Aufgaben zur Polynomdivision

Mathematik * Aufgaben zur Polynomdivision * Jahrgangsstufe 11
1. Führen Sie die Polynomdivision durch!
a)
( x3− 2 x 2 + 3x − 6 ):( x − 2)
b)
( 2 x 4 − x 3 + 5 x − 30):( x + 2 )
c)
x3 − 5 x 2 + 4 x + 6
2 x −6
d)
x 4 − 5 x 2 − 500
x +5
e)
2 x 4 − 5 x3 + 3 x 2 − 2 x
x2 − 2 x
2. Welchen Wert muss a haben, damit die Polynomdivision aufgeht?
Setzen Sie diesen Wert für a ein und führen Sie die Division durch!
a)
(x3 + a x 2 + 2 x − 3):( x + 1)
b)
( x 5 − 6 x + a ):( x − 2)
c)
x4− a
x −3
d)
x3 + x 2 + a x − 6
0,5 x + 1
x2 + x − 6
.
x2 − 2 x
Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich D f von f .
Vereinfachen Sie den Funktionsterm f(x) ! (Polynomdivision)
Skizzieren Sie den Graphen von f .
3. Gegeben ist die Funktion f mit f ( x) =
a)
b)
c)
4. Begründen Sie, dass die Polynomdivision (x3 − x 2 − 2 x + 1):( x − 2) nicht aufgehen
kann.
Zeigen Sie, dass man den Quotienten folgendermaßen schreiben kann:
1
(x3 − x 2 − 2 x + 1):( x − 2) = x 2 + x +
(Polynomdivision mit Rest!)
x−2
5. Führen Sie die folgenden Polynomdivisionen mit Rest durch.
a)
( 2 x3 − x 2 + 3 x + 1):( x + 1)
b)
( x 4 + x 2 − 2 x + 1):( x 2 − 1)
c)
x4− 2 x
x +5
d)
x3− x 2 + 2 x − 5
x2 − 3
Lösungen:
1. a)
c)
e)
x2 + 3
0, 5 x 2 − x − 1
2 x2 − x + 1
b)
d)
2 x 3 − 5 x 2 + 10 x − 15
x3 − 5 x 2 + 20 x − 100
2. a)
c)
a = 6 ; x2 + 5 x − 3
a = 81 ; x3 + 3 x 2 + 9 x + 27
b)
d)
a = - 20 ; x 4 + 2 x3 + 4 x 2 + 8 x + 10
a = - 5 ; 2 x2 − 2 x − 6
3. a)
D f = R \ {0 ; 2}
b)
f ( x) =
x+3
3
=1+
x
x
mit D f = R \ {0 ; 2}
c)
Hinweis:
Der Graph hat an
der Stelle x1 = 2
ein „Loch“, d.h.
der Punkt P(2 / 2,5)
fehlt beim Graphen.
4. x1 = 2 ist keine Nullstelle von f ( x) = x3 − x 2 − 2 x + 1 , deshalb geht die Division
nicht auf!
5. a)
2 x2 − 3 x + 6 −
5
x +1
3 − 2x
x2 − 1
b)
x2 + 2 +
c)
x3 − 5 x 2 + 25 x − 127 +
d)
x −1 +
5x − 8
x2 − 3
635
x+5