Mais uma lista sobre números complexos - GMA

Universidade Federal Fluminense
Instituto de Matemática e Estatı́stica
Departamento de Matemática Aplicada - GMA
Prof Saponga
Rua Mário Santos Braga s/n
24020 -140 Niterói, RJ
Tels: (21) 26.29.20.86
uff
Exercı́cios de Números Complexos
1. Considere a lista de números complexos:
1−i
i ;
−1 + i
;
;
2−i ;
−2 − 3i
−i +
;
√
1
2i
2 ;
;
1+i
1−i
2−i
3i − 1
;
2i
.
i+2
;
Para cada um deles, determine:
(a) o valor absoluto;
(b) o conjugado (colocando-o na forma a + bi);
(c) seu inverso (colocando-o na forma a + bi);
(d) sua forma polar, isto é, escreva cada número complexo z na forma z = |z|(a + bi) onde a2 + b2 = 1;
z
|z| .
(e) normalize cada um dos números complexos, isto é, determine
2. Considere os números complexos dados nas figuras a seguir.
1
1
1
-1
1
-1
-1
1
1
1
-1
-1
1
-1
-1
-1
Represente graficamente, nessas figuras:
(a) o valor absoluto de cada complexo;
(b) o argumento principal de cada complexo;
(c) a soma desses complexos;
(d) o produto de tais complexos;
(e) o complexo unitário associado a cada um desses complexos (isto é, z/|z|).
3. Seja 0 ̸= a ∈ R e considere o número complexo z = a + ai .
(a) Represente z no plano complexo (considere os casos a < 0 e a > 0 separadamente);
(b) Determine o argumento principal de z ;
(c) Sem fazer cálculos, determine o argumento principal de z 2 quando a > 0 ;
(d) Sem fazer cálculos, determine o argumento principal de z n quando a > 0 e n ∈ Z+ ;
(e) Sem fazer cálculos, determine o argumento principal de z 3 quando a < 0 ;
4. Coloque na forma a + bi onde a , b ∈ R , os seguintes números complexos:
• (1 − 3i)2
;
i (2 − 3i)
;
1−i
i
;
z
i
;
i(z − i)
;
2 + 3i
3 + 4i
onde z ∈ C.
5. Calcule i2013 .
6. Se −π < θ ≤ π é o argumento principal de 0 ̸= z ∈ C , qual será o argumento principal de z −1 ?
7. Resolva as equações em C . Dê a resposta na forma a + b i .
Números Complexos
2
• z2 − z − 1 = 0
• z 2 − 2z + 2 = 0
• z2 − z + 1 = 0
• z 2 − 3z + 4 = 0
8. Seja 0 ̸= a ∈ R e considere o número complexo z = −a + ai .
(a) Represente z no plano complexo (considere os casos a < 0 e a > 0 separadamente);
(b) Determine −π < arg(z) ≤ π, isto é, o argumento principal de z ;
(c) Sem fazer cálculos, determine o argumento principal de z 2 quando a > 0 ;
(d) Sem fazer cálculos, determine o argumento principal de z n quando a > 0 e n ∈ Z+ ;
(e) Sem fazer cálculos, determine o argumento principal de z 3 quando a < 0 ;
9. Se −π < θ1 , θ2 ≤ π são os argumentos principais de 0 ̸= z1 , z2 ∈ C respectivamente, qual será o argumento
principal de:
(a) z̄1 ;
(e) z1−2 ;
(b) z1−1 ;
(f) z1−2 ;
(c) (z̄1 )−1 ;
(g) z1 z2−1 ;
(d) z1−2 ;
(h) z1 z2 ;
1
;
z1 z2
z1
(j)
;
z1 z2
z1 z2
(k)
.
z1 z2
(i)
10. Se z é um complexo não nulo, qual a intrepretação geométrica para o complexo iz ?
11. Se z1 e z2 são complexos unitários (i.e. de módulo 1), qual a intrepretação geométrica para o complexo z1 z2 ?
12. Coloque na forma polar os seguintes númeos complexos e determine o seno e o cosseno dos seus argumentos
principais. Represente graficamente o argumento principal associado a cada um desses complexos
• −12
• −2 + 3i
• 2
• 1−i
• −1 − 2i
• 5 + 4i
13. Represente graficamente o conjunto dos números complexos cujo módulo vale 2.
14. Represente graficamente o conjunto dos números complexos não nulos cujo argumento principal vale:
• π/4
• 5π/6
• −π/3
• −5π/7
15. Calcule as raı́zes dos seguintes números complexos:
√
−81
√
4
• −16
√
• 3 −27
•
•
√
−i
√
3
• −i
√
• 4 −i
√
−81
√
• i
√
• 3i
•
√
3
−1
√
• 1+i
√
• 31+i
•
√
4
1+i
√
• 1−i
√
• −3 + 4i
•