Einführung in die Spieltheorie eserved@d - WWZ

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Vorlesung 2: Normalformspiele
Vorlesung 2:
Normalformspiele
Inhalt
2
Aufgaben
Harmonisch vs. kompetitiv
Nicht-kompetitive Spiele
Koordinationsspiele
Focal points
Koordinationsspiele mit
Interessensgegensätzen
Kompetitive Spiele
Zufallszahlen
Reaktion auf
Zufallsereignisse
Sport
Literaturangaben
Christian Thöni (SEW-HSG)
Spieltheorie und experimentelle Ökonomie
Universität Basel, HS 2010
56 / 90
Aufgaben
Aufgabe: Weitere Internetexperimente
Besuchen Sie die Seite:
http://gametheory.tau.ac.il/student/
Geben Sie als Kursnummer 1867 ein, als Passwort Kursnummer 8488 (falls noch
nicht registriert). Bearbeiten Sie die Probleme bis spätestens
22. Oktober.
Die Anreizstruktur bleibt unverändert, d.h. die Teilnahme an den Experimenten
geht in die Benotung ein.
57 / 90
Harmonisch vs. kompetitiv
Klassen von Spielen
Spiele lassen sich einteilen in kompetitive und nicht-kompetitive Spiele.
Spiel 2.1 (Kompetitives Spiel)
Links
Rechts
Links
−1, 1
1, −1
Rechts
1, −1
−1, 1
2
u2
1
0
Alle Spielergebnisse {u1 , u2 } auf der
Pareto-Grenze Ô Perfekt kompetitive Spiele
-1
0
1
2
u1
-1
Spiel 2.2 (Nicht-kompetitives Spiel)
Oper
Boxen
Oper
2, 2
0, 0
u2
Boxen
0, 0
1, 1
2
1
Wenn die Ergebnisse auf der Diagonalen liegen,
so ergibt sich ein Spiel ohne Konflikte.
0
0
1
2
u1
58 / 90
Ein nicht-kompetitives Spiel
Bowles (2004, Kap. 1) beschreibt eine Reihe von Spielen, die charakteristisch sind
für strategische Situation im täglichen (ökonomischen) Zusammenleben:
The invisible hand game
The assurance game
Prisoners’ Dilemma
Spiel 2.3 (The invisible hand game)
u2
Weizen
Tomaten
Weizen
2, 4
5, 5
Tomaten
4, 3
3, 2
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
u1
Nash Gleichgewichte? Interpretation? Wieso dieser Name?
59 / 90
Ein nicht-kompetitives Spiel mit Risiko
Der richtige Zeitpunkt zur Aussaat? Früh oder spät?
Spiel 2.4 (The assurance game)
u2
5
Früh
Spät
Früh
4, 4
3, 0
Spät
0, 3
2, 2
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
u1
Nash Gleichgewichte? Interpretation?
60 / 90
Prisoners’ Dilemma
Ein Kooperationsproblem ohne kooperatives Gleichgewicht
Spiel 2.5 (Prisoners’ Dilemma)
u2
5
C
D
C
4, 4
5, 0
D
0, 5
2, 2
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
u1
Nash Gleichgewichte? Interpretation?
61 / 90
Ihre Entscheidungen: Relying on Others’ Rationality
Games and Behavior
Relying on Others' Rationality (#3)
The Problem
You are player 1 in a two-person game with the following monetary payoff matrix
What will you play ?
Statistics
# of answers:
All: 9884
331
Player 2
Player 1
[1] A
[2] B
Answer
A
B
5,5
-100,4
0,1
0,0
%
all%
[1] 64%
59%
[2] 36%
41%
62 / 90
Koordinationsspiele
Koordinationsspiele
Koordinationsspiele sind Spiele mit mehreren Nash-Gleichgwichten in reinen
Strategien, bei denen jeweils beide Spieler dieselbe Strategie wählen müssen.
Spiel 2.6 (Ein reines Koordinationsspiel)
Es gibt zwei Spieler. Die beiden Spieler wählen unabhängig und simultan eine Zahl
aus {0, 1, . . . , 9}. Falls beide dieselbe Zahl wählen, so erhalten beide 1 Franken,
andernfalls erhalten beide nichts.
Wie sieht die Normalform dieses Spiels aus?
Was ist ein Nash-Gleichgewicht in diesem Spiel? Wie viele gibt es?
Was würden Sie tun?
63 / 90
Focal points
Focal points
In Koordinationsspielen gibt es manchmal gleichgewichtige
Strategiekombinationen, welche aus irgendeinem Grund plausibler erscheinen als
andere. Solche nennt man fokale Gleichgewichte.1
Spiel 2.7 (Treffen in Basel)
Bahnhofkiosk
Uni
Zoo
...
1 Nach
Bahnhofkiosk
1, 1
0, 0
0, 0
0, 0
Uni
0, 0
1, 1
0, 0
0, 0
Zoo
0, 0
0, 0
1, 1
0, 0
...
0, 0
0, 0
0, 0
1, 1
Schelling, 1960: The Strategy of Conflict.
64 / 90
Focal points
Mehta, Starmer und Sugden (AER 1994)
Mehta et al. führen eine Reihe von
Koordinationsspielen durch. Dabei gibt
es eine ‘Group P’, welche lediglich die
Fragen beantwortet, und eine ‘Group C’,
welche das Koordinationsspiel spielt
“In interpreting some of these responses, it
is important to know that the experiment
was carried out at the University of East
Anglia, which is located in the English city
of Norwich; that the date of the experiment
was 10 December 1990; and that most of
the participants had been born in the years
1968-1971.”
65 / 90
Focal points
66 / 90
Focal points
67 / 90
Focal points
Ihre Entscheidungen: Pick a Number Between 0 and 9
Games and Behavior
Pick a Number Between 0 and 9 (#35)
The Problem
Select randomly an integer number between 0 and 9.
My choice is :
Statistics
All Courses
# of answers:
Average:
Answer
4144
5.24
5.42
%
all%
0
6%
4%
1
8%
2
5%
6%
3
8%
10%
4
6%
8%
5 14%
13%
6
5%
9%
9%
7 24%
25%
8 13%
12%
9
329
6%
8%
68 / 90
Focal points
Ihre Entscheidungen: Which car would you choose?
Games and Behavior
Coordination Game (cars-new) (#256)
The Problem
There are five cars in a parking lot. The model and the year of each of the five cars
are listed below. You and a friend are to choose one of the five cars. You both will
receive a prize if and only if you both choose the same car.
This question replaced the old #13
Which car would you choose?
Statistics
# of answers:
A06
[1]
A05
[2]
B06
[3]
C04
[4]
A06
[5]
Answer
%
all%
[1] 49%
48%
[2]
All: 1104
329
7%
5%
[3] 14%
16%
[4] 13%
11%
[5] 17%
19%
69 / 90
Focal points
Fazit
In Koordinationsspielen gibt es zwei oder mehr Gleichgewichte. Das Konzept des
Nash-Gleichgewichts ist nicht hilfreich bezüglich der Frage, welches der
Gleichgewichte gespielt wird.
‘Richtige’ Menschen können allerdings in solchen Koordinationsspielen die Labels
der Strategien als Koordinationsinstrument benutzen. Dabei suchen sie nach
‘fokalen Punkten’, also Strategien, welche aus irgendeinem Grund herausragen
(also ‘salient’ sind). Dabei ist zu unterscheiden zwischen . . .
First order salience. Die Spieler wählen eine Strategie welche für sie selber
naheliegend ist.
Second order salience. Die Spieler wählen eine Strategie, von welcher sie
glauben, dass sie für andere Teilnehmer des Experimentes am
naheliegendsten ist.
Third order salience.
...
70 / 90
Koordinationsspiele mit Interessensgegensätzen
Spiel 2.8 (Battle of the Sexes)
u2
Oper
Boxen
Oper
2, 1
0, 0
Boxen
0, 0
1, 2
2
1
0
0
1
2
u1
Beim battle of the sexes gibt es nicht mehr ein eindeutiges Pareto-optimales
Ergebnis. Das Spiel hat daher sowohl ein nicht-kompetitives Element
(Koordination auf gleichen Anlass), als auch ein kompetitives Element (welcher
Anlass).
71 / 90
Ihre Entscheidungen im Geschlechterkampf
Games and Behavior
BoS (#5)
The Problem
You are playing the "Battle of the Sexes" which has two players "He and She".
He prefers that they meet at "T" while she prefers that they meet in B.
In bi-matrix language the game is as follows:
Play the game in the role which fits your real gender.
Statistics
# of answers:
330
All: 9307
She
[1] T
He
[3] T
[4] B
Answer
[2] B
2,1
0,0
0,0
1,2
%
all%
[1] 13%
10%
[2] 28%
28%
[3] 47%
48%
[4] 12%
14%
72 / 90
Pseudo-sequentieller Geschlechterkampf
Games and Behavior
BoS: He Moves First (#6)
The Problem
You are playing the "Battle of the Sexes" with the following payoff matrix:
You are player 2. Player 1 will make his choice first but
you will not know what that move was until you make
your own.
What is your choice?
Statistics
# of answers:
All: 6963
329
Player 2 (you)
[1] A
Player 1
2,1
0,0
B
0,0
1,2
Answer
[2] B
A
%
all%
[1] 51%
52%
[2] 49%
48%
73 / 90
Hühnerspiel
Spiel 2.9 (Chicken)
u2
Swerve
Straight
Swerve
0, 0
1, −1
Straight
−1, 1
−10, −10
-10
0
-8
-6
-4
-2
0
-2
-4
-6
-8
-10
u1
Das Chicken Spiel hat wie das Battle of the sexes Spiel zwei Nash-Gleichgewichte
in reinen Strategien. Daneben gibt es allerdings auch noch eine ‘kooperative’
Strategiekombination, bei der beide das Gesicht wahren {Swerve, Swerve}.
74 / 90
Ihre Entscheidungen im Chicken Spiel
Games and Behavior
Chicken (#77)
The Problem
You are player 1 in a two-person game with the following monetary payoff matrix.
What will you play?
Statistics
# of answers:
All: 5944
329
Player 2
Player 1
[1] A
[2] B
Answer
A
B
3,3
2,4
4,2
1,1
%
all%
[1] 35%
51%
[2] 65%
49%
75 / 90
Kompetitive Spiele
Kompetitive Spiele: Beauty Contests
Spiel 2.10 (Guess 2/3 of the average, oder: p-Beauty contest)
Es gibt n Spieler. Jeder Spieler wählt eine Zahl si ∈ [0, 100]. Derjenige Spieler,
welcher mit seiner Zahl am nächsten bei der ‘Zielzahl’ z = 32 n1 Σni=1 si (d.h. zwei
Drittel des Durchschnitts aller gewählten Zahlen) liegt, gewinnt 10 Franken. Alle
anderen gewinnen nichts.
Spieler:
Strategien:
Payoffs:
N = {1, 2, . . . , n}
Si ∈ [0, 100] ∀i
10 wenn |si − z| ≤ |sj − z| ∀ j 6= i
ui (si , s−i ) =
0 sonst
76 / 90
Kompetitive Spiele
Dominierte Strategien in Guess 2/3 of the average
Sukzessive Elimination dominierter Strategien
Schritt 1. Der Durchschnitt aller si ist höchstens 100, die Zielzahl kann also
nie grösser als 32 × 100 sein → si > 32 × 100 ≈ 66 ist strikt dominiert.
Schritt 2. Der Durchschnitt aller si ist höchstens
2
si > 32 × 100 ≈ 44 ist strikt dominiert.
..
.
2
3
× 100 →
(n−1)
Schritt n. Der Durchschnitt aller si ist höchstens 23
× 100 →
2 n
si > 3 × 100 ist strikt dominiert.
..
.
∞
Schritt ∞. si > 23
× 100 ist dominiert, es bleibt also nur noch si = 0 ∀ i
77 / 90
Kompetitive Spiele
Guess 2/3 of the average
Daten aus einem Zeitungsexperiment, durchgeführt an der Universität
Kopenhagen:
78 / 90
Kompetitive Spiele
Beobachtete Strategien
Level 0. Wähle eine beliebige Zahl aus dem Intervall [0, 100]
Level 1. Nehme an, alle anderen sind Level 0 Spieler. Der Erwartungswert
des Durchschnitts ist also 50, die optimale Reaktion ist si = 23 × 50 ≈ 33
Level 2. Nehme
an, alle anderen sind Level 1 Spieler und wähle
si = 23 23 × 50 ≈ 22
..
.
79 / 90
Kompetitive Spiele
Wiederholtes Guess 2/3 of the average
Weber (GEB 2003) untersucht wiederholte Guessing games
50
45
Mittelwert
Median
40
35
si
30
25
20
15
10
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Periode
80 / 90
Kompetitive Spiele
Warum ‘Beauty Contest’ ?
Das Spiel ist inspiriert durch eine berühmte Passage aus Keynes’ General Theory
(1936):
. . . professional investment may be likened to those
newspaper competitions in which the competitors have to
pick out the six prettiest faces from a hundred photographs,
the prize being awarded to the competitor whose choice
most nearly corresponds to the average preferences of the
competitors as a whole . . . It is not a case of choosing those
which, to the best of one’s judgment, are really the prettiest,
nor even those which average opinion genuinely thinks the
prettiest. We have reached the third degree where we devote
our intelligences to anticipating what average opinion
expects the average opinion to be. And there are some, I
believe, who practise the fourth, fifth and higher degrees.
81 / 90
Kompetitive Spiele
Schere, Stein, Papier
Spiel 2.11 (Schere, Stein, Papier)
Schere
Stein
Papier
Schere
0, 0
1, −1
−1, 1
Stein
−1, 1
0, 0
1, −1
Papier
1, −1
−1, 1
0, 0
Bei diesem Spiel handelt es sich um ein Nullsummenspiel und damit um ein strikt
kompetitives Spiel. Was ist ein Nash-Gleichgewicht in diesem Spiel?
82 / 90
Zufallszahlen
Generieren von Zufallszahlen
Aufgabe: Produziere eine Reihen von 50 binären Zufallszahlen.
Frage: Welche der folgenden zwei Reihen stammt vom Mensch (mir), welche vom
Zufallsgenerator des Computers?
¶ 01000100101101100110101101001101101011010101011010
· 00111101111001010011111011001010111111101011001110
83 / 90
Zufallszahlen
Generieren von Zufallszahlen
Es lässt sich einfach zeigen, welche der beiden Reihen von einem Menschen
stammt. Wir rechnen dazu ein Probit Model und erklären die Ziffern 3 bis 50
durch die beiden vorangehenden Ziffern (Lag1 und Lag2 )
Lag1
Lag2
Konstante
Pseudo R 2
n
Probit Schätzungen
Reihe ¶
Reihe ·
-1.854***
-0.380
(0.551)
(0.414)
-1.024*
-0.210
(0.549)
(0.403)
1.580***
0.830*
(0.554)
(0.458)
0.2241
0.0171
48
48
Signifikanz: * 10%; ** 5%; *** 1%
Interpretation?
Selber ausprobieren
qui{
*Stata Prozedur: in *.do file kopieren und starten
#delimit ;
clear; set seed 10;
/* --> enter your random sequence here */
local ah "
01000100101101100110101101001101101011010101011010
"; local ah=trim("‘ah’"); local no=length("‘ah’");
set obs ‘no’; gen a=""; qui forvalues i=1/‘no’{;
replace a=substr("‘ah’",‘i’,1) in ‘i’;};
destring a, replace; gen ac=runiform()>.5; local ac "";
forvalues i=1/‘no’{; local n=ac in ‘i’; local ac ‘ac’‘n’;};
gen n=_n; tsset n; gen _a=a;
noi di _dup(60) "_" "Human sequence" _dup(4) "_" ;
noi di "‘ah’"; noi probit _a L1._a L2._a, nolog;
estimates store e1; drop _*; gen _a=ac;
noi di _newline _dup(57) "_" "Computer sequence"
_dup(4) "_" ; noi di "‘ac’";
noi probit _a L1._a L2._a, nolog;
estimates store e2;
};
84 / 90
Reaktion auf Zufallsereignisse
Holt (1992) befasst sich mit Probability Matching. Er zeigt, dass die Teilnehmer
lernen, optimal auf Zufallsereignisse zu reagieren, wenn finanzielle Anreize
bestehen und die Teilnehmer genügend Zeit haben, die optimale Strategie zu
finden
85 / 90
Spielen Menschen gemischte Gleichgewichte?
Binmore, Swierzbinski und Proulx (EJ 2001) zeigen Resultate von verschiedenen
Nullsummenspielen:
s8 d
{BjZ8t {YB${
7e
s{Zsj
Bb {YB${
d
d
}BAsA$j$k PJZt{k
d
T1
n
dE
1xd
1
Td
T1
Mnn
;
7e }BAsA$j$k Mnn
dE
s{Zsj PJZt{k dx
(Mx
s8 1
{BjZ8t {YB${
7e
s{Zsj
Bb {YB${
d
1
n
}BAsA$j$k PJZt{k
d
Tn
T1
Tn
(
(;;
1
Td
Td
(
d
MMM
n
n
Tn
Tn
(
(EM
7e }BAsA$j$k
(
d
(
s{Zsj PJZt{k (dd
dM
(d
Christian Thöni
(SEW-HSG)
Spieltheorie
und experimentelle
Universität Basel,s{Zsj
HS 2010
86 / 90
s8
n
{BjZ8t
{YB${ Ökonomie
7e
s8 ;
{BjZ8t {YB${
7e
s{Zsj
Bb {YB${
d
1
n
}BAsA$j$k PJZt{k
d
(
1
Td
dE
1(
1
1
(
Td
dE
dnn
n
Td
Td
(
EE
EE(
7e }BAsA$j$k dE dE EE
s{Zsj PJZt{k (Md dd ;M
s8 x
{BjZ8t {YB${
7e
s{Zsj
Bb {YB${
d
1
n
;
}BAsA$j$k PJZt{k
d
d
Td
Td
Td
;(
;n
1
Td
Td
d
d
1(
dM
n
Td
d
Td
d
1(
11;
;
Td
d
d
Td
1(
dx(
7e }BAsA$j$k ;( 1( 1(
1(
s{Zsj PJZt{k ;;M 1EE dd1
d;
87 / 90
Spielen Menschen gemischte Gleichgewichte?
Die frühe experimentelle Literatur bezüglich gemischten Gleichgewichten war
vorwiegend skeptisch. Es wurde gezeigt, dass. . .
I
I
Probanden Mühe haben, zufällige Reihen zu generieren
Probanden suboptimal auf Zufallsereignisse reagieren (Probability Matching)
Die neuere Literatur (zB. Binmore et al. EJ 2001) zeigt allerdings, dass die
vorhergesagten gemischten Gleichgewichte ziemlich gut erreicht werden,
wenn man den Teilnehmern finanzielle Anreize bietet und Lernmöglichkeiten
bestehen.
88 / 90
Sport
Fussball und Tennis
Gemischte Strategien sind in vielen kompetitiven realen Situationen gefragt:
Poker, Tennis, Fussball. . .
Walker and Wooders (AER 2001) zeigen, dass professionelle Tennisspieler
beim Anschlag tatsächlich gemischte Strategien anwenden die konsistent sind
mit den spieltheoretischen Prognosen.
Chiappori, Levitt und Groseclose (AER 2002) untersuchen Daten aus zwei
Europäischen Fussballligen und kommen ebenfalls zum Schluss, dass die
Schützen und Torwarte gemischte Strategien anwenden.
89 / 90
Literaturangaben
Literaturangaben
Binmore, K., Swierzbinski, J., & Proulx, C. (2001). Does minimax work? An experimental
study. Economic Journal, 111(July), 445-464. Blackwell Publishers.
Bowles, S. (2004). Microeconomics: Behavior, Institutions, and Evolution. Princeton
University Press.
Chiappori, P., Levitt, S., & Groseclose, T. (2002). Testing Mixed-Strategy Equilibria When
Players Are Heterogeneous: The Case of Penalty Kicks in Soccer. American Economic
Review, 92(4), 1138-1151.
Holt, C. A. (1992). ISO Probability Matching. Event (London).
Mehta, J., Starmer, C., & Sugden, R. (1994). The nature of salience: An experimental
investigation of pure coordination games. American Economic Review, 151(3712), 658-673.
Walker, M., & Wooders, J. (2001). Minimax play at Wimbledon. American Economic
Review, 91(5), 1521-1538.
Weber, R. A. (2003). ‘Learning’ with no feedback in a competitive guessing game. Games
and Economic Behavior, 44, 134-144.
90 / 90

Einführung in die Spieltheorie eserved@d - WWZ

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