignora o valor de
opção existente nessa oportunidade de investimento, e pode levar a decisões
de investimento não ótimas.
2.2. Método das Opções Reais
Para que um projeto apresente valor de opção, três condições são
necessárias: que o investimento seja total ou pelo menos parcialmente
irreversível, que exista flexibilidade suficiente no projeto que permita ao
gerente operar o projeto de forma diferenciada (adiando, suspendendo,
ampliando, abandonando, etc.) dependendo do estado da natureza que venha
a ocorrer no futuro, e que exista incerteza sobre o nível dos fluxos de caixa
futuros que este projeto poderá gerar. O motivo disso é que uma empresa
que está considerando uma oportunidade de investimento é detentora de
uma opção de compra: ela tem o direito, mas não a obrigação de investir
num projeto num tempo futuro. Ao realizar o investimento, a empresa perde
a opção de adiar e de levar em conta novas informações que possam afetar a
sua decisão de investimento. Assim, tomar uma decisão de investimento
irreversível tem um custo de oportunidade que precisa ser considerado para
avaliarmos corretamente a decisão de investimento. Dessa forma, podemos
observar que existe valor mesmo que a empresa não tenha ainda realizado o
investimento: esse valor é o valor da opção de investir. Se esse valor é
perdido uma vez que o projeto é realizado, então o valor do projeto deve
cobrir não apenas o custo do seu investimento inicial, mas também o custo
de oportunidade da opção de investir.
25
Embora acadêmicos e executivos de empresas soubessem desde há
muito que projetos apresentam valor de opção, não existia uma metodologia
quantitativa que permitisse a sua valoração. Via de regra, esses valores são
incorporados através de análises qualitativas e subjetivas sob o titulo
genérico de “Valor Estratégico”, e a decisão tomada ignorando-se os valores
obtidos pelo método do FCD. Os problemas com esta metodologia são
vários:
1. Sendo subjetivos, esses ajustes são difíceis de terem a sua
consistência ou acerto verificados, ficando a sua determinação na
dependência da intuição do gerente responsável.
2. A presença de opções altera o risco do projeto, tornando difícil
determinar qual a taxa de desconto apropriada no caso.
Um dos primeiros trabalhos a abordar as limitações do método do
FCD foi Robichek & Van Horne (1967) que analisou a opção de abandono
de um projeto e concluiu que a análise tradicional não incorpora esse valor.
Embora as suas conclusões estivessem corretas, a sua função de valoração
estava incorreta, pois não incorporava os métodos de valoração de opções
que só seriam desenvolvidos anos mais tarde por Black, Sholes e Merton
(1973). Assim, foi apenas com o desenvolvimento da Teoria das Opções
Reais nos últimos vinte anos que se pode estabelecer uma metodologia para
se quantificar estes valores (Pindyck & Dixit, 1994).
Diversos trabalhos pioneiros abriram o caminho para a aplicação a
ativos reais dos conceitos desenvolvidos por Black & Scholes (1973) e
Merton (1974) para opções financeiras. Tourinho (1979) utilizou o conceito
de opção para avaliar uma reserva de recursos naturais não renováveis com
incerteza de preço; Brenann & Schwartz (1985) analisaram a política
operacional ótima de uma mina de cobre; McDonald e Siegel (1986)
determinaram o timing ótimo para se investir num projeto que demande
investimentos irreversíveis e cujos custos e benefícios sejam representados
por processos estocásticos de tempo contínuo. Nesse trabalho, verificaram
que este custo de oportunidade, não capturado pelo método do FCD, pode
assumir valores significativamente maiores que o investimento original no
26
projeto. Dixit e Pindyck (1994) e Trigeorgis (1995) foram os primeiros a
sintetizar diversas destas idéias em um único texto.
Quando existem significativas flexibilidades gerenciais como a de
adiar, abandonar, expandir, suspender ou retomar um projeto com
investimento irreversível em condições de incerteza, o método das opções
reais pode levar a valores substancialmente maiores que os determinados
pelo método do FCD. A implicação disso é que o método do FCD tende a
subestimar projetos que apresentem valor de opção.
2.2.1. Opções Reais em Mercados Completos
A literatura a respeito da aplicação da Teoria das Opções Reais em
mercados completos é bem extensa, sendo Dixit e Pindyck (1994),
Trigeorgis (1995), Brennan e Schwartz (1985), MacDonald e Siegel (1986)
alguns dos autores mais representativos. O fundamento teórico é o mesmo
aplicado as opções financeiras, e como tal, parte do princípio da não
arbitragem para determinar que o valor de um projeto é idêntico ao de um
portfólio dinâmico de mercado que replique perfeitamente as características
estocásticas desse projeto. Dado que o detentor do projeto tem direito a
exatamente o mesmo fluxo de caixa que o detentor deste portfólio, o valor
do projeto será o mesmo que o valor de mercado deste portfólio replicante,
pois qualquer diferença porventura existente daria margem a ganhos de
arbitragem. A premissa básica neste caso é de que existe no mercado um
número suficiente de ativos linearmente independentes que possibilite a
estruturação deste portfólio replicante. Nesse sentido, diz-se que o mercado
é completo, sendo que esta é uma premissa largamente utilizada na
avaliação de Opções Reais, e é o que torna possível a avaliação neutra a
risco. Tipicamente neste caso, o problema é resolvido por Contingent
Claims Analysis.
2.2.2. Opções Reais em Mercados Incompletos
Quando não é possível montar um portfólio de ativos que mapeie as
mudanças estocásticas do projeto, ou quando a correlação entre o projeto e o
27
portfólio de mercado é menos do que perfeita, diz-se que o mercado é
incompleto. Um dos principais problemas que ocorrem nesse caso é a
determinação da taxa de desconto apropriada para o projeto, uma vez que
não podemos, neste caso, utilizar a avaliação neutra a risco.
Dixit e Pindyck (1994) propõe o uso de Programação Dinâmica para a
solução destes casos, através da aplicação da Equação de Bellman, que
estabelece que o valor de um investimento é a soma do valor auferido em
um pequeno intervalo de tempo, acrescido do Valor Esperado de todos os
fluxos de caixa futuros, descontados a uma taxa de risco e considerando-se
que todas as decisões futuras são ótimas. O problema deste método é que ele
pressupõe uma taxa de desconto exógena arbitraria. Dixit e Pindyck
afirmam que sem mercados completos não existe uma teoria para determinar
o valor correto para a taxa de desconto, dado que nesse caso o CAPM não
pode ser utilizado para calcular a taxa de desconto ajustada ao risco da
maneira usual. Dessa forma, apenas na condição de neutralidade ao risco a
Programação Dinâmica dará os mesmos resultados que o CCM.
Copeland e Antikarov (2001) propõe que se adote o Valor Presente do
projeto sem nenhuma opção, com a taxa de desconto calculada de acordo
com o CAPM, como numa avaliação pelo método do FCD tradicional, como
o seu valor de mercado. Isso permitiria a utilização do próprio projeto como
o ativo básico do portfólio replicante (o outro seria um investimento sem
risco), ou seja, como o seu ativo básico do projeto com opções. A esta
premissa ele dá o nome de Marketed Asset Disclaimer (MAD). A utilização
do próprio projeto como o seu ativo básico e parte do seu portfólio
replicante torna o mercado completo para este projeto, garante uma perfeita
correlação entre o projeto e este portfólio replicante, e permite o uso da
condição de neutralidade ao risco para a solução do problema de valoração.
Smith e Nau (1993) fazem uma distinção entre o risco de mercado de
um projeto, para qual o mercado é completo, e o seu risco privado, para o
qual o mercado é incompleto. Os riscos correlacionados com o mercado
permitem a montagem de um portfólio replicante e o hedge desse risco, que
por ser tratar de um risco sistemático, não pode ser diversificado pelo
investidor. O risco privado não é correlacionado com o mercado, portanto,
não pode ser hedgeado, mas por ser um risco não sistemático, pode ser
28
diversificado pelo investidor. Os autores propõem que a função utilidade do
investidor seja utilizada para se determinar o Equivalente Certo do risco
privado, descontando-o em seguida pela taxa livre de risco.
2.2.3. Contingent Claims Analysis
A premissa fundamental no Contingent Claims Analysis é que o
mercado seja suficientemente completo para que as mudanças estocásticas
no valor do investimento possam ser replicadas através de um portfólio
dinâmico de ativos, cujo preço seja perfeitamente correlacionado com o
valor do projeto. Uma vez feito isso, podemos utilizar a avaliação neutra a
risco para resolver o problema. Caso se queira ainda saber qual a taxa de
desconto apropriada para o projeto, basta observar no mercado o retorno do
portfólio replicante, embora isso não seja necessário para a determinação do
valor do projeto.
Seja V(x,t) o valor de mercado de uma empresa que terá um fluxo de
lucro futuro C (x,t), onde x é uma variável de estado do preço do seu
produto e µ o retorno deste ativo, onde µ = α + δ = ganho de capital +
dividendos. Assumindo que este produto é negociado no mercado e que seu
preço x segue um Movimento Geométrico Browniano (MGB), temos:
dx = α x dt + σ x dz
(2.3)
onde dz é o incremento de processo de Wiener. Podemos montar um
portfólio composto de um investimento unitário em um ativo sem risco e n
unidades do ativo produzido pela empresa a um custo total de (1 + nx). Num
período de tempo dt o retorno deste portfólio será o retorno do investimento
no ativo sem risco, r dt, dividendos auferidos de n x δ dt e um ganho de
capital de n dx = nα x dt + nσ x dz. Dessa forma, a taxa de retorno deste
portfólio replicante será dada por:
( r + nx(α + δ ) ) dt + σ nxdz .
1 + nx
29
O projeto tem um valor de V(x,t) e um retorno instantâneo de C(x,t)
dt, além de um ganho de capital de dV(x,t). Expandindo dV(x,t) pelo Lema
de Itô chegamos a
C ( x, t ) + Vt + Vxα x + 12 Vxxσ 2 x 2
Vσx
dt + x
dz . Por
V ( x, t )
V ( x, t )
definição, ambos investimentos devem apresentar o mesmo risco e o mesmo
retorno, e igualando os termos ficamos com um sistema com duas equações:
Vx x
 nx
1 + nx = V ( x, t )


2 2
1
 r + nx(α + δ ) dt = C ( x, t ) + Vt + Vxα x + 2 Vxxσ x dt
 1 + nx
V ( x, t )
A resolução deste sistema nos dá a equação diferencial parcial para o
valor do projeto: (Uma análise mais detalhada desta metodologia pode ser
encontrada em Dixit & Pindyck (1994)).
1
2
σ 2 x 2Vxx ( x, t ) + (r − δ ) xVx ( x, t ) + Vt ( x, t ) − rV ( x, t ) + C ( x, t ) = 0
(2.4)
A mesma conclusão pode ser obtida montando-se um portfólio livre
de risco composto da firma e na venda a curto de n unidades do ativo
produzido pela empresa, onde n é determinado de forma a obrigar este
portfólio a não ter risco.
φ1+ = V1+ - nx1+
φ0 = V - nx
φ1- = V1- - nx1dφ = dV – n dx
Desenvolvendo dV por Itô, chegamos a:
dφ = (Vt + Vxα x + 12 Vxx σ 2 x 2 − nα x ) dt + (Vx − n ) σ xdz
30
Para eliminar o risco do portfólio fazemos Vx − n = 0
e
n = Vx .
Como este portfólio é livre de risco, o seu retorno livre de risco tem que ser
igual ao seu retorno total, e ficamos então com rφ dt = dφ + C(x,t) dt - δ
Vx x dt. Substituindo os valores de φ e dφ chegamos com a mesma
equação (2.4) derivada anteriormente:
1
2
σ 2 x 2Vxx ( x, t ) + (r − δ ) xVx ( x, t ) + Vt ( x, t ) − rV ( x, t ) + C ( x, t ) = 0
(2.5)
O valor das opções reais do projeto é determinado estabelecendo-se
condições de contorno especificas para o tipo de opção em consideração.
2.2.3.1. Duas variáveis estocásticas lognormais
O nível de complexidade aumenta substancialmente quando
incorporamos mais de uma incerteza no projeto. Seja V(x,y,t) o valor de um
projeto com duas variáveis estocásticas, que gera um fluxo de caixa C(x,y,t)
ao longo de toda a sua vida útil. Assumimos que o mercado é
suficientemente completo que possibilite a montagem de um portfólio de
ativos de mercado que repliquem as características estocásticas do projeto e
utilizamos o método de Contingent Claims Analysis para resolver o
problema. Caso o mercado não seja completo, recorremos ao método da
Programação Dinâmica para a sua solução, adotando uma taxa de desconto
exógena ρ. Assumindo que x e y seguem uma MGB, temos:
dx = α x xdt + σ x xdz x

dy = α y ydt + σ y ydz y
Var (dz ) = Var (ε dt ) = dt.Var (ε ) = dt
Var (dz ) = E ( dz 2 ) − E 2 (dz ) = dt
0
Assim temos E (dz x2 ) = E (dz y2 ) = dt e
ρ = ρ dz
x dz y
=
Cov(dz x , dz y )
σ dz .σ dz
x
y
=
E (dz x .dz y )
dt
31
E (dz x .dz y ) = ρ dt
Montamos a seguir um portfólio livre de risco φ com duas posições curtas,
uma para cada variável aleatória.
φ = V – mx – ny
dφ = dV – mdx – ndy
dV =
onde
∂V
∂V
∂V
1 ∂ 2V 2 1 ∂ 2V 2 1 ∂ 2V 2
dx +
dy +
dt +
dx +
dy +
dt +
2 ∂x 2
2 ∂y 2
2 ∂t 2
∂x
∂y
∂t
+
∂ 2V
∂ 2V
∂ 2V
dxdy + +
dxdt +
dydt
∂x∂y
∂x∂t
∂y∂t
Eliminando os termos em dt2 e mudando a notação:
1
1
dV = Vx dx + Vy dy + Vt dt + Vxx dx 2 + Vyy dy 2 +
2
2
+ Vxy dxdy + Vxt dxdt + Vyt dydt
(2.6)
Mas
dx 2 = σ x2 x 2 dt ,
dy 2 = σ y2 y 2 dt
dt 2 = 0
e
dxdy = (α x xdt + σ x xdzx ) (α y ydt + σ y ydz y )
dxdy = α x α y xydt 2 + α xσ y xydz y dt + α yσ x xydz x dt + σ xσ y xydz x dz y
0
0
0
dxdy = σ xσ y xy dz x dz y
dxdy = σ xσ y xy ρ dt
dxdt = dydt = 0
Substituindo em (2.6) ficamos com:
dV = Vx (α x xdt + σ x xdz x ) + Vy (α y ydt + σ y ydz y ) + Vt dt +
1
1
+ Vxxσ x2 x 2 dt + Vyyσ y2 y 2 dt + Vxyσ xσ y xy ρ dt
2
2
Substituindo em dφ:
32
1
dφ = Vx (α x xdt + σ x xdz x ) + Vy (α y ydt + σ y ydz y ) + Vt dt + Vxxσ x2 x 2 dt +
2
1
+ Vyyσ y2 y 2 dt + Vxyσ xσ y xy ρ dt − m (α x xdt + σ x xdz x ) − n (α y ydt + σ y ydz y )
2
dφ = (Vx − m)(α x xdt + σ x xdz x ) + (Vy − n)(α y ydt + σ y ydz y ) + Vt dt +
1
1
+ Vxxσ x2 x 2 dt + Vyyσ y2 y 2 dt + Vxyσ xσ y xy ρ dt
2
2
Como queremos que este portfólio seja sem risco, eliminamos os
termos estocásticos, o que conseguimos fazendo m = Vx
e
n = Vy.
Assim, ficamos com:
1
1
dφ = Vt dt + Vxxσ x2 x 2 dt + Vyyσ y2 y 2 dt + Vxyσ xσ y xy ρ dt
2
2
Para evitar ganhos de arbitragem, o retorno deste portfólio sem risco
durante um espaço curto de tempo dt deverá ser (r φ dt). Por outro lado, os
ganhos com este ativo durante o mesmo período de tempo dt são o ganho de
capital (dφ), o fluxo de lucros C(x,y,t)dt, menos o custo de se manter a
posição curta deste portfólio, (m δ x x + n δ y y) dt. Igualando estes dois
retornos temos:
rφ dt = dφ + C ( x, y, t ) dt − mxδ x dt − nyδ y dt
r (V ( x, y, t ) − mx − ny ) dt = dφ + C ( x, y, t )dt − mxδ x dt − nyδ y dt
r (V − Vx x − Vy y ) =
dφ
+ C − Vx xδ x − Vy yδ y
dt
1
1
r (V − Vx x − Vy y ) = Vt + Vxxσ x2 x 2 + Vyyσ y2 y 2 + Vxyσ xσ y xy ρ +
2
2
+ C − Vx xδ x − Vy yδ y
1
1
Vxxσ x2 x 2 + Vyyσ y2 y 2 + Vxyσ xσ y xy ρ + (r − δ x )Vx x + (r − δ y )Vy y −
2
2
− rV ( x, y, t ) + Vt + C ( x, y, t ) = 0
(2.7)
A equação (2.7) fornece a função valor de um projeto sujeito a duas
fontes de incertezas estocásticas lognormais. Essa equação não tem solução
analítica, sendo necessário recorrer a métodos numéricos para a sua solução.
33
No caso em que os mercados não forem completos para o projeto e não for
possível montar o seu portfólio replicante, a sua solução deve ser feita pelo
método da Programação Dinâmica, onde a taxa de desconto do projeto é
exogenamente arbitrada, conforme apresentado em 2.2.4.
2.2.4. Programação Dinâmica
O método dos ativos contingenciais requer que os mercados sejam
completos. Quando este não é o caso, uma solução utilizada é o método da
programação dinâmica, onde se adota uma taxa de desconto exógena ρ e o
problema de valoração é dividido em duas partes: a decisão imediata e uma
função de valoração que engloba as conseqüências de todas as decisões
subseqüentes. Uma vez modelado desta forma, a solução do problema é
obtida a partir da otimização estática do último período, e voltando-se deste
ponto final até o instante inicial, considerando-se que sempre serão tomadas
decisões ótimas em cada período a partir das informações existentes naquela
instante. Assim o valor de todas as oportunidades ótimas de investimento
será:
1


F0 = max V0 − I ,
E0 ( F1 ) 
1+ r


A Programação Dinâmica pode ser expressa através da Equação Geral
de Bellman, onde ut é a variável de controle utilizada para maximizar o
valor do projeto, e Ct (xt, ut) é o fluxo de lucros no instante t.


1
Ft ( xt ) = max Ct ( xt , ut ) +
Et [ Ft +1 ( xt +1 )]
1+ ρ
ut 

Quando o intervalo de tempo ∆t tende a zero e o tempo é contínuo, a
equação de Bellman, pode ser escrita como:
1


ρ F ( x, t ) = max C ( x, u, t ) + E [ dF ]
dt


u
34
Se a variável aleatória x segue um processo de Itô na forma de
dx = a( x, u, t )dt + b( x, u, t )dz , temos:
ρ F ( x, t ) = max {C ( x, u, t ) + Ft ( x, t ) + a( x, u, t ) Fx ( x, t ) + 12 b 2 ( x, u, t ) Fxx ( x, t )}
u
No caso do problema de parada ótima, a equação se reduz a:


1
F ( x, t ) = max Ω( x, t ), C ( x, t )dt +
E  F ( x + dx, t + dt ) x  
1 + ρ dt


onde Ω(x,t) é o benefício obtido exercendo-se a opção de abandono
(payoff terminal). Na região de continuação, o segundo termo do lado
direito da equação é o maior dos dois, por definição, portanto o payoff
terminal será ignorado e a expressão simplifica para:
F ( x, t ) = C ( x, t )dt +
1
E  F ( x + dx, t + dt ) x 
1 + ρ dt 
Expandindo pelo Lema de Itô, após alguma álgebra chegamos a:
1
2
b 2 ( x, t ) Fxx ( x, t ) + a( x, t ) Fx ( x, t ) + Ft ( x, t ) − ρ F ( x, t ) + C ( x, t ) = 0
(2.8)
Esta é a equação diferencial que satisfaz a Função de Valoração do
projeto na região de continuação, onde a segunda parcela da equação de
Bellman é maior do que a primeira, Ω(x,t), e vale para x > x*(t). Para
valores menores que x*(t), Ω (x,t) é maior, portanto vale mais a pena parar.
Podemos notar que se fizermos a(x,u,t) = α x e b(x,u,t) = σ x e lembrando
que α = r – δ e que em Programação Dinâmica arbitramos uma taxa de
desconto exógena ρ ao invés da taxa livre de risco r, verificamos que a
equação acima é a mesma equação (2.4) obtida pelo método de Contingent
Claims Analysis.
35
2.2.5. Decision Tree Analysis (DTA)
As limitações do método do FCD podem ser superadas também com o
uso de modelos de árvore de decisão. Com DTA, a flexibilidade gerencial é
modelada em tempo discreto através de instantes de decisão futuros que
permitem ao gerente maximizar o valor do projeto condicionado às
informações disponíveis naquele instante, quando diversas incertezas
possivelmente já foram resolvidas. Dessa forma, a presença da flexibilidade
gerencial embutida nos nós de decisões futuras permite que se modele um
processo de gerenciamento ativo do projeto. Essa modelagem, no entanto,
altera os fluxos de caixa futuros esperados, e conseqüentemente, as
características de risco do projeto. O desvio padrão dos fluxos de caixa do
projeto com flexibilidade não é o mesmo do projeto sem flexibilidade. Isso
faz com que a taxa de desconto ajustada ao risco determinada inicialmente
para o projeto sem flexibilidade, não possa ser utilizada para a determinação
do valor do projeto com opções reais.
Esse problema pode ser resolvido com o uso de probabilidades neutras
a risco, conforme demonstrado a seguir. Seja S0 o valor do projeto sem
flexibilidade e SS1+ e S1- os fluxos de caixa esperados após um período nos
dois estados da natureza possíveis. Seja F0 o valor do projeto com
flexibilidade. (Figura 1)
S1 +
S0
F1+
F0
S1
-
F1-
Figura 1 – Projeto com dois estados da natureza
Vamos supor ainda que p seja a probabilidade neutral a risco de S0.
Isso implica que p é a probabilidade que dá o valor do ativo básico quando
descontamos os fluxos de caixa futuros à taxa livre de risco.
p
S1+
1-p
S1-
S0
36
Então
pS1+ + (1 − p) S1−
S0 =
1+ r
⇒
S0 (1 + r ) − S1−
p=
S1+ − S1−
(2.9)
Montamos um portfólio sem risco (Φ) composto do projeto com
flexibilidade e n posições vendidas de S. Ao final de um período, os valores
possíveis para este portfólio serão: (Figura 2)
Φ1+ = F1+ – n S1+
Φ0 = F0 – n S0
Φ1- = F1- – n S1Figura 2 – Portfólio livre de Risco
Como este portfólio é sem risco, podemos fazer:
Φ1+ = Φ1F1+ – n S1+ = F1- – n S1n (S1+ – S1-) = F1+ – F1n=
F1+ − F1−
S1+ − S1−
Para evitar ganhos de arbitragem, um investimento sem risco tem
necessariamente que retornar a taxa livre de risco:
Φ0 =
Φ1+
1+ r
F1+ − nS1+
1+ r
+
F − nS1+ + nS0 (1 + r )
F0 = 1
1+ r
F0 − nS0 =
Substituindo o valor de n, após alguma álgebra chegamos a:
F1+ +
F0 =
F1+
F1−
−
S
(1
+
r
)
−
S
−
S (1 + r ) − S1+ )
1 )
+
− ( 0
+
− ( 0
S1 − S1
S1 − S1
1+ r
37
1− p
p
+
 S (1 + r ) − S1− 
−  S1 − S 0 (1 + r ) 
+
F1+  0 +
F
 1  S+ − S− 
−
 S1 − S1



1
1
F0 =
1+ r
Então:
pF1+ + (1 − p) F1−
F0 =
1+ r
(2.10)
A equação (2.10) mostra que podemos determinar o valor do projeto
com opções (F0) utilizando probabilidades neutras a risco determinadas para
o projeto sem opções conforme equação (2.9), e descontando o valor
esperado destes fluxos de caixa através da taxa livre de risco.
2.2.6. O Modelo Binomial
A distribuição de probabilidade lognormal contínua pode ser
modelada através de uma árvore binomial discreta. De acordo com o modelo
primeiramente desenvolvido por Cox, Ross and Rubinstein (1979), a cada
passo o preço (S) é multiplicado por uma variável aleatória que pode tomar
dois valores, u ou d. (Figura 3)
Su
Su
3
2
Su
Su 2 d
Su d
S
Su d 2
Sd
S d2
Sd3
Figura 3 – Modelo de Cox, Ross e Rubinstein
Para que essa representação emule uma distribuição lognormal, é
necessário escolher valores apropriados para u, d e a probabilidade p, de
forma que a média (µ) e a variância (σ2) dos retornos de S sejam os mesmos
que os parâmetros do Movimento Geométrico Browniano (MGB) de S,
38
(
)
dS = µ S dt + σ S dz . Definindo S1 = S0 ev∆ t , temos v∆t = ln S1 / S0 . Para
simplificar, assumimos que S0 = 1 e ficamos com v∆t = E ln S1  .
Após um período, S1 assumirá o valor Su ou Sd. Da mesma forma, o
retorno (v ) nesse período será ln ( Su / S ) = ln u ou ln d, com probabilidade
p e (1-p) respectivamente, conforme ilustrado na Figura 4.
p
Su
p
υ+ = ln (Su/S) = ln u
S
1-p
1-p
Sd
υ- = ln (Sd/S) = ln d
Figura 4 – Modelo Binomial de um Período
O Valor Esperado e a Variância destes retornos serão respectivamente
E  ln S1  = p ln u + (1 − p ) ln d
Var ln S1  = p(1 − p) ( ln u − ln d ) . É
2
e
sabido que os retornos de uma distribuição lognormal têm distribuição
normal. Assim, temos d ln S = dv = vdt + σ dz e ficamos com:
E  ln S1  = v∆t
Var ln S1  = σ 2 ∆t
Igualando esses valores às fórmulas determinadas anteriormente,
ficamos com:
v∆t = p ln u + (1 − p) ln d
σ 2 ∆t = p(1 − p) ( ln u − ln d )
(2.11)
2
(2.12)
Temos um grau de liberdade uma vez que temos três incógnitas e
apenas duas equações. Fazendo ln u = - ln d, ou seja, u = 1/d temos:
v∆t = (2 p − 1) ln u
σ 2 ∆t = p(1 − p)4 ( ln u )
(2.13)
2
(2.14)
39
(2.13)2
Fazendo
+
(2.14)
obtemos
( ln u )
2
= v 2 ∆t 2 + σ 2 ∆t .
Substituindo em (2.13) chegamos a:
p=
1 1
+
2 2
1
σ2
+1
v 2 ∆t
Substituindo o valor de p em (2.13) obtemos o valor de ln u:
v∆t
ln u =
1 1

1
2 +
 −1
 2 2 σ 2 v 2 ∆t + 1 
ln u = v 2 ∆t 2 + σ 2 ∆t
ln d = − v 2 ∆t 2 + σ 2 ∆t
u=e
v 2 ∆t 2 +σ 2 ∆t
d = e−
v 2 ∆t 2 +σ 2 ∆t
onde
v=µ−
σ2
2
Para valores pequenos de ∆t, essas fórmulas podem ser simplificadas
para:
p=
1 1 v
+
2 2σ
u = eσ
d = e −σ
∆t
∆t
∆t
(2.15)
(2.16)
(2.17)
Essas fórmulas estão apresentadas em função dos parâmetros dos
retornos da variável lognormal. (v e σ são o valor esperado e o desvio
padrão dos retornos). Podemos também definir o valor de p em função da
própria variável lognormal:
E [ ST ] = S0 e µ t
E [ ST ] = pS0u + (1 − p) S0 d
S0 e µt = pS0u + (1 − p) S0 d
e µt = pu + (1 − p) d
p=
e µ.t − d
u−d
(2.18)
3 Modelo Teórico
O modelo teórico adotado é baseado em três premissas. A primeira é
que o Valor Presente do projeto sem flexibilidade é o melhor estimador não
tendencioso do seu valor de mercado (Copeland & Antikarov, 2001). Essa
premissa faz com que possamos considerar o mercado completo para o
projeto, e conseqüentemente, permite a utilização de um portfólio replicante
e do princípio da não arbitragem para determinar as probabilidades neutras a
risco do projeto da forma usual em mercados completos. A segunda
premissa é que a as variações no valor do projeto seguem um “random
walk”, o que implica que podemos modelar o processo estocástico do valor
do projeto através de um Movimento Geométrico Browniano. A terceira é a
de que podemos separar os riscos de mercado dos riscos privados de um
projeto, dando tratamento diferenciado a estas duas fontes de incerteza. As
considerações a respeito da validade e do impacto destas premissas será
analisada posteriormente.
3.1. Determinação da Taxa de Desconto em Mercados
Incompletos
A aplicação dos métodos usuais de avaliação de opções reais como
Contingent Claims Analysis e Programação Dinâmica apresentam, na
prática, algumas limitações. A primeira é que, exceto em alguns casos muito
especiais, de um modo geral os mercados são incompletos para a grande
maioria dos projetos, o que invalida o uso do Contingent Claims Analysis.
Por exemplo, uma empresa que esteja analisando a oportunidade de investir
na prestação de serviços de atendimento ao cliente através de um “call
center” terá dificuldade de encontrar ativos de mercado que repliquem as
características de risco deste investimento. Se o investimento for numa
fábrica de sapatos, a dificuldade será a mesma, uma vez que não existe
mercado futuro para serviços de atendimento nem sapatos.
41
Segundo, mesmo quando estas condições ideais ocorrem, é
extremamente difícil determinar um portfólio de mercado que possua uma
perfeita correlação com os risco do projeto. A solução tradicional de assumir
que a volatilidade do projeto é igual à de uma commodity negociada em
mercado nem sempre é verdadeira, pois ignora o fato de que o projeto pode
ter outras fontes de incerteza além do preço que podem afetar essa
correlação. Por fim, a atribuição da taxa de desconto exógena (ρ) no método
da programação dinâmica não é derivada de considerações de equilíbrio de
mercado, mas apenas reflete a avaliação subjetiva de risco do investidor, e
portanto, o valor encontrado para o ativo não pode ser considerado um preço
de mercado. Dixit & Pindyck (1994), pag. 152, afirmam que sem um
portfólio replicante,
“não existe uma teoria para determinar o valor
“correto” para a taxa de desconto (ρ) a não ser que façamos
premissas restritivas sobre as funções utilidade dos
investidores ou gerentes. O CAPM, por exemplo, não seria
aplicável, e portanto, não poderia ser utilizado para calcular
a taxa de desconto ajustada ao risco da maneira usual”.
O problema aqui levantado, e que limita a utilização dos métodos
mencionados anteriormente é que a existência de flexibilidade gerencial em
projetos de investimento, ou seja, de opções reais, faz com que o risco deste
projeto se altere, uma vez que, agora, o gerente pode escolher exercer estas
opções se o projeto estiver no dinheiro, eliminando desta forma parte do
“downside risk” e/ou maximizando o retorno do projeto. A conseqüência
desta alteração do risco é que a taxa de desconto apropriada para este
projeto também se altera. Dessa forma, mesmo que possamos determinar a
taxa de desconto apropriada para o risco do projeto tradicional, através do
CAPM, por exemplo, com a presença de opções de flexibilidade gerencial o
risco do projeto se altera, e conseqüentemente, a taxa computada pelo
CAPM não é mais válida. Em mercados completos, o portfólio replicante
pode ser rebalanceado para refletir com exatidão os novos fluxos de caixa
decorrentes do projeto e suas opções reais, e ao fazermos isso,
implicitamente estamos buscando no mercado a taxa de desconto atribuída a
este portfólio replicante, e conseqüentemente, ao projeto. Em mercados
42
incompletos, como não é possível estabelecer um portfólio replicante, não
sabemos qual a taxa de desconto a aplicar ao projeto que tenha opções reais.
3.1.1. Premissa Primeira
Copeland e Antikarov (2001) propõem uma alternativa para esse
problema (Marketed Asset Disclaimer – MAD) que envolve a utilização do
CAPM para determinar o valor de mercado do projeto, antes da inclusão das
opções reais. Os autores partem do princípio de que o Valor Presente do
projeto sem as opções, conforme calculado pelo método do FCD tradicional
usando CAPM, é o melhor estimador não tendencioso do valor de mercado
do projeto, caso ele fosse negociado no mercado. Dessa forma, o mercado
implicitamente se torna completo para o projeto com as opções, uma vez
que agora ele pode ser perfeitamente replicado por um portfólio que inclua o
projeto original, sem opções. Os autores têm como argumento final o fato de
que nada pode ser melhor correlacionado com o projeto do que o próprio
projeto. Dessa forma, adotamos a premissa de que uma vez definido o Valor
Presente do projeto original, este é o seu valor de mercado, e o problema
pode então ser resolvido por qualquer um dos métodos tradicionais para
condições de mercado completo.
3.2. O Processo Estocástico do Valor do Projeto
O teorema de Samuelson (1965) mostrou que em mercados eficientes,
onde os investidores têm informações completas sobre as expectativas
futuras dos fluxos de caixa esperados de um ativo, os preços atuais já
refletem toda as informações disponíveis até o momento, e as variações da
taxa de retorno deste ativo serão aleatórias, isto é, seguirão um random
walk. A implicação disso é que como os investidores já têm expectativas a
respeito das flutuações futuras do valor do ativo, essas expectativas já foram
incorporadas nos preços. Se as expectativas se realizarem, os investidores
irão receber exatamente a sua taxa de retorno esperada, e apenas eventos
43
imprevistos, e portanto, aleatórios, podem alterar esses resultados. Assim, as
variações sobre a taxa de retorno esperado também serão aleatórias.
A extensão destes conceitos para o mercado de ativos reais decorre da
aplicação da premissa primeira de que o valor presente de um projeto é o
melhor estimador do seu valor de mercado. Valendo-nos desta premissa,
podemos tratar o projeto como um ativo negociado dentro de um mercado
eficiente, uma vez que existe agora um valor de mercado para ele, que é o
seu valor presente. Assim, consideramos que o processo estocástico deste
ativo real terá comportamento idêntico ao do ativo financeiro de mercado
postulado por Samuelson .
Isso significa que mesmo que os fluxos de caixa de um projeto sejam
crescentes, decrescentes, ou até cíclicos, os seus retornos seguirão um
random walk. Isso será verdade ainda que o projeto esteja sujeito a uma
única fonte de incerteza de reversão a média, contando que essa informação
já esteja disponível no mercado e incorporada ao seu preço atual.
Copeland e Antikarov aplicaram este teorema para o caso de projetos
de investimento, e concluem que qualquer que seja o padrão de evolução
dos fluxos de caixa de um projeto, as variações no seu Valor Presente
seguirão um random walk também. Dessa forma, se os retornos (R) de um
projeto podem ser representados por um random walk na forma de um
Movimento Aritmético Browniano (MAB)1 R = d ln x = µ dt + σ dz , então
podemos concluir que o processo seguido por dx é um Movimento

σ2 
Geométrico Browniano (MGB) onde dx =  µ −
 xdt + σ xdz .
2 

Essa
premissa permite a combinação de qualquer número de incertezas no
modelo do projeto em uma única incerteza representativa, cujos parâmetros
podem ser obtidos através de Simulação de Monte Carlo.
Para provar o teorema de Samuelson, assumiremos inicialmente
algumas premissas. A primeira é que o risco do ativo é zero, e portanto, a
taxa de retorno de mercado ajustada ao risco para este ativo será a taxa livre
de risco. Em seguida, assumimos também que todas as taxas de juros do
mercado são zero, inclusive a taxa livre de risco, e finalmente, supomos que
1
O Apêndice 6 mostra os processos estocásticos mais comuns
44
o preço spot de mercado do ativo segue um processo autoregressivo
estacionário na forma:
St +1 = aSt + ε t
onde ε t ∼ N (0, σ ε2 ) e Cov( St , ε t ) = 0
a <1
St é o preço spot atual do ativo, portanto, é uma constante conhecida,
e St+1 é o preço spot no próximo período. No tempo atual (t), temos E[St]
= St e Var[St] = 0. No tempo futuro (t+1) temos:
E[ St +1 ] = E[aSt + ε t ] = aE[ St ] + E[ε t ] = aSt
0
Var[ St ] = Var[aSt + ε t ] = a 2 Var[ St ] + 2a Cov[ St , ε t ] + Var[ε t ] = σ ε2
0
0
No tempo futuro (t+2), temos:2
St + 2 = aSt +1 + ε t +1 = a (aSt + ε t ) + ε t +1
St + 2 = a 2 St + aε t + ε t +1
E[ St + 2 ] = a 2 E[ St ] + aE[ε t ] + E[ε t +1 ] = a 2 St
Var[ St + 2 ] = E[ St + 2 − E ( St + 2 )]2
Var[ St + 2 ] = E[a 2 St + aε t + ε t +1 − a 2 St ]2
Var[ St + 2 ] = E[a 2ε t2 + 2aε t ε t +1 + ε t2+1 ]
Var[ St + 2 ] = σ ε2 (a 2 + 1)
A fórmula de recorrência será então:
E[ St +T ] = aT E[ St ] = aT St
 T
 
Var[ St +T ] = σ ε2  ∑ a 2( n−1) + 1 + 1
 
 n =1
T = 1, 2,....∞
Dependendo do valor do parâmetro a, o processo de St pode ser
crescente ou decrescente. Se a<1, o processo será estacionário.
2
Note que
Var (ε t ) = E (ε t2 ) − E 2 (ε t ) = σ ε2 , portanto E[ε t2 ] = σ ε2
45
Mostraremos que qualquer que seja a evolução dos preços de St, mesmo que
St seja declinante, a taxa de retorno de St será constante e igual à taxa de
mercado ajustada ao risco, que no caso é zero.
Um ativo tem valor porque ele dá direito a um fluxo de caixa futuro ao
seu detentor. Considerando a ausência de custos de armazenamento,
podemos expressar o valor de um ativo como o somatório do valor presente
de um “strip” de contratos futuros (Figura 5) para a entrega de $1 em um
tempo futuro (t + T). Se o preço dos contratos futuros não se alterar no
tempo, num mundo onde as taxas de juros são zero e sem convenience yield,
então o valor do ativo também será constante.
t
t +1
t +2
t +3
t+T
Ft(St+1) - - - - - - - - - -›
Ft(St+2) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -›
Ft(St+3) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ›
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -›
Ft(St+T) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ›
Figura 5 – Strip de Contratos Futuros
O preço no tempo (t) de um contrato futuro para entrega de $1 no
tempo (t+T) sem juros e sem convenience yield é dado por Ft(St+T) =
Et(St+T). Para T = 3, teremos:
Ft ( St +3 ) = Et ( St +3 )
Ft ( St +3 ) = Et (a 3 St + a 2ε t +1 + aε t + 2 + ε t +3 ) = a 3 St
O preço no tempo (t+1) de um contrato futuro para entrega de $1 no
tempo (t+3) será:
Ft +1 ( St +3 ) = Et +1 ( St +3 )
Ft +1 ( St +3 ) = Et +1 (a 3 St + a 2ε t +1 + aε t + 2 + ε t + 3 ) = a 3 St + a 2ε t +1
A única diferença neste caso é que em (t+1), o erro εt+1 já existe e é
conhecido. A variação no preço futuro de um período para o outro, visto do
tempo (t) é:
46
Et [ Ft ( St + 3 ) − Ft +1 ( St + 3 ) ] = Et  a 3 St − (a3 St + a 2ε t +1 ) 
Et [ Ft ( St + 3 ) − Ft +1 ( St + 3 ) ] = a 2 Et [ε t +1 ]
Et [ Ft ( St + 3 ) − Ft +1 ( St + 3 ) ] = 0
Concluímos que mesmo que o preço spot se altere, o valor esperado
das mudanças no preço futuro não se altera. Como o valor do ativo é o
somatório dos preços futuros, o valor esperado do preço spot também não se
altera, e o valor do ativo será constante (contanto que adicionemos de volta
os dividendos pagos a cada período). Como o valor é constante, a taxa de
retorno esperada deste ativo será zero. Quaisquer alterações que ocorram no
futuro serão fruto de efeitos imprevistos, e portanto, aleatórios, e o retorno
deste ativo terão variações aleatórias seguindo um random walk.
3.2.1. Premissa Segunda
Baseado nas conclusões de Samuelson (1965), e seguindo Copeland e
Antikarov (2001), assumimos que o retorno do projeto tem distribuição
normal, portanto, o processo estocástico do valor do projeto segue um
Movimento Geométrico Browniano, ou seja, o projeto tem uma distribuição
lognormal. A premissa da lognormalidade do valor do projeto é utilizada
por diversos autores, entre eles McDonald e Siegel (1986). As principais
críticas à consideração da lognormalidade de projetos vem de Dixit e
Pindyck (1994, pg. 137). Os autores argumentam que se o projeto não
apresenta flexibilidade gerencial que permita a suspensão da produção
quando os custos superarem as receitas, então o valor do projeto poderá
assumir valores negativos, descaracterizando a sua lognormalidade. Da
mesma forma, se o gerente tiver flexibilidade para suspender a operação do
projeto nestes casos, o valor também não seguirá uma distribuição
lognormal. E finalmente, numa indústria competitiva, o equilíbrio de longo
prazo forçará o preço, e conseqüentemente o projeto, a seguir um processo
de reversão à média.
É padrão na literatura sobre opções financeiras assumir que ações de
empresas negociadas em bolsa seguem uma distribuição lognormal, embora
47
isso também seja apenas uma aproximação da realidade. Ações não podem
ter valor negativo porque são opções sobre o valor da empresa – o detentor
de uma ação tem direito aos fluxos futuros líquidos da empresa. Caso os
fluxos se tornem desinteressantes, o detentor da ação abre mão desses
direitos e o valor da ação vai para zero. Um projeto com opção de abandono
tem características semelhantes a uma ação. Em Project Finance, onde o
projeto tem características de empresa independente, essa identidade é total,
pois se o valor do empreendimento ficar negativo o acionista abandonará o
projeto entregando-o aos credores.
No modelo adotado para a premissa segunda, assume-se que os fluxos
de caixa do projeto a cada período são distribuídos aos acionistas, e que o
valor do empreendimento sofre uma descontinuidade no instante dessa
distribuição, reduzindo-se o seu valor pelo valor do dividendo distribuído.
Dessa forma, esse modelo implicitamente assume que se o fluxo de caixa
for negativo em qualquer período, o dividendo será também negativo,
representando uma necessidade de aporte/investimento do acionista naquele
período, e evitando que o projeto se torne negativo. Dado que a modelagem
do processo estocástico do projeto é realizada com base na planilha do valor
esperado dos fluxos de caixa, em ocorrendo um fluxo esperado futuro
negativo, esse valor será considerado como um investimento necessário, e o
seu valor presente adicionado ao valor do investimento inicial exigido pelo
projeto.
Seja Vi o valor de um projeto que não paga dividendos no período i e
Vi+1/Vi o seu retorno no período de tempo entre i e i+1. De acordo com a
premissa segunda de que os retornos seguem um caminho aleatório, o
logaritmo do retorno ln(Vi +1 / Vi ) é normalmente distribuído, e definimos v e
σ 2 como a média e variância desta distribuição normal. Quando os períodos
de tempo tendem a zero, este modelo estocástico pode ser expresso como
um Movimento Aritmético Browniano (MAB) na forma d ln V = νdt + σdz ,
onde dz = ε dt é o processo de Wiener padrão.
A premissa de que a distribuição do logaritmo do valor dos retornos
do projeto em qualquer tempo é normal implica em que a distribuição do
valor do projeto em si é lognormal. Dessa forma, mudanças em Vi serão
48
lognormalmente distribuídas em podem ser modeladas através de um
Movimento Geométrico Browniano (MGB) na forma dV = µVdt + σVdz ,
1
onde µ = ν + σ 2 .
2
3.3. Modelagem do Risco Privado
Smith e Nau (1993) propõem a separação entre o risco privado de um
projeto, não correlacionado com o mercado, e o risco de mercado, para o
qual o mercado é completo. O risco de mercado é definido como o risco que
pode ser perfeitamente hedgeado através de negociação de títulos de
mercado. O risco privado, ou técnico, decorre de uma incerteza do projeto
que não pode ser hedgeada. A incerteza de preço num projeto de exploração
de petróleo, por exemplo, é um risco de mercado, uma vez que pode ser
eliminado através de operações de hedge no mercado futuro. As incertezas a
respeito do volume de petróleo que pode ser extraído do reservatório, por
sua vez, configuram um risco privado, já que não existe nenhum ativo de
mercado que replique as características dessa incerteza.
Com essa separação, podemos decompor os fluxos do projeto nos seus
componentes privados e de mercado. O risco de mercado é então valorado
observando-se o preço de mercado de ativo ou portfólio de ativo que
repliquem o risco e retorno do projeto e utilizando-se a condição de não
arbitragem. O risco privado pode ser modelado utilizando-se as preferências
subjetivas de um investidor avesso a risco, através de uma função utilidade
para determinar o seu Equivalente Certo, que é então descontado à taxa livre
de risco. No item 3.3.3 este conceito será apresentado em mais detalhe.
Se considerarmos que o investidor possui uma carteira diversificada
de investimentos, e que este projeto não representa uma parcela significativa
da sua riqueza, então podemos assumir que ele será neutro ao risco privado,
e o Equivalente Certo será somente o Valor Esperado. Essa premissa se
baseia no fato de que o mercado irá remunerar o investidor apenas pela
parcela de risco não diversificável (sistemático), uma vez que o risco não
sistemático pode ser totalmente eliminado através da diversificação dos seus
investimentos. Uma outra maneira de chegarmos a esta mesma conclusão é
49
observar que o risco privado medido pelo seu Beta será zero, uma vez que
não possui correlação alguma com o índice de mercado, supondo sempre a
premissa de diversificação do investidor.
3.3.1. Premissa Terceira
Assumimos que podemos fazer a separação entre o risco privado e o
risco de mercado, e dar tratamento diferenciado para cada um deles. Dessa
maneira, efetivamente substituímos o problema de mercados incompletos
por um problema onde o mercado é parcialmente completo. Com o
tratamento diferenciado do risco privado, podemos considerar o mercado
completo para o risco de mercado e utilizar uma função utilidade para
calcular o Equivalente Certo do risco privado.
3.3.2. Investidor Neutro a Risco Privado
O risco privado decorre de uma incerteza não correlacionada com o
mercado, portanto, não passível de ser hedgeado com instrumentos do
mercado financeiro. Um investidor diversificado, ou uma empresa de grande
porte com uma carteira de investimentos diversificada e milhares de
acionistas, deve ser neutro ao risco privado, uma vez que este é um risco não
sistemático que pode ser eliminado através de uma estratégia adequada de
diversificação. Por não ser correlacionado com o mercado, o seu Beta é
zero, e nenhum prêmio de risco deve ser atribuído ao risco privado nesses
casos, e a modelagem é feita determinando-se o Valor Esperado desta
incerteza considerando-se que o investidor é neutro ao risco privado, que é
então descontado a valor presente à taxa livre de risco. Como o modelo
utilizado já utiliza a avaliação neutra a risco para determinar o Valor
Presente do projeto, a inclusão do risco privado nesse caso não implica em
nenhuma modificação teórica maior no modelo.
50
3.3.3. Investidor Avesso ao Risco Privado
O conceito de que empresas de capital aberto devem ter
comportamento neutro a risco não sistemático vem de Ekern e Wilson
(1974), que mostraram que para uma empresa com um grupo de acionistas
com função utilidade exponencial, a tolerância ao risco da empresa é o
somatório da tolerância ao risco de cada um dos seus acionistas. À medida
que o número de acionistas aumenta, este somatório também aumenta e a
aversão ao risco diminui. Lintner (1965, 1970) conclui também que à
medida que o número de investidores aumenta em um mercado de capitais
perfeito, o preço de risco de mercado tende a zero no limite e a aversão ao
risco desaparece, fazendo com que os Equivalentes Certos sejam iguais ao
Valor Esperado. No entanto, se considerarmos que o investidor não é
suficientemente diversificado, e este investimento no projeto representar
uma parcela considerável da sua riqueza, é provável que este investidor
apresente um comportamento avesso ao risco privado.
É comum observar-se empresas abrir mão de quotas de investimento
em projeto grande porte com o objetivo de reduzir a sua exposição ao risco
– essa inclusive é a principal justificativa para a estruturação de projetos na
modalidade de Project Finance. Se uma empresa detém poucos projetos no
seu portfólio e as cotas de investimento na empresa representam uma
parcela significativa da riqueza dos seus acionistas, isso implica que os
acionistas não estão suficientemente diversificados.
A principal justificativa para esse comportamento na literatura
financeira é que os mercados não são perfeitos, existindo fricções (riscos de
insolvência, custos de transação, informação imperfeita, pequeno número de
acionistas, acionistas não diversificados, conflitos de interesse entre
credores e acionistas, etc.) que criam assimetrias com relação a possíveis
perdas advindas do projeto. Greenwald e Stiglitz (1990) argumentam que as
empresas agirão de forma avessa a risco como resultado de problemas de
informação imperfeita no mercado de capitais, incluindo assimetrias de
informação entre provedores de capital e gerentes. March e Shapira (1987)
observaram que na prática os gerentes sistematicamente demonstram
aversão a risco a partir do momento em que a empresa atingiu os seus
51
objetivos ou metas pré-estabelecidas. Hackett (1985) observou que não é
realista assumir que os gerentes são meros agentes dos acionistas, uma vez
que eles são os responsáveis também por tentar conciliar os interesses de
todos os “stakeholders” da empresa (acionistas, credores, empregados,
fornecedores, clientes, comunidade e os próprios gerentes). Swalm (1966)
levantou funções utilidade para um grupo de 100 executivos numa grande
empresa industrial, e notou que eles eram fortemente avessos a risco.
Spetzler (1966) chegou as mesmas conclusões em um estudo semelhante
numa grande empresa de petróleo entre os gerentes responsáveis por
decisões de investimento.
Walls, Morahan e Dyer (1995) observaram que na Phillips Petroleum
os gerentes apresentavam comportamento fortemente avesso a risco nas
decisões de alocação de capital envolvendo investimentos que poderiam
trazer importantes conseqüências negativas para a empresa, mesmo quando
o risco sistemático já havia sido levado em consideração. Num estudo
empírico sobre as atitudes a risco de gerentes, MacCrimmon and Wehrung
(1986), e Shapira (1995) também apresentaram evidências que gerentes são
freqüentemente avessos a risco não sistemático.
Uma das justificativas é que os acionistas nem sempre estão
otimamente diversificados. Embora isso seja claro em empresas familiares
ou de capital fechado, alguns estudos apontam para o fato de que esta
situação é mais comum do que deveria. Concluímos então que no contexto
da empresa, os gerentes na prática apresentam comportamento avesso a
risco privado em projetos de grande volume de investimentos relativo a
empresa, e que este comportamento é ditado por imperfeições do mercado.
Em empresas de menor porte, como é típico de empresas familiares com
pequeno número de acionistas, é de se supor que este tipo de
comportamento seja mais acentuado. E se os acionistas não são
suficientemente diversificados, é provável que vejamos uma tendência de
diversificação via empresa para compensar este fato.
Smith e Nau (1993) sugerem adotar nesses casos uma função utilidade
que reflita a aversão a risco do investidor para achar o Equivalente Certo do
risco privado, a partir do qual pode ser utilizada à taxa livre de risco para
52
descontar esse fluxo a valor presente. Uma forma comum para a modelagem
da aversão ao risco é a função utilidade exponencial negativa na forma:
u ( x ) = a − b e− cx
(3.1)
onde a > 0 e b > 0 são constantes e c é o coeficiente de aversão
absoluta ao risco de Arrow-Pratt, c = ARA = −
u ''( x)
. Definimos TR como
u '( x)
sendo o nível de tolerância ao risco da empresa, onde TR = 1/c, e sem perda
de generalidade, podemos fazer os coeficientes a =1 e b =1, para ficar então
com:
u ( x) = 1 − e
−
x
TR
(3.2)
O Equivalente Certo (EC) é o Valor Esperado de uma loteria ou
investimento, menos o seu prêmio de risco. Considerando uma função
utilidade exponencial na forma da Equação (3.2) e probabilidades discretas,
temos:
x
 n
− i 

EC ( x) = −TR ln  ∑ pi  1 − e TR  
 i =1 
 
(3.3)
Em tempo contínuo, teremos:
EC ( x ) = −TR ln  ∫ y f ( y )dy 
onde y = u ( x) = 1 − e
−
(3.4)
x
RT
A função utilidade exponencial permite que a utilidade do investidor
seja caracterizada unicamente pelo seu coeficiente de aversão ao risco c ou
pelo seu nível de tolerância ao risco TR. A TR, por sua vez, é o valor
monetário que faz a empresa indiferente entre jogar ou não uma loteria onde
existe probabilidade de 50% de ganhar X e 50% de perder X/2, conforme
diagrama da Figura 6:
53
0.50
X
TR
0.50
- X/2
Figura 6 – Nível de Tolerância ao Risco
Note que o Valor Esperado desta loteria é positivo, de forma que um
investidor neutro a risco sempre preferiria jogar a loteria, se ela lhe fosse
oferecida a custo zero, como é o caso. Apenas a aversão ao risco do
investidor, ou seja, o receio de perder o valor de X/2, o levaria a recusar
jogar esta loteria. Para pequenos valores de X, a loteria é preferida por quase
todos os investidores, dado o seu valor esperado positivo. À medida que X
aumenta, a aversão ao risco leva o investidor a considerar a loteria cada vez
menos atraente devido ao incremento do valor do possível resultado
negativo, até o ponto em que o investidor prefere não mais jogar a loteria. O
valor de X que reflete o ponto de equilíbrio onde o investidor é indiferente
entre aceitar jogar a loteria ou não é o que denominamos nível de tolerância
ao risco deste investidor (TR).
A medição do nível de Tolerância ao Risco é feita através de
sucessivos questionários onde o valor de X vai sendo modificado até se
obter o ponto de equilíbrio acima mencionado. Muitas vezes, no entanto,
não é possível a determinação da TR através deste método pela
impossibilidade de se realizar as entrevistas necessárias, ou até mesmo,
definir-se quem entrevistar. Nesses casos, na ausência de um processo de
medição direta, Howard (1988) propõe que o nível de Tolerância ao Risco
da empresa pode ser inferido a partir dos seus principais dados econômicofinanceiros. Analisando um grupo de empresas dos setores de petróleo e
petroquímica, ele apresenta um estudo que sugere existir uma relação entre a
medida de Tolerância ao Risco (TR) e alguns dos principais indicadores
econômicos da empresa, como vendas, lucro e patrimônio líquido. Os
54
valores encontrados por Howard, e que representam a média para as
empresas pesquisadas, estão apresentados na Tabela 2:
TR/Vendas
0.064
TR/Lucro
1.24
TR/Patr. Líquido
0.157
Tabela 2 – Fatores de Tolerância ao Risco de Howard
Para o caso do projeto analisado neste trabalho, foram utilizados os
parâmetros acima para determinação do grau de Tolerância ao Risco da
empresa.
3.4. Um Modelo em Tempo Discreto
Seja um projeto com uma vida útil de m períodos, que exige um
investimento inicial I para ser implantado e que se espera irá gerar um fluxo
de caixa esperado Ci, i = 1,2,...,m em cada período. Esses fluxos de caixa
representam os dividendos distribuídos pelo projeto, onde δi é a taxa de
distribuição instantânea destes dividendos representada por Ci / Vi , e Vi é o
valor do projeto pré-dividendos no período i. A taxa de desconto ajustada
ao risco do projeto conforme determinada pelo CAPM é µ. Isso significa
que dado o atual valor de mercado do projeto, um investidor exigiria uma
taxa de retorno µ para investir nele.3
Se o projeto representa a totalidade da empresa, então a taxa µ será a
taxa de retorno exigida pelos acionistas (ke). O projeto está sujeito tanto a
incertezas privadas quanto de mercado, que irão afetar os seus fluxos de
caixa futuros, e também apresenta suficiente flexibilidade gerencial que
permita uma administração ativa dos seus gerentes visando maximizar o seu
valor ao longo de sua vida útil. No entanto, a existência desta flexibilidades
que representam as Opções Reais do projeto alteram o risco do projeto, uma
3
Note que µ é a taxa de desconto do projeto. A taxa interna de retorno (TIR) do projeto
poderá ser maior ou menor do que µ, dependendo do montante do investimento inicial
exigido.
55
vez que o gerente pode escolher exercer estas opções se elas resultarem num
aumento do valor do projeto ou numa redução das possíveis prejuízos, de
forma que a taxa de desconto µ anteriormente determinada não é mais a taxa
apropriada para descontar os fluxos do projeto com as opções reais. Por esse
motivo, utilizaremos probabilidades neutras a risco para que os fluxos do
projeto possam ser descontados com a taxa livre de risco.
A modelagem do problema será feita em três etapas onde
primeiramente o projeto é analisado em condições de certeza para se
determinar o seu Valor Presente Esperado no instante inicial, que de acordo
com a premissa primeira, será considerado o seu valor de mercado. Em
seguida é realizada uma Simulação de Monte Carlos com o objetivo de
reduzir as fontes de incerteza a uma só, definindo com isso o processo
estocástico do Valor do Projeto. A terceira e última etapa envolve a criação
da árvore binomial do projeto e posterior transformação em árvore de
decisão com a incorporação dos instantes de decisão que representam as
opções reais, onde ocorre a maximização de valor do projeto.
3.4.1. Modelagem Determinística
Inicialmente determinamos o Valor Presente do Projeto no instante
inicial através do método do Fluxo de Caixa Descontado tradicional,
utilizando-se para isso uma planilha Excel. Para tanto, calculamos o Valor
Esperado dos Fluxos de Caixa do Projeto {Ci , i = 1, 2, ..., m} em condições
de certeza, ainda sem a inclusão das opções reais decorrentes de eventuais
flexibilidade gerenciais que o projeto possa apresentar. Estes fluxos de caixa
são em seguida descontados a taxa de risco determinada pelo CAPM (µ)
para a determinação do Valor Presente do Projeto a cada período, através da
fórmula (3.5):
m
Vi = ∑
t =i
E [Ct ]
(1 + µ )t −i
Valor do Projeto pré-dividendos
(3.5)
De um modo geral consideramos que não existe fluxo de caixa
positivo no instante inicial, apenas os investimentos necessários, que não
56
são computados para o cálculo do Valor do Projeto. O Valor Presente do
Projeto no instante inicial então é dado por:
m
V0 = ∑
t =1
E [Ct ]
(1 + µ )t
Além do valor do projeto no instante inicial, nessa etapa são também
calculados o Valor Presente em cada um dos períodos do projeto. O valor do
projeto tende a se reduzir em cada período, à medida que os fluxos de caixa
são pagos como dividendos e menos períodos de operação restam no
projeto. Na Figura 7 podemos ver a dinâmica da evolução do Valor do
Projeto com o tempo em condições de certeza.
1,500
1,250
V0
V1
V2
1,000
V3
750
V4
500
250
0
(250)
0
1
2
3
4
Figura 7 – Dinâmica da Evolução do Valor do Projeto
3.4.2. Simulação de Monte Carlo (SMC)
A distribuição lognormal do valor do projeto pode ser complemente
definida através da média e desvio padrão dos seus retornos. Note que pela
premissa primeira, assumimos que o valor presente do projeto sem opções é
o seu valor de Mercado, como se o projeto fosse um ativo negociado
livremente. Assumindo a premissa de mercados eficientes, adquirir o projeto
a este preço garante um VPL nulo, e o retorno esperado do projeto será
57
exatamente igual a sua taxa de retorno ajustada ao risco µ . Disso resulta
que a média dos retornos µ do projeto é definida exogenamente.
O desvio padrão dos retornos, ou seja, a volatilidades do projeto, pode
ser determinada através de uma simulação de Monte Carlo do Movimento
Aritmético Browniano dos retornos d ln V = vdt + σ dz . Os impactos das
incertezas que afetam as variáveis relevantes do projeto e o seu impacto nos
retornos podem ser determinados através da simulação dos processos
estocásticos de cada um, e como resultado, os fluxos de caixa do projeto
também se tornam estocásticos. Cada iteração da simulação gera um novo
conjunto de fluxos de caixa futuros dos quais um novo valor de projeto ao
final do primeiro período V1 é computado usando-se (3.5) com i = 1, e uma
amostra da variável aleatória v é determinada através da equação (3.6)
V 
v = ln  1 
 V0 
(3.6)
onde E (ν~) = ν .
Com um número suficiente de iterações (10.000) computadas pela
simulação, podemos determinar a volatilidade do projeto através a partir das
amostras de v . Definimos a volatilidade do projeto como o desvio padrão
dos retornos (σ ), conforme equação (3.7)4.
σ=
n∑ µi2 − ( ∑ µi )
2
n2
(3.7)
Em um projeto que paga dividendos, a taxa de retorno total do
investidor (µ) é composto de uma parcela de ganho de capital, que é a taxa
de crescimento do valor do projeto com o tempo (α), mais os dividendos (δ)
gerados pelo projeto ao longo da sua vida útil. Assim temos:
µ=α+δ
4
O código VBA que efetua a Simulação de Monte Carlo necessária na planilha do projeto
está apresentado no apêndice 6.4.
58
Como veremos a seguir, no modelo de aproximação binomial da
evolução do valor do projeto adotado, os dividendos são explícita e
discretamente incluídos na árvore binomial do projeto. Assim, nenhuma
outra consideração a respeito dos dividendos se faz necessária, e a
determinação dos parâmetros do modelo binomial é feita desconsiderandose qualquer efeito da taxa de distribuição de dividendos a fim de evitar
inclui-los novamente. Assim, para a árvore binomial temos δ = 0 e µ = α.
Conforme já mencionado anteriormente, pela premissa segunda
assumimos que os retornos do projeto tem distribuição normal, com média
µ−
σ2
2
e volatilidade σ, e conseqüentemente, V1 tem distribuição
lognormal.
(Equação(6.1)).
O
projeto
será
então
definido
por
(V0 , µ , σ , δ i , I ) , e o seu processo estocástico em tempo contínuo será:
dV ( x, t ) = ( µ − δ t )V ( x, t )dt + σ V ( x, t )dz
onde αt = µ – δt
Em um projeto com vida útil ilimitada, podemos considerar δ como
uma constante. De forma inversa, uma taxa de distribuição de dividendos e
retorno esperado constantes, implicam que o projeto tem vida infinita5. No
caso de um projeto com vida útil finita, a taxa de distribuição de dividendos
não é constante, pois podemos observar que no último período a taxa de
distribuição de dividendo corresponderá a 100% do valor do projeto, uma
vez que o valor do projeto será zero após a distribuição do último dividendo
e final da sua vida útil. Nesses casos, se considerarmos que a taxa ajustada
ao risco do projeto (µ) é uma constante de mercado, uma variação em δt
implica que também a taxa de crescimento do valor do projeto também é
variável, uma vez que µ = αt + δt.
5
Definimos o valor do projeto como o valor presente dos fluxos de caixa futuros,
T =∞
V0 =
∫
Ct e − µ t dt . Sabemos que o valor esperado de um ativo sujeito a uma taxa de
T =0
crescimento α num tempo futuro t é
E (Ct ) = C0 eα t . Se δ é a taxa de distribuição de
dividendos, então temos C0 = δ V0 e α = µ – δ, e ficamos com
T
V0 =
∫ (δ V ) e
0
T =0
T
( µ −δ ) t − µ t
e
 δ V0 e −δ T 
dt = 
 . Como sabemos que o valor desta
 −δ  0
expressão é V0, podemos verificar que isso apenas ocorrerá se T = ∞.
59
3.4.3. Árvore Binomial do Projeto
Dado o Valor do Projeto V0 , o custo de capital µ e a volatilidade σ,
conforme determinados anteriormente, o Valor do Projeto é agora modelado
no tempo como um processo estocástico lognormal com volatilidade σ,
através de uma árvore binomial recombinante discreta, conforme o modelo
de Cox, Ross and Rubinstein (1979) (Figura 8).
V30
V2
V31
V0 u
……...
p
V21
V0
……...
V0 u2d
……...
V0 ud2
……...
V 0 d3
……...
V0 ud
V0
(1-p)
V11
V22
V 0 u3
V 0 u2
V10
p
……...
0
V32
……...
V33
……...
(1-p)
V0 d
V 0 d2
Figura 8 – Árvore Binomial Recombinante
onde u = eσ
p=
∆t
e
d = e −σ
∆t
e µ .t − d
e Vi , j = V0 u i − j d j
u−d
e a probabilidade de subida é dado por
i = 0,1,2,...m,
j = 0,1,2,....i.
O projeto, no entanto, gera fluxos de caixa (dividendos) em cada
período, portanto, o valor do projeto sofre uma descontinuidade no instante
dessa distribuição, à semelhança do que ocorre com uma ação que paga
dividendos. A taxa de distribuição dos dividendos é dada pela razão entre os
Fluxos de Caixa e o Valor do Projeto em cada período conforme computado
através do modelo determinístico, onde Vi é dado pela equação (3.5):
δi =
Ci
Vi
(3.8)
Em condições de incerteza e com variáveis estocásticas, assumimos a
taxa de distribuição de dividendos, embora variável de um período para o
60
outro, se mantém constante para todos os estado de um período, de tal forma
que os fluxos de caixa em qualquer estado de um mesmo período sejam
sempre uma proporção fixa do valor do projeto naquele período e estado, ou
seja:
δi =
Ci , j
V
onde
∀j
(3.9)
i, j
i = período (i = 0, 1, 2, ..., m)
j = estado (j = 0, 1, 2, ..., i)
δi = taxa de distribuição de dividendos no período i
Assim, uma representação mais correta do valor do projeto no tempo é
mostrada na Figura 9:
VP0
VP0 u(1-δ1)
VP0 u2(1-δ1)(1-δ2)
VP0 u3(1-δ1)(1-δ2)(1-δ3)
……...
VP0 d(1-δ1)
VP0 ud(1-δ1)(1-δ2)
VP0 u2d(1-δ1)(1-δ2)(1-δ3)
……...
VP0 d2(1-δ1)(1-δ2)
VP0 ud2(1-δ1)(1-δ2)(1-δ3)
……...
VP0 d3(1-δ1)(1-δ2)(1-δ3)
……...
Figura 9 – Árvore Binomial com Dividendos
Podemos verificar que em condições de incerteza, o valor V (i,j) do
projeto no período i, estado j, é dado pela seguinte fórmula recorrente:
i −1
Vi , j = V0 u i − j d j ∏ (1 − δ k )
pré-dividendos
(3.10)
ex-dividendos
(3.11)
k =1
i
Vi*,j = V0 u i − j d j ∏ (1 − δ k )
k =1
61
onde
Vi , j = valor do projeto no período i e estado j, pré-dividendos
Vi*,j = valor do projeto no período i e estado j, ex-dividendos
A probabilidade P(i,j) e ocorrer o valor V(i,j) é:
i
P(i, j ) =   p i − j (1 − p) j
 j
i
i!
onde   =
é o coeficiente binomial e
 j  (i − j )! j !
(3.12)
p=
e µ.t − d
.
u−d
Com a árvore binomial apresentada podemos determinar o valor do
projeto em condições de incerteza em cada período e estado. A seguir
passamos a inserir as flexibilidades gerenciais que o projeto apresenta de
forma a observar o seu impacto sobre o valor do projeto. Dado que as
opções do projeto alteram o seu fluxo de caixa (e o seu risco), para calcular
o valor do projeto com opções é necessário determinar um novo portfólio de
mercado que replique os fluxos do projeto em todos os estados e períodos.
Alternativamente, podemos utilizar probabilidades neutras a risco para
a mesma finalidade e resultados. Isso é possível devido à premissa do
Marketed Asset Disclaimer (MAD) que ao assumir que o Valor Presente do
Projeto sem opções de flexibilidade é o melhor estimador não tendencioso
do seu valor de mercado, permite modelar o problema como se o mercado
fosse completo, computando-se as probabilidades neutras a risco, e dessa
forma utilizar a taxa livre de risco para descontar os fluxos de caixa do
projeto, ao invés de se adotar uma taxa de desconto exógena arbitrária.
Por ser mais simples no caso, este será o método adotado, e com isso,
os fluxos do projeto serão descontados à taxa livre de risco e a probabilidade
p modificada para:
er .t − d
p=
u−d
(3.13)
62
Antes de passar para a fase seguinte, faremos uma transformação na
árvore binomial do projeto, de forma a expressá-la em função dos seus
fluxos de caixa determinísticos, ao invés de ser função do valor do projeto
nos períodos e estados anteriores. Essa transformação visa facilitar a
inclusão das opções de flexibilidade do projeto, que transformarão a árvore
binomial numa árvore de decisão. Uma vantagem disso é que a definição
das opções do projeto em função dos seus fluxos de caixa permite um maior
nível de detalhe do que é possível quando as definimos sobre o valor do
projeto a cada período, já que o fluxo de caixa é uma variável mais básica
do que o valor do projeto, que é determinado a partir do fluxo de caixa. Uma
opção para suspender temporariamente a operação do projeto é mais
facilmente modelada como função dos fluxos de caixa suspensos do que
como função do valor do projeto. E a partir dos novos fluxos de caixa o
valor do projeto pode ser facilmente computado. Outra vantagem é que o
valor do projeto sofre descontinuidade ao longo do tempo devido às saídas
dos fluxos de caixa em cada período, e com a transformação proposta isso é
incorporado automaticamente no modelo.
3.4.4. Árvore de Decisão do Projeto
No modelo de árvore binomial desenvolvido anteriormente, o valor
pré-dividendo do projeto no período i e estado j, é dado em função do valor
V0 do projeto no instante inicial, da taxa de drift µ, da volatilidade σ e da
taxa de distribuição de dividendos δi. (Equação (3.10)). Dessa forma temos
Vi , j = f (V0 , σ , µ , δ i ) , onde
V0 = f ( Ci , µ ) . Ao incorporamos as opções
reais do projeto, transformamos a árvore binomial (incerteza) em uma
árvore de decisão (incerteza + opções).
Por outro lado, a modelagem das opções é mais facilmente implantada
determinando-se o seu impacto sobre os fluxos de caixa do que sobre o
valor do projeto. Dessa forma, fazemos uma transformação algébrica para
explicitar o valor do projeto em função de uma série de fluxos de caixa
artificiais que têm a propriedade de garantir que o processo estocástico
seguido pela função Valor do projeto siga o mesmo Movimento Geométrico
63
Browniano estabelecido anteriormente. Esses fluxos, que denominaremos de
pseudo fluxos de caixa, por sua vez, serão função dos fluxos determinísticos
do projeto Ci (i = 1, 2, ..., m), do drift µ e dos parâmetros u e d do modelo
binomial. Como estaremos descontando os pseudo fluxos à taxa livre de
risco utilizando probabilidades neutras a risco, temos também p =
er .t − d
.
u−d
A principal vantagem desta transformação é que ela permite explicitar a
função de valor do projeto em termos de uma variável mais básica, que é o
fluxo de caixa do projeto, possibilitando uma maior flexibilidade na
modelagem das opções reais do projeto.
Na Figura 10 podemos ver a árvore binomial onde o valor do projeto
está expresso em função desses pseudo fluxos. ( Vi , j = f ( Ci , σ , δ i , µ ) )
C30
……...
C31
……...
C32
……...
C33
……...
C20
C10
C2
1
V0
C11
C22
Figura 10 – Pseudo Fluxos de Caixa
Para programas geradores de
árvore de decisão, que possuem
estrutura incremental, a fórmula do valor do projeto como função dos
pseudo fluxos de caixa é dado por:
m
V0 = ∑
i=0
i
∑
j =0
 i  i− j
j
 j  p (1 − p) Ci , j
 
(1 + r )i
(6.14)
64
Para uso com linguagens de programação que utilizam estrutura
matricial, a fórmula absoluta é mais indicada:
m
V0 = ∑
i=0
i
∑
j =0
 i  i− j
j
 j  p (1 − p)
Ci
 
ui− j d j
⋅
i
i
(1 + r )
(1 + µ )
(6.15)
O desenvolvimento destas fórmulas está apresentado no Capítulo 6,
apêndice 6.3.
3.4.5. Generalização da Fórmula do Valor do Projeto
A determinação do valor do projeto em outros períodos e estados que
não o inicial também pode ser feita. Seja (t) o período e (s) o estado da
natureza. O valor pré-dividendos do projeto no período t e estado s será:
m i + s −t
Vt , s = ∑ ∑
i =t
j=s
E Ci , j 
(1 + r )i −t
(3.14)
 i − t  i −t − j + s
onde E Ci , j  = 
(1 − p) j − s Ci , j .
p
j
−
s


Na Figura 11 podemos ver uma ilustração do valor do projeto onde
t = 3 e s = 1.
65
VP 5,0
VP 4,0
VP 5,1
VP 3,0
VP 4,1
VP 2,0
VP 3,1
V 1,0
VP 2,1
VP 5,2
VP 4,2
V 0,0
VP 5,3
VP 3,2
VP 1,1
VP 4,3
VP 2,2
VP 5,4
VP 3,3
VP 4,4
VP 5,5
Figura 11 – Valor do Projeto em (T,S)
A fórmula absoluta de valor nesse caso é dada por 6:
m i + s −t
Vt , s = ∑ ∑
i =t
j=s
 i − t  i −t − j + s
(1 − p ) j − s
 j − s p
Ci


⋅
ui− j d j
i −t
i
(1 + r )
(1 + µ )
(3.15)
3.4.6. Modelagem das Opções
Uma vez definido e estruturado o modelo de difusão do valor do
projeto, a inclusão das flexibilidades gerenciais é feita inserindo-se os
instantes de decisão onde será maximizada a função valor do projeto. A
cada oportunidade de se exercer uma opção do projeto, a decisão ótima será
do tipo:
max {valor de continuação; valor da opção}
6
Os valores dos pseudo fluxos de caixa Cij são fixos e constantes, e são função apenas do
período i e estado j . Para o cálculo de Vt,s o que muda é apenas o conjunto dos pseudo
fluxos de caixa a serem incluídos no somatório e a probabilidade de ocorrência de cada
um destes.
66
O valor de continuação é dado pela fórmula (3.14) já vista. O valor da
opção dependerá, é claro, das características dessa flexibilidade gerencial
naquele período. Uma opção de abandono, por exemplo, pode significar que
a empresa abre mão dos fluxos de caixa futuros em favor de um valor
terminal Ω. Uma opção de expansão pode multiplicar o valor dos fluxos de
caixa futuros por um fator qualquer, menos o custo do novo investimento.
Nesse caso, o novo valor do projeto daquele instante para frente supondo o
exercício desta opção há que ser determinado para que possa ser comparado
com o valor do projeto sem o exercício, e escolhido o maior. Vamos
considerar o caso de uma única opção de abandono no período (T) com
valor terminal Ω. A decisão ótima em cada estado possível do período (T)
será:
max {valor de continuação; Ω }
O valor do projeto agora, incluindo a opção de abandono no período
(T) será a soma de duas partes: os fluxos pré e pós-opção. Primeiramente
computam-se os valores esperados dos pseudo fluxos de caixa entre o
instante inicial e o instante da opção no período (T). Em seguida,
computam-se o valor esperado do projeto em cada estado do instante da
opção em diante, até o final da vida útil do projeto. Esse valor de
continuação (VT) é comparado ao valor de abandono, e a decisão ótima é
tomado visando sempre a maximização do valor do projeto. Assim, o valor
do projeto com opção de abandono no período (T) é dado por:
T −1
i
V0* = ∑∑
i=0 j =0
E Ci , j 
(1 + r )i
+
E  max {VT , Ω}
(1 + r )T
T
 i  i− j
 T  T −S
j
p
(1
−
p
)
C
p (1 − p ) S max {VT , S , Ω}
∑
,
i
j




T −1 i
j
S =0 S
V0* = ∑∑  
+  
i
(1 + r )
(1 + r )T
i=0 j =0
67
Substituindo o valor de continuação do projeto da equação (3.14), ficamos
com:
T
 m i + S −T E Ci , j  
 T  T −S
 i  i− j
j
p (1 − p) S max ∑ ∑  i −T , Ω 
∑


p
(1
−
p
)
C
i, j
T −1 i  
S =0  S 
j

 i =T j = S (1 + r )

*
V0 = ∑∑
+
i
T
(1 + r )
(1 + r )
i=0 j =0
Substituindo o valor dos fluxos de caixa da equação (3.15) temos:
 i  i− j
Ci
j
p
(1
−
p
)
ui− j d j


i
T −1 i
j
(1 + µ )
V0* = ∑∑  
+
(1 + r )i
i=0 j =0


 i − T  i −T − j + S
Ci
j −S
i− j j
p
(1
p
)
u
d
−
⋅




i
T
(1 + µ )
 T  T −S
 m i + S −T  j − S 

S
, Ω
∑
 S  p (1 − p) max ∑ ∑
i −T
(1 + r )
S =0  
 i =T j = S



+
(1 + r )T
(3.16)
A equação (3.16) nos dá o valor do projeto considerando uma única
opção de abandono num período qualquer T7.
Como definimos
anteriormente a função valor como sendo o valor pré-dividendos, o valor de
continuação VT inclui os dividendos do período T. No caso, foi considerado
que o eventual abandono do projeto se dará imediatamente após o
recebimento dos dividendos do período T. Dessa forma, tanto o dividendo
quanto o valor de abandono serão recebidos, portanto, para efeito da análise
o valor dos dividendos no período T deve ser acrescido ao valor de
abandono Ω na fórmula (3.16) acima.
No caso também foi considerado que o valor terminal Ω é constante.
Pode-se verificar que a modelagem de um valor terminal Ω variável em
função do período e estado pode ser facilmente implementada. A
implementação de outros tipos de opções exige a alteração e adequação das
fórmulas apresentadas de forma a considerar as particularidades e o impacto
7
A verificação da fórmula pode ser feita mostrando que ela reverte para a fórmula (6.15)
quando se faz T = S = 0.
68
de cada tipo de opção. A inclusão de opções múltiplas implica em modelar o
valor de continuação de forma a incluir as opções futuras. Em um modelo de
programação dinâmica isso é feito automaticamente à medida que o valor do
projeto vai sendo computado desde o último período até o período inicial,
incorporando o valor de opção a cada instante de decisão existente.
3.4.7. Exemplo
Ilustraremos a estruturação do modelo teórico com um exemplo
simples de um projeto de quatro períodos. O projeto está sujeito a uma única
fonte de incerteza que é o valor futuro das suas receitas. A taxa de desconto
ajustada ao risco do projeto é de 10%, e a taxa livre de risco é de 5%.
Começamos a análise calculando o valor esperado dos fluxos de caixa
futuros e o valor presente do projeto no instante zero, conforme Tabela 3.
0
Receita
Custo Variável
Custo Fixo
Depreciação
LAIR
IR
Depreciação
Investimento
Fluxo de Caixa
50%
1
2
3
4
1000
1100
1200
1300
(400)
(240)
(300)
(440)
(240)
(300)
(480)
(240)
(300)
(520)
(240)
(300)
60
120
180
240
(30)
300
(60)
300
(90)
300
(120)
300
330
360
390
420
(1,200)
(1,200)
VP0 =
Investim =
1,177
(1,200)
VPL =
(23)
WACC = 10%
Tabela 3 – Planilha Determinística do Projeto
De acordo com a premissa primeira, assumiremos que $1.177 é o seu
valor atual de mercado. Como o projeto exige um investimento de $1.200,
podemos observar que o projeto tem VPL negativo, o que indique não é
ótimo a sua implantação. A evolução do valor do projeto no tempo foi
apresentada na Figura 7.
Assumiremos que as receitas futuras do projeto seguem uma
distribuição lognormal na forma dx = α xdt + σ xdz , com drift α = 6.5% e
volatilidade σ = 30%. Em seguida fazemos uma Simulação de Monte Carlo
69
modelando as receitas futuras como um Movimento Geométrico Browniano
com os parâmetros acima, e computando a cada iteração o valor da taxa de
(
)
retorno µ, onde µ = ln VP1 / VP0 . Calculando o desvio padrão de µ obtemos
uma estimativa para volatilidade do projeto de σ = 24.4%. Pela premissa
segunda, assumimos que a taxa de retorno µ tem distribuição normal,
portanto, o valor do projeto terá distribuição lognormal, que será
aproximada através de uma árvore binomial.
O próximo passo é o cálculo dos valores de u, d, e da probabilidade
neutra a risco p, conforme fórmulas já definidas anteriormente. Os pseudo
fluxos de caixa são computados utilizando-se as fórmulas (6.11) e (6.12), e
o valor do projeto é determinado aplicando-se os procedimentos usuais de
Programação Dinâmica, começando-se do período final e retornando ao
instante inicial descontando-se os fluxos à taxa livre de risco com
probabilidades neutras a risco. Na Figura 12 podemos ver o modelo
utilizado, observando-se que o valor presente obtido através da árvore
binomial é o mesmo da planilha determinística.
A lto
.541
A lto
.541
T3
[1661]
439.6
T2
[1431]
364.7
Baixo
.459
T3
[1160]
269.9
T1
[1177]
A lto
.541
Baixo
.459
T3
[1020]
269.9
T2
[878.6]
223.9
Baixo
.459
T3
[712.4]
165.7
A lto
.541
T4
[1846]
526.3
Baixo
.459
T4
[1444]
323.1
A lto
.541
T4
[1274]
323.1
Baixo
.459
T4
[1027]
198.3
A lto
.541
T4
[1133]
323.1
Baixo
.459
T4
[886.2]
198.3
A lto
.541
T4
[782]
198.3
Baixo
.459
T4
[630.4]
121.7
A lto
.541
Baixo
.459
A lto
.541
Baixo
.459
A lto
.541
Baixo
.459
A lto
.541
Baixo
.459
A lto
.541
Baixo
.459
A lto
.541
Baixo
.459
A lto
.541
Baixo
.459
A lto
.541
Baixo
.459
[1957]
626.3
[1715]
384.5
[1512]
384.5
[1363]
236
[1342]
384.5
[1194]
236
[1069]
236
[977.7]
144.9
[1201]
384.5
[1053]
236
[928]
236
[836.9]
144.9
[823.8]
236
[732.7]
144.9
[656.1]
144.9
[600.2]
88.93
70
O projeto tem uma opção de abandono no terceiro ano da sua vida útil,
pelo valor terminal de $350. Inserimos um nó de decisão que modela a
flexibilidade gerencial existente no ano 3 do projeto, conforme demonstrado
na Figura 13.
A lto
T 1/(1+ r)
B aixo
T 1/(1+ r)
A lto
T 2/(1+ r)^2
B aixo
T 2/(1+ r)^2
T4
D ecisa o
T3
T2
T1
A lto
T 3/(1+ r)^3
B aixo
T 3/(1+ r)^3
A lto
T 4/(1+ r)^4
B aixo
T 4/(1+ r)^4
C ontinua
A b and ona
A b n_V a lue/(1+ r)^3
Figura 13 – Modelo do Projeto com Opção de Abandono
Com a inclusão da opção de abandono, um novo valor presente do
projeto é calculado utilizando-se probabilidades neutras a risco, conforme
ilustrado na Figura 14. Em alguns estados a opção de abandono será
exercida, e o valor do projeto com esta opção real aumenta para $1.232.
A lto
.5 4 1
A lto
.5 4 1
C o n tin u a
A lto
.5 4 1
D e c is a o
[1 8 4 6 ]
5 2 6 .3
C o n tin u a
B a ix o
.4 5 9
D e c is a o
[1 4 4 4 ]
3 2 3 .1
C o n tin u a
A lto
.5 4 1
D e c is a o
[1 2 7 4 ]
3 2 3 .1
D e c is a o
[1 1 3 5 ]
1 9 8 .3
C o n tin u a
B a ix o
.4 5 9
D e c is a o
[1 1 3 3 ]
3 2 3 .1
C o n tin u a
A lto
.5 4 1
D e c is a o
[9 9 4 .4 ]
1 9 8 .3
C o n tin u a
B a ix o
.4 5 9
C o n tin u a
A lto
.5 4 1
D e c is a o
[8 9 0 .2 ]
1 9 8 .3
C o n tin u a
B a ix o
.4 5 9
D e c is a o
[8 1 3 .6 ]
1 2 1 .7
T3
[1 6 6 1 ]
4 3 9 .6
T2
[1 4 5 4 ]
3 6 4 .7
B a ix o
.4 5 9
T3
[1 2 1 0 ]
2 6 9 .9
T1
[1 2 3 2 ]
A lto
.5 4 1
B a ix o
.4 5 9
T3
[1 0 6 9 ]
2 6 9 .9
T2
[9 7 0 .9 ]
2 2 3 .9
B a ix o
.4 5 9
T3
[8 5 5 ]
1 6 5 .7
A ba n do na
A ba n do na
A ba n do na
A ba n do na
A ba n do na
A ba n do na
A ba n do na
A ba n do na
Figura 14 – Projeto com Opção de Abandono
T4
[1 8 4 6 ]
[1 6 3 3 ]
3 0 2 .3
T4
[1 4 4 4 ]
[1 4 3 0 ]
3 0 2 .3
T4
[1 2 7 4 ]
[1 2 6 0 ]
3 0 2 .3
T4
[1 0 2 7 ]
[1 1 3 5 ]
3 0 2 .3
T4
[1 1 3 3 ]
[1 1 1 9 ]
3 0 2 .3
T4
[8 8 6 .2 ]
[9 9 4 .4 ]
3 0 2 .3
T4
[7 8 2 ]
[8 9 0 .2 ]
3 0 2 .3
T4
[6 3 0 .4 ]
[8 1 3 .6 ]
3 0 2 .3
71
O mesmo resultado pode ser obtido utilizando-se a linguagem de
programação Visual Basic (VBA). No apêndice 6.4 é apresentado o código
VBA utilizado para a função que calcula o valor do projeto sem opção
(ComputeValue) e para o valor do projeto com opção de abandono no
terceiro ano (ComputeOption).
Uma vez definida a árvore de decisão do projeto e seus parâmetros
estocásticos, opções adicionais podem ser incluídas com facilidade.
Supondo que a opção de abandono possa ser exercida também no ano 2, e
que exista ainda a opção de expandir o projeto 30% neste mesmo ano um
custo de $100. A modelagem do problema está apresentada na Figura 15 e
na Figura 16 está representada a árvore de decisão completa do projeto.
Podemos observar que o valor do projeto aumenta nesse caso para $1.301, e
que a opção de expansão apenas não será exercida no estado mais
desfavorável do ano 2, enquanto que a opção de abandono continua sendo
exercida apenas no ano 3. As linhas em negrito na Figura 16 indicam a
decisão ótima que a empresa deve tomar naquele estado.
D ecisao2
T1
A lto
T 1/(1+ r)
B aixo
T 1/(1+ r)
T3
D ecisao3
T2
E xpande
a
-Invest/(1+ r)^2
A lto
T 2/(1+ r)^2
B aixo
T 2/(1+ r)^2
C ontinua
a
a
A bandona
A bn_V alue/(1+ r)^2
A lto
T 3/(1+ r)^3
B aixo
T 3/(1+ r)^3
C ontinua
T4
A lto
T 4/(1+ r)^4
B aixo
T 4/(1+ r)^4
A bandona
A bn_V alue/(1+ r)^3
Figura 15 – Modelo do Projeto com Opção de Abandono e Expansão
Mesmo para um modelo simples como o apresentado aqui, podemos
ver que a árvore de decisão se torna complexa com rapidez. Para problemas
reais, a complexidade da árvore de decisão será tal que a sua visualização
será impossível, e adotaremos apenas a sua estrutura de modelagem para
representar a visualização do projeto.
72
E x p a n de
A lto
.5 41
D e c is a o2
[1 8 2 7 ]
4 3 9 .6
C o n tin ua
A lto
.5 41
A b a n d o na
T2
[1 5 6 3 ]
3 6 4 .7
E x p a n de
B a ixo
.4 59
D e c is a o2
[1 2 5 1 ]
2 6 9 .9
C o n tin ua
A b a n d o na
T1
[1 3 0 1 ]
E x p a n de
A lto
.5 41
D e c is a o2
[1 1 1 0 ]
2 6 9 .9
C o n tin ua
B a ixo
.4 59
A b a n d o na
T2
[9 9 2 .7 ]
2 2 3 .9
E x p a n de
B a ixo
.4 59
T3
[1 8 2 7 ]
-9 0 .7
D e c is a o2
[8 5 5 ]
1 6 5 .7
C o n tin ua
A b a n d o na
D e c is a o3
[2 0 6 8 ]
6 8 4 .2
C o n tin ua
[2 0 6 8 ]
A lto
.5 41
A b a n d o na
C o n tin ua
B a ixo
.4 59
D e c is a o3
[1 5 4 5 ]
4 20
[1 7 0 0 ]
3 0 2 .3
T4
[1 5 4 5 ]
C o n tin ua
A lto
.5 41
D e c is a o3
[1 3 7 5 ]
4 20
D e c is a o3
[1 1 0 4 ]
2 5 7 .8
C o n tin ua
B a ixo
.4 59
C o n tin ua
A lto
.5 41
D e c is a o3
[1 2 3 4 ]
4 20
D e c is a o3
[9 6 3 .2 ]
2 5 7 .8
C o n tin ua
B a ixo
.4 59
C o n tin ua
A lto
.5 41
D e c is a o3
[8 9 0 .2 ]
1 9 8 .3
D e c is a o3
[8 1 3 .6 ]
1 2 1 .7
C o n tin ua
B a ixo
.4 59
A b a n d o na
[1 4 3 6 ]
3 0 2 .3
T3
[1 6 6 1 ]
[1 1 2 2 ]
3 1 7 .5
T3
[1 2 5 1 ]
-9 0 .7
A b a n d o na
A b a n d o na
T4
[1 3 7 5 ]
[1 2 6 6 ]
3 0 2 .3
T4
[1 0 5 4 ]
[1 1 0 4 ]
3 0 2 .3
T3
[1 2 1 0 ]
[9 5 2 ]
3 1 7 .5
T3
[1 1 1 0 ]
-9 0 .7
A b a n d o na
A b a n d o na
T4
[1 2 3 4 ]
[1 1 2 5 ]
3 0 2 .3
T4
[9 1 3 .2 ]
[9 6 3 .2 ]
3 0 2 .3
T3
[1 0 6 9 ]
[8 1 1 .2 ]
3 1 7 .5
T3
[8 1 3 .2 ]
-9 0 .7
A b a n d o na
T3
[8 5 5 ]
[7 0 7 ]
3 1 7 .5
Figura 16 – Projeto com Opção de Abandono e Expansão
A b a n d o na
T4
[7 8 2 ]
[8 9 0 .2 ]
3 0 2 .3
T4
[6 3 0 .4 ]
[8 1 3 .6 ]
3 0 2 .3
4 Aplicação ao Caso de uma Concessão Rodoviária
4.1. Introdução
Devido à falta de capacidade de investimento do setor público no
Brasil, e também seguindo uma tendência mundial, na década de 90 o
governo federal e diversos governos estaduais reorganizaram as suas
prioridades de investimento e passaram a leiloar concessões públicas ao
setor privado, que assumiria a responsabilidade dos investimentos
necessários em troca dos direitos de exploração do serviço concedidos.
Uma das áreas em que isso ocorreu foi no setor de infra-estrutura, em
particular, nos setores de energia e transporte.
Dado que investimentos em infra-estrutura são tipicamente de longo
prazo de maturação, para o investidor privado, estes investimentos
apresentam considerável risco econômico e também, político. No caso de
uma concessão rodoviária, o risco econômico é decorrente da volatilidade
do tráfego na rodovia, da taxa de câmbio, visto que estes projetos
geralmente têm parcela significativa do investimento financiada em moeda
estrangeira, e outras fontes de incerteza como taxas de juros e inflação. O
risco político é decorrente da incerteza sobre o compromisso de longo prazo
do setor público com a política de privatização de serviços.
Numa concessão rodoviária o risco político é relevante devido aos
grandes investimentos necessários nos anos iniciais, que só passam a ser
compensados por grandes fluxos de caixa para os investidores muitos anos à
frente, quando o ambiente político pode estar significativamente diferente
do ambiente reinando no inicio da concessão. Além disso, ao contrário dos
Estados Unidos e principalmente da Europa, praticamente não havia no
Brasil rodovias pedagiadas, sendo que o custo de implantação e operação
das rodovias no país sempre foi arcado por toda a sociedade e não apenas
por seus usuários. Nesse contexto, é natural que o usuário em geral fosse
74
avesso a um processo que passasse a lhe cobrar por um serviço que até então
lhe era gratuito.
Para lidar com o risco político, o investidor tipicamente adota um
prêmio de risco arbitrário, que é adicionado à taxa de desconto ajustada ao
risco econômico do projeto. Essa taxa é arbitraria porque o risco político é
um risco privado da empresa, isto é, não correlacionado com o mercado.
Dessa forma, não é possível determinar um prêmio de risco para essa
incerteza baseando-se em condições de equilíbrio de mercado. Infelizmente,
o uso desta metodologia pode levar a empresa a tomar decisões não ótimas,
como aumentar em demasia o valor ofertado para o pedágio para compensar
o risco político percebido, e correr o risco de ser preterido no leilão da
concessão por excesso de conservadorismo.
Além disso, uma concessão rodoviária apresenta flexibilidades
operacionais. A operação, por exemplo, pode ser expandida através da
construção de faixas de trafego adicionais para aumentar a capacidade de
escoamento da rodovia e conseqüente incremento nas receitas de pedágio,
ou mesmo através do investimento em novas concessões. No caso das
receitas ficarem muito aquém do esperado por qualquer motivo, o projeto
também pode ser abandonado através de uma opção contratual implícita. A
presença dessas opções faz com que a análise pelo método do Fluxo de
Caixa Descontado tradicional leve o investidor a subestimar o real valor do
empreendimento. A metodologia proposta no Capítulo 3 será aplicada a
valoração de um projeto de concessão rodoviária típico em condições de
incerteza de mercado, considerando suas opções reais e incorporando os
efeitos do risco político.
4.2. Histórico
Em 1995, o governo brasileiro aprovou uma revisão da Lei de
Concessão das estradas que permitia ao governo transferir rodovias, bem
como outras instalações públicas e serviços, para concessionários
particulares. Esse processo foi deflagrado com a concessão pelo Ministério
dos Transportes em cerca de 856,4 km de rodovias federais, incluindo a
ponte Rio-Niterói, cujos 13,2 km conectam a cidade do Rio de Janeiro ao
75
norte do país. O plano do governo era reduzir a rede de estradas federais de
67.000 km para cerca de 50.000km e de transferir a operação, manutenção e
execução das melhorias necessárias em cerca de 10.700 km de estradas de
alto volume de tráfego para concessionários particulares, que recuperariam
os seus investimentos através da cobrança de pedágio. O plano do governo
era composto de um programa de descentralização, elaborado com a
assistência do Banco Mundial, que previa também a transferência da
responsabilidade de estradas para os governos estaduais.
A malha rodoviária brasileira possui aproximadamente 1,6 milhão de
km, volume esse considerado insuficiente para atender as necessidades de
um país com as dimensões continentais do Brasil. Essas estradas são
classificadas em três níveis administrativos:
3. Uma rede com 67.000 km sob jurisdição federal, dos quais 50.000
km são pavimentados e 17.000 km não pavimentados;
4. Redes estaduais com 200.000 km sob as jurisdições das 27 estados,
dos dois territórios federais e o Distrito Federal, dos quais 87.000 km
são pavimentados; e
5. Redes municipais que se estendiam por mais de 1,4 milhão km, sob
as jurisdições de mais de 4.000 municípios, dos quais apenas 10.000
são pavimentados.
O Ministério dos Transportes considera que 92% dessas estradas não
tem o grau de segurança mínimo desejado. Na Tabela 4 podemos ver a
comparação da extensão das malhas de transporte do Brasil com a de outros
países8.
País
Rodovias
(x 1.000 km)
Ferrovias (Km)
EUA
Brasil
Japão
França
Alemanha
Índia
6.300
1.700
1.100
811
636
NA
177,712
30,277
20,251
32,574
40,398
62,486
Tabela 4 – Comparação da Malha de Transporte
8
U. S. Department of Commerce - National Trade Data Bank, November 3, 2000
76
Devido à pequena extensão da sua malha ferroviária e hidroviária, e o
alto custo do transporte aéreo, o transporte rodoviário representava mais de
60% do transporte de carga doméstica e 90% do movimento de passageiros
no Brasil. Os gastos anuais com o transporte rodoviário eram significativos,
e em 1995 eram estimados em US$ 60 bilhões, o que correspondia a quase
15% de Produto Interno Bruto (PIB) do país. Na Figura 17 podemos ver a
importância do transporte rodoviário no transporte de carga no Brasil, em
relação a outros países no mundo, em toneladas por km.
75%
63%
50%
26%
24%
25%
8%
0%
China
Australia
EUA
Brasil
Figura 17 – Participação do Transporte Rodoviário de Carga no Total
Na Figura 189 podemos observar o crescimento da importância da
malha rodoviária no país, em relação aos demais meios de transporte.
TKm milhões
500,000
400,000
300,000
200,000
100,000
0
1990
1993
Dutos
Hidrovias
1996
Ferrovias
1999
Rodovias
Figura 18 – Carga transportada por modalidade no Brasil (1990-1999)
9
Confederação Nacional dos Transportes
77
Até o momento cerca de 10.000 km de estradas, sendo 1.700 km
federais e 8.300 km estaduais foram privatizadas (Tabela 5), envolvendo 32
empresas concessionárias e US$ 12 bilhões de dólares de investimento
previstos, sendo que a maior parte dessas concessões se localizam em cinco
estados do Sul e Sudeste, onde se encontram os maiores centros urbanos e
industriais. A continuação deste programa levará o Brasil a ser o país com o
maior número de estradas privatizadas no mundo, seguido da Argentina com
10.000 km e Estados Unidos com 8.500 km.
Concessões
Km
Concessões federais contratadas
1.700
Concessões estaduais contratadas
8.300
Concessões em licitação ou a licitar
13.000
Total
23.000
Tabela 5 – Resumo das Concessões
10
4.3. A Concessão Rodoviária
Uma concessão rodoviária é um acordo contratual entre a companhia
vencedora do leilão e o governo. De um modo geral, as principais
características desse tipo de concessão são a existência de um prazo definido
para explorar o negócio, a necessidade de altos investimentos durante os
primeiros anos da concessão e pagamento de ônus ao Estado. Uma das
vantagens da concessão rodoviária em estradas de alto tráfego é que
geralmente elas apresentam uma grande capacidade de geração de caixa,
que no caso da concessão de rodovias já existentes podem ser estimados
com razoável grau de confiabilidade a partir de dados históricos. Por outro
lado, a cobrança de pedágio é uma atividade de alta visibilidade para
usuários e obriga a concessionária a lidar diretamente com o público para
cobrar pela prestação de serviços que até então eram gratuitos para estes
usuários. Isso muitas vezes provocava conflitos de interesse com grupos
10
Fonte: ANTT - http://www.antt.gov.br , ABCR - http://www.abcr.org.br
78
prejudicados com algum poder de influência política ou da mídia, que
exacerbavam o potencial de interferência governamental na concessão,
especialmente dado o longo prazo do projeto.
A concessão da rodovia obriga a empresa vencedora a uma série de
investimentos na estrada conforme estabelecido em contrato, podendo
incluir ou não a exigência de construção de novos trechos, e geralmente é
outorgada a empresa que ofereça o menor preço para o pedágio. O vencedor
ganha então o direito de operar a rodovia durante um período de 20 anos e
de cobrar o pedágio proposto, enquanto o governo retém a posse legal dos
bens físicos. Depois deste período, a rodovia volta ao poder concedente livre
de quaisquer obrigações. O contrato prevê também que a tarifa do pedágio
seja reajustada de acordo com a inflação acumulada no período segundo
fórmula preestabelecida, e tem como objetivo de manter o equilíbrio
econômico-financeiro do projeto no mesmo nível daquele proposto
inicialmente. Situações excepcionais, fora do controle da concessionária, e
que venham a afetar o retorno do projeto, também poderão ser considerados
para efeito de reajuste de tarifa.
A fiscalização da concessão é
responsabilidade da Agência Nacional de Transportes Terrestres (ANTT)11,
criada em junho de 2001 através da Lei n.º 10.23312, a quem cabe a
responsabilidade de outorgar, administrar e fiscalizar as concessões do
transporte público rodoviário e ferroviário no país.
4.4. O Projeto
O projeto em questão trata de uma concessão rodoviária no Brasil de
uma estrada de grande porte por um período de 20 anos. O projeto será
estruturado como um Project Finance, onde será constituída uma empresa
com o propósito específico de participar da licitação, e investir e operar o
projeto se vencedora, nos moldes de uma SPC (Special Purpose Company).
Os acionistas da empresa são privados. O capital necessário para os
investimentos virá de fontes de financiamento externo, geração de caixa do
11
http://www.antt.gov.br
12
http://www.antt.gov.br/Lei10233.htm
79
projeto e aporte de recursos dos acionistas. Além das incertezas a respeito
dos riscos de mercado e do risco privado, o projeto apresenta flexibilidades
gerenciais, ou opções reais, que podem levar os gerentes a um extremo de
abandonar a concessão caso o cenário futuro se mostre extremamente
desfavorável, ou de expandir o negócio para outras oportunidades internas
ou externas à concessão, caso os resultados iniciais do projeto sejam
satisfatórios.
4.4.1. Investimento e Depreciação
A maior parte dos investimentos necessários, estimados em R$ 300
milhões, será realizada nos primeiros cinco anos, o que é típico em projetos
deste tipo. Após os primeiros cinco anos, com a rodovia já dentro dos
padrões de segurança e qualidade pré-estabelecidos, o volume de
investimentos se reduz e a prioridade passa a ser a sua manutenção. Nos
cinco anos seguintes, considerou-se que os investimentos sejam distribuídos
uniformemente ao longo desse período. Após o décimo ano da concessão
não estão previstos novos investimentos, além das despesas normais de
manutenção da rodovia, sendo que o contrato de concessão requer que a
rodovia seja entregue em boas condições operacionais e livre de quaisquer
ônus após o período de concessão. Os investimentos realizados serão
depreciados pelo prazo restante, independente de quando executadas, de
forma que o valor contábil dos ativos seja zero ao final da concessão.
4.4.2. Custos Operacionais
Os custos operacionais da rodovia envolvem a prestação de serviços
aos motoristas, estações de primeiros socorros médicos e serviço de
ambulância, veículos de emergência para reboque de veículos acidentados,
recapeamento do pavimento, reparo de cercas e guard-rails, sinalização,
limpeza e reparos nos muros de contenção e sistemas de drenagem,
renovação estrutural, alargamento e reconstrução de pontes, viadutos e obras
de arte, barreiras divisórias do canteiro central, construção de novos acessos,
e a operação das estações de pesagem e das praças de pedágio e
80
administração. A concessionária também é responsável pelos custos
adicionais referentes aos seguros a serem contratados, garantias contratuais,
performance bond, taxas de inspeção e outras despesas correlatas durante
todo o período da concessão. Esses valores crescem nos primeiros cinco
anos e depois se mantêm constantes até o final do prazo de concessão.
4.4.3. Plano Financeiro
Os custos do projeto estão estimados em R$ 300 milhões, sendo que
R$ 120 milhões serão financiados com capital de terceiros, e o restante com
capital acionário e pela própria geração de caixa do projeto. No caso foi
considerado que 50% do financiamento foi contratado internamente através
de uma agencia de desenvolvimento nos moldes do BNDES, e o restante no
mercado externo em moeda norte americana, na modalidade “stand by”.
Ambos empréstimos tem prazo de carência e serão amortizados em 10 anos
pelo sistema de amortização constante (SAC), onde o principal é pago em
parcelas iguais, e os juros são calculados sobre o saldo devedor do período.
Os valores ficam disponíveis para a concessionária a partir do início da
concessão, e vão sendo sacados à medida das necessidades de investimento,
com os juros pagos apenas sobre o saldo devedor. Considerou-se que o
empréstimo local tenha um custo de TJLP + 3% a.a., e o empréstimo
externo de LIBOR + 3.5% a.a.
4.5. Análise de Risco
4.5.1. Risco de tráfego
A Taxa Média Diária Anual (TMDA) de tráfego na rodovia é
atualmente de 10.000 veículos. É largamente utilizado na análise de
rodovias a premissa de que o volume de tráfego é correlacionado com o PIB
do país, dado que o aumento de renda amplia as oportunidades das pessoas e
o incremento da vontade de viajar está vinculado ao fato de que as pessoas
querem tirar mais vantagem das novas oportunidades. O aumento da
produção também leva a um aumento na demanda por transporte dos bens
81
produzidos. Utilizando dados históricos do PIB desde 1970 (Figura 19),
obtemos um crescimento médio de µ = 4.44% a.a. e volatilidade σ = 4.54%
para o período, assumindo que tanto o PIB quando o volume de tráfego tem
distribuição lognormal. No caso de existirem séries históricas de volume de
tráfego, essas séries podem ser correlacionadas com a série do PIB para
estabelecer uma projeção de crescimento futura, através de uma análise de
regressão. Foi estabelecido também um limite superior para o tráfego na
rodovia equivalente a sua capacidade máxima de tráfego, de 20.000
veículos/dia, equivalente ao dobro da sua atual capacidade de tráfego. Este
limite já considera as melhorias que serão realizadas na rodovia ao longo do
período de concessão, mas não inclui futuras expansões como a construção
de faixas de tráfego adicionais.
15%
10%
5%
0%
1970
1980
1990
2000
-5%
Figura 19 – Variação Anual do PIB (1970 - 2001)
13
4.5.2. Risco Cambial
Uma parte do financiamento do projeto é denominado em moeda
estrangeira (USD), enquanto que as receitas serão todas em Reais. Isso pode
acarretar o risco de perdas no curto prazo no caso de desvalorização
acentuada da moeda, uma vez que a periodicidade do reajuste da tarifa é
anual.
A evolução recente da taxa de câmbio histórica real no Brasil pode ser
dividida em duas épocas distintas, se desconsideramos o período de alta
13
Fonte: IPEA
82
inflação antes do início do Plano Real em 1994. De 1994 até janeiro de
1999, ocorre uma fase de baixa volatilidade em que o taxa de câmbio era
determinada pelo Banco Central. Essa fase terminou abruptamente em meio
à crise econômica mundial de 1998, que levou o Banco Central a liberar o
câmbio em janeiro de 1999. Desde então, o câmbio passou a apresentar
uma volatilidade significativamente maior, além de um expressivo
crescimento em termos reais, da ordem de 21% a.a. (Figura 20).
20%
10%
0%
Ago 94
96
98
00
Ago 02
-10%
Figura 20 – Variação Mensal da Taxa de Câmbio (1994-2002)
Também não se observa um processo de reversão a média como era de
se esperar para essa variável. Mesmo considerando esse valor excessivo, no
segundo semestre do ano de 2002 observou-se um aumento ainda mais
significativo tanto na volatilidade quanto na sua taxa de crescimento, o que
nos parece insustentável no longo prazo. Dessa forma, dado que o tamanho
da série histórica disponível relativa ao período de câmbio flutuante é
insuficiente para que possamos determinar a partir dele o processo
estocástico desta variável ou os seus parâmetros, para o crescimento foi
arbitrada a taxa de µ = 8%, e para a volatilidade adotou-se a volatilidade
observada no período desde 1994, obtendo σ = 11.4%. Assumimos ainda
que a variável tem distribuição lognormal.
83
4.5.3. Riscos de Inflação e taxa de juros
Tanto os empréstimos em moeda local quanto os empréstimos em
moeda estrangeira tem taxas de juros flutuantes, portanto, o custo financeiro
do projeto pode sofrer variações ao longo do prazo de concessão.
Geralmente a fórmula de reajuste do contrato estabelece previsão para
reajustes periódicos que levam em conta os efeitos da inflação, mas o risco
de juros corre por conta da concessionária, que pode optar por fazer hedge,
se necessário. O empréstimo do BNDES adota uma parcela variável que é a
Taxa de Juros de Longo Prazo (TJLP), cujo valor em março/2002 era de
10% a.a., e o seu custo total de TJLP + 3% a.a.14. A TJLP reflete o custo de
captação dos recursos do BNDES, e é fixada trimestralmente pelo Conselho
Monetário Nacional. A TJLP é dada pelo somatório da meta de inflação,
calculada pro rata para os doze meses seguintes ao primeiro mês de
vigência da taxa, inclusive, baseada nas metas anuais fixadas pelo Conselho
Monetário Nacional (CMN) e do prêmio de risco, que incorpora uma taxa
de juro real internacional e um componente de risco Brasil. O empréstimo
em moeda estrangeira tem um custo de LIBOR + 3.5% a.a., sendo que
março de 2002 o seu valor era de 2.63% a.a.15.
Considera-se que um processo de reversão à média reflete melhor o
processo estocástico da evolução da taxa de juros, e também para
commodities, que um Movimento Geométrico Browniano. Assumimos que
o processo da taxa de juros é o Ornstein-Uhlenbeck Geométrico, na forma:
dP = η ( P − P ) Pdt + σ P Pdz
onde
ή é o fator de reversão à média
P é a taxa de juros média no longo prazo
σP é a volatilidade da taxa de juros
14
http://www.bndes.gov.br/produtos/custos/juros/tjlp.asp
15
http://www.hsh.com/indices/libor.html
84
Dado que a série da TJLP é pequena (desde 1995 apenas) e que a
TJLP incorpora uma componente de juros internacional, utilizamos a série
histórica mensal da LIBOR de 6 meses desde 1987 (Figura 21) para a
determinação da taxa de juros de longo prazo. O valor encontrado de P =
5.85% está coerente com Luenberger (1998), pág. 407, que considera que a
taxa de juros de longo prazo do mercado é cerca de 6% a.a. A volatilidade
da série foi de σP = 6.7% e o fator de reversão à média foi arbitrado em ή =
4.0.
12%
9%
6%
3%
0%
1987
1990
1993
1996
1999
2002
Figura 21 – LIBOR 6 meses
4.5.4. Risco Político
Dado que a operação da concessão envolve a cobrança de pedágio
numa estrada até então de trânsito livre, era provável que houvesse uma
reação dos usuários contra essa cobrança obrigatória. Esperava-se, no
entanto, que as melhorias realizadas na rodovia servissem para mostrar aos
usuários que havia uma relação custo/benefício positiva. Um dos problemas
é que a cobrança de pedágio é um serviço de alta visibilidade pública, e que
torna o governo sujeito a pressões políticas de usuários da rodovia, não
acostumados a pagar diretamente pelos serviços recebidos. Outro, é que
devido ao grande volume de investimentos necessários nos anos iniciais, a
maior parte da geração de caixa do projeto só ocorre muitos anos dentro do
projeto. Assim, na hora em que a concessão estiver tendo uma alta
85
lucratividade
e
com
poucos
investimentos
sendo
realizados,
a
concessionária fica exposta a pressões políticas visando à redução da tarifa.
O próprio processo de privatização, não só das rodovias, mas como de todos
os ativos em poder do governo que agora estava sendo transferido para o
setor privado, tem sido alvo de críticas constantes por parte de setores da
sociedade que discordam desta política, e que advogam uma participação
mais extensiva do Estado na economia. Dessa forma, é possível que durante
o longo prazo da concessão, possam ocorrer mudanças políticas
significativas no país que levem ao poder um governo com objetivos
distintos no tocante ao processo de privatização.
Considera-se que o efeito do risco político seja o de não repassar
aumentos de custos não administrados para a tarifa, como variações
extraordinárias na taxa de câmbio, juros ou inflação, repasse para a
concessionária de ônus não previstos inicialmente no contrato, e até a
intervenção na concessão resultando em sua encampação ou rescisão
contratual. Para o estudo de caso, foi considerado que as intervenções mais
extremas estão previstas em contrato e implicam em indenização da
concessionária pelos investimentos realizados. Assim, para efeitos deste
estudo de caso, considerou que o impacto do risco político é o de afetar
negativamente a tarifa básica do pedágio, qualquer que seja a justificativa
para isso. A maneira usual de incorporar os impactos do risco político em
projetos é incluir um prêmio de risco adicional, geralmente na faixa de 2% a
3%, à taxa de mercado do projeto. No entanto, essa taxa adicional é
arbitrária e não leva em conta as particularidades da diversificação de risco
dos investidores. O tratamento proposto incorpora explicitamente estas
características e não implica na utilização de taxas arbitrárias.
Assumimos que a distribuição de probabilidades de perda de valor no
pedágio é discreta, e seus parâmetros são os da Tabela 6:
Prob
Valor da Redução
50%
0
30%
5%
20%
10%
Tabela 6 – Parâmetros do Risco Político
86
Na modelagem do problema considerou-se que a fase crítica de maior
exposição ao risco político ocorre a partir na segunda metade da concessão,
do ano 10 ao ano 15, inclusive. A justificativa para isso é que nos anos
iniciais, quando a concessionária está incorrendo em pesados investimentos
e a rentabilidade do projeto é baixa ou negativa, o risco de interferência
externa é pequeno. Por outro lado, o risco também tenderia a diminuir à
medida que se aproxima o final do período de concessão. Essas premissas
têm a vantagem adicional de simplificar a parte computacional do projeto,
que cresce exponencialmente com cada opção acrescentada.
4.6. Modelo Financeiro
A partir dos parâmetros estabelecidos para a evolução do volume de
tráfego na rodovia, foram projetados os níveis de tráfego médios diário
anuais para os próximos 20 anos. O tráfego na rodovia ocorre 365 dias no
ano e é cobrado nos dois sentidos. Os dados de tráfego são dados em
unidades, sem fazer distinção entre automóveis e veículos de carga. Como
os veículos de carga pagam mais pedágio do que os automóveis, utiliza-se
um fator multiplicador para normalizar os dados de tráfego, conhecido como
Veiculo Equivalente (VHE). Para o caso em questão, o VHE é de 2.2 e
assumido constante durante todo o período da concessão. A receita total da
concessão no ano t então é dada pela fórmula:
Rt = TMDAt ⋅ 365 ⋅ Pt ⋅ 2 ⋅ VHE
Onde
Rt = Receita total no ano t
TMDAt = Tráfego Médio Diário Anual no ano t
Pt = Preço do Pedágio no ano t
VHE = Fator Multiplicador de Veiculo Equivalente
87
Em toda a análise foram considerados valores reais. O modelo do
fluxo de caixa adotado está apresentado Tabela 7:
Fluxo de Caixa
-
Receita de Pedágio
Imposto sobre pedágio
=
Receita Liquida
-
Custos Oper e de Manut
Seguro, Taxas e Garantias
Juros
Depreciação
=
LAIR
=
IR
+
+
-
Depreciação
Financiamento
Investimentos
Amortizações
=
Fluxo de Caixa do Acionista
Lucro Líquido
Tabela 7 – Fluxo de Caixa do Projeto
Ct = { Rt (1 − IP) − COt − St − J t − δ t } (1 − IR) + Dt + Ft − I t − AM t (4.1)
onde
Dt =
Invest Acum
21 − t
Rt = Receita de Pedágio
IP = Alíquota do Imposto sobre Pedágio
COt = Custo Operacional
St = Seguros, taxas e garantias.
Jt = Juros
IR = Alíquota de Imposto de Renda
Ft = Financiamento
It = Investimento
AMt = Amortização do Financiamento
88
Na Tabela 8 temos os principais dados utilizados na modelagem
financeira do projeto.
Variável
Valor
Unidade
Dados Técnicos
Período da concessão
Tráfego Inicial
Capacidade Máxima
Início da Operação
VHE
20
10.000
20.000
Jan/2003
2,2
anos
TMDA
TMDA
Fator Veículo Equivalente
Dados Financeiros
Investimento
Financiamento Local
Cronograma Desembolso
Taxa de Juros
Carência
Amortização
300
60
20%
TJLP + 3%
3
SAC
R$ Milhões
R$ Milhões,
Por ano durante cinco anos
a.a.
anos
10 anos
Financiamento Externo
Cronograma Desembolso
Taxa de Juros
Carência
Amortização
60
20%
LIBOR + 3.5%
5
SAC
R$ Milhões (equivalente em USD)
Por ano durante cinco anos
a.a.
anos
10 anos
Tarifa Pedágio
Imposto sobre Pedágio
Imposto de Renda
3.75
6%
30%
R$
Percentual sobre Receita Pedágio
Percentual sobre LAIR
Taxa Ajustada ao Risco
Acionista
Taxa Livre de Risco
Taxa inflação
21%
a.a.
8%
5%
a.a.
Considerados valores reais.
Tabela 8 – Dados do Projeto
89
4.7. Flexibilidade Gerencial do Projeto: Opções Reais
Ao contrário de projetos de extração mineral como petróleo, cobre,
etc., ou mesmo projetos onde a empresa detém opção de investimento com
longo prazo de exercício, uma concessão rodoviária exige que o
concessionário inicie os seus investimentos de imediato, dado que é um
serviço público que não pode ser adiado sem prejuízo para a população. Não
existe, portanto, nenhuma flexibilidade quanto à possibilidade de se adiar o
investimento necessário. Por outro lado, podemos definir duas outras opções
relevantes para este projeto: a opção de abandono e a opção de expansão
para novos projetos.
4.7.1. Opção de Abandono
Embora não exista previsão explicita para a hipótese de abandono da
concessão por parte do concessionário, ela está implícita nas cláusulas
contratuais que abordam os casos de extinção do contrato. O contrato de
concessão da Via Dutra, o maior projeto da rede federal, menciona: (os
grifos são nossos).
“113. Nos casos de adventos do termo contratual e
encampação... procederá aos levantamentos e avaliações necessários a
determinação do montante de indenização que será devida a
CONCESSIONARIA na forma prevista nos itens 114 e 115.
114. A reversão no advento do termo contratual far-se-á com
indenização das parcelas dos investimentos que tenham sido
realizados com o objetivo de garantir a continuidade e atualidade dos
serviços pertinentes a concessão.
115. Considera-se encampação a retomada do serviço pelo
poder concedente, durante o prazo da concessão, por motivo de
interesse público, mediante lei autorizativa especifica e após prévio
pagamento da indenização prevista no item anterior.
116. A inexecução total ou parcial do CONTRATO de
concessão acarretará, a critério do DNER, a declaração de caducidade
da concessão, ou a aplicação de sanções contratuais.
117. A caducidade poderá ser declarada pelo DNER quando:
a)
O serviço estiver sendo prestado de forma inadequada ou
deficiente, tendo por base as normas, critérios, indicadores
e parâmetros definidores da qualidade do serviço;
b) A CONCESSIONARIA descumprir cláusulas contratuais
ou disposições legais e regulamentadoras concernentes a
concessão;
90
c)
A CONCESSIONARIA paralisar o serviço ou concorrer
para tanto, ressalvadas as hipóteses decorrentes de casos
fortuitos ou forca maior;
d) A CONCESSIONÁRIA perder as condições economias,
técnica ou operacionais para manter a adequada prestação
do serviço concedido;
e)
A CONCESSIONÁRIA não cumprir as penalidades
impostas por infrações, nos devidos prazos;
f)
A CONCESSIONÁRIA não atender a intimação do DNER
no sentido de regularizar a prestação do serviço;
g) A CONCESSIONÁRIA for condenada em sentença
transitada em julgado por sonegação de tributos, inclusive
contribuições sociais.
....
120. Instaurado o processo administrativo e comprovada a
inadimplência, a caducidade será declarada por decreto do Chefe do
Poder Executivo, independente da indenização prévia, calculada no
decurso do processo.
121. A indenização de que trata o item acima, será devida na
foram dos itens 113 e 114, descontado o valor das multas contratuais e
dos danos causados pela CONCESSIONÁRIA.”
Fica claro que qualquer que seja a forma ou o motivo da rescisão
contratual será devida uma indenização equivalente ao valor contábil dos
investimentos já realizados, deduzidos quaisquer custos e/ou multas
devidas, inclusive com execução das garantias, se for o caso. Se a empresa
quiser abandonar a concessão, ela poderá fazer isso de comum acordo, ou
unilateralmente, dando causa para que o DNER invoque a cláusula de
caducidade da concessão. Em ambos os casos haverá custos que reduzirão o
montante a ser recebido como indenização, sendo que na situação de litígio,
obviamente, os custos seriam maiores. No caso, consideramos a hipótese
mais conservadora de rescisão litigiosa, estimando os custos dessa opção de
abandono em 30% do valor da indenização a ser recebida. Qualquer saldo
devedor de financiamentos também deverá ser quitado previamente ao
abandono, pois o contrato de financiamento certamente tem cláusula que
resguarda os credores desse tipo de risco, e exigirão que os empréstimos
sejam quitados antecipadamente. Para efeitos de simplificação, o período de
exercício da opção foi limitado ao período entre o ano 4 e o ano 10 da
concessão. Na Tabela 9 podemos ver um resumo da opção de abandono.
91
Opção de Abandono
Preço de Exercício:
Inicio da Opção:
Prazo de Expiração:
Beneficio:
Quitação do Saldo Devedor Financiamento
Ano 4
Ano 10
70% do Valor Contábil dos Investimentos
Tabela 9 – Parâmetros para a Opção de Abandono
A decisão ótima em cada período é tomada comparando-se o valor de
continuação com o valor de abandono naquele período:
max {Valor de Continuaçao , Valor de Abandono}
max { Vt , Ct + 0.70VCt − SDt }
onde
Vt =
Valor de Continuação no período t
Ct =
Fluxo de Caixa do Projeto no período t
VCt =
Valor Contábil no período t
SDt =
Saldo Devedor do Financiamento no período t+1
Note que em tempo discreto, por convenção, consideramos que todos
os eventos relativos ao projeto ocorrem ao final de cada período, quando são
distribuídos os dividendos. Os valores do projeto em qualquer período são
sempre valores pré-dividendos, e instante do abandono é após o recebimento
dos dividendos. Dessa forma, tanto o valor de continuação quando a opção
de abandono incluem o valor do dividendo do período. Podemos observar
também que esta opção tem preço de exercício variável.
4.7.2. Opção de Expansão
Caso o volume de tráfego o justifique, durante a vigência da
concessão a concessionária pode aumentar a escala do projeto, seja através
do aumento da capacidade de escoamento da rodovia ampliando o número
de faixas de tráfego dentro da sua faixa de domínio, seja através de possíveis
extensões do projeto para outras localidades, aumentando a quilometragem
da estrada. Essa decisão implicará no aumento da receita de pedágio e
92
exigirá um investimento nas obras civis que se fizerem necessárias,
caracterizando, portanto, uma opção de expansão do projeto.
Uma outra forma de expandir o projeto é através de investimentos em
outras concessões. O programa de privatização de estradas no Brasil ainda
está na sua fase inicial, e por ser um negócio ainda novo, existem vantagens
competitivas para os pioneiros. Até o momento foram privatizadas algumas
estradas federais, como a Ponte Rio-Niterói, a Via Dutra, a rodovia RioPetrópolis-Juiz de Fora, Rio-Teresópolis, além de outras rodovias estaduais
no Rio de Janeiro, São Paulo, Minas, Paraná e Rio Grande do Sul. O nível
de conservação das rodovias existentes e o déficit de rodovias quando
comparado a países mais desenvolvidos mostra que existem ainda grandes
oportunidades e potencial para a expansão para outras concessões nesta
área. Dada a falta de recursos para investimento em projetos de infraPUC-Rio - Certificação Digital Nº 9824825/CA
estrutura do setor público, projetos de novas rodovias também podem ser
viabilizados através de esquemas de compartilhamento de riscos entre o
setor público e o setor privado. As oportunidades de expansão se estendem
também para além das fronteiras do país. Na América Latina, vários países
estão lançando seus próprios programas de privatização de estradas, atraindo
o interesse de diversas companhias multinacionais. O potencial de novos
negócios não se limita apenas a concessões rodoviárias, mas também a
outras concessões de infra-estrutura de transportes, como aeroportos,
ferrovias e hidrovias. Por outro lado, num ambiente competitivo, a expansão
para outras oportunidades de investimento em outras concessões não
representa uma opção proprietária, uma vez que essa opção é compartilhada
com outras empresas competidoras. No caso, dada a magnitude do
investimento exigido e o grande volume de concessões ainda por serem
licitadas, considerou-se que haverá oportunidades suficientes para todas as
empresas habilitadas, de forma a configurar uma opção proprietária para
cada uma.
Além das novas oportunidades de investimento futuro, existe a
possibilidade de se alavancar o valor do negócio através da abertura de
capital da concessionária (IPO) para atrair novos investidores. Um IPO
tipicamente tem um grande potencial de criação de valor para os
patrocinadores do projeto devido à diluição de capital que se observa nesses
93
casos, contanto que algumas pré-condições existam, como um bom histórico
de performance do projeto e potencial de crescimento.
A estratégia necessária para exercer a opção de crescimento implica
em expandir a concessão original para outras adicionais em condições de
alta rentabilidade, potencial de crescimento e abertura de capital para atrair
novos investidores. Consideramos que seriam necessários pelo menos 4
anos para a concessionária estabelecer um histórico de sucesso na
administração do projeto e para recuperar a sua capacidade de investimento.
Isso permitiria que ela estivesse preparada para aproveitar oportunidades de
expansão nos anos seguintes através de opções múltiplas. Para tanto foram
consideradas três novas oportunidades de concessão representando um
investimento num projeto com 50% do tamanho da concessão original, nos
anos 4, 7 e 10, levando-se em conta os ganhos que se traduzem num
investimento 50% menor decorrente do ganho de escala, know how e
experiência adquirida com o projeto original. Uma das características destas
opções é que elas são pontuais, pois surgem e expiram no ato do leilão de
licitação.
Na Tabela 10 podemos ver um resumo das opções de
crescimento.
Opção de Expansão
Preço de Exercício:
Investimento de 25% da Concessão Original
Opção 1:
Ano 4
Opção 2:
Ano 7
Opção 3:
Ano 10
Prazo de Expiração:
Beneficio:
Imediato
Aumento de 50% no Fluxo de Caixa
Tabela 10 – Parâmetros para a Opção de Expansão
A decisão ótima em cada período é tomada comparando-se o valor de
continuação com o valor da opção de expansão naquele período:
max {Valor de Continuaçao , Valor de Expansão}
max { Vt , Ct + 1.5Vt − 0.25 I }
94
Vt = Valor de Continuação no período t
Ct =
I=
Fluxo de Caixa do Projeto no período t
Investimento Líquido no Projeto16
4.8. Solução
A modelagem deste projeto através dos modelos tradicionais de tempo
contínuo
tem
formulação
matemática
complexa
devido
às
suas
características, que são comuns a este tipo de projetos. Essas características
são as três fontes de incerteza estocásticas, o tempo finito da concessão (20
anos), o limite superior para o volume de tráfego na rodovia, e a existência
de opções múltiplas ao longo de sua vida útil. Na modelagem proposta
veremos que estas questões podem ser resolvidas sem maiores problemas
sem ter que recorrer a simplificações exageradas na modelagem do
problema.
4.8.1. Modelagem Determinística: FCD sem Opções
Foi considerado inicialmente apenas o projeto em condições de
certeza, para efeito da montagem do cenário básico, sem a inclusão de
nenhum tipo de opção de flexibilidade gerencial. Foi adotada a taxa de custo
de capital próprio (ke) de 21%, que foi considerado como o custo de capital
ajustado ao risco do projeto, e computado o valor presente do projeto
através do método do Fluxo de Caixa Descontado (FCD) tradicional
utilizando uma planilha, conforme dados da Tabela 8. O valor encontrado
foi de R$ 106,539 milhões. Dado que o valor presente dos investimentos
líquidos é de R$ 110,804 milhões, o Valor Presente Líquido (VPL) do
projeto é negativo em R$ 4,264 milhões, o que, de acordo como o FCD
tradicional, não recomendaria o investimento. Seguindo Copeland &
Antikarov, o valor do projeto de R$ 106,539 será tomado como o valor de
mercado do projeto, o que nos permitirá considerar o mercado completo e
utilizar probabilidades neutras a risco para descontar o fluxo de caixa do
16
Valor Presente do investimento total no projeto menos o financiamento de terceiros
95
projeto à taxa livre de risco. Para tanto, precisamos apenas determinar a
volatilidade do projeto para que o portfólio replicante e as probabilidades
neutras a risco possam ser determinados. Isso é feito através da modelagem
das incertezas de mercado do projeto. Na Figura 22 podemos observar a
dinâmica do valor do projeto no modelo determinístico, notando que devido
aos grandes investimentos necessários nos primeiros anos da concessão, o
valor do projeto tem uma queda nos anos iniciais e tem o seu valor máximo
apenas na segunda metade da concessão.
250,000
200,000
150,000
100,000
50,000
0
0
5
10
15
20
Figura 22 – Dinâmica do Valor do Projeto
4.8.2. Determinação da Volatilidade do Projeto
Dado que não utilizaremos nenhuma taxa de desconto exógena, nem
adotaremos premissas a respeito do comportamento estocástico dos retornos
do projeto em relação a um portfólio replicante qualquer, a volatilidade do
projeto será determinada através de simulação de Monte Carlo das variáveis
de risco de mercado existentes no projeto.
Uma vez determinado o valor de mercado do projeto, definimos em
seguida o processo estocástico das suas incertezas de mercado, que no caso
são o volume de tráfego diário, a taxa de câmbio e de juros que irão vigorar
ao longo de todo o período da concessão. Essas três incertezas contribuem
para a incerteza de mercado sobre o valor do projeto. Fazendo uma
Simulação de Monte Carlo, e considerando os parâmetros e as distribuições
estocásticos previamente determinados para cada uma dessas variáveis, a
96
cada iteração obtemos um novo conjunto de projeções para as variáveis
estocásticas do modelo, e consequentemente, para o Fluxo de Caixa, para o
Valor Presente e para a taxa de retorno do projeto. A variável estocástica
taxa de retorno é definida como:
V 
k = ln  1 
 V0 
onde V0 é o Valor Presente do projeto obtido no cenário
determinístico, V1 é a variável estocástica do valor do projeto daqui a um
ano, que incorpora o fluxo de caixa C1 do projeto no ano 1. A partir dessa
Simulação de Monte Carlo, com um número de iterações suficientes
podemos obter a volatilidade do projeto, que será o desvio padrão
anualizado da sua taxa de retorno k. Podemos verificar que a inclusão de
mais fontes de incerteza na modelagem de risco do projeto é trivial, uma vez
determinados os parâmetros estocásticos de cada uma das variáveis. Foram
feitas duas simulações com 10.000 iterações cada e uma terceira com 50.000
iterações, cujos resultados estão apresentados na Tabela 11.
2
3
Retorno (k) 0.1578
0.1592
0.1583
Volatilidade (σ) 0.2047
0.2002
0.2004
Simulação n.º
1
Tabela 11 – Simulação de Monte Carlo
Os resultados da simulação apresentados na Tabela 11 indicam que a
volatilidade do projeto é de cerca de σ = 0.20, demonstrando que a
volatilidade do projeto não guarda qualquer relação com as volatilidades das
suas fontes de incerteza de mercado.
4.8.3. Árvore do Projeto
Tendo determinado o Valor Presente do projeto e a sua volatilidade,
podemos modelar a distribuição estocástica do projeto como um Movimento
Geométrico Browniano (MGB) através de um modelo binomial. Essa
97
modelagem é semelhante ao de uma ação que paga uma taxa de dividendos
que é constante em cada estado de um mesmo período, mas que pode variar
de um período para outro, conforme solução proposta por Copeland &
Antikarov (2001), pg. 251. No entanto, além de ser de trabalhoso, este
método apresenta o inconveniente de não ser intuitivo, pois trabalha com o
Valor Presente do projeto em cada período ao invés do fluxo de caixa como
é de costume, e principalmente, não permite a inclusão das opções de
flexibilidade diretamente no modelo.
Neste trabalho propomos um método alternativo que utiliza uma
árvore de decisão com um modelo binomial para modelar o valor do projeto
em função dos seus fluxos de caixa estocásticos, de tal forma que o valor do
projeto siga um MGB com os parâmetros predeterminados. Esse método
tem a vantagem de ser de aplicação bem mais simples e pode ser utilizado
em softwares de árvores de decisão, o que permite a modelagem das opções
de flexibilidade diretamente no modelo. Além disso, ao contrário dos
valores presentes, os fluxos de caixa em cada ano mantêm uma relação
linear com os inputs do projeto, facilitando a análise e modelagem das
opções.
Dadas as dimensões da árvore de decisão final do projeto, a sua
elaboração manual e mesmo visualização por inteiro se tornam impossíveis,
uma vez que a sua complexidade cresce exponencialmente com o número de
períodos. Uma representação simplificada utilizada é mostrada no modelo
de árvore do projeto da Figura 23, onde cada nó de incerteza indica que esta
incerteza ocorre em cada um dos estados do período anterior17.
Alto
Alto
Alto
Alto
Alto
Alto
Alto
Alto
Alto
Alto
T1/k
Baixo
T2/k^2
Baixo
T3/k^3
Baixo
T4/k^4
Baixo
T5/k^5
Baixo
T6/k^6
Baixo
T7/k^7
Baixo
T8/k^8
Baixo
T9/k^9
Baixo
T10/k^10
a
Baixo
T1/k
T2/k^2
T3/k^3
T4/k^4
T5/k^5
T6/k^6
T7/k^7
T8/k^8
T9/k^9
T10/k^10
T12
T11
a
T13
T14
T15
T17
T16
T19
T18
Alto
Alto
Alto
Alto
Alto
Alto
Alto
Alto
Alto
Alto
T11/k^11
Baixo
T12/k^12
Baixo
T13/k^13
Baixo
T14/k^14
Baixo
T15/k^15
Baixo
T16/k^16
Baixo
T17/k^17
Baixo
T18/k^18
Baixo
T19/k^19
Baixo
T20/k^20
Baixo
T11/k^11
T12/k^12
T13/k^13
T14/k^14
T15/k^15
T16/k^16
T17/k^17
T18/k^18
T19/k^19
T20/k^20
Figura 23 – Modelo Binomial do Projeto
17
T20
No modelo binomial apresentado k = 1+r
98
Este modelo gera uma Árvore de Decisão com todas as ramificações
que representam o processo estocástico do Valor do Projeto, sendo que o
número de estados finais é de 220. A árvore de decisão correspondente está
apresentada na Figura 24, onde são mostrados apenas os cinco primeiros
períodos. Utilizando-se probabilidades neutras a risco, obtém-se um
resultado de V0
= R$ 106,540 milhões, idêntico ao da planilha. Foi
considerado que a taxa livre de risco é de 8% a.a.
A lto
.6 2 6
A lto
.6 2 6
T3
[1 3 7 7 8 7 ]
2 4 4 0 3 .6
B a ix o
.3 7 4
A lto
.6 2 6
T4
[1 5 1 1 8 4 ]
1 4 6 4 4 .1
T4
[1 1 5 4 0 4 ]
9 4 3 1 .3 3
T2
[1 2 2 9 2 3 ]
2 6 2 6 4 .1
A lto
.6 2 6
B a ix o
.3 7 4
T4
[1 0 6 7 1 7 ]
9 4 3 1 .3 3
T3
[9 8 0 8 9 .1 ]
1 5 7 1 6 .8
B a ix o
.3 7 4
T4
[8 3 6 7 3 .4 ]
6 0 7 4 .1 2
T1
[1 0 6 5 4 0 ]
A lto
.6 2 6
A lto
.6 2 6
T3
[8 8 7 4 0 ]
1 5 7 1 6 .8
B a ix o
.3 7 4
B a ix o
.3 7 4
T4
[9 7 3 6 8 ]
9 4 3 1 .3 3
T4
[7 4 3 2 4 .3 ]
6 0 7 4 .1 2
A lto
.6 2 6
T5
[1 6 4 3 8 9 ]
1 4 8 5 7 .3
B a ix o
.3 7 4
T5
[1 2 9 1 2 1 ]
9 5 6 8 .6 2
A lto
.6 2 6
T5
[1 2 3 9 0 8 ]
9 5 6 8 .6 2
B a ix o
.3 7 4
T5
[1 0 1 1 9 5 ]
6 1 6 2 .5 4
A lto
.6 2 6
T5
[1 1 5 2 2 2 ]
9 5 6 8 .6 2
B a ix o
.3 7 4
T5
[9 2 5 0 7 .8 ]
6 1 6 2 .5 4
A lto
.6 2 6
T5
[8 9 1 5 0 .6 ]
6 1 6 2 .5 4
B a ix o
.3 7 4
T5
[7 4 5 2 2 .1 ]
3 9 6 8 .9
A lto
.6 2 6
T5
[1 0 5 8 7 3 ]
9 5 6 8 .6 2
B a ix o
.3 7 4
T5
[8 3 1 5 8 .7 ]
6 1 6 2 .5 4
A lto
.6 2 6
T5
[7 9 8 0 1 .5 ]
6 1 6 2 .5 4
B a ix o
.3 7 4
T2
[7 9 1 6 7 .2 ]
169 15
A lto
.6 2 6
B a ix o
.3 7 4
T4
[6 8 7 2 9 .7 ]
6 0 7 4 .1 2
T3
[6 3 1 7 2 .9 ]
1 0 1 2 2 .2
B a ix o
.3 7 4
T4
[5 3 8 8 8 .7 ]
3 9 1 1 .9 5
T5
[6 5 1 7 3 ]
3 9 6 8 .9
A lto
.6 2 6
T5
[7 4 2 0 6 .9 ]
6 1 6 2 .5 4
B a ix o
.3 7 4
T5
[5 9 5 7 8 .4 ]
3 9 6 8 .9
A lto
.6 2 6
T5
[5 7 4 1 6 .2 ]
3 9 6 8 .9
B a ix o
.3 7 4
T5
[4 7 9 9 4 .9 ]
2 5 5 6 .1 2
4.8.4. Modelo 1 - Opção de Expansão
Incorporamos três opções de expansão para esse projeto nos anos 4, 7
e 10, (Figura 25) representando oportunidades para expandir o negócio, seja
99
através de investimentos no aumento da capacidade de tráfego na rodovia,
seja através de novas licitações que virão a ser feitas pelo Estado no futuro.
Considerando o grande número de estradas ainda por privatizar e as
significativas exigências de investimento de capital para as futuras
concessões, considerou-se que haverá um número suficientemente grande de
licitações e suficientemente reduzido de empresas habilitadas a participar,
configurando-se então estas oportunidades de expansão como opções
proprietárias para este projeto.
D ec7
D ec4
T1
T2
A lto
A lto
A lto
A lto
T1/k
B aixo
T2/k^2
B aixo
T3/k^3
B aixo
T4/k^4
B aixo
T1/k
T2/k^2
T3/k^3
T4/k^4
T4
T3
T5
E xpande
-E xp*Inv /k^4
T6
T7
a
a
E xpande
A lto
A lto
A lto
T5/k^5
B aixo
T6/k^6
B aixo
T7/k^7
B aixo
T5/k^5
T6/k^6
T7/k^7
T12
T13
N ao E xpande
a
-E xp*Inv /k^7
N ao E xpande
b
D ec10
T8
b
T9
E xpande
A lto
A lto
A lto
T8/k^8
B aixo
T9/k^9
B aixo
T10/k^10
B aixo
T8/k^8
T9/k^9
T10/k^10
T14
d
T10
A lto
T15
-E xp*Inv /k^10
T16
c
A lto
T14/k^14
B aixo
T15/k^15
B aixo
T14/k^14
T15/k^15
A lto
A lto
A lto
T11/k^11
B aixo
T12/k^12
B aixo
T13/k^13
d
B aixo
T11/k^11
T12/k^12
N ao E xpande
c
T17
A lto
T11
c
T18
T19
T13/k^13
T20
A lto
A lto
A lto
A lto
T16/k^16
B aixo
T17/k^17
B aixo
T18/k^18
B aixo
T19/k^19
B aixo
T20/k^20
B aixo
T16/k^16
T17/k^17
T18/k^18
T19/k^19
T20/k^20
Figura 25 – Árvore de Decisão com Opção de Expansão
A análise mostra que o valor do projeto aumenta de R$ 106,539
milhões para R$ 139,514 milhões com a presença das opções de expansão
(Figura 26), onde podemos ver os primeiros três períodos da árvore de
decisão.
b
100
T2
[162920]
25744
Alto
.649
T1
[139514]
T2
[96267.6]
17256.7
Baixo
.351
Alto
.649
T3
[186706]
23446.7
Baixo
.351
T3
[118971]
15716.8
Alto
.649
T3
[110484]
15716.8
Baixo
.351
T3
[70000.8]
10535.3
Figura 26 – Valor do Projeto com Opção de Expansão
A política ótima de investimentos é mostrada na Figura 27. Podemos
ver que na grande maioria das vezes (85% para a opção do ano 4) será ótimo
aproveitar as oportunidades de expansão que possam surgir no futuro.
D ec4
D ec7
E xpande
D ec10
E xpande
0.872407
N ao_E xpande
E xpande
0.767537
N ao_E xpande
0.127593
(does not occur)
0.790581
N ao_E xpande
0.232463
(does not occur)
0
0.209419
(does not occur)
0
É possível que exista uma margem de erro sobre o tamanho da
oportunidade de expansão. Foi feita então uma análise de sensibilidade
sobre o fator de expansão, que está apresentada na Figura 28. As mudanças
de cores indicam a fronteira onde ocorre uma alteração na estratégia ótima
da empresa. Os resultados indicam que o valor do projeto aumenta com o
tamanho da expansão, o que era de se esperar.
0
101
Figura 28 – Valor do Projeto: Sensibilidade ao Fator de Expansão
Foi analisada também a sensibilidade do projeto ao valor do
investimento necessário para a sua expansão. Os resultados estão na Figura
29. Podemos ver que o valor da opção de expansão é bastante sensível ao
valor do investimento, e é inversamente correlacionado com o volume do
investimento.
Figura 29 – Valor do Projeto: Sensibilidade ao Investimento na Expansão
102
4.8.5. Modelo 2 - Opção de Expansão e de Abandono
Nesta análise foi incluída a opção de abandono nos anos 4 a 10. A
modelagem parcial do problema mostrando apenas o trecho do projeto com
as opções entre os anos 4 e 10 pode ser observada na Figura 30, sendo que
os demais períodos não sofrem nenhuma alteração. O preço de exercício da
opção de abandono é o saldo entre os valores a receber pela indenização dos
investimentos realizados e o custo da quitação do saldo devedor dos
empréstimos.
D e c7
D e c4
D e c6
E xpa nde
a
-E xp *In v/k^4
C ontinu a
a
T6
D e c5
A lto
T7 /k^7
B aixo
T5
C ontinu a
A lto
a
A ba nd ona
5 29 71 /k^4
T7
A lto
T5 /k^5
B aixo
T5 /k^5
C ontinu a
T6 /k^6
B aixo
T7 /k^7
A ba nd ona
6 77 84 /k^6
T6 /k^6
A ba nd ona
6 05 95 /k^5
E xpa nde
b
-E xp *In v/k^7
C ontinu a
b
A ba nd ona
7 45 71 /k^7
D ec1 0
D e c9
D e c8
T8
b
A lto
T8 /k^8
B aixo
T8 /k^8
C ontinu a
A ba nd ona
8 08 30 /k^8
T9
A lto
T9 /k^9
B aixo
T9 /k^9
C ontinu a
A ba nd ona
8 68 24 /k^9
T 10
A lto
T1 0/k^1 0
B aixo
T1 0/k^1 0
E xpa nde
-E xp*Inv/k^1 0
C ontinu a
A ba nd ona
86 61 3/k^10
Figura 30 – Modelo Parcial com Opção de Expansão e Abandono
A Figura 31 nos mostra uma visão parcial da árvore de decisão
incorporando ambas os tipos de opções. Este modelo tem cerca de 8 milhões
de estados possíveis, e o Valor Presente do projeto é computado da forma
usual de Programação Dinâmica, começando-se do final, utilizando-se as
probabilidades neutras a risco em cada incerteza, e tomando-se a decisão
ótima em cada oportunidade de decisão. Em função do valor das opções
incluídas no modelo, o valor do projeto sobe agora para R$ 147,812
milhões.
T1
[1 4 7 8 1 2 ]
T2
[1 6 8 0 2 0 ]
2 5 7 44
T2
[1 1 0 4 7 4 ]
1 7 2 5 6 .7
A lto
.6 49
B a ixo
.3 51
B a ixo
.3 51
A lto
.6 49
T3
[1 2 8 8 0 1 ]
1 5 7 1 6 .8
T3
[1 8 9 2 4 6 ]
2 3 4 4 6 .7
T4
[1 4 7 3 2 0 ]
9 2 4 4 .5 7
T4
[2 1 1 9 3 7 ]
1 3 7 9 1 .3
B a ixo
.3 51
D e c4
[1 6 5 4 6 1 ]
9 1 9 3 .4 3
D e c4
[2 3 7 0 9 1 ]
1 3 7 15
A b a n d o na
C on tin ua
E x p a n de
A b a n d o na
C on tin ua
[1 1 1 1 1 1 ]
3 8 9 3 5 .3
T5
[1 4 6 3 5 7 ]
T5
[1 6 5 4 6 1 ]
-2 0 3 6 1 .1
[1 1 5 6 3 2 ]
3 8 9 3 5 .3
T5
[1 8 9 6 0 9 ]
T5
[2 3 7 0 9 1 ]
-2 0 3 6 1 .1
B a ixo
.3 51
A lto
.6 49
B a ixo
.3 51
D e c5
[1 3 4 2 8 8 ]
5 3 3 4 .7
D e c5
[1 8 2 3 3 2 ]
7 9 5 8 .4 4
D e c5
[1 8 6 8 5 4 ]
7 9 5 8 .4 4
D e c5
[2 6 4 2 8 1 ]
1 1 8 7 2 .6
A b a n d o na
C on tin ua
A b a n d o na
C on tin ua
A b a n d o na
C on tin ua
A b a n d o na
C on tin ua
Figura 31 – Árvore de Decisão com Opção de Expansão e Abandono
B a ixo
.3 51
A lto
.6 49
A lto
.6 49
E x p a n de
A lto
.6 49
[9 83 8 9 .1 ]
4 1 2 3 9 .9
[1 0 1 0 1 3 ]
4 1 2 3 9 .9
T6
[1 3 4 2 8 8 ]
T6
[1 8 2 3 3 2 ]
[1 0 5 5 3 4 ]
4 1 2 3 9 .9
T6
[1 8 6 8 5 4 ]
[1 0 9 4 4 9 ]
4 1 2 3 9 .9
T6
[2 6 4 2 8 1 ]
B a ixo
.3 51
A lto
.6 49
B a ixo
.3 51
A lto
.6 49
D e c6
[1 5 1 3 8 0 ]
4 9 5 1 .9 4
D e c6
[2 0 6 0 5 2 ]
7 3 8 7 .4 3
D e c6
[2 0 9 9 6 6 ]
7 3 8 7 .4 3
D e c6
[2 9 3 6 7 6 ]
1 1 0 2 0 .7
A b a n d o na
C on tin ua
A b a n d o na
C on tin ua
A b a n d o na
C on tin ua
A b a n d o na
C on tin ua
[1 1 1 9 6 2 ]
4 2 7 1 5 .4
[1 1 4 3 9 7 ]
4 2 7 1 5 .4
T7
[1 5 1 3 8 0 ]
T7
[2 0 6 0 5 2 ]
[1 1 8 3 1 1 ]
4 2 7 1 5 .4
[1 2 1 9 4 5 ]
4 2 7 1 5 .4
T7
[2 0 9 9 6 6 ]
T7
[2 9 3 6 7 6 ]
103
104
A política ótima (Figura 32) mostra que a opção de abandono só será
exercida a partir do ano 9, o que aparentemente é contra intuitivo, pois seria
de se esperar que o seu valor fosse alto nos anos iniciais, quando existem
maiores probabilidades do projeto apresentar fluxos de caixa negativos. O
motivo da opção não ser exercida é que nos anos iniciais o valor de
abandono é onerado pela necessidade de se quitar o saldo devedor dos
empréstimos de longo prazo do projeto. Esse saldo devedor diminui à
medida que esses empréstimos vão sendo quitados, o que faz com que o
valor de abandono cresça com o tempo até tornar essa opção dentro do
dinheiro no ano 9.
D ec4
D ec5
E xpande
C ontinua
D ec6
C ontinua
0.560921
A bandona
A bandona
C ontinua
0
0
0.439079
(does not occur)
(does not occur)
A bandona
1
1
0
0
0
(does not occur)
0
D ec7
D ec8
D ec9
E xpande
0.62939
C ontinua
C ontinua
C ontinua
1
0.37061
A bandona
A bandona
0.606595
A bandona
0
0
(does not occur)
(does not occur)
0
0
E xpande
0.567803
C ontinua
0
A bandona
0.393405
(does not occur)
D ec10
0.0387921
(does not occur)
0.393405
0
105
4.8.6. Modelo 3 - Opção de Expansão e de Abandono com Risco
Político
O modelo adotado está apresentado em parte (apenas anos 10 a 15 da
concessão) na Figura 33, e incorpora o risco de uma redução no valor do
pedágio nesse período. Esse risco é modelado de forma cumulativa, o que
significa que poderá haver redução do pedágio em maior ou menor grau em
um, dois, ou todos os anos compreendidos neste período. Dado que o risco
político da concessão é um risco privado da concessionária, no sentido de
que ele não é correlacionado com o mercado, a sua presença torna o
mercado incompleto para este projeto, e consequentemente, não teríamos
mais como determinar a taxa de desconto apropriada. Ao contrário dos
riscos de tráfego (PIB) e de taxa de câmbio, o risco político não pode ser
hedgeado por nenhum portfólio de títulos de mercado. Analisaremos o
problema de duas formas, considerando inicialmente neutralidade a risco, e
posteriormente, de aversão ao risco não sistemático.
4.8.7.1. Investidor neutro ao risco não sistemático
Consideramos inicialmente que o acionista é suficientemente
diversificado para apresentar comportamento neutro ao risco não
sistemático, e portanto, é calculado o Valor Esperado da incerteza de risco
político em cada uma das suas ocorrências. Nesse sentido, a análise
demonstrou, como era de se esperar, que o risco político afeta
negativamente o resultado do projeto, fazendo com que o seu valor se
reduza de R$ 147,812 milhões para R$ 139,739 milhões.
106
Dec10
RP10
T10
Nenhum
Expande
Medio
-Exp*Inv/k^10
Continua
Grande
Abandona
Alto
T10/k^10
Baixo
T10/k^10
a
a
86613/k^10
T11
RP11
T12
Nenhum
Alto
a
T11/k^11
Baixo
T11/k^11
RP13
Medio
Grande
T14
T12/k^12
Baixo
T12/k^12
Grande
Alto
Medio
T13/k^13
b
Baixo
Grande
T13/k^13
RP14
T15
Nenhum
Alto
Medio
T14/k^14
Baixo
T14/k^14
T13
Nenhum
Alto
Nenhum
b
RP12
Medio
Grande
RP15
Nenhum
Alto
T15/k^15
Baixo
T15/k^15
Medio
Grande
Figura 33 – Modelagem do Risco Político
O modelo tem cerca de 268 milhões de estados finais possíveis e sua
modelagem apenas é possível através de programas de geração automática
de árvores de decisão. Dada a impossibilidade de visualização de uma
árvore com estas dimensões, para efeito de simplificação, apresentamos
apenas a modelagem do risco político abrangendo os anos 10 a 15. Os
demais períodos permanecem inalterados desde a última modelagem.
4.8.7.2. Investidor avesso ao risco não sistemático
No caso em que o investidor não esteja adequadamente diversificado
em relação ao projeto, é provável que este investidor apresente
comportamento avesso ao risco com relação ao risco não sistemático.
Exemplos de comportamento avesso ao risco privado não se restringem a
pequenos investidores ou empresas familiares de pequeno porte. A
experiência brasileira no programa de privatização de serviços de infraestrutura mostrou que a formação de consórcios para participar dos leilões
107
de privatização foi um dos arranjos preferidos pelos investidores, com
exemplos como os da VBC (Grupo Votorantim, Bradesco e Camargo
Corrêa) no setor de energia e CCR – Companhia de Concessões
Rodoviárias, formada inicialmente pela Camargo Corrêa, Andrade Gutierrez
e Construtora Norberto Odebrecht, e ainda o Consórcio Brasil, que adquiriu
a Companhia Vale do Rio Doce – CVRD. A justificativa mais plausível para
que
uma
empresa
reduza
voluntariamente
sua
participação
num
investimento rentável seria o interesse em reduzir também a sua exposição
ao risco não sistemático, o que indica um comportamento avesso a esse tipo
de risco por parte dessas empresas.
Para o caso do projeto em análise, foram aplicados os parâmetros
definidos por Howard (1988) para a Construtora Norberto Odebrecht (CNO)
para a época da concessão da Via Dutra no ano de 1996, temos:
CNO (1996)
R$ Milhões
Fator
Tolerância ao Risco
4.763
0.064
304.8
Lucro
396
1.24
491.0
Patr. Líquido
3372
0.157
529.0
Vendas
Tabela 12 – Determinação da Tolerância ao Risco para CNO
Com base na Tabela 12 foi feita uma análise de sensibilidade para
valores de Tolerância ao Risco entre R$ 100 milhões e R$ 600 milhões para
o cálculo do Equivalente Certo do projeto.
Considerando uma função
utilidade com uma TR de R$300 milhões, o Equivalente Certo do projeto é
de R$ 133,803 milhões, o que implica numa redução de valor do projeto
devido a aversão do investidor ao risco político. Para valores de TR
maiores, a redução de valor diminui, uma vez que uma TR maior indica uma
menor aversão ao risco privado. Na Figura 34 vemos o resultado da análise
de sensibilidade do grau de Tolerância ao Risco (TR) que apresenta o
Equivalente Certo do projeto para diversos níveis de TR. Cada mudança de
cor indica que ocorre uma mudança na política ótima do projeto.
108
Figura 34 – Análise de Sensibilidade: Nível de Tolerância ao Risco
5 Conclusões e Recomendações
Apresentamos a seguir as principais conclusões alcançadas e
recomendações para trabalhos futuros a partir dos resultados obtidos até
agora.
5.1. Conclusões
O modelo proposto apresenta uma maneira simples e direta de se
implementar técnicas de avaliação por opções reais utilizando-se
ferramentas
computacionais
padronizadas
disponíveis
no
mercado,
permitindo incluir inúmeras fontes de incerteza e analisar diversos tipos de
opções reais simultaneamente sem tornar o método demasiadamente
complexo. Isso é feito através da modelagem do projeto através de uma
árvore binomial, e aplicando-se técnicas de Decision Analysis para a
incorporação das flexibilidades gerenciais e valoração da oportunidade de
investimento em larga escala. A análise realizada mostra que se aplicada
corretamente, esta metodologia pode vir a ser uma alternativa viável para o
problema de avaliação de projetos com flexibilidade em ambiente de
incerteza.
O uso de ferramentas de Decision Analysis em Opções Reais só é
possível devido à evolução das ferramentas computacionais modernas que
oferecem um poder de processamento que começa a tornar viável a sua
aplicação aos problemas de avaliação da flexibilidade gerencial de projetos.
Como ilustração do método proposto, no Capítulo 4 foi modelado um
problema complexo de um projeto com três fontes de incerteza estocásticas
que paga um dividendo que varia com o tempo, tem vida útil finita,
apresenta múltiplas opções reais e que está ainda sujeito a risco privado
(político). Os resultados mostraram, como era de se esperar, que o valor do
projeto aumenta com a presença de opções reais, e que a opção de expansão
tem valor significativamente superior ao da opção de abandono. Isso pode
110
ser explicado pela forma com que o projeto foi financeiramente estruturado
para reduzir o risco dos investidores (Project Finance), o que faz com que o
preço de exercício da opção de abandono seja suficientemente alto para
tornar essa opção pouco atrativa durante os primeiros anos do projeto. Se
por um lado o Project Finance permite aos investidores no projeto repartir o
risco de mercado com os credores, por outro os obriga preservar estes
credores de quaisquer ônus decorrentes de uma decisão de terminação
unilateral.
As conclusões gerais que obtemos dos resultados obtidos são:
♦
A metodologia proposta, desenvolvida a partir dos conceitos de
Copeland & Antikarov, permite a modelagem através da teoria
das Opções Reais de projetos complexos usando uma premissa
menos restritiva (premissa primeira) do que a premissa usual de
que o mercado é completo, e possibilita uma escolha mais
coerente da taxa de desconto para o projeto em mercados
incompletos.
♦
O uso da premissa de que o valor presente do projeto, conforme
calculado pelo Fluxo de Caixa Descontado tradicional, é um
estimador do valor de mercado do projeto permite que se
considere que o mercado seja completo e a solução do problema
seja feita através de probabilidades neutras a risco.
♦
Ao contrário dos métodos tradicionais de valoração de Opções
Reais em tempo continuo, o número de incertezas que podem ser
modeladas com esta metodologia é ilimitado.
♦
A modelagem de características particulares do projeto, como a
limitação da capacidade de trafego da rodovia a um determinado
volume de tráfego podem ser implementadas com bastante
facilidade.
♦
O uso de métodos de Árvore de Decisão permite a modelagem
de diversos tipos de opção, como opções múltiplas e opções com
preço de exercício variável. A modelagem de um tipo de opção
pode ser exercida em alguns períodos, mas não em outros, que é
111
comum em projetos de pesquisa e desenvolvimento, também
pode ser feita.
♦
A única limitação ao grau de complexidade de modelagem
possível é a capacidade atual de processamento matemático das
ferramentas computacionais atuais, tanto de hardware como de
software. Dado que a complexidade da árvore de decisão cresce
exponencialmente com o número de opções, a sua modelagem
somente pode ser feita através do uso de ferramentas de geração
de
árvores de decisão. Mesmo modelos menos complexos
podem rapidamente escalar para
árvores de decisão com
centenas de milhões de estados possíveis.
♦
A metodologia proposta oferece uma modelagem mais racional
para o problema do risco não sistemático, permitindo que o seu
impacto sobre o valor do projeto seja modelado a partir das
preferências de risco do investidor medidas pelo seu nível de
tolerância ao risco, ao invés de se adotar uma taxa de risco
arbitrária que pode levar a decisões não ótimas. Vimos também
que na ausência de meios para se medir diretamente a TR do
investidor, ela pode ser inferida a partir dos dados contábeis
5.2. Limitações da metodologia
A principal limitação desta metodologia é relacionada com as
premissas adotadas, que foram primeiro sugeridas por Copeland e Antikarov
(2001). O uso da premissa primeira como meio de se criar um mercado
completo e eficiente para um projeto que não é negociado, pode levar a
erros significativos uma vez que esta hipótese não pode ser testada no
mercado. A escolha da taxa de desconto apropriada para o projeto base fica
a critério do analista e o uso de custo médio ponderado de capital (WACC)
pode não ser adequada para todos os tipos de projetos. Esse problema não
decorre da metodologia proposta, mas é inerente e afeta igualmente a
metodologia do FCD tradicional já em uso há varias décadas.
O conceito de projeto sem opções pode não ser relevante para algumas
classes de projetos, como aqueles da industria farmacêutica onde as opções
112
associadas ao desenvolvimento de novas drogas são podem ser dissociadas
do projeto. Da mesma forma, a premissa segunda de que os retornos do
projeto seguirão um caminho aleatório deve ser considerada apenas como
uma aproximação, uma vez que requer mercados eficientes para o projeto e
exclui a possibilidade da ocorrência de eventos discretos como “jumps”.
5.3. Recomendações para trabalhos futuros:
As recomendações foram divididas em dois grupos: recomendações e
extensões futuras a respeito da modelagem do problema da valoração de
projetos através da teoria das Opções Reais, e recomendações a respeito das
ferramentas computacionais para a sua solução.
5.3.1. Modelagem de Opções Reais
♦
Projetos com volatilidade variável podem ser incorporados ao
modelo, alterando-se o valor dos incrementos u e d em cada nó ao
longo do tempo. O efeito disso é que a árvore de decisão deixa
de ser uma árvore recombinante e o número de estados aumenta
substancialmente.
♦
Na aplicação apresentada no Capítulo 4, foi considerado que as
opções do projeto eram opções proprietárias. Em muitas
situações, pode existir mais de uma empresa competindo pela
mesma oportunidade de investimento e a decisão ótima deve
levar em conta as possíveis decisões das empresas concorrentes.
O caso de duas empresas concorrentes foi abordado por
Grenadier (2000), Trigeorgis (1996) e Smit e Ankum (1993).
Uma extensão possível deste trabalho é a implantação de um
modelo incorporando os conceitos desenvolvidos por estes
autores em relação à Teoria dos Jogos.
113
5.3.2. Ferramentas de Análise
♦
Os programas de árvore de decisão existentes não levam em
conta as características da modelagem proposta, onde grande
parte da árvore de decisão é recombinante.
♦
Isso faz com que o número de alternativas possíveis cresça
exponencialmente com o tempo, independente do número de
opções.
Por
exemplo,
para
uma
malha
recombinante, o número de nós ao final de
n
binomial
não
períodos é de 2n,
enquanto que para uma malha recombinante o número é de
apenas 2n –1.
♦
Dessa forma, uma direção para pesquisa futura nessa área seria o
desenvolvimento de software específico em linguagem de
programação para reduzir o tempo de processamento utilizandose o fato de que a estrutura particular da árvore de decisão do
projeto é uma malha binomial recombinante, o que reduz
drasticamente a quantidade de nós gerados.
♦
O programa necessitaria ter uma interface com o usuário
simplificada que lhe permita inserir os dados e características do
projeto com facilidade. Essa é uma das principais dificuldades a
serem vencidas, pois se a complexidade na entrada de dados e
modelagem do problema for demasiada o método será de pouca
utilidade.
♦
Uma ferramenta otimizada para as características do processo
desenvolvido com uma interface amigável permitiria a
modelagem de projetos ainda mais complexos e com um nível
ainda maior de detalhe do que o possível no momento com as
ferramentas disponíveis.
114
6 Apêndices
6.1. Processos Estocásticos
Processo de Markov é um processo em que a distribuição de
probabilidade do valor futuro de uma variável depende apenas do seu valor
atual. Random Walk é um processo de Markov que possui incrementos
independentes na forma xt = xt-1 + εt, onde εt é um fator de erro com
distribuição normal, onde ε t ∼ N (0, σ 2 ) . Random walk pode ser com ou
sem crescimento (drift). Um Processo de Wiener, também conhecido como
Movimento Browniano, é um processo de Markov em tempo contínuo com
incrementos independentes, onde estes incrementos são normalmente
distribuídos com variância que cresce linearmente com o tempo. É uma
versão de Random Walk em tempo contínuo, na forma:
onde dz = ε dt
xt = xt −1 + dz
e ε ∼ N (0,1)
Movimento Aritmético Browniano (MAB) é um processo de Wiener
com drift, portanto, também é um random walk. A sua forma é:
xt = xt −1 + µ dt + σ dz
dx = µ dt + σ dz
dx ∼ N ( µ t , σ 2t )
Movimento Geométrico Browniano (MGB) é um processo de tempo
contínuo onde os incrementos são proporcionais e não mais absolutos como
no MAB. A sua forma é:
dx = µ xdt + σ xdz
ou
dx
= µ dt + σ dz
x
Podemos observar que o incremento proporcional, ou taxa de
incremento em x, (
dx
dx
) , é um MAB e portanto temos
∼ N ( µ t , σ 2t ) .
x
x
115
Podemos também escrever
d
1
dx
e verificar que
( ln x ) = dx =
dx
x
x
dx
é
x
também o incremento em ln x. Uma variável lognormal é uma variável cujo
logaritmo natural tem uma distribuição normal. Se
normal, e
dx
tem distribuição
x
dx d
= ( ln x ) , então x tem distribuição lognormal, ou seja, um
x dx
MGB. A distribuição de d ln x pode ser determinada através do Lema de Itô.
Seja x uma variável lognormal na forma dx = µ xdt + σ xdz , e R = ln x.
Então ∂R ∂x = 1 x , ∂ 2 R ∂x 2 = −1 x 2
e ∂R ∂t = 0 . Por Itô temos:
 ∂R
∂R 1 ∂ 2 R 2 2 
∂R
dR = 
µx +
+
σ x  dt + σ xdz
2
∂t 2 ∂x
∂x
 ∂x

1 

dR =  µ − σ 2  dt + σ dz
2 


σ2  2 
R = ln x ∼ N   µ −
 t ,σ t 
2 


(6.1)
Podemos observar que se os incrementos proporcionais ∆x/x, ou
sejam, os retornos, são normalmente distribuídos, então os incrementos
absolutos ∆x são lognormalmente distribuídos.
6.2. Programação Dinâmica com Processos Estocásticos
Distintos
No caso de duas variáveis estocásticas, em que uma das variáveis
segue um Movimento Geométrico Browniano e a outra siga um processo de
reversão à média, por exemplo, a equação de valor do projeto se altera.
A Equação Geral de Bellman para duas variáveis onde ut é a variável
de controle e C(x,y,u,t) ∆t é o fluxo de lucros durante um período de tempo
∆t é:


1
F ( x, y, t ) = max C ( x, y, u, t )∆t +
Et [ F ( xt +∆t , yt +∆t , t + ∆t ) ]
1 + ρ∆t
ut 

116
(1 + ρ∆t ) F ( x, y, t ) = max {C ( x, y, u, t )∆t (1 + ρ∆t ) + Et [ F ( xt +∆t , yt +∆t , t + ∆t )]}
ut
ρ∆tF ( x, y, t ) = max {C ( x, y, u , t )∆t + Et [ F ( xt +∆t , yt +∆t , t + ∆t ) − F ( x, y, t ) ]}
ut
Quando o intervalo de tempo ∆t tende a zero e o tempo é contínuo, a
equação de Bellman, pode ser escrita como:
1


ρ F ( x, y, t ) = max C ( x, y, u, t ) + E [ dF ( x, y, t )]
dt


u
Se x segue um MGB na forma de dx = α x xdt + σ x xdz x , e y segue um
processo de reversão a média na forma dy = η ( y − y ) ydt + σ y ydz y , por
exemplo, e
E (dz x .dz y ) = λ dt , desenvolvendo dF(x,y,t) por Itô e
desprezando os termos dt de maior ordem, temos:
dF ( x, y, t ) = Fx dx + Fy dy + Ft dt +
1
1
Fxx dx 2 + Fyy dy 2 + Fxy dxdy +
2
2
+ Fxt dxdt + Fyt dydt
dF ( x, y, t ) = Fx (α x xdt + σ x xdz x ) + Fy (α y ydt + σ y ydz y ) +
+ Ft dt +
1
1
Fxxσ x2 x 2 dt + Fyyσ y2 y 2 dt + Fxyσ xσ y xyλ dt
2
2
Então
1
1


E[dF ] =  Fxα x x + Fyα y y + Ft + Fxxσ x2 x 2 + Fyyσ y2 y 2 + Fxyσ xσ y xyλ  dt
2
2


Substituindo na equação de Bellman, temos:
C ( x, y , u, t ) + Fxα x x + Fyα y y + Ft + 


ρ F ( x, y, t ) = max  1

2 2 1
2 2
u
+ Fxxσ x x Fyyσ y y + Fxyσ xσ y xyλ 
 2
2

Podemos expressar o valor ótimo de u como uma função de Ft(x,y,t),
Fx(x,y,t), Fxx(x,y,t), Fy(x,y,t), Fxy(x,y,t), Fyy(x,y,t), bem como de x, y, t, e
C(x,y,t). Assim, podemos reduzir a expressão da equação de Bellman para:
117
1
1
Fxxσ x2 x 2 + Fyyσ y2 y 2 + Fxyσ xσ y xyλ + Fxα x x + Fyη ( y − y ) y −
2
2
− ρ F ( x, y, t ) + Ft + C ( x, y, u, t ) = 0
(6.2)
A diferença desta equação para a solução obtida por Contingent
Claims Analysis é que em Programação Dinâmica substituímos a taxa livre
de risco por uma taxa de risco exógena ρ. Assim, a taxa de apreciação do
projeto (drift rate) α também é dada por α = ρ - δ. No caso de um
processo de reversão à média a taxa de distribuição de dividendos (δ), ou
convenience yield no caso de commodities, é uma função do valor do
projeto, e não constante como no caso de um MGB.
6.3. Transformação Algébrica da Árvore Binomial
Para fazermos esta transformação, inicialmente estabelecemos a
relação entre V0 e V1 do fluxo determinístico. A partir da equação (3.5)
temos:
m
E [Vi ] = ∑
t =i
m
Vi = ∑
t= i
m
Vi = ∑
t =i
E [ Ct ]
(1 + µ )t −i
ou simplesmente
Ct
(1 + µ )t −i
Ct
(1 + µ )i
t
+
µ
(1
)
m
Vi = (1 + µ )i ∑
t =i
Ct
(1 + µ )t
m
 Ci
Ct 
Vi = (1 + µ )i 
+
∑
i
t 
 (1 + µ ) t =i +1 (1 + µ ) 
m
Ct
t
t = i +1 (1 + µ )
Vi − Ci = (1 + µ )i ∑
Fazendo i = i + 1 e substituindo em (3.5)
Vi +1 =
Vi +1 =
m
Ct
∑ (1 + µ )
t =i +1
m
Ct
∑ (1 + µ )
t = i +1
t − ( i +1)
t
(1 + µ )(i +1)
(6.3)
118
m
Ct
t
t = i +1 (1 + µ )
Vi +1 = (1 + µ )(i +1) ∑
m
Ct
como podemos ver pela equação (6.3)
t
t = i +1 (1 + µ )
Vi +1 = (1 + µ ) (1 + µ )i ∑
Vi −Ci
Então:
Vi +1 = (1 + µ ) (Vi − Ci )
(6.4)
Não há fluxo de caixa ou pagamento de dividendos no instante inicial
(i = 0), uma vez que o projeto ainda não foi iniciado, portanto C0 = 0. Os
únicos fluxos existentes no instante inicial são os que correspondem ao
valor presente dos investimentos no projeto, e que representam uma saída de
caixa, mas que não são computados para efeito do calculo do Valor Presente
do projeto. Dessa forma temos:
V1 = (1 + µ ) V0
(6.5)
A taxa de distribuição dos fluxos de caixa é assumida constante em
cada período e igual a
δi =
Ci
Vi
e
Ci = δ i Vi
(6.6)
Em condições de incerteza temos:
Ci , j = δ i Vi , j
Substituindo (3.10) em (6.7) temos18:
i −1


Ci , j = δ i V0 u i − j d j ∏ (1 − δ k ) 
k =1


18
Note que usamos sempre o valor do projeto pré-dividendo.
(6.7)
119
Calculando Ci+1,
j
em função do fluxo de caixa anterior Ci,j, para
obtermos a fórmula de recorrência, temos:
i −1+1
Ci +1, j = δ i +1 V0 u i +1− j d j ∏ (1 − δ k )
k =1
Ci +1, j =
i +1
δ i +1
(1 − δ i ) u ⋅ δ i V0 u i − j d j ∏ (1 − δ k )
δi
k =1
Ci , j
Ci +1, j =
δ i +1 (1 − δ i )
u ⋅ Ci , j
δi
(6.8)
Ci+1,j
Ci,j
Ci+1, j+1
Por analogia temos:
Ci +1, j +1 =
δ i +1 (1 − δ i )
d ⋅ Ci , j
δi
i = 2,3,..., m

 j = 0,1, 2,...i
(6.9)
i =1
(6.10)
e Ci , j = δ i V0 u i − j d j
Com (6.8), (6.9) e (6.10) obtemos as fórmulas para os pseudo fluxos
de caixa como função do pseudo fluxo do período anterior e da taxa de
distribuição de dividendos δi.
Ci +1, j = f ( Ci , j , δ i , δ i +1 , σ )
Essas fórmulas podem ser também expressas em função dos fluxos
determinísticos, simplificando ainda mais o seu cálculo.
120
Ci +1, j = f ( Ci , σ , µ )
Substituindo (3.8) em (6.10) temos:
Ci , j = δ i V0 u i − j d j
Como δ i =
i =1
Ci
ficamos com:
Vi
Ci , j =
Ci
V0 u i − j d j
Vi
i =1
Substituindo (6.5) na equação, ficamos com:
Ci , j =
Ci V1
ui− j d j
Vi (1 + µ )
i =1
Como i = 1, ficamos com:
C1, j =
C1
u1− j d j
1+ µ
Fazendo substituição semelhante em (6.8) e (6.9) temos:
Ci +1, j =
δ i +1 (1 − δ i )
u ⋅ Ci , j
δi
Ci +1, j =
Ci +1 Vi  Ci 
 1 −  ⋅ Ci , j u
Vi +1 Ci  Vi 
Usando (6.4) e substituindo na equação temos:
Ci +1, j =
Ci +1
Vi  Vi − Ci 

 ⋅ Ci , j u
(1 + µ )(Vi − Ci ) Ci  Vi 
(6.11)
121
Ci +1

C
=
⋅ Ci , j u
i
j
+
1,

Ci (1 + µ )


Ci +1
C
⋅ Ci , j d
i +1, j +1 =

Ci (1 + µ )
(6.12)
i = 2,3,..., m
j = 0,1, 2,...i
A expressão (6.11) fornece o valor dos pseudo fluxos de caixa no
primeiro período do projeto. A partir deste, usando as fórmulas em (6.12)
podemos obter o valor dos pseudo fluxos de caixa nos períodos e estados
subseqüentes em função do fluxo de caixa imediatamente anterior, da taxa
de desconto µ e dos parâmetros u e d.
(6.12)
(6.11)
(6.12)
Figura 35 – Modelo Matemático para Árvores de Decisão
Essa modelagem é apropriada para utilização em programas de
software de geração de árvores de decisão, onde a estruturação do problema
através de fórmulas incrementais como as da Figura 35 é mais simples. Para
o caso de linguagens de programação geralmente é mais fácil trabalhar com
vetores e matrizes com fórmulas absolutas, demonstradas a seguir. Partindo
da equação (6.12) com uma mudança de variável, temos:
Ci , j =
Ci
⋅ Ci −1, j u
Ci −1 (1 + µ )
Substituindo o valor de Ci-1, j temos:
Ci , j =
Ci
Ci −1
u⋅
⋅ Ci − 2, j u
Ci −1 (1 + µ ) Ci − 2 (1 + µ )
Substituindo o valor de Ci-2, j e assim sucessivamente até o período 1:
Ci , j =
Ci
Ci −1
Ci −2
u⋅
u⋅
u.......C1, j
Ci −1 (1 + µ ) Ci − 2 (1 + µ ) Ci −3 (1 + µ )
122
Ci , j =
Ci
Ci −1
Ci −2
C
u⋅
u⋅
u....... 1 u1− j d j
Ci −1 (1 + µ ) Ci − 2 (1 + µ ) Ci −3 (1 + µ )
1+ µ
Ci , j =
Ci
u i− j d j
i
(1 + µ )
(6.13)
Com qualquer uma das fórmulas (6.12) ou (6.13), os pseudo fluxos de
caixa são expressos como funções de Ci, µ, u e
d, todas constantes
conhecidas. Podemos estruturar uma árvore de decisão com probabilidades
neutras a risco p e (1-p) e os pseudo fluxos de caixa, que descontados a
valor presente à taxa livre de risco nos dará o valor do projeto no instante
zero. Sem a inclusão de nenhuma flexibilidade gerencial, o valor
determinado por este modelo será idêntico ao valor determinado para o
projeto em condições de certeza.
m
i
V0 = ∑∑
i=0 j =0
E Ci , j 
(1 + r )i
onde
i
E Ci , j  =   p i − j (1 − p) j Ci , j e
 j
p=
er t − d
u−d
Para programas que utilizem a expressão incremental, a fórmula a
utilizar será:
m
V0 = ∑
i=0
i
∑
j =0
 i  i− j
j
 j  p (1 − p) Ci , j
 
(1 + r )i
(6.14)
A fórmula absoluta é:
m
V0 = ∑
i=0
i
∑
j =0
 i  i− j
j
 j  p (1 − p)
Ci
 
⋅
ui− j d j
i
i
(1 + r )
(1 + µ )
(6.15)
123
6.4. Código VBA
6.4.1. Determinação da Volatilidade do Projeto através da SMC
A simulação de Monte Carlo considera as variáveis estocásticas
previamente definidas e tem como objetivo determinar a volatilidade do
projeto. Ela pode ser feita diretamente através de programas de simulação
amplamente disponíveis no mercado como @Risk e Crystall Ball.
Alternativamente, pode-se utilizar o código apresentado a seguir.
Sub Findvol2()
'Faz N recalculos do Fluxo de Caixa que está na planilha
'e acha a média e desvio padrão do retorno do projeto
‘(k)
Dim Retorno As Double, Sk2 As Double, Vol As Double
Dim I As Long
Dim N As Long
Sk2 = 0
Retorno = 0
N = Range("N").Value
'Application.ScreenUpdating = False
Application.Calculation = xlManual
For I = 1 To N
Application.Calculate
Retorno = Retorno + Range("k").Value
Sk2 = Sk2 + Range("k").Value * Range("k").Value
Range("counter").Value = I
Next I
m = N
Vol = Sqr((m * Sk2 - Retorno * Retorno) / (m * m))
Mean = Retorno / m
Range("vol").Value = Vol
Range("mean").Value = Mean
'Retorna o valor de Vol
Retorna o valor de Mean
Application.Calculation = xlAutomatic
End Sub
124
6.4.2. Exemplo de 4 Períodos: Valor do Projeto
O código a seguir calcula o Valor do Projeto sem Opções do exemplo
em 3.4.7:
Dim u As Double, d As Double, p As Double
u = Exp(sigma)
d = 1 / u
p = (1 + r - d) / (u - d)
V0 = 0
CI(1) =
CI(2) =
CI(3) =
CI(4) =
C1
C2
C3
C4
For i = 1 To M
For J = 0 To i
CIJ(i,J) = (CI(i)/(1 + k) ^ i) * (u ^ (i - J))*d^J
V0=V0+((WorksheetFunction.Fact(i)/
(WorksheetFunction.Fact(i-J)*
WorksheetFunction.Fact(J)))*p^(i-J)*(1-p)^J
*CIJ(i,J))/((1+r)î)
Next J
Next i
ComputeValue = V0
End Function
6.4.3. Exemplo de 4 Períodos: Valor do Projeto com Opção de
Abandono
O código a seguir calcula o Valor do Projeto com opção de abandono
no terceiro ano do exemplo apresentado em 3.4.7:
Public Function ComputeOption(C1, C2, C3, C4, sigma As
Double, µ, r, M As Integer, Aband, T As Integer)
'Determina valor do projeto com opções a partir dos
dados calculados anteriormente via SMC.
'Opção de abandono no ano 3. T é o período em que
ocorre a opção
'Aband é o valor de abandono. M é o número de períodos
do problema
'CI(4) são os fluxos determinísticos. CIJ(4,4) são os
pseudo fluxos
Dim CIJ(4, 4) As Double, V0 As Double, CI(4)
Dim u As Double, d As Double, p As Double, S As Integer
u = Exp(sigma)
125
d = 1/u
p = (1+r-d)/(u-d)
V0 = 0
CI(1)=C1;
CI(2)=C2;
CI(3)=C3;
CI(4)=C4
'Calcula valor do instante zero até o periodo antes da
opção
For I=0 To T-1
For J=0 To I
CIJ(I,J)=(CI(I)/(1+µ)Î)*(u^(I-J))*d^J
V0=V0+((WorksheetFunction.Fact(I)/(WorksheetFunct
ion.Fact(I-J)* WorksheetFunction.Fact(J)))*p^(IJ)*(1-p)^J*CIJ(I,J)) /((1+r)Î)
Next J
Next I
'Calcula o valor do período da opção até o final,
compara com a opção 'de abandono e toma a decisão
ótima.
For S=0 To T
Prob=(WorksheetFunction.Fact(T)/(WorksheetFunction
.Fact(T-S)* WorksheetFunction.Fact(S)))*p^(T-S)*(1p)^S
VX=0
For I = T To M
For J = S To I+S-T
CIJ(I,J)=(CI(I)/(1+µ)Î)*(u^(I-J))*d^J
Prob1=(WorksheetFunction.Fact(IT)/(WorksheetFunction.Fact(I-TJ+S)*WorksheetFunction.Fact(J-S)))*(p^(I-TJ+S))*(1-p)^(J-S)
A=(Prob1*CIJ(I,J))/((1+r)^(I-T)*(1+r)^T)
VX=VX+A
Next J
Next I
Max=Prob*WorksheetFunction.Max(VX,(Aband+CIJ(T,S)
)/(1+r)^T)
V00=V00+Max
Next S
ComputeOption = V0 + V00
End Function
126
6.5. Simulação de Monte Carlo
6.5.1. Risco de Tráfego
O processo estocástico para o tráfego de veículos na rodovia foi
assumida como sendo um Movimento Geométrico Browniano, cujos
parâmetros foram obtidos a partir da série histórica do PIB brasileiro entre
1970 e 2001. Devido a limitações na capacidade da rodovia, estimou-se que
o tráfego máximo é limitado a 20.000 veículos TMDA. Na Figura 36 vemos
a projeção do tráfego no período (linha em negrito), bem como a Simulação
de Monte Carlo para esta variável, observado a limitação superior
estabelecida no tráfego de veículos.
20,000
15,000
10,000
5,000
0
5
10
15
20
Figura 36 – Tráfego: Simulação de Monte Carlo
6.5.2. Risco de Câmbio
O risco cambial foi modelado como uma MGB, dado que a série
histórica brasileira pós-plano Real não indica que a taxa de câmbio siga um
processo de reversão à média como seria de se esperar. A Figura 37 ilustra a
projeção realizada e também como o processo foi simulado.
127
20.00
15.00
10.00
5.00
0.00
0
5
10
15
20
Figura 37 – Taxa de Câmbio: Simulação de Monte Carlo
6.5.3. Risco de Taxa de Juros
Para a taxa de juros foi utilizada a série histórica da LIBOR de 6
meses. O processo estocástico adotado foi o processo de reversão à média
Geométrico de Ornstein-Uhlenbeck. A média de longo prazo, a projeção e a
simulação realizada estão ilustrados na Figura 38.
8%
6%
4%
2%
0
5
10
15
Figura 38 – Taxa de Juros: Simulação de Monte Carlo
20
128
6.6. Verificação da Premissa de Normalidade dos Retornos
A premissa segunda afirma que em um mercado onde os preços
refletem todas as informações futuras disponíveis, os retornos do projeto
terão distribuição normal, uma vez que variações em torno do valor do
projeto serão fruto apenas de eventos imprevistos, e portanto, aleatórios.
Através de uma Simulação de Monte Carlo do projeto, foram obtidas
50.000 amostras dos retornos do projeto que foram em seguida analisadas
para verificação da premissa de normalidade da sua distribuição. Os testes
indicaram que a distribuição que mais se aproxima dos dados da amostra é
uma distribuição Logística, seguida da distribuição Normal, cuja
comparação através da distribuições de densidade e cumulativa estão
Normal(0.15831, 0.20437)
Normal(0.15831, 0.20437)
2.5
1.0
2.0
0.8
1.5
0.6
@RISK Student Version
For Academic Use Only
90.0%
-0.1778
5.0%
0.4945
<
5.0%
90.0%
-0.1778
5.0%
0.4945
1.0
>
0.5
5.0%
-0.5
<
-1.0
0.0
1.0
0.0
0.5
0.2
0.0
0.5
-0.5
0.4
0.0
1.0
-1.0
mostradas na Figura 39.
>
Figura 39 – Erro da Distribuição dos Retornos
O p-value para a normalidade da distribuição é p < 0.005, o que indica
uma boa aproximação para esta distribuição. Na Figura 40 podemos ver o
Q-Q plot da amostra, que é também um teste para normalidade da série que
indica os quantis de uma distribuição normal padrão.
129
Normal(0.15831, 0.20437)
1.5
Fitted quantile
1.0
0.5
0.0
-0.5
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
-1.5
-2.0
-1.0
Input quantile
Figura 40 – QQ Plot dos Retornos
7. Referências Bibliográficas
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