Teorema de Bolzano

PRINCÍPIO DE COMPACIDADE
Dado um conjunto A ⊆ R, dizemos que a ∈ R é ponto de acumulação de A
m
∀ > 0, ]a − , a + [ contem pelo menos um ponto de A, distinto de a
m
∀ > 0, ]a − , a + [ contem um número infinito de pontos de A
Chama-se derivado de A ao conjunto A0 dos pontos de acumulação de A.
Exemplos
A
A0
{1/n : n ∈ N}
{0}
]0, 1[
[0, 1]
Q
R
Teorema de Bolzano-Weierstrass I
Todo o conjunto infinito e limitado A ⊆ R contem pelo menos um ponto de acumulação.
Demonstração
Dado um intervalo fechado e limitado I = [a, b] designemos por M0 (I) = [a, a+b
]
2
a+b
e M1 (I) = [ 2 , b] as duas metades iguais em que o intervalo I se subdivide.
Observemos que se A ∩ I fôr infinito então pelo menos uma das duas intersecções
A ∩ M0 (I) e A ∩ M1 (I) será infinita. Se fossem ambas finitas teriamos A ∩ I =
(A ∩ M0 (I)) ∪ (A ∩ M1 (I)) finito.
Como A é um conjunto infinito e limitado podemos escolher um intervalo fechado
e limitado I0 contendo A. Logo A ∩ I0 = A será infinito. Pela observação acima,
pelo menos uma das metades em que se subdivide o intervalo I0 terá uma intersecção
infinita com A. Designemos por I1 essa metade. Prosseguindo encontramos I2 metade
de I1 tal que A ∩ I2 seja infinito, e assim por diante. Mais precisamente podemos
definir recursivamente,
M0 (In ) se A ∩ M0 (In ) fôr infinito
In+1 =
M1 (In ) caso contrário
1
Facilmente se prova por indução que para todo o n ∈ N, A ∩ In é infinito e que In
tem comprimento |In | = 21n |I0 |. Pelo Princı́pio de Encaixe existe um único ponto
c que pertence a todos os intervalos In . Temos que c é ponto de acumulação de A
porque qualquer vizinhança ]c − , c + [ de c contem todos os intervalos In com
ordens suficientemente grandes.
Dada uma sucessão estritamente crescente de números inteiros {kn },
k1 < k2 < k3 < · · · < kn < kn+1 < · · ·
e uma sucessão de números reais {xn }, a sucessão {xkn }
x k1 , x k2 , x k 3 , · · · x k n , · · ·
diz-se uma subsucessão de {xn }.
{x2 n }
{x2 n−1 }
{x(n+1)! }
{x2n }
x2
x1
x2
x2
x4
x3
x6
x4
x6
x5
x24
x8
x8
x7
x120
x16
···
···
···
···
x2 n
x2 n−1
x(n+1)!
x 2n
···
···
···
···
são exemplos de subsucessões de {xn }.
Chama-se sublimite de {xn } a qualquer limite de uma subsucessão convergente
de {xn }.
Proposição
x é sublimite de {xn }
m
{n ∈ N : xn = x } é infinito ou x é ponto de acumulação de {xn : n ∈ N }
2
Demonstração
Se { n ∈ N : xn = x } é infinito, sendo
k1 < k2 < k3 < · · · < kn < kn+1 < · · ·
uma ordenação dos elementos deste conjunto, a subsucessão {xkn } é constante igual
a x. Logo a subsucessão converge para x, o que mostra que x é um sublimite de
{xn }.
Se x fôr ponto de acumulação de { xn : n ∈ N }, seja
k1 = min{ i ∈ N : xi ∈]x − 1, x + 1[ } .
1
1
Como para cada n ∈ N a vizinhança ]x − n+1
, 1 + n+1
[ contem uma infinidade de
termos xi podemos definir recursivamente
1
1
kn+1 = min i > kn : xi ∈ x −
,1 +
n+1
n+1
Logo, por definição kn é estritamente crescente e
1
1
1
⇐⇒ |x − xkn | < ,
x kn ∈ x − , 1 +
n
n
n
o que mostra que x = limn→∞ xkn é sublimite de {xn }.
Se x é um sublimite de {xn } existe uma subsucessão {xkn } convergente para
x. Se o conjunto dos termos desta subsucessão { xkn : n ∈ N } fôr infinito então
x é ponto de acumulação deste conjunto, e portanto também é ponto de acumulação
do conjunto maior { xn : n ∈ N }. Caso contrário, se { xkn : n ∈ N } fôr finito,
teremos xkn = x para todo o n suficientemente grande. Logo {n ∈ N : xn = x } é
infinito porque contem todas as ordens kn com n suficientemente grande.
Teorema de Bolzano-Weierstrass II
Toda a sucessão limitada de números reais admite pelo menos um sublimite.
Demonstração
Seja {xn } uma sucessão limitada. Então A =
limitado. Se A fôr finito então algum dos termos
vezes. Neste caso {n ∈ N : xn = xp } é infinito, e
sublimite de {xn }. Caso contrário A é infinito.
3
{ xn : n ∈ N } é um conjunto
xp da sucessão repete-se infinitas
pela proposição anterior x = xp é
Neste segundo caso pelo Teorema
de Bolzano-Weierstrass-I A tem um ponto de acumulação x, que pela proposição
anterior é sublimite de {xn }.
Exemplos:
1. {xn } = {1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, · · · }
• Conjunto dos termos A = { xn : n ∈ N } = {1, 2, 3 }.
• Pontos de acumulação de A, A0 = ∅.
• Termos que se repetem infinitas vezes: Todos.
• Sublimites: {1, 2, 3 }.
2. {xn } = {1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, · · · }
• Conjunto dos termos A = { xn : n ∈ N } = N.
• Pontos de acumulação de A, A0 = ∅.
• Termos que se repetem infinitas vezes: Todos.
• Sublimites: N.
0 1 2 0 1 2 3 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5
3. {xn } =
, , , , , , , , , , , , , , , , , , ···
2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5
• Conjunto dos termos A = { xn : n ∈ N } = Q ∩ [0, 1].
• Pontos de acumulação de A, A0 = [0, 1].
• Termos que se repetem infinitas vezes: Todos.
• Sublimites: [0, 1].
1
1
1
1
4. {xn } = 1, , 1, , 1, , 1, , 1, · · ·
2
3
4
5
• Conjunto dos termos A = { xn : n ∈ N } = { 1/n : n ∈ N }.
• Pontos de acumulação de A, A0 = {0}.
• Termos que se repetem infinitas vezes: 1.
• Sublimites: 0 e 1.
4