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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC
Curso de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica
Dissertação de Mestrado
Ronaldo Rocha Ferreira
Estimação Fasorial utilizando técnica recursiva dos Mı́nimos
Quadrados
Santo André
2014
1
Curso de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica
Dissertação de Mestrado
Ronaldo Rocha Ferreira
Estimação Fasorial utilizando técnica recursiva dos Mı́nimos
Quadrados
Trabalho apresentado como requisito parcial para
obtenção do tı́tulo de Mestre em Engenharia Elétrica, sob orientação do Professor Doutor Fabiano
Fragoso Costa.
Santo André
2014
2
Este exemplar foi revisado e alterado em relação à versão original, de acordo com
as observações levantadas pela banca no dia da defesa, sob responsabilidade
única do autor e com a anuência de seu orientador.
Santo André,
de
de 2014.
Assinatura do autor:
Assinatura do orientador:
3
Agradeço a DEUS, Nossa Senhora
Aparecida, e a meu anjo da guarda
por essa importante conquista para
eu e para meu paı́s.
4
”Quem se aceita como é, doando de si à vida o
melhor que tem, caminha mais facilmente para ser
feliz como espera ser. A nossa felicidade será naturalmente proporcional em relação à felicidade que
fizermos para os outros.”
André Luiz
5
Agradecimentos
Aos amigos, que não fizeram por mim, mas me orientaram no que estava certo ou errado, só
tenho a agradecer.
Aos inimigos, que me mostraram que o caminho que eles andam é escuro e não leva a lugar
algum, só tenho a agradecer.
Por fim, a vida, que me mostra que as dificuldades aparecem para o nosso aprimoramento e
não para a nossa lamentação, só tenho a agradecer.
6
Resumo
Este trabalho propõe um algoritmo de estimação fasorial baseado na versão modificada do algoritmo de mı́nimos quadrados recursivo. Este algoritmo é adequado
para proteção de sistemas de potência, uma vez que sua resposta é rápida e robusta
à presença da componente dc de decaimento exponencial, que é uma interferência
comum em condições de falta atrasando a convergência da estimativa fasorial. Além
disso, esta dissertação também investiga o uso do chamado método de Prony, a fim
de auxiliar e acelerar a convergência da estimação fasorial do algoritmo dos mı́nimos
quadrados. O método de Prony determina o decaimento exponencial a ser extraı́do
do sinal analisado. As técnicas desenvolvidas nessa dissertação foram comparadas
com o tradicional estimador de Fourier de um ciclo através de simulações realizadas em Matlab e de experimentos realizados com um processador de sinais e um
amplificador de sinais. Os resultados mostram melhorias da técnica proposta em
comparação ao algoritmo de Fourier e incentivam futuras pesquisas relacionadas a
este assunto.
Palavras-chave: Estimação fasorial, Mı́nimos quadrados recursivos, Método de Prony,
Faltas.
7
Abstract
This work proposes a phasor estimation algorithm based on a modified recursive least-squares. This algorithm is suitable for power systems protection once its
response quick and robust to the decaying dc component, which is a most usual interference in fault conditions and delays the phasor estimation convergence. Furthermore, this dissertation also investigates the usage of the so-called Prony’s method in
order to aid and to speed up the least-squares phasor estimation convergence. This
method determines the exponential decaying to be extracted out of the analyzed
signal. The present developed techniques have been compared with the traditional
one-cycle Fourier estimation by simulation performed on Matlab and by experiments
accomplished with a digital signal processor and a signal amplifier. The results show
improvements of the proposed techniques over the Fourier algorithm and encourage
further research in this topic.
Key-words: Fasorial estimation, Least squares, Prony Method, Faults, Distance
protection.
8
Sumário
1 Introdução
15
1.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.2 Estrutura do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2 Revisão Bibliográfica
18
2.1 Conceitos Básico de Sistemas de Proteção . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1
Relés Digitais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Método de estimação fasorial proposto
22
24
25
3.1 Método de mı́nimos quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.2 Fator de esquecimento RLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3.3 Reajuste da matriz de covariância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3.4 Caminhada Aleatória - CA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.5 Caminha Aleatória Modificada - CAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.6 Método de Prony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.7 Modelo inicial para os sinais analisados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.8 Algoritmo Proposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.8.1
Esforço Computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Resultados
39
40
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
40
Introdução Geral
4.1.1
10
Caracterı́sticas do Hardware . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
4.2 Arranjo experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
4.2.1
Sinal sintético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
4.3 Simulações em MatLab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
4.3.1
Variação da Constante de tempo de Decaimento Exponencial . . . . . . .
45
4.3.2
Variação da Taxa de Amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
4.3.3
Variação da amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
4.3.4
CAM-Prony e CAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
4.4 Resultados Práticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
4.4.1
Análise da Variação da Taxa de Amostragem . . . . . . . . . . . . . . . .
75
4.4.2
Análise da Variação da Constante de tempo de Decaimento Exponencial
78
5 Conclusões e perspectivas da pesquisa
5.1 Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
82
Bibliografia
83
A Publicações
88
A.1 Publicação em Congresso Internacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B Demonstração - MQR
88
89
Lista de Figuras
2.1 Sistema de Proteção Básico (Phadke, 2008). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.2 Diagrama básico de um relé digital (Phadke, 2009). . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.1 Estrutura do método de Prony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.2 Estrutura do algoritmo proposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.3 Janelamento do sinal com N amostras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
4.1 Diagrama de blocos da parte experimental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
4.2 Arranjo experimental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
4.3 Sinal sintético. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
4.4 Fase estimada: (a) τ = 0.1s; (b) τ = 0.03s; (c) τ = 0.001s. . . . . . . . . . . . .
46
4.5 Fase estimada - τ = 0.1s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
4.6 Sinal com distúrbio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
4.7 Amplitude estimada: (a) τ = 0.1s; (b) τ = 0.03s; (c) τ = 0.001s. . . . . . . . . .
50
4.8 Fase estimada, taxas: (a) 960Hz ; (b) 1920Hz ; (c) 3840Hz. . . . . . . . . . . . .
53
4.9 Fase estimada - Taxa de amostragem de 1920Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
4.10 Fase estimada - Taxa de amostragem 3840Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
4.11 Amplitude estimada, taxas: (a) 960Hz ; (b) 1920Hz ; (c) 3840Hz. . . . . . . . . .
58
4.12 Amplitude estimada - Taxa de amostragem 3840Hz..
. . . . . . . . . . . . . . .
61
4.13 Fase estimada, amplitudes de: (a) 1:2 ; (b) 1:3 ; (c) 1:4. . . . . . . . . . . . . . .
63
4.14 Amplitude estimada: (a) 1:2 ; (b) 1:3 ; (c) 1:4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
11
Lista de Figuras
12
4.15 Fase estimada: (a)Taxa de amostragem 3840Hz (b)1920Hz ; (c)Amplitude 1:3. .
68
4.16 Constante de tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
4.17 Amplitude estimada:(a)Taxa 3840Hz (b)1920Hz ; (c)Amplitude 1:3. . . . . . . .
72
4.18 Fase estimada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
4.19 Amplitude estimada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
4.20 Fase estimada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
77
4.22 Fase estimada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
79
4.24 Fase estimada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
4.25 Fase estimada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
Lista de Tabelas
4.1 Parâmetros do sinal de corrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
4.2 Resultados numéricos referente a fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
4.3 Resultados numéricos referente a amplitude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
52
54
59
61
62
64
66
69
73
75
78
13
Glossário
AD
Conversor Analógico para Digital
CAM
Caminhada aleatória modificada
CAM-Prony Algoritmo CAM auxiliado pelo método de Prony
CVT
Capacitive Voltage Transformer
DC
Direct Current
DFT
Discrete Fourier Transform
DSP
Digital Signal Processor
FFT
Fast Fourier Transform
LS
Least Square
MODWT
Maximal Overlap Discrete Fourier Transform
RLS
Recursive Least Square
SEP
Sistema Elétrico de Potência
TC
Transformador de Corrente
TPC
Transformadores de Potencial Capacitivo
Trip
Sinal indicativo de falta elétrica
14
Capı́tulo
1
Introdução
Uma série de fatores impelem as concessionárias de energia elétrica a buscarem novas técnicas
de proteção do sistema mais eficientes e confiáveis. Deve-se considerar, primeiramente, que a
crescente demanda por energia, necessariamente, aumenta a complexidade do sistema. Além
disso, essa demanda é qualificada, isto é, exige-se da concessionária que o fornecimento de energia
seja realizado sem interrupções e que a tensão de suprimento seja perfeitamente senoidal. Isso
implica que confiabilidade e qualidade de energia são metas mais importantes na operação do
sistema. Finalmente, outro fator que estimula as concessionárias a mais eficácia na operação
do sistema, é a nova regulação jurı́dica do setor elétrico que impõe um ambiente de competição
entre seus agentes.
Qualquer sistema de energia elétrica está exposto a diferentes tipos de faltas das mais diversas
origens. A proteção do SEP(Sistema Elétrico de Potência) deve atuar rapidamente para isolar
a região de uma eventual falta para que seu efeito não se faça sentir em outras áreas do sistema
e para que a restauração seja a mais rápida possı́vel. Na ocorrência de uma falta, os fasores
de corrente e de tensão apresentam uma componente aperiódica de decaimento exponencial,
dificultando a estimação fasorial. O aparecimento da componente aperiódica ocorre devido ao
comportamento indutivo da linha de transmissão (ANDERSON, 1999). Outros fatores também
interferem na estimação fasorial, tais como, não linearidades causadas pela saturação do núcleo
de transformadores de corrente (TCs), transitórios provocados por transformadores de potencial
capacitivo (TPCs) (SILVA, 2009), harmônicos e inter-harmônicos (COSTA, 2005).
15
Capı́tulo 1. Introdução
16
Os algoritmos de estimação fasorial, mesmo sob a influência das interferências que corrompem
os sinais de corrente e tensão, devem estimar os fasores de forma rápida e precisa. Nessa dissertação buscou-se realizar uma pesquisa que estude as técnicas existentes de estimação fasorial e
proponha uma possı́vel nova técnica objetivando mitigar o efeito da componente aperiódica.
1.1
Objetivos
Este trabalho objetiva pesquisar um método de estimação fasorial baseado no algoritmo de
mı́nimos quadrados e no algoritmo de Prony.
O método proposto realiza a estimação fasorial utilizando-se de dois algoritmos, o de Prony
e de mı́nimos quadrados (CAM ). O algoritmo de Prony tem a função de auxiliar o método
CAM estimando a constante de tempo do sinal amostrado, cabendo ao algoritmo CAM realizar
a estimação dos parâmetros.
Para tanto, faz-se necessário, além da combinação dos dois algoritmos, a proposição de uma
forma recursiva para que a técnica dos mı́nimos quadrados seja adequada em aplicações de
proteção em sistemas elétricos de potência.
A utilização da forma recursiva, RLS(Recursive Least Square), faz-se necessário devido ao
menor esforço computacional comparado a forma básica(em batelada). O LS (Least Square)
processa as amostras do sinal na forma de batelada enquanto que o RLS atribui pesos a elas.
No algoritmo de Prony, devido a dificuldade em determinar as raı́zes de um polinômio, é
necessário realizar ajustes, com o intuito de torna-lo aplicável em sistemas que exijam processamento em tempo real.
A validação das técnicas desenvolvidas no decorrer desta pesquisa serão realizadas por meio
de sinais sintéticos e de sinais de simulações de sistemas sob condições de falta.
1.2
Estrutura do Trabalho
Esta dissertação está organizada de acordo com a seguinte estrutura:
• No Capı́tulo 1, descrive-se a motivação da dissertação e os objetivos.
Capı́tulo 1. Introdução
17
• No Capı́tulo 2, realiza-se a revisão bibliográfica de trabalhos cientı́ficos relacionados ao
tema e o conceito básico utilizado em sistemas de proteção.
• No Capı́tulo 3, apresenta-se o método de estimação fasorial proposto bem como a teoria
envolvendo a formulação matemática.
• Os resultados obtidos utilizando o algoritmo CAM e o CAM auxiliado por Prony são
apresentados no Capı́tulo 4. Nesse mesmo capı́tulo, demonstra-se o comportamento do
algoritmo CAM em uma aplicação prática.
• No Capı́tulo 5, epresenta-se as conclusões a respeito do estudo sobre os algoritmos de
estimação fasorial desenvolvidos nessa dissertação e as perspectivas de futuras pesquisas.
• Nos apêndices, A é listada a publicação em congresso proveniente do trabalho desta dissertação. No B, demonstra-se a formalução matemática aplicada ao método dos mı́nimos
quadrados.
Capı́tulo
2
Revisão Bibliográfica
Em sistemas elétricos de potência que utilizam a proteção digital, a estimação fasorial é um
dos processos matemáticos realizados internamente em um relé digital. Sob a ótica da estimação
fasorial, existem alguns fatores a serem analisados, tais como: eliminação da componente DC
de decaimento exponencial, estimação fasorial precisa quando há presença de transientes de alta
frequência e velocidade de processamento do algoritmo.
Alguns dos algoritmos utilizados em sistemas de proteção, tais como o algoritmo de Fourier,
wavelet, Mı́nimos Quadrados Recursivos e Prony, tratam os problemas acima citados de forma
a minimizar o impacto que esses fatores provocam na estimação dos fasores. Nesse capı́tulo
é realizada uma breve revisão teórica dos métodos citados acima que tratam dos problemas
relacionados à estimação fasorial.
Sem dúvida, algoritmos baseados na DFT(Discrete Fourier Transform) são os mais popularmente utilizados em dispositivos de proteção e controle (PHADKE; THORP, 2009). No entanto,
estes métodos apresentam resultados errôneos quando o sinal é corrompido pela componente
DC exponencial (CHO; LEE; JANG, 2009). Usualmente, a DFT é aplicada em uma janela de um
ciclo ou meio ciclo.
Em se tratando de algoritmos de um ciclo, alguns trabalhos propostos na literatura procuram
contornar essa susceptibilidade acrescentando ao algoritmo básico da DFT estruturas como
filtros mı́micos invariantes (BENMOUYAL, 1995), ou adaptativos (YU, 2007) que procuram filtrar
a componente DC exponencial sem calculá-la explicitamente. Essas estratégias apresentam bons
18
Capı́tulo 2. Revisão Bibliográfica
19
resultados se o expoente do decaimento for conhecido previamente.Outros algoritmos melhoram
o desempenho da DFT por meio da estimação direta da componente DC exponencial e de sua
extração dos sinais a serem analisados (GU; YU, 2000)(GUA; YU; YU, 2006), com a necessidade
de amostras adicionais dos sinais.
Já em relação aos algoritmos de meio ciclo que utilizam a DFT, os trabalhos mostram que,
apesar do aumento da rapidez da resposta, os resultados são ainda propensos aos erros oriundos a
presença da componente DC e de harmônicos pares (ARGUELLES et al., 2006)(SACHDEV; NAGPAL,
1991). Outros algoritmos utilizam os filtros da função cosseno (responsável pela parte real da
resposta da DFT) e seno (responsável pela parte imaginária) separadamente no tratamento dos
sinais (FERRER; VERDUZCO; MARTINEZ, 1996). Esses métodos exploram a vantagem da maior
robustez dos filtros cosseno à componente DC (SACHDEV; BARIBEAU, 1979).
Em (WONG et al., 2001), desenvolve-se uma estratégia para calcular fasores sincronizados.
Sob condições de regime permanente, o erro do fasor obtido pelo algoritmo proposto é bem
pequeno, em torno de 0.001pu em amplitude e em torno de 0.05o de fase. Durante os transitórios
e considerando desvios na frequência, o desempenho do algoritmo proposto é melhor quando
comparado ao da FFT(”Fast Fourier Transform”).
Na pesquisa realizada por (SILVA; NEVES; SOUZA, 2008), apresenta-se um algoritmo de estimação fasorial que combina as caracterı́stica do filtro MODWT(”Maximal Overlap Discrete
Wavelet Transform”) e as caracterı́sticas do filtro LES(”Least Error Square”). A resposta no
tempo e na frequência do filtro projetado é comparado a um filtro tradicional que utiliza a
DFT(Discrete Fourier Transform). Os resultados obtidos mostraram que o filtro projetado
apresenta resposta semelhante a filtros baseados na DFT de meio ciclo com a vantagem da
precisão dos resultados iguais a DFT de um ciclo.
No trabalho de (SILVA; NEVES; SOUZA, 2010), descreve-se um algoritmo de estimação fasorial, que utiliza filtros ortogonais de ciclo completo em conjunto com um filtro adaptativo que
remove a componente DC de decaimento exponencial. Os filtros ortogonais de ciclo completo
são projetados utilizando a técnica que combina a MODWT e o LES. A eliminação da componente de decaimento DC é realizada usando um filtro mimico digital cuja resposta no tempo
20
e na frequência são comparados com estes ou outros algoritmos de ciclo completo citados nas
referências. Os resultados obtidos revelam que o algoritmo proposto rejeita todas as harmônicas, sendo menos sensı́vel a inter-harmônicas e apresentando melhor resposta a transientes com
velocidade de convergência superior comparado a outros algoritmos de ciclo completo.
Além da DFT, outra técnica muito utilizada na estimação de fasores é o algoritmo de mı́nimos quadrados (SACHDEV; BARIBEAU, 1979). Em essência, o algoritmo de mı́nimos quadrados
é um ajuste de curva em que a métrica é a soma dos erros quadráticos entre as amostras do
sinal e do seu modelo. Na sua aplicação em batelada podem ser utilizados algoritmos de um ciclo
(ROSOLOWSKI; IZYKOWSKI; KASZTENNY, 2001) ou meio ciclo (SIDHU; ZHANG; V.BALAMOUROUGAN,
2005).
Uma maneira de aumentar a velocidade de convergência do algoritmo dos mı́nimos quadrados
é a utilização de janelas de tamanho variável (SANAYE-PASAND, 2011).Uma versão recursiva do
algoritmo de mı́nimos quadrados foi proposta em (SACHDEV; NAGPAL, 1991).
A utilização de técnicas recursivas, particularmente as baseadas em mı́nimos quadrados, é
uma alternativa segura aos métodos baseados em Fourier, pois podem ser igualmente robustas
com baixo custo computacional e rápida convergência (SACHDEV; NAGPAL, 1991). Por outro
lado, algoritmos recursivos não são naturalmente adaptativos já que todas as amostras passadas
do sinal influem na estimativa atual dos parâmetros de interesse, o que implica em uma resposta
lenta a mudanças nos parâmetros estimados.
Matematicamente, essa caracterı́stica é relacionada com a chamada matriz de covariância P,
que, por sua vez, relaciona-se diretamente ao ganho K, do algoritmo. Quão maior esse ganho,
maior é a capacidade do algoritmo responder as variações abruptas dos parâmetros que estão
sendo estimados.
Nas técnicas de estimação baseadas em mı́nimos quadrados, o problema surge porque na
medida em que os parâmetros são estimados e o erro da estimativa é reduzido, o ganho também
é reduzido. Dessa forma, a maioria das técnicas que tentam aperfeiçoar os mı́nimos quadrados
na forma recursiva manipulam a norma da matriz de covariância a partir do disparo do algoritmo
(SALCIC; CAO; NGUANG, 2006)(COLMAN; WELLS, 2006)(WILLIAMSON, 1995).
21
Outro aspecto importante da utilização de técnicas de mı́nimos quadrados na forma recursiva
é a possibilidade de rejeitar mais adequadamente a componente DC de decaimento exponencial.
Isso pode ser realizado, por exemplo, pela adição de regressores ao modelo do sinal que emulam
o efeito da exponencial. Esses regressores podem ser calculados por meio de uma expansão
de Taylor como proposto em (SACHDEV; NAGPAL, 1991) cujo trabalho utilizou os primeiros
dois termos desta expansão. Posteriormente, uma expansão de um termo, ou seja, apenas
o componente DC aproximando a exponencial, foi apresentada em (WILLIAMSON, 1995) com
resultados satisfatórios.
Em relação aos distúrbios harmônicos, pode-se afirmar que o desempenho da técnica de
mı́nimos quadrados é robusta se os harmônicos forem previstos no modelo do sinal. Uma versão
estocástica do método de mı́nimos quadrados na forma recursiva é o conhecido filtro de Kalman
(COSTA; NAIDU; COSTA, 2004)(SACHDEV; WOOD; JOHNSON, 1985).
Na literatura relativa a sistemas elétricos, o método de Prony é utilizado, principalmente, no
processamento offline de sinais de corrente e de tensão para fins de monitoramento da qualidade
da energia elétrica fornecida pela concessionária elétrica (ZYGARLICKI et al., 2010) (PENG; NAIR,
2009) (CHEN; CHANG, 2013).
Neste trabalho, propõe-se investigar a utilização do algoritmo de Prony para estimação da
componente exponencial que interfere na estimação dos fasores fundamentais dos sinais de corrente de sistemas sob faltas. Vale salientar que devido ao método proposto ser desenvolvido no
contexto de proteção de sistemas elétricos, o algoritmo de Prony deve ser aplicado em tempo
real. Isso implica em dificuldades matemáticas, pois em sua formulação, como será mostrado
no próximo capı́tulo, faz-se necessário a solução de um sistema linear em conjunto com a determinação de zeros de um polinômio.
2.1
22
Conceitos Básico de Sistemas de Proteção
O objetivo desta seção é demonstrar de uma forma geral um sistema de proteção, onde o
trabalho pesquisado nesta dissertação se aplica.
O sistema de proteção tem como objetivo manter a integridade do SEP caso ocorra uma
eventual (PHADKE; THORP, 2009). Na ocorrência da de uma falta elétrica, é necessário desligar
o ramo de alimentação o mais rápido possı́vel, isolando-o para proporcionar uma redução na possibilidade de possı́veis danos aos aparelhos conectados ao sistema elétrico (BLACKBURN; DOMIN,
2007). Caso não ocorra o isolamento do trecho defeituoso, todo o sistema pode ser comprometido, podendo haver sobre carga em um ramo de alimentação e como consequência provocar o
efeito cascata.
Um sistema de proteção básico é ilustrado na Figura 2.1. O disjuntor tem a função de
isolar o ramo defeituoso ao receber o sinal de Trip(Sinal indicativo de falta elétrica) enviado
pelo relé. O desligamento do ramo é realizado no instante em que a corrente atinge amplitude
de zero amperes, evitando dessa forma danos causados por arcos voltaicos. O transdutores
CVT(Capacitive Voltage Transformer) e o TC(Transformador de Corrente) tem a função de
reduzir os nı́veis de tensão e de corrente para valores seguros; para que possam ser medidos
pelos equipamentos do sistema de proteção.
TC
Disjuntor
Relé
CVT
Bateria
Figura 2.1: Sistema de Proteção Básico (Phadke, 2008).
As atribuições básicas para os sistemas de proteção, a fim de atender as exigências mı́nimas
23
necessárias a proteção de sistemas elétricos são:
• 1. Confiabilidade (”Reliability”): O sistema de proteção deve assegurar que a proteção vai
atuar corretamente.
• 2. Seletividade: O fornecimento deve ser mantido e apenas o circuito elétrico afetado pela
falta será isolado.
• 3. Velocidade de atuação: O tempo de duração da falta deve ser a mı́nima possı́vel,
diminuindo os danos causados aos equipamentos e a instabilidade no sistema.
• 4. Simplicidade: Esse item corresponde ao mı́nimo de equipamento possı́vel para se alcançar a proteção do sistema.
• 5. Economia: Significa potencializar a proteção com o menor custo possı́vel, sem que haja
prejuı́zo na confiabilidade do sistema de proteção.
2.1.1
24
Relés Digitais
Observando as gerações de relés de proteção, os relés digitais são os mais utilizados atualmente. Especificamente, a pesquisa desenvolvida nesse trabalho objetiva verificar o comportamento de algoritmos aplicáveis aos relés digitais.
Os relés digitais são dispositivos que possuem um microcomputador interno responsável por
realizar diversas funções, como por exemplo a estimação fasorial. O diagrama de bloco básico
de um relé digital é ilustrado na Figura 2.2.
V
Sistema
Elétrico
I
Filtro de
Linha
Isoladores
de Saída
Filtro antialising
Saídas
Digitais
AD
Processador
Memória
RAM
Memória
ROM
Memória
EEPROM
Figura 2.2: Diagrama básico de um relé digital (Phadke, 2009).
Analisando a Figura 2.2, tem-se no primeiro bloco o Filtro de Linha. Esse estágio tem a
função de não permitir a passagem de tensões e correntes elevadas no relé. O Filtro anti-alising
é responsável por atenuar frequências prejudiciais à análise dos sinais de tensão e de corrente.
O bloco do AD amostra os sinais V e I transformando-os em um sinal discreto.
O conjunto Processador, Ram, Rom e EEProm fazem parte do sistema eletrônico responsável
por analisar os sinais. Os blocos de Saı́das Digitais e Isoladores de Saı́da tem como função fazer
a interação do relé com o meio externo.
Capı́tulo
3
Método de estimação fasorial proposto
Neste capı́tulo é apresentado o algoritimo de estimação fasorial desenvolvido nesta dissertação. Para tanto, na seção 3.1 é demonstrado a teoria básica relativa a estimação de parâmetros
pelo método de mı́nimos quadrados em sua forma recursiva. Na seção 3.6, apresenta-se o método
não linear de Prony para estimação de frequências e amortecimentos exponenciais. O algoritmo
proposto aqui é uma combinação destes dois métodos.
3.1
Método de mı́nimos quadrados
O algoritmo de mı́nimos quadrados é uma técnica de estimação paramétrica utilizada para
resolver o seguinte problema: deseja-se ajustar uma função modelo yb a um conjunto de N
amostras de uma grandeza y qualquer. O ajuste deve minimizar a soma dos erros quadráticos das
diferenças entre os valores das amostras e da função modelo. Se o ajuste resultar da estimação
de parâmetros nos quais a função depende linearmente, o algoritmo de mı́nimos quadrados é
dito linear (COSTA, 2005).
Suponha que um sinal y[n], n = 1, 2, · · · , N, é modelado por:
yb[n] = ϕ1 [n]α1 + ϕ2 [n]α2 + ........ + ϕp [n]αp ,
(3.1)
em que as funções ϕ1 , ϕ2 , · · · , ϕn são os regressores do modelo dependente de p parâmetros:
α1 , α2 , · · · , αp . Para a compactação das equações, é conveniente expressar os regressores e os
25
Capı́tulo 3. Método de estimação fasorial proposto
26
parâmetros, respectivamente, da seguinte forma:
ϕn = [ϕ1 [n] ϕ2 [n] · · · ϕp [n]]T ,
(3.2)
α = [α1 α2 · · · αp ] .
(3.3)
Como foi mencionado anteriormente, no método de mı́nimos quadrados, os parâmetros são
estimados de forma a minimizarem o erro quadrático v,
v[N] =
N
X
(b
y [i] − y[i])2 .
(3.4)
i=1
A solução deste problema é muito bem conhecida (AGUIRRE, 2000), e é fornecida pela equação (3.5),
−1 T
b = MT M
α
M y,
(3.5)
em que y é o vetor cujo os elementos são as amostras do sinal y e a matriz dos regressores M é
fornecida por:

 ϕ1 [1] ϕ2 [1] · · · ϕp [1]

 ϕ1 [2] ϕ2 (2) · · · ϕp [2]

M= .
..
..
 .
.
.
 .

ϕ1 [n] ϕ2 [n] · · · ϕp [n]





.



(3.6)
−1 T
O produto MT M
M se chama pseudoinversa e a estimação fornecida na equação (3.5)
é dita solução em batelada, ou solução em lote. Todavia, ela utiliza de uma única vez todas as
amostras do sinal analisado o que resulta em um grande esforço computacional. Para aplicações
em que se deseja atualizar a estimativa a cada nova leitura de uma amostra, algoritmos em
batelada, em geral, não são uma boa alternativa. Isso motivou a busca de um algoritmo que
recursivamente (HAYKIN, 2002) atualiza a solução descrita em (3.5).
27
O passo inicial do algoritmo de mı́nimos quadrados recursivo é estimar no tempo inicial, um
conjunto de parâmetros para a função modelo yb. A estimação inicial gera o chamado erro a
priori ou de predição, descrito como:
e0 [n + 1] = y[n + 1] − yb0[n + 1]
(3.7)
O sobrescrito em yb[n + 1] na equação (3.7) indica que sua predição é realizada utilizando o
vetor de parâmetros conhecido no instante anterior, ou seja no instante discreto n. Desse modo:
yb0 [n + 1] = αTn ϕn
(3.8)
O erro a priori é utilizado para que o algoritmo de mı́nimos quadrados melhore a estimativa
dos parâmetros procurados. Através de uma combinação linear dos parâmetros estimados no
tempo discreto n e do erro de predição, projeta-se a estimativa dos parâmetros:
b n+1 = α
b n + Kn e0 [n + 1],
α
(3.9)
em que o ganho Kn é fornecido por (ver Demonstração - MQR):
Kn =
Pn ϕn
T
ϕn Pn ϕn +
1
,
(3.10)
e P é uma matriz de dimensão p × p, chamada matriz de covariância. Antes de iniciar o
algoritmo, ela deve ser estimada. Sua projeção para o tempo n + 1 ocorre de acordo com a
equação (ver apêndice A):
Pn+1 = Pn −
Pn ϕn ϕTn Pn
.
1 + ϕTn Pn ϕn
(3.11)
A equação (3.11) não fornece adaptabilidade (HAYKIN, 2002) para o algoritmo de mı́nimos
quadrados mas as próximas subseções fornecem os meios mais adequados para contornar o
problema.
3.2
28
Fator de esquecimento RLS
Esse é um método bem popular entre engenheiros que projetam filtros adaptativos, visto
que a ideia básica é determinar pesos aos sinais amostrados, atribuindo a eles um fator λ.
Para as amostras mais recentes é atribuı́do maior peso (PALEOLOGU; BENESTY; CIOCHINA,
2008)(THAM; MANSOORI, 1988). Dessa forma é possı́vel definir a seguinte função custo J.
N
1 X N −1
λ
[y[i] − ϕTi αN ]2 ,
J(αN , N) =
2 i=1
(3.12)
na qual λ é o fator de esquecimento e N o ı́ndice para última amostra. O fator λ tem que estar
na faixa compreendida entre 0 < λ < 1. Note que se λ é fixado no valor 1, todas as amostras
terão pesos iguais.
O fator de esquecimento modifica a matriz de covariância da seguinte maneira (AGUIRRE,
2000):
P n−1 ϕn ϕTn Pn−1
1
.
Pn−1 −
Pn =
λ
λ + ϕTn Pn−1ϕn
3.3
(3.13)
Reajuste da matriz de covariância
Outra forma de tornar o filtro RLS adaptativo é ajustar diretamente a matriz de covariância P (COLMAN; WELLS, 2006)(LIAVAS; REGALIA, 1999). O ajuste da matriz de covariância
pode ser considerado mais estável numericamente do que o método do fator de esquecimento
(THAM; MANSOORI, 1988). A estratégia é monitorar o traço da matriz de covariância, tr(P).
No instante em que valor do traço da matriz P alcança um limite inferior Linf , a matriz de
covariância é resetada para uma matriz diagonal cujos elementos são valores de covariância e é
representado por σ 2 (SODERSTRON; STOICA, 1989).
29
Matematicamente, considerando os instantes C={t1 , t2 , t3 , ...} sendo os instantes em que
tr(P ) <= Linf , se t ∈ C, então a atualização da matriz P é realizada utilizando a equação
padrão (3.11), caso contrário o ajuste é realizado como:
P i = σ 2 I,
(3.14)
em que I é a matriz identidade.
3.4
Caminhada Aleatória - CA
A caminhada aleatória é outra estratégia com objetivo de tornar o algoritmo RLS padrão
em um algoritmo adaptativo (SODERSTRON; STOICA, 1989)(WILLIAMSON, 1995). A técnica é
similar à utilizada no filtro de Kalman. Ela consiste em não permitir que o traço da matriz
de covariância alcance valores reduzidos antes da convergência dos parâmetros. Deste modo,
uma matriz simétrica positiva R é adicionada a matriz de covariância em todos os instantes de
tempo, sendo a atualização da matriz de covariância é fornecida por:
Pn+1 = Pn + R.
(3.15)
Sabe-se (PAPOULIS, 1991) que a estimativa dos parâmetros é ótima se a variação destes é
descrita como:
αi+1 = αi + w i ,
(3.16)
no qual wi é a média de um vetor nulo de ruı́do branco e R é sua matriz de covariância. Os
elementos da diagonal de R devem refletir a variação de amplitude dos parâmetros.
3.5
30
Caminha Aleatória Modificada - CAM
De forma a tornar a caminhada aleatória mais apropriada para a aplicação em relés digitais,
uma estratégia chamada de Caminhada Aleatória Modificada é apresentada nesse trabalho. Diferentemente da Caminhada Aleatória padrão, a CAM utiliza a equação (3.15) somente quando
o erro de predição alcança certo nı́vel e deixa de ser utilizada quando o erro está abaixo de um
limite pré-definido. Em termos matemáticos:
Pn+1


 Pn − Pn ϕTn ϕTn Pn , se |en | ≤ ǫ.
1+ϕn Pn ϕn
=


Pn + R,
se |en | > ǫ.
(3.17)
em que ǫ é ajustado arbitrariamente. O algoritmo CAM pode ser resumido no seguinte conjunto
de equações (COSTA et al., 2013):























Kn =
Pn ϕn
ϕT
n Pn ϕn +λ
e0 [n + 1] = y[n + 1] − yb0 [n + 1]


b n+1 = α
b n + Kn e0 [n + 1]
α














 Pn − Pn ϕTn ϕTn Pn , se |en | ≤ ǫ.



1+ϕn Pn ϕn

Pn+1 =






Pn + R,
se |en | > ǫ.
(3.18)
A equação (3.18) demonstra a estrutura do método CAM. O vetor Kn é referente ao ganho
do algoritmo e varia em função da matriz de covariância P . A equação e0 [n + 1] representa
o erro a priori. Nessa equação é analisada a condição de mudança de atualização da matriz
de covariância P. Na equação α
bn+1 , é extraı́da a informação referente ao sinal analisado. Por
último, na equação Pn+1 , é realizado à atualização da matriz de covariância em função do erro,
e0 [n + 1], calculado pelo algoritmo.
3.6
31
Método de Prony
O método de Prony, desenvolvido pelo francês Gaspard Riche de Prony em 1795, é uma
técnica utilizada para ajustar um determinado sinal contendo senóides exponencialmente amortecidas ao um conjunto de p exponenciais contendo N amostras, sendo que para cada exponencial amortecida é determinada à amplitude complexa e o pólo (MOHAMMADI et al., 2011).
Utilizando o método de Prony em um sinal amostrado, y[n] com um perı́odo de amostragem
∆t, pode-se determinar um modelo que é a soma de exponenciais complexas. Dessa forma o
modelo yb[n] pode ser descrito por:
yb[n] =
p
X
hk zkn−1 ,
(3.19)
k=1
em que p é a ordem do modelo, hk é uma amplitude complexa e zk é um pólo complexo. Estes
últimos parâmetros são definidos por:
hk = Ak ejθk
(3.20)
zk = e[(1/τk +j2πfk )∆T ]
(3.21)
Nesse modelo quatro parâmetros devem ser determinados:
• Ak - amplitude da exponencial complexa
• fk - frequência em Hz
• 1/τk - taxa de decaimento ou amortecimento
• θk - fase em radianos
32
Para determinar os quatro parâmetros descritos acima são necessárias no mı́nimo 2p equações
complexas. Cada equação complexa origina duas equações reais. No nosso caso considere um
sistema com N amostras, gerando N equações, com N>2p.
h1 z10 + h2 z20 + · · · + hp zp0 = y[1]
h1 z11 + h2 z21 + · · · + hp zp1 = y[2]
..
.
(3.22)
h1 z1N −1 + h2 z2N −1 + · · · + hp zpN −1 = y[N].
Escrevendo na forma matricial a equação (3.22):









z10
z20
z11
z21
..
.
..
.
···
zp0
···
..
.
zp1
..
.
z1N −1 z2N −1 · · · zpN −1









h1
h2
..
.
hp


y[1]


 

 
  y[2] 

 
 =  . ,
  . 
  . 

 
y[N]
(3.23)
O sistema (3.23) pode ser escrito na forma compacta da seguinte forma:
Zh = y.
(3.24)
Analisando o sistema (3.24), é possı́vel verificar que este possui em sua estrutura equações
complexas que são de difı́cil resolução. Para conseguir contornar o problema da dificuldade de
resolução do sistema (3.24), o método de Prony propõe a construção de um polinômio φ(z),
descrito por:
φ(z) =
p
X
am z p−m ,
(3.25)
m=0
em que z1 , z2 , · · · , zp são os pólos do modelo descrito pela equação (3.19). A equação (3.25)
33
pode ser reescrita como:
φ(z) = ap z p + ap−1 z p−1 + · · · + a1 z + a0
(3.26)
Observando a equação (3.26), pode-se definir o vetor a, descrito por:
a = [a0 a1 · · · ap−1 ap · · · 0 0]1×N
(3.27)
Sem perda de generalidade, considera-se o coeficiente ap = 1. Efetuando-se a multiplicação
do vetor a nos dois lados da equação (3.24), obtém-se:
aZh = ay = 0,
(3.28)
pois, o produto entre o vetor a e matriz Z resulta em um vetor linha nulo. Observe, por
exemplo, que o produto entre o vetor a e a primeira coluna de Z resulta em:
a0 y[1] + a1 y[2] + a2 y[3] + · · · + y[p + 1] = 0
(3.29)
Sucessivos vetores a podem ser formados ao se deslocar os elementos não nulos da a para a
direita, dessa forma são formados vetores a’ , como mostrado abaixo:
a’ = [0 a0 a1 · · · ap−1 1 · · · 0]1×N
(3.30)
Considerando-se a equação (3.28) com o vetor (3.30), obtém-se:
a0 y[2] + a1 y[3] + a2 y[4] + · · · + y[p + 2] = 0
(3.31)
O deslocamento do vetor a é realizado até a obtenção da última equação.
y[N − p] + ap−1 y[N − p + 1] + · · · + a0 y[N] = 0
(3.32)
34
Dessa forma é possı́vel obter o sistema abaixo:









y[1]
y[2]
..
.
y[N −p]










 = −






y[2]
y[5]
· · · y[p + 1]

a0



y[3]
y[4]
· · · y[p + 1] 
  a1
 .
..
..
..
..
  ..
.
.
.
.


y[N − p + 1] y[N − p + 2] · · · y[N]
ap−1









(3.33)
A solução do sistema (3.33) permite a determinação dos coeficientes do polinômio φ(z).
Resolvendo a equação:
ap z p + ap−1 z p − 1 + · · · + a1 z + a0 = 0,
(3.34)
determina-se os pólos z1 , z2 , · · · , zp . As raı́zes complexas obtidas na equação (3.34) contém
as informações dos pólos que inicialmente desejava-se encontrar utilizando-se o sistema (3.23).
Com os pólos obtidos em (3.34), é possı́vel determinar os coeficientes de amortecimento 1/τ k e
as frequências fk do sinal analisado (COSTA, 2005).
1
=
τk
ln
tan−1
ωi =
∆T
Real(zk )
cos(ωk ∆T )
Im(zk )
re( zk )
∆T
,
.
(3.35)
(3.36)
A Figura 3.1 mostra o diagrama de blocos que resume o método de Prony.
y
Método de Prony
Construção do
sitema - Eq 4.33
Solução do sistema
Obtenção do
polinômio - Eq 4.34
Pólos z k
Determinação do
coeficiente
exponencial Eq 4.35
Figura 3.1: Estrutura do método de Prony
35
3.7
36
Modelo inicial para os sinais analisados
No caso deste trabalho, os sinais a serem analisados são correntes e tensões oriundas de
sistemas elétricos sob falta. Dessa forma, um modelo adequado para tais sinais seria:
y(t) = Ad e−t/τ + A cos(ωt + θ).
(3.37)
O objetivo deste modelo é simular uma situação de falta em um sistema elétrico de potência.
O primeiro termo da equação (3.37) representa à componente DC de decaimento exponencial e o
segundo termo a componente senoidal. Desenvolvendo o modelo (3.37) na forma de exponencial
complexa, obtém-se:
−t/τ
y(t) = Ad e
ej(ωt+θ) + e−j(ωt+θ)
+A
2
y(t) = Ad e−t/τ +
Aejθ jωt Ae−jθ −jωt
e +
e
2
2
O método de Prony garante a determinação dos pólos e−t/τ , ejωt , e−jωt .
(3.38)
(3.39)
O método de
mı́nimos quadrados proposto neste trabalho requer a construção dos seguintes regressores:
e−t/τ , cos(ωt), sin(ωt). O modelo para a aplicação do método de mı́nimos quadrados, é derivado da equação (3.37) e pode ser escrito por:
y(t) = Ad e−t/τ + A cos(θ) cos(ωt) − A sin(θ) sin(ωt)
(3.40)
A estimação da amplitude A e da fase θ é realizada pelo algoritmo CAM ; referente a seção
3.5.
3.8
37
Algoritmo Proposto
O algoritmo de estimação fasorial proposto neste trabalho é baseado no método de mı́nimos
quadrados discutido na seção (3.1) e no método de Prony desenvolvido na seção 3.6. Resumidamente, o método de mı́nimos quadrados fornece a estimativa do fasor fundamental e o método
de Prony estima a intensidade do decaimento exponencial que corrompe o sinal sob análise.
O método de Prony atua em uma janela móvel do sinal. Esta janela é constituı́da de um
número fixo de N amostras. Com o resultado da aplicação do método de Prony nesta janela,
obtém-se, genericamente, as frequências das senoides e os coeficientes das exponenciais contidas
no sinal analisado. No caso, inicialmente, investigado neste trabalho, a única variável de interesse
é o coeficiente do decaimento exponencial que corrompe o sinal. Note que no modelo, descrito
pela equação (3.36), pode-se, previamente, presumir o conhecimento da frequência fundamental
ω e a única variável a se determinar é o coeficiente τ . A aplicação do método dos mı́nimos
quadrados se realiza recursivamente, ou seja, ao receber a estimativa de τ , oriunda do estágio
de Prony, renova-se o vetor de regressores:
ϕn = [e
−n∆t
τ
sin(ωn∆t) cos(ωn∆t)],
(3.41)
e a cada amostra do sinal o vetor dos parâmetros é atualizado conforme:
αn = [α1 α2 α3 ],
(3.42)
em que α1 = Ad , α2 = A sin(θ) e α3 = A cos(θ)
O fasor, constituı́do da amplitude, A, e fase,θ, da componente fundamental, é obtida por
meio das relações:
q
A = α12 + α22 ,
e
−
θ = tan 1
α2
α3
(3.43)
.
(3.44)
Esquematicamente, o algoritmo proposto neste trabalho pode ser visualizado no diagrama de
38
blocos mostrado na Figura 3.2 e o bloco correspondente ao janelamento é detalhado na Figura
3.3.
y[n]
Janelamento
yj
Método de Prony
Caminhada aleatória
modificada
(algoritmo 4.18)
Fasor
Figura 3.2: Estrutura do algoritmo proposto
y[n]
janelamento
y j[1] = y j[2]
y j[2] = y j[3]
y j[N-1] = y j[N]
y j [N] = y[n]
yj
Figura 3.3: Janelamento do sinal com N amostras
3.8.1
39
Esforço Computacional
Um dos fatores a serem analisados nos algoritmos de estimação fasorial é o esforço computacional. No SEP é desejável que a proteção isole a região com problemas o mais rápido possı́vel
(BLACKBURN; DOMIN, 2007). Em relés de alta velocidade, a atuação do relé deve ser menor que
50ms (IEEE, 100). Porém, em um relé de proteção, a estimação fasorial não é a única tarefa a
ser realizada pelo relé. Por esse motivo, é imprescindı́vel que a estimação fasorial não demande
tempo de processamento elevado.
É verificado nessa subseção o esforço computacional no MatLab (THE. . . , 2013), do algoritmo
CAM e FFT. A análise é realizada estimando a quantidade de multiplicações e divisões necessárias para estimar os fasores em um intervalo de amostra do sinal utilizando-se três elementos
no vetor dos regressores. O algoritmo CAM e FFT são configurados com a taxa de amostragem
de 1920Hz.
Analisando a quantidade de multiplicações e divisões, é estimado que para cada intervalo de
amostra, o algoritmo CAM utiliza trinta e cinco multiplicações e quinze divisões e no algoritmo
da FFT são necessárias oitenta multiplicações e vinte divisões. A diferença da quantidade de
operações de multiplicações no algoritmo CAM em relação a FFT é devido a caracterı́stica
interna do algoritmo.
O algoritmo da CAM é derivado do algoritmo dos mı́nimos quadrados sendo fundamentado
em cálculo matricial (HAYKIN, 2002). No algoritmo da FFT é necessária a utilização de funções
trigonométricas que, consequentemente, aumentam a quantidade de multiplicações. Com os
resultados apresentados verifica-se que o método CAM exige menor esforço computacional na
estimação fasorial.
Capı́tulo
4
Resultados
4.1
Introdução
Neste capı́tulo são apresentados os resultados de simulação e experimentais com o objetivo é
testar o método de estimação proposto nesta dissertação. O capı́tulo está organizado de acordo
com as seguintes seções.
Na segunda seção, apresenta-se o aparato experimental utilizado para gerar e analisar os
sinais sintéticos e processá-los com o processador digital de sinais.
Na terceira seção, os resultados das simulações são apresentados. Nesta seção, os sinais
são gerados e analisados utilizando-se de códigos em Matlab. O desempenho do método da
Caminhada Aleatória Modificada (CAM) é investigado por meio da variação de três parâmetros
de simulação, especificamente: (a) a constante de tempo da componente DC de decaimento
exponencial, (b) a taxa de amostragem dos sinais analisados e a (c) razão entre amplitudes dos
sinais pré e pós do evento simulado de falta. Nesta seção, compara-se o desempenho do método
CAM com o da transformada de Fourier de um ciclo na estimação dos fasores. Esta comparação
também é realizada com e sem o auxı́lio do método de Prony.
Na quarta seção, os resultados experimentais são apresentados. Os sinais testados na quarta
seção são idênticos aos testados na seção anterior. A sequência utilizada na parte experimental
é primeiramente realizar as simulações em MatLab, encarregado de gerar os sinais, e depois de
alcançados os resultados desejados fazer a amplificação do sinal utilizando o aparelho Omicron
40
Capı́tulo 4. Resultados
41
(OMICRON, 2013). O algoritmo CAM e FFT são programados no processador de ponto flutuante
DSP(”Digital Signal Processor”) TMS320F28335 (TEXAS, 2013), responsável pela análise dos
sinais. A apresentação dos resultados é realizada pelo ”software” do processador encarregado de
gerar um arquivo para a análise dos resultados. A Figura 4.1 representa o diagrama de blocos
da parte experimental.
Gerador de sinais
( MatLab )
Amplificação
Análise dos Sinais
( Omicron - CMC 256 Plus )
( DSP - TMS320F28335 )
Apresentação dos
resultados
Figura 4.1: Diagrama de blocos da parte experimental.
4.1.1
Caracterı́sticas do Hardware
A verificação do comportamento do método proposto é realizada utilizando um distúrbio no
sinal de corrente. No entanto, a entrada analógica do DSP amostra o sinal em tensão (V ). Dessa
forma, a tensão amostrada pelo AD do DSP equivale a uma corrente proporcional a corrente
da linha de transmissão.
Para não danificar o processador, a entrada analógica do DSP somente deve possuir amplitudes de 0V a 3V. A resolução do AD é obtida por meio da equação (4.1).
∆V =
3V
2n bits
(4.1)
Como exemplo, calculando a resolução do AD utilizando a equação (4.1), tem-se ∆V =
3
212
, obtendo ∆V = 7, 3242.10−4V . A cada degrau de conversão do AD é possı́vel uma precisão de
7, 3242.10−4V ou 732µV . Com a resolução de 732µV , é possı́vel amostrar pequenas variações
de tensão provenientes do transformador de corrente (TC ).
4.2
42
Arranjo experimental
Na Figura 4.2 demonstra três equipamentos utilizados na parte experimental descritos na
seção 4.1. O computador (1) tem a função de gerar os pontos em MatLab e transmiti-los para
o amplificador de corrente (2). O amplificador de corrente ao receber os dados do MatLab tem
a função de gerar as amostras do sinal simulado para o DSP (3). Os resultados gerados pelo
DSP são recebidos pelo computador (1) e posteriormente analisados.
Figura 4.2: Arranjo experimental.
4.2.1
43
Sinal sintético
Na Figura 4.3 verifica-se a existência de um off-set de 1, 5V . O off-set de 1, 5V é necessário
devido a caracterı́stica do AD do DSP não permitir tensões bipolares. Para eliminar o offset,
internamente ao algoritmo da CAM assim como o da FFT, o sinal amostrado é subtraı́do de uma
constante de valor 1,5. Dessa forma, valores de tensão abaixo de 1, 5V são considerados como
tensões negativas e o inverso como tensões positivas. Com essa estratégia é obtido à bipolaridade
do sinal. Porém, a solução apresentada não é a única forma de se extrair o off-set do sinal de
corrente. Outra maneira é alocar a constante de 1,5 no vetor dos regressores, equação (3.2).
Desta forma, é possı́vel extrair o off-set sem que se tenha interferência na estimação fasorial.
Sinal de corrente com Distúrbio
3
Amplitude (V)
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0.1
0.2
0.3
Tempo (s)
Figura 4.3: Sinal sintético.
0.4
0.5
4.3
44
Simulações em MatLab
Como mencionado anteriormente, neste capı́tulo são apresentados os resultados simulados
obtidos utilizando-se o método CAM simulado no MatLab. Como fonte de comparação é utilizado o algoritmo de Fourier, FFT de um ciclo.
A análise dos resultados, sob forma de tabela, é realizada sobre três aspectos: tempo de
acomodação, tempo de subida e ultrapassagem percentual. O tempo de acomodação é o tempo
em que o algoritmo CAM leva para alcançar o valor de regime de pós-falta com um erro de
±3%. O tempo de subida é analisado levando-se em consideração o tempo em que o algoritmo
CAM demora a alcançar 90% do valor de regime. Para a análise da ultrapassagem percentual,
é analisado o pico máximo estimado pela CAM de pós-falta.
Em cada Figura o método CAM é representado por uma linha preta tracejada e o algoritmo
da FFT representado por uma linha traço ponto em azul. Como referência do valor correto das
grandezas estimadas, é desenhada nas Figuras uma linha continua em vermelho.
O tempo de simulação está compreendido entre 0s ≤ t ≤ 0, 5, sendo esse tempo considerado
suficiente para a verificação do comportamento da CAM. O instante de tempo da falta permanece
inalterado em todas as simulações e está localizada no intervalo de tempo de 0, 026s ≤ t ≤ 0, 22s.
4.3.1
45
Variação da Constante de tempo de Decaimento Exponencial
Nesta subseção, altera-se apenas a constante de tempo de decaimento exponencial τ do sinal
de corrente. Os valores simulados de τ , nesse ordem, são τ = 0.1s , τ = 0.03s e τ = 0.001s. Na
configuração do algoritmo CAM, o valor da matriz R, taxa de amostragem e o erro são de 1,
1920Hz e 0,5, respectivamente. A definição de R e o erro são encontradas na seção 3.5.
Para o sinal de corrente são atribuı́dos os valores da Tabela 4.1. No algoritmo da FFT, a
taxa de amostragem adotada é a igual à utilizada na CAM.
Tabela 4.1: Parâmetros do sinal de corrente.
Amplitude de pré-falta 0,15V
Amplitude de pós-falta 0,75V
Fase de pré-falta
38o
Fase de pós-falta
65o
Para a apresentação dos resultados, primeiramente é demonstrado às figuras da fase e em
seguida uma tabela demonstrando os resultados numéricos obtidos relativo a fase. A análise da
amplitude segue a mesma forma de apresentação da fase.
Analisando a fase com as constantes de tempo simuladas de τ = 0.1s, τ = 0.03s e τ = 0.001s
são obtidas as Figuras 4.4 sendo os resultados numéricos demonstrados nas Tabelas 4.2.
46
Fase
70
65
60
Fase (graus)
55
50
45
40
35
FFT
CAM
Defasagem estabecida
30
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Tempo (s)
0.35
0.4
0.45
(a)
Fase
70
65
Fase (graus)
60
55
50
45
40
FFT
CAM
35
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Tempo (s)
0.35
0.4
0.45
(b)
Fase
70
65
Fase (graus)
60
55
50
45
40
FFT
CAM
35
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Tempo (s)
0.35
0.4
0.45
(c)
Figura 4.4: Fase estimada: (a) τ = 0.1s; (b) τ = 0.03s; (c) τ = 0.001s.
47
Tabela 4.2: Resultados numéricos referente a fase.
CAM
FFT
(a) - τ = 0.1s
Tempo de acomodação (s)
0,084
0,117
Tempo de subida (s)
0,0632 0,0627
Ultrapassagem percentual (%) -6,46
-2,06
(b) - τ = 0.03s
Tempo de subida (s)
Ultrapassagem percentual (%)
0,1011
0,0632
-6,54
0,1178
0,0627
-2,12
(c) - τ = 0.001s
Tempo de subida (s)
0,0774
0,0628
27,54
0,0782
0,0627
-3,92
O tempo de acomodação da CAM na Tabela 4.2, para τ = 0.1s, apresenta-se melhor comparado com a FFT. Analisando os dois itens, tempo de subida e ultrapassagem percentual, o
método CAM possui o comportamento não muito vantajoso comparado com a FFT. No entanto,
o atraso no tempo de convergência na Figura 4.4(a) logo após o distúrbio no algoritmo CAM, é
menor em relação a FFT.
O atraso no tempo de convergência da FFT e da CAM é melhor visualizada na Figura 4.5 no
intervalo compreendido entre 0, 065s ≤ t ≤ 0, 08s. Na ocorrência do distúrbio, a FFT responde
de forma inadequada e abrupta, possuindo dessa forma uma oscilação de ascendência negativa
maior comparada ao método CAM. A CAM, por sua vez, não apresenta oscilação abrupta logo
após o distúrbio, fazendo a estimativa da fase mais suave e próxima da fase real. Devido a
ultrapassagem percentual ser elevada na FFT após o distúrbio, demanda a ela um tempo de
acomodação maior; como verificado na Tabela 4.2(a).
À análise para a constante de tempo de τ = 0.03s é visualizado a fase estimada na Figura
4.4(b). Nessa figura nota-se que o comportamento do método CAM é estável do inicio ao fim
da estimação fasorial.
Na Tabela 4.2(b) é possı́vel verificar que o comportamento do método CAM é semelhante
48
Fase
70
65
Fase (graus)
60
55
50
45
40
35
FFT
CAM
30
0.06
0.065
0.07
0.075
Tempo (s)
0.08
0.085
0.09
Figura 4.5: Fase estimada - τ = 0.1s.
ao apresentado na Tabela 4.2(a). Houve um pequeno aumento no tempo de acomodação. O
aumento no tempo de acomodação ocorre devido ao comportamento do sinal de distúrbio.
Quando a constante de tempo aumenta, o sinal do distúrbio possui o decaimento exponencial
maior, consequentemente o método CAM necessita um pouco mais de tempo para estabilizar.
Com relação ao tempo de subida, manteve-se igual, e a ultrapassagem percentual apresentou
uma pequena mudança.
A fase estima para a constante de tempo τ = 0.001s é obtida na Figura 4.4(c).
É possı́vel notar na Figura 4.4(c) que a estimação da fase pelo método CAM apresentase mais estável comparado com as outras constantes de tempo. Para a constante de tempo
τ = 0.001s, o sinal de corrente de pós-falta praticamente não apresenta decaimento exponencial,
como representado na Figura 4.6. O sinal de corrente possui apenas duas senóides de amplitudes
diferentes.
49
Sinal de corrente com Distúrbio
3
Amplitude (V)
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Tempo (s)
Figura 4.6: Sinal com distúrbio.
Quando um sinal é conhecido, é possı́vel modela-lo no vetor dos regressores, como demonstrado na equação (3.2). Sendo assim, ocorre nesse caso, a possibilidade de se modelar o sinal
de corrente apenas com os parâmetros seno e coseno, tornando a estimativa da fase e amplitude
mais próxima possı́vel do valor real.
A Tabela 4.2(c) demonstra os resultados alcançados pelo método CAM na estimativa da
fase. Verifica-se que o tempo de acomodação da CAM é melhor comparado ao obtido pela
FFT. O tempo de subida praticamente apresenta-se com o mesmo valor da FFT.
A estimação da amplitude do algoritmo CAM frente ao sinal de distúrbio utilizado, é visualizado nas Figuras 4.7. Nas Tabelas 4.3 são demonstrados os resultados numéricos.
50
Amplitude
0.8
Amplitude (V)
0.75
0.7
0.65
FFT
CAM
Corrente estabelecida
0.6
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Tempo (s)
0.35
0.4
0.45
0.5
(a)
Amplitude
0.82
0.8
Amplitude (V)
0.78
0.76
0.74
0.72
0.7
0.68
FFT
CAM
0.66
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Tempo (s)
0.35
0.4
0.45
0.5
(b)
Amplitude
0.86
0.84
0.82
Amplitude (V)
0.8
0.78
0.76
0.74
0.72
FFT
CAM
0.7
0.68
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Tempo (s)
0.35
0.4
0.45
(c)
Figura 4.7: Amplitude estimada: (a) τ = 0.1s; (b) τ = 0.03s; (c) τ = 0.001s.
51
Tabela 4.3: Resultados numéricos referente a amplitude.
CAM
FFT
(a) - τ = 0.1s
0,088 0,1302
Tempo de subida (s)
0,0648 0,0657
0,94
8,56
(b) - τ = 0.03s
Tempo de subida (s)
0,1134
0,0648
1,85
0,1219
0,0658
5,12
(c) - τ = 0.001s
Tempo de subida (s)
0,0783
0,0688
5,6
0,0802
0,0721
14,25
Na Tabela 4.3(a) referente a Figura 4.7(a), a amplitude estimada pelo método CAM apresenta resultados superiores comparados com os resultados apresentados pela FFT. No item
tempo de acomodação, o método CAM é 42, 2ms mais rápido comparado com a FFT. A ultrapassagem percentual no método CAM é 7, 62% menor em relação a FFT. No tempo de subida a
diferença da CAM em relação a FFT não é muito acentuada, porém o método CAM apresenta
o resultado melhor.
Na Figura 4.7(b), percebe-se que o comportamento da CAM para a estimação da amplitude,
comporta-se bem do inı́cio ao final da estimação comparado ao algoritmo da FFT. Os resultados
numéricos da estimação da amplitude são demonstrados na Tabela 4.3(b). Na Figura 4.7(c),
tem-se o comportamento da estimação da amplitude mais suave devido a caracterı́stica do sinal
de distúrbio. Os resultados numéricos são apresentados na Tabela 4.3(c).
4.3.2
52
Variação da Taxa de Amostragem
Nessa subseção são analisados os resultados obtidos pelo método CAM alterando-se apenas
a taxa de amostragem e fixando os parâmetros do sinal de corrente com os dados da Tabela
4.4. As taxas de amostragem utilizadas são de 960Hz, 1920Hz e 3840Hz. A configuração do
algoritmo CAM é realizada ajustando a matriz R e a variável erro com os valores de 10 e 0,5,
respectivamente.
Constante de tempo τ 0,05s
Fase de pré-falta
38o
Fase de pós-falta
65o
Realizando as configurações no algoritmo CAM e no sinal de corrente, são obtidas as Figuras
4.8 da fase estimada.
53
Fase
70
65
Fase (graus)
60
55
50
45
FFT
CAM
40
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Tempo (s)
0.35
0.4
0.45
0.5
(a)
Fase
70
65
Fase (graus)
60
55
50
45
40
FFT
CAM
35
30
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Tempo (s)
0.35
0.4
0.45
0.5
(b)
Fase
75
70
Fase (graus)
65
60
55
50
45
40
FFT
CAM
35
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Tempo (s)
0.35
0.4
0.45
0.5
(c)
Figura 4.8: Fase estimada, taxas: (a) 960Hz ; (b) 1920Hz ; (c) 3840Hz.
54
CAM
FFT
(a) - 960Hz
0,1
0,12
Tempo de subida (s)
0,063
0,062
1,9
(b) - 1920Hz
Tempo de subida (s)
0,110
0,0632
-6,49
0,126
0,0627
2,3
(c) - 3840Hz
Tempo de subida (s)
0,101
0,076
-11,23
0,126
0,063
-4,92
A Figura 4.8(a) demonstra a convergência do algoritmo CAM para a fase de pré e pós-falta
do sinal de corrente utilizando-se dos parâmetros da Tabela 4.4 . Verifica-se que a fase estimada
corresponde à fase do sinal de corrente, apresentando divergência apenas no inı́cio da estimação
e logo após a falta.
O atraso no tempo de convergência inicial da FFT ocorre devido ao vetor da janela deslizante
ser configurado com valor zero para as primeiras amostras. Já no método CAM, o atraso inicial,
ocorre devido ao ajuste da matriz de covariância P, (COSTA et al., 2013).
No perı́odo de pré-falta, percebe-se que a convergência do método CAM é mais rápida e
menos abrupta comparada com o algoritmo da FFT. Existe uma pequena oscilação da fase
estimada da CAM e FFT em torno da fase estabelecida. A oscilação da FFT é devido ao
sinal de corrente não ser periódico. A FFT é derivada da DFT, dessa forma o algoritmo FFT
possui as mesmas caracterı́sticas do algoritmo da DFT ; porém, a FFT, demanda um tempo
de processamento reduzido (COSTA, 2005) (CARVALHO, 2008). No algoritmo CAM, a oscilação
da estimação da fase ocorre devido a não parametrização da constante de tempo no vetor dos
regressores (COSTA, 2005) (SACHDEV; NAGPAL, 1991). Para a parametrização, seria necessário
55
fazer a estimativa da constante de tempo exponencial e aloca-la no vetor dos regressores,
como discutido na Seção 3.6.
Os resultados do tempo de acomodação, tempo de subida e ultrapassagem percentual para
a fase referente a Figura 4.8(a) são demonstrados na Tabela 4.5(a).
Utilizando a taxa de amostragem de 1920Hz, são obtidos os resultados da Tabela 4.8(b).
Verifica-se que o comportamento da estimação da fase no método CAM de pré-falta da Figura
4.8(b) é semelhante ao da Figura 4.8(a).
Para se ter um bom tempo de acomodação, é necessário alterar o valor do erro e da matriz
R. Mantendo-se os mesmos valores do erro e da matriz R utilizados na taxa de amostragem de
960Hz, o tempo de acomodação e o atraso no tempo de convergência aumentam. A piora do
tempo de acomodação e de convergência se deve a diminuição do valor no traço da matriz de
covariância (COSTA et al., 2013). Uma forma de corrigir o erro provocado pelo traço da matriz
de covariância é alterar o valor da matriz R. A mudança do valor do valor da matriz R é um
ajuste heurı́stico para melhorar a performance do algoritmo CAM.
Analisando o perı́odo de pré-falta da Figura 4.9, compreendido no intervalo aproximado
de tempo 0s ≤ t ≤ 0, 2s, verifica-se que o método CAM alcança a fase estabelecida mais
rapidamente. A melhora no tempo de convergência inicial da estimação, se deve a alteração
do valor da matriz de covariância P, sendo necessária a mudança do valor da matriz P a cada
variação da taxa de amostragem.
Os resultados da estimação da fase e amplitude com o algoritmo CAM configurado com a
taxa de amostragem de 3840Hz são demonstrados. A Figura 4.8(c) ilustra a fase estimada.
A Tabela 4.5(c) demonstra em números os resultados encontrados para a fase. Nesse tabela,
é possı́vel verificar que o tempo de acomodação do algoritmo CAM é melhor em relação a FFT.
Os dois parâmetros, tempo de subida e ultrapassagem percentual apresentam-se com o resultado
desfavorável para o método CAM. Porém, na Figura 4.10, no intervalo de 0, 0625s ≤ t ≤ 0, 085s,
é possı́vel notar que a CAM é mais estável em relação a FFT. Sendo a CAM mais estável, o
tempo de acomodação torna-se mais rápido. Pode-se dizer que o método CAM caminha para
estabilidade, na estimação da fase, de forma mais ”comportada”, (SERNA, 2005). Logo após o
56
Fase
150
Fase (graus)
100
50
0
−50
−100
FFT
CAM
−150
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Tempo (s)
0.025
0.03
Figura 4.9: Fase estimada - Taxa de amostragem de 1920Hz.
distúrbio a FFT tem uma oscilação muito acentuada enquanto a CAM vai para o ponto de
acomodação de forma mais suave.
Fase
65
60
Fase (graus)
55
50
45
40
35
FFT
CAM
30
0.06
0.065
0.07
0.075
Tempo (s)
0.08
0.085
Figura 4.10: Fase estimada - Taxa de amostragem 3840Hz.
57
Analisando a amplitude, pode-se verificar o comportamento semelhante ao da fase. A análise
é semelhante devido ao fato da amplitude ser obtida a partir dos mesmos parâmetros que
originam a fase, vide equação (3.43) e (3.44). Na Figura 4.11, é demonstrado o comportamento
da amplitude estimada utilizando os parâmetros da Tabela 4.4. O método CAM apresenta
o comportamento semelhante ao algoritmo da FFT, porém com menos oscilação no inı́cio da
estimação de pré-falta e pós-falta.
As amplitudes são obtidas nas Figuras 4.11 e os resultados numéricos nas Tabelas 4.6.
58
Amplitude
0.82
Amplitude (V)
0.8
0.78
0.76
0.74
0.72
FFT
CAM
0.7
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Tempo (s)
0.35
0.4
0.45
0.5
(a)
Amplitude
0.82
0.8
Amplitude (V)
0.78
0.76
0.74
0.72
0.7
FFT
CAM
0.68
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Tempo (s)
0.35
0.4
0.45
(b)
Amplitude
0.8
Amplitude (V)
0.78
0.76
0.74
0.72
0.7
FFT
CAM
0.68
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Tempo (s)
0.4
0.45
0.5
(c)
Figura 4.11: Amplitude estimada, taxas: (a) 960Hz ; (b) 1920Hz ; (c) 3840Hz.
59
CAM
FFT
(a) - 960Hz
0,13
0,13
Tempo de subida (s)
0,068
0,065
9,86
(b) - 1920Hz
Tempo de subida (s)
0,122
0,0648
0,986
0,13
0,0658
7,04
(c) - 3840Hz
Tempo de subida (s)
0,105
0,066
-5,6
0,13
0,066
5
Na região de pós-falta na Figura 4.11(a), para a taxa de amostragem de 960Hz, verifica-se
que o método CAM converge mais rapidamente em relação ao algoritmo da FFT. A velocidade
de convergência do algoritmo CAM é devido à adição da matriz simétrica positiva R a matriz
de covariância P, como demonstrado na Seção 3.5 na equação (3.17). A Tabela 4.6(a) fornece
os resultados da amplitude estimada.
Analisando os resultados numéricos da Tabela 4.6(a), verifica-se que o algoritmo CAM apresenta melhor desempenho em relação ao algoritmo da FFT. Nota-se na Figura 4.11(a) o comportamento oscilatório de pós-falta do método CAM. A oscilação ocorre principalmente por dois
motivos, os parâmetros a serem estimados variam ao longo do tempo (COSTA, 2005). Inicialmente o sinal a ser estimado é apenas uma função senóide e logo após o distúrbio existe a adição
de uma componente exponencial, equação (3.37). Para que o algoritmo faça a estimação com
resultados mais precisos, é necessário alocar a constante de tempo τ no vetor dos regressores,
equação (3.1), eliminando significativamente a oscilação. O outro motivo é a diminuição do
traço da matriz de covariância.
Quando o traço da matriz de covariância P possui valores abaixo da representação numérica
computacional, ocorre erros de truncamento. O problema se deve a representação numérica ser
60
finita (GIMENEZ, 1995) (COSTA et al., 2013).
Durante a análise do estudo da CAM, verificou-se que uma possı́vel solução para tentar
atenuar a oscilação é implementar no algoritmo CAM o fator de esquecimento, Seção 3.2. O fator
de esquecimento atenua a oscilação, porém após o distúrbio, pós-falta, existe uma ultrapassagem
percentual muito elevada, tanto na fase como na amplitude. No entanto o estudo aprofundado
da adição do fator de esquecimento não foi realizada. Outra técnica possı́vel de ser implementada
e testada, no presente trabalho, é a técnica da Seção 3.6. A técnica da seção 3.6, Prony, elimina
significativamente o problema da constante de tempo e a oscilação que ela provoca.
Na Figura 4.11(b) é demonstrado o resultado da estimação da amplitude e a Tabela 4.6(b)
resume os resultados numéricos alcançados para a taxa de amostragem de 1920Hz.
Na Tabela 4.6(b), verifica-se que o comportamento apresentado pela CAM é melhor em
relação a FFT. O três itens analisados evidenciam que para a taxa de amostragem de 1920Hz a
CAM apresenta-se com resultados melhores. A Figura 4.11(c) mostra o resultado da simulação
obtida pela CAM para a taxa de amostragem de 3840Hz.
É possı́vel observar na Tabela 4.6(c) que o método CAM apresenta resultado melhor comparado a FFT. Analisando o valor obtido pelo método CAM na item ultrapassagem percentual,
verifica-se que o resultado é maior, apesar de ser negativo, comparado com a FFT. Porém, a
CAM, possui o comportamento mais estável na estimação da amplitude. A Figura 4.12, no
intervalo de tempo 0, 065s ≤ t ≤ 0, 105s, ilustra o comportamento oscilatório e estável da FFT
e a CAM, respectivamente.
61
Amplitude
0.8
0.78
Amplitude (V)
0.76
0.74
0.72
0.7
FFT
CAM
0.68
0.065
0.07
0.075
0.08
0.085
Tempo (s)
0.09
0.095
0.1
0.105
Figura 4.12: Amplitude estimada - Taxa de amostragem 3840Hz..
4.3.3
Variação da amplitude
Nessa subseção são apresentados os resultados referentes ao método CAM variando apenas
as amplitudes de pré e pós-falta. As amplitudes a serem simuladas estão na Tabela 4.7.
Razão
Tensão(V)
pré-falta pós-falta
1:2
0,15
0,3
1:3
0,2
0,6
1:4
0,175
0,7
62
Na simulação do algoritmo CAM, é utilizada a taxa de amostragem de 1920Hz, sendo os
parâmetros do sinal de corrente representados na Tabela 4.8. Na configuração do algoritmo
CAM, tem-se R = 10 e o erro = 0, 4.
τ
0, 05s
Fase de pré-falta
38o
Fase de pós-falta
65o
A primeira amplitude a ser simulada é a razão de amplitude de 1:2, obtendo as fases demonstrada nas Figuras 4.13.
63
Fase
70
65
Fase (graus)
60
55
50
45
40
FFT
CAM
35
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Tempo (s)
0.35
0.4
0.45
0.5
(a)
Fase
75
70
65
Fase (graus)
60
55
50
45
40
35
FFT
CAM
30
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Tempo (s)
0.35
0.4
0.45
0.5
(b)
Fase
70
65
Fase (graus)
60
55
50
45
40
FFT
CAM
35
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Tempo (s)
0.35
0.4
0.45
0.5
(c)
Figura 4.13: Fase estimada, amplitudes de: (a) 1:2 ; (b) 1:3 ; (c) 1:4.
64
CAM
FFT
(a) - 1:2
0,126
0,126
Tempo de subida (s)
0,0804 0,0782
Ultrapassagem percentual (%) -21,33 -18,13
(b) - 1:3
Tempo de subida (s)
0,1276
0,0754
-14,39
0,1260
0,0783
-11,12
(c) - 1:4
Tempo de subida (s)
0,1276
0,0745
-10,13
0,1260
0,0629
-5,88
Na Tabela 4.9(a), o tempo de acomodação do método CAM apresentou resultado igual
a FFT. Os outros dois itens, tempo de subida e ultrapassagem percentual, o método CAM
apresenta-se com resultados não muito satisfatórios. No entanto, como mencionado na subseção4.3.2, utilizando a taxa de amostragem de 3840Hz, o método CAM apresenta comportamento
mais estável.
A fase estimada pela CAM utilizando a razão de amplitude de 1:3 é demonstrada na Figura
4.9(b). O comportamento da fase é semelhante ao da Figura 4.9(a).
Para a relação de tensão de 1:4, é verificado na Figura 4.9(c) e na Tabela 4.9(c) que os
resultados apresentados são semelhantes aos apresentados para a razão de tensão de 1:2 e 1:3.
Os resultados obtidos pelo algoritmo CAM relativo a amplitude são visualizados nas Figuras
4.14 e os resultados numéricos na Tabela 4.10.
65
Amplitude
0.38
0.36
0.34
Amplitude (V)
0.32
0.3
0.28
0.26
0.24
0.22
FFT
CAM
0.2
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Tempo (s)
0.35
0.4
0.45
0.5
(a)
Amplitude
0.65
Amplitude (V)
0.6
0.55
0.5
0.45
FFT
CAM
0.4
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Tempo (s)
0.35
0.4
0.45
0.5
(b)
Amplitude
0.75
Amplitude (V)
0.7
0.65
0.6
FFT
CAM
0.55
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Tempo (s)
0.35
0.4
0.45
0.5
(c)
Figura 4.14: Amplitude estimada: (a) 1:2 ; (b) 1:3 ; (c) 1:4.
66
CAM
FFT
(a) - 1:2
0,1047 0,1302
Tempo de subida (s)
0,06401 0,0644
10,8
22,5
(b) - 1:3
Tempo de subida (s)
0,1310
0,0644
5
0,1302
0,0651
13,93
(c) - 1:4
Tempo de subida (s)
0,1312
0,0647
1,98
0,1302
0,0655
9,62
Verifica-se que o comportamento da CAM, Figura 4.14(a), logo no inı́cio da estimação da
amplitude se assemelha com o da FFT. O método CAM possui uma oscilação logo após o
distúrbio e tende a se estabilizar ao longo do tempo de simulação. A Tabela 4.10(a) demonstra
os resultados numéricos obtido pela CAM relativo a amplitude.
Na Tabela 4.10(a) demonstra que o método CAM apresenta o comportamento melhor comparado a FFT em todos os três itens analisados. A Figura 4.14(b) demonstra o resultado da
simulação para a estimação da amplitude 1:3.
A Tabela 4.10(b) revela em números o comportamento da CAM na estimativa da amplitude. É possı́vel verificar que o tempo de acomodação da CAM apresenta resultado não muito
satisfatório comparado com a FFT. Porém, vale ressaltar que o desempenho do algoritmo CAM
não é afetado. O tempo de subida e ultrapassagem percentual da CAM apresentam resultados
melhores comparados com a da FFT.
A Tabela 4.10(c) demonstra os resultados numéricos e a Figura 4.14(c) ilustra a amplitude
estimada para razão de amplitude 1:4.
4.3.4
67
CAM-Prony e CAM
Nessa subseção são apresentados os resultados obtidos utilizando-se do método CAM e
CAM auxiliado por Prony (CAM-Prony). A comparação é realizada entre os dois métodos. Ao
longo das simulações são referenciados os resultados obtidos no algoritmo CAM-Prony com as
subseções 4.3.2, 4.3.1 e 4.3.3. Nas figuras, em azul é representado o método CAM-Prony e em
preto o método CAM sem o auxı́lio do método de Prony.
A configuração dos algoritmos obedecem a seguinte ordem, o método CAM configurado com
os parâmetros da matriz R = 1 e o erro = 0, 45 sendo o algoritmo CAM-Prony utilizando
polinômio de terceira ordem. Na comparação dos dois algoritmos, são simuladas as taxas de
amostragem de 3840Hz, 1920Hz e a razão de amplitude de 1:3, verificar Tabela 4.7.
O sinal de corrente é configurado com os parâmetros da Tabela 4.4. As fases obtidas
utilizando-se dos parâmetros acima são demonstradas nas Figuras 4.15. Os resultados da fase
e amplitude utilizando-se da taxa de amostragem de 3840Hz podem ser comparados com os
resultados obtidos na subseção 4.3.2.
68
Fase
75
Fase (graus)
70
65
60
55
CAM−Prony
CAM
50
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Tempo (s)
0.35
0.4
0.45
0.5
(a)
Fase
66
Fase (graus)
64
62
60
58
56
CAM−Prony
CAM
54
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Tempo (s)
0.35
0.4
0.45
0.5
(b)
Fase
68
66
64
Fase (graus)
62
60
58
56
54
CAM−Prony
CAM
52
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Tempo (s)
0.35
0.4
0.45
0.5
(c)
Figura 4.15: Fase estimada: (a)Taxa de amostragem 3840Hz (b)1920Hz ; (c)Amplitude 1:3.
69
CAM CAM-Prony
(a) - 3840Hz
0,101
0,0713
Tempo de subida (s)
0,076
0,0626
14,9
(b) - 1920Hz
Tempo de subida (s)
0,1134
0,0648
1,85
0,0685
0,0646
0,266
(c) - 1:3
Tempo de subida (s)
0,1310
0,0644
5
0,0791
0,0632
0,0688
O motivo da melhora da estimação é devido ao método de Prony auxiliar o método CAM. O
método de Prony determina a constante de tempo de decaimento exponencial que é alocada no
vetor dos regressores (3.2). Ao se alocar o valor da constante de tempo no vetor dos regressores,
o método CAM obtém o modelo do sinal que está sendo estimado.
Demonstrando a eficiência do método de Prony na estimação da constante de tempo, na
Tabela 4.4 é possı́vel verificar que a constante de tempo utilizada é 0, 05s. Na Figura 4.16,
em vermelho, é ilustrado a constante de tempo determinada pelo método de Prony e na mesma
figura é desenhado o distúrbio, fora de escala, apenas para demonstrar a relação entre a constante
de tempo e o sinal de distúrbio.
70
Constante de tempo
0.06
Magnetude da constante de tempo (s)
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
−0.01
−0.02
−0.03
Constante de tempo
Distúrbio(fora de escala)
0
0.05
0.1
0.15
Tempo (s)
0.2
0.25
Figura 4.16: Constante de tempo.
Verificando a Tabela 4.11(a) referente a Figura 4.15(a), nota-se que os resultados obtidos pelo
algoritmo CAM-Prony são melhores comparado com o método CAM. Por exemplo, analisando
o tempo de acomodação da CAM-Prony, o método é 0, 0297s mais rápido comparado com
a CAM. No tempo de subida, a CAM-Prony é 0, 0134s mais rápida em relação a CAM. A
ultrapassagem percentual apresenta-se na CAM-Prony com um resultado maior em relação a
CAM. Porém, como ocorre na Subseção 4.3.2, a piora nesse item analisado não demonstra que
o método CAM-Prony possui o desempenho não satisfatório em relação a CAM.
Simulando o algoritmo CAM-Prony com a taxa de amostragem de 1920Hz e utilizando os
parâmetros da Tabela 4.1 e τ = 0, 03s na configuração do sinal de corrente, é obtida na Figura
4.15(b) da fase estimada. A fase estimada pode ser comparada com os resultados obtidos na
subseção 4.3.1.
Na Figura 4.15(b) verifica-se que o comportamento oscilatório no método CAM-Prony ocorre
apenas no inı́cio da região de pós-falta e logo em seguida é estabilizado. A oscilação, no entanto,
permanece no algoritmo da CAM e tende a se estabilizar em um perı́odo de tempo mais longo.
71
A Tabela 4.11(b) demonstra os resultados obtidos pela CAM-Prony referente a fase.
A fase e amplitude estimadas utilizando-se das configurações apresentadas, podem ser comparados com os resultados obtidos na subseção 4.3.3.
A Figura 4.17(c) e a Tabela4.11(c) demonstra o resultado da estimativa da fase referente a
amplitude 1:3. Os resultados são semelhantes aos obtidos nos itens (a) e (b).
Os resultados obtidos da amplitude estimada são demonstrados nas Figuras 4.17 e os resultados numérico na Tabela 4.12.
72
Amplitude
0.8
Amplitude (V)
0.75
0.7
0.65
0.6
CAM−Prony
CAM
0.55
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Tempo (s)
0.35
0.4
0.45
0.5
(a)
Amplitude
0.84
0.82
Amplitude (V)
0.8
0.78
0.76
0.74
0.72
0.7
CAM−Prony
CAM
0.68
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Tempo (s)
0.35
0.4
0.45
0.5
(b)
Amplitude
0.65
Amplitude (V)
0.6
0.55
0.5
CAM−Prony
CAM
0.45
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Tempo (s)
0.35
0.4
0.45
0.5
(c)
Figura 4.17: Amplitude estimada:(a)Taxa 3840Hz (b)1920Hz ; (c)Amplitude 1:3.
73
CAM CAM-Prony
(a) - 3840Hz
0,105
0,0709
Tempo de subida (s)
0,066
0,0629
-5,6
7,05
(b) - 1920Hz
Tempo de subida (s)
0,1134
0,0648
1,85
0,0685
0,0646
0,266
(c) - 1:3
Tempo de subida (s)
0,1310
0,0644
5
0,0791
0,0632
0,0688
Verifica-se nas Figuras 4.17 que o algoritmo da CAM-Prony apresenta o comportamento
menos oscilatório, e portanto, superior ao da CAM. Para que o texto não fique exaustivo,
são apresentados os resultados numéricos obtidos relativo à amplitude na Tabela 4.11 sem
comentários adicionais.
4.4
74
Resultados Práticos
O objetivo da parte experimental é testar o algoritmo CAM em algumas situações de falta
elétrica. Os critérios utilizados para o teste do algoritmo CAM é primeiramente, alterar a
taxa de amostragem para os valores de 960Hz e 1920Hz, fixando a constante de tempo de
decaimento exponencial e as amplitudes da corrente de pré-falta e pós-falta. Em seguida, alterase a constante de tempo de decaimento exponencial e fixa-se a taxa de amostragem em 1920Hz
e as amplitudes de pré-falta e pós-falta.
Para a verificação da eficiência do algoritmo CAM, os resultados obtidos experimentalmente
são comparados com os resultados experimentais da FFT e com os resultados das simulações das
subseções 4.3.2 e 4.3.1. Ambos os algoritmos, CAM e FFT, foram programados no processador
de ponto flutuante, TMS320F28335 (TEXAS, 2013) e o arranjo experimental segue a Figura 4.2,
apresentada anteriormente.
4.4.1
75
Análise da Variação da Taxa de Amostragem
Nesta condição, os parâmetros configurados no processador são R = 10 e o erro = 0, 5. No
MatLab o sinal de corrente é configurado com os dados da Tabela 4.13. O sinal obtido na saı́da
analógica do aparelho Omicron é igual ao da Figura 4.3. A primeira análise a ser realizada é
utilizando a taxa de amostragem de 960Hz.
Constante de tempo
0,05s
Fase de pré-falta
38o
Fase de pós-falta
65o
A Figura 4.18 demonstra os resultados obtidos pelos métodos CAM e FFT relativos a fase.
Fase
200
Fase (rad/s)
150
100
50
0
FFT
CAM
−50
0
0.05
0.1
0.15
Tempo (s)
0.2
0.25
Figura 4.18: Fase estimada.
Analisando a Figura 4.18, nota-se que o resultado obtido se assemelha com o resultado
simulado na Figura 4.8. Porém, existe o off-set no perı́odo de pré-falta e pós-falta.
76
O problema do off-set não é provocado pelo método CAM e sim ao ajuste não muito preciso
da taxa de amostragem no processador, o que pode ser justificado pela sensibilidade do método
CAM frente à variação da taxa de amostragem. Ao se criar o vetor dos regressores, como por
exemplo,
h = [1 cos(ω ∗ dt ∗ i) sin(ω ∗ dt ∗ i)]′
(4.2)
é necessário atribuir o valor de ω em rad/s que é dependente de f → taxa de amostragem.
Caso a taxa de amostragem ajustada no processador esteja algo de ±0, 5Hz diferente de f da
programada na equação (4.2), a estimativa da fase ou amplitude apresenta o problema do offset.
Por exemplo, o vetor h, equação (4.2), está configurado com uma taxa de amostragem de
960Hz e o processador está configurado com uma taxa de amostragem igual a 959,5Hz. Nesse
caso o resultado apresentado é igual ao demostrado na Figura 4.18, existindo uma ascendência
nos valores da fase estimados.Para corrigir o problema de off-set é necessário fazer o ajuste
preciso da taxa de amostragem. Para o ajuste preciso é necessário utilizar um equipamento
contador de frequência. Indicando dessa forma, com precisão, a correta taxa de amostragem
em que o processador está ajustado.A Figura 4.19 demonstra o resultado obtido relativo a
amplitude.
Amplitude
1
0.9
Amplitude (A)
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
FFT
CAM
0.1
0
0.05
0.1
Tempo (s)
0.15
0.2
Figura 4.19: Amplitude estimada.
Camparando a Figura 4.11 com a Figura 4.19, nota-se que o comportamento da amplitude
é semelhante ao simulado.
77
Mantendo a análise da subseção 4.3.2, porém com a taxa de amostragem de 1920Hz, é
demonstrado na Figura 4.20 o resultado da fase.
Fase
70
Fase (rad/s)
60
50
40
30
FFT
CAM
20
0
0.05
0.1
Tempo (s)
0.15
0.2
Figura 4.20: Fase estimada
É possı́vel notar que os resultados obtidos experimentalmente demonstrados na Figura 4.20
são semelhantes aos resultados da Figura 4.8. Antes do distúrbio o método CAM converge mais
rapidamente comparado com a FFT. Após o distúrbio, pós-falta, o método CAM apresenta
menos variação comparado com a FFT.
Na Figura 4.21, é demonstrado o resultado obtido referente à amplitude. O resultado obtido
é semelhante ao obtido na Figura 4.11.
Amplitude
1
0.9
0.8
Amplitude (A)
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
FFT
CAM
0
0
0.05
0.1
Tempo (s)
0.15
0.2
78
O método CAM (notadamente) apresenta bons resultados em relação ao algoritmo da FFT.
Sendo os resultados apresentados compatı́veis aos obtidos na simulação em MatLab.
4.4.2
Análise da Variação da Constante de tempo de Decaimento
Exponencial
Nesta seção, é alterada apenas a constante de tempo de decaimento exponencial. Os parâmetros do algoritmo CAM são R = 1, erro = 0, 5 e taxadeamostragem = 1920Hz. O sinal de
corrente é configurado com os da Tabela 4.14. O primeiro teste experimental comparativo a ser
realizado é referente à constante de tempo de decaimento exponencial de τ = 0, 03s.
Fase de pré-falta
38o
Fase de pós-falta
65o
Na Figura 4.22 é apresentado o resultado obtido para a fase.
Fase
75
70
65
Fase (rad/s)
60
55
50
45
40
FFT
CAM
35
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
Tempo (s)
0.14
0.16
0.18
0.2
Figura 4.22: Fase estimada
Analisando a Figura 4.22, percebe-se que o resultado apresentado pelo método CAM demonstrase melhor comparado com a FFT. No perı́odo de pré-falta, a FFT estimou a fase um pouco
79
abaixo da fase desejada. No método CAM o mesmo não ocorre, a fase é estimada corretamente.
A amplitude estimada pelo método CAM é demonstrada na Figura 4.23.
Amplitude
0.9
0.8
0.7
Amplitude (A)
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
FFT
CAM
0.1
0
0
0.05
0.1
0.15
Tempo (s)
0.2
0.25
Na Figura 4.23, percebe-se que a estimativa da amplitude realizada pelos algoritmos da
CAM e FFT são semelhantes. Os resultados experimentais realizados utilizando a constante
de tempo τ = 0, 001s são discutidos abaixo. Na Figura 4.24 é verificado o comportamento da
fase obtida experimentalmente.
Fase
80
Fase (rad/s)
70
60
50
40
FFT
CAM
30
0
0.05
0.1
Tempo (s)
0.15
0.2
A estimação fasorial representada na Figura 4.24, se assemelha com a da Figura 4.4. Porém,
existe uma diferença na fase inicial estimada compreendida no perı́odo de pré-falta. A provável
80
diferença inicial foi devido a algum ruı́do ocorrido no sistema no instante do teste. Logo após o
distúrbio, região de pós-falta, a estimativa do método CAM é igual ao resultado teórico.
A amplitude estimada referente ao τ = 0, 001s é obtida na Figura 4.25.
Amplitude
1
0.8
Amplitude (A)
0.6
0.4
0.2
0
FFT
CAM
−0.2
0
0.05
0.1
Tempo (s)
0.15
0.2
Na Figura 4.25, o resultado apresentado pelo algoritmo CAM na estimação da amplitude é
praticamente o mesmo obtido na Figura 4.7.
Capı́tulo
5
Conclusões e perspectivas da pesquisa
Nesta dissertação, pesquisou-se um método de estimação fasorial baseado na combinação
do algoritmo recursivo de mı́nimos quadrados denominado de Caminhada Aleatória Modificada
(CAM) e no algoritmo de Prony.
A CAM é uma variação do método dos mı́nimos quadrados na forma recursiva. A mudança
é realizada no monitoramento do erro e na atualização da matriz de covariância P. O algoritmo
CAM, ao verificar que o erro está acima do estabelecido internamente ao código, realiza a
atualização da matriz de covariância adicionando uma matriz real e positiva R a matriz P,
como demonstrado na seção 3.5.
Ao comparar os resultados teóricos obtidos pela CAM com a FFT, percebe-se que o desempenho da CAM infere qualidade significativa na estimação fasorial com o esforço computacional
menor. Na análise dos resultados práticos com os teóricos, nota-se que o método em uma aplicação em tempo real alcança resultados semelhantes aos obtidos em simulações no MatLab.
Portanto, o método CAM com a estratégia adotada, realiza a convergência mais rapidamente e
de forma mais suave.
No algoritmo da CAM auxiliada por Prony, o método CAM fornece a estimativa do fasor
fundamental e o método de Prony estima a intensidade do decaimento exponencial que corrompe o sinal sob análise. Verificou-se nos resultados teóricos que a estimação fasorial da fase
e amplitude possui significativa melhora após um distúrbio.
O método de Prony ao calcular a componente DC, aloca o valor desta componente no
81
Capı́tulo 5. Conclusões e perspectivas da pesquisa
82
vetor dos regressores. A CAM possuindo o modelo mais aproximado do sinal realiza mais
adequadamente a estimação fasorial. Nas simulações é possı́vel observar que após o distúrbio
a fase e magnitude são obtidas mais rapidamente e sem oscilações como as encontradas no
algoritmo CAM sem o auxilio do algoritmo de Prony.
A verificação dos resultados em uma aplicação prática não foi testada nesta estrutura da
CAM auxiliada por Prony. A dificuldade, especificamente, é pela caracterı́stica do algoritmo de
Prony demandando uma capacidade de processamento elevada. Nos casos testados, o polinômio
utilizado foi de ordem três, demonstrando que mesmo utilizando-se um polinômio de grau baixo,
à determinação das raı́zes deste polinômio necessita de um tempo de processamento elevado.
5.1
Trabalhos Futuros
Analisando o comportamento do algoritmo de Prony, verifica-se a existência da necessidade
de melhora do método. Nas simulações no MatLab, foi verificado que o algoritmo de Prony em
uma aplicação em tempo real demandaria tempo de processamento elevado, necessitando de um
hardware mais rápido. Outro ponto não abordado neste trabalho, mas verificado na literatura,
é o comportamento do algoritmo de Prony na presença de ruı́do branco.
Verificado as duas caracterı́sticas que necessitam ser corrigidas a fim de se obter melhor
eficiência no método de Prony, são listadas abaixo tópicos para futuros trabalhos de pesquisas.
• Desenvolver uma estrutura computacional mais eficiente na obtenção das raı́zes do polinômio.
• Verificar a influência de ruı́do branco no comportamento do algoritmo de Prony.
• Verificado a influência do ruı́do branco, desenvolver uma estrutura interna ao método a
fim de mitigar seus efeitos.
• Analisar o comportamento do método de Prony com diferentes tamanhos de janelas e
taxas de amostragens.
Bibliografia
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Apêndice
A
Publicações
A pesquisa realizada neste trabalho de mestrado possibilitou a publicação em um congresso
internacional.
A.1
Publicação em Congresso Internacional
Costa, F.F. ; dos Santos, R.C. ; Ferreira, R.R. ; Fernandes, D.A. ; de Almeida, L.A.L. ;
Coury, D.V. ”Adaptive phasor estimators based on recursive least-squares”. Em: PowerTech
(POWERTECH), 2013 IEEE Grenoble, Page(s):1 - 6 .
88
Apêndice
B
Demonstração - MQR
A obtenção da expressão recursiva para o método de mı́nimos quadrados, inicia-se com a
manipulação algébrica da expressão (3.5) para se obter a equação:
n
X
bn =
α
ϕi−1 ϕTi−1
i=1
!−1
n
X
y[i]ϕi−1 ,
(B.1)
i=1
em que n representa um tempo amostrado tn qualquer. A equação (B.1) pode ser reescrita
como:
b n = Pn
α
em que
P−1
n
=
n
X
y[i]ϕi−1 ,
(B.2)
ϕi−1 ϕTi−1 .
(B.3)
i=1
n
X
i=1
Da equação (B.2), obtém-se:
b n+1 = Pn+1
α
e da equação (B.3)
P−1
n+1
=
n+1
X
n+1
X
y[i]ϕi−1 ,
(B.4)
i=1
T
ϕi−1 ϕTi−1 = P−1
n + ϕn ϕn .
(B.5)
i=1
Considerando, agora a identidade:
n+1
X
i=1
y[i]ϕi−1 =
n
X
i=1
b n − ϕn ϕTn α
bn
y[i]ϕi−1 + y[n + 1]ϕn + ϕn ϕTn α
89
(B.6)
Apêndice B. Demonstração - MQR
90
Os dois somatórios na equação (B.6) podem ser substituı́dos, utilizando-se as equações (B.2) e
(B.4), de tal modo que:
n+1
X
i=1
b n+1 = Pn α
b n + y[n + 1]ϕn − ϕn ϕTn α
b n + ϕn α
b Tn ϕn =
y[i]ϕi−1 = P−1
n+1 α
bn .
b n + ϕn α
b Tn ϕn + ϕn y[n + 1] − ϕTn α
P−1
n α
(B.7)
Observe que para a construção da equação (B.7), a seguinte relação é utilizada:
b n = ϕn α
b Tn ϕn .
ϕn ϕTn α
(B.8)
Então, substitúi-se Pn na equação (B.7) (utilizando a equação (B.5)) e considerando-se a equação
(3.7) para substituir y[n + 1], obtém-se:
b n+1 =
P−1
n+1 α
T
b n + ϕn ϕTn α
bn
P−1
n+1 − ϕn ϕn α
b Tn ϕn
+ϕn e0 [n + 1] + yb0 [n + 1] − α
(B.9)
e desenvolvendo-se a equação (B.9), obtém-se:
b n+1 = α
b n + Pn+1 ϕn e0 [n + 1].
α
(B.10)
Apesar da equação (B.10) possuir uma forma recursiva, sua aplicação em um algoritmo recursivo
é ainda incoveniente, pois é necessário encontrar uma fórmula recursiva para a matriz P . Para
isso deve-se considerar o lema da inversão:
Seja P uma matriz de dimensão (n × n) e ϕ um vetor de dimensão n, então:
P−1 + ϕϕT
−1
=P−
PϕϕT P
1 + ϕT Pϕ
(B.11)
Das equações (B.5) e (B.11), obtém-se a formula recursiva para a matriz P:
Pn+1
Pn ϕn ϕTn Pn
= Pn −
1 + ϕTn Pn ϕn
(B.12)
Apêndice B. Demonstração - MQR
91
Utilizando a equação (B.12), o produto Kn = Pn+1 ϕn , pode ser escrito como:
Kn =
Pn ϕn
T
ϕn Pn ϕn +
1
,
(B.13)
e substituindo Kn em (B.10), obtém-se:
b n+1 = α
b n + Kn e0 [n + 1].
α
(B.14)

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