Teorias de Potência Elétrica - DSCE

Transcrição

Condicionamento de Energia Elétrica e Dispositivos FACTS
S. M. Deckmann e J.A.Pomilio
6. TEORIAS DE POTÊNCIA ELÉTRICA1
A influência de distorções de forma de onda e de assimetrias nos sistemas polifásicos é um
assunto quase tão antigo quanto o próprio sistema elétrico de corrente alternada [1-4]. No
entanto, a definição de uma teoria de potência que se aplique em tais condições, ainda é um
desafio da engenharia elétrica [5-11].
Neste contexto, é importante considerar o estudo das várias propostas de teorias de
potência apresentadas ao longo dos últimos anos e da escolha ou aprimoramento daquela que
mais se adeque às várias aplicações que uma teoria de potências possa vir a ter, ou seja, projetos
e análises em sistemas de energia, projeto de compensadores passivos ou ativos, instrumentos de
medição de energia ou monitoração da Qualidade de Energia (QE), eletrônica de potência, etc.
Assim, as próximas seções discutem a aplicação dos conceitos clássicos de potência e fator
de potência, considerando inicialmente instalações com tensões senoidais e equilibradas e cargas
lineares, evoluindo para o caso no qual as tensões de fornecimento podem ser assimétricas e as
cargas não-lineares. Com isto, pretende-se demonstrar a necessidade de rever os conceitos de
potência e fator de potência para tais condições de operação. Em seguida, as propostas de maior
destaque internacional são discutidas e os pontos de convergência, apontados.
6.1 GENERALIZAÇÃO DOS CONCEITOS CLÁSSICOS DE POTÊNCIA
Até poucas décadas atrás, a grande maioria das cargas elétricas previa o uso de corrente
contínua ou alternada senoidal "pura". Em função disso, os conceitos de potência ativa e reativa
eram associados a essas duas formas "ideais" de tensão e corrente. No entanto, com o uso das
técnicas não-lineares de controle eletrônico (retificação, inversão, chaveamento, etc.),
começaram a aparecer aplicações em que outras formas de onda são utilizadas. Nestes casos,
tornou-se necessário analisar a potência elétrica sob nova ótica, já que algumas parcelas
adicionais podem se manifestar na forma de potências oscilatórias. Esse é o caso, por exemplo,
de distorções harmônicas na corrente ou na tensão da rede e nas situações com desequilíbrio
entre as fases.
Como a presença de harmônicos afeta a medida das grandezas elétricas básicas como
tensão e corrente eficaz, torna-se importante estabelecer com clareza quais os efeitos indesejados
que são provocados pelas formas não senoidais. Esse vai ser o tema de discussão deste Capítulo.
O objetivo principal é poder generalizar os conceitos tradicionais de potência ativa, reativa,
aparente, média e instantânea, de maneira que assumam significado físico e possam ser
utilizados para fins de controle ou de compensação das parcelas indesejadas.
Notação adotada:
p );
• Variáveis temporais são representadas através de letras minúsculas (v, i, p, ~
• Grandezas médias e valores eficazes são representados através de letras maiúsculas ou por
letra minúscula barrada (V,I,P, p );
• Fasores são representados através de letras maiúsculas, em negrito (V,I);
1
A elaboração deste capítulo contou com a participação do Prof. Dr. Fernando Pinhabel Marafão, da UNESP, a
quem agradecemos a cortesia pela cessão de conteúdo e resultados, principalmente na parte referente à teoria CPT e
à comparação entre as teorias [54,55].
LCEE-DSCE-FEEC-UNICAMP
1
• Grandezas vetoriais (multivariáveis) são representadas através de letras em negrito e com
& , &i, I& );
ponto superior ( v& , V
• Parâmetros reais e grandezas complexas também são representados por letras maiúsculas
(S=P+jQ, Z=R+jX , Y=G+jB);
• Indicadores são representados por siglas maiúsculas (FP, FD, DHTV, DHTI).
Simbologia:
v, V, v&, V&
tensões instantâneas e eficazes mono ou multivariáveis (V);
i, I, i&, I&
correntes instantâneas e eficazes mono ou multivariáveis (A);
p, P
potência ativa instantânea e média (W);
q, Q
potência reativa instantânea e máxima (Var);
s, S
potência aparente instantânea e média (VA);
FP, FD
fator de potência e fator de deslocamento;
Z, R, X
impedância, resistência e reatância;
Y, G, B
admitância, condutância e susceptância;
DHTV, DHTI distorção harmônica total de tensão e corrente (%)
ω
freqüência angular (rd/s);
ϕ
ângulo de fase entre tensão e corrente senoidais (°);
I*
corrente complexa conjugada;
T
período do sinal periódico.
6.1.1 Sistemas Senoidais Monofásicos: Definições e interpretação física
6.1.1.1
Potência instantânea monofásica
A potência instantânea transferida entre uma fonte e uma carga bipolar é definida pelo
produto dos sinais de tensão e corrente:
i
Fonte
v
Carga
Figura 1 - Sistema de alimentação monofásica.
p = v. i
(1)
2
Esta definição aplica-se tanto para corrente contínua como alternada. Notar que a potência
expressa o efeito combinado da fem (força eletromotriz) disponível entre os terminais no ponto
de medição e a corrente que circula através da carga por conta dessa fem.
Caso monofásico senoidal:
Considerando que o sistema é monofásico senoidal, com a tensão e corrente dadas por:
v ( t ) = Vp sen ω t = 2 V sen ω t
(2)
i(t) = Ip sen (ω t − ϕ) = 2I sen (ω t − ϕ)
(3)
onde: Vp , Ip são os valores de pico ou máximos das ondas senoidais;
e
V , I são os valores eficazes das ondas senoidais.
O valor eficaz corresponde ao valor quadrático médio, definido para um sinal senoidal com
período T, como sendo:
1
T
V =
∫T
v 2 dt =
1 2 Vp
Vp =
2
2
(4)
A potência instantânea, portanto, será dada por:
p( t ) = Vp sen ω t. I p sen(ω t − ϕ)
(5)
desenvolvendo o produto, resulta:
p(t) =
1
Vp I p . cosϕ − Vp I p cos(2ω t − ϕ)
2
[
]
(6)
ou, em termos dos valores eficazes:
p(t ) = VI cos ϕ − VI cos(2ω t − ϕ)
(7)
p(t ) = VI cos ϕ (1 − cos 2ω t ) − VI sen ϕ. sen 2ω t
(8)
ou ainda
Percebe-se de (6) ou (7) que a potência instantânea contém uma parte constante e uma
parte oscilatória com o dobro da freqüência (2ω) das ondas de tensão e corrente.
A parte constante corresponde ao valor médio por período T:
1
(9)
p = VI cosϕ = P = ∫ v.i dt
TT
e a parte oscilatória vale:
~
p = −VI cos(2ω t − ϕ)
(10)
3
Essa parte oscilatória pode ainda ser desenvolvida na forma:
~
p = −VI cos ϕ. cos 2ω t − VI sen ϕ.sen 2ω t
(11)
Verificamos, portanto, que a parte oscilatória é composta de duas parcelas que oscilam em
quadratura: uma parcela oscila com cos2ωt e vale P=VIcosϕ e a outra parcela oscila com sen2ωt
e vale VIsenϕ. Essa segunda parcela que oscila em quadratura com a potência ativa P, é chamada
de potência reativa:
Q = VI sen ϕ
(12)
Portanto, em termos das potências média (ativa) e reativa, a potência instantânea (8) pode
ser expressa como sendo:
p ( t ) = P (1 − cos 2 ω t ) − Q. sen 2ω t
(13)
Como se vê na figura 2, a corrente pode ser decomposta em uma parcela senoidal em fase
com a tensão e um segundo termo em quadratura com o primeiro. A parcela I da potência é
devida exclusivamente à parte da corrente em fase com a tensão, enquanto a parcela II se deve ao
termo em quadratura.
Figura 2 - Formas de onda de tensão, corrente e parcelas de potência instantânea.
6.1.1.2
Análise da potência em termos de fasores
A tensão e a corrente senoidais das equações (2) e (3), podem ser representadas através dos
fasores correspondentes no plano complexo:
4
& = V∠0
V
(14)
&I = I ∠ − ϕ
(15)
Define-se a potência aparente complexa S como sendo o produto:
& . &I* = V I ∠ϕ = VI cos ϕ + jVI sen ϕ
S=V
(16)
Portanto, considerando as equações (9) e (12) concluímos que a potência aparente
complexa é dada por:
S = P + jQ
(17)
Usualmente o módulo da potência complexa, dado pelo produto dos valores eficazes da
tensão e da corrente é denominado potência aparente. Os valores eficazes das grandezas são
importantes para a especificação de uma instalação, ou seja, a bitola dos condutores é
determinada pelo valor eficaz da corrente que deverá circular pelos mesmos, enquanto a tensão
define a isolação necessária entre os condutores.
As potências ativa e reativa correspondem às projeções de S nos eixos real e imaginário do
plano complexo, formando o triângulo de potências. Para relacionar as parcelas de potência do
plano complexo com as do domínio do tempo, temos que lembrar da analogia com os vetores
girantes usados na análise fasorial. A figura 3 mostra essa relação:
Figura 3 - Parcelas ortogonais de potência no plano complexo.
A evolução temporal das parcelas associadas a P e Q , de acordo com a figura (3), pode ser
interpretada da seguinte forma: enquanto os círculos representam, no plano complexo, o Lugar
Geométrico (LG) das parcelas girantes Qej2ωt e P(1- ej2ωt), as projeções ortogonais ℑm[Qej2ωt] =
Q.sen2ωt e ℜe[P(1- ej2ωt)] = P(1-cos2ωt) representam as variações temporais desses vetores
girantes sobre os eixos do plano complexo.
Para encontrar a evolução temporal de S = P + jQ, é necessário fazer a soma temporal das
ondas em quadratura Q.sen2ωt e P(1-cos2ωt). Naturalmente essa soma deve fornecer p, como
mostrado na figura (4).
5
Figura 4 - Interpretação de p no plano complexo.
É interessante notar que, de acordo com a figura 4, deve haver uma distinção ente os
conceitos de p(t) e s(t) já que P e S correspondem a círculos distintos. O LG de p(t) deve ser o
círculo com raio P, enquanto que o LG de s(t) deve ser o círculo de raio S. Da mesma forma, o
LG de q(t) deve ser o círculo de raio Q. Além de preservar as relações de quadratura no plano
complexo das amplitudes das parcelas S = P + jQ, essa notação também preserva a relação de
ortogonalidade no domínio do tempo, adotando-se as seguintes definições:
s(t) = p(t) + q(t) = P(1- cos2ωt) – Qsen2ωt
p(t) = P(1-cos2ωt)
(18)
(19)
q(t) = -Qsen2ωt
(20)
e, para manter a consistência, deve-se utilizar as seguintes formas matemáticas para relacionar
tensão e corrente com as parcelas da potência instantânea:
s(t) = v(t).i(t)
(21)
p(t )= v(t)• i(t)
(22)
q(t) = v(t) x i(t)
(23)
onde (• ) significa produto escalar e (x) significa produto vetorial.
Como no produto escalar a contribuição do termo em quadratura é nula, essa operação
automaticamente fornece apenas o produto das componentes em fase de v(t) e i(t). No produto
vetorial, ao contrário, é a contribuição das componentes de v(t) e i(t) que estão em fase que se
anula, sobrando apenas a das parcelas ortogonais entre si.
Estas considerações mostram que o problema com as teorias de potência instantânea já
começam com as definições mais elementares adotadas tradicionalmente. Nos próximos itens
veremos que os problemas com tais discrepâncias conceituais ainda se ampliam à medida que se
tenta estender os conceitos para sistemas não senoidais, trifásicos e desbalanceados.
6
6.1.1.3
Potência consumida pela carga, perdas de transmissão e de geração
Voltando ao exemplo inicial, vamos considerar uma impedância ZS representando a rede de
alimentação, uma impedância ZG representando a fonte e uma impedância ZC representando a
carga:
Fonte
ZG
e
ZS
1
2
Carga
i
ZC
v
Figura 5 - Sistema monofásico com perdas.
Se a tensão for medida no ponto 2, então o produto v.i mede a potência efetivamente
consumida pela carga. Se, por outro lado, a tensão for medida no ponto 1, o produto v.i mede,
além da potência consumida pela carga, também as perdas de transmissão na rede. O produto e.i
inclui também as perdas de geração da fonte. Portanto, a potência obtida depende do ponto de
medição escolhido. Quando as perdas a considerar são importantes, deve-se escolher
cuidadosamente o ponto de medição. Uma escolha inadequada do ponto de medição pode gerar
erros de tarifação e/ou de escolha do sistema de condicionamento de energia.
É claro que se a impedância e a corrente na rede forem conhecidas é possível calcular as
perdas ôhmicas (as mais importantes em baixa tensão) através da relação:
∆ p = R S .i 2
(24)
e, neste caso, saberíamos a potência instantânea consumida pela carga (pc), mesmo medindo a
tensão no ponto 1, pois:
pc = v1.i - ∆p
(25)
No caso monofásico, Rs deve incluir a resistência dos dois condutores (ida e volta da
corrente).
6.1.1.4
Fator de potência
Define-se como Fator de Potência (FP) a relação entre a potência ativa e a aparente:
FP =
P
S
(26)
Para o caso monofásico senoidal, essa relação também pode ser escrita como sendo:
FP =
VI cos ϕ
= cos ϕ ≤ 1,0
VI
(27)
Percebe-se que o FP mede a fração da potência máxima que poderia ser transferida,
considerando as magnitudes de tensão e corrente dadas. A fração deixa de ser máxima quando a
potência reativa é diferente de zero, ou seja, pode-se dizer que a potência reativa reduz o fator de
utilização da linha. Essa é uma razão importante para se querer reduzir a circulação de potência
reativa na rede. Além disso, a potência reativa, por ser uma energia oscilatória, com média nula,
teoricamente não necessita de fonte primária de energia para existir. Basta excitar os campos
7
elétricos (em capacitâncias) ou magnéticos (em indutâncias) com tensões senoidais para essa
energia reativa se estabelecer.
A rigor, portanto, não dá para eliminar a potência reativa de um circuito de corrente
alternada, apenas se pode restringir o seu efeito, associando elementos reativos de forma a
trocarem de energia reativa entre si. Esse é o processo de compensação reativa ou de correção de
FP, realizado ao se instalar bancos de capacitores próximo de cargas indutivas (motores,
reatores, indutores, etc).
6.1.1.5
Princípio da correção do FP
Um motor de indução é uma carga típica com FP indutivo (corrente atrasada em relação à
tensão aplicada). Essa situação, comum em instalações industriais, causa um baixo FP, com
“absorção” de potência reativa (Q>0). Para compensar o baixo FP conecta-se um capacitor em
paralelo com o motor, de modo que a potência reativa “fornecida” pelo capacitor seja igual à
potência reativa requerida pelo motor, como ilustrado nas Figuras 6 e 7.
i
Fonte
v
C
Motor
Figura 6 - Correção de FP de motor CA.
Sm
Qm
Antes da compensação:
FPm =
ϕ
Pm = Smin
Pm
Sm
= cos ϕ
Depois da compensação:
FPmax =
Qcap =- Qm
Pm
= 1,0
S min
Figura 7 - Compensação Reativa de Carga Indutiva.
Se, antes da compensação, a corrente na fonte estava atrasada de um ângulo ϕ em relação à
tensão, após a compensação a corrente está em fase com a tensão. Considerando que a potência
útil do motor não mudou, pode-se concluir que a corrente na fonte, após a compensação, ficou
reduzida para seu valor mínimo, dado por:
I min =
S min P VI cos ϕ
= =
= I cos ϕ
V
V
V
(28)
Portanto, a compensação do FP traz como benefício para a concessionária, a minimização
da corrente na rede para o atendimento de uma dada carga P, alimentada na tensão V. Além de
reduzir as perdas de transmissão, resulta uma folga na capacidade da linha, que permite atender
novos consumidores, utilizando os mesmos condutores.
8
6.1.1.6
Efeito de harmônicas na rede monofásica
Vejamos o que ocorre se adicionarmos, por ex., uma 3a. harmônica na tensão medida, ou
seja:
v ( t ) = V1p sen ω1 t + V3 p sen 3ω1 t
(29)
O valor eficaz dessa função periódica com período T será dado por:
V=
1 2
1 2
v dt =
V1p + V32p = V12 + V32
∫
T
T
2
(
)
(30)
Essa expressão corresponde ao teorema de Pitágoras para o triângulo retângulo e mostra
que a soma das magnitudes das tensões harmônicas não é direta, mas sim ortogonal,conforme
figura 8:
V3
V
V1
Figura 8 - Valor eficaz de tensões harmônicas.
Essa conclusão pode ser estendida para um número qualquer N de harmônicas e se aplica
também para correntes:
V=
N
∑V
2
h
(31)
h =1
I=
N
∑I
2
h
(32)
h =1
Neste ponto vale a pena introduzir o conceito de Distorção Harmônica Total (DHT) de
tensão e de corrente:
50
∑V
DHT V =
2
h
h=2
V12
50
∑I
DHT I =
2
h
h=2
I 12
(33)
(34)
Essas duas grandezas, normalmente dadas em porcentagem, medem a razão entre a
magnitude equivalente das 50 primeiras harmônicas em relação à magnitude da fundamental.
O que acontece quando se aplica uma tensão com harmônicas a uma carga? Vamos supor
que a carga seja linear, com impedância Z=R+jωL. Supondo que R independa da freqüência,
teremos diferentes impedâncias para diferentes freqüências:
Z1 = R + jω1L
para h = 1
(35)
9
Z3 = R + j3ω1L para h = 3
(36)
Conclui-se que o circuito se apresenta bem mais “indutivo” para as harmônicas do que para
a fundamental (XL3 = 3XL1). Para elementos capacitivos, ocorre o contrário, a reatância diminui
com o aumento da ordem harmônica (XC3 = 1/(3ω1C) = XC1/3).
Isto significa que as correntes harmônicas, além de terem suas amplitudes diminuídas em
circuitos indutivos, sofrerão aumentos dos ângulos de atraso em relação às respectivas tensões
harmônicas. Em circuitos capacitivos, a amplitude das correntes harmônicas aumenta
proporcionalmente à ordem harmônica, ao passo que a defasagem diminui. Por essa razão os
capacitores correm o risco de sofrer sobre-corrente quando submetidos a tensões distorcidas.
A potência em uma carga do tipo RL, nessas condições, pode ser expressa por:
p(t) = vi = (V1p senω1 t + V3p sen3ω1 t).[I1p sen(ω1 t − ϕ1 ) + I3p sen(3ω1 t − ϕ3 )]
(37)
ou
p(t) = vi = (v + v )(i + i ) = v i + v i + v i + v i
1 3 1 3
11 3 3 1 3 3 1
(38)
Os dois primeiros termos de (38) podem ser interpretados como potências instantâneas da
fundamental e da 3a. harmônica. Essas parcelas oscilatórias senoidais são do mesmo tipo já
analisado anteriormente, e podem apresentar valor médio (P1 e P3) e parcela em quadratura (Q1 e
Q3). Muda apenas a freqüência com que oscilam (2ω1 e 6ω1).
Os dois últimos termos correspondem à interação de freqüências distintas de tensão e
corrente. Essas parcelas são oscilatórias e apresentam, por definição, valor médio nulo por
período, uma vez que:
∫ senω t.senω t. dt = 0
T
a
b
para ωb = kωa, k inteiro
(39)
É muito difícil representar tais parcelas no plano complexo, justamente por oscilarem em
freqüências distintas. Essa é uma das razões que complicam a sua visualização e interpretação
física.
No entanto, os valores médios podem ser obtidos e interpretados com relativa facilidade
como sendo:
P = V1I1 cos ϕ1 + V3 I 3 cos ϕ 3 = P1 + P3
(40)
Q = V1I1sen ϕ1 + V3 I 3sen ϕ 3 = Q1 + Q 3
(41)
Notar que P1 e P3 são, de fato, somáveis, por serem médias temporais constantes. No
entanto, Q1 e Q3 a rigor não são somáveis por se tratar de parcelas de potência que oscilam com
freqüências distintas. A soma Q, portanto, não tem um significado físico que sirva para
compensação reativa.
Por essa mesma razão, a potência aparente complexa dada por S = V.I* também não tem
uma interpretação física clara. Se analisarmos o produto de fasores complexos:
S = V.I* = P + jQ
(42)
ou ainda a relação de magnitudes:
10
(
)(
S2 = V12 + V32 . I12 + I32
)
(43)
e assumindo que os produtos de termos cruzados não contribuem para os valores médios, resulta:
S 2 = V12 I12 + V32 I 32 = S12 + S32
(44)
e, portanto:
S 2 = P12 + P32 + Q12 + Q 32
S
(45)
S3
Q3
P3
Q1
S1
P1
Figura 9 - Potências aparente, ativa e reativa para sinais com 3a harmônica.
Apesar de ser comum encontrar esse tipo de figura (planar) para representar a combinação
das potências, ela pode estar errada se levarmos em conta que as potências reativas, devidas às
freqüências distintas, não são colineares, como representado, mas sim ortogonais, gerando uma
representação espacial:
Q1
S
S1
S3
Q3
P3
P1
Figura 10. Soma em quadratura das potências médias.
Podemos agora perceber a dificuldade em definir o FP na presença de harmônicas. O que
seria a relação seguinte?
FP =
P P1 + P3
=
S
S
(46)
Temos que lembrar que essas relações fasoriais correspondem apenas às parcelas médias
por período (obtidas em função de valores eficazes das tensões e correntes). Os produtos
cruzados nessa contas não são nulas instantaneamente, o que significa que podem existir
interações entre freqüências que não estão sendo computadas através dos valores médios.
11
6.1.2 Extensão dos conceitos para sistemas trifásicos balanceados
Define-se como trifásico senoidal balanceado um sistema composto por três circuitos
iguais interligados entre si na forma estrela (Y) ou triângulo (∆), e alimentado por três fontes
alternadas senoidais com mesmas amplitudes e defasadas de 120o entre si.
ZG
Fase A
Fase B
1
ZS
ia
ea
va
ZG
ZS
1
2
vb
ZG
ZC
ib
eb
Fase C
2
ZS
1
2
ic
ec
vc
Neutro
ZC
in
ZC
Zn
Figura 15. Sistema trifásico com retorno.
No caso senoidal balanceado, com seqüência a,b,c no sentido trigonométrico, teremos:
ea = 2 E senωt
(62)
eb = 2 E sen(ωt-120o)
(63)
ec = 2 E sen(ωt-240o)
(64)
No sistema balanceado a soma das tensões e correntes instantâneas é zero:
ea + eb + ec = 0
(65)
i a+ i b + i c = i n = 0
(66)
v a+ v b + v c = 0
(67)
Como não há corrente de retorno, também não há queda de tensão no neutro. Aliás, o
condutor de retorno pode ser eliminado, sem afetar a operação balanceada.
A potência trifásica no ponto de medição 2 será definida como a soma das potências
instantâneas nas três fases a,b,c:
p = v a .i a + v b .i b + v c .i c
(68)
Com base no caso monofásico podemos escrever essa soma como sendo:
12
p = P{[1 − cos 2ωt ] + [1 − cos 2(ωt − 120)] + [1 − cos 2(ωt − 240)]} −
− Q[sen 2ω t + sen 2(ω t − 120 ) + sen 2( ω t − 240 )]
(69)
ou ainda:
p = 3P − P[cos 2ωt + cos 2(ωt − 120) + cos 2(ωt − 240)] −
− Q[sen 2ω t + sen 2( ω t − 120 ) + sen 2( ω t − 240 )]
(70)
Figura 16 - Potências trifásicas instantâneas como vetores girantes no plano complexo.
É fácil verificar que cada soma entre colchetes em (70) resulta zero. Portanto, a potência
trifásica reduz-se a:
p = 3P
(71)
ou seja, a potência trifásica instantânea no caso equilibrado é constante e igual à potência média
das três fases. Ao contrário do sistema monofásico, a potência instantânea transferida das fontes
para as cargas no sistema trifásico senoidal balanceado não é oscilatória. Essa tem sido a grande
motivação para se buscar manter o sistema trifásico senoidal e balanceado.
Notar que as partes oscilatórias, proporcionais a P e Q, somam zero, restando apenas o
valor correspondente ao centro do círculo de raio P, sobre o eixo real, e que vale 3P.
6.1.2.1
Energia ativa: parcela consumida pela carga, perdas de geração e transmissão
Da mesma forma que no caso monofásico, a parcela consumida pelas cargas é dada pelo
produto das tensões medidas junto à carga (ponto 2) pelas correntes das respectivas fases.
Se as tensões forem medidas no ponto 1, estaremos incluindo as perdas de transmissão,
sobre ZS. Como o sistema é balanceado não há perdas no neutro (in = 0) e só haverá perdas nos
condutores das fases.
Se utilizarmos as tensões das fontes no produto com as correntes, estaremos incluindo
também as perdas de geração (ZG). Em todos os casos teremos potências trifásicas não
oscilatórias (constantes), enquanto o sistema for senoidal e balanceado.
13
6.1.2.2
Energia reativa: parcelas utilizadas pelas cargas, pela geração e transmissão
Uma vez que o cálculo da potência instantânea fornece apenas a potência ativa P, como se
obtém a potência reativa Q no sistema trifásico?
Para isso vamos fazer o cálculo da potência complexa utilizando fasores. Sabemos que o
produto do fasor tensão de fase pelo conjugado do fasor corrente da mesma fase dá a potência
aparente dessa fase. Portanto, no caso trifásico balanceado, devemos obter a soma das 3 fases:
*
*
S 3 = Sa + Sb + Sc = Va .Ia + Vb .Ib + Vc .Ic
*
= V.I∠ϕ + (V∠ − 120).(I∠120 + ϕ) + (V∠ − 240).(I∠240 + ϕ)
(72)
(73)
= 3VI∠ϕ = 3(VI cos ϕ + jVI sen ϕ)
(74)
= 3P + j3Q
(75)
Notar que essa soma é diferente da anterior (69) no domínio do tempo, onde as potências
reativas das três fases se cancelavam ao longo do tempo. Nesta soma complexa se apresentam as
demandas de potências ativa e reativa das três fases separadamente.
Discutir sobre a conveniência ou não dessa representação para o caso trifásico é
importante, porque ela esconde o fato de que se pode compensar a demanda instantânea de
reativos das fases sem a necessidade de elementos armazenadores de reativos, já que a soma
instantânea é zero no caso senoidal balanceado. Essa interação entre fases também é um
fenômeno complexo de se interpretar na presença de harmônicas.
Bastaria teoricamente utilizar chaves (eletrônicas) para fazer a transferência de reativos de
uma fase para a outra, pois a todo instante se dispõe de reativos positivos (indutivos) e negativos
(capacitivos) em alguma das fases. Através de uma lógica de chaveamento adequada se buscaria,
a cada instante, os reativos necessários na fase onde estivessem disponíveis. Essa possibilidade
só foi vislumbrada por Akagi/Nabae em 1983 [12], como será explorado adiante.
6.1.3 Potência e fator de potência em sistemas trifásicos desbalanceados
No caso das tensões ou correntes estarem desbalanceadas temos que analisar se o sistema
tem ou não condutor de retorno. Caso haja condutor de retorno, haverá corrente nesse condutor,
dada pela soma das correntes nas fases.
i a+ i b + i c = i n ≠ 0
(76)
Da análise de componentes simétricos [1], que essa soma corresponde a 3i0. Também
sabemos que as componentes de seqüência positiva e negativa podem ser obtidas
respectivamente pelas seguintes somas das tensões de fase:
onde
i a+ =
1
i a + a.i b + a 2i c
3
i a− =
1
i a + a 2 .i b + a.i c
3
(
)
(
(77)
)
(78)
a = e j120° é um operador de ganho unitário, que adianta a fase em 120°.
Pode-se mostrar que vale a soma:
i a = i +a + i −a + i 0a
(79)
14
Essa decomposição também pode ser aplicada para as tensões trifásicas desequilibradas.
No caso de se medir as tensões de fase e de neutro com relação a uma referência comum
qualquer (zero virtual), podemos expressar a potência trifásica em termos dos componentes
simétricos, resultando:
p = v a .i a + v b .i b + v c .i c + v n .i n = 3( v a+ .i a+ + v a− .i a− + v 0a .i 0a )
(80)
ou, desenvolvendo a tensão e corrente de neutro:
p = va .ia + vb .ib + vc .ic + (va + vb + vc ).(ia + ib + ic )
(81)
p = 2(va .ia + vb.ib + vc.ic ) + va (ib +ic ) + vb (ia +ic ) + vc (ia +ib )
(82)
p = 2(va .ia + vb.ib + vc.ic ) +ia (vb + vc ) +ib (va + vc ) +ic (va + vb )
(83)
ou
No caso balanceado, as somas duplas entre parênteses fornecem o negativo da terceira
variável (p.ex. ia+ib = -ic ou va+vb = -vc., de modo que essas parcelas se cancelam com a
primeira parte, resultando a expressão usual da potência p=3P, vista anteriormente.
No caso desbalanceado, todas as parcelas resultam oscilatórias, cuja soma não é constante
como no caso balanceado. Quanto mais desequilibrado maior a amplitude da oscilação de
potência resultante. Como todos os termos em (83) são produtos de senóides com freqüência
fundamental, essas oscilações tem o dobro da freqüência fundamental, como no caso
monofásico.
6.1.3.1
Efeito do desbalanceamento sobre sistemas trifásicos
Conclui-se que basta o sistema estar desequilibrado para que a potência trifásica se torne
oscilatória. Isto tem um sério e indesejável impacto sobre motores elétricos, que desenvolvem
conjugado oscilatório, mesmo sob carga mecânica constante.
No caso de sistemas de proteção, o desbalanceamento pode causar desligamento por sub ou
sobretensão, e nos sistemas de medição pode causar erros causados por mau funcionamento do
instrumento (elementos de indução), como também pelo tipo de conexão dos TP´s (∆ ou Y), que
filtram componentes de seqüência zero.
Com base na análise monofásica, podemos escrever as potências por fase como sendo:
p = Pa [1 − cos(2ωt + ϕa )] + Pb [1 − cos(2ωt + ϕb − 120)] + Pc [1 − cos(2ωt + ϕc − 240)] −
− Qa sen(2ωt + ϕa ) − Qb sen(2ωt + ϕb −120) − Qc sen(2ωt + ϕc − 240)
onde
(84)
ϕa, ϕb, ϕc, são os ângulos entre as tensões e correntes das respectivas fases.
Pa = Va Ia cosϕa é a potência média na fase a
Qa = Va Ia senϕa é a potência reativa na fase a
A potência média corresponde à soma das potências ativas das 3 fases:
p = Pa + Pb + Pc
(85)
Para assinalar que existe uma parcela oscilatória, costuma-se representar as partes como
sendo:
15
p = p + ~
p
(86)
Figura 17 - Representação das potências para o caso desequilibrado.
p
~
p
p=P
tempo
Figura 18 - Potência trifásica média e oscilatória.
Uma vez que a potência trifásica não explicita as parcelas reativas. Para se achar tais
valores, costuma-se recorrer ao cálculo por fasores, como no caso equilibrado:
*
*
S 3 = Sa + Sb + Sc = Va .Ia + Vb.Ib + Vc.Ic
= Va .Ia ∠ϕa + Vb .Ib∠ϕb + Vc Ic∠ϕc )
*
(87)
(88)
Por analogia ao caso equilibrado temos que:
S3 = P3 + jQ3 = Pa + Pb + Pc + j(Qa + Qb + Qc)
(89)
e, por conseguinte, teremos como fator de potência trifásico:
16
FP3 =
P3 Pa + Pb + Pc
=
S3 Sa + Sb + Sc
(90)
Notar que esse valor pode ser calculado como uma média por período T em função dos
valores eficazes das tensões, correntes e respectivas defasagens.
A equação (89) sugere uma soma direta das potências por fase, cuja representação gráfica é
mostrada na figura seguinte:
Q3
S3
Qa+Qb+Qc
P3
Pa+Pb+Pc
Figura 19 - Potências trifásicas para o caso desbalanceado (no caso balanceado as potências por
fase são iguais).
6.1.3.2
Compensação reativa trifásica
Parece óbvio que a correção do FP trifásico, tanto no caso balanceado como
desbalanceado, requer o cancelamento das potências reativas das três fases. No caso balanceado
isso pode ser obtido pela conexão de capacitores (iguais) em paralelo com a carga. No caso
desbalanceado a compensação exigiria capacitores distintos por fase, e isso perpetuaria a
condição de desequilíbrio da rede. O melhor que se pode fazer nesse caso é conectar capacitores
iguais, calculados pela potência reativa média. Isso não compensa o FP de cada fase, porém não
introduz novo desequilíbrio na rede. Pode-se perceber que a fase a será sobre-compensada
enquanto que a fase b será sub-compensada.
Q3
Q3 /3
S3
b
a
P3 /3
P3
Figura 20. Compensação reativa pela média das 3 fases.
6.1.4 Potência e Fator de Potência em Sistemas Trifásicos Desbalanceados e com
Formas de Onda Não-Senoidais
Ainda falta analisar o efeito de harmônicas no sistema trifásico, balanceado ou
desebalanceado. No entanto, como vimos para o caso monofásico, as análises com componentes
17
harmônicas são bem mais complexas, devido às interações entre freqüências. No caso trifásico,
essa situação se complica ainda mais, pois existem também interações entre as fases.
A questão central é: como se pode medir e compensar a potência não-ativa e o FP nessas
condições?
A teoria tradicionalmente mais aceita e utilizada, no tratamento deste caso geral, é a teoria
proposta por Budeanu em 1927 [3]. Muitas normas e recomendações para medição, tarifação e
compensação de energia, assim como grande parte dos equipamentos disponíveis no mercado,
baseiam-se nos conceitos definidos por este autor. Entretanto, como será discutido a seguir, tal
teoria apresenta vários pontos equivocados e pode levar a conclusões enganosas, principalmente
em relação à compensação de reativos e distorções do sistema. Desta forma, faz-se necessário o
estudo de teorias alternativas e a definição e validação de novos conceitos.
6.2 TEORIAS DE POTÊNCIA PARA CIRCUITOS TRIFÁSICOS NÃO-LINEARES
Ao longo dos últimos cem anos, mas sobretudo nas últimas três décadas, diversas
contribuições têm sido apresentadas e as principais propostas vêm de especialistas de três
grandes grupos de estudos: o grupo de estudos do IEEE para Situações Não-Senoidais, o qual é
presidido pelo professor Alexander E. Emanuel [5,13,14]; o grupo de estudos presidido pelo
professor Alessandro Ferrero, o qual vem se reunindo na Itália a cada dois anos, desde 1991, em
encontros específicos sobre definições de potência (International Workshop on Power
Definitions and Measurements under Non-sinusoidal Conditions) [6,15-20]; e por fim, apesar de
não constituírem um grupo formal, destacam-se os esforços de vários pesquisadores sobre as
propostas de teorias de potências instantâneas, principalmente relacionando definições de
potência, com técnicas de filtragem ativa [12,21-25].
Buscando discutir, identificar as possíveis fontes de confusões e eventuais soluções para as
questões anteriores, este capítulo apresenta um histórico detalhado de algumas teorias e o cálculo
de potência sob condições não-ideais de transferência de energia.
As definições e comentários apresentados a seguir têm o objetivo de criar um contexto no
qual se possa observar as diferentes linhas de pesquisa e identificar as semelhanças e diferenças
entre elas, principalmente no que tange o objetivo pelo qual cada proposta de teoria de potência
foi desenvolvida (medição, análise, tarifação ou compensação).
A seguir, as principais teorias serão analisadas de acordo com o domínio do
equacionamento proposto, domínio da freqüência ou do tempo.
6.2.1 Ferramentas matemáticas básicas
Antes de iniciar o estudo das propostas de teoria de potência mais relevantes, faz-se
necessário uma breve revisão de alguns conceitos matemáticos, os quais foram utilizados por
diferentes autores para a definição de diversas parcelas de potência.
6.2.1.1
Valor Eficaz ou Valor RMS
O valor eficaz por fase e por freqüência harmônica é dado por:
T
1 2
Vh =
vh . dt
T ∫0
(91)
Onde “V” representa o valor eficaz e “v” representa a variável instantânea.
O valor eficaz total por fase pode ser calculado como:
18
T
V=
1 2
v ( t )dt
T ∫0
( 92)
Note que este valor total é diferente da simples soma dos valores eficazes de cada
componente espectral.
6.2.1.2
Série Trigonométrica e Transformada de Fourier
Através da Série Trigonométrica de Fourier pode-se decompor um sinal temporal periódico
qualquer f(t), em um somatório de sinais temporais de freqüências distintas, múltiplas entre si, ou
seja:
f (t ) =
a0 ∞
+ ∑ [ah cos(h.ω0 .t ) + bh sin(h.ω0 .t )]
2 h =1
(93)
f (t ) = f 0 (t ) + f1 (t ) + f 2 (t ) + L f h (t )
(94)
Por outro lado, a Transformada de Fourier permite efetuar uma decomposição
correspondente, mas neste caso, no domínio da freqüência, ou seja:
F ( jω ) = F1 ( jω ) + F2 ( jω ) + L + Fh ( jω )
(95)
Figura 21 – Função temporal composta por fundamental e terceira harmônica
Figura 22 - Decomposição do espectro harmônico.
19
6.2.1.3
Álgebra Vetorial
Considerando dois vetores tridimensionais instantâneos (v, i), tais como:
va 
v = vb 
vc 
ia 
i = ib 
ic 
(96)
o produto escalar entre os dois vetores é definido como:
v ⋅ i = va .ia + vb .ib + vc .ic = p (t )
(97)
e equivale ao produto do vetor v pelo vetor i transposto: v.i T
A Norma Euclidiana ou Norma 2 destes mesmos vetores pode ser calculada como:
v = (v ⋅ v) = va2 + vb2 + vc2 .
(98)
Outra definição importante é a de ortogonalidade de vetores. Diz-se que dois vetores são
ortogonais se satisfazem a seguinte relação (o valor médio do produto escalar é nulo):
1 T
1 T
(v ⋅ i⊥ ) dt = ∫ (va .ia + vb .ib + vc .ic ) dt = 0
∫
T 0
T 0
(99)
Assim, se for possível decompor um sinal qualquer em uma parcela proporcional e outra
ortogonal ao sinal original, tem-se:
i ⇒ i v + i⊥v
(100)
onde:
2
i = i v 2 + i⊥v
6.2.1.4
2
(101)
v ⋅ i = v ⋅ i v + v ⋅ i⊥v = v ⋅ i v
(102)
pois
(103)
v ⋅ i⊥v = 0
Valores Coletivos (Buchholtz)
Instantâneos:
i∑ =
∑i
υ= a , b , c
2
υ
= i ⋅i
∑v
v∑ =
2
υ
= v⋅v
(104)
υ = a , b ,c
Eficazes:
20
T
T
1
I = ∫ i 2∑ dt = i ⋅ i
T0
2
∑
V∑2 =
1 2
v ∑ dt = v ⋅ v
T ∫0
(105)
6.2.2 Propostas no domínio da freqüência
A maioria destas propostas tem como motivação principal a definição de grandezas que
possam ser aplicadas a sistemas de medição e tarifação de energia.
6.2.2.1
Definições propostas por Budeanu (1927)
O método proposto em [3], por sua simplicidade, ainda é a base de conceitos aceitos e
utilizados, seja no universo acadêmico, nas concessionárias de energia ou na indústria.
Originalmente, tal método foi proposto para sistemas monofásicos.
A proposta baseia-se na definição da Potência Aparente como:
∞
(106)
S 2 = ∑ V .I =P 2 + Q 2B + D 2B
h h
h =1
onde Vh e Ih são as tensões e correntes eficazes da componente harmônica h.
Assim, S deveria representar a máxima capacidade de geração ou transmissão de energia
em um dado sistema elétrico, com uma carga que consumisse uma Potência Ativa média P, dada
por:
∞
∞
1T
P = ∑ P = ∑ V .I cos φ = ∫ v.i dt
(107)
h T0
h =1 h h =1 h h
e ainda demandasse na forma de campos eletromagnéticos uma dada Potência Reativa calculada
por:
∞
∞
Q B = ∑ Q = ∑ V .I sinφ
h
h
h =1
h =1 h h
(108)
sendo esta, ortogonal à Potência Ativa, por definição. Deve-se observar que o termo Potência
Reativa, aqui é definido usando todo o conteúdo harmônico dos sinais. O ângulo Φh é a
defasagem entre tensões e correntes da componente harmônica h. Budeanu também definiu a
parcela de potência DB, a qual foi denominada de Potência Distorciva e seria expressa pela
combinação quadrática:
DB =
S 2 − P 2 − Q 2B
(109)
A Potência Distorciva é constituída por produtos cruzados de tensões e correntes
harmônicas, de diferentes ordens e só será zero se as componentes harmônicas forem nulas. DB é
uma formulação matemática que fecha o chamado “tetraedro de potências”.
A proposta de Budeanu é bastante interessante em se tratando da compreensão da
existência de uma parcela de potência que contém os efeitos distorcivos do sistema em análise.
Entretanto, uma vez que DB não parte diretamente dos sinais reais (mensuráveis) das tensões e
correntes, depara-se com alguns problemas quando da sua implementação em sistemas de
medição, análise ou compensação de energia.
•
Principais dificuldades e inconsistências do método:
Uma das grandes dificuldades na implementação do método de Budeanu é baseada na
necessidade de decompor as tensões e correntes medidas em componentes ortogonais (seno e
21
cosseno). O que pode ser feito com facilidade para sinais puramente senoidais, mas no caso da
presença de distorções, se torna uma tarefa complexa, principalmente porque deveria ser feita
para cada freqüência, independentemente. Considerando que as ferramentas computacionais hoje
disponíveis, simplesmente não existiam quando da proposta de Budeanu, pode-se imaginar a
dificuldade da aplicação do método proposto.
Além disto, em determinados casos, a utilização do método de Budeanu resulta em
inconsistências, como no caso de um circuito linear puramente reativo, sendo alimentado por
uma tensão distorcida. Neste caso as correntes também serão distorcidas, mas DB indicará um
valor igual a zero [26]. A falta de associação das componentes de potência com os fenômenos
físicos que as originam, bem como o fato desta proposta ter sido desenvolvida para sistemas
monofásicos, são algumas outras limitações do método.
Um dos objetivos mais perseguidos tem sido o cálculo de parcelas de potência que possam
ser diretamente associadas com as perdas e eliminadas através de algum tipo de compensador,
sem influir no valor das outras parcelas de potência. No caso da teoria de Budeanu,
principalmente pelo fato de não isolar as correntes ativas e reativas das correntes harmônicas, tal
objetivo não é facilmente atingido.
Entretanto, sabendo que o método de Budeanu é provavelmente o mais difundido e
utilizado na engenharia elétrica, fica uma pergunta: Como pode tal método ter sido adotado e
utilizado com bons resultados?
•
Simplificações e a teoria convencional:
Na verdade a melhor resposta é que simplificações foram feitas no equacionamento
anterior, de forma que apenas as componentes de freqüência fundamental fossem consideradas.
E é fato que tal simplificação era válida e extremamente útil até algumas décadas atrás, quando
as distorções de corrente e principalmente de tensão, podiam ser desprezadas. Assim:
P = V1.I1 cos φ1
1
(110)
e ainda demandasse na forma de campos eletromagnéticos uma dada Potência Reativa calculada
por:
Q B1 = V1.I1sinφ1
(111)
S = V1 .I1 = P + Q 2B1
1
1
(112)
Neste sistema senoidal, o tetraedro de potências é reduzido para o famoso “triângulo de
potências”, onde DB = 0. Agora sim, o valor de QB1 poderia ser usado para o projeto de um
compensador de energia passivo (capacitivo ou indutivo).
Outra definição extremamente importante em sistemas puramente senoidais, como os
descritos pelo equacionamento anterior, é o fator de potência:
P
FP = 1 = cos φ1 .
(113)
S1
o qual, nestas condições, também é conhecido como fator de deslocamento. Mesmo não tendo
sido proposto pela primeira vez por Budeanu [2], o fator de potência tem sido utilizado em
conjunto com suas definições e aplicado à tarifação de energia ou mesmo para projeto de
instalações e sistemas de potência (por exemplo, projeto de cabos e transformadores).
22
Além da consideração de sinais senoidais, outra simplificação bastante utilizada para
sistemas multi-dimensionais, é a de sistemas equilibrados. Assim, os valores de P, QB e S, para
sistemas trifásicos, por exemplo, podem ser definidos como:
= 3.V .I1 cos φ1
P
(114)
1f
1
3φ
Q B1 = 3.V1f .I1sinφ1
3φ
(115)
S
= 3.Vf 1 .I1
1
3φ
(116)
onde o índice f representa tensões de fase.
Nos sistemas elétricos atuais, nos quais distorções de forma de onda e assimetrias estão
quase sempre presentes, as simplificações acima discutidas perdem sua validade e as equações
originais, as quais contemplam todo o espectro harmônico, deveriam ser utilizadas em conjunto
com algum tipo de adaptação para sistemas polifásicos assimétricos, como por exemplo, as
definições de médias aritméticas ou geométricas propostas pelo IEEE Standard Dictionary e
discutidas em [27]. Entretanto, tem-se constatado e discutido que tais simplificações ou
modificações não produzem resultados confiáveis nos sistemas elétricos atuais, especialmente no
caso de circuitos com condutor de retorno e, deveriam ser abandonadas [5,6,9-11,18,26].
Interessantes propostas de aprimoramento da teoria de Budeanu podem ser encontradas em
[28,29].
6.2.2.2
Definições propostas por Czarnecki (1988)
Czarnecki é um dos grandes críticos no que se refere à utilização da teoria de Budeanu
[26]. Além disto, utilizando-se de uma abordagem vetorial bastante sofisticada, este autor
defende uma proposta que busca associar as parcelas de potência ativa, reativa, harmônica, etc.
com suas respectivas variáveis de origem (tensões e correntes) e os fenômenos físicos
associados.
Apesar do método proposto em [30] utilizar a definição de corrente ativa apresentada por
Fryze no domínio do tempo [4], sua abordagem foi desenvolvida no domínio da freqüência e se
aplica tanto para sistemas monofásicos, quanto polifásicos.
A motivação, bem como as principais contribuições de Czarnecki, estão centradas na busca
por uma metodologia de decomposição dos sinais de corrente e potência que estivesse tão
relacionada quanto possível, aos fenômenos físicos do sistema elétrico que as origina. Como
apresentado a seguir, sua proposta utiliza os valores das várias condutâncias (G), susceptâncias
(B) e admitâncias (Y) dos circuitos elétricos, bem como procura encontrar as parcelas de corrente
relacionadas com harmônicos, assimetrias, reativos, etc.
Inicialmente, o autor assume uma fonte trifásica senoidal equilibrada, alimentando um
circuito trifásico assimétrico e define condutância e susceptância equivalente utilizando algumas
das ferramentas matemáticas discutidas anteriormente, como segue:
Assim, partindo da norma da tensão RMS, que permite incluir harmônicas h∈N, de modo
que:
V = V12 + V22 + ... + Vh2
(117)
Vh é o valor eficaz de cada harmônica.
Czarnecki define condutância e susceptância equivalentes como:
23
P
Ge ≡
(118)
2
V
Q
Be ≡ −
V
(119)
2
e, para um sistema trifásico (R,S,T), define as potências ativa e reativa totais como:
{
P = R e VR I *R + VS I *S + VT I *T
}
(120)
{
Q = I m V R I *R + V S I *S + V T I *T
}
(121)
As correntes trifásicas da fonte são decompostas em três componentes ortogonais:
i = ia + ir + ig
(122)
i a = G e .v
i r = Be .
(123)
dv
d (ω1 t )
(124)
ig = i − ia − ir
(125)
Como essas componentes são mutuamente ortogonais, os valores RMS satisfazem:
i
2
2
= ia
ig =
+ ir
2
+ ig
2
(126)
ia = G e . v
(127)
ir = Be . v
(128)
i
2
(
2
− Ge
2
+ Be
). v
2
(129)
Neste modelo aparece a separação clara entre corrente reativa e corrente harmônica. O
autor generaliza ainda mais, introduzindo distorção harmônica na fonte, e assumindo que as
harmônicas introduzidas pela carga sejam distintas das existentes na fonte. Seguindo o caminho
análogo ao anterior, o método é aplicado para cada harmônica e as parcelas correspondentes são
então somadas, resultando uma decomposição em 5 componentes ortogonais de corrente,
designadas por:
i = ia + ir + is + iu + ig
(130)
satisfazendo a relação de ortogonalidade:
i
de modo que i
2
2
= ia
2
+ ir
2
+ is
2
+ iu
2
+ ig
2
(131)
corresponde ao valor da corrente CC que produz o mesmo efeito térmico que
as correntes das fases i R , i S , i T produziriam em um sistema trifásico simétrico.
Segundo Czarnecki, as diversas parcelas ortogonais têm as seguintes interpretações:
24
ia: correntes ativas similares às de Fryze (como será discutido a seguir) para ondas nãosenoidais:
ia = G e. v
(132)
ir: correntes reativas devido a indutores e capacitores nas diferentes freqüências harmônicas:
ir

=  ∑ B 2ne . v n
 n∈ N u
2




1
2
N u = conj. harmônico da fonte
(133)
is: correntes devido à dispersão com a freqüência (scattered current):
2

i s =  ∑ (G ne − G e ) v n
 n∈Nv
2



1
2
(134)
iu: correntes de desequilíbrio:
iu
[

=  ∑ in
 n ∈ Nv
2
(
− G
2
ne
+ B
2
ne
). v
2
n
]



1
2
(135)
ig: correntes geradas devido à não-linearidade ou variação de parâmetros da carga:
ig

=  ∑ i n
 n∈Ng
2




1
2
N g = conj. harmônico da carga
(136)
Desta forma, multiplicando-se cada termo de norma das correntes identificadas pela norma
da tensão em um PAC qualquer, resultaria em termos de potência a seguinte relação:
S 2 = P 2 + Qr2 + Ds2 + Du2 + Dg2
(137)
A proposta de Czarnecki, apesar de interessante, não tem sido muito utilizada por outros
autores, provavelmente pela complexidade do equacionamento no domínio da freqüência. No
entanto, é interessante notar que tal proposta, além de auxiliar na compreensão dos fenômenos
físicos que compõe o sistema elétrico, poderia ser implementada tanto em sistemas de análise e
monitoração de energia, quanto em sistemas de condicionamento de energia, desde que
utilizando sistemas adequados de processamento digital de sinais [31].
Seja do ponto de vista de análise, quanto de controle, a proposta parece muito interessante
se o objetivo for a identificação, tarifação ou compensação das “correntes” de distúrbio,
entretanto, ainda deixa algumas dúvidas como, por exemplo: como atribuir responsabilidades ou
compensar distúrbios na “tensão” de fornecimento, ou ainda, o que mudaria nas decomposições
propostas se a tensão fundamental do sistema for assimétrica (este tipo de distúrbio parece não
ter sido abordado)? Além disto, destaca-se que, por se tratar de uma definição no domínio da
freqüência, eventuais inter-harmônicos presentes nos sinais de tensão e corrente, podem não ser
interpretadas corretamente. Para isto, a complexidade matemática e implementacional das
análises seriam ainda maiores.
25
No entanto, é importante destacar que Czarnecki tem sido um dos autores mais ativos nas
discussões sobre teorias de potência. Como resumido, sua abordagem objetiva subdividir a
corrente de um sistema ou circuito elétrico em várias sub-parcelas, cada qual associada com um
tipo diferente de fenômeno físico e conseqüentemente, responsável por uma componente de
potência distinta. Czarnecki também tem contribuído para discussões como a necessidade ou não
da definição de potência aparente, visto que esta é muito mais uma interpretação matemática do
que física; bem como para estudos de compensadores ativos ou passivos; e ainda para
desmistificar determinadas teorias [26,32,33] ou questionar sobre quais seriam os verdadeiros
requisitos para uma “teoria de potências”.
Uma vez que o foco de sua proposta é a associação com os fenômenos físicos, em
trabalhos recentes o autor vem denominando tal proposta de Teoria das Componentes Físicas de
Corrente, do inglês, Theory of the Current's Physical Components (CPC) [33].
Como será visto adiante, a abordagem de Czarnecki no domínio da freqüência tem muitas
semelhanças com as definições de Depenbrock no domínio do tempo [17].
6.2.2.3
Definições da IEEE Standard 1459 (2000)
Desde o princípio da década de 90, o IEEE definiu um “Grupo de Trabalho'” (Working
Group) para Situações Não-Senoidais. Tal grupo é presidido pelo professor A. Emanuel, um dos
grandes responsáveis pela publicação em 2000, da recomendação IEEE STD 1459-2000 [34].
Em 1990, um tutorial foi organizado, contendo 12 trabalhos de autores como o próprio
Emanuel, Czarnecki, Arseneau, Cox, Filipski, Baghzouz, Gunther, dentre outros, os quais
abordavam os problemas das definições e instrumentação usuais, sob formas de onda distorcidas
ou assimétricas, bem como novas propostas [5]. De certa forma, os trabalhos deste tutorial
formaram a base para os trabalhos seguintes do grupo. Provavelmente os dois trabalhos mais
referenciados do grupo são de 1996. No primeiro deles, as principais questões sobre as
definições de potência em condições não-ideais foram explicitadas em um questionário
distribuído para várias concessionárias de energia e depois discutidas ponto a ponto [13]. No
segundo, uma metodologia alternativa foi proposta para adequar as definições de potência para o
caso geral com distorções e assimetrias [14].
Assim, em [14] o grupo sugere algumas definições como, por exemplo, a utilização de
valores de tensão e corrente “equivalentes” para o sistema trifásico, bem como a “Potência
Aparente Efetiva”, como uma alternativa ao cálculo da potência aparente de forma “vetorial” ou
“aritmética”, como proposta pelo próprio IEEE anteriormente. Neste trabalho o grupo também
defende a separação da contribuição das ondas fundamentais de seqüência positiva, das outras
parcelas de potência, bem como define várias parcelas de potência como, por exemplo, as
potências não-ativa (tudo que não gera P) e não-fundamental ( h ≠ 1 ), parcela atribuída aos
harmônicos, inter-harmônicos e suas interações.
A seguir, os principais conceitos e definições apresentadas na proposta da STD 1459 são
resumidos e discutidos.
Sistemas trifásicos equivalentes:
Os sistemas elétricos trifásicos normalmente são projetados para gerar, transmitir e
distribuir a energia elétrica, sob formas de ondas senoidais e em condições praticamente
equilibradas e simétricas, conectadas em delta ( ∆ ) ou em estrela ( Υ ), como ilustrado na Figura
23.
Quando duas cargas, uma ligada em Y e outra em ∆ , são equivalentes em termos de
potência consumida, isto pressupõe que ambas causam as mesmas perdas de transmissão. Em
condições balanceadas e sob tensões simétricas resulta a conhecida relação entre os valores das
26
impedâncias das duas formas de conexão (Z∆ = 3ZY). Essa hipótese também é feita para analisar
sistemas desbalanceados, sob condições não-senoidais.
No caso de correntes desequilibradas deve-se analisar se o sistema possui ou não condutor
de retorno. Caso haja condutor de retorno, Figura 23a, poderá haver corrente nesse condutor,
dada pela soma das correntes nas 3 fases.
va
vb
vc
a
b
r
r
l
l
c
r
l
n
rn
ln
va
Ia
C
A
R
G
A
Ib
Ic
vb
r
l
Ie
R
b
r
l
Ie
R
vc
In ≠ 0
a) Sistema com carga desbalanceada
a
R
R
c
r
l
Ie
n
rn
ln
In=0 Ve Ve Ve
R
R
b) Sistema equivalente
Figura 23 - Sistema trifásico com condutor de retorno.
É claro que se a resistência e a corrente eficaz na rede forem conhecidas, é possível
calcular as perdas em cada fase através da seguinte relação:
∆P = I 2 r
(138)
Assim, a perda total para o sistema da Figura 23a será definida como as soma das perdas
nas três fases mais a perda no condutor de retorno (neutro):
∆Pt = r ( I a2 + I 2b + I c2 ) + rn I 2n
(139)
Para uma dada potência na carga e condições otimizadas de operação, as correntes nas
linhas serão mínimas se a carga for resistiva e balanceada, resultando FP = 1 (Figura 23b).
Nessas condições, as intensidades das correntes eficazes serão dadas por I a = I b = I c = I e e
I n = 0 . Para as mesmas perdas de transmissão, tem-se a seguinte relação:
∆Pt = 3rI e2
(140)
onde a corrente eficaz equivalente ( I e ) é definida em função das perdas do sistema real,
aplicadas a um sistema equivalente balanceado. Logo, igualando as equações (139) e (140) temse:
Ie =
1 2 2 2
(I a + I b + I c + ρI 2n )
3
(141)
rn
é a relação entre a resistência do condutor de retorno (rn) e a resistência dos
r
condutores das fases (r), as quais em geral, não são iguais.
onde ρ =
Uma análise semelhante é feita para a tensão eficaz equivalente ( Ve ), obtida considerando
que a carga no circuito real (Figura 23a) consiste de grupos de cargas conectadas em Υ e em ∆ .
Cada grupo é caracterizado por uma resistência equivalente RΥ e R∆ respectivamente (Figura
23b), e a potência absorvida no sistema real, é dada em função das tensões eficazes de fase e de
linha:
27
PT =
Van2 + Vbn2 + Vcn2 Vab2 + Vbc2 + Vca2
+
RY
R∆
(142)
e, no modelo equivalente fictício, é dada em função da tensão eficaz equivalente:
3Ve2 9Ve2
Pe =
+
RY
R∆
Dado que P =
(143)
V2
, para o circuito da Figura 23b (equivalente) resulta:
R
PΥ =
9Ve2
3Ve2
, e P∆ =
RΥ
R∆
e, assim, tem-se a relação das potências absorvidas entre os grupos de cargas ligadas em ∆ e Y:
9Ve2
P
R
3R Υ
ξ = ∆ = ∆2 =
PΥ 3Ve
R∆
RΥ
(144)
Substituindo a equação (142) nas equações (143) e (144) e igualando estas duas equações
obtém-se:
Van2 + Vbn2 + Vcn2 Vab2 + Vbc2 + Vca2 3Ve2 9Ve2
+
=
+
3R Υ
RY
R Y 3R Υ
ξ
ξ
Ve =
(
) (
(145)
)
3 Van2 + Vbn2 + Vcn2 + Vab2 + Vbc2 + Vca2 ξ
9(1 + ξ)
considerando ξ = 1 que, segundo a equação (144), implica potências iguais dos grupos de cargas
em Y e em ∆ ou que P∆ = PΥ e R ∆ = 3R Υ , resulta da equação (145):
Ve =
(
) (
3 Van2 + Vbn2 + Vcn2 + Vab2 + Vbc2 + Vca2
18
)
(146)
Para sistemas trifásicos com três condutores sem neutro ( I n = 0 ) a equação (141) é
simplificada para:
Ie =
1 2 2 2
(I a + I b + I c )
3
(147)
Para a tensão equivalente efetiva com três condutores considera-se PΥ = 0 , ξ → ∞ ,
RΥ → ∞ , Re = R∆ / 3 , e assim a equação (146) é simplificada para:
28
1 2
(Vab + Vbc2 + Vca2 )
9
Ve =
(148)
Os valores Ve e Ie calculados dessa maneira representam valores por fase do sistema
equivalente balanceado. A potência aparente efetiva total é definida como:
Se = 3Ve I e
(149)
Esta definição de potência aparente é diferente das usadas nas definições clássicas, por
incluir a corrente e resistência do condutor de retorno (neutro), além de considerar o sistema
trifásico como um sistema polifásico de fato, e não um somatório de sistemas monofásicos.
Quanto à definição de potência ativa (P) existe um consenso de que seja calculado como o
valor médio, sobre um ou mais períodos do sinal, do produto das tensões de fase-neutro pelas
respectivas correntes:
P=
1
kT
t + kT
∫ (i
a
v a + i b v b + i c v c ) dt
(150)
t
onde T é o período das tensões e correntes, “t” é o instante inicial de integração e k é um número
inteiro de períodos para o cálculo da média (em geral k=1).
Desta forma, o fator de potência efetivo é definido como a razão entre a potência ativa
equação (150) e a potência aparente efetiva (149):
FPe =
P
Se
(151)
Sistemas trifásicos equivalentes sob condições distorcidas
Como já discutido, as análises na presença de harmônicos ficam bem mais complexas,
devido às interações entre freqüências. No caso polifásico, essa situação se complica ainda mais,
pois aparecem também interações entre as fases.
Desta forma, a corrente e tensão efetiva foram separadas em duas componentes, as
componentes fundamentais e harmônicas, ou seja:
2
I e = I e21 + I eH
(152)
2
Ve = Ve21 + VeH
(153)
e
onde o índice “1” representa a componente fundamental 60/50Hz e “H” o conjunto das
componentes harmônicas do sistema.
As componentes fundamentais equivalentes por fase da corrente e tensão por fase podem
ser obtidas por:
I e1 =
1 2
I a1 + I 2b1 + I c21 + ρI 2n1
3
(
)
(154)
e
29
Ve1 =
1
3 Va21 + Vb21 + Vc21 + Vab2 1 + Vbc2 1 + Vca2 1
18
[(
)
]
(155)
Assim, conhecendo Ve e Ve1 , pode-se calcular a parcela correspondentes às harmônicas da
tensão:
VeH = Ve2 − Ve21
(156)
Da mesma forma para a parcela de correntes tem-se:
I eH = I e2 − I e21
(157)
Portanto, a potência aparente efetiva pode ser expressa por:
2
Se2 = Se21 + SeN
(158)
onde o primeiro termo corresponde à potência aparente efetiva fundamental:
S e1 = 3Ve1 I e1
(159)
e o segundo termo é a potência efetiva não-fundamental:
SeN = Se2 − Se21
(160)
Notar que essa parcela de potência, causada pela presença de componentes harmônicos e
inter-harmônicos distintos nas tensões e correntes, tem caráter oscilatório.
Sistemas trifásicos equivalentes em condições desequilibradas
Para cargas desbalanceadas, define-se a potência aparente fundamental de desequilíbrio,
pela diferença:
S U1 = Se21 − (S1+ ) 2
(161)
onde S1+ é a potência aparente fundamental de seqüência positiva, dada por:
S1+ = ( P1+ ) 2 + (Q1+ ) 2 = 3V1+ I1+
(162)
Sendo:
P1+ = 3V1+ I1+ cos φ1+
(163)
Q1+ = 3V1+ I1+ sinφ1+
(164)
e
Estas definições de potência ativa de seqüência positiva e potência reativa de seqüência
positiva são similares às usadas em sistemas trifásicos senoidais equilibrados.
Assim, define-se também o fator de potência fundamental de seqüência positiva, como a
relação entre a potência ativa e a potência aparente, ambas de seqüência positiva.
30
P1+
FP = +
S1
+
1
(165)
Esta relação pode ser associada com o fator de deslocamento ( cos φ1 ) dos sistemas elétricos
senoidais e equilibrados.
Várias outras parcelas de potência ou relações entre estas, ainda podem ser extraídas da
abordagem proposta em [34], no entanto, já é possível tecer alguns comentários sobre vantagens,
desvantagens e semelhanças desta proposta em relação a outras referências:
Vantagens:
•
O fato de separar as componentes fundamentais e de seqüência positiva das demais
parcelas da tensão, corrente e potência, é um ponto importante no que tange à
compreensão dos fenômenos físicos, bem como em relação à medição e tarifação das
potências envolvidas no processo de fornecimento de energia;
•
Por utilizar as definições de grandezas equivalentes de Buchholz, o método procura tratar
de forma adequada sistemas trifásicos com três ou quatro fios (embora trabalhos recentes
apontem algumas inconsistências [10]);
•
O método permite uma certa flexibilidade em relação a quantas e quais parcelas de
potência se deseja calcular, dependendo da necessidade ou objetivo do usuário;
•
As novas definições têm uma estreita relação com os conceitos convencionais para o caso
senoidal e balanceado;
•
A definição de Potência Aparente Efetiva parece mais rigorosa e útil do que as definições
convencionais;
Desvantagens:
•
Uma vez que o foco principal dos trabalhos desenvolvidos pelos autores em questão
sempre foi a normalização dos protocolos de medição e tarifação de energia em
condições não-senoidais e/ou desbalanceadas, todas as definições são baseadas em
valores eficazes, quando na verdade poderiam ter sido generalizadas no domínio do
tempo e, então, aplicadas para tarifação;
•
Mesmo permitindo a identificação de parcelas de potência que poderiam ser
compensadas (eliminadas) através de compensadores ativos (SeN) ou passivos (Q12), por
não ser este o objetivo principal do grupo, tais vertentes da proposta ainda não foram
suficientemente exploradas;
•
Um ponto crítico em quase todas as propostas de teoria de potência é a identificação do
sentido do fluxo de potência harmônico, o que nesta proposta também não foi
solucionado;
•
Outro ponto que ainda requer aprimoramento, tratando-se de uma recomendação IEEE, é
o fato de que os algoritmos e protocolos para os cálculos das componentes fundamentais,
harmônicas ou de seqüência positiva não foram abordados;
Discussão:
Baseado nos comentários anteriores, pode-se afirmar que a proposta atual do grupo do
IEEE apresenta inovações em relação às recomendações anteriores do próprio IEEE. Tal
proposta também traz várias semelhanças com as propostas de outros autores contemporâneos,
31
principalmente com os trabalhos de Czarnecki e Depenbrock (apresentado na próxima seção).
Semelhanças estas que vem sendo moldadas ao longo das duas últimas décadas através das
várias publicações e discussões de artigos destes autores.
6.2.3 Propostas no domínio do tempo
Nos últimos anos, várias propostas têm sido apresentadas baseadas em abordagens no
domínio do tempo. Diferente das propostas no domínio da freqüência, a maioria destas tem como
motivação principal a compensação de distúrbios. Entretanto, isto tem sido uma grande fonte de
confusões e distorções sobre o que deveria contemplar uma “teoria de potências”, sendo algumas
propostas extremamente úteis do ponto de vista de compensação, mas impraticáveis em
aplicações como análise, medição ou tarifação de energia. Outro problema de interpretação
oriundo destas propostas é a utilização do termo “instantâneo” no contexto das teorias de
potência: tal termo vem sendo empregado para demonstrar que determinadas parcelas de
corrente podem ser calculadas ou mesmo compensadas de forma “instantânea”, no entanto, de
forma geral, não deveria ser empregado na definição dos nomes das diferentes componentes de
corrente ou potência. A não ser em condições muito especiais, tais componentes podem ser
calculadas no domínio do tempo, mas não sem algum tipo de pré-processamento, média temporal
ou filtro (não-instantâneo).
6.2.3.1
Definições propostas por Fryze (1932)
Apesar de não ter sido adotada em escala mundial, a teoria proposta em [4] apresenta
vários aspectos interessantes, uma vez que trata de uma decomposição no domínio do tempo, não
necessitando da decomposição do sinal em seus harmônicos. Sendo este último fator
especialmente importante por volta de 1930, pela indisponibilidade de instrumentos que fizessem
tais análises.
Considerando variáveis periódicas (T) uni-dimensionais instantâneas v e i, Fryze propõe a
decomposição da corrente total em duas componentes, iw que corresponde à parte ativa da
corrente e ib que corresponde à parcela denominada de reativa (corrente não-ativa). São elas:
iw = (
Pw
).v = Ge .v
V2
(166)
a qual corresponde à parcela que efetivamente transfere potência para a carga e possui a mesma
forma de onda da tensão (como já definido, Pw é a potência ativa média e V é o valor RMS da
tensão). E
ib = i − iw
(167)
a qual representa uma corrente adicional de ocupação do sistema elétrico.
É importante destacar que, desde que seja assumida uma dada periodicidade para os sinais
de tensão e corrente, as expressões anteriores são válidas para qualquer forma de onda.
A corrente ativa é obtida através da “condutância equivalente” (Ge) do sistema, e
representa a corrente de uma carga puramente resistiva, a qual, para uma mesma tensão, absorve
a mesma potência ativa (Pw) da carga realmente utilizada. Se a corrente ib fosse completamente
eliminada ou compensada, o fator de potência seria unitário.
Uma vez que estas duas componentes de corrente são ortogonais, o produto escalar entre
elas é igual a zero e seus valores RMS podem ser associados como:
I 2 = I w2 + I b2
(168)
32
Desta forma, a Potência Aparente (Ps) seria composta por:
Ps2 = Pw2 + Pb2
(169)
sendo (Pw) a Potência Ativa dada por:
Pw = V .I w =
1
T
∫
T
0
v.i dt
(170)
a qual, obviamente, está associada à transferência de energia em um determinado período e
Pb = V .I b
(171)
que é a Potência Reativa de Fryze e também pode ser encontrada na literatura com o nome de
Potência Fictícia ou Não-Ativa.
Além disto, utilizando a desigualdade de Schwartz que diz que:
2
 b f ( x ). g ( x ) dx  ≤
 ∫a

∫
b
a
b
f 2 ( x ) dx ⋅ ∫ g 2 ( x ) dx
a
(172)
Fryze pôde mostrar que:
PS ≥ Pw = λ.VI
(173)
onde λ = cosϕ no caso particular de funções senoidais, e que a igualdade de Schwartz só ocorre
f (x )
se a relação
for constante.
g( x)
Isso significa que Ps = Pw apenas no caso em que a corrente é proporcional à tensão (carga
resistiva) e a relação v/i se mantiver constante no período:
v
= R = cte
i
(174)
ou seja, corresponde a uma resistência invariante no tempo.
Devemos, portanto, a Fryze a prova de que a potência aparente de um resistor invariante
coincide com a potência ativa, qualquer que seja a forma de onda (pois a corrente é proporcional
à tensão).
Vantagens:
•
Uma grande contribuição da teoria de Fryze foi a introdução do conceito de
ortogonalidade não entre as parcelas de potência, mas sim em sua origem, ou seja, às
componentes da corrente ativa e residual;
•
O fato de calcular a corrente ativa diretamente a partir da condutância equivalente
também deve ser ressaltado, uma vez que evitava a necessidade das análises em
freqüência, como vinha sendo proposto por autores da época;
•
Se o objetivo é quantificar o total de energia supérflua (não-ativa) de um sistema elétrico,
as componentes ib e Pb podem ser utilizadas com bastante precisão;
•
A proposta permite o projeto de filtros ativos de potência, para eliminação de ib, mesmo
se em seu tempo, tal solução ainda não fosse uma realidade.
Desvantagens:
33
•
Pelo fato de agrupar todos os “distúrbios” de corrente na parcela ib ou conseqüentemente
na potência Pb, tal teoria não permite o aprofundamento dos estudos sobre cada tipo de
fenômeno físico envolvido na transferência de energia, bem como não permite a
monitoração para fins de tarifação ou compensação “seletiva” de determinadas parcelas
de corrente e potência;
•
Não separa nem mesmo as contribuições das fundamentais do sistema, das demais
componentes. Portanto, não permite o projeto em separado de compensadores de energia
passivos, usualmente econômicos e ainda de utilidade para muitas instalações;
•
Foi definido para sistemas monofásicos.
Discussão:
É importante ressaltar que algumas das definições de Fryze, como por exemplo, a
definição de corrente e potência ativa, vem sendo utilizadas e aprimoradas por vários outros
autores, dos quais pode-se destacar [15-18,30,34].
O resultado destes novos trabalhos foi a expansão da teoria de Fryze para sistemas multidimensionais [15-17,35], bem como propostas para o cálculo instantâneo da parcela de corrente
ativa (iw) [15-17], o que possibilitou o desenvolvimento de filtros ativos de potência, para
maximização do fator de potência de uma instalação.
Outros trabalhos permitiram a expansão das parcelas de corrente ativa e não-ativa em subparcelas que possibilitam estudos sobre os fenômenos ou distúrbios presentes em um
determinado sistemas [16,17,22,25,35], de forma similar à proposta apresentada no domínio da
freqüência em [34].
Como será discutido adiante, a linha de trabalho baseada no aprimoramento da proposta de
Fryze, bem como a possibilidade de separar as tensões e correntes em suas várias possíveis subparcelas, parece a forma mais adequada de se encontrar uma teoria de potências aplicável seja
para os estudos, como também para tarifação e compensação, de sistemas elétricos sob condições
não-ideais.
6.2.3.2
Definições propostas por Depenbrock (1962/1992) – Método FBD
Apesar da proposta de Depenbrock ter sido formulada em 1962 [38], a mesma só passou a
ser referenciada e utilizada por outros autores, após a sua publicação no IEEE [39]. Baseando-se
nos trabalhos de Fryze [4] e Buchholz [37], o autor apresentou a teoria que ele batizou como o
método FBD “Fryze-Buchholz-Depenbrock”.
Seu trabalho busca considerar algumas premissas básicas ao desenvolvimento adequado de
uma teoria de potências [39] e no contexto de condicionamento de energia. Pode-se destacar:
• o fato de que correntes não-ativas não contribuem para a transferência de energia de um
sistema, sendo relacionadas apenas com perdas e problemas de interferência
eletromagnética;
•
a demanda de informações sobre as funções temporais, para avaliar ou mesmo compensar
os efeitos das correntes não-ativas;
•
o fato de que normas e recomendações deveriam trazer regras claras sobre como
determinar tais funções temporais, sendo que tais regras deveriam ser aplicáveis para
sistemas genéricos, sem restrições e da forma mais simples possível;
•
“potências” não-ativas são grandezas de importância secundária, uma vez que são
derivadas das ``correntes'' não-ativas e não o contrário;
34
•
a única componente de corrente que possui uma definição livre de contradições, é a
corrente ativa, no entanto, a decomposição da corrente não-ativa em sub-componentes
pode ser de importância em determinadas aplicações. Assim, as normas deveriam definir
os métodos e algoritmos necessários para tais decomposições, permitindo que o número
de parcelas a serem calculadas varie de acordo com a aplicação final.
O autor utiliza variáveis chamadas coletivas instantâneas de tensão e corrente como:
i∑ =
m
∑ i 2υ = i(t) ⋅ i(t )
m
∑v
v ∑* =
υ=1
2
υ*
= v * (t) ⋅ v * (t) ,
(175)
υ=1
onde “m” indica o número de condutores que ligam a fonte à carga e o * indica que os valores
das tensões foram medidos em relação à referência virtual.
O método FBD considera como ativos todos os condutores do sistema polifásico, inclusive
o condutor neutro (usualmente considerado retorno). Para o cálculo das tensões, toma como
referência um “ponto virtual”, Figura 23b, e não o condutor de neutro (retorno) como é
realizado usualmente, inclusive na proposta da STD 1459-2000.
va
vb
vc
a
r
l
Ia
b
r
l
Ib
c
r
l
Ic
r
l
In
n
va
C
A
R
G
A
vb
vc
r
l
ia
r
l
ib
r
l
ic
r
l
in
a
C
A
R
G
A
b
c
n
Va* Vb* Vc* Vn*
(*) referência virtual
a) Condição inicial
b) Circuito equivalente (ponto virtual)
Figura 23: Sistema trifásico com m=4 condutores.
Da forma como foi definido o ponto virtual (centro de “gravidade” das tensões), valem as
seguintes relações:
m
m
∑i
υ
∑v
=0
υ*
=0
(176)
υ=1
υ =1
A potência instantânea coletiva é dada pelo produto escalar:
p∑ = v* (t) ⋅ i(t) .
(177)
Assim, para condições periódicas, os valores “eficazes coletivos” quadráticos da corrente
e tensão são, respectivamente os valores quadráticos médios por período, dados por:
T
I∑2 =
1 2
i ∑ (t)dt = i(t) ⋅ i(t)
T ∫0
(178)
T
1
V = ∫ v2∑ * (t)dt = v* (t) ⋅ v* (t)
T0
2
∑*
(179)
35
E a potência média ou ativa é dada por:
T
P∑ =
1
p∑ (t)dt = v* (t ) ⋅ i(t)
T ∫0
(180)
A equação (180) é igual à da potência ativa convencional, porém com as tensões medidas
em relação ao ponto virtual. A potência aparente coletiva total é dada pela seguinte expressão:
S ∑ = V∑ * I ∑
(181)
Esta potência foi introduzida por Buchholz, e considera todas as tensões e correntes do
sistema elétrico. A partir, das equações (180-181) pode-se obter o fator de potência como sendo:
FPΣ =
P∑
S∑
(182)
O autor também sugere a decomposição da corrente em parcelas proporcionais e
ortogonais à tensão, definindo assim:
•
Corrente Ativa ( iυa ): responsável pela transferência de energia para a carga. Esta
corrente é igual à corrente ativa definida por Fryze:
iν a =
•
PΣ
.vν * = Ga .vν *
VΣ2*
Correntes de Potência ( iυp ): responsáveis pela potência instantânea, incluindo a
potência ativa e possíveis oscilações relacionadas com harmônicos e desequilíbrios:
iν p =
•
(183)
pΣ
.vν * = G p .vν *
vΣ2*
(184)
Correntes de Potência Zero ( iυz ): não contribuem para a transferência de energia. Estas
correntes podem ser compensadas sem a necessidade de armazenadores de energia
[38,39]:
m
iν z = i − iν p
PΣz = ∑ v v* ⋅ i vz = 0
(185)
v =1
•
Correntes Não-Ativas ( iυn ): associadas aos vários tipos de distúrbios e oscilações que
afetam a potência instantânea, mas não transferem energia para as cargas:
iν n = i − iν a = iν z + iν v
(186)
onde iυv é a componente de corrente responsável pelas “variações” (quando presentes) da
condutância equivalente em torno de Ga, ou ainda, variações de pΣ em torno de PΣ . Esta parcela
( iυv ) poderia ser utilizada para o projeto de armazenadores de energia para compensadores ativos
com a finalidade de eliminar iυn , o que resultaria na maximização do fator de potência do
circuito (FP=1).
Além das componentes de corrente descritas, Depenbrock destaca a possibilidade de ainda
decompor a tensão e a corrente em outras sub-parcelas (porções) [39], tais como: componente
36
fundamental, componente residual (harmônica), componentes de seqüência positiva,
componentes média e oscilatória, etc. Na verdade, o autor tem defendido a idéia de que o número
de parcelas da decomposição de corrente não deve ser fixado por norma, mas sim definido em
função da aplicação na qual se deseja aplicar a metodologia proposta. Assim, poder-se-ia
calcular, por exemplo, a corrente ativa fundamental de seqüência positiva, a qual seria
proporcional à tensão fundamental de seqüência positiva. Da mesma forma, diversas parcelas de
potência poderiam ser evidenciadas em função das parcelas de tensão e corrente.
Vantagens:
•
permite o cálculo instantâneo da corrente iυz , a qual representa a parte da corrente nãoativa que poderia ser compensada sem armazenadores de energia;
•
sugere o cálculo no domínio do tempo de diversas parcelas de tensão e corrente, como
por exemplo, componentes fundamentais e harmônicas, ativas e não-ativas, etc;
•
sugere o cálculo de parcelas da potência aparente relacionadas com os sinais de tensão e
corrente decompostos;
•
permite o projeto de compensadores passivos ou ativos, com ou sem armazenadores de
energia.
Desantagens:
•
Ao usar o ponto virtual para as medições das tensões, no caso de sistemas
desequilibrados e desbalanceados, torna-se difícil identificar sinais para a
compensação, seja de corrente ou de tensão.
•
O processamento das equações leva a cálculos de componentes de corrente
(baseado em subtrações de valores medidos e outros calculados) que apresentam
componentes espectrais injustificáveis.do ponto de vista físico.
Discussão:
As definições de iυp e iυz propostas por Depenbrock, possuem algumas semelhanças com
as correntes ativa e reativa de Akagi et al. [12], apesar de realizadas de forma completamente
distinta. Propostas similares a esta de Depenbrock, foram apresentadas quase que
simultaneamente no contexto internacional por Tenti et al. [15] e Willems [40], onde estes
autores exploraram a utilização do “Multiplicador de Lagrange” para o cálculo das corrente iυp .
Uma análise detalhada de tal método também pode ser encontrada em [36].
Depenbrock também tem tentado demonstrar que a definição de uma teoria e a sua
implementação em sistemas de medição e controle no domínio do tempo, nada tem a ver com as
chamadas Teorias de Potência Instantâneas [41], apresentadas, por exemplo, em [12,21-25].
6.2.3.3
Definições propostas por Akagi e Nabae (1983/1993)
Os trabalhos apresentados por Akagi et al. [12,21] contém contribuições às áreas de
cálculo de potências instantâneas e filtragem ativa, sobretudo sem a necessidade de elementos
armazenadores de energia. Os conceitos e definições publicados nestes trabalhos e
impulsionaram desenvolvimentos nas áreas de eletrônica de potência, filtragem ativa,
dispositivos FACTS e qualidade de energia.
A teoria original proposta pelos autores ficou conhecida como Teoria pq e tem como base
a transformação algébrica de coordenadas de um sistema trifásico para um sistema bifásico
37
( a, b, c → αβ ), também conhecida como Transformação de Clarke [42]. Através de
contribuições de vários autores ao longo das quase duas décadas de utilização da teoria
[22,23,25], as publicações mais recentes de Akagi trazem uma teoria estendida, na qual a
presença de 4 fios no sistema trifásico foi incorporada ao método de cálculo de suas variáveis,
além de outras considerações [43].
Baseados na definição de vetores instantâneos, as tensões e correntes trifásicas dadas nas
coordenadas (a,b,c), as quais se encontram defasadas de 120º podem ser transpostas para as
coordenadas ( αβ 0 ), onde αβ são ortogonais entre si, pelas seguintes equações algébricas:
1 1
v0 
 2 2
  2 1
vα = 3 1 − 2

vβ 
 
0 3
2

1
2
−1
2
− 3

 va 
 
 vb 
 vc 

2
1 1 1

 2 2 2
 ia 
i0 
  2
1
1  
iα = 3 1 − 2 − 2  ib 
iβ 

 ic 
 
0 3 − 3   
2
2

.
(187)
.
(188)
A Teoria pq define duas potências “reais” instantâneas ( pαβ e p0) e uma potência
“imaginária” instantânea ( qαβ ) para o sistema trifásico a quatro fios:
p0  v0 0 0  i0 
  
 
pαβ  = 0 vα vβ . iα 
q  0 v − v  i 
α  β 
 αβ   β
.
(189)
Observando-se a Figura 24, pode-se concluir que a potência instantânea real seria formada
pela componente de seqüência zero ( p0 = v0 .i0 ), que circula por um “circuito monofásico de
seqüência zero”, o qual é independente, e pela componente pαβ definida pelo produto das
tensões instantâneas em uma fase pelas correntes instantâneas correspondentes às mesmas fases
(produto escalar), ou seja:
pαβ =vαiα + vβiβ
(190)
e desta forma, representaria a potência real ativa instantânea (em Watts) que circularia pelo
sistema bifásico formado pelos circuitos αβ [43].
A potência formada pela soma dos produtos de tensões de uma fase, pelas correntes em
outra fase (produto vetorial) é definida como uma nova grandeza elétrica, a potência imaginária
instantânea ( qαβ ), dada em Volt-Ampère-Imaginário (VAI):
38
qαβ = vβiα − vαiβ
(191)
Assim como proposto em [23], a potência imaginária definida acima tem sinal contrário do
proposto originalmente por Akagi et al. e pode ser associada a vários aspectos:
•
o fato de que pela álgebra vetorial adotada e sendo a potência imaginária ortogonal à
potência real, a qual é definida sobre eixo real das coordenadas, a potência imaginária
resulta no eixo imaginário das coordenadas;
•
também pelo fato que, ao contrário das potências instantâneas reais, esta componente não
participa da transferência de potências entre fontes geradoras e as cargas, conforme
indicado na Figura 25;
•
por fim, pelo fato de ser apenas uma definição matemática, a qual é utilizada para
quantificar as parcelas de potência instantâneas que correspondem a interações de
energia, entre as fases do sistema, sejam elas constantes ou não.
Figura 24 - Circuitos que contribuem para o fluxo de potência instantânea - Teoria pq.
A equação a seguir traz uma analogia ao cálculo convencional de potência instantânea para
um sistema trifásico a quatro fios, com a teoria apresentada:
p3φ = va .ia + vb .ib + vc .ic = vα .iα + vβ .iβ + v0 .i0 = pαβ + p0
(192)
Com isso, observa-se que a potência instantânea trifásica é dada pela soma das potências
instantâneas reais de Akagi, ressaltando que a presença da componente de seqüência zero (p0) é
indesejada no sistema elétrico.
39
Figura 25 - Fluxo instantâneo de potência real e imaginária no sistema - Teoria pq.
Principal Contribuição:
Embora Depenbrock tenha recentemente chamado a atenção da comunidade científica para
o fato de que já em 1962, seu trabalho de doutorado teria tratado de assunto similar [38,41], a
principal contribuição da Teoria pq relaciona-se com o desenvolvimento de uma técnica de
compensação ativa de distúrbios sem a necessidade de armazenadores de energia.
Observando a existência desta parcela de potência que é trocada a todo instante entre as
fases do sistema e que, se calculada a contribuição desta potência em cada fase, sua soma
instantânea resulta nula, foi possível então o desenvolvimento de um conjunto de equações que
permite encontrar correntes de referência para o controle dos filtros ativos, os quais utilizavam a
energia de uma dada fase para compensar os distúrbios das outras e assim sucessivamente, sem a
necessidade de elementos passivos (indutores ou capacitores) para armazenarem energia.
Assim as correntes ortogonais iα e iβ são decompostas em parcelas “ativas” ( iα p e iβ p ) e
“reativas” ( iα q e iβ q ) através da matriz inversa de transformação:
(vα2 + vβ2 ) 0
0   p0 
i0 

 

1
 
v0 .vα − v0 .vβ  .  pαβ 
iα  = v .(v 2 + v 2 ) 0
0
α
β 
iβ 
v0 .vβ v0 .vα   qαβ 
 
0
(193)
o que ainda pode ser expandido em:
i0 =
1
1
1
. p0 =
.(ia + ib + ic ) =
.ineutro
v0
3
3
iα p =
vα
. pαβ
(vα + vβ2 )
2
iα q = −
iβ p =
iβ q =
vβ
2
(vα + vβ2 )
vβ
.qαβ
(194)
(195)
(196)
. pαβ
(197)
vα
.qαβ
(vα + vβ2 )
(198)
(vα2 + vβ2 )
2
40
o que deixa claro que a corrente de seqüência zero faz parte de um circuito independente e
contribui somente para o fluxo de potência fonte-carga, mesmo que sempre acompanhada de
oscilações. No entanto, segundo esta abordagem, as correntes αβ são constituídas por parcelas
ativas e reativas, sendo esta última relacionada com a potência imaginária.
Usando as expressões das correntes iα e iβ decompostas para retornar ao cálculo das
componentes de potência, tem-se que:
pαβ = vα .iα p + vα .iα q + vβ .iβ p + vβ .iβ q = pα p + pα q + pβ p + pβ q .
(199)
A soma das potências instantâneas pα p , pβ p e p0 coincide com a potência trifásica de
um sistema a quatro fios, ou seja:
pα p + pβ p + p0 = p3φ
(200)
por isso receberam a denominação de componentes de potência ativa instantânea.
Por outro lado, a soma das potências instantâneas pα q e pβ q resulta nula a todo instante
como segue:
pα q + pβ q = 0
(201)
por isso foram denominadas como componentes de potência reativa instantânea, e estão
relacionadas ao conceito de potência imaginária, já que estas parcelas de potência circulam entre
as fases do sistema elétrico, sem contribuir para o fluxo real.
O fato das potências reativas instantâneas se anularem quando somadas entre si, levou os
autores a concluírem que se um compensador eletrônico (ativo) criasse a interação entre as fases,
estaria eliminando (confinando para o lado da carga e impedindo assim sua circulação pelo
sistema de fornecimento de energia) estas parcelas de potência que são indesejadas ao sistema
elétrico, uma vez que só contribuem para o acréscimo de perdas. Considerando as correntes
reativas instantâneas como as referências para os compensadores, automaticamente a potência
imaginária seria eliminada, reduzindo as perdas do sistema e elevando o fator de potência.
Destaca-se que pela transformação inversa de (196), pode-se calcular o valor instantâneo das
correntes reativas nas coordenadas originais a,b,c.
Seguindo a abordagem proposta [12], as potências poderiam ser decompostas ainda como:
pαβ = pαβ + p% αβ
qαβ = qαβ + q%αβ
(202)
onde o sinal barrado representa as componentes médias (CC) de pαβ e qαβ , as quais se
originariam, respectivamente, da corrente ativa fundamental e da corrente reativa fundamental. O
sinal oscilatório representa os componentes CA das potências, os quais seriam originados de
componentes harmônicas e componentes assimétricas (seqüência negativa). Assim, utilizando
expressões similares as equações de (202)-(206), seria possível calcular as correntes
“instantâneas” relacionadas com cada parcela de potência média ou oscilatória. Tais correntes
poderiam ser utilizadas nos algoritmos de controle para que a potência resultante após a conexão
de um compensador fosse apenas p .
Neste ponto, algumas considerações devem ser feitas:
•
se as tensões do sistemas não forem perfeitamente senoidais, as potências médias p e q
não são provenientes apenas das correntes fundamentais ativa e reativa, mas sim de uma
composição harmônica que depende da forma de onda da tensão e do tipo de carga
envolvida. Neste caso, a compensação de p% αβ e q não significa que a corrente que circula
pelo sistema compensado seja senoidal;
41
•
uma vez que as parcelas médias e oscilatórias são separadas por meio de filtros passabaixas, os quais normalmente possuem uma dinâmica lenta, as correntes derivadas desta
decomposição não deveriam ser relacionadas com o termo “instantâneo”, como será
discutido novamente mais adiante.
Discussão:
A Teoria pq pode ser bastante eficiente para o projeto de compensadores eletrônicos, no
entanto, existem limitações e desvantagens desta proposta quando formalizada como uma “teoria
de potência”, a qual deveria ser geral o suficiente para ser aplicada nas mais diversas áreas da
engenharia elétrica. Alguns pontos podem ser destacados:
•
a necessidade da transformação de coordenadas por si, já é uma desvantagem do ponto de
vista da teoria de potência, uma vez que não permite a associação direta dos fenômenos
físicos, com suas respectivas contribuições nas grandezas elétricas de tensão, corrente e
potência em seu sistema de coordenadas original (a,b,c);
•
do ponto de vista de instrumentação para monitoração de distúrbios na qualidade de
energia, esta teoria não permite separar e identificar a origem da deterioração quando
vários fatores estão presentes simultaneamente;
•
não é possível sua aplicação em sistemas monofásicos;
•
a compensação baseada na eliminação das correntes reativas instantâneas não é geral a
ponto de minimizar as perdas de energia no sistema, ou seja, esta técnica só funciona
perfeitamente se as tensões de alimentação forem simétricas e senoidais;
•
no caso das tensões de alimentação não seguirem a condição anterior, é necessária a
escolha de uma técnica de controle para o dispositivo de compensação que possibilite
atingir os objetivos desejados, sejam eles: eliminar a potência imaginária, eliminar a
contribuição de harmônicos, manter a potência ativa constante no ponto de acoplamento
comum (PAC), manter as correntes do PAC senoidais e equilibrada, eliminar a corrente
de seqüência zero, dentre outras. Ressaltando que a escolha de um dos objetivos de
controle acima para a filtragem ativa, não significa que os outros estarão sendo
satisfeitos, ou seja, o controle do dispositivo pode estar garantindo um objetivo e
prejudicando outro [44];
•
mesmo que se faça uma escolha correta no momento de projetar o controle de um
compensador, fica quase impossível ter visão e controle “seletivo” dos distúrbios
envolvidos, já que foram agrupados nas parcelas αβ ;
•
não prevê a separação das contribuições dos sinais fundamentais daqueles com distorções
harmônicas.
O trabalho desenvolvido por Akagi et al. foi uma das maiores contribuições dos últimos
anos, no campo de compensação de distúrbios, mas não pode ser tratada como uma teoria de
potências simples e geral a ponto de ser incorporada, por exemplo, aos conceitos básicos no
ensino de engenharia elétrica ou mesmo para aplicações como monitoração ou tarifação de
energia. O espaço dado ao seu estudo neste capítulo, baseia-se no fato de que sua ampla
divulgação e utilização em sistemas de condicionamento de energia podem criar a imagem de
que sua generalização para outras áreas da engenharia elétrica se daria de forma simples e direta,
o que não é verdade.
42
6.2.3.4
Definições propostas por Tenti e Mattavelli (2004)2
Uma proposta mais recente, denominada Teoria de Potência Conservativa (Conservative
Power Theory, CPT) foi mais recentemente proposta por Tenti et al. [50]. Baseia-se numa
definição de potência instantânea complexa sob condições não-senoidais e representa uma
extensão da potência complexa usua, definida para condições senoidais. Embora inicialmente
apresentada para circuitos monofásicos, esta teoria facilmente se estende para sistemas
polifásicos [51].
Os autores introduziram as, assim chamadas, homo-variáveis (integral e derivada), as quais
podem ser definidas para sinais periódicos e são homogêneas à corrente, à tensão e à potência.
Como tanto a homo-tensão quanto a homo-corrente obedecem às leis de Kirchhoff, as
conseqüentes homo-potências obedecem ao principio da conservação de energia em qualquer
circuito. Isso permite introduzir o conceito de conservação da potência complexa sob situações
não-senoidais. Adicionalmente, a decomposição da corrente proposta, na qual cada termo é
relacionado a algum fenômeno físico (potência absorvida, potência armazenada, distorção de
corrente ou de tensão). Além disso, outros artigos apresentaram o uso desta metodologia na
aplicação de compensação de harmônicos e reativos por meio de filtros ativos e outros
compensadores [52,53].
Assumindo um sistema multidimensional, as seguintes definições fazem uso dos mesmos
símbolos aplicados no método FBD. O índice “µ ” designa as variáveis de cada m-fase. Em
relação ao referencial de tensão, os autores sugerem utilizar o condutor de retorno, caso exista, e
o ponto virtual, caso contrário [51]. Assim, as homo-integrais de tensão e corrente são definidas
como:
(203)
Onde
,
, são as integrais no tempo da tensão,
e
correntes, , enquanto
,
são os valores médios de cada
e
, em um período T (isso é
feito para eliminar o valor médio proveniente da integração de um valor inicial diferente de
zero).
Note que e são dimensionalmente homogêneos à tensão e à corrente, respectivamente.
Isso significa que a operação de integração não influencia a amplitude dos sinais resultants, uma
vez que são multiplicados pela frequência angular.
De forma análoga, a tensão e a corrente em homo-derivadas são:
(204)
Assim como e , as variáveis e também são dimensionalmente homogêneas às
tensões e correntes originais, respectivamente. Neste caso as derivadas são multiplicadas pelo
inverso da frequência angular.
Considerando quantidades periódicas com período T e frequência angular fundamental
, é bem conhecido que o produto interno dos vetores de tensão e de corrente é definido
como:
(205)
2
O texto original, bem como as figuras, foram obtidos, com autorização do autor, nas referências [54, 55].
43
Da mesma forma, as normas de tensão e corrente são:
(206)
o que resulta em valores eficazes coletivos iguais ao do método FBD (
monofásicos, ou considerando cada fase de um sistema m-dimensional:
). Para circuitos
(207)
As homo-variáveis apresentam as seguintes propriedades:
(208)
Ainda mais, se
e forem quantidades senoidais com valores eficazes respectivamente
iguais a e e defasagem ϕ, as seguintes propriedades são válidas:
(209)
que exatamente corresponde às definições tradicionais de potência ativa e reativa em circuitos
monofásicos.
Para comportamento periódico, as seguintes quantidades foram definidas, as quais são válidas
para formas de onda senoidais ou distorcidas, em condições balanceadas ou não:
Potência ativa: que representa a potência média entregue à carga. Tal defnição é idêntica às
definições tradicionais (Steinmetz, Budeanu, Fryze, Buchholz).
(210)
Potência reativa: que está associada à energia media acumulada em uma rede e foi definida
como:
(211)
O significado físico destes termos de potência são largamente discutidos em [50].
A corrente pode ser decomposta em algumas parcelas, de acordo com sua associação com
os termos de potência. A corrente ativa é a mínima corrente (isto é, com norma mínima) que é
capaz de fornecer a potência ativa P à carga e é definida como:
(212)
44
A corrente reativa é a mínima corrente que transfere a potência reativa
relacionada com a energia média que circula pelo circuito:
, e está
(213)
Ambas correntes têm um significado físico claro. Estão associadas com a presença de
potência ativa e reativa e permitem estabelecer valores médios para a condutância , e
susceptância da carga.
A corrente residual (void current) não se relaciona nem a nem a :
(214)
De acordo com os autores [50], a corrente residual pode existir apenas na presence de
distorção na corrente, no entanto, como mostrado em [54, 55] ela também é influenciada por
desbalanços.
Por definição, todos os termos de corrente são ortogonais.
(215)
6.2.4 Algumas comparações entre as teorias no domínio do tempo
A análise que se segue considera apenas circuitos a três fios [54], embora resultados
semelhantes sejam obtidos também para quatro fios [55]. O principal objetivo é o de comparar os
diferentes termos das decomposições de corrente de cada método. Três casos foram simulados
(PSIM).
6.2.4.1
Caso I: Sistema com carga resistiva desbalanceada – alimentador com baixa
impedância
A figura 26 mostra o circuito considerado, enquanto na tabela I têm-se os parâmetros. A
figura 27 mostra as tensões e correntes calculadas no PAC.
TABELA I – TENSÕES E IMPEDÂNCIAS PARA O CASO I.
Fonte
Linha
Carga (Y)
Va = 127∠0º Vrms
RLa = 1mΩ LLa= 10 µH
Ra = 9,3405Ω
Vb = 127∠-120º
RLb = 1mΩ LLb=10µH
Rb = 6,2270Ω
Vrms
Vc = 127∠120º Vrms
RLc = 1mΩ LLc=10µH
Rc =3,1135Ω
SOURCE
LINE
va
PCC
LOAD
RLa L La
Ra
ia
vb
RLb LLb
Rb
ib
vc
RLc LLc
Rc
ic
va* vb* vc*
*
Virtual start point
Figura 26: Circuito para o caso I – carga resistiva desbalanceada.
45
200
150
a
b
c
100
]
A
[
i
]
V
[
v
50
a
c
b
0
-50
-100
-150
-200
1.97
1.975
1.98
1.985
Time [s]
1.99
1.995
2
Figura 27: Tensões e correntes no PAC para o caso I.
Note que tensões e correntes das respectivas fazes não estão exatamente em fase, uma vez
que as tensões são medidas em relação ao ponto virtual, o que, na prática, representa que as
tensões estão referenciadas ao ponto neutro das fontes, ao invés do pnto neutro das cargas. Além
disso, as tensões resultam balanceadas uma vez que este procedimento de medição elimina a
componente homopolar (sequência zero) das tensões da carga.
A figura 28 mostra a decomposição da corrente pelos métodos FBD (a), teoria pq (b) e
CPT (c). Neste caso, a corrente ativa baseada na teoria FBD e na CPT são exatamente as
mesmas, pois ambas são baseadas nas definições de Fryze. Adicionalmente, elas coincidem com
a parte media da corrente ativa definida por Akagi (
) e estão em fase com as respectivas
tensões, uma vez que tem-se uma situação de tensões senoidais e balanceadas
(
).
Há, no entanto, outros resultados que divergem de uma análise para outra. Por exemplo, as
components
e
resultam distorcidas, mesmo sem que haja qualquer distorção nas
tensões, nem mesmo cargas não-lineares. Isso poderia indicar que tais componentes da corrente
não são uma boa representação dos fenômenos de potência, em tais condições. Também a parte
) é distorcida, o que significa que a corrente ativa
oscilatória da corrente ativa de Akagi (
total não é senoidal. Mesmo para uma carga puramente resistiva, a decomposição indica a
existência de corrente reativa!
Finalmente, a figura 28-c mostra a decomposição da corrente baseada na CPT. Note que as
correntes reativas resultam nulas (
), indicando a ausência de elementos armazenadores
de energia. As componentes residuais de corrente são senoidais (
) e representam o
desbalanceamento da carga.
A figura 29 mostra os espectros das correntes nas diferentes decomposições, permitindo
estabelecer as seguintes relações:
(216)
Czarnecki [33] demonstrou que as componentes ativa e reativa totais da teoria pq apresentam
um conteúdo de terceira harmônica originado pela decomposição em si. Das figuras 28 e 29
pode-se verificar que tais harmônicas estão presentes nas componentes oscilatórias (
) e
(
). Em [54] mostra-se que um comportamento análogo ocorre com a FBD.
Em termos de interpretação física dos fenômenos, estes resultados sugerem que a CPT é
mais apropriada e consistente, tomando como base as definições tradicionais para sinais
senoidais. O desbalanço da carga aparece refletido na componente residual de corrente. Note
).
que tais correntes são de sequência negativa (
46
50
25
]
0
A
[ -25
i
-50
a
1.97
50
25
50
25
c
b
1.98
a
b
1.99
c
]
A
[
]
0
A
[
a -25
i
-50
1.97
1.98
20
10
1.99
c
b
2
a
1.97
1.98
20
10
a c
]
0
A
[
v -10
i
-20
1.97
1.99
2
1.97
50
25
1.97
20
10
0
~
p -10
i
-20
1.97
c
1.99
c
-50
2
1.98
a
b
1.99
2
c
1.98
1.97
1.98
1.99
2
1.97
1.98
1.99
2
20
10
b
]
0
A
[
r -10
i
1.99
c
b
-20
2
20
10
a
a
c
b
]
0
A
[
v -10
i
-20
2
1.97
50
25
1.98
a
]
0
A
[
q -10
i
1.98
1.99
Tim e [s]
-50
2
]
0
A
[
a -25
i
20
10
b
b
1.99
c
b
a
]
0
A
[ -25
i
1.98
a
0
p- -25
i
-50
]
A
[
]
0
A
[
z -10
i
-20
-50
2
50
25
c
b
a
]
0
A[
i -25
1.97
a) FBD-decomposição
1.98
1.99
Tim e [s]
-20
2
1.97
b) pq-decomposição
1.98
1.99
Tim e [s]
2
c) CPT-decomposição
Figura 28: Decomposições da corrente para o Caso I.
10
10
8
]
A
[
z
i
8
6
]
A
[
~p
i
4
2
0
0
6
4
2
0
0
60
60
120
120
180
F [Hz] 240
300
10
360
8
]
A
[
v
i
180
240
F [Hz]
abc
10
300
360
abc
8
6
]
A
[
q
i
4
2
6
4
2
0
0
0
0
60
60
120
120
180
F [Hz] 240
180
F [Hz] 240
300
300
360
abc
360
abc
Figura 29: Espectro de alguns componentes de corrente nas decomposições FBD e pq Caso I.
6.2.4.2
Caso II – Cargas não-lineares – baixa impedância do alimentador
Para o mesmo alimentador, a figura 30 mostra o circuito para o caso II, e a Tabela II
47
apresenta detalhes das cargas..
TABELA II – CARGAS PARA O CASO II.
RL Retificador
RC Retificador
RL
LCC = 8mH RCC = 5Ω CCC = 8mΩ RCC = 4Ω Lac = 8mH Rac = 5Ω
Novamente, os resultados das teorias FBD e pq são equivalentes (Fig. 31):
(217)
LOAD
SOURCE
va
Lcc
PCC
LINE
RLa L La
R cc
ia
vb
RLb LLb
Ls
ib
C cc
vc
R cc
RLc L Lc
ic
va* vb* vc*
R ca
Lca
*
Virtual start point
Figure 30: Circuito para o Caso II – carga não-linear desbalanceada.
As componentes ativas estão em fase e com a mesma forma de onda das tensões no PAC.
As demais componentes da decomposição FBD são distorcidas e desbalanceadas (Fig. 31-a). O
mesmo ocorre com as componentes oscilatória da potência ativa e a componente reativa da teoria
pq (Fig. 31-b).
100
50
]
A
[
i
]
A
[
ia
]
A
[
iz
]
A
[
iv
a
100
50
c
b
]
0
A
[ -50
i
0
-50
-100
80
40
1.97
a
1.98
b
1.99
1.97
80
40
c
]
A
[
1.98
a
b
1.99
2
1.97
80
40
]
A
[
1.99
2
1.97
1.98
1.99
Tim e [s]
a
1.97
0
~ -40
p
i
-80
-80
2
c
]
0
A
[
a -40
i
1.98
1.99
2
1.98
a
b
1.99
-80
2
a
b
1.97
-80
1.97
b
2
1.97
2
1.99
2
1.99
2
c
1.98
c b
]
0
A
[
v -40
i
1.99
c
1.98
a
80
40
c
1.98
1.99
Tim e [s]
1.98
]
0
A
[
r -40
i
-80
1.97
1.97
80
40
c ba
1.97
-100
80
40
80
40
]
0
A
[
q -40
i
2
1.99
c
b
a
]
0
A
[
i -50
1.98
b
100
50
c
b
1.97
80
40
c ba
0
-40
-80
1.98
80
40
0
p- -40
i
-80
c
0
-40
-80
-100
2
0
-40
-80
a
a
1.98
1.99
Tim e [s]
2
b)pq-decomposição
Figura 31: Decomposições de corrente para o caso II.
Para a CPT a decomposição também identifica a componente ativa da corrente (
,
48
relacionada com o consumo de potência ativa, a corrente reativa (
), relacionada a
capacitores e indutores presentes no circuito (equivalente à susceptância média) e a corrente
residual, relacionada ao desbalanceamento e não-linearidades (
). Note que (
)e(
)
são balanceadas e praticamente senoidais (Fig. 31-c), pois as impedâncias do alimentador são
pequenas e, consequentemente, as tensões no PAC são praticamente senoidais.
(218)
6.2.4.3
Case III – Cargas não-lineares – alta impedância do alimentador
Considerando o mesmo circuito da figura 30, mas alterando a impedância do alimentador
para RL = 10mΩ and LL= 2mH, que representa um baixo nível de curto-circuito, a figura 32
mostra as tensões e correntes no PAC. Note que as tensões estão desbalanceadas e distorcidas,
devido à queda de tensão ao longo do alimentador.
200
a
100
]
A
[
i
0
]
V[
v -100
-200
a
1.97
b c
b
c
1.98
1.99
Tim e [s]
2
Figura 32: Tensão e corrente no PAC para o caso III.
Das figuras 33 e 34 pode-se obter as seguintes relações:
(219)
Observe que a parte média da corrente ativa de Akagi (
) difere das correntes ativas
da teoria FBD e da CPT. Isso se deve ao fato de que em caso de tensões não-senoidais ou
desbalanceadas o denominador de (195) e (197) não é constante.
Outra observação e que as correntes reativas da teoria CPT são levemente distorcidas
(veja figura 34), o que está condizente com a situação de distorção na tensão junto à carga. No
caso II isso também ocorre, mas como a distorção é muito pequena, passa desapercebida.
49
100
50
]
A
[
i
]
A
[
ia
]
A
[
iz
]
A
[
iv
a
0
-50
-100
80
40
b
1.97
a
100
50
c
1.98
1.99
]
A
[
0
-40
-80
1.97
80
40
1.98
a
1.99
2
b c
1.97
1.98
80
40
1.97
1.98
1.99
Tim e [s]
b
1.97
1.98
-100
2
80
40
1.99
c
1.97
1.98
a
]
0
A
[
q -40
i
-80
1.99
c
b
1.97
1.98
a
c
b
1.99
2
1.99
2
1.99
2
]
0
A
[
a -40
i
80
40
2
a
]
0
A
[ -50
i
c
80
40
0
~ -40
p
-80
2
c b a
0
-40
-80
1.99
1.98
a
100
50
c
b
1.97
80
40
0
p- -40
i
-80
]
A
[
0
-40
-80
-100
2
c
b
a
]
0
A
[ -50
i
1.97
1.99
1.97
80
40
ba
-80
1.98
b
a
]
0
A
[
r -40
i
2
1.97
1.98
80
40
b c
c
b
]
0
A
[
v -40
i
1.98
1.99
Time [s]
-80
2
-80
2
1.97
a
c
1.98
1.99
Tim e [s]
2
Figura 33: Decomposições das correntes para o caso III.
]
A
[a
i
60
60
30
50
50
25
40
40
]
A
[
-p
i
30
20
20
10
10
0
0
0
0
60
120
180
240
300
360
420
480
540
F [Hz]
600
ab
20
]
A
[ r
i
30
c
15
10
5
0
0
60
120
180
240
300
360
420
480
540
F [Hz]
600
ab
c
60
120
180
240
300
F [Hz] 360
420
480
540
600
c
a b
5
35
30
4
25
]
A
[z
i
20
]
A
[
~p
i
15
10
3
2
1
5
0
0
0
0
60
120
180
240
300
360
420
480
540
F [Hz]
600
abc
]
A
[v
i
30
6
25
]
A
[
q
i
4
3
ab c
15
10
5
1
0
0
60
120
180
240
300
360
420
480
540
F [Hz]
600
60
120
180
240
300
360
420
480
540
F [Hz]
600
20
2
0
0
ab c
35
7
5
60
120
180
240
300
360
420
480
540
F [Hz]
600
abc
Figura 34: Espectro de algumas components de corrente - Caso III
50
6.3 ANÁLISE SELETIVA DE COMPONENTES DE POTÊNCIA ELÉTRICA
Com base no exposto até aqui e nas discussões e contribuições apresentadas em
[11,36,45,46], pode-se afirmar que dentre as diversas propostas apresentadas nos últimos anos,
as mais importantes começam a dar sinais de convergência para a definição de uma abordagem
unificada ou generalizada [17,30,34,39,47].
Desta forma, considerando essencialmente a abordagem da STD 1459-2000 e as
considerações da FBD e CPT, esta seção apresenta uma metodologia para implementação no
domínio do tempo capaz de tratar o caso geral (assimetrias e distorções) por meio da
decomposição seletiva dos efeitos provocados por cada distúrbio, possibilitando assim, a
identificação, a medição e a compensação seletiva dos mesmos. Tal metodologia foi proposta em
[11].
Considerando-se que uma teoria generalizada deveria ser aplicável às mais diversas áreas
da engenharia elétrica (projetos, compensação, instrumentação, tarifação, etc), a proposta
seletiva para identificação das diversas componentes da tensão, corrente e potência foi baseada
nas condições ideais de fornecimento e consumo de energia CA para um circuito elétrico, sejam
elas:
• Tensões e correntes senoidais;
•
Tensões com amplitudes nominais constantes;
•
Tensões equilibradas e simétricas;
•
Freqüência constante;
•
Fator de potência unitário nas cargas.
Tal metodologia permite o cálculo das parcelas associadas com tais condições ideais, bem
como o cálculo das parcelas responsáveis pela deterioração da qualidade da energia, ou seja,
aquelas relacionadas com o afastamento dos sinais elétricos destas condições ideais.
A identificação de tais parcelas de forma seletiva pode permitir o projeto de
compensadores seletivos de distúrbios [11,44,48], bem como a definição de grandezas e
indicadores para sistemas de medição, tarifação ou para fins de normalização [9,46].
6.3.1 Decomposições Ordenadas
Assumindo um sistema polifásico genérico, no qual as tensões de alimentação podem não
ser senoidais e simétricas e as cargas podem ser quaisquer (lineares ou não), a Figura 35 ilustra
como, através da aplicação seqüencial de três decomposições de sinais, é possível identificar o
sub-sistema que corresponderia às condições ideais de operação.
Assim, a primeira decomposição busca extrair dos sinais de tensão e corrente, as ondas
senoidais fundamentais, as quais ainda podem conter assimetrias; a segunda decomposição busca
identificar as componentes senoidais correspondentes à chamada seqüência positiva; e a terceira
decomposição é responsável por identificar a parcela de corrente proporcional à tensão senoidal
equilibrada, a qual é equivalente ao consumo de uma carga resistiva equilibrada, com
alimentação senoidal.
51
Sistema não-senoidal
e desequilibrado
1
Sistema senoidal
e desequilibrado
2
Sistema senoidal
e equilibrado
3
Correntes
ativas
Figura 35 – Processo de decomposição em subsistemas.
6.3.1.1
Identificação da fundamental – Decomposição I
Uma das condições ideais na geração, transmissão, distribuição e consumo de energia é
que as tensões e correntes sejam senoidais, dada a estrutura eletromagnética baseada nas leis de
Faraday, segundo as quais os sistemas elétricos de potência em CA foram propostos. Esta
condição é de extrema importância para minimização de perdas, além de garantir o
funcionamento adequado de equipamentos sensíveis a distorções na forma de onda dos sinais de
tensão e corrente.
Esta condição vem sendo desrespeitada pelo crescente número de cargas variáveis e nãolineares de pequeno porte (eletrodomésticos, computadores, retificadores, etc.), médio porte
(compressores e máquinas de solda industriais, no-breaks, conversores de freqüência, etc.) e
grande porte (conversores de alta potência, fornos de arco e de indução, etc.).
Com isso, os sinais de tensão e corrente passaram a apresentar um conteúdo harmônico e
inter-harmônico bastante variado, sobretudo a corrente elétrica. Daí a necessidade de separar a
contribuição da componente fundamental, das distorções responsáveis pela deterioração da
qualidade da energia elétrica [34].
No entanto, ao contrário da análise de Fourier, que pressupõe periodicidade para todos os
componentes de uma série harmônica, esta decomposição considera apenas as ondas
fundamentais como periódicas, o que é uma imposição do próprio sistema elétrico que deve
operar com freqüência nominal fixa.
Assim, a idéia é decompor os vetores multi-dimensionais de tensões e correntes
instantâneas ( v e i ) em parcelas denominadas fundamentais (v1 e i1), as quais são senoidais, e
parcelas denominadas residuais (vres e ires), as quais representam o conteúdo harmônico, interharmônico e sub-harmônico dos sinais, ou seja:
va1  vares 
ia1  iares 




v = v1 + vres = vb1  + vbres  ,
i = i1 + ires = ib1  + ibres 
(220)
vc1  vcres 
ic1  icres 
Tal separação é tipicamente baseada em uma decomposição no domínio da freqüência. No
entanto, sugere-se inicialmente a sua realização no domínio do tempo. Por outro lado, vale
destacar que o termo “instantâneo” deve ser evitado, já que a dinâmica temporal desta
decomposição está estritamente relacionada com a técnica de implementação (digital) adotada
para sua realização, ou seja, com o algoritmo utilizado.
A utilização do termo “residual” (res) não é apenas para criar uma “nova” nomenclatura,
mas sim para diferenciar do índice “h” utilizado freqüentemente para representar as componentes
harmônicas do domínio da freqüência. Notar que neste caso não é necessária uma análise em
52
freqüência (FFT), basta calcular a componente fundamental e pela diferença com a entrada (vide
Figura 35), obtém-se o termo residual responsável por harmônicos e “inter-harmônicos” com
bastante precisão. A Figura 36 indica uma forma alternativa para obtenção das parcelas residuais
e fundamentais (algoritmo dual).
Desta forma, se o objetivo for quantificar as distorções de forma de onda presentes nos
sinais de tensão e corrente, seja para avaliação, compensação ou tarifação, vres e ires seriam as
variáveis que devem ser monitoradas ou eliminadas. É claro que neste caso não é possível saber
quais e quanto de cada harmônico ou inter-harmônico está presente no sinal, visto que para isto
seria necessária uma varredura completa no domínio da freqüência.
Do ponto de vista de compensação, a eliminação destas duas parcelas residuais significa a
compensação de toda distorção nas formas de onda dos sinais, o que pode ser atingido usando
tais parcelas como erro para o projeto do compensador escolhido.
X
Identificação
da
Fundamental
X1
Xres
-
+
Figura 35 – Separação em fundamental e resíduo.
X
Eliminação
da
Fundamental
Xres
X1
-
+
Figura 36 – Separação em fundamental e resíduo (algoritmo dual).
6.3.1.2
Identificação da seqüência positiva – Decomposição II
A obtenção dos componentes fundamentais através da Decomposição I não elimina as
assimetrias nos sinais de tensão ou corrente, quando existentes. Portanto, os sinais senoidais
obtidos após a primeira decomposição podem conter desequilíbrios, sejam por problemas com as
tensões de alimentação do sistema ou por desbalanços nas cargas.
Sempre com o intuito de identificar os sinais ideais para a operação do sistema elétrico, a
segunda decomposição permite encontrar as tensões e correntes fundamentais balanceadas, ou
seja, as componentes de seqüência positiva dos sinais fundamentais.
Em [1], foi definido um método para o cálculo destas componentes baseado numa análise
fasorial (vetores complexos), no qual a seqüência positiva é obtida através da soma média dos
valores eficazes dos sinais elétricos, deslocados de um operador defasador unitário que depende
do número de fases do sistema elétrico em análise. Para um sistema trifásico, por exemplo, a
seqüência positiva da tensão referida à fase “a”, é calculada por:
2π
4π
. +
.
.
j
j
1 .
3
V a = (V a + V b e + V c e 3 ) .
(221)
3
Em [11], foi proposto o cálculo de tais componentes no domínio do tempo. Assim,
assumindo um sistema trifásico qualquer, os vetores tri-dimensionais que representam as
componentes temporais de seqüência positiva da tensão e da corrente fundamental, serão:
 v + a1 


v1+ =  v + b1 
v+ 
 c1 
i + a1 
 
i1+ = i + b1 
i + 
 c1 
(222)
53
Destaca-se o termo “fundamental”, uma vez que todo este processo poderia, se necessário,
ser aplicado a cada freqüência harmônica, ou seja, poderiam ser calculadas as componentes de
seqüência para qualquer freqüência harmônica [1].
Neste ponto já se pode, por exemplo, definir um vetor auxiliar de tensões como:
vd = v − v1+
(223)
o qual pode ser denominado de tensão de distúrbio, e representa todas as distorções e assimetrias
presentes no sinal de tensão. A eliminação desta parcela de tensão faz com que a tensão em um
determinado PAC respeite as condições ditas ideais de fornecimento e pode ser efetuada, por
exemplo, através de Restauradores Dinâmicos de Tensão (DVR) ou Filtros Ativos Série.
Tomando as componentes fundamentais da tensão e da corrente, poder-se-ia estimar os
vetores das componentes de desequilíbrio ou assimetria (u do inglês, unbalanced) como:
vu1 = v1 − v1+
(224)
iu1 = i1 − i1+
(225)
os quais poderiam ser usados tanto para medir e monitorar o valor das assimetrias, quanto para
controlá-las isoladamente de outros distúrbios (seletividade). Diversos trabalhos têm ressaltado a
importância do efeito destas assimetrias no sistema elétrico, que muitas vezes podem ser mais
prejudiciais do que as distorções de forma de onda [49]. O diagrama da Figura 37 ilustra o
procedimento sugerido.
X
Xd
+ X1
Sequência
Positiva
Xu1
X1+
-
+
Figura 37 – Identificação das componentes fundamental de seqüência positiva, desbalanço
e distúrbio.
6.3.1.3
Identificação da corrente ativa – Decomposição III
A terceira decomposição é baseada no método dos Multiplicadores de Lagrange, o qual
vem sendo utilizado na identificação da corrente proporcional à tensão [4,11,15-17,36,40].
Considerando os vetores temporais de tensão e corrente (v e i), pode-se encontrar a menor
projeção da corrente (i) sobre a tensão (v), através do cálculo do Multiplicador de Lagrange (λ):
λ=
i ⋅v
p
=
= ge ,
v ⋅v v ⋅v
(226)
onde o numerador e o denominador correspondem respectivamente, à potência e à norma
quadrática do vetor de tensões, sendo a norma de um vetor definido por:
v = v ⋅v .
(227)
Observando a equação (226) pode-se concluir que o Multiplicador de Lagrange representa
um fator de proporcionalidade tal como uma condutância equivalente do sistema (λ=ge). Logo, a
corrente calculada através da expressão a seguir pode ser associada à parcela resistiva da
corrente (i):
54
i ' = ir = g e .v .
(228)
Vale destacar que as expressões anteriores podem ser calculadas de forma quaseinstantânea, considerando-se sistemas discretos com elevadas taxas de amostragem ou através de
valores médios por período (ou períodos).
Considerações sobre o valor de ge:
É interessante observar que no caso do valor de ge ser variável no tempo, as correntes
resultantes da minimização não terão a mesma forma de onda das tensões. Tal condição pode
ocorrer em vários casos práticos, sendo os principais:
•
sistemas com cargas não-lineares;
•
cargas desbalanceadas, com tensões de alimentação equilibradas;
•
cargas desbalanceadas, com tensões de alimentação desequilibradas.
Nestes casos, a potência instantânea (p) deve variar de forma não-proporcional à norma
2
quadrática das tensões ( v ⋅ v ) e, conseqüentemente, o valor de ge não é uma constante e,
portanto, não representa um conjunto de cargas lineares e equilibradas. Este é um dos principais
motivos para identificação da condutância equivalente média (Ga) e sua respectiva parcela de
corrente (ia). Para isto, basta efetuar as expressões (217) e (218) utilizando os valores médios por
período da fundamental (T), ou seja:
T
Ga =
1
i ⋅v
T ∫0
T
1
v ⋅v
T ∫0
T
=
1
ia .va + ib .vb + ic .vc
T ∫0
T
1
va .va + vb .vb + vc .vc
T ∫0
=
P
V
2
(229)
a qual representa um conjunto de resistências lineares e equilibradas. Assim:
iaa 
 
ia = Ga .v = iba 
 
ica 
(230)
coincide com a corrente ativa definida por Fryze [4], expandida por Depenbrock para o caso
polifásico e também usada na CPT. A forma de onda é exatamente proporcional à da tensão. Tal
corrente representa a mínima corrente necessária para representar a potência ativa média (P) em
uma dada instalação.
Uma vez que ia depende do valor médio da potência instantânea e do valor eficaz
quadrático das tensões, sugere-se desvincular esta componente do termo instantâneo,
denominando-a apenas de corrente ativa [4,30]. Vale lembrar que ia não precisa ser senoidal,
apenas periódica. Como conseqüência, pode conter contribuições tanto da componente
fundamental, quanto de eventuais harmônicos presentes na tensão.
O equacionamento anterior sugere, portanto, que a corrente resistiva instantânea (ir) é
composta por:
i r = i a + iv
(231)
55
onde iv representa a corrente responsável pelas variações da potência instantânea p em torno do
valor médio P e pode ser calculada pela expressão anterior ou como a seguir:
iv = ( g e − Ga ).v .
(232)
Existem apenas dois casos em que a condutância equivalente instantânea (ge) será
constante, são eles:
•
Circuitos polifásicos resistivos, lineares e equilibrados ( ga = gb = gc ), no qual as tensões
de alimentação podem ser quaisquer (inclusive assimétricas e não-senoidais);
•
Circuitos polifásicos reativos, lineares e equilibrados, no qual as tensões de alimentação
são puramente senoidais e equilibradas. Esse é um caso particular de interesse em
sistemas de energia, onde cada ramo do circuito pode ser representado por uma
condutância e uma susceptância em série ou paralelo, formando um circuito balanceado.
Nos sistemas elétricos atuais, tanto um caso como outro são bastante específicos e difíceis
de ocorrer. Entretanto, o segundo caso representa o subsistema formado após as Decomposições
I e II, ou seja, um subsistema de tensões ( v1+ ) e correntes ( i1+ ) senoidais e equilibradas, mas
podendo estar defasadas entre si, devido ao comportamento não-resistivo das cargas. Daí o
interesse e a necessidade das duas decomposições anteriores.
6.3.1.4
Condições ideais e associação das decomposições
Resgatando a discussão sobre as condições ideais de operação e, considerando-se que para
a máxima transferência de energia em um sistema elétrico, seria interessante que as tensões e
correntes fundamentais de seqüência positiva estivessem em fase (como em uma carga resistiva
equilibrada), a terceira decomposição é então aplicada tomando como referência o vetor de
tensão v1+ . Tal vetor representa as condições ideais de alimentação das cargas CA.
Considerando que o produto escalar a seguir, define a potência polifásica devida aos
componentes de seqüência positiva fundamental:
p1+ = v1+ .i1+
(233)
a projeção do vetor i1+ sobre o vetor v1+ é calculada pelo método do Multiplicador de Lagrange
de forma que o vetor instantâneo resultante
T
+
1a
i =
1
p1+
T ∫0
T
1 + +
v1 ⋅ v1
T ∫0
T
+
1
.v =
1 + +
i1 ⋅ v1
T ∫0
T
1 + +
v1 ⋅ v1
T ∫0
T
+
1
.v =
1 + +
ia1 .va1 + ib1+ .vb1+ + ic1+ .vc1+
T ∫0
T
1
va1+ .va1+ + vb1+ .vb1+ + vc1+ .vc1+
T ∫0
=
P1+
V1+
2
(234)
seja denominado de corrente fundamental ativa de seqüência positiva ( i1+a ), o qual representa
a corrente ideal de um sistema elétrico, sendo que:
v1+ .i1+ = v1+ .i1+a .
(235)
Seguindo o raciocínio da metodologia seletiva de decomposição e identificação de parcelas
de tensão e corrente, outras parcelas de corrente podem ser definidas após a terceira
decomposição, tais como o vetor instantâneo:
id = i − i1+a
(236)
56
que define a parcela denominada corrente de distúrbio, a qual representa todas as formas de
deterioração do sinal de corrente (reativos, distorções, desequilíbrios, não-linearidades, etc.).
Uma vez eliminada ou compensada a parcela id , a corrente resultante seria apenas a
corrente ideal i1+a . Desta forma id pode ser usada como referência de controle para dispositivos
de compensação, entretanto, deve-se ressaltar que esta corrente não pode ser completamente
compensada sem a utilização de armazenadores ou fontes auxiliares de energia.
Através desta última decomposição, também é possível identificar, no domínio do tempo, a
parcela de corrente convencionalmente relacionada com as cargas reativas lineares (indutores e
capacitores) balanceadas:
i1+q = i1+ − i1+a
(237)
a qual embora possa ser completamente compensada eletronicamente, sem elementos
armazenadores de energia, de acordo com as teorias convencionais, também pode ser
compensada por elementos puramente passivos, como por exemplo, bancos de capacitores ou
indutores.
Do ponto de vista de monitoração e até mesmo de tarifação em qualidade da energia, esta
decomposição possibilita identificar e quantificar parcelas importantes que compõem a corrente
do sistema elétrico. Aplicando seqüencialmente as três decomposições, o diagrama da Figura 30
ilustra o cálculo de algumas das parcelas sugeridas após a terceira decomposição.
i
V1+
i1+
Multiplicador
de
Lagrange
id
i1a+
-
+
+
i1q+
Figura 38 – Decomposição da corrente após a terceira decomposição.
Apesar da utilização seqüencial das três decomposições, destaca-se a possibilidade de
utilizar a Decomposição III em diferentes ordens, de forma a obter novas parcelas de interesse. O
diagrama da Figura 39 ilustra as possibilidades.
Cada uma destas parcelas poderia ser utilizada em algoritmos de controle de
compensadores eletrônicos, tais como filtros ativos, de forma que possibilitassem sua
compensação ou minimização. Além disto, várias outras sub-parcelas da potência aparente
podem ser calculadas através dos valores coletivos de cada parcela de tensão ou corrente
provenientes da metodologia seletiva, a fim de, por exemplo, monitorar ou mesmo
quantificar/taxar determinados distúrbios ou fenômenos específicos de uma instalação.
Discussão:
Como já mencionado, a metodologia de decomposição seletiva das grandezas elétricas,
como proposta nas seções anteriores, segue as recomendações do IEEE através da STD 14592000, no entanto, todas as decomposições são propostas no domínio do tempo. Além disto,
várias das sugestões de Depenbrock, Tenti, Czarnecki, Akagi, etc. foram incorporadas, o que
indica a possibilidade de uma convergência das teorias estudadas com a metodologia proposta. A
vantagem do método proposto é a possibilidade de separar no domínio do tempo os vários efeitos
e distúrbios que afetam o sistema elétrico e desta forma permitir sua identificação e
eventualmente, correção ou tarifação.
57
2ºDecomposição
1ºDecomposição
Vres
+
V
i
-
Identificação
da
fundamental
Identificação
da sequência
positiva
i1
ires
+
V1u
-
Multiplicador
de Lagrange
iz
3ºDecomposição
+
3ºDecomposição
Vd
V1
i
+
i1a+
Multiplicador
de Lagrange
i1 +
+
id
-
i1u
+
ir
-
V
+
V1
+
Multiplicador
de Lagrange
i1q+
+
i1r
-
+
i1z
3ºDecomposição
Figura 39 – Metodologia de decomposição seletiva.
6.3.1.5
Metodologia Seletiva: Potência e Fator de Potência no Caso Geral
Com base na proposta anterior, é de se esperar que diversas parcelas de potência possam
ser calculadas utilizando as parcelas de tensão e corrente decompostas através da metodologia
seletiva e desta forma, distintas topologias de compensadores (passivos, ativos, sintonizados,
fixos, variáveis) poderiam ser propostas, em função da presença dos diferentes tipos de
distúrbios.
Algumas das parcelas que podem ser calculadas são, por exemplo, as potências ativa,
aparente e fator de potência para o sinal de entrada (distorcido ou não), para os sinais
fundamentais após a Decomposição I e para os sinais de seqüência positiva fundamental, após a
Decomposição II.
Grandezas Coletivas:
Seja através de variáveis coletivas [39] ou equivalentes [34], já é praticamente consenso
que o sistema polifásico deve ser interpretado não como vários sistemas monofásicos, mas sim
como um todo. Desta forma, os cálculos de potência propostos utilizam o conceito de grandezas
coletivas. Assim, o valor instantâneo da tensão coletiva é dado por:
vΣ = va ⋅ va + vb ⋅ vb + vc ⋅ vc + vn ⋅ vn .
(238)
Utilizando a equação anterior, o valor eficaz coletivo pode ser expresso por:
T
1 2
VΣ =
vΣ .dt ,
T ∫0
(239)
onde T é o período da fundamental.
As mesmas equações são válidas para o cálculo das correntes coletivas instantâneas e
eficazes.
Cálculo das Componentes de Potência:
Na abordagem proposta, a potência instantânea (p) é calculada através do produto escalar
dos vetores de tensão e corrente:
58
p = va ⋅ ia + vb ⋅ ib + vc ⋅ ic + vn ⋅ in ,
(240)
Notar que neste caso a potência do neutro também entra no equacionamento.
A potência ativa (P) é dada pela média da potência instantânea implementada, ou seja:
P=
1
T
∫
T
0
p .
(241)
De posse dos valores eficazes da tensão coletiva e corrente coletiva é possível definir a
potência aparente como:
SΣ = VΣ ⋅ I Σ .
(242)
Assim, define-se o Fator de Potência Equivalente (FPe ) como segue:
FPe =
P
.
SΣ
(243)
Após a Decomposição I e de posse das grandezas fundamentais, calcula-se a tensão e
corrente coletivas fundamentais, bem como os seus respectivos valores eficazes.
vΣ1 = va1 ⋅ va1 + vb1 ⋅ vb1 + vc1 ⋅ vc1 + vn1 ⋅ vn1
(244)
T
1 2
VΣ1 =
vΣ .dt
T ∫0
iΣ1 = ia1 ⋅ ia1 + ib1 ⋅ ib1 + ic1 ⋅ ic1 + in1 ⋅ in1
(245)
(246)
T
1 2
iΣ .dt
T ∫0
I Σ1 =
(247)
Na seqüência, calcula-se a potência fundamental (p1) e a potência ativa fundamental
(P1) como:
p1 = va1 ⋅ ia1 + vb1 ⋅ ib1 + vc1 ⋅ ic1 + vn1 ⋅ in1
P1 =
1
T
∫
T
0
p1 .
(248)
(249)
A potência aparente fundamental será calculada através do produto entre a tensão
coletiva fundamental eficaz e a corrente coletiva fundamental eficaz, ou seja:
SΣ1 = VΣ1 ⋅ I Σ1 .
(250)
Assim, pode-se definir o Fator de Potência Equivalente Fundamental como:
FPe1 =
P1
.
SΣ1
(251)
Seguindo a linha das decomposições, após a Decomposição II a tensão e corrente coletivas
fundamentais de seqüência positiva, bem como os seus respectivos valores RMS, são dadas por:
59
vΣ+1 = va+1 ⋅ va+1 + vb+1 ⋅ vb+1 + vc+1 ⋅ vc+1
(252)
T
1 +2
vΣ1 .dt
T ∫0
VΣ+1 =
(253)
iΣ+1 = ia+1 ⋅ ia+1 + ib+1 ⋅ ib+1 + ic+1 ⋅ ic+1
(254)
T
1 +2
iΣ1 .dt .
T ∫0
I Σ+1 =
(255)
Novamente, os valores da potência fundamental de seqüência positiva e as potências ativa
e aparente relativas a mesma, podem ser calculadas como:
p1+ = va+1 ⋅ ia+1 + vb+1 ⋅ ib+1 + vc+1 ⋅ ic+1
P1+ =
1
T
∫
T
0
p1+ .
SΣ+1 = VΣ+1 ⋅ I Σ+1 .
(256)
(257)
Neste caso, o Fator de Potência Equivalente Fundamental de Seqüência Positiva é
dado por:
+
e1
FP
P1+
= + .
SΣ1
(258)
6.4 Discussão Geral
Não obstante os vários trabalhos e autores que defendem a necessidade de escolher um
domínio ou outro (tempo e freqüência) para formular uma teoria de potências geral e eficiente
para representar o sistema elétrico em qualquer situação, existe uma reciprocidade muito grande
em trabalhos nos dois domínios de análise. A presença de sinais fundamentais, harmônicos e
inter-harmônicos, assimetrias, correntes ativa e não-ativas, pode ser considerada em ambos os
domínios, mesmo que de forma mais complexa para o domínio da freqüência. Neste caso, os
sinais precisam ser decompostos por séries e transformadas matemáticas, mas muitas vezes
fazendo com que a compreensão de fenômenos se torne mais direta.
Embora sabendo que uma teoria devesse ser genérica em termos de suas possíveis
aplicações, já está claro que grande parte das confusões a respeito das teorias de potência está
relacionada com o objetivo para qual seus autores as desenvolveram e as disponibilidades
tecnológicas para sua implementação. Ou seja, enquanto as definições voltadas à tarifação e
instrumentação de energia nem sempre podem ser aplicadas a objetivos como projeto de
compensadores ou mesmo identificação de algumas parcelas de corrente de distúrbio; aquelas
voltadas para compensação de energia, destacando as ditas teorias de potências instantâneas e
suas extensões, não são interessantes para aplicações em medição, tarifação e monitoração da
qualidade de energia.
Outra provável fonte de equívocos a respeito das teorias de potência é a questão da
nomenclatura. Como se pôe observar na revisão das teorias mencionadas, variáveis com
significados físicos ou matemáticos distintos possuem denominações similares de acordo com as
diferentes propostas. Basta observar as definições das correntes ativa (real, ativa instantânea,
60
ativa média) e reativa (fictícia, não-ativa, imaginária, reativa instantânea, etc.) para se ter uma
idéia das variações no significado e definição matemática.
Uma definição generalizada de teoria de potências não deve conter nenhum tipo de
restrição quanto às variáveis ou sistemas a analisar. Portanto, deve permitir não só o controle da
qualidade da energia (compensação ativa ou passiva), mas também medição, monitoração,
tarifação e identificação das diferentes parcelas da tensão, corrente e suas respectivas
componentes de potências.
Assim, embora muito ainda possa ser discutido ou detalhado em função de uma abordagem
unificada, acredita-se na possibilidade de formalização de uma teoria de potência, a qual poderia
ser implementada tanto em aplicações de medição e tarifação, quanto compensação de energia,
sejam em sistemas monofásicos ou polifásicos.
6.5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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- MS
64

Teorias de Potência Elétrica - DSCE

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