Funktionale Zusammenhänge

Funktionale Zusammenhänge
35
3 Quadratische Funktionen und Gleichungen
Will sehen, was ich weiß,
vom Büblein auf dem Eis:
Gefroren hat es heuer
noch gar kein festes Eis.
Das Büblein steht am Weiher
und spricht ganz leis:
„Ich will es einmal wagen;
das Eis, es muss doch tragen!
Wer weiß?“
(Friedrich Güll, 1812-1879)
Die Tragfähigkeit einer Eisfläche hängt von der Art des Eises und seiner Dicke d
ab. Blaues Eis ist tragfähiger als weißes. Außerdem spielt die Größe der Fläche
eine Rolle, auf welche die Last wirkt. Das höchstzulässige Gewicht G einer einzelnen Person, die das Eis gefahrlos betreten kann, lässt sich mit der folgenden
Faustformel berechnen:
N
2
G = 40 cm
2 · d
1.
Berechne zu folgenden Eisdicken d, das höchstzulässige Gewicht G.
d in cm
G in N
2.
0
?
1
?
2
?
3
?
4
?
5
?
6
?
Wie ändert sich die Tragfähigkeit des Eises, wenn sich die Eisdicke verdoppelt, verdreifacht? Zeichne den Graphen der Funktion d 哫 G für das Intervall 0 cm ≤ d ≤ 6 cm.
3. Löse grafisch und rechnerisch: Daniel wiegt mit seiner Winterkleidung 60 kg.
Wie dick muss das Eis mindestens sein, damit er es betreten darf?
4.
5.
Wie viele Zentimeter sollte das Eis mindestens dick sein, wenn es ein Erwachsener bzw. eine Gruppe aus vier Erwachsenen betreten will?
a) Wird die Tragfähigkeit des Eises größer oder kleiner,
wenn sich die Last auf eine größere Fläche verteilt?
b) Wie sollte sich eine Person verhalten, die eingebrochen ist und das rettende Ufer erreichen will?
c) Wie sollten Retter vom Ufer aus vorgehen?
(Interessante Informationen von der DRK-Wasserwacht dazu
findest du im Internet.)
36
3 Quadratische Funktionen und Gleichungen
3.1 Reinquadratische Funktionen und Gleichungen
Quadratische Funktionen
Die Tragfähigkeit einer Eisfläche ist proportional zum Quadrat ihrer Dicke (Seite 36).
Der Bremsweg eines Autos ist proportional zum Quadrat seiner Geschwindigkeit
(Aufgabe 1). Beide Abhängigkeiten lassen sich durch Funktionen der Form f(x) ax2
beschreiben. Den Anhalteweg eines Autos beschreibt eine Funktion der Form
f(x) ax2 bx (Aufgabe 1e).
Eine Funktion der Form f(x) ax2 bx c mit a 0 heißt quadratische Funktion. Ihren Graphen nennt man Parabel.
ax2 heißt quadratisches Glied, bx lineares Glied und c konstantes Glied.
Tritt das lineare Glied im Term einer quadratischen Funktion nicht auf (b 0), sprechen wir von einer reinquadratischen Funktion.
Die reinquadratische Funktion f(x) a x2
In unseren bisherigen Beispielen (Tragfähigkeit einer Eisfläche, Bremsweg eines
Autos) hatten negative x-Werte keine Bedeutung. Der Term a x2 ist aber für alle
reellen Zahlen definiert: D .
Beispiel
f(x) 12 x2 mit D Zum Zeichnen des Graphen legen wir eine Wertetabelle an:
x
2,5
y 3,125
2
2
1,5
1
0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
1,125 0,5 0,125 0 0,125 0,5 1,125 2 3,125
Weil das Quadrat x2 für beliebige
reelle Zahlen x gleich dem Quadrat (x)2 der Gegenzahl ist, ergeben x und x den gleichen yWert. Die Parabel verläuft deshalb symmetrisch zur y-Achse.
Sie hat einen tiefsten Punkt, der
im Nullpunkt des Koordinatensystems liegt.
5
y
4
3
2
1
–3
–2
–1
0
1
2
3
x
Der Wert des Parameters a wirkt sich auf den Verlauf der Parabel y ax2 aus
(Aufgabe 2).
37
4
0,3 2
x
Für a > 0 ist die Parabel nach oben
geöffnet. Sie hat einen tiefsten Punkt.
y=
y
y = x2
y= 1
2
2x
5
y = 2x 2
Funktionale Zusammenhänge
Für a < 0 ist die Parabel nach unten
geöffnet. Sie hat einen höchsten Punkt.
3
Der tiefste bzw. höchste Punkt heißt
Scheitel der Parabel: S(0 |0).
2
1
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
–1
–2
–3
x
Durch den Parameter a wird die Parabel gestreckt: Für |a | > 1 ist sie deshalb schlanker als die Normalparabel.
Für | a | < 1 ist die Parabel breiter als
die Normalparabel.
a heißt Streckfaktor.
2
2
2
1x
y=–2
y = –x
–5
y = –2x
–4
4
Eine Parabel mit dem Parameter a 1
oder a 1 heißt Normalparabel.
Der Scheitel der Parabel y ax2 (a 0) liegt im Ursprung des Koordinatensystems. Für positiven Streckfaktor a ist die Parabel nach oben geöffnet, für negativen nach unten. Je größer | a | ist, desto schlanker ist die Parabel.
Die reinquadratische Funktion f(x) a x2 c
Wir betrachten nun reinquadratische Funktionen mit konstantem Glied.
Beispiel
f(x) 12 x2 2 mit D .
y = 1 x2 + 2
Für alle reellen Zahlen x erhal2
ten wir den Wert von 12 x2 2,
indem wir zum Wert von 12 x2
die Zahl 2 addieren. Deshalb
geht der Graph der Funktion
f(x) 12 x2 2 durch eine Verschiebung um zwei Einheiten
y = 1 x2
2
nach oben aus dem Graphen
1 2
der Funktion f(x) 2 x hervor.
Die Parabel mit der Gleichung
–3
–2
–1
y 12 x2 2 ist also symmetrisch zur y-Achse und nach oben geöffnet.
Ihr tiefster Punkt, ihr Scheitel, ist S(0|2).
y
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
x
Allgemein (Aufgabe 3):
Die Parabel mit der Gleichung y ax2 c geht aus der Parabel y a x2 durch
eine Verschiebung um c in y-Richtung hervor: Für c > 0 wird die Parabel nach
oben und für c < 0 nach unten verschoben. Der Scheitel der Parabel ist S(0 | c).
38
3 Quadratische Funktionen und Gleichungen
Reinquadratische Gleichungen
Bei der Berechnung einer Eisdicke (Seite 36) oder einer Geschwindigkeit aus der
Länge einer Bremsspur (Aufgabe 1) setzen wir einen reinquadratischen Term gleich
einer Zahl. Wir erhalten eine reinquadratische Gleichung. Sie liefert für unsere
beiden Beispiele jeweilis genau eine Lösung. Das ist aber bei quadratischen Gleichungen nicht immer der Fall.
Beispiel
1 2
2 x 2
10 mit D 1. Lösung: Grafisch
2. Lösung: Rechnerisch
y
10
Wir zeichnen die
Parabel mit der
Gleichung
y 12 x2 2 und suchen alle x-Werte,
für die y 10 ist.
1 2
2 x 2 10
1 2
2 x 8
9
x2 16 Wurzel ziehen
x 4 oder x 4
8
7
Die Gleichung hat zwei
Lösungen, weil es zwei
x-Werte gibt, deren
Quadrat gleich 16 ist.
6
5
Es gibt zwei Lösungen: x1 4 und
x2 4.
Nach x2 auflösen
4
3
2
1
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
x
Die Anzahl der Lösungen reinquadratischer Gleichungen
Das grafische Lösen reinquadratischer Gleichungen verschafft uns schnell einen
Überblick über die Anzahl der Lösungen. Bringen wir die reinquadratische Gleichung
auf die Form ax2 c 0, dann suchen wir die x-Werte, bei denen die Parabel
y ax2 c die x-Achse schneidet. Diese Stellen heißen bekanntlich Nullstellen der
Funktion f(x) a x2 c (Aufgabe 10).
Beispiel 1 x2 1 0
6
y
Grafisch
5
Rechnerisch
Die Parabel mit der
Gleichung y x2 1
hat keine Nullstelle,
da sie nach oben
geöffnet ist und den
tiefsten Punkt
S(0| 1) hat.
4
x2 1 0
x2 1
L{ }
3
2
1
–2
–1
0
1
2
x
39
Funktionale Zusammenhänge
Beispiel 2
1 2
2 x 0
y
5
Grafisch
Der Scheitel der
Parabel y 12 x2
liegt auf der x-Achse:
S(0| 0). x 0 ist die
einzige Nullstelle. Sie
ist die einzige Lösung
x 0.
Rechnerisch
1 2
2 x 0
4
x2 0
x0
L {0}
3
2
1
–2
–1
Beispiel 3 2x2 2 0
0
6
Grafisch
1
2
x
y
Rechnerisch
5
Die Parabel y 2x2 2
ist nach oben geöffnet.
Ihr Scheitel ist S(0|2).
Also gibt es die zwei
Nullstellen x1 1 und
x2 1.
2x2 2 0
2x2 2
x2 1
x 1 oder x 1
L {1; 1}
4
3
2
1
–2
–1
0
1
2
x
–1
–2
Eine reinquadratische Gleichung hat keine, eine oder zwei Lösungen.
Das Lösen durch Faktorisieren
Wir können manche reinquadratische Gleichungen auch durch Faktorisieren lösen. Dabei verwenden wir die „Plus-Minus-Formel“ und die Erkenntnis, dass ein
Produkt nur dann null ist, wenn ein Faktor null ist:
Beispiel
40
2x2 2 0
2(x2 1) 0
2(x1)(x 1) 0
x1 0 oder x 1 0
x 1 oder x 1
L {1; 1}
Faktor 2 ausklammern
Plus-Minus-Formel anwenden
Klammern Null setzen
Lösungen angeben
3 Quadratische Funktionen und Gleichungen
Aufgaben
:-)
1
Fahrschulregeln
Der Bremsweg eines Autos hängt von seiner Geschwindigkeit ab. Für trockene
Straßen erhält man den Bremsweg in Metern, wenn man die vom Tacho angezeigte
Zahl durch 10 dividiert und das Ergebnis quadriert.
a) Bezeichne die vom Tacho angezeigte Zahl (die Geschwindigkeit in km/h) mit x.
Gib den Bremsweg b(x) in Abhängigkeit von x an.
b) Lege eine Wertetabelle an und berechne den Bremsweg b(x) für die Geschwindigkeiten von 0 km/h bis 100 km/h mit einer Schrittweite von 10 km/h. Wie lang
ist der Bremsweg bei der doppelten, dreifachen Geschwindigkeit?
c) Warum ist der Graph der Funktion x b(x) keine Gerade? Zeichne den Graphen.
d) Vom Erkennen einer Gefahr bis zum Betätigen der Bremse verstreicht die Reaktionszeit. Der in der Reaktionszeit zurückgelegte Reaktionsweg in Metern ist
gleich dem Dreifachen der vom Tacho angezeigten Zahl geteilt durch zehn. Gib
den Reaktionsweg r(x) in Abhängigkeit von x an. Warum ist der Graph der Funktion x r(x) eine Gerade? Trage diese Gerade in das Diagramm von c) ein.
e) Reaktionsweg und Bremsweg ergeben zusammen den Anhalteweg a(x). Gib a(x)
in Abhängigkeit von x an. Ist der Graph der Funktion x a(x) eine Gerade? Trage
den Graphen in das Diagramm ein.
f) Nach einer Vollbremsung in einer geschlossenen Ortschaft hinterlässt Olivers
Auto eine 33 m lange Bremsspur. Ist Oliver zu schnell gefahren?
:-)
2
Die Bedeutung des Parameters a
Wir untersuchen die Bedeutung des Faktors a für den Verlauf der Parabel mit der
Gleichung y ax2.
a) Bestimme zu jeder Parabel den Wert von a mithilfe einer Wertetabelle.
A
B
y
–2
–1
–3
–2
C
y
y
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0
2 x
1
–3
–2
y
D
–1
0
–1
0
1
–2
–1
2
3x
–2
–1
0
1
2 x
y
E
1
3x
2
0
–1
–1
–2
–2
–3
–3
–4
–4
1
2 x
41
Funktionale Zusammenhänge
b) Übertrage die Tabelle in dein
Heft und gib an, ob die Parabeln nach oben oder nach
unten geöffnet sind.
Die Parabel mit a 1, die
„Mutter“ aller Parabeln, heißt
Normalparabel. Gib an, ob
die Parabeln schlanker oder
breiter als die Normalparabel
sind.
:-)
42
y ax2
Öffnung der
Parabel
Vergleich mit der
Normalparabel
a1
oben
Normalparabel
a>1
?
?
0<a<1
?
?
1 < a < 0
?
?
a < 1
?
?
3
Funktionsplotter
Mithilfe eines Funktionsplotters (oder mancher Geometrieprogramme) kann man sich
den Graphen einer Funktion nach Eingabe ihrer Gleichung anzeigen lassen. Das ist
besonders dann von Vorteil, wenn man die Abhängigkeit des Graphen von einem
Parameter untersuchen möchte.
a) Wir untersuchen die Abhängigkeit des Graphen der
Funktion f(x) ax2 vom Parameter a. Wir definieren
a zunächst durch einen Schieberegler. An ihm können wir durch Ziehen mit der Maus verschiedene
a-Werte einstellen, z. B. a 1. Geben wir nun in die
Eingabezeile „ya*x^2“ ein, erhalten wir die abgebildete Parabel.
Beobachte die Veränderungen der Parabel, wenn
du den Parameter a im Zugmodus veränderst. Notiere deine Beobachtungen. Erhält man für jeden aWert eine Parabel?
b) Untersuche jetzt analog die Graphen der Funktion f(x) x2 c in Abhängigkeit
vom Parameter c. Notiere deine Erkenntnisse.
4
Parabeln zeichnen
Berechne Wertetabellen folgender Funktionen für das Intervall [3; 3] mit der
Schrittweite 0,5 und zeichne die vier Graphen in ein gemeinsames Koordinatensystem. Gib für alle Graphen die Lage des Scheitels an.
a) f(x) 13 x2; f(x) 3x2; f(x) 13 x2; f(x) 3x2
b) f(x) 0,4x2; f(x) 2,5x2; f(x) 0,4x2; f(x) 2,5x2
c) f(x) x2; f(x) x2 1; f(x) x2 2; f(x) x2 1
d) f(x) 14 x2; f(x) 14 x2 1; f(x) 14 x2 2; f(x) 14 x2 2
5
Who is who?
Welcher Graph gehört zu welcher Gleichung? Begründe deine Entscheidung jeweils
mit einem Satz.
B) y 2x2 1
C) y 2x 1
D) y x2 1
A) y x2 2
F) y 12 x 1
G) y 12 x2 1
H) y 1x 1
E) y 12 x2 1
3 Quadratische Funktionen und Gleichungen
a)
b)
y
–3
–2
e)
–1
y
4
4
3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1
1
x
2
0
–1
1
x
2
–3
–2
0
–1
1
x
2
–3
–2
0
–1
–1
–1
–1
–1
–2
–2
–2
–2
f)
y
–2
d)
y
4
0
–1
c)
y
4
g)
y
h)
y
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
–3
–2
–1
0
y
–3
–2
0
–1
1
x
2
–3
–2
–4
–2
–2
–3
–5
x
–2
–1
0
1
2
x
6
Parabelgleichung gesucht
Eine Parabel mit einer Gleichung der Form y ax2 c verläuft durch die beiden
angegebenen Punkte. Bestimme die Gleichung der Parabel.
a) S(0|1,5); P (1 |2,5)
b) S (0|1); P(2 |1)
c) S (0|2); P(3 |2,5)
d) P(1|4); Q(2 |7)
e) P (2 |3); Q(3 |13)
f) P (1 | 0); Q(2 |6)
g) P(1 |0,5); Q(2 |1)
h) P (1 | 1); Q(2 |0)
i) P (2 | 0); Q(2 |0)
7
Reinquadratische Gleichungen
b) x2 49
a) x2 49
f) x2 0,9
e) x2 11 2
2
i) 2x 1
k) 3x2 1 5
c) x2 5
g) x2 (4)2
l) 9x2 0
n) 2x2 18 0
p)
8
o) 3x2 48 0
2 2
8
3 x 27
2
x
–2
–1
2
1
–1
–1
1
x
2
1
–1
0
1
0
d) x2 3 14
h) x2 (5)2
m) 50x2 5 27
q)
3 2 27
x 0
12
4
Kettenlinie
Eine zwischen zwei Aufhängepunkten frei herabhängende Kette beschreibt eine Kurve, die man Kettenlinie nennt. Wir betrachten eine Kettenlinie zwischen den beiden
Punkten A(5 | 10) und B(5 | 10). Sie verläuft außerdem durch die Punkte mit den in
der Tabelle angegebenen Koordinaten.
a) Zeichne die Kettenlinie.
x 0
1
2 3 4
b) Untersuche, ob die Kettenlinie eine Parabel ist:
y 0 0,25 1,1 2,7 5,4
Stelle dazu die Gleichung der Parabel durch A,
B und den Ursprung O auf. Berechne zu den x-Werten der Tabelle die y-Werte
der Parabel. Zeichne die Parabel in das Koordinatensystem von a) ein.
43
Funktionale Zusammenhänge
9
Die Brücke über den Skjern
Die Stahlseile von Hängebrücken, die durch die Fahrbahn
belastet werden, verlaufen in der
Form von Parabelbögen. Die
rechts abgebildete Hängebrücke über den dänischen Fluss
Skjern ist 60 m lang. Der Fußweg ist jeweils zwischen zwei
parabelförmigen Stahlseilen aufgehängt. Alle 2,50 m sind die
beiden Stahlseile durch einen
vertikalen Stab miteinander verbunden.
Wir führen ein Koordinatensystem ein: Der Ursprung O ist der
y
Berührpunkt des unteren und
des oberen Stahlseils (siehe
rechts). Der y-Wert des höchs0
ten Punktes des oberen Stahlseils ist 7,20 Meter, der y-Wert
des tiefsten Punktes des unteren Stahlseils 0,90 Meter.
a) Stelle die Gleichungen der Parabeln auf, die den Verlauf des oberen und des
untere Stahlseils beschreiben.
b) Lege ein Koordinatensystem an (x-Achse: 1 cm 5 m, y-Achse: 1 cm 1 m) und
zeichne die beiden Stahlseile ein.
c) Berechne die Länge der vertikalen Stäbe für x 5 m, 10 m, . . . , 25 m.
d) Stelle eine Formel für die Länge der vertikalen Stäbe in Abhängigkeit von x auf.
Überprüfe deine Formel mit einem in c) berechneten Wertepaar.
e) An welchen Stellen der Brücke sind die vertikalen Stäbe ungefähr 50 cm bzw.
1,50 m lang?
:-)
10
Nullstellen
a) Zeichne den Graphen der linearen Funktion f(x) 1,5x 3,5. Welcher x-Wert
heißt Nullstelle einer Funktion? Bestimme die Nullstelle von f(x) grafisch und
rechnerisch.
b) Zeichne den Graphen der quadratischen Funktion f(x) 12 x2 2. Ermittle die Nullstellen grafisch und rechnerisch.
c) Wie viele Nullstellen kann eine lineare Funktion haben, wie viele eine quadratische? Skizziere zu jedem Fall ein Beispiel.
11
Faktorisieren
Löse die quadratische Gleichung durch Faktorisieren:
b) 2x2 2 20
c) 1,5x2 7,5 0
a) 3x2 75 0
e)
44
1
2
z2 98 0
f) 0,5 z2 18 0
g)
1
3
u2 3 0
d) 7x2 20 13
h) 2 u2 18
7,2
0,9 x
3 Quadratische Funktionen und Gleichungen
12
Gleichungen grafisch und rechnerisch
Stelle die Gleichung der Parabel auf und berechne ihre Nullstellen.
Welche Gleichungen werden durch den Schnitt der Parabel mit der eingezeichneten
waagrechten Geraden grafisch gelöst? Stelle diese Gleichung auf und löse sie.
Vergleiche deine Lösungen mit der Zeichnung.
y
y
y
a)
b)
c)
1
–3
–2
4
4
3
3
–1
2
2
–2
1
1
0
–1
–3
13
2
x
–3
–2
–1
0
1
2
x
–3
–2
–1
0
–4
–1
–1
–5
–2
–2
1
x
2
Gleichung gesucht
Stelle zu jeder Lösungsmenge mindestens drei reinquadratische Gleichungen auf.
a) L {3; 3}
14
1
b) L { 5; 5}
c) L {0}
d) L { }
Manneken Pis
Das Manneken Pis ist eines der Wahrzeichen der belgischen Hauptstadt Brüssel.
Es wurde dort schon im 17. Jahrhundert
aufgestellt. Rechts ist eine Kopie zu sehen. Die Längeneinheit des Koordinatensystems ist 1 dm.
a) Wie hoch ist das Manneken Pis?
b) Der Wasserstrahl scheint parabelförmig zu verlaufen. Stelle die Gleichung
einer zur y-Achse symmetrischen Parabel auf, die durch die Punkte A und B
verläuft.
c) Überprüfe, ob der höchste Punkt des
Wasserstrahls und zwei weitere, selbst
gewählte Punkte auf der Parabel liegen. Was folgerst du daraus?
d) Der Sockel, auf dem das Manneken
steht, ist 120 cm hoch. Wie weit pisst
das Manneken?
y
10
6
A
5
B
1
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
x
45
Funktionale Zusammenhänge
Zum Intensivieren
15
46
Die Storebælt-Brücke
y
Die Storebælt-Brücke ist die längste Hängebrücke Europas. Sie verbindet die beiden dänischen Inseln
Fünen und Seeland. Ihre tragenden
Stahlseile verlaufen in der Form von
Parabelbögen.
Zur mathematischen Beschreibung
0
führen wir ein Koordinatensystem
ein: Die x-Achse liegt genau auf der
Wasseroberfläche mitten unter der
Fahrbahn. Die y-Achse verläuft genau in der Mitte zwischen den beiden Brückenpfeilern, die 1624 m voneinander
entfernt sind. Der Fuß der Pfeiler befindet sich 27 m unter dem Meeresspiegel. In
diesem Koordinatensystem beschreibt die Gleichung y 2,68 · 10 4 x2 77 den Verlauf der tragenden Stahlseile zwischen den Brückenständern.
a) Welche Werte darf x in dieser Gleichung annehmen? Welche Koordinaten haben
die Fußpunkte der Brückenpfeiler?
b) In welcher Höhe über dem Meeresspiegel verläuft die Fahrbahn ungefähr?
c) Wie viele Meter ragen die Brückenpfeiler über das Wasser hinaus? Wie hoch
sind sie insgesamt?
16
Gleichungen rechnerisch und grafisch
Löse zunächst die beiden Gleichungen rechnerisch. Zeichne anschließend die zugehörige Parabel. Überprüfe deine Rechenergebnisse anhand der Zeichnung.
b) 2 x2 4,5 0 und 2 x2 4,5 2
a) x2 2 0 und x2 2 4,25
d) 12 x2 2 0 und 12 x2 2 6
c) 14 x2 2 0 und 14 x2 2 5
17
Grundwissen: Lineare Funktionen
a) Zeichne die Graphen der Funktionen f1 (x) x 2, f2 (x) 2x 3, f3 (x) 12 x2,
f4 (x) 12 x und f5 (x) 3 mithilfe des y-Abschnitts und eines Steigungsdreiecks
in ein gemeinsames Koordinatensystem ein.
b) Welche besondere Lage haben die Graphen von f4 und f5 im Koordinatensystem?
Welche Lage haben die Graphen von f3 und f4 zueinander?
c) Berechne die Nullstellen der fünf Funktionen und vergleiche deine Ergebnisse mit
der Zeichnung.
d) Berechne alle Schnittpunkte der Graphen und vergleiche deine Ergebnisse mit
der Zeichnung.
e) Liegt der Punkt P(11|18) auf, oberhalb oder unterhalb des Graphen von f2?
f) Für welchen x-Wert nimmt die Funktion f3 den Wert 10 an?
x
3 Quadratische Funktionen und Gleichungen
3.2 Quadratische Funktionen
Die Funktion f(x) ax2 bx
Der Anhalteweg eines Autos in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit (Seite 41,
Aufgabe 1e) und die Abhängigkeit der Anzahl der DNA-Brüche von der Strahlendosis (Aufgabe 1) lassen sich durch quadratische Funktionen der Form f(x) ax2 bx
beschreiben. Wir interessieren uns für diesen weiteren Sonderfall (c0) quadratischer Funktionen. Als Definitionsmenge wählen wir die größtmögliche: D .
Beispiel
y 14 x2 x mit D Zum Zeichnen des Graphen legen wir eine Wertetabelle an:
x
6
5
4
1 2
4 x x
3
1,25
0
1 2
4 x 1
8
5,25
3
3
2
1
0,75 1 0,75
1,25
0
1
2
0
1,25
3
0,75 1 0,75
0
0
y
y = 1 x2 + x
4
4
y = 1 x2 – 1
4
3
2
1
Nullstellen
–6
–5
–4
–3
–2
0
–1
1
2
3
4
x
–1
S
Der Scheitel S(2| 1) der Parabel liegt nicht auf der y-Achse. Die
Parabel ist zur Geraden x 2 symmetrisch. Das Diagramm legt die
Vermutung nahe, dass sie aus der Parabel y 14 x2 1 durch eine Verschiebung um zwei Einheiten nach links hervorgeht (Aufgabe 2a). Wir
ergänzen die Wertetabelle und tragen auch die Parabel y 14 x2 1 in
das Koordinatensystem ein. Unsere Vermutung bestätigt sich. Da die
Parabel y 14 x2 1 ihrerseits aus der Parabel y 14 x2 durch eine Verschiebung um 1 nach unten hervorgeht, ist die Parabel y 14 x2 x zu
Parabel y 14 x2 kongruent.
Allgemein (Aufgabe 2b und c):
0 nicht auf
Der Scheitel der Parabel mit der Gleichung y ax2 bx liegt für b der y-Achse. Die Parabel ist zur Parabel y ax2 kongruent.
47
Funktionale Zusammenhänge
Die quadratische Gleichung ax2 bx 0
Die Nullstellen der Parabel y 14 x2 x lesen wir aus der Zeichnung ab: x1 0 und
x2 4. Wollen wir die Nullstellen berechnen, müssen wir die quadratische Gleichung 14 x2 x 0 lösen. Weil wir die Variable x in dieser Gleichung nicht isolieren
können, greifen wir auf die Methode des Faktorisierens zurück:
1 2
4 x x
x ( 14 x1)
x0
x0
0
0
oder 14 x1 0
oder x 4
Die Symmetrieachse einer Parabel verläuft immer durch ihren Scheitel. Die Nullstellen der Parabel liegen bezüglich dieser Achse symmetrisch zueinander. Folglich liegt
die x-Koordinate des Scheitels genau in der Mitte zwischen den Nullstellen, im obigen Beispiel also bei xS 2. Damit können wir auch die y-Koordinate des Scheitels
berechnen: yS 14 (2)2 2 1.
Kennen wir den Scheitel und den Streckfaktor a, dann können wir Parabeln vom Typ
y ax2 bx auch ohne Wertetabelle zeichnen.
Beispiel
y
y 12 x2 2x
4
Berechnung der Nullstellen:
y = 1 x2 + 2x
1 2
2
3
2 x 2x 0
x ( 12 x2) 0
2
x 0 oder 12 x2 0
1
x 0 oder x 4
Der Scheitel S liegt somit bei xS 2
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0
1 x
und
–1
yS 12 (2)2 2 · (2) 2 4 2.
–2
Der Streckfaktor der Parabel ist 12 .
Wir können Punkte der Parabel wie
folgt finden: Gehen wir von S um 1 nach rechts bzw. links, müssen wir
um 12 · 12 12 nach oben gehen. Gehen wir um 2 nach rechts bzw. links,
müssen wir um 12 · 22 2 nach oben gehen usw.
Quadratische Gleichungen der Form ax2 bx 0 lösen wir, indem wir x ausklammern. x 0 ist stets eine Lösung.
Die zugehörige Parabel y ax2 bx verläuft durch den Ursprung des Koordinatensystems. Die x-Koordinate ihres Scheitels liegt in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen.
Die Funktion f(x) ax2 bx c
Wir haben bisher die Sonderfälle b 0 bzw. c 0 quadratischer Funktionen untersucht. Addieren wir das konstante Glied c zum Term der quadratischen Funktion
f(x) ax2 bx, so bewirkt dieses eine Verschiebung der Parabel y ax2 bx um c in
48
3 Quadratische Funktionen und Gleichungen
y-Richtung. Weil die Parabel y ax2 bx stets durch den Ursprung verläuft, geht die
Parabel y ax2 bx c stets durch den Punkt (0 |c). Der Parameter c ist folglich die
y-Koordinate des Schnittpunkts der Parabel mit der y-Achse (Aufgabe 5).
Beispiel
y
Die Parabel y 14 x2 x wird um zwei
Einheiten nach unten verschoben:
Sie schneidet die y-Achse bei 2.
y
2
1
–6
Die Parameterwerte b und c wirken sich nur auf
die Lage des Scheites aus. Allein der Streckfaktor
bestimmt die Gestalt der Parabel.
3
y = 14 x2 + x
1 2
4 x x 2;
–5
–4
–3
–2
0
–1
–1
1
2x
b)
–2
y = 1 x2 + x –2
4
–3
Alle Parabeln mit gleichem Streckfaktor a sind kongruent.
Aufgaben
:-)
1
Strahlenschäden
Das Erbgut liegt in den menschlichen Zellen in Form der DNA
vor. Durch Röntgenstrahlung kommt es zu Schäden an ihr, z. B.
zu einem Bruch. In einem Labor wird in einer Gewebeprobe die
mittlere Anzahl y der Brüche pro DNA in Abhängigkeit von der
verwendeten Strahlendosis x (in Joule pro kg) gemessen:
x in J/kg
0
1
2,5
5
10
20
25
30
35
40
y
0
0,2
0,4
0,8
1,8
4,2
5,6
7,2
8,9
10,8
a) Zeichne den Graphen der Funktion x y mithilfe der Wertetabelle.
b) Warum ist x y keine lineare Funktion? Warum ist x y keine reinquadratische
Funktion?
c) Setze an: y a x2 b x c. Warum ist c 0? Bestimme a und b, indem du die
Wertepaare (10|1,8) und (20 |4,2) einsetzt und das so entstehende Gleichungssystem löst. Zeige in Partnerarbeit, dass die Gleichung auch die anderen Wertepaare der Tabelle liefert.
d) Strahlenbiologen sprechen von einer „linear-quadratischen“ Abhängigkeit der
DNA-Schäden von der Strahlendosis. Kannst du diese Bezeichnung erklären?
:-)
2
Funktionsplotter
a) Lasse dir den Graphen der Funktion f(x) 14 x2 x von einem Funktionsplotter
oder einem dynamischen Geometrieprogramm anzeigen. Welche Symmetrie liegt
vor? Welchen y-Wert hat der Scheitel S? Aus welcher zur y-Achse symmetrischen Parabel könnte der Graph durch Verschiebung hervorgegangen sein?
Überprüfe deine Vermutung, indem du die Gleichung dieser Parabel in den Funktionsplotter eingibst.
49
Funktionale Zusammenhänge
Definiere nun zwei Schieberegler a und b und stelle
sie zunächst auf die Werte a 0,5 und b 1 ein.
Gib anschließend die Funktionsgleichung y ax2 bx in die Eingabezeile ein.
b) Verändere nun ausschließlich den Parameter b
und beobachte, wie sich die Parabel verändert.
Welche Eigenschaften der Parabel bleiben erhalten, welche nicht?
c) Verändere nun ausschließlich den Parameter a
und beobachte, wie sich die Parabel verändert.
Welche Gemeinsamkeiten, welche Unterschiede
kannst du jeweils erkennen?
3
:-)
50
Quadratische Gleichungen ohne konstantes Glied
Löse folgende quadratische Gleichungen rechnerisch. Was kannst du über die Lage
des Scheitels der zugehörigen Parabel aussagen? Versuche, die Parabel ohne Wertetabelle zu zeichnen.
b) 3x2 9x 0
c) 2x2 5x 0
a) x2 4x 0
d) 4x2 6x 0
e) x2 x
f) 0,5 x2 2x 0
g) 12 x2 2x 0
h) 2x2 3x
i) 8x2 6x
4
Auf dem Golfplatz
Bernhard schlägt einen Golfball ab. Die Gleichung y 5x2 30x beschreibt dessen
Flughöhe y (in m) in Abhängigkeit von der Zeit x (in s).
a) Zeichne den Graphen der Funktion mithilfe einer Wertetabelle.
b) Berechne die Nullstellen der Funktion und überprüfe dein Ergebnis anhand der
Zeichnung. Was besagen die Nullstellen über den Flug des geschlagenen Golfballs?
c) Welche größte Höhe erreicht der Golfball? Zu welchem Zeitpunkt erreicht er sie?
5
Untersuchung mithilfe eines Funktionsplotters
Definiere in einem Funktionsplotter oder in einem dynamischen Geometrieprogramm drei Schieberegler a,
b und c und stelle sie auf die Werte a 2, b 3 und
c 1 ein. Gib anschließend die Funktionsgleichung
y ax2 bx c in die Eingabezeile ein.
a) Verändere nun ausschließlich den Parameter c und
beobachte genau, wie sich die Parabel verändert.
Stelle dazu auch andere Werte für a und b ein und
verändere wieder nur c im Zugmodus. Welche Gemeinsamkeiten, welche Unterschiede kannst du jeweils erkennen? Kannst du eine Aussage über die
Bedeutung des Parameters c machen?
b) Verändere abwechselnd die Parameter a, b und c.
Welche Parameter haben Einfluss auf die Gestalt
der Parabel?
3 Quadratische Funktionen und Gleichungen
6
Funktion gesucht
Von einer Parabel mit einer Gleichung der Form y x2 bx c sind zwei Nullstellen
x1 und x2 bekannt. Bestimme die Koeffizienten b und c und den Scheitel der zugehörigen Parabel.
b) x1 2; x2 4
c) x1 1, x2 1
a) x1 0; x2 2
e) x1 1; x2 3
f) x1 12 , x2 23
d) x1 1; x2 3
7
Nullstellensuche
Gegeben ist die Funktion mit der Gleichung y 2x2 7x 2.
a) Berechne den Funktionswert an den Stellen x1 1 und x2 4.
b) Wie viele Nullstellen hat die Funktion? Begründe deine Antwort.
c) Wo würdest du nach einer Nullstelle suchen?
Zum Intensivieren
8
Wertetabellen
a) Das folgende Bild zeigt die von einem Tabellenkalkulationsprogramm berechnete
Wertetabelle einer quadratischen Funktion:
Wie lautet die Gleichung der Funktion? Was kannst du über die Gestalt der
zugehörigen Parabel aussagen? Wo schneidet sie die y-Achse? Überprüfe deine
Aussagen mithilfe der Wertetabelle und lies daraus auch die Koordinaten des
Scheitels ab. Zeichne die Parabel.
b) Was kannst du über die Graphen der folgenden Funktionen aussagen?
B) f(x) x2 2x 2
C) f(x) 12 x2 x 12
A) f(x) x2 4x 5
Welche x-Koordinate könnte der Scheitel S jeweils haben? Berechne die zugehörige y-Koordinate.
Berechne anschließend nach obigem Vorbild für jede Funktion eine Wertetabelle
mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms. Zeichne den Graphen. Lies die Koordinaten des Scheitels und die Nullstellen so genau wie möglich ab. Vergleiche
mit deiner Vermutung.
9
Gleichungen
Löse folgende Gleichungen. Was ist das Besondere an den Aufgaben vom Typ A
bzw. vom Typ B? Warum kannst du sie überhaupt lösen?
A: a)
b)
c)
d)
12x 4 (x 1) 5x 7(x 1)
4x(x2) (2x 4)2
(x5)2 (1 x)2 24
(x3) (x 4) 18 x(3 x)
B: a)
b)
c)
d)
4x2 60x 11x2 4x
x2 3(2x 3) 2x(x 4) 9
(x1) (2 x) 2 x(3x 5)
(2x5) (x 2) (2x 1)2 11
51
Funktionale Zusammenhänge
3.3 Die Scheitelform der Funktionsgleichung
Jede Parabel mit einer Gleichung der Form y ax2 bx c ist zur Parabel y ax2
kongruent. Für die Spezialfälle b 0 oder c 0 können wir die Lage des Scheitels
und die Nullstellen bestimmen – aber noch nicht für den allgemeinen Fall a 0,
b 0 und c 0. Wir gehen dieses Problem nun von der umgekehrten Richtung an:
Wir betrachten Parabeln mit bekanntem Scheitel und überlegen uns die zugehörige
Gleichung.
Von Scheitel und Öffnungsfaktor zur Gleichung
Wir verschieben Parabeln, deren Scheitel im Ursprung liegt, zunächst in x-Richtung.
Beispiel 1 Die Normalparabel y x2 wird um 1
y
nach rechts verschoben. Wir zeichnen
die Normalparabel und die verschobene
Normalparabel mit einer Schablone. Bei
der Suche und nach der Funktion f(x)
der verschobenen Parabel hilft uns eine
Wertetabelle:
x
3 2 1
0
1
2
3
y x2
9
4
1
0
1
4
9
f (x)
16
9
4
1
0
1
4
Um den Funktionswert f(x) zu erhalten,
müssen wir x vor dem Quadrieren um 1
verringern. Also ist f(x) (x 1)2.
9
8
7
6
5
4
3
2
y = x2
1
–3
–2
–1
0
1
2
3
x
Der Graph der Funktion f(x) (x 1)2 ist die nach oben geöffnete Normalparabel mit dem Scheitel S(1|0). Multiplizieren wir den Funktionsterm mit der Minus-Formel aus, erhalten wir die normale Form der quadratischen Funktion:
f(x) (x 1)2 x2 2x 1
Die für die Funktion f(x) (x 1)2 angestellten Überlegungen lassen sich auf jede
Verschiebung in x-Richtung übertragen (Aufgabe 1). Ist die Parabel gegenüber der
Normalparabel schlanker oder breiter (a 1), müssen wir den Streckfaktor a berücksichtigen (Aufgabe 3). Beispielsweise ist y 12 (x3)2 die Gleichung der um 3 nach
rechts verschobenen Parabel y 12 x2.
Nun zum allgemeinen Fall: Wir verschieben eine Parabel, deren Scheitel im Ursprung
liegt, in x- und in y-Richtung.
52
3 Quadratische Funktionen und Gleichungen
Beispiel 2 Die Normalparabel y x2 wird
y = (x – 2)2 + 1
y
um 2 nach rechts und um 1
6
nach oben verschoben. Die
Gleichung der um 2 nach
5
rechts verschobenen Parabel
4
ist y (x 2)2. Um sie um 1
nach oben zu schieben, addie3
ren wir 1: y (x 2)2 1. Wird
2
die Normalparabel zusätzlich
2
1
x
=
y
y = 12 (x – 2)2 + 1
mit dem Streckfaktor 2 aufge1
bogen, lautet die Gleichung
x
0 1
–2 –1
2
3
4
5
y 12 (x2)2 1.
Durch Ausmultiplizieren und
Zusammenfassen können wir diese Form in die normale Form überführen:
y 12 (x2)2 1 12 (x2 4x 4) 1 12 x2 2x 2 1 12 x2 2x 3
In der ursprünglichen Form treten die Koordinaten des Scheitels auf. Man nennt sie
deshalb Scheitelform. Für die normale Form sagen wir auch kurz Normalform.
Unsere Überlegungen lassen sich verallgemeinern (Aufgabe 5):
Die Scheitelform
Die Gleichung einer Parabel mit dem Scheitel S (xS|yS) und dem Streckfaktor a
lautet
y a(x xS)2 yS .
Liegt eine Parabelgleichung in Scheitelform vor, können wir sowohl den Scheitel als
auch die Nullstellen der Parabel leicht bestimmen.
Beispiel 3 Von einer Parabel ist die Gleichung in der Scheitelform bekannt:
y 2(x 12 )2 2.
Entweder entnehmen wir daraus sofort den Scheitel oder wir bedenken:
Der kleinste Wert des quadratischen Anteils ist 0. Er wird für x 12
angenommen. Wenn das Quadrat 0 ist, ergibt sich der y-Wert 2. Also
ist der Scheitel S( 12 |2).
Der Streckfaktor ist a 2. Die Parabel ist folglich nach unten geöffnet
und schlanker als die Normalparabel.
Der Scheitel ist der höchste Punkt der Parabel. Er liegt über der xAchse. Die Parabel hat somit zwei Nullstellen, die wir nun berechnen
y
können:
| 2
2(x 0,5)2 2 0
2
|: (2)
2(x 0,5) 2
Wurzelziehen
(x0,5)2 1
x0,5 1
oder x 0,5 1
x 0,5 oder x 1,5
S
2
1
–2
0
–1
1 x
–1
–2
53
Funktionale Zusammenhänge
Quadratische Ergänzung
Ist eine allgemeine quadratische Funktion in Normalform gegeben, müssen wir sie
zur Bestimmung des Scheitels und der Nullstellen in die Scheitelform überführen.
Dazu klammern wir zunächst den Faktor a aus. Dann ergänzen wir das quadratische
und das lineare Glied so, dass sich der entstehende Term als Quadrat schreiben
lässt.
Beispiel 1 y x2 3x 1,75
y
x2 3x ( 32 )2 ( 32 )2 1,75
quadratische
Ergänzung
(x 32 )2 94 1,75
(x 1,5)2 4
y = x2 – 3x – 1,75
1
Nullstellen
0
1
2
3
4 x
–1
Es handelt sich um eine nach oben
–2
geöffnete Normalparabel mit dem
–3
Scheitel S (1,5| 4).
Aus der Zeichnung entnehmen wir die
–4
S
beiden Nullstellen x1 0,5 und
x2 3,5. Für die rechnerische Nullstellenbestimmung müssen wir den Funktionsterm gleich 0 setzen:
x2 3x 1,75 0. Die Lösung dieser Gleichung durch Isolieren von x
gelingt uns nicht unmittelbar. Hier hilft die Scheitelform:
(x1,5)2 4 0
(x1,5)2 4
x1,5 2
oder
x 3,5 oder
x 1,5 2
x 0,5
1
Beispiel 2 y 2 x2 2x 1,5
12 [x2 4x 3]
12 [x2 4x 22 22 3]
12 [(x2)2 1]
12 (x2)2 12
Streckfaktor ausklammern
quadratische Ergänzung
Ausmultiplizieren
Scheitel S(2 | 12 )
Mithilfe des Scheitels und des Streckfaktors 12 zeichnen wir die Parabel.
Der Zeichnung entnehmen wir die beiy
den Nullstellen x1 3 und x2 1.
5
y = 1 x2 + 2x + 1,5
2
Zur rechnerischen Nullstellenbestim4
mung verwenden wir wieder die Scheitelform:
3
1
1
2
2 (x2) 2 0
2
1
1
2
2 (x2) 2
1
(x2)2 1
Nullstellen
x2 1
oder x 2 1
0 1x
–5
–4
–3
–2
–1
S
x 1 oder x 3
54
3 Quadratische Funktionen und Gleichungen
Mit dem Verfahren der quadratischen Ergänzung sind wir in der Lage, beliebige
quadratische Gleichungen zu lösen.
Beispiel 3
2x2 8x 10
|: 2
x2 4x 5
quadratische Ergänzung
x2 4x 22 5 22
binomische Formel
(x2)2 9
Wurzel ziehen
x2 3 oder x 2 3
x 1 oder x 5
Aufgaben
:-)
:-)
1
Schiebung
Wie lautet die Gleichung der Normalparabel, die man durch Verschieben der Normalparabel y x2 um
a) 2 nach rechts
b) 5 nach rechts
c) 2 nach links
d) 2 nach oben
e) 2 nach unten
f) 2,5 nach links
g) 0,5 nach rechts
h) 12 nach unten
erhält?
2
Wanted: Verschobene Normalparabel
Zeichne die Normalparabeln mit den folgenden Gleichungen mithilfe einer Schablone. Forme den Term, falls nötig, zunächst in ein Quadrat um.
b) y (x 2,5)2
c) y (x 3)2
d) y (x 1,5)2
a) y (x 3)2
e) y x2 3
f) y x2 3
g) y x2 4x 4
h) y x2 2x 1
2
2
k) y x 2,25
i) y x 3x 2,25
3
Parabel gestaucht und verschoben
a) Berechne für die Parabel y 12 x2 eine Wertetabelle von 3 bis 3 mit der Schrittweite 1 und zeichne die Parabel. Zeichne die um 1 nach rechts verschobene
Parabel und gib zu ihr eine Wertetabelle an.
b) Durch welche der folgenden Gleichungen wird die verschobene Parabel beschrieben?
B) y 12 x2 1
C) y 12 (x 1)2
D) y 12 (x1)2
A) y 12 x2 1
Überprüfe deine Vermutung mithilfe einer Wertetabelle oder mithilfe eines Funktionsplotters.
c) Wie lautet die Gleichung der verschobenen Parabel, wenn man die ursprüngliche
Parabel um 5 nach rechts bzw. 1 nach links verschiebt?
4
Wanted: Verschobene Parabeln
Zeichne die Parabel mit der folgenden Gleichung. Klammere, falls nötig, zunächst
den Streckfaktor aus und schreibe die Klammer als Quadrat.
b) y 12 (x2)2
c) y 2(x 3)2
a) y (x 2)2
2
2
d) y 2(x 1)
e) y 2x 12x 18
f) y 2x2 4x 2
h) y 12 x2 3x 92
i) y 12 x2 2x 2
g) y 2x2 6x 4,5
55
Funktionale Zusammenhänge
:-)
5
Verschieben in alle Richtungen
a) Die Parabel mit der folgenden Gleichung soll jeweils um 1 nach oben verschoben
werden. Stelle die Gleichung der verschobenen Parabel auf. Überprüfe deine
Gleichung mithilfe einer Wertetabelle oder mithilfe eines Funktionsplotters.
B) y 12 x2 2x
C) y 12 x2 2x 3
D) y 12 (x4)2
A) y 12 x2
b) Die Parabel y 12 x2 wird um 2 nach links und um 3 nach oben verschobenen.
Wie lautet die Gleichung der verschobenen Parabel?
c) Die Parabel y 12 x2 wird um 3 nach links und um 2 nach oben verschobenen.
Wie lautet die Gleichung der verschobenen Parabel?
d) Die Parabel y 12 x2 wird um 2 nach rechts und um 3 nach oben verschobenen.
Wie lautet die Gleichung der verschobenen Parabel?
6
Normalform gesucht
a) Lies die Scheitelform jeweils aus
dem Graphen ab. Forme sie in die
Normalform um.
b) Berechne die Nullstellen mithilfe
der Scheitelform. Überprüfe deine
Ergebnisse anhand der Zeichnung.
y
a)
6
5
c)
4
b)
3
2
1
7
56
Kongruente Parabeln I
Gib die quadratische Funktion f(x) an,
die einen zur Parabel y 14 x2 kongruenten Graphen mit dem Scheitel S
besitzt.
a) S(3|0)
b) S(3| 2)
c) S(1,5|2,5)
d) S(2,5| 1,5)
–5
–4
–3
–2
0
–1
1
2
3
4
x
–1
–2
d)
–3
8
Kongruente Parabeln II
Zeichne die Parabel y 12 x2 . Bestimme die Scheitel der folgenden Parabeln. Zeichne
die Parabeln mithilfe der Parabel y 12 x2 .
b) y 12 x2 4x 8
c) y 12 x2 2x
a) y 12 x2 3
1 2
5
1 2
e) y 2 x 4x 9
f) y 12 x2 2x 2
d) y 2 x 3x 2
9
Scheitelform durch quadratische Ergänzung
Bringe die Funktionsgleichung in die Scheitelform. Zeichne die zugehörige Parabel.
Ermittle die Nullstellen grafisch und rechnerisch.
b) f(x) x2 3x 4
c) f(x) x2 x 1
a) f(x) x2 3x 4
1
e) f(x) 2x2 4x 2
f) f(x) 2x2 8x 3,5
d) f(x) x2 x 4
1 2
1 2
h) f(x) 2 x x
i) f(x) 12 x2 x 1
g) f(x) 2 x x
l) f(x) 13 x2 x 2
m) f(x) 23 x2 2x 32
k) f(x) 13 x2 x 14
3 Quadratische Funktionen und Gleichungen
10
11
Quadratische Gleichungen
Löse folgende quadratische Gleichungen:
a) x2 4x 3
b) x2 19x 78
c) x2 6x 7
d) x2 12x 288 0
e) 2x2 6x 8 0
f) 2x2 x 1
g) 5x2 35 30x
h) 3x2 18x 48
i) 3x2 10x 3
Ausziehtisch
Ein Tisch mit einer quadratischen Platte ist auf eine Länge von 3 m ausziehbar. Wie
groß ist die quadratische Platte, wenn die Tischfläche durch das Ausziehen um
2,16 m2 größer wird?
(Zwei Lösungen!)
Zum Intensivieren
12
13
14
Ergänze zu einer binomischen Formel:
a) x2 14x . . . (. . .)2
b) x2 18x . . . (. . .)2
c) x2 22x . . . (. . .)2
d) x2 14 x . . . (. . .)2
e) 4x2 14x . . . (. . .)2
f) 9x2 15x . . . (. . .)2
Normalform gesucht
Bestimme die Gleichung y ax2 bx c der Parabel, die den Scheitel S besitzt und
durch den Punkt P verläuft! (Tipp: Scheitelform!)
a) S(0|0), P (2 | 8)
b) S(0|1), P (2 |3)
c) S (0|2), P(3 | 1)
d) S(1|0), P (3 | 8)
e) S(2 | 0), P(1 | 3)
f) S (2|1), P(4 |5)
g) S(2 |1), P (4 |3)
h) S(1 | 2), P(3 | 4)
i) S (2 |3), P (1 |0)
Wanted: Gleichungen, Gleichungen, Gleichungen, . . .
Im Folgenden sind Eigenschaften von Parabeln beschrieben. Gib dazu jeweils eine
Gleichung oder – falls möglich – zwei Gleichungen verschiedener Parabeln an.
Die Parabel ist
a) eine nach unten geöffnete Normalparabel mit dem Scheitel S(2| 3).
b) eine Normalparabel mit dem Scheitel S(2|3).
c) schlanker als die Normalparabel und hat den höchsten Punkt H(0|4).
d) breiter als die Normalparabel und schneidet die y-Achse im Punkt Q(0 | 2).
e) kongruent zur Parabel y 2x2 3 und verläuft durch den Punkt P(1 | 4).
f) kongruent zur Parabel y 12 x2 x und schneidet die x-Achse im Ursprung und im
Punkt R(4|0).
g) kongruent zur Parabel y 14 x2 34 x 54 und symmetrisch zur Geraden x 4 und
verläuft ferner durch den Punkt P(8 |1).
57
Funktionale Zusammenhänge
15
„Alle Parabeln sind ähnlich!“
Die Parabel y 12 x2 ist eine weite Parabel, die Parabel y 2x2 ist eine enge Parabel.
Carl Friedrich behauptet trotzdem, dass er jede Parabel mit der Schablone für die
Normalparabel zeichnen kann. Er sucht zunächst den positiven x-Wert, der gleich
dem zugehörigen y-Wert ist.
a) Welcher x-Wert ist das für y 12 x2 , welcher y 2x2 ?
b) Dann wählt Carl Friedrich diesen Wert jeweils als Einheit auf der x- und der
y-Achse, legt die Schablone für die Normalparabel an und zeichnet:
y
–4
–2
y
y = 12 x2
8
y
y = x2
4
6
3
1,5
4
2
1
2
1
0,5
0
2
4
x
–2
–1
0
1
y = 2x2
2
2
x
–1
–0,5
0
0,5
1
x
Kontrolliere an mehreren Wertepaaren, dass Carl Friedrichs Behauptung richtig
ist.
c) Das gezeichnet Bild der Parabel y 2x2 muss um den Faktor 0,5 verkleinert
werden, damit man die gleichen Einheiten wie bei der Normalparabel erhält. Danach ist die Parabel enger als die Normalparabel.
Wie muss entsprechend das Bild der Parabel y 12 x2 verändert werden? Wie
verläuft sie danach im Vergleich zur Normalparabel?
d) Warum folgt aus Carl Friedrichs Überlegung, dass die drei betrachteten Parabeln
ähnlich sind? Dieses Ergebnis lässt sich auf alle Parabeln erweitern.
58
16
Wundersame Geldvermehrung
Valentin behauptet „3 sind genauso viel wie 4 “. Hier sein Beweis:
921 16 28
49
921 49
4 16 28 4
7 2
7 2
(3 2 ) (4 2 )
3 72 4 72
34
Wo steckt der Fehler?
17
Grundwissen: Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten
Forme in eine Summe um und gib das Ergebnis ohne negative Exponenten an.
b) (33 1)1
c) (13 2)2
a) (1 2 1)2
1
1 2
1
1
1
1
d) (a b )
e) (a b ) (a b )
f) (aa 1)2
g) (a · a1)2
h) (x3 y 3) (x 3 y 3)
i) (x2a y 2) (x2 y2)
2
2
2
2
1 1
l) (1x )
m) (1x 1)2 (1 x 1)2
k) x · y (x y )