Apresentação em Slides: Subgrupos Cíclicos

Subgrupos Cı́clicos
Prof. Márcio Nascimento
[email protected]
Universidade Estadual Vale do Acaraú
Centro de Ciências Exatas e Tecnologia
Curso de Licenciatura em Matemática
Disciplina: Estruturas Algébricas II - 2014.2
11 de março de 2015
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Sumário
2 / 15
Subgrupos Cı́clicos
Considere o grupo Z12 com a operação +. Como seria um
subgrupo H de Z12 contendo o elemento 3?
3 / 15
Subgrupos Cı́clicos
Considere o grupo Z12 com a operação +. Como seria um
subgrupo H de Z12 contendo o elemento 3?
Sendo um subgrupo, deve conter o elemento neutro 0;
3 / 15
Subgrupos Cı́clicos
Considere o grupo Z12 com a operação +. Como seria um
subgrupo H de Z12 contendo o elemento 3?
Sendo um subgrupo, deve conter o elemento neutro 0;
Deve ser fechado para a operação. Isto é, 3 + 3 = 6 ∈ H;
3 / 15
Subgrupos Cı́clicos
Considere o grupo Z12 com a operação +. Como seria um
subgrupo H de Z12 contendo o elemento 3?
Sendo um subgrupo, deve conter o elemento neutro 0;
Deve ser fechado para a operação. Isto é, 3 + 3 = 6 ∈ H;
Pelo mesmo motivo, 3 + 6 = 9 ∈ H;
3 / 15
Subgrupos Cı́clicos
Considere o grupo Z12 com a operação +. Como seria um
subgrupo H de Z12 contendo o elemento 3?
Sendo um subgrupo, deve conter o elemento neutro 0;
Deve ser fechado para a operação. Isto é, 3 + 3 = 6 ∈ H;
Pelo mesmo motivo, 3 + 6 = 9 ∈ H;
Dentre os elementos 0, 3, 6 e 9, a soma sempre resultará em
um desses elementos!
3 / 15
Subgrupos Cı́clicos
Considere o grupo Z12 com a operação +. Como seria um
subgrupo H de Z12 contendo o elemento 3?
Sendo um subgrupo, deve conter o elemento neutro 0;
Deve ser fechado para a operação. Isto é, 3 + 3 = 6 ∈ H;
Pelo mesmo motivo, 3 + 6 = 9 ∈ H;
Dentre os elementos 0, 3, 6 e 9, a soma sempre resultará em
um desses elementos!
Os inversos: (0)−1 = 0, (3)−1 = 9, (6)−1 = 6, (9)−1 = 3.
3 / 15
Subgrupos Cı́clicos
Considere o grupo Z12 com a operação +. Como seria um
subgrupo H de Z12 contendo o elemento 3?
Sendo um subgrupo, deve conter o elemento neutro 0;
Deve ser fechado para a operação. Isto é, 3 + 3 = 6 ∈ H;
Pelo mesmo motivo, 3 + 6 = 9 ∈ H;
Dentre os elementos 0, 3, 6 e 9, a soma sempre resultará em
um desses elementos!
Os inversos: (0)−1 = 0, (3)−1 = 9, (6)−1 = 6, (9)−1 = 3.
Conclusão: H = {0, 3, 6, 9} é um subgrupo de (Z12 , +). Na
verdade, é o menor subgrupo de Z12 contendo 3.
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Subgrupos Cı́clicos
Considere o grupo Z12 com a operação +. Como seria um
subgrupo H de Z12 contendo o elemento 3?
Sendo um subgrupo, deve conter o elemento neutro 0;
Deve ser fechado para a operação. Isto é, 3 + 3 = 6 ∈ H;
Pelo mesmo motivo, 3 + 6 = 9 ∈ H;
Dentre os elementos 0, 3, 6 e 9, a soma sempre resultará em
um desses elementos!
Os inversos: (0)−1 = 0, (3)−1 = 9, (6)−1 = 6, (9)−1 = 3.
Conclusão: H = {0, 3, 6, 9} é um subgrupo de (Z12 , +). Na
verdade, é o menor subgrupo de Z12 contendo 3.
Veja que H = {(3)0 , (3)1 , (3)2 , (3)3 }, pois (3)4 = (3)0 .
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Subgrupos Cı́clicos
Exemplo
Descreva o menor subgrupo de Z12 que contém 4.
4 / 15
Subgrupos Cı́clicos
Exemplo
Descreva o menor subgrupo de Z12 que contém 4.
H = {(4)0 , (4)1 , (4)2 } = {0, 4, 8} pois (4)3 = 0.
4 / 15
Subgrupos Cı́clicos
Teorema
Seja G um grupo e a ∈ G . Então
H = {an | n ∈ Z}
é um subgrupo de G e é o menor subgrupo de G que contém a,
isto é, qualquer outro subgrupo de G que contenha a, contém o
conjunto H.
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Subgrupos Cı́clicos
Teorema
Seja G um grupo e a ∈ G . Então
H = {an | n ∈ Z}
é um subgrupo de G e é o menor subgrupo de G que contém a,
isto é, qualquer outro subgrupo de G que contenha a, contém o
conjunto H.
Prova: Sendo x, y ∈ H, tem-se x ∗ y −1 ∈ H?
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Subgrupos Cı́clicos
Teorema
Seja G um grupo e a ∈ G . Então
H = {an | n ∈ Z}
é um subgrupo de G e é o menor subgrupo de G que contém a,
isto é, qualquer outro subgrupo de G que contenha a, contém o
conjunto H.
Prova: Sendo x, y ∈ H, tem-se x ∗ y −1 ∈ H?
H é o conjunto das potências de a. Então x = ar e
y = as onde r , s são inteiros.
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Subgrupos Cı́clicos
Teorema
Seja G um grupo e a ∈ G . Então
H = {an | n ∈ Z}
é um subgrupo de G e é o menor subgrupo de G que contém a,
isto é, qualquer outro subgrupo de G que contenha a, contém o
conjunto H.
Prova: Sendo x, y ∈ H, tem-se x ∗ y −1 ∈ H?
H é o conjunto das potências de a. Então x = ar e
y = as onde r , s são inteiros.
Veja que a−s ∈ H pois −s ∈ Z. Além disso, a−s , por
definição, é igual a (a−1 )s . Logo,
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Subgrupos Cı́clicos
Teorema
Seja G um grupo e a ∈ G . Então
H = {an | n ∈ Z}
é um subgrupo de G e é o menor subgrupo de G que contém a,
isto é, qualquer outro subgrupo de G que contenha a, contém o
conjunto H.
Prova: Sendo x, y ∈ H, tem-se x ∗ y −1 ∈ H?
H é o conjunto das potências de a. Então x = ar e
y = as onde r , s são inteiros.
Veja que a−s ∈ H pois −s ∈ Z. Além disso, a−s , por
definição, é igual a (a−1 )s . Logo,
x ∗ y −1 = ar ∗ a−s = ar −s ∈ H pois r − s ∈ Z.
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Subgrupos Cı́clicos
Definição (Subgrupo Cı́clico)
Seja G um grupo e a ∈ G . O subgrupo as potências de a é
chamado Subgrupo Cı́clico de G gerado por a. Notação:
hai = {an | n ∈ Z}
Definição (Gerador)
Um elemento a ∈ G gera G e é chamado Gerador de G se
hai = G .
Definição (Grupo Cı́clico)
Um grupo G é dito Cı́clico se existe algum elemento a ∈ G que
gera G .
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Exemplos
1
H = {0, 4, 8} é um subgrupo cı́clico de Z12 pois h4i = H;
7 / 15
Exemplos
1
H = {0, 4, 8} é um subgrupo cı́clico de Z12 pois h4i = H;
2
O conjunto dos números pares, é um subgrupo cı́clico de
(Z, +)?
7 / 15
Exemplos
1
H = {0, 4, 8} é um subgrupo cı́clico de Z12 pois h4i = H;
2
O conjunto dos números pares, é um subgrupo cı́clico de
(Z, +)?
3
Existe gerador para o grupo (Z, +)?
7 / 15
Exemplos
1
H = {0, 4, 8} é um subgrupo cı́clico de Z12 pois h4i = H;
2
O conjunto dos números pares, é um subgrupo cı́clico de
(Z, +)?
3
Existe gerador para o grupo (Z, +)?
4
(R, +) é um grupo cı́clico?
7 / 15
Exemplos
1
H = {0, 4, 8} é um subgrupo cı́clico de Z12 pois h4i = H;
2
O conjunto dos números pares, é um subgrupo cı́clico de
(Z, +)?
3
Existe gerador para o grupo (Z, +)?
4
(R, +) é um grupo cı́clico?
5
Qual o subgrupo cı́clico de (Q∗ , ·) gerado por
1
?
2
7 / 15
Exercı́cio
Descreva o subgrupo cı́clico de (Z30 , +) gerado por 25.
8 / 15
Exercı́cio
Descreva o subgrupo cı́clico de (C∗ , ·) gerado por i.
9 / 15
Exemplo
Seja G o conjunto das matrizes de ordem 2 × 2 com relação a soma
de matrizes. Descreva o subgrupo de G gerado pelo elemento
1 1
0 1
10 / 15
Exemplo
Seja G o conjunto das matrizes de ordem 2 × 2 com relação a soma
de matrizes. Descreva o subgrupo de G gerado pelo elemento
1 1
0 1
n
1 1
1 1
=
|n∈Z
0 1
0 1
10 / 15
Exemplo
Seja G o conjunto das matrizes de ordem 2 × 2 com relação a soma
de matrizes. Descreva o subgrupo de G gerado pelo elemento
1 1
0 1
1
0
1
0
1
=
0
1
n
=
1
0
1
1
n
|n∈Z
n
|n∈Z
n
1
1
10 / 15
Exercı́cio
Todo grupo cı́clico é abeliano.
Prova:
11 / 15
Exercı́cio
Todo grupo cı́clico é abeliano.
Prova:
Se G é um grupo cı́clico, então existe um gerador para G ,
isto é, a ∈ G tal que
G = hai = {an | n ∈ Z}
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Exercı́cio
Todo grupo cı́clico é abeliano.
Prova:
Se G é um grupo cı́clico, então existe um gerador para G ,
isto é, a ∈ G tal que
G = hai = {an | n ∈ Z}
Sejam x, y ∈ G . Devemos mostrar: x ∗ y = y ∗ x.
11 / 15
Exercı́cio
Todo grupo cı́clico é abeliano.
Prova:
Se G é um grupo cı́clico, então existe um gerador para G ,
isto é, a ∈ G tal que
G = hai = {an | n ∈ Z}
Sejam x, y ∈ G . Devemos mostrar: x ∗ y = y ∗ x.
x ∗ y = ar ∗ as = ar +s = as+r = as ∗ ar = y ∗ x
11 / 15
Definição (Ordem de um elemento)
Seja G um grupo e a ∈ G . O menor valor de n ∈ N∗ para o qual
an = e é chamado ordem do elemento a em G . Notação:
n = o(a). Quando tal n não existir, dizemos que a tem ordem
infinita.
12 / 15
Exemplos
1
A ordem de 3 em (Z12 , +) é igual a 4, pois (3)4 = 0;
13 / 15
Exemplos
1
A ordem de 3 em (Z12 , +) é igual a 4, pois (3)4 = 0;
2
A ordem de i em (C∗ , ·) é 4 pois i 4 = 1.
13 / 15
Exemplos
1
A ordem de 3 em (Z12 , +) é igual a 4, pois (3)4 = 0;
2
A ordem de i em (C∗ , ·) é 4 pois i 4 = 1.
3
A ordem de 1 em (Z, +) é infinita pois n.1 6= 0, qualquer que
seja n ∈ N∗ .
13 / 15
Exercı́cio
Seja a ∈ G com o(a) = n ≤ 1 e m ∈ Z. Se am = e, mostre que
n|m.
Prova:
14 / 15
Exercı́cio
Seja a ∈ G com o(a) = n ≤ 1 e m ∈ Z. Se am = e, mostre que
n|m.
Prova:
Suponha, por absurdo, que n não divide m. Então, a
divisão de m por n é não exata, isto é, m = q.n + r com
0 < r < n.
14 / 15
Exercı́cio
Seja a ∈ G com o(a) = n ≤ 1 e m ∈ Z. Se am = e, mostre que
n|m.
Prova:
Suponha, por absurdo, que n não divide m. Então, a
divisão de m por n é não exata, isto é, m = q.n + r com
0 < r < n.
Daı́, e = am = aq.n+r = aq n ∗ ar = (an )q ∗ ar = e ∗ ar = ar
14 / 15
Exercı́cio
Seja a ∈ G com o(a) = n ≤ 1 e m ∈ Z. Se am = e, mostre que
n|m.
Prova:
Suponha, por absurdo, que n não divide m. Então, a
divisão de m por n é não exata, isto é, m = q.n + r com
0 < r < n.
Daı́, e = am = aq.n+r = aq n ∗ ar = (an )q ∗ ar = e ∗ ar = ar
Ou seja, ar = e com r < n. Contradição!
14 / 15
Exercı́cio
Sejam a, b elementos de um grupo G . Se a ∗ b tem ordem finita,
mostre que b ∗ a também tem ordem finita.
Prova:
15 / 15
Exercı́cio
Sejam a, b elementos de um grupo G . Se a ∗ b tem ordem finita,
mostre que b ∗ a também tem ordem finita.
Prova:
Hipótese: existe n ∈ N∗ tal que (a ∗ b)n = e. Ou seja,
15 / 15
Exercı́cio
Sejam a, b elementos de um grupo G . Se a ∗ b tem ordem finita,
mostre que b ∗ a também tem ordem finita.
Prova:
Hipótese: existe n ∈ N∗ tal que (a ∗ b)n = e. Ou seja,
(ab)(ab)...(ab) = e
|
{z
}
n vezes
15 / 15
Exercı́cio
Sejam a, b elementos de um grupo G . Se a ∗ b tem ordem finita,
mostre que b ∗ a também tem ordem finita.
Prova:
Hipótese: existe n ∈ N∗ tal que (a ∗ b)n = e. Ou seja,
(ab)(ab)...(ab) = e
|
{z
}
n vezes
Sendo G um grupo, existem a−1 e b −1 . Isto é,
15 / 15
Exercı́cio
Sejam a, b elementos de um grupo G . Se a ∗ b tem ordem finita,
mostre que b ∗ a também tem ordem finita.
Prova:
Hipótese: existe n ∈ N∗ tal que (a ∗ b)n = e. Ou seja,
(ab)(ab)...(ab) = e
|
{z
}
n vezes
Sendo G um grupo, existem a−1 e b −1 . Isto é,
a−1 (ab)(ab)...(ab)b −1 = a−1 eb −1
15 / 15
Exercı́cio
Sejam a, b elementos de um grupo G . Se a ∗ b tem ordem finita,
mostre que b ∗ a também tem ordem finita.
Prova:
Hipótese: existe n ∈ N∗ tal que (a ∗ b)n = e. Ou seja,
(ab)(ab)...(ab) = e
|
{z
}
n vezes
Sendo G um grupo, existem a−1 e b −1 . Isto é,
a−1 (ab)(ab)...(ab)b −1 = a−1 eb −1
(ba)(ba)...(ba) = a−1 b −1 = (ba)−1
|
{z
}
n-1 vezes
15 / 15
Exercı́cio
Sejam a, b elementos de um grupo G . Se a ∗ b tem ordem finita,
mostre que b ∗ a também tem ordem finita.
Prova:
Hipótese: existe n ∈ N∗ tal que (a ∗ b)n = e. Ou seja,
(ab)(ab)...(ab) = e
|
{z
}
n vezes
Sendo G um grupo, existem a−1 e b −1 . Isto é,
a−1 (ab)(ab)...(ab)b −1 = a−1 eb −1
(ba)(ba)...(ba) = a−1 b −1 = (ba)−1
|
{z
}
n-1 vezes
(ba) (ba)(ba)...(ba) = (ba)(ba)−1
|
{z
}
n-1 vezes
15 / 15
Exercı́cio
Sejam a, b elementos de um grupo G . Se a ∗ b tem ordem finita,
mostre que b ∗ a também tem ordem finita.
Prova:
Hipótese: existe n ∈ N∗ tal que (a ∗ b)n = e. Ou seja,
(ab)(ab)...(ab) = e
|
{z
}
n vezes
Sendo G um grupo, existem a−1 e b −1 . Isto é,
a−1 (ab)(ab)...(ab)b −1 = a−1 eb −1
(ba)(ba)...(ba) = a−1 b −1 = (ba)−1
|
{z
}
n-1 vezes
(ba) (ba)(ba)...(ba) = (ba)(ba)−1
|
{z
}
n-1 vezes
n
(ba) = e
15 / 15