Blatt 1

Blatt 1
22.10.2007
Hohere Mathematik I
WS 2007/2008
Prof. Dr. Brudern
PD Dr. Dietmann
(a) Prufe die folgenden Abbildungen f : Q ! Q jeweils auf Injektivitat, Surjektivitat und Bijektivitat. Falls f bijektiv ist, gib die Umkehrabbildung
an:
(i) f (x ) = x ; (ii) f (x ) = x 2 ; (iii) f (x ) = x 3
(b) Seien f ; g : Q ! Q injektiv. Ist dann auch f + g mit (f + g )(x ) := f (x )+ g (x )
injektiv?
Aufgabe 1.
Aufgabe 2.
Morgan
Gegeben seien Mengen A,
A
und
A
Aufgabe 3.
n( [
B
n( \
B
C
C
B
und C . Beweise die
Regeln von de
) = (AnB ) \ (AnC )
) = (AnB ) [ (AnC ):
(a) Zeige, da fur jede naturliche Zahl n
n
X
k =1
k
3
=
n
2 (n
+ 1)2
4
gilt.
(b) Beweise, da n3 + 2n fur alle naturlichen Zahlen n durch 3 teilbar ist.
Nach einer wilden Verfolgungsjagd durch imperiale Sternenjager mussen Han Solo und Chewbacca auf dem Planeten HM2007 im abgelegenen Dagobasystem notlanden. Sie treen dort auf die hochintelligente Lebensform der
Dagobaner, die ihr Raumschi, den Millenium Falken, reparieren und ihnen die
Losungen fur viele mathematische Probleme verraten, die auch den groten Jedimeistern bisher nicht gelungen sind. Ihre besondere Spezialitat ist Aussagenlogik.
In diesem Bereich machen sie nie einen Fehler, und jeder von ihnen wei auch,
da jeder ihrer Artgenossen genauso perfekt darin ist wie sie selbst.
Mit der Zeit nden Han Solo und Chewbacca heraus, da ihre neuen Freunde sehr
strenge Moral- und Verhaltensregeln beachten. Einmal taglich, zur Mittagszeit,
treen sie sich alle zur Beratung. Das schlimmste fur sie ist, einen Fehler in einem mathematischen Beweis zu begehen. Dann wachst ihnen am Hinterkopf ein
rotes Schandmal - fur alle deutlich sichtbar, nur der Ungluckliche selbst kann es
nicht sehen. Findet dennoch einer heraus, da er ein Schandmal hat, bringt er
sich vor Scham in der nachsten Nacht um. Ihr Anstandskodex verhindert dabei
allerdings schlimmeres, weil niemals jemand einen anderen auf einen Fehler in der
Beweisfuhrung oder etwa sogar auf sein Schandmal aufmerksam machen wurde.
Als der Millenium Falke repariert ist, bedanken sich Han Solo und Chewbacca auf
einem der Mittagstreen fur die Hilfe und die vielen neuen mathematischen Satze,
Aufgabe 4.
von denen Sie Meister Yoda berichten konnen. Sie seien begeistert, sagen sie, aber
- in einem der Beweise habe Chewbacca einen Fehler entdeckt. Da sie ihre Verhaltensregeln kennen, sagen sie naturlich nicht, von wem der falsche Beweis stammt,
und iegen zum Rebellenstutzpunkt zuruck.
Jahre spater, nach der Niederlage des Imperiums und der Wiedererrichtung der
Republik, besucht Han Solo wieder einmal die Dagobaner auf einer Urlaubsreise.
Man berichtet ihm, da es in der 117ten Nacht nach seinem Abug zu einem
Massenselbstmord gekommen sei.
Warum, und wie viele Tote gab es?
Abgabe der L
osungen:
Montag, den 29. Oktober in den U bungen.