DENIFIÇÕES EM RELAÇÃO À LEI DE PLANCK, À CONSTANTE DE

DENIFIÇÕES EM RELAÇÃO À LEI DE PLANCK, À CONSTANTE DE
BOLTZMANN E À CONSTANTE DE AVOGADRO.
Luiz Carlos de Almeida
Na tentativa de resolução da emissão de um corpo negro aquecido, vários
cientistas tentaram resolver o problema da catástrofe do ultravioleta, mas foram mal
sucedidos. Porém, foram registrados alguns sucessos intermediários, como a lei de
Wien e a lei de Stefan-Boltzman.
Enfim, em 1900, o físico Max Karl Ernst Ludwig Planck apresentou à Sociedade
Alemã de Física um estudo teórico a respeito da emissão de radiação de um corpo
negro, deduzindo a equação que estava plenamente em acordo com os resultados
experimentais.
Para a proposição da equação do corpo negro, Max Planck considerou a
existência na superfície do corpo negro de cargas elétricas oscilantes que emitem
energia radiante não de modo contínuo, como sugere a teoria clássica, mas sim em
porções descontínuas, partículas que transportam uma quantidade de energia bem
definida.
A quantidade de energia radiante (quantum), de frequência ( f ) , é dado por:
( E = f .h) , em que (h) é uma constante de proporcionalidade denominada constante de
Planck.
A constante de Planck (h) define um limite inferior definido e finito para as
gradações da energia emitida por átomos distintos. Segundo a física clássica, a energia
irradiada por dois átomos em equilíbrio poderia ser tão pequena quanto quiséssemos. A
lei de Planck fornece o limite inferior para essa diferença.
Planck introduziu a sua hipótese das variações quantizadas. Pode-se seguir a lei
Rayleigh-Jeans e então introduzir a hipótese de Planck e assim obter a lei de Planck.
Caso contrário, acontece a catástrofe do ultravioleta.
O Problema da emissão das radiações de um corpo negro na visão da física
quântica:
Basicamente, um corpo negro é um corpo com um orifício, por onde emitirá
radiação quando for aquecido. Aliás, muitos corpos podem emitir radiação como um
corpo negro.
Se a cavidade for aquecida, emitirá radiação através do orifício. Quanto mais
quentes as paredes da cavidade, maior a intensidade da emissão. No entanto, além do
brilho, muda a cor (frequência) da radiação. O problema para os físicos foi prever e
explicar quantitativamente essas mudanças de intensidade e frequência. O problema não
era a medição experimental. A dificuldade estava em encontrar uma equação que
correspondesse à curva dos dados experimentais.
Após várias tentativas foi derivada a equação ou Lei de Rayleigh-Jeans, no
entanto, a equação não estava correta, pois, o comprimento de onda estava no
denominador, o que significa que quando a frequência aumentasse (comprimentos de
onda mais curtos), a intensidade também aumentaria indefinidamente. Assim, quando
entrasse no espectro do ultravioleta, a curva acabaria violando a lei da conservação da
energia. Isso foi chamado de “a catástrofe do ultravioleta".
A hipótese de Planck violou as leis físicas conhecidas, por isso generalizou-se
o sentimento de que era necessário rever alguma coisa nas interpretações e nos
conceitos então aceitos pela Física Clássica, que realmente se mostraram incorretos.
Emissões do corpo negro:
As emissões do corpo negro ocorrem em todos os comprimentos de onda
(espectro contínuo), mas com intensidade variável, passando por um máximo em um
dado comprimento de onda, que depende da temperatura do corpo. À medida que a
temperatura aumenta, o máximo de intensidade da radiação emitida desloca-se para
comprimentos de onda cada vez menores. Este efeito de deslocamento do pico da
radiação térmica com a temperatura já estava contido na fórmula empírica proposta em
1896 por Wilhelm Wien (1864-1928), para descrever a lei de distribuição da intensidade
no espectro emitido, como função da temperatura da fonte.
Determinação física e matemática da Constante de Dispersão e da Lei de
Wien:
Lei empírica de Wien na determinação do comprimento de onda da radiação
máxima em relação à temperatura em Kelvin do corpo negro:
Relações entre a temperatura do corpo negro e o comprimento de onda
correspondente à emissão máxima do corpo, traduzida por Wilhelm Wien, físico
austríaco contemporâneo de Max Planck, sendo que essa relação é de proporcionalidade
inversa entre o comprimento de onda da emissão máxima e a temperatura absoluta do
corpo:
Pela Lei de Wien:
(λ .máx) =
b
T
(b) = Constante de Dispersão de Wien;
(T ) = Temperatura do corpo negro;
(λ .máx ) = Comprimento de onda da radiação máxima emitida;
Determinação matemática da Lei de Wien e seu significado físico:
A Constante de Dispersão de Wien (b) representa um valor constante,
produzido pelo produto da Temperatura em Kelvin (T ) pela onda da radiação máxima
emitida (λ .máx) , em metros. Quando a temperatura em Kelvin sobe, o comprimento de
onda da radiação máxima emitida diminui, na mesma proporção e quando a temperatura
em Kelvin diminui, o comprimento de onda da radiação máxima emitida aumenta,
também, na mesma proporção.
Quando se analisa a Lei de Wien, com este foco (no comprimento de onda da
radiação máxima emitida (λ .máx) ), a Constante de Dispersão de Wien representa esse
valor constante, resultado do produto da Temperatura em Kelvin pelo comprimento de
onda da radiação máxima emitida pelo corpo negro. Assim, a temperatura de um corpo
negro, em Kelvin, multiplicada pelo comprimento de onda da radiação máxima emitida,
em metros, o valor será constante e igual a (0,0028977685) , valor da Constante de
Dispersão de Wien (b) .
Quando se analisa a Lei de Wien, com foco na frequência da radiação máxima
emitida ( f .máx ) , podemos determinar quantos giros por segundo ( hertz / s ) , a radiação
aumentará por segundo, com o acréscimo de 01 Kelvin à temperatura do corpo negro.
Este aumento de frequência com o aquecimento de 01 Kelvin à temperatura do corpo
negro será chamado, neste trabalho, de frequência por Kelvin ( f / Kelvin) .
Como a Lei de Wien foi desenvolvida com foco no comprimento de onda, não
fica evidente esta relação, a partir da fórmula apresentada para mensuração do
comprimento de onda da radiação máxima emitida, em relação à Temperatura em
Kelvin.
Lei de Wien em relação à frequência e à energia cinética das emissões de um
corpo negro:
Relações entre temperatura de um corpo negro e a frequência da radiação
máxima emitida por este corpo.
Transformação do comprimento de onda da radiação máxima emitida da Lei de
Wien para a frequência máxima da radiação emitida ( f .máx ) .
λ .máx =
b
T
→
c
b
=
f .máx T
→
c
b
c.T
→ f .máx =
=
f .máx T
b
Onde:
( f .máx ) = Frequência máxima da radiação emitida;
(c ) = Velocidade da luz.
O valor da Constante de Dispersão de Wien (b) é:
b = 2,8977685 × 10 −3
A divisão da velocidade da luz por esta constante resulta na quantidade de giros
que a radiação aumenta em 01 segundo com o acréscimo de 01 Kelvin à temperatura
do corpo negro, ou seja, representa a frequência acrescida por Kelvin ( f / Kelvin) à
frequência da radiação:
c
( f / Kelvin) =
b
Frequência por Kelvin (número de giros por segundo que aumentam com
aumento de 01 Kelvin na temperatura do corpo negro):
c
= ( f / Kelvin) = 103.518.434.271,060.645.458.738.336.067.910hertz / s / K
b
Assim, a frequência da radiação máxima emitida pelo corpo negro é o produto
da frequência por Kelvin pela Temperatura em Kelvin:
f .máx = ( f / kelvin) × (T )
f .máx =
c.T
= ( f / kelvin) × (T ) = 103.518.434.271,060.645.458.738.336.067.910 × (T )
b
(Relação entre a frequência emitida e a Temperatura em Kelvin)
Determinação matemática da Constante de Dispersão de Wien (b) :
Constante de Wien analisada com foco na frequência por Kelvin:
b=
c
( f / Kelvin)
→
b=
299.972.458
103.518.434.271,06064545873833606791
b = 0,0028977685
A multiplicação da frequência de uma radiação por seu comprimento de onda
resulta na velocidade da luz e como se pode perceber a frequência por Kelvin
( f / Kelvin) multiplicada pela Constante de Dispersão de Wien (b) , também resulta na
velocidade da luz (c ) :
(b) × ( f / Kelvin) = c
A relação da Constante de Dispersão de Wien (b) com a frequência por Kelvin
( f / Kelvin) e a velocidade da luz (c ) , tem o mesmo significado da relação entre a
frequência de uma radiação, com seu comprimento de onda e a velocidade da luz.
A constante é um produto entre o comprimento de onda (λ ) em metros e a
Temperatura (T ) e sua unidade de medida é ( metros × Kelvin) , portanto, não representa
somente o comprimento de onda da radiação.
Esta determinação é importante, pois, não se pode dizer que a Constante de
Dispersão represente numericamente algum comprimento de onda.
Constante de Dispersão de Wien com foco no comprimento de onda:
b = (λ .máx.) × T
Constante de Dispersão de Wien com foco na frequência:
b=
c
( f / Kelvin)
Então:
(λ .máx.) × T =
c
( f / Kelvin)
(λ .máx.) × T × ( f / Kelvin) = c
→
Desta relação pode-se concluir, também, que:
T × ( f / Kelvin) = ( f .máx )
=
(λ .máx.) × ( f .máx ) = c
A frequência por Kelvin ( f / Kelvin) representa o aumento de frequência, com o
aumento de 01 Kelvin à temperatura do corpo negro, mas, a Constante de Wien não
representa a diminuição do comprimento de onda em relação ao aumento de
temperatura.
O que levou Wilhelm Wien e os demais cientistas a não perceberem o
significado da Constante de Dispersão em relação ao aumento de frequência por
Kelvin na temperatura do corpo negro:
A maioria das teorias físicas, em relação às emissões eletromagnéticas, foi
desenvolvida baseada no comprimento de ondas e não na frequência das radiações.
Como a frequência tem relação direta com a energia cinética, tornou-se difícil
visualizar, o que, realmente, representava a maioria das Constantes utilizadas nestas
determinações. Fato que ocorreu, também, em relação à Constante de Dispersão de
Wien.
Relações da Constante de Dispersão de Wien com a frequência por Kelvin e
com a velocidade da luz:
A Constante de Dispersão de Wien (b) representa o comprimento de onda (λ ) ,
multiplicada pela parte variável da frequência ( f ) , ou seja, a temperatura em Kelvin
(T ) .
Quadro demonstrativo dessas relações:
Energia cinética por Kelvin ( E.c. / Kelvin) determinada a partir da Lei de Wien:
O número de giros por segundo (hertz / s ) que aumenta na frequência da
radiação com o aumento de 01 Kelvin à temperatura do corpo negro, multiplicado pela
Constante de Planck (h) , resulta na energia cinética acrescida à radiação emitida a cada
Kelvin adicionada a este corpo ( E.c. / Kelvin) :
Energia cinética por Kelvin:
( E.c. / Kelvin) = ( f / Kelvin) × ( h)
( E.c. / Kelvin) = 103.518.434.271,060.645.458.738.336.067.910 × 6,62606957( 29) J / K
Energia cinética acrescida à radiação a cada Kelvin de temperatura adicionada
ao corpo negro.
( E.c / Kelvin) = 6,8592034785353530211996304094407... × 10 −23 J / Kelvin
A energia cinética por Kelvin ( E.c. / Kelvin) e a frequência por Kelvin
( f / Kelvin) são Constantes.
Determinação da Constante de Dispersão de Wien a partir da fórmula da
Constante de Boltzmann:
Do artigo de Max Planck intitulado: "Sobre a lei de distribuição da energia no
espectro normal", tem-se que:
Utilização da Constante de Boltzmann por Max Planck:
(λ .máx) =
( c × h)
( 4,9651) × k × T
Onde: (λ .máx) é o comprimento de onda da radiação máxima da distribuição à
temperatura (T ) .
Razão entre a Energia cinética por Kelvin ( E.c. / Kelvin) , determinada a partir
Lei de Wien e a Constante de Boltzmann (k ) :
Relação entre Energia cinética por Kelvin e a Constante de Boltzmann:
( E.c. / Kelvin) 6,8592034785353530211996304094407... × 10 −23
=
= 4,9651
k
1,3814834501893925643390123883589... × 10 − 23
Ao substituir esta expressão na fórmula do artigo de Max Planck, tem-se:
(λ .máx) =
( c × h)
( 4,9651) × k × T
(λ .máx ) =
→
(c × h )
( E.c. / Kelvin ) × T
Determinação da Constante de Dispersão de Wien a partir da expressão do artigo
de Max Planck:
Substituindo a Constante de Boltzmann multiplicada por 4,9651 na equação de
Planck, pode-se determinar sua relação com a equação de Wien:
(λ .máx ) =
(c × h )
( E.c. / Kelvin ) × T
Pela Lei de Wien:
(λ .máx) =
b
T
Então:
b=
(c × h )
( E.c. / Kelvin)
( 299.972.458) × (6,62606957 ( 29) × 10 −34 )
b=
6,8592034785353530211996304094407... × 10 − 23
b = 0,0028977685
Constante de Dispersão de Wien encontrada a partir da equação que determina
o comprimento da onda da radiação máxima emitida (artigo de Max Planck).
Relações entre a fórmula de Max Planck, a Constante de Boltzmann e a Energia
Cinética por Kelvin na determinação matemática da onda máxima:
A partir da Fórmula de Max Planck para determinação do comprimento de onda
da radiação máxima emitida pelo corpo negro e compreendendo que essa fórmula tem
relação com a Energia Cinética por Kelvin ( E.c. / Kelvin) , percebe-se que, ao ser
utilizada a Constante de Boltzmann (k ) , multiplicada por ( 4,9651) , na verdade o que se
está utilizando nesta determinação é a Energia cinética por Kelvin ( E.c. / Kelvin) , pois,
conforme foi demonstrado neste estudo, a Constante de Boltzmann (k ) multiplicada por
( 4,9651) representa a Energia cinética por Kelvin ( E.c. / Kelvin) . A partir desta
determinação, consegue-se perceber, além da relação matemática, o sentido físico para a
equação, já que é a mesma equação de Wien.
Determinações sem a utilização da Constante de Boltzmann:
Segundo Max Planck:
(λ .máx ) =
(c × h )
( 4,9651) × ( k ) × (T )
Como determinado neste estudo:
( E.c. / Kelvin ) = ( 4,9651) × ( k )
( E.c / Kelvin) = 6,8592034785353530211996304094407... × 10 −23 J / Kelvin
Então:
(λ .máx ) =
(c × h )
( 4,9651) × ( k ) × (T )
=
(λ .máx ) =
( c × h)
→
( E.c. / Kelvin ) × (T )
(λ .máx ) =
(λ .máx ) =
(λ .máx) =
(c × h)
( f / Kelvin) × h × (T )
→
(c )
→
( f / Kelvin ) × (T )
299.972.458
103.518.434.271,060.645.458.738.336.067.910... × (T )
→
Equações equivalentes:
(λ .máx ) =
(c × h )
( 4,9651) × ( k ) × (T )
→ (λ .máx ) =
c
( f .máx )
→
(λ .máx) =
→
(b )
(T )
→ (λ .máx) =
(λ .máx) × ( f .máx ) = c
→
c
( f / Kelvin) × T
c = f ×λ
A equação de Max Planck para o comprimento de onda da radiação máxima
emitida é igual á equação de Wien (tanto com foco no comprimento de onda, quanto
com foco na frequência).
Relação entre o comprimento de onda da radiação máxima emitida (λ .máx) e a
energia cinética ( E.c.) desta radiação:
Como foi determinado que:
(λ .máx) =
(c × h )
( E.c. / Kelvin) × (T )
E a energia cinética por Kelvin multiplicada pela temperatura em Kelvin é igual
à Energia cinética da Radiação, então:
(λ .máx) =
(c × h )
( E.c. / Kelvin) × (T )
E.c. =
(c × h )
λ
→
→
(λ .máx) =
( c × h)
E.c.
E.c. = f × h
Relações encontradas a partir da Lei de Wien:
Frequências e energias:
( f .máx ) =
( 4,9651) × ( k ) × (T )
(h)
( f .máx ) =
( E.c / Kelvin) × (T )
(h)
( E.c.) =
c × h×T
b
( E.c.) =
( E.c.) = ( 4,9651) × ( k ) × (T )
( E.c / Kelvin) =
c×h
(λ.máx )
f ( máx ) × ( h)
(T )
( E.c / Kelvin) =
c×h
b
Comprimento de onda da radiação máxima emitida:
(λ .máx) =
(c × h )
( E.c. / Kelvin) × (T )
(λ .máx) =
(λ .máx) =
c
( f / Kelvin) × T
c×h
( 4,9651) × k × T
Constante de Boltzmann:
k=
c×h
( 4,9651) × (b )
k=
( E.c. / Kelvin)
4,9651
Constante de Dispersão de Wien:
(b) =
c
( f / Kelvin)
(b) =
c×h
( E.c. / Kelvin)
(b) =
c × h×T
E.c.
Valor da Constante de Boltzmann (valor acurado) determinada a partir da
Energia cinética por Kelvin:
Constante de Boltzman:
k=
( E.c. / Kelvin)
4,9651
k = 1,3814834501893925643390123883589... × 10 −23 J / K
As temperaturas das radiações eletromagnéticas determinadas pela Lei de
Wien:
Determinação das temperaturas das Radiações eletromagnéticas a partir
energia cinética por Kelvin, determinada a partir da Lei de Wien:
Demonstração das relações entre a Lei de Wien e a Lei de Planck na
determinação da energia cinética das radiações eletromagnéticas.
( f ) × ( h) = (T ) × ( E.c. / Kelvin )
f = T × ( f / Kelvin)
Exemplos das determinações apresentadas neste estudo:
Pode-se usar como exemplo a radiação vermelha do espectro do hidrogênio com
comprimento de onda de 6.564,70. × 10 −10 m :
Determinação da Temperatura da radiação vermelha do espectro do
hidrogênio:
λ = 6.564,70. × 10 −10 m
f = 456.947.702.103.675,720.139.534.175.209...hertz / s
A temperatura é uma razão entre a frequência da radiação e a quantidade de
giros que aumentou por Kelvin, encontrada por meio da Lei de Wien (válida para
qualquer radiação).
E.c
f
T=
→ T=
( E.c / Kelvin)
( f / Kelvin)
T=
456.947.702.103.675,720.139.534.175.209...hertz / s.
103.518.434.271,060.645.458.738.336.067.910..hertz / s / Kelvin
T = 4.414,1674410102518013008972230...Kelvin
Relação entre energia cinética e temperatura das radiações eletromagnéticas
determinada pela Lei de Wien:
Determinação da energia cinética a partir da temperatura e da energia cinética
por Kelvin encontrada a partir da Lei de Wien
Radiação vermelha ( λ = 6.564,70. × 10 −10 m ):
E.c. = T × ( E.c. / Kelvin )
E.c. = 4.414,167... × 6,8592034785353530211996304094407... × 10 −23
E.c. = 3,0277672666215016864764758804...10 −19 J
(Esta energia cinética é a mesma encontrada pela fórmula de Max Planck)
( f ).( h) = 456.947.702.103.675,... × 6,62606957( 29) x10 −34 =
E.c. = 3,0277672666215016864764758804...10 −19 J
Determinação da Temperatura das Radiações limites das Séries de Paschen, de
Balmer e de Lyman:
Radiação limite da Série de Paschen:
λ = 8.201,403 × 10 −10 m
f = 365.757.490.517.171,269.354.767.714.743.440...hertz / s
T=
f
365.757.490.517.171,...
=
( f / Kelvin) 103.518.434.271,060.645.458.738.336.067.910
T = 3.533,259...K
Radiação limite da Série de Balmer:
λ = 3.645,068 × 10 −10 m
f = 822.954.353.663.635,356.048.337.358.172.74...hertz / s
T=
f
822.954.353.663.635,...
=
( f / Kelvin) 103.518.434.271,060.645.458.738.336.067.910
T = 7.949,833...K
Radiação limite da Série de Lyman:
λ = 911,267 × 10 −10 m
f = 3.291.817.414.654.541,424.192.909.432.691...hertz / s
T=
f
3.291.817.414.654.541,...
=
( f / Kelvin) 103.518.434.271,060.645.458.738.336.067.910
T = 31.799,335...K
Determinação da energia cinética da radiação limite da série de Paschen, Balmer
e Lyman, a partir da temperatura e da energia cinética por Kelvin, encontrada a partir da
Lei de Wien:
E.c. = T × ( E.c. / Kelvin )
Energia cinética da radiação limite da Série de Paschen:
E.c.( Paschen) = 3.533,259... × 6,8592034785353530211996304094407... × 10 −23
E.c.( Paschen) = 2,423534580021268570903310227789... × 10 −19 J
Energia cinética da radiação limite da Série de Balmer:
E.c.( Balmer ) = 7.949,833... × 6,8592034785353530211996304094407... × 10 −23
E.c.( Balmer ) = 5,4529528050478542845324480125257... × 10 −19 J
Energia cinética da radiação limite da Série de Lyman:
E.c.( Lyman) = 31.799,335... × 6,8592034785353530211996304094407... × 10 −23
E.c.( Lyman) = 2,1811811220191417138129792050103... × 10 −18 J
Estas energias cinéticas são exatamente as mesmas encontradas pela equação
da energia cinética de Max Planck:
E.c. = f × h
Expressões decorrentes da relação entre energia cinética das radiações e
temperatura:
( f ) × ( h) = (T ) × ( E.c. / Kelvin ) → ( f ) = (T ) × ( f / Kelvin )
T=
f
( f / Kelvin)
→
f = T × ( f / kelvin)
Determinação da temperatura pela frequência e determinação da frequência
pela temperatura, pois, a frequência por Kelvin é constante.
( f / Kelvin) = 103.518.434.271,060.645.458.738.336.067.910..hertz / s / Kelvin
Determinação física e matemática da Equação da Energia Espectral de Max
Planck;
Comparação entre os dados experimentais com as previsões clássicas e com a
fórmula de Max Planck:
A partir das observações experimentais, Wien obteve, também, uma fórmula
que se aproximava da curva da densidade de radiação em função do comprimento de
onda (energia espectral do corpo negro), mas era acurada apenas para pequenos
comprimentos de onda (altas frequências). Rayleigh e Jeans partiram das fórmulas da
mecânica clássica para um oscilador e obtiveram uma fórmula que funcionava para
grandes valores de onda (baixas frequências). A fórmula de Planck, utilizando o novo
conceito de quantização da energia dos osciladores descreveu exatamente os resultados
experimentais e, nos casos limites, as fórmulas de Wien e Rayleigh-Jeans.
Uma lei empírica para a energia total emitida, como função da temperatura, já
havia sido proposta em 1879 por Josef Stefan (1835-1893). Foi demonstrada em 1884
por Ludwig Boltzmann (1844-1906) usando argumentos termodinâmicos. Em junho de
1900, Lord Rayleigh (John William Strutt, 1842-1919) mostrou que a chamada lei de
equipartição da energia, um resultado fundamental da mecânica estatística clássica de
James Clerck Maxwell (1831-1879) e de Boltzmann, conduzia a uma predição sobre a
forma da lei universal procurada. Experimentalmente, era muito difícil medir a
distribuição espectral com a precisão necessária. Os resultados encontrados estavam em
desacordo com a lei de Wien, para baixas frequências e com a Lei de Rayleigh, para
altas frequências.
Max Planck compreendeu que, uma nova forma de encarar o modo de como as
partículas das paredes geravam as radiações eletromagnéticas, seria necessária para
explicar o comportamento dessas radiações emitidas por corpos negros. Classicamente
espera-se que as partículas das paredes oscilem com qualquer energia (permitida para
uma dada temperatura), e assim emitissem radiação a qualquer comprimento de onda ou
frequência. No entanto, para que Planck obtivesse sua fórmula, as partículas oscilando
só poderiam emitir a radiação em quantidades específicas, e a energia destes seria
proporcional à frequência na forma de:
E.c = f × h
(A constante (h) ficou conhecida como constante de Planck, assim, a energia cinética
da radiação emitida seria discretizada, ou, quantizada).
A fórmula que interpolava entre essas duas leis (de Wien e Rayleigh-Jeans)
fornecia um excelente ajuste a todos os dados experimentais conhecidos. Planck buscou
uma justificativa teórica para a sua fórmula, a partir da teoria eletromagnética de
Maxwell, da termodinâmica e da mecânica estatística. Usando as duas primeiras,
reduziu o problema ao de encontrar a energia cinética de um oscilador harmônico de
frequência ( f ) em equilíbrio termodinâmico com a radiação térmica à temperatura (T ) ,
dentro de um recipiente fechado.
Em Dezembro de 1900, Max Planck apresentou à academia das Ciências de
Berlim mais uma comunicação sobre a teoria do corpo negro. Esta comunicação tornarse-ia célebre, pois, Max Planck propunha acrescentar à física um postulado, a que
chamou hipótese dos quanta. Com esta hipótese, desaparecia a catástrofe ultravioleta e o
desacordo com os resultados experimentais. Desta forma, contra as ideias aceitas, Max
Planck sugeriu que a emissão de energia radiante por um átomo apenas se pode fazer de
maneira descontínua. Sendo ( f ) a frequência de uma onda, a energia só poderá ser
emitida pela matéria por múltiplos quantizados. Esta discretização das energias de
partículas vibrando era tão radical que, mesmo reproduzindo exatamente os resultados
experimentais, não foi aceita até que viesse a ser adotada por Einstein em 1905.
O espectro de radiação de corpo negro é contínuo. Por isto os físicos à época não
podiam conceber que as energias das ondas eletromagnéticas confinadas na cavidade
não fossem também descritas por variáveis contínuas.
Max Planck percebeu que os dados experimentais da função de distribuição de
densidade de energia de um corpo negro, a energia média das ondas estacionárias, ao
invés de ser uma constante, Constante de Boltzmann vezes a temperatura, como
determinava a teoria clássica, deveria depender do comprimento de onda ou,
equivalentemente, da frequência, e, ao invés de supor que esta energia era descrita por
uma variável contínua, supôs um conceito de difícil aceitação à época, que a energia
destas ondas era descrita por uma variável discreta, para calcular a energia média das
ondas estacionárias na cavidade. Assim, Max Planck reescreveu a função de
distribuição clássica de Boltzmann, adequada para a descrição de variáveis contínuas,
apresentando a fórmula, que resolveu o problema da energia média das emissões do
corpo negro.
Fórmula de Max Planck para a medição da energia espectral do corpo negro
em função da frequência e da temperatura:
Fórmula de Planck para a energia espectral de um corpo negro:
u( f / T ) =
8.π .h. f 3
1
×
3
c
(e f .h ) − 1
kT
Transformação da Fórmula de Planck utilizando as relações físicas e
matemáticas encontradas a partir da Lei de Wien:
A partir das relações entre energia cinética e temperatura, desenvolvidas neste
trabalho, é possível determinar a energia espectral em função somente da temperatura.
Aplicação das relações desenvolvidas para a determinação da energia espectral
em função da temperatura: Transformando u ( f / T ) em u (T ) :
Transformação da primeira parte da equação de Max Planck para a energia
espectral em função da frequência e da temperatura:
Primeira parte da equação:
8.π .h. f 3
c3
Como encontramos a relação da frequência com a temperatura pela Lei de
Wien:
f = T × ( f / kelvin)
Então a primeira parte da equação passa a ser:
8.π .h.(T ) 3 .( f / Kelvin) 3
c3
Pode-se fazer o cálculo numérico entre todas as constantes chegando a um
valor constante vezes a temperatura ao cubo.
6,84391788377199910142939999842813...x10 −25 (T ) 3
Transformação da segunda parte da equação de Planck:
Segunda parte da equação:
1
(e f .h
kT
) −1
Como:
f .h ( E.c. / Kelvin) × (T )
=
kT
k × (T )
=
( E.c. / Kelvin)
= 4,9651
k
Então:
1
(e f .h
kT
=
) −1
1
(e
( 4 , 9651)
) −1
Calculando, chega-se á seguinte Constante:
1
(e f .h
kT
=
) −1
1
(e
( 4 , 9651)
) −1
= 7,0262770612634820092220477972321... × 10 −3
Determinação da Radiação espectral em função somente da Temperatura:
Unindo as duas partes da equação têm-se a energia espectral do corpo negro em
função somente da Temperatura:
Energia espectral do corpo negro:
8.π .h. f 3
1
×
3
c
(e f .h ) − 1
kT
=
8.π .h.(T ) 3 .( f / Kelvin) 3
1
×
3
( 4 , 9651)
c
(e
−1
u (T ) = 6,843917883771999....x...10 −25 × (T ) 3 × 7,02627706126... × ...10 −3
u (T ) = 4,8087263235918110675452957132268..x10 −27 × (T ) 3
(Energia espectral do corpo negro em função somente da Temperatura)
Equação da Energia Espectral de Planck com utilização da Constante de
Dispersão:
Fórmula de Planck para mensuração da energia espectral com a utilização da
Constante de Dispersão de Wien:
Significado físico para a equação de Planck em relação a Constante de
Dispersão de Wien:
Como foi determinado neste trabalho que:
c = (b) × ( f / Kelvin)
f = ( f / Kelvin) × (T )
Então:
8.π .h. f 3
c3
=
8.π .h.(( f / Kelvin) × (T ) )
3
((b) × ( f / Kelvin))3
8.π .h. f 3
1
u (T / f ) =
× ( 4,9651)
3
c
e
−1
=
=
8.π .h.(T ) 3
(b) 3
8.π .h.(T ) 3
1
× ( 4,9651)
3
(b)
e
−1
Equação de Planck com incorporação da Constante de Wien:
u (T ) =
8.π .h.(T ) 3
1
× ( 4,9651)
3
(b)
e
−1
u (T ) = 4,8087263235918110675452957132268..x10 −27 × (T ) 3
Exemplo destas determinações (Ex.: Determinação da energia espectral para um
corpo negro a 5.000 Kelvin):
Pela equação, desenvolvida neste estudo, a energia espectral em função
somente da temperatura é:
u (T ) = 4,8087263235918110675452957132268..x10 −27 × (T ) 3
u (T ) = 4,8087263235918110675452957132268..x10 −27 × (5.000) 3
u (T ) = 6,01090790448976383443161964... × 10 −16 J
Pela equação de Planck a energia espectral em função da frequência e da
Temperatura é:
Como:
f = ( f / Kelvin) × (T )
f = (103.518.434.271,060.645.458.738.336.067.910) × (5.000)
f = 517.592.171.355.303,227.293.691.680.339...hertz / s
Pela equação de Max Planck:
u (T / f ) =
8.π .h. f 3
1
×
3
c
(e f .h ) − 1
kT
u ( f / T ) = 6,01090790448976383443161964... × 10 −16 J
Determinação da Radiação espectral em função somente frequência u ( f ) :
Foi determinado neste estudo que:
u (T ) = 4,8087263235918110675452957132268..x10 −27 × (T ) 3
Como:
(T ) =
f
( f / kelvin)
Então:
u ( f ) = 4,8087263235918110675452957132268..x10
− 27
f3
×
( f / Kelvin) 3
u ( f ) = 4,33487897698226791739612766218771..x10 −60 × ( f ) 3
Usando a frequência do exemplo anterior:
f = 517.592.171.355.303,227.293.691.680.339...hertz / s
A energia espectral em função somente da frequência é:
u ( f ) = 6,01090790448976383443161964... × 10 −16 J
Determinação da Radiação espectral em função somente do comprimento de
onda u (λ ) :
Foi determinado neste estudo que:
u ( f ) = 4,33487897698226791739612766218771..x10 −60 × ( f ) 3
Então:
c
u (λ ) = 4,33487897698226791739612766218771..x10 −60 × ( ) 3
λ
A energia espectral em função somente do comprimento de onda é:
u (λ ) =
1,170094997039450749798756433508... × 10 −34
(λ ) 3
Usando a frequência do exemplo anterior:
f = 517.592.171.355.303,227.293.691.680.339...hertz / s
λ = 5.795,537... × 10 −10 metros
A energia espectral em função somente do comprimento de onda é:
1,170094997039450749798756433508... × 10 −34
u (λ ) =
J
(5.795,537... × 10 −10 ) 3
u (λ ) = 6,01090790448976383443161964... × 10 −16 J
Verifica-se que:
u (T / f ) = u (T ) = u ( f ) = u (λ ) = 6,01090790448976383443161964... × 10 −16 J
Equações que determinam a energia espectral (equações equivalentes):
Equação de Max Planck:
u (T / f ) =
8.π .h. f 3
1
×
3
f
.
h
c
(e
) −1
kT
Equações Produzidas neste estudo:
u (T ) = 4,8087263235918110675452957132268... × 10 −27 × (T ) 3
u ( f ) = 4,33487897698226791739612766218771... × 10 −60 × ( f ) 3
1,170094997039450749798756433508... × 10 −34
u (λ ) =
(λ ) 3
Prova da precisão dos cálculos apresentados a partir das relações entre u (T ) e
u( f ) :
Para que sejam encontrados os resultados a seguir, faz-se necessário que as
razões apresentadas neste estudo estejam corretas.
Dividindo-se a equação da energia espectral em relação à frequência u ( f ) pela
equação em relação à temperatura u (T ) , se encontra quantos hertz / s aumentam na
frequência da radiação com o aquecimento de 01 Kelvin ( f / Kelvin) :
A razão entre u ( f ) e u (T ) resulta em:
u( f )
= ( f / Kelvin)
u (T )
f
= ( f / Kelvin) = 103.518.434.271,06064548573833606791...hertz / s / Kelvin
T
Dividindo-se a equação da energia espectral em relação à temperatura u (T ) ,
pela equação em relação à frequência u ( f ) , se encontra o inverso do número de giros
que aumenta em 01 segundo, com o acréscimo de 01 Kelvin à temperatura do corpo
negro.
A razão entre u (T ) e u ( f ) resulta em:
u (T )
1
=
u ( f ) ( f / Kelvin)
T
1
=
= 9,660115196309122486171713804473... × 10 −12
f ( f / Kelvin)
Estes resultados são os mesmos apresentados neste estudo a partir da Lei de
Wien:
f
= ( f / Kelvin)
T
→
T=
f
( f / Kelvin)
Determinação da Constante Térmica (Constante de Temperatura) das radiações
eletromagnéticas (h T ) :
A razão entre a Temperatura em Kelvin da radiação e a frequência representa a
temperatura em um giro em Kelvin (h T ) :
Constante Térmica das radiações eletromagnéticas (h T ) :
(h T ) =
T
1
=
= 9,660115196309122486171713804473... × 10 −12 Kelvin
f ( f / Kelvin)
A Constante Térmica tem o mesmo significado da Constante de Planck, para
medidas distintas. A Constante de Planck é a energia cinética por giro e a Constante
Térmica é a temperatura por giro das radiações eletromagnéticas.
Como representa a temperatura de um giro, a multiplicação desta constante (h T )
, pela frequência da radiação ( f ) determinará a temperatura da radiação
eletromagnética:
Determinação da temperatura das radiações limites das Séries espectrais do
hidrogênio (Série de Paschen, Balmer e Lyman), utilizando a Constante da Energia
Térmica (h T ) :
Constante Térmica (h T ) :
(h T ) = 9,660115196309122486171713804473... × 10 −12 Kelvin
Radiação limite da Série de Paschen:
f = 365.757.490.517.171,269.354.767.714.743.440...hertz / s
T = f × (h T )
→
T = 3.533,259...Kelvin
Radiação limite da Série de Balmer:
f = 822.954.353.663.635,356.048.337.358.172.74...hertz / s
T = f × (h T )
T = 7.949,833...Kelvin
→
Radiação limite da Série de Lyman:
f = 3.291.817.414.654.541,424.192.909.432.691...hertz / s
T = f × (h T )
→
T = 31.799,335...Kelvin
Relação entre a Constante Térmica (h T ) e a Constante de Planck (h) :
A razão entre a Constante de Planck em Joule (h → J ) e a Constante Térmica
em Kelvin (h T → K ) é igual à Energia Cinética por Kelvin ( E.c. / Kelvin → J / K ) :
Relação entre a Constante de Planck e a Constante Térmica:
( h)
= ( E.c. / Kelvin)
(h T )
6,62.60.69.57(29) × 10 −34 J
= 6,859203478535353021199630... × 10 − 23 J / K
−12
9,66011519630912248617171... × 10 K
Determinação matemática da Constante Térmica (por meio da Constante de
Planck e da energia cinética por Kelvin):
(h T ) =
(h)
( E.c. / Kelvin)
(h T ) =
→
(h T ) =
(h)
( f / Kelvin) × (h)
→
1
( f / Kelvin)
Determinação matemática da Constante Térmica (por meio da Temperatura e
da frequência):
(h T ) =
T
f
→
(h T ) =
(h T ) =
(h T ) =
T
( f / Kelvin) × (T )
→
1
( f / Kelvin)
1
= 9,660115196309122486171713804473... × 10 −12 Kelvin
( f / Kelvin)
Variância Espectral (I):
Pela Lei de Planck a variância espectral é igual a:
I (T / f ) =
2h. f 3
1
×
2
c
(e f .h ) − 1
kT
Ou seja
u (T / f ) =
4.π
...x...I (T / f )
c
Assim a relação entre Energia Espectral (u) e Variância Espectral (I)
corresponde a:
u 4.π
=
.
I
c
Então:
Pelas equações produzidas neste estudo, tem-se que a Variância Espectral (I)
em função somente da Temperatura (T), ou somente da frequência (f), ou somente do
comprimento de onda corresponde a:
I (T ) = 1,14798911918673743294325630297571... × 10 −19 × (T ) 3
I ( f ) = 1,0348673564874307866458089941433... × 10 −62 × ( f ) 3
I (λ ) =
2,7933723706130995429532385882442... × 10 −27
(λ ) 3
Fatores físicos que estão envolvidos na fórmula de Max Planck:
Pode-se perceber que a equação tem um sentido físico e não somente
matemático quando interpretamos os reais fatores envolvidos com a utilização da
Constante de Boltzmann (k), pois tal constante é o quociente entre outras duas
constantes físicas, a Constante Universal dos Gases Perfeitos (R) e a Constante de
Avogadro (N).
Pode-se, portanto, visualizar com a utilização dessas Constantes (R) e (N), quais
os fatores físicos envolvidos por Max Planck em sua equação para a determinação da
energia espectral.
A segunda parte da equação de Max Planck para a energia espectral, também
representa 01 sobre o número de Euler (e), elevado à quantidade constante de energia
que aumenta na radiação com acréscimo de 01 Kelvin à temperatura do corpo negro,
multiplicada pela quantidade de moléculas por Mol (N – Constante de Avogadro) e
dividida pela quantidade de energia por mol de moléculas (R – Constante Universal dos
Gases Perfeitos) e com todo esse quociente diminuído de uma unidade.
Equação da Energia espectral de Max Planck:
u( f / T ) =
8.π .h. f 3
1
×
3
c
(e f .h ) − 1
kT
Segunda Parte da Equação e suas relações físicas com a Constante de
Avogadro (N)e a Constante Universal dos Gases Perfeitos (R):
1
(e f .h
kT
=
) −1
1
(e ( Ec / K )
1
(e ( Ec / K ) x(T )
=
(k )
) −1
=
(k ) x(T )
1
(e ( Ec / K ) x( N )
) −1
( R)
) −1
Mesma Equação da Energia espectral de Max Planck:
u( f / T ) =
1
8.π .h. f 3
×
3
c
(e ( Ec / K ) x( N )
( R)
) −1
Onde:
(e) - Número de Euler.
(f) - Frequência máxima das emissões.
(h) - Constante de Planck.
(k) - Constante de Boltzmann – (Quantidade de Energia Contida por cada
molécula).
(N) - Constante de Avogadro - (Quantidade de moléculas por mol).
(R) - Constante Universal dos Gases Perfeitos – (Quantidade de Energia por
mol)
(Ec/K) – Energia Cinética por Kelvin - Energia Cinética que aumenta na
radiação eletromagnética emitida com acréscimo de 01 Kelvin à temperatura do corpo
negro. Esta energia cinética é igual ao produto entre a frequência por Kelvin (f/K),
determinada neste estudo, e a Constante de Planck (h).
Consequências do valor acurado da Constante de Boltzmann, encontrada neste
estudo, em relação aos valores atuais da Constante de Avogadro e da Constante
Universal dos Gases Perfeitos:
O valor da Constante de Boltzmann (k) determinada a partir quociente entre a
Energia Cinética por Kelvin (Ec/K), determinada neste estudo a partir da Constante de
Wien, e o valor exato e empírico utilizado por Max Planck (4,9651) em sua equação que
determina exatamente a energia espectral de um corpo negro em relação á temperatura
em Kelvin e a frequência máxima emitida, é extremamente acurado.
Desta forma, conclui-se que, para que a igualdade abaixo seja correta, faz-se
necessária a modificação do valor da Constante Universal dos gases perfeitos (R) ou da
Constante de Avogadro (N):
k=
R
N
Inferindo-se que a mensuração da Constante Universal dos Gases Perfeitos pode
ser mais facilmente determinada pelos experimentos, ela seja, portanto, muito mais
acurada que a Constante de Avogadro (pois esta, atualmente, ainda, é considerada uma
aproximação devido o seu valor bastante elevado). A partir desta premissa pode-se
determinar um valor, o mais acurado possível, para a Constante de Avogadro (N):
Valor acurado da Constante de Boltzmann (k) determinada neste trabalho:
k=
( E.c. / Kelvin)
4,9651
k = 1,3814834501893925643390123883589... × 10 −23 J / K
O Valor mais acurado da Constante de Avogadro a partir da premissa
apresentada acima:
Como:
k=
R
N
N=
R
k
Então:
N=
8,3144621
1,3814834501893925643390123883589..x10 − 23.
N=
8,3144621
1,3814834501893925643390123883589..x10 − 23.
N = 6,0185028628899899664491654390982...x..10 −23
Consequência para a Unidade de Massa Atômica Padrão com este novo valor
da Constante de Avogadro:
A Unidade de Massa Atômica (“uma” ou “Da”, cujo símbolo é “u”.), indica
quantas vezes a massa do átomo é maior que 1/12 da massa do átomo de carbono 12
(que é a Unidade de Massa Atômica Padrão).
Unidade de Massa Atômica Padrão determinada a partir da Constante de
Avogadro:
u.m.a. padrão =
1
g
N
u.m.a. padrão =
0,001
kg
N
Então:
Valor atual da Unidade de Massa Atômica Padrão:
N = 6,022.141.29(73)...x..10 23
u.m.a. padrão = 1,660.538.920.224.469.705.553.976.683.094.9...x..10 −27 kg
Unidade de Massa Atômica Padrão a partir da Constante de Avogadro
determinada neste estudo:
N = 6,018.502.862.889.989.966.449.165.439.098.2...x..10 23
u.m.a. padrão = 1,661.542.783.614.820.451.630.914.750.767.8...x..10 −27 kg
Destaca-se que para mensurar a Unidade de Massa Atômica dos elementos
químicos divide-se sua massa em kg, pela Unidade de Massa Atômica Padrão:
( u.m.a. padrão = 1,661.542.783.614.820.451.630.914.750.767.8...x..10 −27 kg )
Por exemplo:
A massa do átomo de hidrogênio (em kg):
Massa.hidrogênio = 1,673.723.599.251.995.016.075.257.958.7...x..10 −27 kg
Para se encontrar a Massa Atômica do hidrogênio em “u.m.a”, divide-se a
massa do elemento pela Unidade de Massa Atômica Padrão.
Cálculo da massa atômica do hidrogênio em “u.m.a.”:
u.m.a.(hidrogênio) =
,1,673.723.599.251.995.016.075.257.958.7...x..10 −27 ,
=
1,660.538.920.224.469.705.553.976.683.094.9...x..10 − 27
1,00794 u
Cálculo da massa atômica do hidrogênio em “u.m.a.”, determinada a partir do valor
acurado da Constante de Avogadro:
u.m.a.(hidrogênio) =
,1,673.723.599.251.995.016.075.257.958.7...x..10 −27 ,
1,661.542.783.614.820.451.630.914.750.767.8...x..10 − 27
1,00773310273778994698457678861927 u
Relação entre a massa atômica do CARBONO-12 em relação à Constante de
Avogadro:
Em química e física, a constante de Avogadro é definida como sendo o número
de partículas constituintes (normalmente átomos ou moléculas) por mol de uma
determinada substância, em que o mol é uma das sete unidades básicas do Sistema
Internacional de Unidades (SI). A constante de Avogadro tem dimensões de mol
recíprocas.
Ao se fazer uma leitura mais direcionada ao que significa realmente a Constante
de Avogadro percebe-se de fato o que realmente representa em relação à massa atômica
tanto em Unidade de Massa Atômica (u.m.a.) como em gramas da Constante, pois, o
inverso da mesma é igual à massa atômica em gramas de 1/12 do átomo de Carbono-12
(isto é, a massa de 06 prótons mais 06 nêutrons e mais 06 elétrons do Carbono-12,
dividido por 12)
u.m.a. padrão =
1
g
N
(Representa 1/12 da Massa atômica do Carbono 12 em gramas)
A Constante de Avogadro nada mais é que o inverso de 1/12 da massa
atômica em gramas do Carbono-12
Massa do Átomo de Carbono-12 em gramas:
1,9938513403377845419570977009214..x..10 −23 g
1/12 da Massa do Cargbono-12
1
massa.CARBONO12 = 1,661.542.783.614.820.451.630.914.750.767.8...x..10 − 23 g
12
Determinação da Constante de Avogadro:
N=
N=
1
1 massa.CARBONO12
12.
1
1,661.552.783.614.820.451.630.914.750.767.8...x...10 − 23
N = 6,018.502.862.889.989.966.449.165.439.098.2...x..10 23
(CONSTANTE DE AVOGADRO)
(Este artigo é parte integrante do livro: “TEORIA QUÂNTICA E AS VARIÁVEIS
OCULTAS – 2012 – Luiz Carlos de Almeida, publicado em “Essays” do General
Science Journal).