Mecanica Racional e Celeste

Mecanica Racional e Celeste
LUCIO M. RODRIGUES, professor cathedratico da Escola Polytechnica de S. Paulo.
III.
AS INTEGRAES INFINITAMENTE VISINHAS DAS EQUAÇõES
DIFFERENCIAES DA DYNAMICA.
Vamos fazer uma outra applicação da theoria que estamos desenvolvendo, ao importante e interessante problema da determinação da
solução periodica das equações da dynamica e, em particular, das· equações da Mecanica Celeste.
Ainda d'esta vez, .não temos necessidade de recorrer á theoria
que foi desenvolvida no n. 0 I, de modo que vamos tratar directamente da questão que nos propomos resolver.
SOLUÇÃO PERIODICA DO PROBLEMA DOS TRES CORPOS
Consideremos os tres corpos A, B, C, (pontos materiaes).
As equações differenciaes do movimento relativo de B, em torno
de A, (origem de coordenadas), em coordenadas polares, no plano, sob
a attra.cção de A e O são:
(1)
d
dt
da
d.t
dS
==1j
da
as coordenadas polares de B: r, raio vector, a longitude.
t a varia vel independente, o tempo.
U a funcção de forças, devida á presença do corpo B diante de A.
r e
a são
U==
p.
r
onde p. é uma constante.
S é a funcçã.o de forças devida á presença do corpo C, diante
de A e B.
JI,J ecanica
Racional e Celeste
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um parametro que suppomos infinitamente pequeno e que depende da massa do corpo C, referida á massa de A.
Na Mecanica Celeste, S é funcção de r e das coordenadas relativas de C, isto é, chamand" r' e b' as coordenadas de C, temos para S:
1J
S = funcção [r, r',
e - 6']
e periodica em (e - B')
1J S é a funcção perturbadora do movimento elliptico Kepleriano
de B, em torno de A, dado pela funcção U.
As equações (1), se applicam ao chamado «problema restricto dos
tres corpo,s», as massas dos corpos B e C, sendo suppostas sempre
pequenas, em relação á massa de A.
Isto posto, vejamos que as equações (1) dependem de um parametro arbitraria 1J e que para 1J
o, ellas admittem uma solução, que
podemos escrever:
==
(2)
{~
constante
nt
a
n sendo o medio movimento de B.
E' a solução que corresponde ao movimento circular e uniforme
de B em torno de A.
Devemos então admittir, pelo principio de continuidade das soluções das equações differenciaes, que as equações (1) terão soluçã,o para os pequenos valores de '1J.
As equações analogas a (1), que não precisamos escrever e que
se referem ao movimento de C em torno de A, admittem tambem
a solução:
== constante ==
l e' == n't
f
r'
a'
[ n' = medi o movimento de C, sendo que suppomos n differente de n'.]
Isto quando o parametro infinitamente pequeno '1J ' ( analogo a
'1J ), fôr nullo:
Como O' differe de n't e r' de a', no movimento perturbado de
C por termos de ordem 'YJ', concluímos que na funcçã.o S, aos infinitamente pequenos de 2.a ordem, podemos fazer:
r = a, r' = a', 9' = n' t
Designando por a a differença de longitudes dos corpos B e C,
temos pois:
a
6 - e' == () - n't
=
As equações (1), quando n'ellas fizermos
~
==
a
+ n't ,
r'= a'
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Revista Polylechnica
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tornam-se equações differenciaes em r e a, (que não precisamos
escrever) e que admittem para '11 = o, a solução:
a
(n- n') t
=
como consequencia da solução (2), e da relaçã.o entre e e a.
Então vêmos que as equações (1), suppostas em r e a, admitmittem (para 'tJ
o) uma solução periodica do tempo, de período
==
21t
n - n'
Assim, o «problema restricto dos tres corpos», tem no movimento
não perturbado, uma solução periodica. E' a solução geratriz, da
solução periodica que vamos determinar, quando consideramos o
movimento de B perturbado por C.
Por esta solução geratriz os corpos B e C, descrevem em um mesmo plano orbitas circulares, em movimento uniforme, em torno de
A. - As conjuncções e opposições dos 3 corpos se effectuam pe21t
T =
riodicamente com o período
n- n'
A origem dos tempos é a época de uma conjuncção e a origem das longitudes é a longitude d'essa conjuncção.
Equações ás variações de (1).
Façamos em (1)
J r==a-r-x
l e = nt + ~ , o
J
l
equações em r e a
e na funcção
s,
J
l
r==a+x
a
= (n - n') t + -;--
que contem
e - e•
que corresponde a fazer,
'tj
em factor, devemos fazer:
= a = (n - n') t
r'== a'
r== a
Observando que:
I
l
dU
da
dS
d8
==- n' a
dS
da
1
n- n'
dS
dt
nas
221
Mecanica Racional e Celeste
Temos:
d2
J
(3)
dt
1
X
2
d
dt
dy
dt
-
2 n
[2
a n x +a
-
n2 x
==
dy]
=
dt
d2
u
da
2
1j
n- n 1
• X
dS
da
+ 1j
dS
dt
Já indicámos no n.o II, como se faz rapidamente este calculo,
que é de differenciação (symbolo õ) e onde a ordem das operações
d
dt
e
o;
é
indifferente, assim como démos a interpretação das
varia v eis x e y . A ultima póde ser integrada (constante de integração sendo nulla) e effectuada na primeira, a separação da variavel x o que dá o systema linear, com 2. 0 membro:
(4)
d:t:~ + [ 3n' - ~a~ ]
dy + 2 n x ==
1J
dt
x
a (n-n')
2 n
= ~ [ ~~ + a [nn
1
s]
]
S
As equações lineares (4) vão resolver o problema proposto.
Vêmos pela forma da funcção S, que é periodica em (n- n') t,
que a equação linear de 2.a ordem em x 1 vae dar para x a solução periodica do tempo, portanto a integral infinitamente visinha procurada, para pequenos valores de 1J ) de período:
2
7t
n- n'
como a equação linear de l.a ordem em y.
Assim r e a. e analogamente r' e a 1 serão funcções periodicas do tempo, no movimento perturbado d'esses corpos.
Teremos pois a solução periodica do problema restricto dos
tres corpos, dependendo da l.a potencia de 1J e que póde ser desenvolvida segundo suas potencias crescentes, se quizermos.
E', como se vê, uma theoria de caracter elementar e simples, que
nos vae permittir apreciar a solução periodica no caso do movimento
da Lua perturbado pelo Sol e principalmente o interessantíssimo movimento periodico no systema de J upiter.