Flächen, Volumen und Integral - Mathematik in Bonn

Flächeninhalt, Volumen und Integral
Prof. Herbert Koch
Mathematisches Institut - Universität Bonn
Schülerwoche 2011
Hausdorff Center for Mathematics
Donnerstag, der 08. September 2011
Inhaltsverzeichnis
1 Der
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Flächeninhalt
Fragen und Motivation . . . . . . . . . . . . .
Erste Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . .
Das Paradoxon von Banach und Tarski 1924 .
Eigenschaften von Flächen und Volumen . . .
Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3
3
3
4
4
4
2 Das
2.1
2.2
2.3
Volumen
Das Prinzip von Cavalieri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gaußsche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
6
7
3 Übungsaufgaben
3.1 Erstes Tutorium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Zweites Tutorium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
9
2
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1 Der Flächeninhalt
1.1 Fragen und Motivation
Ziel der Vorlesung ist eine kritische und konstruktive Auseinandersetzung mit dem Begriff der
Fläche, des Volumens und der Weglänge. Wir gründen die Überlegungen auf grundlegenden Eigenschaften. Der konstruktive Aspekt ist wesentlich: Wir bestimmen den Flächeninhalt verschiedener
Mengen und definieren und approximieren den Flächeninhalt der Einheitskreisscheibe π.
1. Was verstehen wir unter Fläche und Volumen?
2. Welche Eigenschaften haben Flächen und Volumen?
3. Können wir Flächen und Volumen bestimmen? Was ist das Volumen der Kugel mit Radius
1?
4. Was können wir mit dem Wissen anfangen?
1.2 Erste Eigenschaften
1. Die Fläche eines Rechtecks ist das Produkt der Kantenlängen.
2. Sind die Mengen U ⊂ R2 und V ⊂ R2 disjunkt, so ist der Flächeninhalt der Vereinigung
Summe der Flächeninhalte.
3. Ist U eine Teilmenge von V so ist der Flächeninhalt von U nicht größer als der Flächeninhalt
von V .
Konsequenzen:
1. Die Fläche eines Dreiecks ist
1
2
mal die Länge einer Kante mal die Höhe.
2. Die Fläche eines Polygons läßt sich durch die Summe der Flächen von Dreiecken berechnen.
3. Frage: Ist das eindeutig?
4. Die Fläche eines Kreises (falls der Kreis eine Fläche hat) liegt zwischen der Fläche eines
eingeschriebenen n Ecks und der des umschriebenen n Ecks.
5. Verfahren von Archimedes (287-212 v.Chr:) basierend auf der Ausschöpfungsmethode von
Eudoxos von Knidos (ca 385 v. Chr. -340 v- Chr.) Sei sn die Kantenlänge des in den Einheitskreis eingeschriebenen n Ecks.
So ist ist s6 = 1 und nach Phythagoras (sn /2)2 + x2n = 1
p
s22n = (1 − xn )2 + (sn /2)2 = 1 − 1 − (sn /2)2 + (sn /2)2 .
Wir definieren die Fläche einer Menge C in der folgenden Situation: Es gebe Polyeder Aj ⊂ Aj+1
and Dj+1 ⊂ Dj mit Aj ⊂ C ⊂ Dj für j = 1, . . . und die Fläche von Dj \Aj gehe gegen Null. Dann
definieren wir die Fläche von C als den Limes der Flächen von Aj .
Mit dieser Definition sehen wir:
1. Wir definieren die Fläche der Einheitskreisscheibe durch das Verfahren des Archimedes.
3
2. Wir können π durch das Verfahren des Archimedes approximieren.
Statt der ersten Normalisierung (durch die Fläche des Rechtecks) können wir fordern:
1. Der Flächeninhalt des Quadrats ist 1.
2. Der Flächeninhalt ändert sich nicht wenn wir Mengen verschieben.
3. Der Flächeninhalt ändert sich nicht, wenn wir Mengen drehen.
Die dritte Forderung folgt aus der zweiten Forderung. Wir können nun leicht weitere Folgerungen
ableiten:
Der Flächeninhalt der Kreisscheibe mit Radius 2 ist das vierfache der Fläche der Kreisscheibe
vom Radius 1. Der Flächeninhalt von Linien ist Null.
Im 20.ten Jahrhundert gab es wesentliche Entwicklungen von Henri Lebesgue (1875-1941), die
unseren heutigen Inhaltsbegriff und Integralbegriff prägen.
1.3 Das Paradoxon von Banach und Tarski 1924
Warum sind wir so vorsichtig bei der Definition des Flächeninhalts? Wir können analog das Volumen
dreidimensionaler Körper, oder sogar beliebigdimensionaler Körper definieren.
Es gibt nun folgendes Kugelparadoxon von Stefan Banach ( 1892-1945) und Alfred Tarski (19021983): Eine Kugel vom Radius 1 kann man in 6 Teile zerlegen, die man wiederum zu zwei Kugel
vom Radius 1 zusammensetzen kann.
Konsequenz: Nicht allen Mengen kann man ein Volumen mit guten Eigenschaften zuordnen.
Aber: Dem Kreis läßt sich ein Flächeninhalt zuordnen.
1.4 Eigenschaften von Flächen und Volumen
Flächeninhalte skalieren sich mit dem Quadrat und die Volumina mit der dritten Potenz des Skalierungsfaktors. Zum Beispiel hat des Quadrat mit der Seitenlänge 2 die Flächeninhalt 4 und die
Kugel mit Radius 2 das achtfache Volumen der Kugel mit Radius 1.
Beispiel: Die Monde des Hippokrates (um 450 v. Chr.)
1.5 Integral
Das Integral misst die Fläche zwischen x Achse und Graph einer nichtnegativen Funktion.
Beispiel:
π
=
4
Z 1p
0
4
1 − x2 dx
2 Das Volumen
Wir bestimmen das Volumen diverser Körper einschließlich der Kugel.
Wir gehen genauso wie bei der Fläche vor. Das Volumen eines Quaders ist das Produkt der
Kantenlängen.
Einen Quader kann man in zwei Prismen unterteilen, deren Volumen daher die Hälfte des Quaders
ist.
Ein Tetraeder ist ein Körper mit vier Ecken. Ein Prisma über einem Dreieck kann man in 3
Tetraeder unterteilen.
2.1 Das Prinzip von Cavalieri
Zwei Körper besitzen dasselbe Volumen, wenn ihre Schnittflächen zu einer Grundebene in entsprechenden Höhen den gleichen Flächeninhalt haben.
Wir betrachten ein Prisma über einem Dreieck und unterteilen es in 3 Tetraeder. Diese Tetraeder
haben jeweils das gleiche Volumen. Es folgt:
Satz 2.1.1. Das Volumen eines Tetraeders ist 1/3 der Grundfläche mal der Höhe.
Das gilt allgemeiner. Sei C ⊂ R2 eine Menge mit Flächeninhalt A und sei C ein Kegel der Höhe
h über A. Dann ist das Volumen von C
1
Ah.
3
Beispiel: Halbkugel und Zylinder.
Wir betrachten die Halbkugel der Kugel mit Radius 1. Der Schnitt auf der Höhe h ist eine
Kreisscheibe mit Radius
p
r0 = 1 − h2
und Flächeninhalt
π(r0 )2 = π(1 − h2 ).
Wir betrachten jetzt einen Zylinder gleicher Grundfläche, aus dem ein Kegel herausgeschnitten
ist.
Schnitt auf Höhe h:
π − πh2 = π(1 − h2 )
Das Volumen der Halbkugel stimmt also nach dem Prinzip von Cavalieri mit dem Volumen des
Zylinders überein, aus dem ein Kegel herausgeschnitten ist. Der Zylinder hat das Volumen π, der
Kegel 31 π und daher
1
2
π − π = π.
3
3
Satz 2.1.2. Das Volume der Kugel mit Radius 1 ist 34 π.
Mit der Kenntnis der Flächeninhalte der Schnitte kann man das Volumen als Integral schreiben.
Satz von Fubini: Das Volumen eines Körpers ist gegeben durch die Integration über die Flächeninhalte
der Schnittflächen.
5
2.2 Gaußsche Integrale
Wir betrachten zunächst den Flächeninhalt der Menge
2
C = {(x, y) : 0 < y < e−x }.
Den Flächeninhalt nennen wir I. Er kann durch das Integral
Z ∞
2
e−x dx
−∞
2
ausdrückt werden. Die Stammfunktion der Gaußschen Funktion e−x kann jedoch nicht angegeben
werden. Wir wollen den Flächeninhalt bestimmen.
Wir können die Menge C durch senkrechte Rechtecke ausschöpfen. Das entspricht der Definition
des Integrals. Wir können die Menge auch durch horizontale Rechtecke ausschöpfen. Das führt auf
die uneigentlichen Integral
Z 1
2
(− ln(t))1/2 dt = 2
Z ∞
s1/2 e−s ds =
wobei wir einmal mit t =
Wir betrachten jetzt
e−s
substituiert und einmal partiell integriert haben.
A = {(x, y, z) : 0 < z < e−x
z
0.1
0.2
s−1/2 e−s ds
0
0
0
0
Z ∞
0.3
0.4
0.5
0.6
2 −y 2
}
0.7
0.8
0.9
1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
2
1.5
1
-2
0.5
-1.5
-1
0
-0.5
-0.5
0
x
0.5
y
-1
1
-1.5
1.5
2 -2
Der Schnitt mit z = h, 0 < h < 1 ist eine Kreisscheibe mit Radius
√
− ln h
als ist das Volumen nach Fubini
Z ∞
Z 1
π(− ln h)dh = π
0
te−t dt = π.
0
Für das erste Gleichheitszeichen haben wir die Koordinaten vertauscht.
6
(2.1)
Der Schnitt von A mit der Ebene y = h ist
2
2
{(x, z) : 0 ≤ z ≤ e−h e−x }
mit dem Flächeninhalt
2
e−h
Z
2
2
e−x dx = e−h I.
Also ist das Volumen der Menge A nach dem Satz von Fubini
Z ∞
2
e−h dh ∗ I = I 2 .
π=
−∞
Wir bekommen
Satz 2.2.1.
Z ∞
√
2
e−x =
π.
−∞
2.3 4 Dimensionen
Wir bezeichnen das vierdimensionale Volumen der vierdimensionalen Einheitskugel mit ω4 . Sei
B = {w, x, y, z : 0 < z < e−w
2 −x2 −y 2
}.
Wir bezeichen das 3 bzw 4 dimensionale Volumen der 3 bzw 4 dimensionalen Einheitkugel mit ω3
bzw ω4 .
Genauso wie in zwei Dimensionen ist das vierdimensionale Volumen durch das Integral
Z ∞
ω3
0
3
h3/2 e−h dh = ω3
2
und
Z
4 dim Vol (B) =
Damit erhalten wir wieder
Z ∞
s1/2 e−s ds =
0
3 1√
πω3
22
2
e−h dh Vol A = π 3/2 .
4
ω3 = π
3
Eine Dimension höher gilt
Z ∞
ω4
h2 e−h dh = 2ω4 = I 4 = π 2
0
und
4
1
ω1 = 2, ω2 = π, ω3 = π, ω4 = π 2 .
3
2
Satz 2.3.1. Das vierdimensionale Volumen der vierdimensionalen Einheitskugel ist
1
ω4 = π 2 .
2
7
3 Übungsaufgaben
3.1 Erstes Tutorium
Aufgabe 3.1.1. Warum hängt der Flächeninhalt eines Polygons nicht von der Zerlegung in Dreiecke ab? Argumentiere.
Aufgabe 3.1.2. Warum hat eine Strecke den Flächeninhalt 0. Argumentiere.
Aufgabe 3.1.3. Bestimme den Flächeninhalt des gleichmäßigen Dreiecks, des Quadrates, des
Fünfecks und des Sechsecks, jeweils mit Kantenlänge 1.
Aufgabe 3.1.4. Eine Ellipse ist eine Menge, die durch
{(x, y) : |(x − x0 )/a|2 + |(y − y0 )/b|2 ≤ 1}
beschrieben wird. (x0 , y0 ) ist der Mittelpunkt, a und b sind die Radien. Skizziere die Ellipse mit
Mittelpunkt (0, 0), a = 1 und b = 2.
Bestimme den Flächeninhalt der Ellipse.
Hinweis: Vergleiche Approximationen durch Polygone mit der Approximation des Kreises durch
Polygone.
Aufgabe 3.1.5. An das regelmäßige Sechseck mit Seitenlänge 1 werden abwechselnd Quadrate und
Dreiecke gelegt.
Wie groß ist der gesamte Flächeninhalt?
Aufgabe 3.1.6. Die Flächeninhalte der vier Dreiecke in Abb. 1 sind A0 , A2 , A3 . A0 ist rechtwinklig. Die Anderen Dreiecke sind gleichseitig. Welche der Folgenden Aussagen gilt:
1.
2.
3.
4.
5.
A21 + A22 = A23
A1 + A2 = A3
A1 + A2 + A
√3 = 3A3
A1 + A2 = 2A3
3A0 + 2A1 = A2 + A3
8
3.2 Zweites Tutorium
Aufgabe 3.2.1. Es seien drei Halbkreise gegeben, EFBA sei ein Rechteck und E und F seien die
Mittelpunkte der unteren Hakbkreise. Die Radien betragen jeweils 2 cm.
Wie groß ist der Flächeninhalt des oberen Kreises?
1.
2.
3.
4.
5.
7 cm2
8 cm2
(2π) cm2
(2π + 1) cm2
(2π + 2) cm2
Aufgabe 3.2.2. Konstruiere die Tetraeder, deren Baupläne Du im Anhang findest. Die Tetraeder
dieser Baupläne lassen sich zu einem halben Würfel zusammensetzen.
Aufgabe 3.2.3. Bestimme das Volumen des gleichseitigen Tetraeders mit Kantenlänge 1.
Aufgabe 3.2.4. Ein Polyeder ist ein Körper, der durch Polygone begrenzt ist. Kann man einen
Polyeder in Tetraeder zerlegen?
Aufgabe 3.2.5. Bestimme das Volumen des Oktoeders. Der Oktoeder ist durch 8 gleichseitige
Dreieckes berandet.
9