Buchform

1
Kapitel 4
4. Darstellungsformen dynamischer Vorgänge
In Kapitel 3 wurden dynamische Systeme beschrieben, indem man ihr Verhalten durch zeitabhängige Formeln
darstellte. Man erhielt ein System von Differentialgleichungen. Zur Vereinfachung wurden diese (im allgemeinen) nichtlinearen Differerentialgleichungen linearisiert. Als Lösung dieser Differentialgleichungen erhielt man
für sprungförmige Eingangssignale die Sprungantworten und damit als Quotient aus Sprungantwort und Eingangssprungsignal die Übergangsfunktion h(t)!
4.1 Von der Differentialgleichung mittels Laplace - Transformation zur Übertragungsfunktion
Durch formale Anwendung der Laplace - Transformation (L - Transformation) wurde in Kapitel 3.2.5 der
Übergang vom Zeitraum zum Frequenzraum vollzogen. Es entstanden komplexwertige Funktionen (Polynome)
der Variablen
s = δ + jω
mit
δ = Abklingkonstante
ω = Kreisfrequenz
Es ist so möglich das gesamte lineare Differentialgleichungssystem mittels allgemeiner Übertragungsfunktion
G(s) darzustellen.
Die allgemeine Differentialgleichung für proportionales Verhalten mit Verzögerung n-ter Ordnung lautete:
Tnn · v (n) (t) + . . . + T1 · v̇(t) + v(t) = KP · u(t)
;
P T n bzw Pn
Nach Anwendung der L - Transformation wird aus dieser Differentialgleichung:
[sn · Tnn + . . . + s · T1 + 1] · v(s) = KP · u(s)
und so die Übertragungsfunktion G(s):
G(s) =
v(s)
KP
= n
u(s)
s · Tnn + . . . + s · T1 + 1
Im allgemeinsten Fall hat man folgende Differentialgleichung:
an · v (n) (t) + . . . + a1 · v̇(t) + a0 · v(t) = bm · u(m) (t) + . . . + b1 · u̇(t) + b0 · u(t)
Nach der L - Transformation wird aus dieser Differentialgleichung:
[an · sn + . . . + a1 · s + a0 ] · v(s) = [bm · sm + . . . + b1 · s + b0 ] · u(s)
und die Übertragungsfunktion lautet hierfür:
G(s) =
b m · sm + . . . + b 1 · s + b 0
v(s)
=
u(s)
an · s n + . . . + a 1 · s + a 0
Das im Kapitel 3.2.8 erwähnte System des Transportvorganges (Totzeit - System) mit der Gleichung (im Zeit Raum):
v(t) = u(t − Tt )
kann nach Anwendung der L - Transformation (Verschiebungssatz) durch folgende Gleichung beschrieben werden:
v(s) = u(s) · e−s·Tt
2
Kapitel 4
Die Übertragungsfunktion eines solchen Systems wird dann zu:
G(s) =
v(s)
= e−s·Tt
u(s)
Die allgemeinste Übertragungsfunktion G(s) beinhaltet die allgemeine lineare Differentialgleichung einschließlich Totzeit. Die Übertragungsfunktion G(s) wird in diesem Fall:
G(s) =
bm · sm + . . . + b1 · s + b0 −s·Tt
v(s)
=
·e
u(s)
an · sn + . . . + a1 · s + a0
Übertragungsfunktion G(s) und Pol - Nullstellen - Diagramm:
Die Übertragungsfunktion G(s) wird mathematisch durch ein Zähler- und Nennerpolynom in s mit den Konstanten a0 , a1 , . . . , an und b0 , b1 , . . . , bm dargestellt (der Transportvorgang d.h. es sei zur Vereinfachung
jetzt die Totzeit Tt = 0)
Stellt man dieses Polynom in einer komplexen s - Ebene dar, so findet man darin Nullstellen und Polstellen.
Ihre Lage bestimmt das dynamische Verhalten des Systems und kann daher zur Charakterisierung herangezogen
werden.
Wie bei der graphischen Darstellung der Übergangsfunktion h(t) bestimmte Eigenschaften (wie z.B. beim
P2 - RKG die Zeitkonstante T , der Dämpfungsgrad D und der Übertragungsbeiwert K) erkennbar sind, kann
man die Übertragungsfunktion G(s) ebenfalls graphisch darstellen. Charakteristische Größen sind hierbei die
Lage der Polstellen und Nullstellen der Übertragungsfunktion G(s).
Dies sei am Beispiel des oben erwähnten P2 - RKG gezeigt:
Beispiel: Schwingungsgleichung (allgemein), vergl. Kap. 3.2.9
T22 · v̈(t) + T1 · v̇(t) + v(t) = KP · u(t)
bzw. in anderer Schreibweise:
T 2 · v̈(t) + 2 · D · T · v̇(t) + v(t) = KP · u(t)
mit den Kenngrößen:
T = Schwingungsdauer ⇐⇒ ω0 = 1/T = Eigenkreisfrequenz
D = Dämpfungsgrad
wird nach der Laplace - Transformation (für Anfangsbedingungen = 0) die Übertragungsfunktion:
G(s) =
s2
·
T2
KP
=
+ s·2·D·T + 1
1
· s2
ω02
ω02 · KP
KP
= 2
2·D
s + 2 · ω0 · D · s + ω02
+
+ 1
ω0
Man erhält die Polstellen:
s1 = − ω 0 · D + ω 0 ·
�
D2 − 1
und
s2 = − ω0 · D − ω 0 ·
�
D2 − 1
In Abhängigkeit vom Dämpfungsgrad D kann bei konstanter Schwingungsdauer T die Übertragungsfunktion
G(s) und das Pol - Nullstellen - Diagrammm unterschiedliche Darstellungen annehmen.
Diese Polstellen haben im Pol - Nullstellen - Diagramm je nach Dämpfungsgrad D unterschiedliche Orte:
3
Kapitel 4
D > 1:
s1,2
h(t)
= − ω0 · D ± ω0 ·
√
D2 − 1 = −
t
−
T1
· e T1
KP · (1 −
T1 − T2
=
1
= reell ⇒
T1,2
t
−
T2
+
· e T2 )
T1 − T2
Kriechfall
Beispiel des P2 - RKG für verschiedene Zeitkonstanten
1. Fall:
T2 = 1, 5s → T 2 = T1 · T2 = 1, 8 s · 1, 5 s = 2, 7 s2
T1 = 1, 8s
→ 2 · D · T = T1 + T2 = 1, 8 s + 1, 5 s = 3, 3 s
→ D = 3, 3 s/(2 · T ) ≈ 1
G12 =
(s · T1
K
K
K
= 2
= 2
2
+ 1) · (s · T2 + 1)
s · T1 · T2 + s · (T1 + T2 ) + 1
s ·T + 2·D·T ·s + 1
s1 = − 1/T1 = − 0, 556 s−1
Polstelle:
s2 = − 1/T2 = − 0, 667 s−1
2. Fall:
T4 = 0, 6838s → T 2 = T3 · T4 = 0, 9 s2
T3 = 1, 3162s
→ 2 · D · T = T3 + T4 = 2, 0 s
→
G34 =
D = 0, 9487 s/(2 · T ) ≈ 1
K
K
K
= 2
= 2
(s · T3 + 1) · (s · T4 + 1)
s · T3 · T4 + s · (T3 + T4 ) + 1
s · T2 + 2 · D · T · s + 1
s1 = − 1/T3 = − 0, 7598 s−1
Polstelle:
s2 = − 1/T4 = − 1, 4624 s−1
Pol−Nullstellen−Diagramm
Übergangsfunktionen h1(t), h2(t)
1
0.8
1
0.6
h2(t) mit D2
ℑ
0.8
0.4
h(t)
s1 = −1/T1
s4 = − 1/T4
h1(t) mit D1 > D2
Imaginärteil
0.2
0.6
0
−0.2
s = −1/T
3
3
0.4
s2 = − 1/T2
−0.4
−0.6
0.2
−0.8
−1
−1.5
cmds43xapn
−1
−0.5
Realteil
0
0
0.5
ℜ
cmds43xahf
0
1
2
3
4
5
Zeit t
6
7
8
9
t
10 s
4
Kapitel 4
D = 1:
s1
1
1
1
=
= −
= −
T1
T2
T
= s2 = − ω 0 · D = −
reell (doppelt)
⇒
h(t)
=
aperiodischer Grenzfall
KP · [1 − e−ω0 ·t (1 − ω0 · t)]
Übergangsfunktion h(t)
Pol−Nullstellen−Diagramm
1
1
0.8
0.6
ℑ
0.8
0.4
h(t)
s1 = s2 = −1/T
Imaginärteil
0.2
0.6
0
−0.2
0.4
−0.4
−0.6
0.2
−0.8
−1
−1.5
−1
−0.5
Realteil
0
cmds43bpn
s1,2
=
− ω0 · D ± j · ω 0 ·
0
1
2
3
4
6
7
8
9
10 s
t
√
1 − D2 = − δe ± j · ωe = komplex
⇒
h(t) =
5
Zeit t
cmds43bhf
ℜ
0 < D < 1:
0
0.5
gedämpfte Schwingung
√
1
· e−D·ω0 ·t · sin(ω0 · t · 1 − D2 + arccos(D))]
KP · [1 − √
1 − D2
Übergangsfunktion h(t)
Pol−Nullstellen−Diagramm
1
s1 = −0,707 + 0,707j
1
0.8
0.6
ℑ
0.8
0.4
h(t)
Imaginärteil
0.2
0.6
0
−0.2
0.4
−0.4
−0.6
0.2
−0.8
−1
−1.5
cmds43cpn
s2 = −0,707 − 0,707j
−1
−0.5
Realteil
0
0
0.5
ℜ
cmds43chf
0
1
2
3
4
5
Zeit t
6
7
8
t
9
10 s
5
Kapitel 4
D = 0:
s1,2
=
± j · ω0 =
± j · ωe = imagiär
h(t)
=
KP · [1 − cos(ω0 · t)]
⇒
ungedämpfte Schwingung
Pol−Nullstellen−Diagramm
Übergangsfunktion h(t)
1
2
0.8
1.8
0.6
1.6
ℑ
h(t)
0.4
1.4
s1 = +(1/T) ⋅ j
Imaginärteil
0.2
1.2
0
1
−0.2
0.8
s2 = −(1/T) ⋅ j
−0.4
0.6
−0.6
0.4
−0.8
0.2
−1
−1.5
−1
−0.5
Realteil
0
cmds43dpn
s1,2
0
5
10
15
Zeit t
20
cmds43dhf
ℜ
− 1 < D < 0:
0
0.5
= + ω0 · D ± j · ω 0 ·
25
30 s
t
√
1 − D2 = + δe ± j · ωe = komplex
⇒
Pol−Nullstellen−Diagramm
Übergangsfunktion h(t)
5
3
1
aufklingende Schwingung
x 10
0.8
s = 0,4419 + 0,4419 ⋅ j
2
1
0.6
ℑ
h(t)
0.4
1
Imaginärteil
0.2
0
0
−0.2
−1
−0.4
−0.6
−2
s = 0,4419 − 0,4419 ⋅ j
2
−0.8
−1
−1.5
cmds43epn
−1
−0.5
Realteil
0
−3
0.5
ℜ
cmds43ehf
0
5
10
15
Zeit t
20
25
t
30 s
6
Kapitel 4
D = − 1:
s1
= s2 = + ω0 · D = reell (doppelt)
⇒
anwachsende Funktion
Pol−Nullstellen−Diagramm
Übergangsfunktion h(t)
5
1
5
0.8
4.5
x 10
4
0.6
h(t)
ℑ
3.5
0.4
s =s
1
2
3
0
2.5
−0.2
2
−0.4
1.5
−0.6
1
−0.8
0.5
Imaginärteil
0.2
−1
−1.5
cmds43fpn
0
−1
−0.5
Realteil
0
0.5
ℜ
cmds43fhf
0
5
10
15
Zeit t
20
25
t
30 s
7
Kapitel 4
Als weiteres Beispiel werde das Pol - Nullstellen - Diagramm des PID - RKG (bzw. PID - Regler) ermittelt.
Ausgehend von von der Gleichung des PID - RKG erhält man dessen Übertragungsfunktion G(s) durch Anwendung der L - Transformation:
�
1
1
L
u(t) · dt + TV · u̇(t)] −→ v(s) = K · [1 +
v(t) = K · [u(t) +
+ s · TV ] · u(s)
Tn
s · Tn
und damit die Übertragungsfunktion G(s) des PID - RKG:
G(s) =
1
s2 · T V · T n + s · T n + 1
v(s)
= K · [1 +
+ s · TV ] = K · [
]
u(s)
s · Tn
s · Tn
Es ergibt sich für die Parameter:
−Übertragungsbeiwert
K
=
0, 1
−Nachstellzeit
Tn
=
4s
−Vorhaltezeit
TV
=
0, 25 s
folgendes Pol - Nullstellen - Diagramm:
PID−RKG mit K = 0.1, T = 4s und T = 0.25s
n
2
v
1.5
1
ℑ
Imaginärteil
0.5
N
N
1
2
P
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−4
rt4pid_pnf
−3.5
−3
−2.5
−2
Realteil
−1.5
−1
−0.5
ℜ
0
8
Kapitel 4
4.2 Frequenzgang G(jω) und Ortskurve bzw. Bode - Diagramm
In den bisherigen Betrachtungen der Übertragungsfunktion G(s) erhielt man Informationen über das dynamische System durch die Lage der Pol- bzw. Nullstellen. Dabei setzte sich die komplexe Größe s aus den
Variablen s = δ + jω mit δ = Abklingkonstante und ω = Kreisf requenz zusammen. In der graphischen
Darstellung erhielt man eine Ebene.
Übertragungsfunktion G(s) in dB
40
20
|G(s)|
dB
0
−20
−40
−60
−80
−100
−6
−4
−6
−2
−4
0
δ
−2
0
2
2
4
ω
4
6
6
l203z
Ist der Wert der Abklingkonstanten δ = 0, ergibt sich ein Schnitt durch diese Ebene und man erhält so den
Frequenzgang G(jω).
Frequenzgang G(jω) in dB
40
20
|G(jω)|dB
0
−20
−40
−60
−80
−100
−6
−4
−6
−2
δ
−4
0
−2
0
2
2
4
4
6
l203zf
6
ω
9
Kapitel 4
bisher: s = komplexe Variable mit:
→
s = δ + jω
→
δ = Abklingkonstante
→
ω = Kreisfrequenz
für
im Beispiel:
δ
Übertragungsfunktion
Frequenzgang
= 0
G(s)
=
G(jω)
=
s−2
s2 + s · 2 + 10
jω − 2
2
(jω) + jω · 2 + 10
Bedeutung: Schnitt durch die komplexe Ebene bei δ = 0
"Bode−Diagramm" nach Lunze, RT 1, 203
0
−5
|G(ω)|
−10
dB
−15
−20
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
−1
10 s
9
10 s−1
ω
200
°
150
100
φ
50
0
−50
−100
0
1
2
3
4
5
6
7
8
l203_plot
ω
Ortskurve nach Lunze, RT 1, 203
0.6
0.5
ℑ
0.4
0.3
ω
0.2
0.1
0
−0.1
−0.2
−0.2
l203_o
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
ℜ
0.6
10
Kapitel 4
Ergänzung: Verknüpfung der Übertragungsfunktion G(s) und Frequenzgang G(jω):
Mathematisch beschreibt die komplexe Übertragungsfunktion G(s) eine konforme Abbildung der
komplexen s - Ebene mit
s = δ + jω
in die G(δ + jω) - Ebene
Beispiel: P1 - RKG
Es sei die Übertragungsfunktion G(s):
K
1 + s·T
G(s) =
Mit s = δ + jω wird diese Übertragungsfunktion:
G(δ + jω) =
ℜ[G(δ + jω)] =
ℑ[G(δ + jω)] =
1 + δT − jωT
K
= K·
1 + δT + jωT
(1 + δT )2 + (ωT )2
1 + δT
(1 + δT )2 + (ωT )2
ωT
−K·
(1 + δT )2 + (ωT )2
K·
Fallunterscheidung:
a) δ = konstant
b) ω = konstant
a) Für den Fall δ = konstant werden beide Gleichungen des Real- und Imaginärteils nach dem Nenner aufgelöst
und gleichgesetzt:
K · (1 + δT )
ℜ[G(δ + jω)]
=
⇒ ωT =
(1 + δT )2 + (ωT )2 =
− (1 + δT) ·
− K · ωT
ℑ[G(δ + jω)]
ℑ[G(δ + jω)]
ℜ[G(δ + jω)]
Setzt man diese Relation ωT in obige Gleichung des Realteils ℜ[G(δ + jω)] = ℜ[G(s)] = ℜG ein, so folgt
(in der vereinfachten Schreibweise):
ℜG =
ℜG · [1 + (
ℑG 2
) ] =
ℜG
(ℜG)2 + (ℑG)2
=
K·
1 + δT
(1 + δT )2 + (ωT )2
→ ℜG · [(1 + δT )2 + (1 + δT )2 · (
K
1 + δT
→
K
· ℜG
1 + δT
→
ℜG +
(ℜG)2 − ℜG ·
ℑG 2
) ] =
ℜG
(ℑG)2
ℜG
K
+ (ℑG)2
1 + δT
Mit der quadratischen Ergänzung K/(1 + δT ) folgt die Kreisgleichung:
(ℜG)2 − 2 · ℜG ·
⇒
K
K
K
+ [
]2 + (ℑG)2 = [
]2
2 · (1 + δT )
2 · (1 + δT )
2 · (1 + δT )
[ℜG −
K
K
]2 + (ℑG)2 = [
]2
2 · (1 + δT)
2 · (1 + δT)
Erinnerung:
Kreisgleichung in kartesischen Koordinaten und Kreismittelpunkt im Ursprung:
x2 + y 2 = R2
;
R = Kreisradius
K · (1 + δT )
=
K
1 + δT
=
0
11
Kapitel 4
Kreisgleichung in kartesischen Koordinaten und Kreismittelpunkt im Punkt C(x 0 , y0 ):
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = R2
Diese Kreisgleichung hat den Mittelpunkt K/(1 + δT ) · 2 auf der positiven Achse mit δ als Parameter. Für
ω > 0 erhält man Kreisbögen beginnend mit ω = 0 mit dem Übertragungsbeiwert K auf der reellen Achse.
Mit zunehmender Kreisfrequenz ω nähert sich der Kreisbogen dem Ursprung.
Mit zunehmendem Parameter δ erhält man kleinere Kreisbögen, wird δ kleiner, vergrößern sich die Kreisbögen.
Der Spezialfall δ = 0 ergibt die Ortskurve des Frequenzganges G(jω) !
0.1
δ=0
0
δ = + 0,2
−0.1
ℑ
δ = + 0,1
Imaginärteil
−0.2
−0.3
ω
−0.4
−0.5
−0.6
δ = − 0,2
−0.7
δ = − 0,1
−0.8
0
0.2
0.4
0.6
Realteil
0.8
1
1.2
ℜ
cmds44x1f
b) Für den Parameter ω = constant kann analog zum Fall a) die Rechnung durchgeführt werden. Man erhält:
K · (1 + δT )
ℜG
⇒
=
δT =
(1 + δT )2 + (ωT )2 =
− (1 + ωT) ·
ℜG
ℑG
−K · ωT
ℑG
Setzt man diesen Ausdruck in den Imaginärteil der Übertragungsfunktion ℑG ein, so ergibt sich wieder eine
Kreisgleichung:
⇒
[ℑG +
K 2
K 2
] + [ℜG]2 = [
]
2 · ωT
2 · ωT
mit dem Parameter ω. Deren Mittelpunkte liegen auf der negativen imaginären Achse bei −K/(2 · ωT mit dem
Radius K/(2 · ωT ).
12
Kapitel 4
Bei der Darstellung des Frequenzganges G(jω) gelten die gleichen Formeln wie bei der Übertragungsfunktion
G(s) = G(δ + jω), es hat sich lediglich die komplexe Variable s = δ + jω auf die imaginäre Variable ω
reduziert. Aus der Übertragungsfunktion G(s) wird so der Frequenzgang G(jω) !
RKG
Übertragungsfunktion G(s)
Frequenzgang G(jω)
P1
G(s) =
K
s · T1 + 1
K
G(s) = 2
s · T22 + s · T1 + 1
K
jω · T1 + 1
K
G(jω) =
(jω)2 · T22 + jω · T1 + 1
P2
G(jω) =
I0
G(s) =
KI
s
G(jω) =
KI
jω
I1
G(s) =
KI
s · [s · T1 + 1]
G(jω) =
KI
jω · [jωT1 + 1]
D0
G(s) = s · KD
D1
G(s) =
Tt
G(s) = e−
s · KD
s · T1 + 1
s·Tt
G(jω) = jω · KD
G(jω) =
jω · KD
jω · T1 + 1
G(jω) = e−
jω·Tt
13
Kapitel 4
Anwendung der Ortskurvendarstellung:
Die Darstellung des Frequenzganges als Ortskurve (sowie des später erläuterten Bode - Diagrammes) wird überwiegend zur Identifikation des dynamischen Verhaltens von RKG bzw.dynamischen Systemen angewendet (siehe
auch Isermann, Identifikation dynamischer Systeme, Bd. I und Bd. II).
Hierbei wird mittels einem periodischen Signal bestimmter Kreisfrequenz ω und Amplitude u das System (bzw.
RKG) im Arbeitspunkt angeregt und die Systemreaktion hinsichtlich Ausgangsamplitude v und Phasenverschiebung ϕ(ω) gemessen.
u(w )
R.K.G
v(w )
rtv4b
periodisches Ein− und Ausgangssignal eines dynamischen Systems
1
0.8
0.6
u(t), v(t)
u
0.4
v
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
tφ
−0.8
T
−1
−2
0
2
rt412sf
4
6
8
10
12 s
t
T = Schwingungsdauer
tφ = Phasenverschiebung (zwischen Eingangssignal u(t) und Ausgangssignal v(t) bei der Kreisfrequenz ω )
In dieser Darstellung eilt das Ausgangssignal v dem Eingangssignal u nach, daher gilt für die Berechnung des
Phasenwinkels:
ϕ =
ϕ =
tφ
· 360◦ mit ϕ in ◦
T
tφ
−
· 2 · π mit ϕ im Bogenmaß
T
−
14
Kapitel 4
Die Zeigerlänge von |G(ω)| ergibt sich aus dem Amplitudenverhältnis:
|G(ω)| =
v(ω)
= Amplitudenverhältnis = Zeigerlänge von G
u(ω)
Für verschiedene Kreisfrequenzen ωn wird das jeweilige
Amplitudenverhältnis |G(jωn )|
und der jeweilige
Phasenwinkel ϕ(jωn )
in der komplexen Ebene dargestellt. Verbindet man die Zeigerspitzen miteinander, erhält man
⇒ die Ortskurve des Systems (RKG)
Durch Anpasen der Parameter eines theroetischen Modells mittels Mathematikprogramm an die Meßwerte, kann
so das dynamische System “relativ schnell und leicht identifiziert“ werden und man erhält damit Information
über das System einschließlich der mathematischen Formulierung und den Parametern.
Ortskurve des P 2 − RKG mit K = 1, T = 1s und D = 0,7
0.1
0
−0.1
ℑ
−0.2
Imaginärteil
−0.3
−0.4
−0.5
−0.6
ω
−0.7
−0.8
−0.9
−0.4
rt4122aoxf
−0.2
0
0.2
0.4
Realteil
0.6
0.8
1
1.2
ℜ
Nachteilig bei der Darstellung des Frequenzganges G(jω) in Form einer Ortskurve ist die Tatsache, daß die
Kreisfrequenz ω als Parameter vorkommt und nicht in äquidistanten Abständen erscheint. Man hat somit keine Möglichkeit die exakte Kreisfrequenz ω zu bestimmen, bei der (wie man später noch erkennt) bestimmte
Ereignisse auftreten. Man ist daher zu einer speziellen Darstellungsart mit der Kreisfrequenz ω als Variable übergegangen. Hiebei wird die Kreisfrequenz ω in logarithmischem Maßstab (zur Anzeige eines möglichst großen
Bereiches) dargestellt:
15
Kapitel 4
Der Phasenwinkel wird an der Ordinatenachse aufgetragen und dieses Diagramm wird als Phasengang bezeichnet.
Der Betrag des Frequenzganges |G(ω)| (d.h. die Zeigerlänge der Ortskurve) kann in unterschiedlicher Weise
dargestellt werden, und zwar als
1. Betrag des Frequenzganges |G(ω)| mit logarithmischer Skalenteilung der Ordinate oder
2. Betrag des Frequenzganges in dB, d.h. 20 · lg|G(ω)| mit linearer Skalenteilung der Ordinate
P1 − RKG mit K = 3,16 und T1 = 0,01s
P1 − RKG mit K = 3,16 und T1 = 0,01s
15
10
|G(ω)|dB
|G(ω)|
5
0
10
0
−5
−10
0
1
10
2
10
3
10
10
Kreisfrequenz
ω
rt51abmf
−15
0
10
s−1
1
2
10
3
10
Kreisfrequenz
10
s−1
ω
rt51abdBf
P − RKG mit K = 3,16 und T = 0,01s
Ortskurve des P 1 − RKG
0°
0.5
1
1
−10
−20
0
φ(ω)
ℑ
Imaginärteil
−30
−0.5
−40
−50
−1
−60
−1.5
−70
−80
−2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
−90
0
10
3.5
Realteil
rt51aof
1
2
10
rt51abpf
3
10
Kreisfrequenz
ℜ
10
ω
Man erhält wie beider Ortskurve, charakteristische Kurvenverläufe aus deren Amplitudengang und Phasengang
man auf das System schließen kann. Jetzt ist es, wegen der Variablen ω, sehr einfach, das Verhalten des Systems
zu ermitteln und die Kenngrößen zu bestimmen.
s−1
16
Kapitel 4
10000
9000
|G(ω)|
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
0
10
20
30
40
rt4122_l_l
50
Kreisfrequenz
60
70
80
90
100 s−1
ω
10000
9000
|G(ω)|
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
−1
10
rt4122_lo_li
0
−1
1
10
2
10 s
10
Kreisfrequenz
ω
17
Kapitel 4
4
10
3
10
|G(ω)|
2
10
1
10
0
10
−1
10
−2
10
0
10
20
30
40
rt4122_li_lo
50
Kreisfrequenz
60
70
80
90
100 s−1
ω
4
10
3
10
|G(ω)|
2
10
1
10
0
10
−1
10
−2
10
−1
10
rt4122_lo_lo
0
−1
1
10
2
10 s
10
Kreisfrequenz
ω
18
Kapitel 4
Bei der experimentellen Ermittlung der Ortskurve bzw. des Bode-Diagramms wird an das zu untersuchende
System, Element ein sinusförmiges Signal mit konstanter Amplitude û und bestimmter Kreisfrequenz ω gelegt:
u(t) = û · sin(ω · t)
Am Ausgang des Systems, Elements erhält man ein Sinussignal der gleichen Kreisfrequenz ω mit i.a. verschiedener Ausgangsamplitude v̂, das außerdem gegenüber dem Eingangssignal u(t) um den Phasenwinkel ϕ verschoben
ist:
v(t) = v̂ · sin(ω · t + ϕ)
Für jede Kreisfrequenz ω muß zur Bestimmung der Ortskurve bzw. des Bode-Diagramms anschließend
das Amplitudenverhältnis: |G(ω)|
der Phasenwinkel: ϕ(ω)
=
=
v̂(ω)
û(ω)
tφ (ω)
−
· 360◦
T
bestimmt werden.
Dieses Verfahren ist automatisierbar. Dazu wird das
- Produkt des Ein- und Ausgangssignales gebildet → u(t) · v(t)
- Produkt des Ausgangssignales gebildet → v(t) · v(t)
Diese Produkte werden mathematisch weiterbearbeitet und man erhält anschließend aus diesen Signalen:
- den Phasenwinkel ϕ(ω)
- die Zeigerlänge |G(ω)|
Dieses Verfahren wird bei einem Vektoranalyzer angewendet.
Berechnung des Produktes aus Ein- und Ausgangssignal:
Eingangssignal:
Ausgangssignal:
֒→
mit:
֒→
Additionstheorem:
֒→
֒→
u(t)
v(t)
u(t) · v(t)
β
u(t) · v(t)
= û · sin(ω · t)
= v̂ · sin(ω · t + ϕ)
= û · sin(ω · t) · v̂ · sin(ω · t + ϕ)
= ω·t
= û · v̂ · sin(β) · sin(β + ϕ)
sin(γ + δ) =
u(t) · v(t)
u(t) · v(t)
=
=
2 · sin2 (γ) =
mit Relation:
2
sin (γ) =
→
eingesetzt:
u(t) · v(t)
=
֒→
u(t) · v(t)
=
mit Relation:
sin(2 · γ) =
→
sin(γ) · cos(γ) =
eingesetzt:
u(t) · v(t)
=
֒→
u(t) · v(t)
=
Additionstheorem:
cos(γ + δ) =
֒→
u(t) · v(t)
=
⇒
u(t) · v(t)
=
sin(γ) · cos(δ) + cos(γ) · sin(δ)
û · v̂ · sin(β) · [sin(β)cos(ϕ) + cos(β) · sin(ϕ)]
û · v̂ · [sin2 (β) · cos(ϕ) + sin(β) · cos(β) · sin(ϕ)]
1 − cos(2 · γ)
1
· (1 − cos(2 · γ)
2
1
û · v̂ · [ · (1 − cos(2 · β) · cos(ϕ) + sin(β) · cos(β) · sin(ϕ)]
2
û · v̂
1
· cos(ϕ) − û · v̂ · [ · cos(2 · β) · cos(ϕ) − sin(β) · cos(β) · sin(ϕ)]
2
2
2 · sin(γ) · cos(γ)
1
· sin(2 · γ)
2
û · v̂
1
1
· cos(ϕ) − û · v̂ · [ · cos(2 · β) · cos(ϕ) − · sin(2 · β) · sin(ϕ)]
2
2
2
û · v̂
û · v̂
· cos(ϕ) −
· [cos(2 · β) · cos(ϕ) − ·sin(2 · β) · sin(ϕ)]
2
2
cos(γ) · cos(δ) − sin(γ) · sin(δ)
û · v̂
û · v̂
· cos(ϕ) −
· cos(2 · β + ϕ)
2
2
û · v̂
û · v̂
· cos(ϕ) −
· cos(2 · ω · t + ϕ)
2
2
Der 2.Term schwingt mit der doppelten Kreisfrequenz ω und wird mittels Tiefpaßfilter eliminiert. Man hat so
mit dem Produkt aus Ein- und Ausgangssignal:
û · v̂
· cos(ϕ)
2
ein Maß für den Phasenwinkel ϕ bei dieser Kreisfrequenz ω !
⇒
u(t) · v(t) =
19
Kapitel 4
Berechnung des Produktes aus dem Ausgangssignal:
Ausgangssignal:
mit:
֒→
es war s.o.:
v(t) = v̂ · sin(ω · t + ϕ)
β = ω·t
v 2 (t) = v̂ 2 · sin2 (β + ϕ)
2 · sin2 (γ) =
2
→
sin (γ) =
֒→
v 2 (t) =
֒→
v 2 (t) =
1 − cos(2 · γ)
1
· (1 − cos(2 · γ)
2
2
v̂
· [1 − cos(2 · β + 2 · ϕ)]
2
2
v̂
· [1 − cos(2 · ω · t + 2 · ϕ)]
2
Der 2.Term schwingt ebenfalls mit der doppelten Kreisfrequenz ω und wird mittels Tiefpaßfilter eliminiert. Man
hat so mit dem Produkt aus dem Ausgangssignal:
v̂2
∼ |G|
2
ein Maß für die Zeigerlänge |G| bei bekanntem Eingangssignal u(t) mit der Kreisfrequenz ω !
v2 (t) =
⇒
gelb
lila
bleu
rot
u(t)
v^2(t)
v(t)
1
s3 +3
s2 +3
s+1
Sine Wave
1
20s+1
Tiefpassfilter 1
Product
System
u(t)*v(t)
Product1
bode_tub
1
֒→
v̂ 2
2
v̂ 2
֒→
⇒
v̂ ≈
|G| ≈
Phasenwinkel:
֒→
֒→
֒→
⇒
û · v̂
· cos(ϕ)
2
≈
0, 03
≈
0, 06
≈
0, 245
0, 245
−0, 11
2
· 0, 11
û · v̂
0, 22
cos(ϕ) ≈ −
≈ − 0, 9
0, 245
ϕ = arccos(−0, 9) = 2, 69
cos(ϕ)
≈
ϕ =
−
180◦
· arccos(−0, 9) = 154◦
π
green
Scope
blau
~cos(phi)
20s+1
Tiefpassfilter 2
Aus den Meßkurven ergibt sich für diese Kreisfrequenz ω:
Zeigerlänge:
~G
Scope1
20
Kapitel 4
1
0.8
u(t)
u(t), v(t)
0.6
0.4
0.2
v(t)
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
0
10
20
30
40
50
60
70
bode_u_v
80 s
t
0.04
2
v /2
0.02
u,v
0
−0.02
−0.04
−0.06
−0.08
(1/2)*u*v*cosφ
−0.1
−0.12
0
bode_G_phi
10
20
30
40
50
60
70
t
80 s
21
Kapitel 4
4.3. Verknüpfung der dynamischen Elemente (RKG)
Will man die Kopplungen der (Teil-) Systeme (siehe Kapitel 1.1) mathematisch erfassen und modellieren, so
erleichtern mathematische Verknüpfungsregeln diesen Vorgang. Wesentlicher Vorteil ist hierbei die Verwendung
der Übertragungsfunktion G(s) bzw. die Darstellung in Blockschaltbildern (mit den entsprechenden Übergangsfunktionen h(t).
Reihenschaltung von Elementen:
Die Definition der Übertragungsfunktion Ga (s) lautet für diese Anordnung:
⇒
Ga (s) =
v(s)
u(s)
mit der Übertragungsfunktion der einzelnen Systeme folgt:
System 1:
G1 (s) =
w(s)
u(s)
→
w(s)
=
G1 (s) · u(s)
System 2:
G2 (s) =
v(s)
w(s)
→
v(s) =
G2 (s) · w(s)
Einsetzen der Gleichung des Systems 1 in die Gleichung des Systems 2 ergibt:
v(s) = G2 (s) · G1 (s) · u(s)
Damit wird die Übertragungsfunktion Ga (s):
Ga (s) =
v(s)
u(s)
⇒
Ga (s) = G1 (s) · G2 (s)
Allgemein gilt für die Übertragungsfunktion GnR (s) von n in Reihe geschalteten Systemen mit den Übertragungsfunktionen G1 (s), G2 (s), G3 (s), . . . , Gn (s):
⇒
GnR = G1 (s) · G2 (s) · G3 (s) . . . · Gn (s) =
n
�
i=1
Gi (s)
22
Kapitel 4
Parallelschaltung von Elementen:
Mit den Übertragungsfunktionen G(s) der einzelnen Systeme folgt:
mit:
v(s)
= v3 (s) = v4 (s)
System 3:
w3 (s)
= G3 (s) · v(s)
System 2:
w4 (s)
= G4 (s) · v(s)
und
w(s)
= w3 (s) + w4 (s)
wird
w( s)
= G3 (s) · v(s) + G4 (s) · v(s)
w(s)
= [G3 (s) + G4 (s)] · v(s)
Damit wird die Übertragungsfunktion Gb (s):
Gb (s) =
w(s)
v(s)
⇒
Gb (s) = G1 (s) + G2 (s)
Allgemein gilt für die Übertragungsfunktion GnR (s) von n parallel geschalteten Systemen mit den Übertragungsfunktionen G1 (s), G2 (s), G3 (s), . . . , Gn (s):
⇒
GnP = G1 (s) + G2 (s) + G3 (s) + . . . + Gn (s) =
n
�
i=1
Gi (s)
23
Kapitel 4
Kreisschaltung von Elementen (Rückkopplung (+) und Gegenkopplung (-)):
Mit den Übertragungsfunktionen G(s) der einzelnen Systeme folgt:
System 5:
x(s)
=
G5 (s) · [w(s) − xr (s)]
- Zeichen bei Gegenkopplung ! ! !
+ Zeichen bei Mitkopplung ! ! !
System 6:
xr (s) =
G6 (s) · x(s)
Einsetzen der Gleichung des Systems 6 in die Gleichung des Systems 5 ergibt (für Gegenkopplung):
x(s)
= G5 (s) · [w(s) − G6 (s) · x(s)]
x(s)
= G5 (s) · w(s) − G5 (s) · G6 (s) · x(s)
[1 + G5 (s) · G6 (s)] · x(s)
= G5 (s) · w(s)
Damit wird im Falle einer Gegenkopplung das System Gc (s):
Gc (s) =
x(s)
w(s)
⇒
Gc (s) =
G5 (s)
1 + G5 (s) · G6 (s)
Liegt eine Mitkopplung ( + Zeichen) vor, so erhält man für Gc (s):
Gc (s) =
x(s)
w(s)
⇒
Gc (s) =
G5 (s)
1 − G5 (s) · G6 (s)
24
Kapitel 4
Beispiel 4.4.1: gesucht wird das Übertragungsverhalten G(s) = v(s)/u(s) für folgendes gegebene dynamische
System
Gleichung 1:
v(s)
=
Gleichung 2:
vr (s) =
Gleichung 3:
e(s) =
KI
· e(s)
s
KP · v(s)
vr (s) − u(s) ! ! !
Nach Einsetzen der Gleichung 2 und 3 in die Gleichung 1 erhält man folgende Relation:
v(s)
v(s) −
−
KI · KP
· v(s)
s
s
· v(s) + v(s)
KI · KP
mit
T1
und
K1
KI
· [KP · v(s) − u(s)]
s
KI
= −
· u(s)
s
1
=
· u(s)
KP
1
= −
KI · KP
1
=
KP
=
folgt:
[s · T1 + 1] · v(s)
=
K1 · u(s)
Die resultierende Übertragungsfunktion G(s) = v(s)/u(s) wird so:
G(s) =
v(s)
K1
=
u(s)
s · T1 + 1
mit T1 < 0 ! ! !
negative Zeitkonstanten sind physikalisch unsinnig → Modifikation:
+
mit
s
· v(s) − v(s)
KI · KP
=
T1
=
[s · T1 − 1] · v(s)
=
folgt:
1
· u(s)
KP
1
+
KI · KP
−
− K1 · u(s)
Das System ist instabil ! (siehe Kapitel 3.5.4)
25
Kapitel 4
4.4 Beispiele von elementaren dynamischen Elementen, Systemen RKG
4.4.1 proportionales Verhalten
proportionales Verhalten ohne Verzögerung (P0 -Verhalten)
(Differential-) Gleichung:
a0 · v(t)
= b0 · u(t)
L − Transformation:
a0 · v(s)
= b0 · u(s)
֒→
mit
֒→
mit δ = 0
G(s) =
v(s)
u(s)
=
b0
a0
a0
= 1
b0
= K
G(s)
s
= K = const. = f (s)
= 0 + jω
֒→
G(jω)
= K = const. = f (jω)
Zeigerlänge:
|G(ω)|
= K = const. = f (ω)
֒→
|G(ω)|dB
= 20 · log10 (K)
Phasenwinkel:
tan ϕ(ω)
=
֒→
ϕ(ω)
ℑ(ω)
0
=
=0
ℜ(ω)
K
= 0 = f (ω)
26
Kapitel 4
P1 - RKG
Ausgehend von der Übertragungsfunktion G(s) des P1 - RKG erhält man mit der Abklingkonstante δ = 0
den Frequenzgang:
G(jω) =
K
jω · T1 + 1
Dieser Frequenzgang G(jω) wird jetzt in verschiedenen Versionen dargestellt:
- als Realteil ℜ[G(jω)] und Imaginärteil ℑ[G(jω)]
- mittels Eulergleichung
- Betrag bzw. Zeigerlänge |G(ω)|
- Phasenwinkel ϕ(ω)
Berechnung des Real- und Imaginärteils des Frequenzganges des P1 - RKG
Hierfür muß der Frequenzgang konjugiert komplex erweitert werden und man erhält:
− jω · T1 + 1
K
·
jω · T1 + 1 − jω · T1 + 1
G(jω) =
K · (1 − jω · T1 )
(ω · T1 )2 + 1
− ω · T1
1
+ j ·K ·
K·
(ω · T1 )2 + 1
(ω · T1 )2 + 1
1
K·
(ω · T1 )2 + 1
− ω · T1
K·
(ω · T1 )2 + 1
G(jω) =
G(jω) =
⇒ ℜ[G(jω)] =
⇒ ℑ[G(jω)]
=
Berechnung des Betrages |G(jω)| des Frequenzganges (Zeigerlänge) des P1 - RKG
Mit der Definition des Betrages einer komplexen Größe z:
�
(ℜ[z])2 + (ℑ[z])2
|z| =
ergibt sich für den Betrag des Frequenzganges |G(jω)| des P1 - RKG mit:
G(jω)
=
G(jω)
=
|G(jω)|
=
|G(jω)|
=
⇒ |G(jω)|
=
K · (1 − jω · T1 )
(ω · T1 )2 + 1
1
− ω · T1
K·
+ j·K ·
2
(ω · T1 ) + 1
(ω · T1 )2 + 1
�
K
− K · ω · T1 2
)2 + (
)
(
(ω · T1 )2 + 1
(ω · T1 )2 + 1
�
K 2 · (1 + ω · T1 )2
[(ω · T1 )2 + 1]2
K
�
1 + (ω · T1 )2
27
Kapitel 4
Berechnung des Phasenwinkels ϕ(ω) des Frequenzganges des P1 - RKG
Mit der Definition des Phasenwinkels einer komplexen Größe z:
tan ϕ(z) =
ℑ(z)
ℜ(z)
ergibt sich für den Phasenwinkel ϕ(ω) des Frequenzganges |G(jω)| des P1 - RKG:
K · ωT1
1 + (ω · T1 )2
K
1 + (ω · T1 )2
−
tan ϕ(ω) =
tan ϕ(ω) =
⇒
− ωT1
ϕ(ω) =
arctan(− ωT1 )
ϕ(ω) =
− arctan(ωT1 )
Bestimmung der Ortskurve für ein P1 - RKG
In diesem Beispiel sei K = 1 und T1 = 1 s:
Berechnung der Ortskurve mittels Eulergleichung (Betrag und Phase)
Für bestimmte Kreisfrequenzen ω ergibt sich dann:
ω
ω0 = 0 s−1
ω∞ = ∞ s−1
ω1 = 1 s−1
|G(ω)|
1
= 1
1 + 0
1
√
= 0
1 + ∞
1
1
√
= √
1 + 1
2
√
tan ϕ(ω)
ϕ(ω)
0
0◦
?
?◦
−1
− 45◦
Berechnung der Ortskurve mittels Realteil und Imaginärteil des Frequenzganges dieses P1 - RKG
ℜ[G(ω1 )] =
ℑ[G(ω1 )] =
K
1 + (ω1 · T1 )2
− K · ω1 · T1
1 + (ω1 · T1 )2
=
=
1
1 + 1
1
−
1 + 1
=
0, 5
=
− 0, 5
28
Kapitel 4
Ortskurve des P 1 − RKG mit K = 1 und T1 = 1 s
0.4
0.3
0.2
ℑ
0.1
Imaginärteil
0
ω∞
ω0
−0.1
−0.2
φ1 = − 45°
−0.3
−0.4
ω
−0.5
ω
1
−0.2
rt4221cf
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Realteil
ℜ
Diese recht mühsame Berechnung der Ortskurve kann mittels Mathematikprogramm (hier Matlab) einfach dargestellt werden:
00001
00002
00003
00004
00005
00006
00007
00008
00009
00010
00011
00012
00013
00014
00015
00016
00017
% rt4221a: Ortskurve des P 1-RKG aus
%
der Übertragungsfunktion G(s)
%
K = 1 ; % Übertragungsbeiwert K
T = 1 ; % Zeitkonstante T
%
Z = [K]
; % Zähler der Übertragungsfunktion G(s): K
N = [T 1] ; % Nenner der Übertragungsfunktion G(s): s*T + 1
%
[re,im]=nyquist(Z,N) ; % Berechnung der Ortskurve mit -inf<w<+inf
%
plot(+re,+im),grid
% Zeichne die Ortskurve mit Gitter
axis ([-.2 1.2 -.6 .4]) % Achsen: x min x max y min y max
title(’Ortskurve des P 1 - RKG’)
xlabel(’Realteil’)
ylabel(’Imaginärteil’)
text(1.06, -.58, ’rt4221a’)
29
Kapitel 4
Man erhält folgende Ortskurve:
Ortskurve des P 1 − RKG
0.4
0.3
0.2
ℑ
0.1
Imaginärteil
0
−0.1
−0.2
−0.3
−0.4
−0.5
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Realteil
rt4221af
ℜ
In dieser Darstellung ist es schwierig die exakten Daten für eine bestimmte Kreisfrequenz ω zu ermitteln. Dies
ist im Bode - Diagramm leicht ablesbar.
Man geht wieder von dem Frequenzgang G(jω) aus und wendet obige Formel hinsichtlich des Betrages (Zeigerlänge) |G(jω)| und dem Phasenwinkel ϕ(ω) an.
30
Kapitel 4
Bode - Diagramm für ein P1 - RKG
Es lautete die Gleichung für den Betrag und den Phasenwinkel des P1 -RKG:
⇒
ϕ(ω)
⇒ |G(jω)|
= − arctan(ωT1 )
K
�
1 + (ω · T1 )2
=
Wie im Kapitel 4.1.2 bereits erwähnt, kann der Betrag des Frequenzganges (Amplitudengang) in logaritmischer
Skalierung der Ordinate oder als lineare Skalierung der Ordinate aber in dB (=Dezibel) dargestellt werden. Zur
einfacheren Darstellung wird hier die Version mittels Dezibel verwendet. Dazu wird der Betrag des Frequenzganges nach folgender Formel umgerechnet:
|G(ω)|dB = 20 · lg|G(ω)|
Wendet man diese Relation auf die Gleichung des Betrages des P1 - RKG an, ergibt sich:
→ |G(ω)|dB
=
→ |G(ω)|dB
=
K
20 · lg �
1 + (ω · T1 )2
�
20 · lg(K) − 20 · lg 1 + (ω · T1 )2
Diese Gleichung des Amplitudenganges werde nun für verschiedene Fälle diskutiert
→
1.Fall: ω · T1
≪
→
2.Fall: ω · T1
≫ 1
→
3.Fall: ω · T1
≈ 1
1.Fall: ω · T1 ≪ 1 → 20 · lg
⇒ |G(ω ≪
Übergangsbereich von Fall 1 und Fall 2
�
√
1 + (ω · T1 )2 ≈ 20 · lg 1 = 0
1
)|dB = 20 · lg(K)
T1
2.Fall: ω · T1 ≫ 1 → 20 · lg
⇒ |G(ω ≫
1
�
�
1 + (ω · T1 )2 ≈ 20 · lg (ω · T1 )2 = 20 · lg(ω · T1 )
1
)|dB = 20 · lg(K) − 20 · lg(ω · T1 )
T1
Erläuterung zum Fall 2:
Es sei:
T1
= 1s
ω10
ω100
10 s−1
→
ω10 · T1
=
10
= 100 s−1
→
ω100 · T1
=
100
=
mit ω10 → ω100 = 1 Dekade
Berechnung des Amplitudenganges in dB für den Fall 2 mit K = 1:
|G(ω10 )|dB = 20 · lg(K = 1) − 20 · lg(10) = 0 − 20 = − 20
|G(ω100 )|dB = 20 · lg(K = 1) − 20 · lg(100) = 0 − 40 = − 40
31
Kapitel 4
Der Amplitudengang ändert sich bei Erhöhung der Kreisfrequenz von ω10 → ω100 (=1 Dekade) um:
Δ|G(ω10 → ω100 )|dB
= |G(ω100 )|dB − |G(ω10 )|dB
Δ|G(ω10 → ω100 )|dB
= 20 · lg(K = 1) − 40 − [ 20 · lg(K = 1) − 20]
Δ|G(ω10 → ω100 )|dB
= − 20
Mit steigender Kreisfrequenz ω nimmt der Amplitudengang um 20 dB/Dekade für ω · T1 ≫ 1 ab !
3.Fall: ω · T1 = 1 = ωE · T1 mit ωE = Eckfrequenz
Berechnung der Abweichung des Amplitudenganges bei der Eckfrequenz ω E im Vergleich zu niedrigen Kreisfrequenzen ωT1 ≪ 1 (Fall 1). Man hat die Gleichung:
1
T1
1
→ Δ|G(ω ≪
T1
1
→ Δ|G(ω ≪
T1
1
⇒ Δ|G(ω ≪
T1
→
Δ|G(ω ≪
1
)|dB
T1
→ ωE )|dB
= |G(ωE )|dB − |G(ω ≪
→ ωE )|dB
= 20 · lg(K) − 20 · lg
→ ωE )|dB
√
= − 20 · lg 1 + 12
→ ωE )|dB
= − 20 · lg(1, 414) ≈ −3 (dB)
�
1 + (ωE · T1 )2 − 20 · lg(K)
Der wirkliche Amplitudengang ist gegenüber der Näherung an der Eckfrequenz ωE um 3 dB niedriger (abgeschwächt).
Darstellung des Phasenganges ϕ(ω):
Mit obiger Zeitkonstanten T1 = 1 s ergeben sich folgende Phasenwinkel ϕ(ω):
ω
ω · T1
tan ϕ(ω)
ϕ(ω)
0, 0 s−1
0, 0
0, 00
0, 0◦
0, 1 s−1
0, 1
ωE = 1, 0 s−1
− 0, 10
− 5, 7◦
1, 0
10, 0 s−1
−1, 00
10, 0
−10, 00
−45, 0◦
−84, 3◦
32
Kapitel 4
Bode - Diagramm von P1 - RKG mit verschiedenen Kenngrößen
G1 : K = 0, 1 ;
T1 = 0, 1 s
G2 : K = 1, 0 ;
T1 = 10 s
P − RKG mit K = 0,1 und T = 0,1 s ; P − RKG mit K = 1 und T = 10 s
1
1
1
1
2
1
0
−10
|G(ω)|
dB
−20
−30
−40
RKG
1
−50
−60
RKG2
−2
−1
10
0
10
1
10
Kreisfrequenz
rt4221dbdbf
2
10
10
s−1
ω
P − RKG mit K = 0,1 und T = 0,1 s ; P − RKG mit K = 1 und T = 10 s
0
1
1
1
1
2
1
−10
−20
φ(ω)
−30
−40
−50
−60
−70
RKG
2
−80
RKG1
−90
−2
10
rt4221dbpf
−1
10
0
10
Kreisfrequenz
1
2
10
10
ω
−1
s
33
Kapitel 4
Durch leichte Modifikation des Mathematikprogrammes (der Ortskurve) erhält man die Darstellung des Bode Diagrammes:
00001
00002
00003
00004
00005
00006
00007
00008
00009
00010
00011
00012
00013
00014
00015
00016
00017
00018
00019
% rt4121b: Bode-Diagramm des P 1-RKG aus
%
der Übertragungsfunktion G(s)
%
K = 1 ; % Übertragungsbeiwert K
T = 1 ; % Zeitkonstante T
%
Z = [K]
; % Zähler der Übertragungsfunktion G(s): K
N = [T 1] ; % Nenner der Übertragungsfunktion G(s): s*T + 1
%
w = logspace(-1,1,100)
; % Kreisfrequenz w von .1 bis 10, 100 Werte
[mag,phase,w]=bode(Z,N,w) ; % Berechnung des Bode - Diagramms
%
bode(Z,N)
% Zeichne das Bode - Diagramm
%
title(’Bode-Diagramm des P 1 - RKG’)
xlabel(’Kreisfrequenz’)
ylabel(’Phasengang in grd, Amplitudengang in dB’)
text(.08, -100, ’rt4121b’)
grid
Eigenschaften im Bode - Diagramm des P1 - RKG:
Bode−Diagramm des P1 − RKG
0
−5
Phasengang in grd, Amplitudengang in dB
−10
−15
−20
−25
0
−45
−90
−1
10
0
10
1
10
Kreisfrequenz
rt4121bf
Charakteristisch für das Bode - Diagramm eines P1 - RKG ist der konstante Beitrag im Amplitudengang bis zu
einer bestimmten Kreisfrequenz ω = ωE = 1/T1 d.h.Eckfrequenz. Ab dieser Eckfrequenz ωE nimmt mit zunehmender Kreisfrequenz ω die Amplitude des Ausgangssignales v(ω) ab. Innerhalb einer Kreisfrequenzdekade
beträgt diese Abnahme der Ausgangsamplitude den Faktor 0,1 ; berechnet in Dezibel
|G(ω → 10 · ω)|dB = 20 · lg(1/10) = 20 · lg(0, 1) = − 20 !
34
Kapitel 4
Der Phasengang ϕ(ω) zeigt eine Verringerung des Phasenwinkels, ausgehend von ϕ = 0 ◦ bei niedrigen
Kreisfrequenzen ω bis zu einer Phasenverschiebung ϕ = − 90 ◦ bei hohen Kreisfrequenzen ω !
Bei der Eckfrequenz ωE = 1/T1 beträgt die Phasenverschiebung ϕ(ωE ) = − 45◦ !
Da, wie bereits erwähnt, die Amplitude eines Sinus - Signales bis zu einer bestimmten Kreisfrequenz
ω = ωE = 1/T1 = Eckfrequenz ωE konstant bleibt, bezeichnet man in der Nachrichtentechnik diese
Kreisfrequenz ω auch als Grenzfrequenz ωGr , d.h.
ωE = ωGr
und den Frequenzbereich der Kreisfrequenz ω = 0 s−1 bis zu dieser Eckfrequenz ωE bzw. Grenzfrequenz ωGr
als Bandbreite des Systems (Bandbreite des Filters). Die Bandbreite des Systems hat dann den Wert der
Eckfrequenz ωE !
Betrachtet man den Energieinhalt an der Stelle der Eckfrequenz ω E , d.h.
|G(jωE )|2
=
|G(jωE )|dB
≈
1
· |G(0)|2 bzw.
2
|G(0)|dB − 3 dB
Bei der Eckfrequenz ωE beträgt die Energie des Ausgangssignales v(ωE ) nur die Hälfte des angelegten Eingangssignales u !
Bei der Betrachtung des P1 - RKG im Kapitel 3 wurde die Zeitkonstante T1 ermittelt als die Zeit t, die
vergangen ist bei Aufschalten eines Sprungsignales u, bis die Sprungantwort v(t 63% ) = 0, 63 · v(t = ∞), d.h
63 % ihres Endwertes erreicht hat.
In der Nachrichtentechnik wird die Relation:
ωE · T1 = ωGr · t63% = 1
als Zeit - Bandbreitenprodukt bezeichnet !
Wie der Amplitudengang |G(jω)| zeigt, haben alle Amplituden v̂ des Ausgangssignales bis zur Kreisfrequenz
ωE den gleichen Wert. Erhöht man die Kreisfrequenz ω, so nimmt die Amplitude v̂ des Ausgangssignales ab.
Die höheren Frequenzen werden herausgefiltert und nur die tieferen Kreisfrequenzen bie zur Kreisfrequenz ω E
ungehindert durchgelassen. Daher wird das P1 - RKG auch als Tiefpaß (1.Ordnung) bezeichnet !
35
Kapitel 4
P2 - RKG
Ausgehend von der Übertragungsfunktion G(s) des P2 - RKG erhält man den Frequenzgang:
G(jω) =
K
(jω · T2 )2 + jω · T1 + 1
Wie beim P1 - RKG wird auch hier der Frequenzgang G(jω) in verschiedenen Versionen dargestellt !
Berechnung des Real- und Imaginärteils des Frequenzganges des P2 - RKG
Es wird der Nenner des Frequenzganges in Real- und Imaginärteil getrennt und dann konjugiert komplex
erweitert:
K
G(jω) =
1 − (ω · T2 )2 + jω · T1
G(jω) =
K
1 − (ω · T2 )2 − jω · T1
·
1 − (ω · T2 )2 + jω · T1 1 − (ω · T2 )2 − jω · T1
G(jω) =
K · (1 − (ω · T2 )2 − jω · T1 )
[1 − (ω · T2 )2 ]2 + [ω · T1 ]2
G(jω) =
K·
1 − (ω · T2 )2
− ω · T1
+ j ·K ·
[1 − (ω · T2 )2 ]2 + [ω · T1 ]2
[1 − (ω · T2 )2 ]2 + [ω · T1 ]2
⇒ ℜ[G(jω)]
=
K·
1 − (ω · T2 )2
[1 − (ω · T2 )2 ]2 + [ω · T1 ]2
⇒ ℑ[G(jω)]
=
K·
− ω · T1
[1 − (ω · T2 )2 ]2 + [ω · T1 ]2
Berechnung des Betrages |G(jω)| des Frequenzganges (Zeigerlänge) des P2 - RKG
Es ergibt sich für den Betrag des Frequenzganges |G(jω)| des P2 - RKG mit:
K
1 − (ω · T2 )2 + jω · T1
G(jω)
=
G(jω)
= K·
�
|G(jω)|
=
(
�
1 − (ω · T2 )2
− ω · T1
+ j·K ·
2
2
2
[1 − (ω · T2 ) ] + [ω · T1 ]
[1 − (ω · T2 )2 ]2 + [ω · T1 ]2
K · [1 − (ω · T2 )2 ]
− K · ω · T1
)2 + (
)2
[1 − (ω · T2 )2 ]2 + [ω · T1 ]2
[1 − (ω · T2 )2 ]2 + [ω · T1 ]2
K 2 · [1 − (ω · T2 )2 ]2 + (ω · T1 )2
[[1 − (ω · T2 )2 ]2 + [ω · T1 ]2 ]2
|G(jω)|
=
|G(jω)|
=
�
K
· [1 − (ω · T2 )2 ]2 + (ω · T1 )2
2
2
2
[1 − (ω · T2 ) ] + [ω · T1 ]
⇒ |G(jω)|
=
K
�
[1 − (ω · T2 )2 ]2 + [ω · T1 ]2
36
Kapitel 4
Berechnung des Phasenwinkels ϕ(ω) des Frequenzganges des P2 - RKG
Mit der Definition des Phasenwinkels ϕ(ω):
tan ϕ(ω) =
ℑ[G(jω)]
ℜ[G(jω)]
wird der Phasenwinkel ϕ(ω) des Frequenzganges |G(jω)| des P2 - RKG:
tan ϕ(ω) =
− ω · T1 · K
[1 − (ω · T2 )2 ]2 + [ω · T1 ]2
K · [1 − (ω · T2 )2 ]
[1 − (ω · T2 )2 ]2 + [ω · T1 ]2
tan ϕ(ω) =
−
⇒
ω · T1
1 − (ω · T2 )2
ω · T1
)
1 − (ω · T2 )2
ϕ(ω) =
arctan(−
ϕ(ω) =
− arctan(
ω · T1
)
1 − (ω · T2 )2
Bestimmung der Ortskurve für ein P2 - RKG
In diesem Beispiel sei K = 1 und T2 = T1 = 1 s:
Berechnung der Ortskurve mittels Eulergleichung (Betrag und Phase)
Für bestimmte Kreisfrequenzen ω ergibt sich dann:
ω
|G(ω)|
tan ϕ(ω)
ϕ(ω)
ω0 = 0 s−1
1
�
= 1
(1 − 0)2 + 02
0
0◦
ω∞ = ∞ s−1
1
�
= 0
(1 − ∞2 )2 + ∞2
?
?◦
ω1 = 1 s−1
1
�
= 1
(1 − 12 )2 + 12
−1
1 − 1
− 90◦
Berechnung der Ortskurve mittels Realteil und Imaginärteil des Frequenzganges dieses P2 - RKG
ℜ[G(ω1 )] =
K·
1 − (ω1 · T2 )2
[1 − (ω1 · T2 )2 ]2 + [ω1 · T1 ]2
=
1·
1 − 1
(1 − 12 )2 + 12
=
0
ℑ[G(ω1 )] =
K·
− ω1 · T1
[1 − (ω1 · T2 )2 ]2 + [ω1 · T1 ]2
=
1·
−1
(1 − 12 )2 + 12
=
− 1
37
Kapitel 4
Beispiel: P2 - RKG mit K = 1 und T1 = T2 = 1 s und (siehe später T2 = T und den verschiedenen
Dämpfungsgraden D mit Du = 0, 375 , Dv = 0, 75 und Dw = 1, 0)
Ortskurve des P − RKG mit Dämpfungsgrad D = 0,375, D = 0,75 und D =1
2
u
v
w
0
−0.2
ℑ
−0.4
D
ω
Imaginärteil
w
−0.6
ω
−0.8
D
v
−1
ω
−1.2
Du
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Realteil
rt4122bof
ℜ
1.2
38
Kapitel 4
Bode - Diagramm für ein P2 - RKG
Es lautete die Gleichung für den Betrag und den Phasenwinkel des P2 -RKG:
⇒
ϕ(ω)
⇒ |G(jω)|
ωT1
)
1 − (ω · T2 )2
K
�
[1 − (ω · T2 )2 ]2 + (ω · T1 )2
= − arctan(
=
Wie im vorigen Kapitel 4.1.2.1 des P1 - RKG wird auch hier der Betrag des Frequenzganges in Dezibel dargestellt. Dazu wird der Betrag des Frequenzganges nach folgender Formel umgerechnet:
|G(ω)|dB = 20 · lg|G(ω)|
Wendet man diese Relation auf die Gleichung des Betrages des P2 - RKG an, ergibt sich:
→ |G(ω)|dB
=
→ |G(ω)|dB
=
K
20 · lg �
[1 − (ω · T2 )2 ]2 + (ω · T1 )2
�
20 · lg(K) − 20 · lg [1 − (ω · T2 )2 ]2 + (ω · T1 )2
Betrachtung der verschiedenen Frequenzbereiche (Fälle analog zum P1 - RKG) zur logarithmischen Darstellung
des Amplitudenganges:
→ 1.Fall: ω · T1 ≈ (ω · T2 )2
≪
1
1
→
2.Fall: (ω · T2 )2 ≫ ω · T1
≫
→
3.Fall: ??
?? → später mehr
1.Fall: ω · T1 ≈ (ω · T2 )2 ≪ 1 → 20 · lg
�
√
[1 − (ω · T2 )2 ]2 + (ω · T1 )2 ≈ 20 · lg 1 = 0
⇒ |G(ω · T1 ≈ (ω · T2 )2 ≪ 1)|dB = 20 · lg(K)
2.Fall: (ω ·T2 )2 ≫ ω ·T1 ≫ 1 → 20·lg
⇒ |G(ω ≫
�
�
[1 − (ω · T2 )2 ]2 + (ω · T1 )2 ≈ 20·lg [(ω · T2 )2 ]2 = 2·20·lg(ω ·T2)
1
)|dB = 20 · lg(K) − 40 · lg(ω · T2 )
T2
Berechnung des Anstieges des Amplitudenganges bei Erhöhung der Kreisfrequenz ω um eine Dekade ω10 → ω100
(im Fall 2):
Δ|G(ω10 → ω100 )|dB
= |G(ω100 )|dB − |G(ω10 )|dB
Δ|G(ω10 → ω100 )|dB
= 20 · lg(K = 1) − 40 · lg(ω100 · T2 ) − [ 20 · lg(K = 1) − 40 · lg(ω10 · T2 )]
Δ|G(ω10 → ω100 )|dB
= 40 · lg(
Δ|G(ω10 → ω100 )|dB
= 40 · lg(0, 1)
Δ|G(ω10 → ω100 )|dB
= − 40
ω10
)
ω100
39
Kapitel 4
3.Fall: ω · T2 = 1 = ωE · T2 ⇒ ωE =
1
T2
Man erhält bei dieser Kreisfrequenz folgende Gleichung:
�
→ |G(ωE )|dB = 20 · lg(K) − 20 · lg [1 − (ωE · T2 )2 ]2 + (ωE · T1 )2
→ |G(ωE )|dB
�
T1
= 20 · lg(K) − 20 · lg [1 − 12 ]2 + ( )2
T2
→ |G(ωE )|dB
= 20 · lg(K) − 20 · lg(
T1
)
T2
Offensichtlich wird der Amplitudengang bei der Eckfrequenz ω E durch die Größen T1 , T2 beeinflußt. Dies wird
deutlicher, wenn man diese Gleichung mit den Parametern: Schwingungsdauer T und Dämpfungsgrad D beschreibt ! Es war:
T22 · v̈(t) + T1 · v̇(t) + v(t) = . . .
T 2 · v̈(t) + 2 · D · T · v̇(t) + v(t) = . . .
Durch Koeffizientenvergleich beider Gleichungen folgt: T = T 2 und 2 · D · T = T1 d.h.
⇒
D =
T1
2 · T2
⇒
2·D =
T1
T2
und setzt man diesen Ausdruck in obige Gleichung ein, erhält man:
|G(ωE )|dB
→
= 20 · lg(K) − 20 · lg(2 · D)
Δ|G(ω ≪
1
→ ωE )|dB
T
= 20 · lg(K) − 20 · lg(2 · D) − 20 · lg(K)
→ Δ|G(ω ≪
1
→ ωE )|dB
T
= − 20 · lg(2 · D)
→
Dies zeigt die Abhängigkeit des Amplitudenganges vom Dämpfungsgrad D bei der Eckfrequenz ωE :
w
v
u
x
y
D
lg(2 · D)
1
0, 75
0, 5
0, 375
0, 25
0, 15
0, 05
0, 005
+ 0, 301
+ 0, 176
+ 0, 0
− 0, 125
− 0, 301
−0, 523
−1, 0
−2, 0
Δ|G(ω ≪
− 6, 0
− 3, 5
+ 0, 0
+ 2, 5
+ 6, 0
+ 10, 5
+ 20, 0
+ 40, 0
Darstellung des Phasenganges ϕ(ω):
ω
ω0
1
ωE =
T2
ω∞
1
→ ωE )|dB
T
ϕ(ω)
=
0 s−1
0◦
=
1 s−1
=
∞ s−1
−90◦
−180◦
dB
dB
dB
dB
dB
dB
dB
dB
40
Kapitel 4
Bode - Diagramm von P2 - RKG mit Dw = 1, Dx = 0, 26 und Dy = 0, 005
80
Amplitudengang des P2 − RKG mit Dämpfungsgrad Dw, Dx und Dy
60
40
|G(ω)|
dB
20
0
−20
D
−40
D
w
y
D
x
−60
−1
10
0
1
10
2
10
10
Kreisfrequenz
s−1
ω
rt4122cbmf
0°
Phasengang des P2 − RKG mit Dämpfungsgrad Dw, Dx und Dy
−20
−40
φ(ω)
−60
−80
−100
Dw
−120
D
x
−140
−160
Dy
−180
−1
10
0
1
10
2
10
10
Kreisfrequenz
rt4122cbpf
Kw
Kx
Ky
ω
=
=
=
1000
10
100
T1 = 2, 00 s
T1 = 0, 50 s
T1 = 0, 01 s
T2 = 1 s
T2 = 1 s
T2 = 1 s
→
→
→
Dw = 1
Dx = 0, 25
Dy = 0, 005
s−1
41
Kapitel 4
4.4.2 integrales Verhalten
I0 - RKG
Ausgehend von der Übertragungsfunktion G(s) des I0 - RKG erhält man den Frequenzgang:
K
jω
G(jω) =
Berechnung des Real- und Imaginärteils des Frequenzganges des I0 - RKG
An obiger Gleichung erkennt man sofort, daß kein Realteil ℜ[G(jω)] existiert:
G(jω) =
0 +
ℜ[G(jω)] =
0
ℑ[G(jω)] =
−
K
K
= 0 − j ·
, d.h.
jω
ω
K
ω
Berechnung des Betrages |G(jω)| des Frequenzganges (Zeigerlänge) des I0 - RKG
Mit der Definition einer komplexen Größe z ergibt sich für den Betrag |z|:
�
(ℜ[z])2 + (ℑ[z])2
|z| =
d.h. es ergibt sich für den Betrag des Frequenzganges |G(jω)| des I0 - RKG :
|G(jω)| =
K
ω
Berechnung des Phasenwinkels ϕ(ω) des Frequenzganges des I0 - RKG
Da der Frequenzgang des I0 - RKG negativ und imaginär ist, liegen alle Werte auf der negativ, imaginären
Achse und der Phasenwinkel ϕ ist konstant und beträgt immer:
ϕ = − 90
◦
Bestimmung der Ortskurve für ein I0 - RKG
Es sei der Übertragungsbeiwert K des I0 - RKG K = 1 s−1 . Dann ergeben sich für bestimmte Kreisfrequenzen
ω folgende Werte des Frequenzganges (in Komponentenschreibweise, d.h als Real- und Imaginärteil):
ω0 = 0 s−1
→
ℑ[G(ω0 )] = −
K
ω0
= −
1
0
=
−∞
ω1 = 1 s−1
→
ℑ[G(ω1 )] = −
K
ω1
= −
1
1
=
−1
ω2 = 2 s−1
→
ℑ[G(ω2 )] = −
K
ω2
= −
1
2
= − 0, 5
ω∞ = ∞ s−1
→ ℑ[G(ω∞ )] = −
K
ω∞
= −
1
∞
=
−0
42
Kapitel 4
Ortskurve eines I0 - RKG:
Ortskurve des I − RKG mit K = 1 s−1
0
ω∞
0
−0.2
Imaginärteil
ℑ
−0.4
φ
ω
2
−0.6
ω
−0.8
ω1
−1
−0.6
rt4123aof
−0.4
−0.2
0
0.2
Realteil
0.4
0.6
0.8
ℜ
1
43
Kapitel 4
Bode - Diagramm für ein I0 - RKG
Wie bisher wird auch jetzt der Amplitudengang des I0 - RKG d.h der Betrag des Frequenzganges in Dezibel
dargestellt:
|G(ω)|dB = 20 · lg|G(ω)|
Diese Rechenvorschrift wird auf die Gleichung des Betrages des I0 - RKG angewendet und so folgt:
K
)
ω
→ |G(ω)|dB
=
20 · lg(
→ |G(ω)|dB
=
20 · lg(K) − 20 · lg(ω)
Es werde der Anstieg des Amplitudenganges des I0 - RKG bestimmt. Dazu wird wieder der Anstieg für eine
Dekade ω10 → ω100 betrachtet:
Δ |G(ω10 → ω100 )|dB
=
|G(ω100 )| − |G(ω10 )|
Δ |G(ω10 → ω100 )|dB
=
20 · lg(K) − 20 · lg(ω100 ) − [20 · lg(K) − 20 · lg(ω10 )]
Δ |G(ω10 → ω100 )|dB
=
20 · lg(ω10 ) − 20 · lg(ω100 )
Δ |G(ω10 → ω100 )|dB
=
20 · lg
Δ |G(ω10 → ω100 )|dB
=
20 · lg(0, 1) = 20 · (−1)
Δ |G(ω10 → ω100 )|dB
=
−20
ω10
ω100
Mit steigender Kreisfrequenz ω nimmt der Amplitudengang um 20 dB/Dekade im gesamten Frequenzbereich ab !
Bestimmung des integralen Übertragungsbeiwertes:
Schneidet der Amplitudengang die 0 − dB - Gerade bei der Kreisfrequenz ω = ω S , d.h. ist der Wert des
Amplitudenganges |G(ω)|dB = 0 , so gilt folgende Relation:
|G(ωS )|dB = 0
→
K
= 1
ωS
⇒
K = ωS
Darstellung des Phasenganges
Da beim I0 - RKG der Phasenwinkel ϕ = −90◦ beträgt, ist der Phasengang konstant
44
Kapitel 4
Bode - Diagramm vom I0 - RKG mit verschiedenen Kenngrößen
G1 : K = 10 s−1
G2 : K = 100 s−1
−1
−1
I − RKG mit K = 1 s
40
0
; I − RKG mit K = 10 s
1
0
2
30
20
|G(ω)|
dB
10
0
−10
RKG2
−20
−30
RKG
−40
−1
10
0
1
10
1
2
10
10
Kreisfrequenz
rt4123bmf
ω
−1
−1
I − RKG mit K = 1 s
0°
0
; I − RKG mit K = 10 s
1
0
2
−20
−40
φ(ω)
−60
−80
RKG
1
RKG2
−100
−120
−140
−160
−180
−1
10
0
1
10
2
10
10
Kreisfrequenz
rt4123bpf
ω
−1
s
45
Kapitel 4
I1 - RKG
Beispiel 3o,b: Reihenschaltung von P1 - RKG mit der Zeitkonstanten T1 und I0 - RKG
(aus Beispiel 3, Kapitel 4.2.1)
Ausgehend von den Formeln des P1 - RKG und dem I0 - RKG erhält man den
Frequenzgang G1 (jω):
[jω · T1 + 1] · w(jω)
=
⇒
G1 (jω) =
mit
|G1 (ω)| =
und
ϕ1 (ω) =
KP · u(jω)
KP
w(jω)
=
u(jω)
jω · T1 + 1
KP
�
1 + (ω · T1 )2
− arctan(ω · T1 )
Frequenzgang G2 (jω):
v(jω) =
⇒
G2 (jω) =
mit
|G2 (ω)| =
und
ϕ2 (ω) =
KI
· w(jω)
jω
v(jω)
KI
=
w(jω)
jω
KI
ω
π
−
2
Mit folgenden Kenndaten:
G1 (= P1 − RKG) : KP
=
1
G2 (= I0 − RKG) :
=
0, 1 s−1
KI
T1
=
1s
folgt die Ortskurve des P1 −, I0 − und I1 − Elementes:
Ortskurve des P − RKG mit K = 1 und T
1
0.4
1a
−1
= 2s
Ortskurve des I − RKG mit K = 0,1 s
0
0.2
0.3
I
0.1
0.2
0
ℑ
0.1
−0.1
0
−0.2
Imaginärteil
Imaginärteil
ℑ
−0.1
−0.3
−0.2
−0.4
−0.3
−0.5
−0.4
−0.6
−0.5
−0.7
ω
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−0.8
−0.2
1.2
rt421aof
ℜ
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Realteil
Realteil
rt421i_0of
ℜ
1.2
46
Kapitel 4
P − RKG (K = 1, T = 1s) in Reihe mit I − RKG (K = 0,1 s−1)
1
0.2
1
0
0.1
0
ℑ
−0.1
Imaginärteil
−0.2
−0.3
−0.4
−0.5
−0.6
ω
−0.7
−0.8
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Realteil
rt421i_1of
ℜ
1.2
47
Kapitel 4
Darstellung dieser Reihenschaltung ergibt im Bode - Diagramm:
P1 − RKG mit K = 1 und T1 = 1s und I0 − RKG mit KI = 0,1s−1 in Reihe
1
10
0
10
−1
10
−2
P
10
1
−3
I
10
0
−4
10
I
1
−5
10
−2
−1
10
0
10
1
10
Kreisfrequenz
2
10
10
s
−1
s
−1
ω
rt421ibmf
−1
0°
P − RKG mit K = 1 und T = 1s und I − RKG mit K = 0,1s
1
1
0
in Reihe
I
−20
φ(ω)
−40
P1
−60
−80
I
0
−100
−120
I
1
−140
−160
−180
−2
10
rt421ibpf
−1
10
0
10
Kreisfrequenz
1
2
10
10
ω
48
Kapitel 4
−1
P − RKG mit K = 1 und T = 1s und I − RKG mit K = 0,1s
20
1
1
0
I
in Reihe
0
|G(ω)|
dB
−20
−40
P
−60
I
1
0
−80
−100
−2
10
rt421ibdBf
I
−1
10
0
10
Kreisfrequenz
1
2
10
10
ω
1
s
−1
49
Kapitel 4
4.4.3 differenzierendes Verhalten
D0 - RKG
Ausgehend von der Übertragungsfunktion G(s) des D0 - RKG erhält man den Frequenzgang:
G(jω) = jω · K
Berechnung des Real- und Imaginärteils des Frequenzganges des D0 - RKG
An obiger Gleichung erkennt man sofort, daß, wie beim I0 - RKG, kein Realteil ℜ[G(jω)] existiert:
G(jω) =
ℜ[G(jω)] =
ℑ[G(jω)] =
0 + jω · K
, d.h.
0
ω·K
Berechnung des Betrages |G(jω)| des Frequenzganges (Zeigerlänge) des D0 - RKG
Analog zum I0 - RKG ergibt sich für den Betrag des Frequenzganges |G(jω)| des D0 - RKG:
|G(jω)| = ω · K
Berechnung des Phasenwinkels ϕ(ω) des Frequenzganges des D0 - RKG
Da der Frequenzgang des D0 - RKG positiv und imaginär ist, liegen alle Werte auf der positiv, imaginären
Achse und der Phasenwinkel ϕ ist konstant und beträgt immer:
ϕ = + 90
◦
Bestimmung der Ortskurve für ein D0 - RKG
Es sei der Übertragungsbeiwert K des D0 - RKG: K = 1 s. Dann ergeben sich für bestimmte
Kreisfrequenzen ω folgende Werte des Frequenzganges (in Komponentenschreibweise, d.h als Real- und
Imaginärteil):
ω0 = 0 s−1
→
ℑ[G(ω0 )] = + ω0 · K
=
+ 0·1
=
+0
ω1 = 1 s−1
→
ℑ[G(ω1 )] = + ω1 · K
=
+ 1·1
=
+1
ω2 = 2 s−1
→
ℑ[G(ω2 )] = + ω2 · K
=
+ 2·1
=
+2
ω∞ = ∞ s−1
→ ℑ[G(ω∞ )] = + ω∞ · K
=
+ ∞·1
= +∞
50
Kapitel 4
Ortskurve eines D0 - RKG:
Ortskurve des D − RKG mit K = 1 s
0
2
ω
2
1.8
1.6
ℑ
ω
1.4
Imaginärteil
1.2
ω
1
1
0.8
0.6
0.4
φ
0.2
ω
0
−0.5
0
0
0.5
1
1.5
Realteil
rt4124aof
ℜ
2
51
Kapitel 4
Bode - Diagramm für ein D0 - RKG
Wie bisher wird auch jetzt der Amplitudengang des D0 - RKG d.h der Betrag des Frequenzganges in Dezibel
dargestellt:
|G(ω)|dB = 20 · lg|G(ω)|
Diese Rechenvorschrift wird auf die Gleichung des Betrages des D 0 - RKG angewendet und so folgt:
→ |G(ω)|dB
=
20 · lg(ω · K)
→ |G(ω)|dB
=
20 · lg(K) + 20 · lg(ω)
Es werde der Anstieg des Amplitudenganges des D0 - RKG bestimmt. Dazu wird wieder der Anstieg für eine
Dekade ω10 → ω100 betrachtet:
Δ |G(ω10 → ω100 )|dB
=
|G(ω100 )| − |G(ω10 )|
Δ |G(ω10 → ω100 )|dB
=
20 · lg(K) + 20 · lg(ω100 ) − [20 · lg(K) + 20 · lg(ω10 )]
Δ |G(ω10 → ω100 )|dB
=
20 · lg(ω100 ) − 20 · lg(ω10 )
Δ |G(ω10 → ω100 )|dB
=
20 · lg
Δ |G(ω10 → ω100 )|dB
=
20 · lg(10) − 20 · (1)
Δ |G(ω10 → ω100 )|dB
=
+ 20
ω100
ω10
Mit steigender Kreisfrequenz ω nimmt der Amplitudengang um 20 dB/Dekade im gesamten Frequenzbereich zu !
Bestimmung des differentiellen Übertragungsbeiwertes:
Schneidet der Amplitudengang die 0 − dB - Gerade bei der Kreisfrequenz ω = ω S , d.h. ist der Wert des
Amplitudenganges |G(ω)|dB = 0 , so gilt folgende Relation:
|G(ωS )|dB = 0
→
ωS · K = 1
⇒
K =
1
ωS
Darstellung des Phasenganges
Da beim D0 - RKG der Phasenwinkel ϕ = +90◦ beträgt, ist der Phasengang konstant
52
Kapitel 4
Bode - Diagramm vom D0 - RKG mit verschiedenen Kenngrößen
G1 : K = 0, 01 s
G2 : K = 0, 1 s
D − RKG mit K = 1 s ; D − RKG mit K = 10 s
40
0
1
0
2
RKG2
30
RKG
20
1
|G(ω)|dB
10
0
−10
−20
−30
−40
−2
10
−1
0
10
1
10
10
−1
s
Kreisfrequenz
ω
rt4124bmf
D − RKG mit K = 1 s ; D − RKG mit K = 10 s
180 °
0
1
0
2
160
140
φ(ω)
120
100
RKG
1
RKG
2
80
60
40
20
0
−2
10
−1
0
10
1
10
10
Kreisfrequenz
rt4124bpf
ω
s
−1
53
Kapitel 4
D1 - RKG
Beispiel 2o,b: Reihenschaltung von P1 - RKG mit der Zeitkonstanten T1 und D0 - RKG
(aus Beispiel 2, Kapitel 4.2.1)
Frequenzgang G1 (jω):
[jω · T1 + 1] · w(jω)
=
KP · u(jω)
⇒
G1 (jω) =
w(jω)
KP
=
u(jω)
jω · T1 + 1
mit
|G1 (ω)| =
KP
�
1 + (ω · T1 )2
und
ϕ1 (ω) =
− arctan(ω · T1 )
Frequenzgang G2 (jω):
v(jω) =
jω · KD · w(jω)
⇒
G2 (jω) =
v(jω)
= jω · KD
w(jω)
mit
|G2 (ω)| =
ω · KD
und
ϕ2 (ω) =
π
2
Der Amplitudengang der Frequenzgänge G1 (= P1 − RKG) und G2 (= D0 − RKG) hat bei logarithmischer
Darstellung in Dezibel (= dB):
mit der Definition des Dezibel:
|G(ω)|db = 20 · lg|G(ω)|
mit folgenden Kenndaten:
G1 (= P1 − RKG) :
KP
G2 (= D0 − RKG) : KD
folgenden Verlauf:
= 1
= 0, 01 s
T1
=
1s
54
Kapitel 4
Ortskurve des P1 -, D0 - und D1 - Elementes
1
P1 − RKG (K = 1, T1 = 1s) in Reihe mit D0 − RKG (K = 0,01s)
ω (D0)
ℑ
ω (D1)
0.5
Imaginärteil
100 ⋅ G(jω)
0
ω (P1)
−0.5
−0.5
cmds44aof
0
0.5
Realteil
1
1.5
ℜ
55
Kapitel 4
P − RKG (K = 1, T = 1s) in Reihe mit D − RKG (K = 0,01s)
1
20
1
0
D
0
10
0
|G(ω)|dB
−10
−20
−30
D1
−40
−50
P1
−60
−1
10
0
10
1
10
Kreisfrequenz
2
3
10
10
s−1
ω
cmds44abdBf
P − RKG (K = 1, T = 1s) in Reihe mit D − RKG (K = 0,01s)
100 °
1
1
0
D
0
80
60
φ(ω)
40
20
D1
0
−20
−40
−60
−80
P1
−100
−1
10
cmds44abpf
0
10
1
10
Kreisfrequenz
2
3
10
10
ω
s−1
56
Kapitel 4
Amplitudengang |G(ω)| (in logarithmischer Darstellung):
P − RKG (K = 1, T = 1s) in Reihe mit D − RKG (K = 0,01s)
1
1
1
0
10
D0
0
10
|G(ω)|
−1
10
−2
D1
10
P1
−3
10
−1
10
cmds44abmf
0
10
1
10
Kreisfrequenz
2
3
10
10
ω
s
−1
57
Kapitel 4
4.4.4 PID-Verhalten
(P ID)0 - RKG
Die Darstellung des P ID - RKG aus der Übertragungsfunktion G(s) ergibt als Frequenzgang G(jω) den Verlauf
der Ortskurve und in getrennter Darstellung den Amplitudengang und Phasengang.
Das P ID - RKG setzt sich aus den P −, I − und D − Anteilen additiv zusammen, wird also durch eine
Parallelschaltung realisiert
und man erhält den Frequenzgang:
GP ID = K +
KI
1
+ jω · KD = K · [1 +
+ jω · TV ]
jω
jω · Tn
mit der Ortskurve
Ortskurve des PID − RKG mit K = 0.1, Tn = 10s und Tv = 0.1s
1
0.5
ℑ
Imaginärteil
0
−0.5
ω
−1
−1.5
−0.2
rt4pidof
−0.15
−0.1
−0.05
0
Realteil
0.05
0.1
0.15
ℜ
0.2
58
Kapitel 4
Durch Verändern des Übertragungsbeiwertes K wird die gesamte Ortskurve parallel zur Imaginärachse verschoben und schneidet die reelle Achse beim Wert K. Hierbei wird deutlich, daß bei konstanten Kreisfrequenzabständen Δ ω unterschiedliche Abstände der Punkte auf der Ortskurve erscheinen.
Im Bode - Diagramm können die Werte für Amplitude und Phase für bestimmte Kreisfrequenzen ω besser
ermittelt werden.
PID − RKG mit K = 0.1, T = 10s und T = 0,1s
n
v
0
|G(ω)|
dB
−5
I−Anteil
−10
D−Anteil
−15
P−Anteil
−20
−2
10
−1
10
0
1
10
Kreisfrequenz
2
10
10
−1
s
ω
rt4piddBf
PID − RKG mit K = 0.1, T = 10s und T = 0,1s
n
100 °
v
80
D−Anteil
60
φ(ω)
40
20
0
P−Anteil
−20
−40
−60
−80
I−Anteil
−100
−2
10
rt4pidpf
−1
10
0
10
Kreisfrequenz
1
2
10
10 s−1
ω
59
Kapitel 4
Beispiel für ein P ID - RKG mit unterschiedlichen Parametern:
4
10
PID1 mit (K = 10, Tn = 1s, Tv = 0,01s), PID2 mit (K = 100, Tn = 2s, Tv = 0,1s)
PID2
|G(ω)|
3
10
2
PID
10
1
1
10
−1
10
0
10
1
10
Kreisfrequenz
2
3
10
10
s
−1
ω
rt5310bmf
100 °
PID1 − RKG (K = 10, Tn = 1s, Tv = 0,01s), PID2 − RKG (K = 100, Tn = 2s, Tv = 0,1s)
80
PID
PID1
2
60
φ(ω)
40
20
0
−20
−40
−60
−80
−100
−1
10
rt5310bpf
0
10
1
10
Kreisfrequenz
2
3
10
10
ω
s
−1
60
Kapitel 4
4.4.5 Totzeit-Verhalten
Tt - RKG (ohne Verzögerung)
Ausgehend von der Übertragungsfunktion G(s) des Tt - RKG erhält man den Frequenzgang:
G(jω) = K · e−jω·Tt
Berechnung des Real- und Imaginärteils des Frequenzganges des Tt - RKG
Wendet man die Euler - Gleichung an, ergibt sich sofort die Darstellung des Frequenzgangs des RKG mit
Totzeit - Verhalten:
Euler- Gleichung:
Tt − RKG :
z
=
G(jω) =
y · e−
j·x
K · e−jω·Tt
=
y · cos(x) − j · y · sin(x)
=
K · cos(ω · Tt ) − j · sin(ω · Tt )
Damit ist der Real- und Imagiärteil des Frequenzganges eines RKG mit Totzeit Tt :
ℜ[G(jω)]
ℑ[G(jω)]
= + K · cos(ω · Tt )
= − K · sin(ω · Tt )
Berechnung des Betrages |G(jω)| des Frequenzganges (Zeigerlänge) und des Phasenwinkels ϕ(ω)
des Tt - RKG
Durch Vergleich des Frequenzganges G(jω) des Totzeit - RKG mit der Euler - Gleichung (siehe oben) erhält
man sofort den Betrag des Frequenzganges |G(ω)| und den Phasenwinkel des Frequenganges ϕ(ω):
→ Euler- Gleichung:
z
= y · e−
j·x
G(jω)
= K · e−
⇒
|G(ω)|
= K
⇒
ϕ(ω)
→
Tt − RKG :
j··ωTt
= − ω · Tt
Bestimmung der Ortskurve für ein Tt - RKG
Es sei der Übertragungsbeiwert K des Tt - RKG: K = 1.und die Totzeit Tt = π/4 s ≈ 0, 786 s. Dann
ergeben sich für bestimmte Kreisfrequenzen ω folgende Werte des Frequenzganges (nur der Phasenwinkel ϕ(ω)),
da der Betrag (Zeigerlänge) |G(ω)| = K = 1 = konstant ist:
ω0 = 0 s−1
→
ϕ(ω0 ) =
− ω0 · Tt
= − 0·
π
4
→
−0
◦
ω1 = 1 s−1
→
ϕ(ω1 ) =
− ω1 · Tt
= − 1·
π
4
→
− 45
◦
ω2 = 2 s−1
→
ϕ(ω2 ) =
− ω2 · Tt
= − 2·
π
4
→
− 90
◦
ω3 = 3 s−1
→
ϕ(ω3 ) =
− ω3 · Tt
= − 3·
π
4
→
− 135
◦
ωn = n s−1
→
ϕ(ωn ) =
− ωn · Tt
= − n·
π
4
→ − n · 45
◦
61
Kapitel 4
Ortskurve eines Tt - RKG:
Ortskurve des T − RKG mit K = 1 und T = (π/4) s ≈ 0,78535 s
t
t
1
0.8
0.6
ℑ
0.4
Imaginärteil
0.2
0
−0.2
−0.4
1
3
−0.6
φ
ω
ω
2
3
−0.8
−1
ω
φ
φ
1
ω
2
−1
−0.5
0
Realteil
rt4125ao
0.5
1
ℜ
Bode - Diagramm für ein Tt - RKG
Wie bisher wird auch jetzt der Amplitudengang des T t - RKG d.h. der Betrag des Frequenzganges in Dezibel
dargestellt:
|G(ω)|dB = 20 · lg|G(ω)|
Diese Rechenvorschrift wird auf die Gleichung des Betrages des T t - RKG angewendet und so folgt:
→ |G(ω)|dB
=
20 · lg(K)
Da der Übertragungsbeiwert des Tt - RKG unabhängig von der Kreisfrequenz ist, ergibt sich ein konstanter
Amplitudengang !
Darstellung des Phasenganges
Da beim Tt - RKG der Phasenwinkel:
ϕ = − ω · Tt
(in rad)
bzw.
180◦
(in ◦ )
π
ist, ergibt sich durch die logarithmische Skala der Abszisse ein logarithmischer Kurvenverlauf (Phasengang) !
ϕ = − ω · Tt ·
62
Kapitel 4
Bode - Diagramm vom Tt - RKG mit verschiedenen Kenngrößen
G1 : K = 1
; Tt = π/4 s
G2 : K = 10 ;
Tt = 0, 01 s
Tt − RKG1 mit K = 1 und Tt = π/4 ≈ 0,78535 s ; Tt − RKG2 mit K = 10 und Tt = 0,01 s
30
25
RKG
20
2
|G(ω)|db
15
10
5
RKG
0
1
−5
−10
−1
10
0
10
1
10
Kreisfrequenz
2
3
10
10
s−1
ω
rt4125bmf
Tt − RKG1 mit K = 1 und Tt = π/4 ≈ 0,78535 s ; Tt − RKG2 mit K = 10 und Tt = 0,01 s
0°
φ ≈ −57°
−90
−180
φ(ω)
−270
−360
−450
−540
RKG
2
−630
−720
−1
10
rt4125bpf
0
10
1
10
RKG
Kreisfrequenz 1
2
3
10
10
ω
s−1
63
Kapitel 4
Tt -Verhalten mit Verzögerung 1. Ordnung (P1 Tt -Element)
→ P1 Tt -Verhalten aus Reihenschaltung mit Tt -Element und P1 -RKG (für Verz. 1.Ordnung)
(Differential-) Gleichung:
a1 · v̇(t) + a0 · v(t)
=
b0 · u(t − Tt )
[a1 · s + a0 ] · v(s)
=
b0 · u(s) · e−s·Tt
v(s)
u(s)
=
b0
· e−s·Tt
a1 · s + a 0
mit
b0
=
K
und
a0
=
1
⇒ Übertragungsfunktion:
G(s)
=
⇒
G(s)
=
K
· e−s·Tt
T1 · s + 1
⇒ d.h.
GP1 (s)
=
⇒ d.h.
GTt (s)
=
sp
=
L − Transformation:
֒→
֒→ Polstelle:
֒→ Nullstelle:
G(s) =
keine
;
a1
= T1
GP1 (s) · GTt (s)
K
T1 · s + 1
1 · e−s·Tt
−
1
T1
; KT
= 1
64
Kapitel 4
P1 Tt -Verhalten (=Totzeit-Element mit Verzögerung 1. Ordnung), Frequenzgang
⇒ Frequenzgang:
G(jω)
= GP1 (jω) · GTt (jω)
⇒ Eulergleichung:
G(jω)
= |G(ω)| · ejϕ(ω)
֒→
G(jω)
= |GP1 (ω)| · eϕP1 (ω) · |GTt (ω)| · eϕTt (ω)
֒→
G(jω)
= |GP1 (ω)| · |GTt (ω)| · e[ϕP1 (ω)+ϕTt (ω)]
֒→ Zeigerlänge:
|G(ω)|
= |GP1 (ω)| · |GTt (ω)|
֒→ Phasenwinkel:
ϕ(ω)
= ϕP1 (ω) + ϕTt (ω)
Achtung:
Zeigerlänge |G(ω)| = |GP1 (ω)| · |GTt (ω)| = Produkt der Zeigerlängen der P1 - und Tt -Elemente
Achtung:
Phasenwinkel ϕ(ω) = ϕP1 (ω) + ϕTt (ω) = Summe der Phasenwinkel der P1 - und Tt -Elemente
⇒ dieses gilt für jede Kreisfrequenz ω1 , ω2 , ω3 , . . .
65
Kapitel 4
P1 Tt -Verhalten, Frequenzgang
Ortskurve des P − RKG, T − RKG und deren Reihenschaltung
1
1.5
t
1
0.5
T
t
ℑ
0
ω
ω
Imaginärteil
−0.5
−1
−1.5
P
1
−2
G
ω
0
−2.5
−3
−3.5
−2
rtv53aof
−1
0
1
Realteil
2
3
ℜ
4
66
Kapitel 4
P1 Tt -Verhalten, Bode-Diagramm
12
Amplitudengang des P1 − RKG, Tt − RKG und deren Reihenschaltung
10
8
|G(ω)|
dB
6
4
2
|GTt|dB
0
−2
|G | =
0 dB
|GP1|dB
0
10
−1
s−1
ωD ≈ 8 s
rtv53amf
ω
Phasengang des P1 − RKG, Tt − RKG und deren Reihenschaltung
0°
−45
φ
φ(ω)
P1
−90
−135
−180
−225
φ
Tt
−270
−315
φ0
−360
0
10
rtv53apf
−1
s
−1
ωπ ≈ 4 s
ω
67
Kapitel 4
4.4.6 Allpaß-Verhalten (A-Element)
Definition: Beim Allpaß-Element ist die Zeigerlänge unabhängig von der Kreisfrequenz ω !
⇒ |G(ω)| = K = constant = f (ω)
⇒ Beim Allpaß-Element mit einer Übertragungsfunktion G(s) unterscheiden sich die
Polstellen sP i von den Nullstellen sN i durch den Realteil mit entgegengesetztem Vorzeichen !
Polstelle:
sP i
=
± δi ± jωi
Nullstelle:
sN i
=
∓ δi ± jωi
⇒ Beim A-Element liegen so im Pol-Nullstellen-Diagramm die Polstellen sP i und Nullstellen sN i
symmmetrisch zur imaginären Achse !
einfaches Beispiel: Allpaß-Element 1.Ordnung
reelle Polstelle:
sP
=
−
1
T1
֒→ reelle Nullstelle:
sN
=
+
1
T1
v(s)
u(s)
=
s − sN
s − sP
⇒ Übertragungsfunktion: G(s) =
֒→ hier:
G(s) =
1
)
s · T1 − 1
1 − s · T1
T1
=
= −1 ·
1
s · T1 + 1
1 + s · T1
s − (− )
T1
s − (+
68
Kapitel 4
Allpaß-Verhalten (A-Element), Beispiel: Allpaß 1.Ordnung
⇒ Übertragungsfunktion:
G(s) =
L−1 − Transformation:
[s · T1 + 1] · v(s)
֒→ Differentialgleichung:
T1 · v̇(t) + v(t)
=
1 − s · T1
1 + s · T1
= [1 − s · T1 ] · u(s)
= K · [u(t) − T1 · u̇(t)]
; K =1
P1−RKG
1
v(t)
v(s)
u(s)
0.8
0.6
Allpass
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
0
rtv4126_allpass_h
⇔ siehe P adé-Approximation
1
2
3
4
5
6 s
t
69
Kapitel 4
Allpaß-Verhalten (A-Element), Beispiel: Allpaß 1.Ordnung, Frequenzgang
⇒ Frequenzgang:
G(jω) =
1 − jω · T1
1 + jω · T1
֒→
G(jω) =
1 − jω · T1 1 − jω · T1
·
1 + jω · T1 1 − jω · T1
֒→
G(jω) =
[1 − jω · T1 ]2
1 + (ω · T1 )2
֒→
G(jω) =
[1 − jω · T1 ]2
1 + (ω · T1 )2
֒→
G(jω) =
1 − (ω · T1 )2 + j · (−2 · ω · T1 )
1 + (ω · T1 )2
mit
Nenner
und
ℜ[G(jω)]
=
N (ω) =
1 − (ω · T1 )2
1
=
· [1 − (ω · T1 )2 ]
2
1 + (ω · T1 )
N
1 + (ω · T1 )2
1
· [−2 · ω · T1 ]
N
�
{ℜ[G(ω)]}2 + {ℑ[G(ω)]}2
ℑ[G(jω)]
=
֒→ Zeigerlänge:
|G(ω)|
=
֒→
|G(ω)|
=
1�
[1 − (ω · T1 )2 ]2 + [−2 · ω · T1 ]2
N
⇒ Zeigerlänge:
|G(ω)|
=
1
s.o. Definition
70
Kapitel 4
4.5 (nicht-) minimalphasige Systeme
Definition: minimalphasige Systeme sind stabile Systeme ohne Totzeit Tt mit der Übertragungsfunktion:
G(s) =
Z(s)
N (s)
die keine positive Nullstelle haben !
⇒ Es existiert ein Zusammenhang zwischen Amplitudengang |G(ω)| bzw. |G(ω)| dB und Phasengang ϕ(ω)
(Gesetz von Bode)
⇒ haben stabile Systeme positiven Nullstellen sind sie nichtminimalphasig
Beispiel: Vergleich (P D)1 -Element und irgendeinem Element B
(P D)1 − RKG G(P D)1 (s)
=
1+s·T
s · T1 + 1
; sN(P D)1
=
−
1
T
Element B
GB (s)
=
1 − s·T 1+s·T
1 − s·T
=
·
s · T1 + 1
1 + s · T s · T1 + 1
;
=
+
1
T
֒→
GB (s)
= GA (s) · G(P D)1 (s)
sN A
⇒ (P D)1 -Element ist minimalphasig und das B-Element ist nichtminimalphasig (wegen GA (s))
71
Kapitel 4
(nicht-) minimalphasige Systeme, Bode-Diagramm
70
dB
(PD)1
60
|G(ω)|dB
B−Element
50
40
30
20
10
0
−10
−2
10
Allpass
−1
10
0
1
10
10
2
3
10
10
Kreisfrequenz
rtv4127_allp_pd1_m
−1
s
ω
90 °
45
φ(ω)
φ
(PD)
0
−45
−90
−135
−180
−2
10
rtv4127_allp_pd1_p
(ω)
1
−1
10
0
10
1
10
φ (ω)
B
φA(ω)
3
10 −1
s
2
10
Kreisfrequenz
ω
72
Kapitel 4
(nicht-) minimalphasige Systeme, Tabelle, Regel
Elemente (Regelkreisglieder) mit einem eindeutigen Zusammenhang des Anstiegs des Amplitudenganges mit
dem Phasengang werden minimalphasig genannt, andernfalls nichtminimalphasig !
Anstieg |G(ω)|db
Phase
minimalphasig
P1 (ω < ωE )
0 dB/Dekade
0◦
ja
P1 (ω > ωE )
− 20 dB/Dekade
− 90◦
ja
D0
+ 20 dB/Dekade
+ 90◦
ja
D1 (ω < ωE )
+ 20 dB/Dekade
+ 90◦
ja
D1 (ω > ωE )
0 dB/Dekade
0◦
ja
Tt
0 dB/Dekade
− ω · Tt in rad
nein
Allpaß 1. Ordnung
0 dB/Dekade
0◦ → − 180◦
nein
Element(RKG)
P1 Tt
nein
Da das P1 Tt - Element eine Reihenschaltung des P1 - und Tt - Elementes ist, muß es nichtminimalphasig sein.
Für alle minimalphasigen Elemente mit der Übertragungsfunktion G(s) = Z(s)/N (s) mit dem Grad m des
Zählerpolynoms und n dem Grad des Nennerpolynoms gilt:
Amplitudengang: −20 · (n − m)dB/Dekade
Phasengang: ϕ(ω = ∞) = − 90 ◦ · (n − m)
Minimalphasige Elemente haben Pole und Nullstellen nur in der linken (negativen) s - Ebene !
Bei minimalphasigen Elementen
→
Anstieg: |G(ω)|db ←→ Phase: ϕ(ω)
Sei minimalphasiges Element:
G(s) =
Z(s)
b 0 + s · b 1 + s2 · b 2 + . . . + s m · b m
=
N (s)
a0 + s · a 1 + s 2 · a 2 + . . . + s n · a n
mit Zählergrad m ≤ n = Nennergrad
Amplitudengang: Anstieg
Phasengang:
Phase
|G(ω)|db
ϕ(ω)
→
→
− 20 · (n − m) dB/Dekade
− 90◦ · (n − m)
⇒ Bei minimalphasigen Systemen kann
der Phasengang ϕ(ω) aus dem Amplitudengang |G(ω)|db
und umgekehrt konstruiert werden (siehe oben: Gesetz von Bode, vergleiche Tabelle)
1
Kapitel 5
5. Stabilitätsbetrachtung
bisher: Betrachtung des Stabilitätskriterium eines Systems im Zeitraum
Differentialgleichung:
an · v (n) (t) + . . . + a2 · v̈(t) + a1 · v̇ + a0 · v(t) = b0 · u(t) + b1 · u̇(t) + . . . + bm · u(m) (t)
⇒ Strukturstabilität: alle Elemente ai , i = 0 . . . n vorhanden + gleiches Vorzeichen
⇒ Stabilität: Hurwitz-Determinante DH
jetzt: Stabilitätsprüfung mittels Übertragungsfunktion G(s) im Pol-Nullstellen Diagramm
L-Transformation:
[an · sn + . . . + a2 · s2 + a1 · s + a0 ] · v(s) = [b0 + b1 · s + . . . + bm · sm ] · u(s)
Übertragungsfunktion: G(s) =
b 0 + b 1 · s + . . . + b m · sm
an · s n + . . . + a 2 · s 2 + a 1 · s + a 0
֒→ Nullstelle: Zähler = 0 = b0 + b1 · s + . . . + bm · sm
֒→ Polstelle: Nenner = 0 = an · sn + . . . + a2 · s2 + a1 · s + a0
5.1 Übertragungsfunktion und Pol-Nullstellen-Diagramm (siehe Kapitel 4.1)
Beipiel: P2 -Element (siehe Regelungtechnik 1, Reihenschwingkreis bzw. 2 · P1 in Reihe)
Ausgehend von den Differentialgleichungen zweier in Reihe geschalteten P1 -Elementen ergibt sich folgende
Differentialgleichung:
Differentialgleichung (2 · P1 ) :
Differentialgleichung (Schwingkreis) :
allg. Differentialgleichung :
Ta · Tb · v̈(t) + (Ta + TB ) · v̇(t) + v(t)
=
u(t)
L · C · v̈(t) + R · C · v̇(t) + v(t)
=
u(t)
=
K · u(t)
T 2 · v̈(t) + 2 · D · T · v̇(t) + v(t)
⇒ T 2 = L · C = Schwingungsdauer bzw. ω0 = 1/T = Eigenkreisfrequenz
⇒ D = Dämpfungsgrad
L-Transformation: [(s · T )2 + 2 · D · T · s + 1] · v(s) = K · u(s)
Übertragungsfunktion: G(s) =
Pole:
sP 1,P 2 = −
D
1
± ·
T
T
K
ω02 · K
=
(s · T )2 + 2 · D · T · s + 1
s2 + 2 · D · ω0 · s + ω02
D2 − 1 = −ω0 · D ± ω0 ·
D2 − 1
2
Kapitel 5
Ergebnis bezüglich Dämpfungsgrad D:
D:
Pole:
Verlauf
D>1
→
negativ, reell
→
stabil
→ Kriechfall
D=1
→
negativ, reell
→
stabil
→ aperiodischer Grenzfall
0<D<1
→
Realteil < 0 , ± Imaginärteil
→ stabil
D=0
→
Realteil = 0 = Imaginärteil
→
−1 < D < 0
→
Realteil > 0 , ± Imaginärteil
→ instabil
→
D < −1
→
Realteil > 0 , Imaginärteil > 0
→ instabil
→ exponentieller Verlauf
→
Stabilitätsgrenze →
gedämpfte Schwingung
ungedämpfte Schwingung
aufklingende Schwingung
⇒ Systeme mit Polen in der linken s-Ebene (Realteil < 0) sind stabil
⇒ Systeme mit Polen auf der imaginären Achse (Realteil =0) sind an der Stabiliätsgrenze
⇒ Systeme mit Polen in der rechten s-Ebene (Realteil > 0) sind instabil
5.2 Stabilitätsprüfung mittels Frequenzgang G(jω) mit Nyquist - Kriterium und
Amplituden-/Phasenrand
Bereits bei der Optimierung des Reglers für Störgrößenverhalten mittels Schwingverfahren nach Ziegler - Nichols und Führungsgrößenverhalten beim ITAE - Verfahren (siehe Kapitel 3.5.5) wurde der “Regelkreis an die
Stabilitätsgrenze gebracht“.
In diesem Kapitel werden die Ursachen der Stabilität, Stabilitätsgrenze und Instabilität mit Hilfe des Frequenzganges dargestellt.
Als Beispiel diene hierfür folgender aufgeschnittene Regelkreis G0 (jω), bestehend aus der Reihenschaltung aus
dem Frequenzgang GR (jω)des Reglers und dem Frequenzgang GS (jω) der Regelstrecke:
Im folgenden werden verschiedene Fallunterscheidungen gemacht und die Ergebnisse einschließlich deren Auswirkung betrachtet:
Dazu werde folgender Versuchsaufbau angewendet (Blockschaltbild):
3
Kapitel 5
Wir benutzen einen Schalter Sch, der den Sinus-Generator an den Regelkreis anschließt und gleichzeitig den
Regelkreis unterbricht (aufgeschnittener Regelkreis). Schließt man jetzt den Schalter Sch, so wird der SinusGenerator vom offenen Regelkreis getrennt und dieser Regelkreis wird so gleichzeitig zum geschlossen Regelkreis.
Das Signal des Sinus-Generators ist unterbrochen und man kann so die Stabilität des Regelkreises überprüfen.
offene Regelkreis:
x(jω)
x(jω)
w(jω)
⇒
= GS (jω) · GR (jω) · w(jω)
= GS (jω) · GR (jω) = G0 (jω)
geschlossene Regelkreis:
x(jω) = GS (jω) · GR (jω) · e(jω)
e(jω) = w(jω) − x(jω)
x(jω) = GS (jω) · GR (jω) · [w(jω) − x(jω)]
[1 + GS (jω) · GR (jω)] · x(jω) = GS (jω) · GR (jω) · w(jω)
x(jω)
GS (jω) · GR (jω)
G0 (jω)
⇒
=
=
w(jω)
1 + GS (jω) · GR (jω)
1 + G0 (jω)
Versuchsvorbereitung:
Dieses Experiment funktioniert nur bei einer Regelstrecke mit proportionalem Verhalten (P-Strecke) und einer
Verzögerung mindestens 3. Ordnung (n ≥ 3). Aus Gründen der Einfachheit werde als Regler ein Verstärker (=
P-Regler) mit dem Übertragungsbeiwert K = 1 verwendet. So hat man später nur den einen Reglerparameter
K zu variieren.
Der Sinus-Generator SG gibt eine Amplitude û = 1 V ab bei einer niedrigen Kreisfrequenz ω. Diese wird
während des Experiments dann schrittweise erhöht. Gleichzeitig werden das Signal des Sinus-Generators w(t)
und das Ausgangssignal des Regelkreises x(t) registriert.
1.Fall:
ω ≪ ωE
⇒
ϕ ≈ 0◦
Bei sehr niedrigen Kreisfrequenzen ω wird die Phasenverschiebung ϕ zwischen dem Ausgangssignal x(t) und
dem Eingangssignal w(t) des offenen Regelkreises vernachlässigbar klein sein.
Antwort des offenen/geschlossenen Regelkreises bei ω =0,1 s−1 und K =1
1
0.8
Ausgangssignal
0.6
0.4
0.2
Eingangssignal
0
−0.2
−0.4
−0.6
offener
geschlossener
−0.8
Regelkreis
−1
rt52e0fad
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
t
100 s
4
Kapitel 5
Das Ausgangssignal des offenen Kreises x(t) ist geringfügig kleiner als das Eingangssignal w(t).
Nach dem Schließen des Schalters Sch fällt das Ausgangssignal x(t) schnell auf den Wert Null. Damit ist das
System stabil !
2.Fall:
ω ≪ ωE
⇒
ϕ ≈ −45◦ < 0◦
Offensichtlich ist jetzt das Ausgangssignal x(t) um die Zeit td verzögert. Es ist der Phasenwinkel ϕ ≈ − 45◦ .
Außerdem ist die Amplitude x(t) auf ca. 30% des Eingangssignales w(t) erniedrigt. Schließt man jetzt wieder
den Regelkreis, so sinkt die Regelgröße x(t) wieder auf Null und das System ist folglich stabil !
−1
Antwort des offenen/geschossenen Regelkreises bei ω = 1,0 s
und K = 1
1
Regelkreis
Eingangssignal
0.8
offen
geschlossen
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
Ausgangssignal
td
−0.6
−0.8
−1
70
72
74
76
78
80
82
rt52e0fbd
Jetzt werde die Kreisfrequenz ω wieder vergrößert und wir erhalten:
84
86
t
88
90 s
5
Kapitel 5
3.Fall:
ω = 1, 732 s−1 > ωE
⇒
ϕ ≈ −180◦
Beim aufgeschnittenen Regelkreis schwingt das Ausgangssignal x(t) entgegengesetzt zum Eingangssignal w(t).
Bei dieser Kreisfrequenz ω = 1, 732 s−1 = ωπ ist der Phasenwinkel ϕ = − 180 ◦ ,d.h.:
ϕ(ωπ ) = − 180
◦
⇐⇒
ωπ bei ϕ = − 180
◦
Zusätzlich ist die Amplitude des Ausgangssignales x(t) vermindert auf nur noch ca. 10 % der Amplitude des
Eingangssignales w(t). Das Amplitudenverhältnis von x(t)/w(t) beträgt bei dieser Kreisfrequenz ω:
⇒
x̂(ω = 1, 732 s−1 )
= GR (ω = 1, 732 s−1 ) · GS (ω = 1, 732 s−1 ) = G0 (ω = 1, 732 s−1 ) ≈ 0, 125
ŵ(ω = 1, 732 s−1 )
Nach dem Schließen des Schalters Sch und damit dem Schließen des Regelkreises mit gleichzeitigen Abtrennen
des Sinus-Generators schwingt die Ausgangsgröße x(t) → 0 und so ist dieses System weiterhin stabil.
−1
Antwort des offene/geschlossenen Regelkreises bei ω = 1,732 s
und K = 1
1
Regelkreis
0.8
0.6
Eingangs−
signal
offen
geschlossen
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
Ausgangs−
signal
−0.8
−1
74
rt52e0fcd
76
78
80
82
84
86
88 s
t
Im nächsten Fall 4 werden wir die Verstärkung (= Übertragungsbeiwert) auf den Wert K = 8 erhöhen !
6
Kapitel 5
4.Fall:
K = 8
ω = 1, 732 s−1 > ωE
⇒
ϕ ≈ −180◦
Mit diesem Übertragungsbeiwert K = 8 wird das Ausgangssignal x(t) jetzt in diesem Fall 4 um den
Faktor 8 größer im Vergleich zum Fall 3 bei unveränderter Kreisfrequenz ω. Damit hat das Ausgangssignal x(t)
jetzt die gleiche Amplitude wie das Eingangssignal w(t). Das Amplitudenverältnis ist jetzt bei dieser Kreisfrequenz ω → G0 (ω = 1, 732 s−1 ) = 1 !
−1
Antwort des offenen/geschlossenen Regelkreises bei ω = 1,732 s
und K = 8
1
Regelkreis
0.8
offen
geschlossen
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
Eingangs−
signal
−0.6
−0.8
Ausgangs−
signal
−1
74
rt52e0fdd
76
78
80
82
84
86
88 s
t
Betätigt man jetzt wieder den Schalter Sch (offener Regelkreis → geschlossener Regelkreis) so schwingt das Ausgangssignal x(t) ohne Eingangssignal w(t) mit konstanter Amplitude weiter. Wir haben soeben einen Oszillator
konstruiert, das System ist aber nicht mehr stabil ! Da die Amplitude des Ausgangssignales x(t) (und damit
alle Signale im Regelkreis) mit konstanter Amplitude schwingt, wird dieser Zustand als Stabilitätsgrenze
bezeichnet.
Im nächsten Fall 5 wird der Übertragungsbeiwert K = 10 eingestellt bei unveränderter Kreisfrequenz ω !
7
Kapitel 5
5.Fall:
K = 10
ω = 1, 732 s−1 > ωE
⇒
−1
Antwort des offenen/geschlossenen Regelkreises bei ω = 1,732 s
ϕ ≈ −180◦
und K = 10
2
Regelkreis
1.5
offen
geschlossen
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
Eingangs−
signal
−2
74
Ausgangs−
signal
76
78
80
82
84
rt52e0fed
86
88 s
t
Das Verhältnis der Ausgangsamplitude x̂ zur Eingangsamplitude ŵ beträgt jetzt x̂/ŵ ≈ 1, 25. Wird jetzt der
Schalter Sch geschlossen, so wird bei dieser Kreisfrequenz ω das Ausgangssignal x(t) permanent vergrößert, bis
das System wegen zu großer Amplituden zerstört wird. Das System ist instabil !
Ergebnis:
An der Stabilitätsgrenze gilt für den Frequenzgang des aufgeschnittenen Regelkreises G0 (ω):
• bei der Kreisfrequenz ω = ωπ ist der Phasenwinkel des offenen Regelkreises ϕ0 (ωπ ) = − 180◦
• das Amplitudenverhältnis des Ausgangssignales x̂ zum Eingangssignal ŵ ist
|G0 (ωπ )| = x̂/ŵ = 1 bzw. G0 (jωπ ) = − 1
Damit lautet das vereinfachte Nyquist-Kriterium:
G0 (ωπ ) ≥ − 1
|G0 (ωπ )| ≤ 1
⇒
⇒
Stabilität
Stabilität
8
Kapitel 5
Stabilitätsprüfung anhand der Ortskurve des Frequenzganges (Nyquist)
Beim Experiment haben wir einige Eigenschaften festgestellt:
Das Verhalten des aufgeschnittenen Regelkreises G0 (jω) bei unterscheidlichen Werten des Übertragungsbeiwertes K bestimmt das Verhalten des geschlossenen Regelkreises !
offene Regelkreis:

 |G0 (ωπ )| < 1 → stabil
|G0 (ωπ )| = 1 → Stabilitätsgrenze
ϕ0 (ωπ )]| =

|G0 (ωπ )| > 1 → instabil
Dies erkennt man leicht in der Darstellung der Ortskurve des aufgeschnittenen Regelkreises, wie wir es “experimentell“
ermittelt haben.
Ortskurve der P − Strecke und P−Regler mit K = 5, 8 und 10
3
K=8
K=5
0
K = 10
−1
−2
Imaginärteil
stabil
−3
−4
Stabilitäts−
grenze
−5
−6
instabil
−7
−2
0
2
4
Realteil
6
8
10
rt441op3f
Experimentelle Ermittlung der Stabilität:
Man schneidet den Regelkreis auf, legt an den Eingang des aufgeschnittenen Regelkreises ein Sinussignal
und ermittelt auf diese Weise die Ortskurve des aufgeschnittenen Regelkreises:
G0 (jω) = GS (jω) · GR (jω)
Je nach Schnittpunkt der Ortskurve des aufgeschnittenen Regelkreises mit der negativ reellen Achse ergeben
sich folgende Aussagen:
9
Kapitel 5
Rechnerische Ermittlung der Stabilität:
Bei Kenntnis des Frequenzganges der Regelstrecke GS (jω) und des gewählten Reglers GR (jω) kann der Frequenzgang des aufgeschnittenen Regelkreises G0 (jω) aus:
G0 (jω) = GS (jω) · GR (jω)
berechnet werden. Wenn die Ortskurve des aufgeschnittenen Regelkreises G 0 (jω) die negativ reelle Achse schneidet, beträgt
der Phasenwinkel ϕ = ± 180◦
bzw.
ϕ = ± π
und der Imaginäranteil des Frequenzganges des aufgeschnittenen Regelkreises wird Im(G0 (jω) = ℑ(G0 (jω)) = 0.
Diese Bedingung wird bei einer charakteristischen Frequenz (Phasenschnittfrequenz) ω = ω π erfüllt.
Mit dieser Phasenschnittfrequenz ωπ bestimmt man den Realteil des Frequenzganges des aufgeschnittenen
Regelkreises Re(G0 (jωπ )) = ℜ(G0 (jωπ )) und kann dann bezüglich der Stabilität des Regelkreises folgende
Aussage machen:

 > − 1 → stabil
= − 1 → Stabilitätsgrenze
ℜ[G0 (jωπ )] =

< − 1 → instabil
Rechnerische Stabilitätsprüfung des Experiments:
Die Regelstrecke bestand aus 3 in Reihe geschalteten P1 -RKG mit jeweils der gleichen Zeitkonstante T = 1 s
und dem Übertragungsbeiwert K = 1. Damit lautet die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Regelkreises:
G0 (jω) = GR (jω) · GS (jω) =
x(jω)
K
=
3
w(jω)
(jω · T ) + 3 · (jω · T )2 + 3 · (jω · T ) + 1
Bestimmung der Phasenschnittfrequenz ωπ :
Zuerst muß die Kreisfrequenz ω ermittelt werden, wo der Phasenwinkel ϕ0 (ω) des aufgeschnittene Regelkreises
den Phasenwinkel ϕ0 = − 180 ◦ hat. Dies ist bei der Kreisfrequenz ωπ und damit gilt:
ϕ0 (ωπ ) = − 180
◦
Zusätzlich wissen wir, daß in diesem Fall (bei dieser Kreisfrequenz ω π ) in der Ortskurve der Imaginärteil der
Übertragungsfunktion G0 (jωπ ) Null ist, d.h. ℑ[G0 (jωπ )] = 0. Daher wandeln wir die obige Gleichung um und
erhalten:
G0 (jω) =
G0 (jω) =
K
K
=
(jω · T )3 + 3 · (jω · T )2 + 3 · (jω · T ) + 1
−j(ω · T )3 − 3 · (ω · T )2 + 3 · ω · T + 1
[1 − 3 · (ω ·
K
K
=
3
2
+ j · [3 · (ω · T ) − (ω · T ) ]
[1 − 3 · (ω · T ) ] + j · (ω · T ) · [3 − (ω · T )2 ]
T )2 ]
Der Imaginärteil verschwindet, wenn: (ω · T ) · [3 − (ω · T )2 ] = 0
1.Fall:
ω
=
0
2
=
0 → (ω · T )2 = 3 ⇒ ω = ωπ =
2.Fall: 3 − (ω · T )
1 √
· 3 = 1, 732 s−1
T
10
Kapitel 5
Wir erinnern uns, daß beim aufgeschnittenen Regelkreis die Phasenverschiebung ϕ 0 (ωπ ) = − 180
bei der Kreisfrequenz ωπ = 1, 732 s−1 !
◦
auftrat
Bei dieser Kreisfrequenz ωπ (= Phasenschnittfrequenz) lautet die Gleichung des aufgeschnittenen Regelkreises:
G0 (jω) =
K
K
K
K
=
=
=
= − 0, 125 · K
[1 − 3 · (ωπ · T )2 ] + 0
1 − 3·3
1 − 9
−8
Der Betrag des Amplitudenverhältnisses x̂/ŵ des aufgeschnittenen Regelkreises ist dann:
|G0 (jωπ )| = x̂/ŵ = 0, 125 · K
Damit haben wir die verschiedenen Fälle des Experiments:
Fall 3 → K = 1 → |G0 (ωπ )| = x̂/ŵ = 0, 125
< 1
Fall 4 → K = 8 → |G0 (ωπ )| = x̂/ŵ = 0, 125 · 8 = 1
Fall 5 → K = 10 → |G0 (ωπ )| = x̂/ŵ = 0, 125 · 10 > 1
⇒ stabil
⇒ Grenzfall
⇒ instabil
Der Betrag des Frequenzganges (des aufgeschnittenen Regelkreises) |G0 (ωπ | ist in der Ortskurve die Zeigerlänge,
ausgehend vom Ursprung (= Nullpunkt).
Eine andere Darstellung zur Ermittlung des Ortes in der Ortskurve haben wir bereits für die Phasenschnittfrequenz ωπ durchgeführt:
G0 (jωπ ) = − 0, 125 · K
Wendet man diese Relation auf obige Fälle erneut an, ergibt sich:
Fall 3 → K = 1 → G0 (jωπ ) = − 0, 125
> − 1
Fall 4 → K = 8 → G0 (jωπ ) = − 0, 125 · 8 = − 1
Fall 5 → K = 10 → G0 (jωπ ) = − 0, 125 · 10 < − 1
⇒ stabil
⇒ Grenzfall
⇒ instabil
Offensichtlich ist der Punkt −1 in der Ortskurve von großer Bedeutung für die Stabilität !
Eine Aussage bezüglich der Stabilität ergibt der Schnittpunkt der Ortskurve mit der reellen Achse bei zunehmender Kreisfrequenz ω:
-
rechts des Punktes -1
auf dem Punkt -1
links des Punktes -1
⇒
⇒
⇒
stabil
Stabilitätsgrenze
instabil
11
Kapitel 5
weiteres Beispiel: Rechnerische Stabilitätsprüfung
gegeben: Frequenzgang G0 (jω) eines P3 -Systems
G0 (jω) =
7
3 · (jω · s + 1) · (jω · s + 1/2) · (jω · s + 1/3)
gesucht: Schnittpunkt von G0 (jω) mit der negativ reellen Achse zur Bestimmung der Frequenz ω π und
anschließend zur Stabilitätsprüfung mit Hilfe der Phasenschnittfrequenz ωπ
Rechenweg:
- Ausmultiplizieren des Nenners
- konjugiert komplex erweitern von G0 (jω)
- Aufspalten des Frequenzganges G0 (jω) in den Realteil des Frequenzganges ℜ[G0 (jω)] und Imaginärteil
des Frequenzganges ℑ[G0 (jω)]
- Berechnung der Phasenschnittfrequenz ωπ ← ℑ[G0 (jωπ )] = 0
- Berechnung des Realteils des Frequenzganges ℜ[G0 (jωπ )]
- Stabilität beurteilen
Ausmultiplzieren des Nenners:
Erweitert man des Bruch mit der Zahl 2 so erhält man folgenden Ausdruck:
G0 (jω) =
7
2
14
· =
3 · (jω · s + 1) · (jω · s + 1/2) · (jω · s + 1/3) 2
(s · jω + 1) · (2 · s · jω + 1) · (3 · s · jω + 1)
Der Nenner hat dann folgendes Polynom in jω:
G0 (jω) =
G0 (jω) =
G0 (jω) =
G0 (jω) =
[2 · (s ·
jω)2
14
+ s · jω + 2 · s · jω + 1] · [3 · s · jω + 1]
[2 · (s ·
jω)2
14
+ 3 · s · jω + 1] · [3 · s · jω + 1]
jω)2
14
+ 3 · s · jω + 2 · s · (jω)2 + 3 · s · jω + 1
6 · (s ·
jω)3
+ 9 · (s ·
6 · (s ·
jω)3
14
+ 11 · (s · jω)2 + 6 · s · jω + 1
mit der Relation j 2 = − 1, folgt:
G0 (jω) =
1 − 11 · (s ·
ω)2
14
+ j · 6 · s · ω · (1 − (s · ω)2 )
konjugiert komplex erweitern:
G0 (jω) =
1 − 11 · (s ·
ω)2
14
1 − 11 · (s · ω)2 − j · 6 · s · ω · (1 − (s · ω)2
·
2
+ j · 6 · s · ω · (1 − (s · ω) ) 1 − 11 · (s · ω)2 − j · 6 · s · ω · (1 − (s · ω)2
12
Kapitel 5
Realtteil ℜ[G0 (jω)] und Imagiärteil ℑ[G0 (jω)]:
G0 (jω) =
6 · 14 · s · ω · (1 − (s · ω)2 )
14 · (1 − 11 · (s · ω)2 )
− j·
N
N
Es ist der Nenner N = [1 − 11 · (s · ω)2 ]2 + 36 · (s · ω)2 · [1 − (s · ω)2 ]2
Berechnung der Phasenschnittfrequenz ωπ :
Im Fall : ω = ωπ ist ℑ[G0 (jωπ )] = 0
Mit N (ωπ ) = 0 folgt:
− 6 · 14 · s · ωπ · [1 − (s · ωπ )2 ] = 0 → [1 − (s · ωπ )2 ] = 0 → ωπ2 = 1 · s−2
⇒ ωπ = 1 · s−1
Bei der Kreisfrequenz ωπ = 1 · s−1 schneidet der Frequenzgang des aufgeschnittenen Regelkreises G0 (ωπ ) die
negativ reelle Achse.
Berechnung des Realteils des Frequenzganges ℜ[G0 (jωπ )]:
Für diese Kreisfrequenz ωπ = 1 · s−1 wird der Realteil des aufgeschnittenen Regelkreises ℜ[G0 (jωπ )]:
ℜ[G0 (jωπ )] =
14 · (1 − 11)
140
= − 1, 4
= −
(1 − 11)2 + 36 · 1 · (1 − )2
100
Da ℜ[G0 (jωπ )] = − 1, 4 < − 1 ist, ist der Regelkreis instabil !
13
Kapitel 5
Amplitudenrand und Phasenrand beim Einortskurvenverfahren
Beim (vereinfachten) Nyquistkriterium bzw. Einortskurvenverfahren (aufgeschnittener Regelkreis) wurde festgestellt, daß die Stabilitätsgrenze überschritten ist, wenn die Ortskurve G0 (jω) des aufgeschnittenen Regelkreises
die negativ reelle Achse bei Werten < −1 schneidet.

 > − 1 → stabil
= − 1 → Stabilitätsgrenze
G0 (jωπ ) =

< − 1 → instabil
Frage: Wie groß ist die Stabilitätsreserve im Falle
G0 (jωπ ) > − 1 ?
Wegen der Bedeutung des Punktes - 1 bei der Ortskurvendarstellung, wird dieser Punkt jetzt genauer betrachtet !
Amplitudenrand AR :
Im Fall 3 des Experimentes hatte die P3 - Regelstrecke zusammen mit dem P0 - Regler den Übertragungsbeiwert K = 5. Bei der Phasenschnittfrequenz ωπ = 1, 732 s−1 war der Phasenwinkel des aufgeschnittenen
Regelkreises ϕ0 = − 180 ◦ und der Schnittpunkt der Übertragungsfunktion G0 (ωπ ) mit der reellen Achse war
bei dem Wert:
G0 (jωπ ) ≈ − 0, 625
Der Betrag der Übertragungsfunktion |G0 (ωπ )|, d.h. die Zeigerlänge ist damit:
|G0 (ωπ )| ≈ + 0, 625
Man kann also den Übertragungsbeiwert des Reglers K um den Faktor AR
AR =
1
1
d.h. hier im Fall 3 des Experimentes =
|G0 (ωπ )|
0, 625
erhöhen, bis der Punkt − 1 und damit die Stabilitätsgrenze erreicht ist. Dieser Faktor AR wird Amplitudenrand des Systems genannt.
Amplitudenrand AR :
Der Amplitudenrand (Verstärkungsreserve, Amplitudenreserve, gain margin, Betragsabstand) ist der Kehrwert
der Zeigerlänge des Frequenzganges G0 (jωπ ) des aufgeschnittenen Regelkreises bei der Kreisfrequenz ωπ (d.h.
ϕ(ωπ ) = − 180◦ ).
AR =
1
|G0 (jωπ )|
Bei unserem Experiment (im Fall 3) beträgt der Amplitudenrand AR = 1/0, 625 = 1, 6 ! Wir können also
den Übertragungsbeiwert K = 5 des P0 - Reglers um den Amplitudenrand AR = 1, 6 vergrößern bis der neue
Übertragungsbeiwert des Reglers Kkrit :
Kkrit = AR · K = 1, 6 · 5 = 8
⇐⇒
K = 8 (Stabilitätsgrenze)
für den geschlossenen Regelkreis die Stabilitätsgrenze errreicht ist.In anderen Worten: In einem stabilen System
ist der maximale Wert des Übertragungsbeiwertes des Reglers Kmax immer Kmax < Kkrit = AR · K !
Im Fall 5 des Experimentes hatte die gleiche P3 - Regelstrecke zusammen mit dem P0 - Regler den Übertragungsbeiwert K = 10. Der Schnittpunkt der Übertragungsfunktion G0 (ωπ ) mit der reellen Achse bei unveränderter
Phasenschnittfrequenz ωπ war jetzt bei dem Wert:
G0 (jωπ ) ≈ − 1, 25
14
Kapitel 5
Gemäß dem Nyquist-Kriterium ist der geschlossene Regelkreis (System) dann instabil ! Wendet man die Formel
des Amplitudenrandes AR an, so ergibt sich:
AR =
1
1
d.h. hier im Fall 5 des Experimentes =
= 0, 8
|G0 (ωπ )|
1, 25
Es ist der Amplitudenrand AR = 0, 8 < 1 !
Im Fall 4 des Experimentes (= Stabilitätsgrenze) betrug der Übertragungsbeiwert des aufgeschnittenen Regelkreises K = 8 und so war der Schnittpunkt der Übertragungsfunktion :
G0 (jωπ ) = − 1
Damit ist der Amplitudenrand AR im Fall 4:
AR =
1
1
d.h. hier im Fall 4 des Experimentes =
= 1
|G0 (ωπ )|
1
Der Wert der Amplitudenreserve, Amplitudenrandes (gain margin) ist damit ein Maß für die Stabilität:

 > 1 → stabil
1
= 1 → Stabilitätsgrenze
=
AR =

|G0 (jωπ )|
< 1 → instabil
Beispiel: Experimentelle Stabilitätstest (Amplitudenrand AR ) mit K = 5, 8 und 10:
Ortskurve der P 3 − Strecke und des P0 − Reglers mit K = 5, 8 und 10
0.2
K=10
0
|G0(jωπ)|
K=5
imag
K=8
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
rt443op3f
−1.2
−1
−0.8
−0.6
real
−0.4
−0.2
0
15
Kapitel 5
Phasenrand αR :
Im Fall 3 des Experimentes, der P0 - Regler hatte den Übertragungsbeiwert K
aufgeschnittenen Regelkreises
|G0 (ωD )| = 1
= 5, war der Betrag des
bei der Kreisfrequenz ωD . Bei dieser Kreisfrequenz ωD (= Durchtrittsfrequenz) ist der Phasenwinkel des aufgeschnittenen Regelkreises ϕ0 (ωD ) ≈ − 160 ◦ . Der Phasenwinkel bei dieser Durchtrittsfrequenz ω D ist damit
größer als der Phasenwinkel des aufgeschnittenen Regelkreises bei der Phasenschnittfrequenz → ϕ 0 (ωπ ) = − 180 ◦
Es existiert also eine Reserve bis zur Stabilitätsgrenze
αR = ϕ0 (ωD ) − ϕ0 (ωπ ) ≈ − 160
◦
− (− 180 ◦ ) ≈ 180
◦
− 160
◦
≈ + 20
◦
Phasenrand αR :
Als Phasenrand, Phasenreserve, phase margin wird der Winkel α bezeichnet, der sich zwischen der negativ
reellen Achse und dem Zeiger des aufgeschnittenen Regelkreises mit der Zeigerlänge |G0 (jωD )| = 1 befindet.
(Begriff: ωD folgt später):
tan αR (jωD ) =
ℑG0 (jωD )
ℜG0 (jωD )
|G0 (jωD )| = 1
mit
Ortskurve der P 3 − Strecke und des P0 − Reglers mit K = 5, 8 und 10
0.2
K=10
0
imag
K=8
−0.2
|G (jω )| = 1
0
D
φ(jωD)
−0.4
−0.6
Radius r=1
K=5
−0.8
rt442op3f
−1.2
−1
−0.8
−0.6
real
−0.4
−0.2
0
Im Fall 5 des Experimentes war der Übertragungsbeiwert des Reglers K = 10 und das System (geschlossene Regelkreis) wäre instabil ! Bei der Kreisfrequenz ωD ist der Betrag des aufgeschnittenen Regelkreises
|G0 (ωD )| = 1, d.h. es ist die Zeigerlänge = 1 und der Phasenwinkel:
ϕ0 (ωD ) ≈ − 195
◦
16
Kapitel 5
Damit wird der Phasenrand αR :
αR = ϕ0 (ωD ) − ϕ0 (ωπ ) ≈ − 195
◦
− (− 180 ◦ ) ≈ 180
◦
− 195
◦
≈ − 15
◦
Im Fall 4 des Experimentes (= Stabilitätsgrenze) bei dem Übertragungsbeiwert K = 8 des P0 - Reglers betrug
der Phasenwinkel des aufgeschnittenen Regelkreises:
ϕ0 (ωD ) ≈ − 180
◦
und damit ist der Phasenrand αR :
αR = ϕ0 (ωD ) − ϕ0 (ωπ ) ≈ − 180
◦
− (− 180 ◦ ) ≈ 180
◦
− 180
◦
≈ − 0
◦
Der Wert der Phasenreserve, Phasenrandes (phase margin) ist damit ein Maß für die Stabilität:

 > 0 → stabil
αR = ϕ0 (ωD ) − ϕ0 (ωπ ) =
= 0 → Stabilitätsgrenze

< 0 → instabil
Zusammenfassung:
Amplitudenrand AR : Der Amplitudenrand (Verstärkungsreserve, Amplitudenreserve, gain margin, Betragsabstand) ist der Kehrwert der Zeigerlänge des Frequenzganges G0 (jωπ ) des aufgeschnittenen Regelkreises bei
der Kreisfrequenz ωπ (d.h. ϕ(ωπ ) = − 180◦ ).
AR =
1
|G0 (jωπ )|
Phasenrand αR : Als Phasenrand, Phasenreserve, phase margin wird der Winkel α bezeichnet, der sich zwischen
der negativ reellen Achse und dem Zeiger des aufgeschnittenen Regelkreises mit der Zeigerlänge |G0 (jωD )| = 1
befindet. (Begriff: ωD folgt später):
tan αR (jωD ) =
ℑG0 (jωD )
ℜG0 (jωD )
mit
|G0 (jωD )| = 1
17
Kapitel 5
Stabilitätsprüfung mit Hilfe des Bode-Diagramms
Bisher wurde die Stabilität
- algebraisch mittels Hurwitz-Kriterium (aus der Differentialgleichung des geschlossenen Regelkreises)
- algebraisch mittels Übertragungsfunktion G(s) des geschlossenen Regelkreises im Pol - Nullstellen - Diagramm
- rechnerisch bzw. graphisch mittels ( vereinfachtem ) Nyquist - Kriterium im
- Einortskurvenverfahren
- Zweiortskurvenverfahren
am aufgeschnittenen Regelkreis bestimmt.
Die Stabilitätsprüfung mittels Bode-Diagramm läßt sich einfach aus dem Einortskurvenverfahren entwickeln.
Es wird der Frequenzgang G0 (jω) des aufgeschnittenen Regelkreises betrachtet und im Bode-Diagramm als
Amplitudengang und Phasengang dargestellt.
Wie im Kapitel 4.2 bereits gezeigt , ergibt sich der Amplitudengang des aufgeschnittenen Regelkreises |G 0 (ω)|dB
(= Reihenschaltung von Regelstrecke, Regler, etc.) durch Addition der Amplitudengänge des Reglers, der Regelstrecke, etc.
Den Phasengang des aufgeschnittenen Regelkreises ϕ0 (ω) ermittelt man analog durch Addition der Phasengänge
von Regelstrecke ϕS (ω), Regler ϕR (ω) usw.
Vorteile:
Zeigerlänge in der Ortskurve:
|G0 (ω)|
Amplitudengang im Bode-D.:
|G(ω)|dB
Zeigerlänge im Bode-Diagramm: |G0 (ω)|dB
= |G1 (ω)| · |G2 (ω)| . . . |Gn (ω)|
= 20 · lg(|G(ω)|)
= |G1 (ω)|dB + |G2 (ω)|dB + . . . + |Gn (ω)|dB
⇒ Addition der i-Amplitudengänge |Gi (ω)|dB zu |G0 (ω)|dB des aufgeschnittenen Regelkreises
Phasengang im Bode-D.: ϕ0 (ω) =
ϕ1 (ω) + ϕ2 (ω) + . . . + ϕn (ω)
⇒ Addition der i-Phasengänge ϕi (ω) zu ϕ0 (ω) des aufgeschnittenen Regelkreises
18
Kapitel 5
Amplitudenrand und Phasenrand im Bode-Diagramm
Der Amplitudenrand AR war beim Einortskurvenverfahren definiert als der Kehrwert der Zeigerlänge des
aufgeschnittenen Regelkreises bei einem Phasenwinkel von ϕ = − 180 ◦.
⇒
AR =
1
|G0 (ωπ )|
bei
ϕ0 (ωπ ) = − π = − 180◦
im Bode-Diagramm:
Amplitudenrand, Amplitudenreserve:
20 · lg[AR · |G0 (ωπ )|] =
20 · lg[1]
֒→
[AR ]dB + [|G0 (ωπ )|]dB
=
0
֒→
[AR ]dB
=
− [|G0 (ωπ )|]dB
1. Schritt:
Bestimmung der Kreisfrequenz ωπ (=Phasenschnittfrequenz) aus dem Phasengang bei ϕ0 (ωπ ) = −180
◦
2. Schritt:
Mit der Kreisfrequenz ωπ ermittelt man die “ Zeigerlänge“ |G0 (ωπ )|dB aus dem Amplitudengang
3. Schritt:
Mit der “ Zeigerlänge“ |G0 (ωπ )|dB = − [AR ]dB ⇒ AR in dB (siehe oben)
Hinweis: (vergleiche Nyquist-Kriterium)
[AR ]dB = − [|G0 (jωπ )|]dB

> 0 → stabil



= 0 → Stabilitätsgrenze
=



< 0 → instabil
Der Phasenrand αR war beim Einortskurvenverfahren definiert als der Winkel zwischen der negativ reellen
Achse (= − 180◦ = − π) und dem Phasenwinkel ϕ0 (ωD ) des aufgeschnittenen Regelkreises.
αR = ϕ0 (ωD ) − ϕ0 (ωπ )
⇒
mit
|G0 (ωD )| = 1
1. Schritt:
Beim Bode-Diagramm bestimmt man die Durchtrittsfrequenz ωD aus dem Amplitudendiagramm.
Bei dieser Kreisfrequenz schneidet der Amplitudengang die 0dB − Gerade, bzw. ist der Betrag des Frequenzganges |G0 (ωD )| = 1
2. Schritt:
Mit dieser Kreisfrequenz ωD bestimmt man den Phasenwinkel ϕ0 (ωD ) im Phasendiagramm.
3. Schritt:
Mit der Definition des Phasenrandes (siehe oben) folgt:
αR = ϕ0 (ωD ) − ϕ0 (ωπ )
Er ist die verbleibende Phasenreserve bis Instabilität auftritt.
αR

> 0 → stabil



= 0 → Stabilitätsgrenze
= ϕ0 (ωD ) − ϕ0 (ωπ ) =



< 0 → instabil
19
Kapitel 5
Beispiel: Fall 3 mit dem Übertragungsbeiwert des Reglers K = 5
α = 17.715 °
A = 1.6104
R
R
20
10
|G (ω)|
0
dB
0
−10
−20
−30
−40
−50
−1
10
0
1
10
rt441_a_op3_mf
10
ω
s
−1
0
−45
φ0(ω)
−90
−135
−180
−225
−270
−1
10
rt441_a_op3_pf
0
1
10
10
ω
s−1
20
Kapitel 5
Beispiel: Fall 5 mit dem Übertragungsbeiwert des Reglers K = 10
AR = 0.80519 ,
αR = −6.7528
°
20
10
|G0(ω)|dB
0
−10
−20
−30
−40
−50
−1
10
0
1
10 s−1
10
ω
rt441_c_op3_mf
0 °
−45
φ0(ω)
−90
−135
−180
−225
−270
−1
10
rt441_c_op3_pf
0
1
10 s−1
10
ω
21
Kapitel 5
Stabilitätstest für verschiedene Regelkreise
Beispiel 1:
P2 - Regelstrecke: KP S
KP R
P1 - Regler
=
=
100 TS1
10 TR1
= 2s
= 0, 1 s
TS2
P −Regler Amplitudenrand A
1
R
=
1s
=0.0242
Phasenrand α
R
= −58.8098
°
60
|G (ω)|
0
40
|G (ω)|
|G(ω)|
dB
S
20
|G (ω)|
R
0
−20
−40
−1
0
10
1
10
Kreisfrequenz
rtv542amf
P1−Regler Amplitudenrand AR =0.0242
0°
2
10
10
−1
s
ω
Phasenrand αR = −58.8098
°
−45
φ
φ
R
−90
−135
φ
−180
S
−225
φ0
−270
−1
10
0
1
10
10
Kreisfrequenz
rtv542apf
Regelkreis: ωD
ωπ
≈
≈
20 s−1
4, 5 s−1
αR
|G0 (ωπ )|
=
≈
2
− 50◦
35 dB
⇒ instabil
→ AR ≈ 0, 02 ⇒ instabil
10
ω
−1
s
22
Kapitel 5
Beim aufgeschnittenen Regelkreis, bestehend aus P2 - Regelstrecke S und P1 - Regler R, erhielt man durch
Addition der Amplitudengänge und Phasengänge der einzelnen Regelkreisglieder den Amplituden- und Phasengang des aufgeschnittenen Regelkreises O.
Man erkennt deutlich, daß dieser Regelkreis O instabil ist, da beim Amplitudengang bei 0 − dB ein Phasenrand αR ≈ − 50 ◦ existiert. Die Durchtrittsfrequenz beträgt ωD ≈ 20 s−1 .
Der Phasenwinkel wird ϕ = − 180 ◦ bei der Kreisfrequenz (Phasenschnittfrequenz) ωπ ≈ 4, 5 s−1 . In
diesem Fall beträgt die Verstärkung |G0 (ωπ )|dB ≈ 35 dB bzw. |G0 (ωπ )| ≈ 56 und damit der Amplitudenrand
AR ≈ 0, 02. Es liegt Instabilität vor, da außerdem ωπ < ωD ist.
Es stellt sich die Frage: Welche Möglichkeiten bestehen, um diesen Regelkreis zu stabilisieren ?
Im allgemeinen kann man die Kenndaten der Regelstrecke S nur durch ändern der Regelstrecke selbst beeinflussen. Folglich kann man den Regelkreis nur durch Variation der Reglerkenngrößen (hier T1 und KP R )
stabilisieren. (Später werden noch andere Möglichkeiten aufgezeigt).
1.Vorschlag: KP R verändern (d.h. verkleinern)
KP R = 10 ⇒ KP R = 0, 1
Durch diese Maßnahme wird der Amplitudengang des Reglers R und damit automatisch der Amplitudengang des aufgeschnittenen Regelkreises O um − 40 dB (den Faktor 1/100) abgesenkt.
Der Phasengang der einzelnen Regelkreisglieder R, S und damit der aufgeschnittene Regelkreis O bleibt
unbeeinflußt. Die Frequenz ωπ = 4, 5 s−1 bleibt unverändert.
Durch das Absenken des Amplitudenganges verringert sich die Durchtrittsfrequenz von
ωD = 20 s−1 → ωD = 3 s−1
Jetzt ist ωD < ωπ !
2.Vorschlag: Zeitkonstante T1 des Reglers variieren
Durch diese Maßnahme wird die Eckfrequenz ωE des Reglers im Amplituden- und Phasendiagramm beeinflußt.
Wird
- T1 erhöht → wird ωE kleiner
⇒ die Kurven verschieben sich zu niedrigen Frequenzen
⇒ die Instabilität wird größer
- T1 verkleinert → wird ωE größer
⇒ die Kurven verschieben sich zu hohen Frequenzen hin
⇒ die Stabilität nimmt zu
23
Kapitel 5
1.Vorschlag: KP R = 10 ⇒ KP R = 0, 1
P2 - Regelstrecke: KP S = 100 TS1
KP R = 0, 1 TR1
P1 - Regler
= 2s
= 0, 1 s
TS2
P1−Regler Amplitudenrand AR =2.4202
= 1s
°
Phasenrand αR = 21.3296
40
|GS(ω)|
20
|G0(ω)|
|G(ω)|dB
0
−20
|GR(ω)|
−40
−60
−80
−1
10
0
1
10
2
10
10
Kreisfrequenz
P −Regler Amplitudenrand A
1
R
=2.4202
−1
ω
rtv542bmf_fl
0°
s
Phasenrand α
R
= 21.3296
°
−45
φ
φ
R
−90
−135
φS
−180
−225
φ
0
−270
−1
10
0
10
≈
≈
3 s−1
4, 5 s−1
αR
|G0 (ωπ )|
=
≈
2
10
Kreisfrequenz
rtv542bpf
Regelkreis: ωD
ωπ
1
+ 20◦
− 7 dB
⇒ stabil
→ AR ≈ 2, 3 ⇒ stabil
10
ω
−1
s
24
Kapitel 5
Beispiel 2: P2 - Strecke und I0 - Regler mit der Forderung: AR = 2
P2 - Regelstrecke: KP S = 100
TS1 = 1 s TS2
KIR = 0, 1 s−1
I0 - Regler
=
1s
I −Regler Amplitudenrand A =0.20003 Phasenrand α = −36.865
0
R
°
R
40
20
|G(ω)|
dB
0
−20
−40
|G (ω)|
S
−60
|GR(ω)|
−80
−100
|G (ω)|
0
−1
0
10
1
10
2
10
10
Kreisfrequenz
−1
s
ω
rtv542cmf
I0−Regler Amplitudenrand AR =0.20003 Phasenrand αR = −36.865
0°
°
−45
φ
−90
φ
R
−135
φS
−180
−225
φ0
−270
−1
10
0
2
10
10
Kreisfrequenz
rtv542cpf
Regelkreis: ωD
ωπ
1
10
ω
≈
≈
2 s−1
1 s−1
αR
|G0 (ωπ )|
= − 40◦
≈ + 14 dB
⇒ instabil
→ AR ≈ 0, 2 ⇒ instabil
−1
s
25
Kapitel 5
Forderung: AR = 2 → |G0 (ωπ )| = 0, 5 bzw. |G0 (ωπ )|dB = − 6 dB
d.h. es muß die Reglerkennlinie bei der Kreisfrequenz ω π = 1 s−1 (hier im Beispiel) auf den Wert − 6 dB
eingestellt werden. Dazu muß die Reglerkennlinie um 20 db abgesenkt bzw. um − 20 dB geändert werden.
Δ|G0 (ωπ )|dB = − 20 dB
→ neu: KIR = 0, 01 s−1
ωD ≈ 7 s−1 ⇒ αR ≈ + 20
I −Regler Amplitudenrand A
0
R
◦
=2.0003 Phasenrand α
R
= 21.3876 °
40
20
|G(ω)|
dB
0
−20
|G (ω)|
−40
S
−60
−80
|G (ω)|
R
−100
−120
|G0(ω)|
−1
0
10
1
10
2
10
10
−1
s
Kreisfrequenz
ω
rtv542dmf
I −Regler Amplitudenrand A =2.0003 Phasenrand α
0°
0
R
R
= 21.3876 °
−45
φ
−90
φ
R
−135
φ
−180
S
−225
−270
−1
10
rtv542dpf
φ
0
0
1
10
2
10
Kreisfrequenz
10
ω
−1
s
26
Kapitel 5
5.3 Stabilität von Regelkreisen mit Totzeit
Darstellung in der Übergangsfunktion G(s) mittels Pol - Nullstellen - Diagramm:
Die Übergangsfunktion G(s) der Totzeit lautet nach Anwendung der L - Transformation:
G(s) = KT · e−s·Tt
mit i.a. KT = 1
Die Totzeit hat gemäß obiger Formel weder Nullstelle noch Polstelle und kann somit im Pol-NullstellenDiagramm nicht dargestellt werden !
Abhilfe:
Näherung der Totzeit durch
- Reihenschaltung von n - P1 - RKG (mit n “groß“) oder durch
- die P adé - Approximation (wird in Matlab angewendet)
Die P adé - Approximation wird im Kapitel “5.4 Reglerentwurf“ angewendet.
Darstellung im Frequenzgang G(jω) mittels Ortskurve:
Wegen der phasendrehenden Wirkung
ϕ(ω) = − ω · Tt
in rad
hat die Totzeit einen erheblichen (negativen) Einfluß auf die Stabilität
Nach dem vereinfachten Nyquist-Kriterium
G0 (jωπ ) > − 1 d.h.
ϕ0 (ωπ ) = − π
des aufgeschnittenen Regelkreises ist es unmöglich einen Regelkreis, bestehend aus:
a) P1 - Regelstrecke und P0 - Regler (bzw. P I - Regler)
b) P2 - Regelstrecke und P0 - Regler
oder umgekehrt instabil werden zu lassen. Dies wird jedoch sehr schnell erreicht, wenn sich im Regelkreis ein
Element (RKG) mit Totzeit befindet.
Beispiel: siehe Kapitel 4.4.5 P1 Tt -Element
Der aufgeschnittene Regelkreis G0 (jω) besteht aus der Regelstrecke S1 mit P1 - Verhalten und der
Regelstrecke S2 mit Totzeitverhalten. Es werde ein P0 - Regler verwendet:
Regelstrecke S1 : GS1 (jω)
Regelstrecke S2 : GS2 (jω)
Regler R :
GR (jω)
KP S
1 + jωT1
= 1 · e−jωTt
=
= KP R
Nach dem Einortskurvenverfahren folgt für den Frequenzgang des aufgeschnittenen Regelkreises G0 (jω):
⇒
G0 (jω) = GS1 (jω) · GS2 (jω) · GR (jω) =
KP S · KP R −jωTt
·e
1 + jωT1
27
Kapitel 5
Gemäß den Rechenregeln bei Reihenschaltung der Regelkreisglieder werden die Beträge |G(ω)| der Frequenzgänge
multipliziert und die Phasenwinkel ϕ(ω) der einzelnen Frequenzgänge addiert !
In diesem Beispiel leistet der P0 - Regler keinen Beitrag zum Phasenwinkel ϕ0 (ω) des aufgeschnittenen
Regelkreises. Die Regelstrecke S1 , mit ihrem P1 - Verhalten, hat als Grenzwert eine Phasenverschiebung von
ϕ = − 90 ◦ bei hohen Kreisfrequenzen ω (siehe Ortskurve des P1 - RKG in den Hilfsblättern).
Ganz anders verhält sich die Regelstrecke S2 wegen des Totzeitverhaltens. Der Phasenwinkel ϕ wächst in
negativer Richtung mit zunehmender Kreisfrequenz ω kontinuierlich an ! Für große Kreisfrequenzen ω wird
der Phasenwinkel ϕ sehr negativ und sehr große Kreisfrequenzen ω ist der Phasenwinkel noch negativer. Die
Zeigerlänge der Ortskurve des RKG mit der Totzeit Tt bleibt hierbei unverändert (siehe Ortskurve).
Die Ortskurve G0 (jω) des aufgeschnittenen Regelkreises ergibt sich bei den jeweiligen Kreisfrequenzen ω durch
- Multiplikation der Zeigerlängen der einzelnen RKG zur resultierenden Zeigerlänge des offenen Regelkreises
und durch
- Addition der einzelnen Phasenwinkel ϕ der RKG zum resultierenden Phasenwinkel des aufgeschnittenen
Regelkreises
mit der fatalen Folge, daß die einzelnen Regelkreisglieder stabil sind, aber wegen der Totzeit T t das
Nyquist - Kriterium nicht erfüllt ist (der Punkt: −1, 0 · j liegt rechts der durchlaufenen Ortskurve x des aufgeschnittenen Regelkreises G0 (jω) und ist damit instabil !
Ortskurve des P − RKG, T − RKG und deren Reihenschaltung
1
1.5
t
1
0.5
ℑ
Tt
0
ω
ω
Imaginärteil
−0.5
−1
−1.5
P1
−2
G
ω
0
−2.5
−3
−3.5
−2
rtv53aof
−1
0
1
Realteil
2
3
ℜ
4
28
Kapitel 5
Darstellung im Frequenzgang G(jω) mittels Bode - Diagramm
Im Bode - Diagramm läßt sich das Problem des vorigen Beispiels einfacher darstellen.
Amplitudengang des P − RKG, T − RKG und deren Reihenschaltung
1
12
t
10
8
|G(ω)|
dB
6
4
2
|GTt|dB
0
−2
|G | =
0 dB
|GP1|dB
0
10
s
ω ≈ 8 s−1
−1
D
rtv53amf
ω
Phasengang des P − RKG, T − RKG und deren Reihenschaltung
1
t
0°
−45
φ
φ(ω)
P1
−90
−135
−180
−225
φ
Tt
−270
−315
φ0
−360
0
10
rtv53apf
−1
s
−1
ωπ ≈ 4 s
ω
29
Kapitel 5
Die Amplitudengänge der Regelstrecke S1 mit P1 - Verhalten und des aufgeschnittenen Regelkreises sind identisch, da sie lediglich mit dem Übertragungsbeiwert der Strecke S2 (Totzeitverhalten) mit KT = 1 multipliziert
wird.
Bei der Kreisfrequenz ω = ωD ≈ 8 s−1 hat der aufgeschnittene Regelkreis die Verstärkung ≈ 1, d.h.
|G0 (ωD )| = 1
bzw. |G0 (ωD )|dB = 0
Im Phasendiagramm beträgt der Phasenwinkel ϕS1 (ωD ) der Regelstrecke S1 mit P1 - Verhalten ϕS1 (ωD ) ≈ − 80 ◦ .
Die Regelstrecke S2 mit Tt - Verhalten hat jedoch bereits bei dieser Kreisfrequenz ωD einen Phasenwinkel von
ϕS2 (ωD ) ≈ − 250 ◦ , sodaß der aufgeschnittene Regelkreis einen Phasenwinkel
ϕG0 (ωD ) = ϕS1 (ωD ) + ϕS2 (ωD ) ≈ − 80
◦
+ − 250
◦
≈ − 350
◦
besitzt !
Ein Phasenwinkel ϕG0 (ωπ ) = − 180
◦
hat der aufgeschnittene Regelkreis bereits bei der Kreisfrequenz
ωπ ≈ 4 s−1 ,
hervorgerufen durch den Phasenwinkel ϕS1 (ωπ ) ≈ − 60 ◦ der Strecke S1 mit P1 - Verhalten und dem
Phasenwinkel ϕS2 (ωπ ) ≈ − 120 ◦ der Strecke S2 mit Tt - Verhalten.
Bei dieser Kreisfrequenz ωπ = 4 s−1 hat der aufgeschnittene Regelkreis noch die Verstärkung
|G0 (ωπ )|dB ≈ 5
d.h. |G0 (ωπ | ≈ 105/20 = 1, 778 ≈ 2
und damit ist der geschlossene Regelkreis instabil !
30
Kapitel 5
5.4 Reglerentwurf
Optimale Regelung in der Frequenzdarstellung (Frequenzraum)
Wie man bei der Zeitdarstellung eines geregelten Systems das zeitliche Verhalten durch Änderung der Reglerparameter optimieren kann, so sind diese Veränderungen der Reglerparameter auch im Frequenzraum ersichtlich.
Die Gütekriterien (siehe Kapitel 3.5.6) mit dem allgemeinen Wunsch, daß ein geregeltes System auf eine
(sprungförmige) Änderung der Eingangsgröße (= Führungsgröße w) mit minimaler Anregelzeit Tan und Ausregelzeit Taus und der bleibenden Regeldifferenz e∞ = 0 reagiert, kann im einfachsten Fall mit einem
P2 - Verhalten erreicht werden. Der Regelkreis sollte so eingestellt werden, daß er P2 - Verhalten zeigt mit den
weiteren Randbedingungen:
-
Dämpfungsgrad D ≈ 0, 7
Eigenkreisfrequenz ω0 maximal
→
→
Überschwingweite xü ≈ 5%
An-, Ausregelzeit Tan , Taus minimal
Die Übergangsfunktion h(t) eines Systems mit P2 - Verhalten mit den Anfangsbedingungen ḣ(0) = h(0) = 0
(siehe Kapitel 3.2.9) lautete:
Übergangsfunktion h(t) für 0 < D < 1:
1
· e−D·ω0 ·t · sin(ω0 · t ·
h(t) = KP · [1 − √
1 − D2
1 − D2 + arccos(D)))]
Dämpfungsgrad D = 0.1, 0.2, 0.4, 0.7, 1.0, 2.0 für T = 1s
1.8
1.6
D = 0.1
1.4
h(t)
1.2
1
0.8
0.6
D = 2.0
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
t
cmds731p2hf
Das 1. Extremum (Maximum) tritt abhängig vom Dämpfungsgrad D nach der Zeit t = Tm auf:
Tm =
ω0 ·
π
π
√
=
ωe
1 − D2
Der Maximalwert der Übergangsfunktion hmax = h(tmax ) = h(Tm ) lautet dann:
δe
−
·π
1
ω
√
h(Tm ) = KP · [1 −
· e e · sin(π + ϕ)]
1 − D2
,
mit ϕ = arccos(D)
12 s
31
Kapitel 5
Im allgemeinen wird der Übertragungsbeiwert des Systems mit KP
Überschwingweite xü = vm :
= 1 gewünscht und folglich wird die
D
D
δe
δe
·π
·π
−√
−√
−
·π
·π
−
1
1
2
ω
ω
1
−
D
1
− D2
≈ e e
= √
·e e
= √
·e
= e
1 − D2
1 − D2
vm
Dies bedeutet, daß bei einem System mit P2 - Verhalten die Überschwingweite vm nur vom Dämpfungsgrad D
abhängig ist !
Überschwingweite vm bzw. Vm in Abhängigkeit vom Dämpfungsgrad D
1
0.9
0.8
v ,V ,e
m
m
0.7
0.6
exakte Lösung vm(D)
0.5
0.4
0.3
Abweichung e = 10*(v − V )
m
Näherungslösung V (D)
m
m
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
cmds733a_1f
0.8
0.9
1
D
Das Verhältnis δe / ωe ist im Pol - Nullstellen - Diagramm als Winkel φ erkennbar:
֒→ siehe Hilfsblätter, P2 -Verhalten !
vm /%
cot φ
φ /◦
D
10
0, 7329
53, 8
0, 591
8
0, 8040
51, 2
0, 627
6
0, 8955
48, 2
0, 667
5
0, 9536
46, 36
0, 690
4
1, 0246
44, 3
0, 716
2
1, 2452
38, 8
0, 780
Die weitere Forderung eines optimal reagierenden Systems ist eine möglichst kurze Ausregelzeit Taus . Nach der
DIN 19226 wird diese durch den letztmaligen Eintritt in einen festgelegten Toleranzbereich um den Endwert
der Regelgröße definiert. Dies bedeutet, daß das schwingfähige System zu diesem Zeitpunkt nur noch mit einer
bestimmten Amplitude schwingt (z.B. 2% oder 5% etc.). Die Schwingung des Systems muß dann (bis auf einen
bestimmten Betrag abgeklungen sein.
32
Kapitel 5
Die Ausregelzeit Taus ist für einen Toleranzbereich 2ǫ gegeben durch folgende Formel:
Taus = −
1
· ln(vm ·
δe
bzw. als “Faustformel“:
Taus (2ǫ = 5%) = T5% ≈
Taus (2ǫ = 2%) = T2% ≈
1 − D2 ) ≈ −
1
· ln(vm )
δe
3
3
3·T
=
=
δe
ω0 · D
D
4, 5 · T
4, 5
4, 5
=
=
δe
ω0 · D
D
Ausregelzeit Taus (exakte Lösung) in Abhängigkeit des Dämpfungsgrades D
200
180
160
Taus
140
120
100
Taus bei 2%
80
60
40
20
0
Taus bei 5%
0
cmds733a_2f
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
D
0.9
1
33
Kapitel 5
Taus = Taus (D) für einen Toleranzbereich von 5 % bzw. 2 % für 0, 2 < D < 0, 8
taus = taus (D) für einen Toleranzbereich von 5 % bzw. 2 % für 0, 2 < D < 0, 8
exakt:
genähert:
Ausregelzeit T
aus
20
bzw. t
aus
als Funktion des Dämpfungsgrades D
18
16
T
aus
14
12
10
8
6
T
2%
t
2%
4
Taus 5%
aus
aus
t
aus
2
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
D
cmds733a_3f
exakt:
genähert:
9
5%
Taus = Taus (D) für einen Toleranzbereich von 5 % bzw. 2 % für 0, 5 < D < 1, 0
taus = taus (D) für einen Toleranzbereich von 5 % bzw. 2 % für 0, 5 < D < 1, 0
Ausregelzeit Taus bzw.taus als Funktion des Dämpfungsgrades D
8
T
aus
7
6
Taus 2%
5
Taus 5%
4
t
2%
t
5%
aus
3
0.5
cmds733a_4f
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
D
0.95
1
aus
34
Kapitel 5
Ortskurve und Bode - Diagramm
Ein Reglerentwurf ist mit dem Werkzeug der Ortskurve bzw. dem Bode - Diagramm möglich. Hierbei geht man
von der Grundüberlegung aus, daß der geschlossene Regelkreis mindestens P2 - Verhalten haben sollte., wobei
die Regelgröße mit der eingestellten Führungsgröße w übereinstimmen sollte. Dies wird nur erreicht, wenn der
aufgeschnittene Regelkreis integrales Verhalten hat !
Es sei der Führungsfrequenzgang des einschleifigen Regelkreises:
Gw (s) =
G0 (s)
1 + G0 (s)
mit G0 = GR (s) · GS (s)
Aufgelöst nach dem Frequenzgang G0 (s) des aufgeschnittenen Regelkreises ergibt dies:
Gw (s)
1 − Gw (s)
G0 (s) =
Mit dem geforderten Führungsfrequenzgang Gw (s) mit P2 - Verhalten:
Gw (s) =
(s ·
T )2
KP
+ 2·D·T ·s + 1
ergibt sich durch Einsetzen in obige Formel:
KP
G0 (s) =
[(s · T )2 + 2 · D · T · s + 1] · [1 −
KP
]
(s · T )2 + 2 · D · T · s + 1
und für
KP = 1
erhält man die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Regelkreises:
G0 (s) =
(s ·
T )2
1
+ 2·D·T ·s
Es sei Integrationszeit TI = 2 · D · T und die Zeitkonstante T1 = T /(2 · D). Man erhält dann (mit ω0 = 1/T )
folgenden Ausdruck:
G0 (s) =
1
1
1
=
·
(s · T )2 + 2 · D · T · s
2·D·T ·s s·T
+ 1
2·D
G0 (s) =
1
1
·
s · TI s · T1 + 1
Aus der letzten Formel ist ersichtlich, daß die Übertragungsfunktion G0 (s) des aufgeschnittenen Regelkreises
integrales Verhalten und Verzögerung 1.Ordnung haben muß. Hierbei ist es irrelevant ob das integrale Verhalten, wegen der Reihenschaltung von Regler und Regelstrecke, vom Regler erzeugt wird oder bereits durch die
Regelstrecke gegeben ist.
Aus dieser Gleichung ergibt sich für den Verlauf des Amplitudenganges im Bode - Diagramm folgende Bedignung:
1. Die größte Zeitkonstante der Regelstrecke ist die Zeitkonstante T1 in obiger Gleichung G0 des aufgeschnittenen Regelkreises. Damit liegt die Eckfrequenz ω1 = 1/T1 fest.
35
Kapitel 5
2. Für die tolerierbare Überschwingweite vm ist damit (siehe vm = vm (D) im Kapitel 5.3) der erforderliche
Dämpfungsgrad D und so die Integrationszeit TI mit:
T1 =
T
2·D
→
T = 2 · D · T1
folgt durch Koeffizientenvergleich:
TI = 2 · D · T = 2 · D · 2 · D · T 1
⇒
TI = 4 · D2 · T1
gegeben. Schließt man den Regelkreis mit diesen Größen (I - Regler mit KI
gleichzeitig die Ausregelzeit Taus bestimmt:
Taus = −
1
· ln(vm ·
δe
1 − D2 ) ≈ −
1
· ln(vm ) mit
δe
Taus = − 2 · T1 · ln(vm ·
δe = D · ω 0 =
= 1/TI ), so ist damit auch
D
1
D
=
=
T
2 · D · T1
2 · T1
1 − D2 ) ≈ − 2 · T1 · ln(vm )
Beispiel 7.3.3.a: Eine Regelstrecke (Fahrzeug: Ente) mit der dominierenden Zeitkonstante T a = 12, 9 s = T1
soll geregelt bei einer Führungsgrößenänderung w1 → w2 maximal mit vm = 5 % überschwingen dürfen.
(Die nichtdominante Zeitkonstante Tb = 5 s werde vernachlässigt).
Für den Dämpfungsgrad D = 0, 7 folgt dann eine Schwingungsdauer T = 2 · D · T 1 ≈ 18 s
und der I - Regler erhält nach obiger Gleichung den Wert KI = 1/TI = 1/(4 · D 2 · T1 ) = 0, 04 · s−1 .
Damit stellt sich für einen Toleranzbereich von 2ǫ = 2% eine Ausregelzeit von T aus = 110 s ein.
Ortskurve G 0(jω): Amplitudenrand = 2387.8973, Phasenrand = + 65.189°
0.1
0
−0.1
ℑ
−0.2
Imaginärteil
−0.3
−0.4
−0.5
−0.6
−0.7
ω
−0.8
−0.9
−1
−1.2
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
Realteil
cmds733aof
ℜ
0
36
Kapitel 5
Amplitudenrand = 2387.8973
Phasenrand = + 65.189°
40
30
20
|G (ω)|
0
dB
10
0
−10
−20
−30
−40
−50
−3
10
−2
−1
10
Kreisfrequenz ω
Amplitudenrand = 2387.8973
10
−1
s
ω
cmds733amf
−90 °
0
10
Phasenrand = + 65.189°
−100
−110
φ0(ω)
−120
−130
−140
−150
−160
−170
−180
−3
10
−2
−1
10
0
10
10 s−1
Kreisfrequenz ω
cmds733apf
ω
37
Kapitel 5
Hinweis: Wegen der Vorgabe der Zeitkonstante T1 kann mit diesem I - Regler mit dem gewünschten Dämpfungsgrad D obige Ausregelzeit Taus nicht unterschritten werden.
Schaltung zur Modellierung des dynamischen Systems (Fahrzeug “Ente“):
Step
Ki
1
1
s
12.9s+1
I−Regler
Ente
.04
Scope
ente733as
cmds733as
To Workspace
t
Clock
To Workspace1
Simulationsergebnis mit der eingestellten Größe des I - Reglers KI = 0, 04 s−1
Sprungantwort der Regelung mit I−Regler (x(t)=P 1, y(t)=P2 (Ente))
1,1
1,0
0,9
w(t), x(t), y(t)
0,8
w(t)
0,7
x(t)
0,6
y(t)
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
cmds733asf_n
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200 s
t
Will man die Dynamik des Systems erhöhen (z.B. dieses offensichtlich recht trägen Systems), müssen zusätzliche Maßnahmen ergriffen werden. Es werden andere Regler bzw. weitere Regelkreisglieder eingebaut mit denen
der Amplituden- und Phasengang in die gewünschte Form (loopshaping) gebracht und so das dynamische Verhalten weiter verbessert werden kann. Die Ausregelzeit T aus kann so weiter reduziert werden bei gleichzeitig
unverändertem Dämpfungsgrad D.
38
Kapitel 5
Kompensation der Polstellen durch den Regler:
Es werde die Polstelle einer Regelstrecke kompensiert und deren Auswirkung im Bode - Diagramm betrachtet:
Beispiel 7.3.3 b: Das Verhalten der Regelstrecke (Fahrzeug “Ente“) mit modfiziertem Modell mit P2 - Verhalten soll mittels PI - Regler verbessert werden. Es wird die dominante Zeitkonstante T a = 12, 9 s durch die
Nachstellzeit Tn des Reglers kompensiert.
Regelstrecke
G(s)
=
→ dominante Pol
s · Ta + 1 =
֒→ Reglernullstelle
s · Ta + 1 =
֒→ Regler
GR (s) =
→ Kontrolle
G0 (s) =
→
G0 (s) =
֒→
Gw (s) =
1
(s · Ta + 1) · (s · Tb + 1)
0
0
s · Ta + 1
1
s · Ta + 1
·
1
(s · Ta + 1) · (s · Tb + 1)
1
s · Tb + 1
G0 (s)
=
1 + G0 (s)
1
1
(s · Tb + 1) · [1 +
]
s · Tb + 1
Das Verfahren funktioniert, aber der Regler ist nicht realisierbar !
=
1
s · Tb + 2
Der Zählergrad m = 1 > n = 0 = der Nennergrad → neuer Versuch der Reglerermittlung
Zur Realisierung des Reglers muß der Nennergrad n = 0 des Reglers erhöhen werden auf n = 1, 2, . . .
Regler 1
GR1 (s) =
Regler 2
GR2 (s) =
Regler 3
GR3 (s) =
Regler 4
GR4 (s) =
s · Ta + 1
1
s · Ta + 1
1
=1+
s · Ta
s · Ta
s · Ta + 1
s · Tx + 1
s · Ta + 1
(s · Tx + 1) · (s · Ty + 1)
; m = 1 > n = 0 ↔ (P D)0 − Regler
; m=1 = n=1
↔ (P I)0 − Regler
; m = 1 = n = 1 ↔ (P D)1 − Regler
; m = 1 = n = 2 ↔ (P D)2 − Regler
֒→ die Regler 2, 3, 4, ... sind realisierbar !
Frage: Welchen Regler sollte man auswählen ?
- die Regler 3, 4, ... haben unbekannte, zu bestimmende Parameter T x , Ty , . . . → welche ?
⇒ der Regler 2 ist bestimmt mit seinem Parameter Ta = Tn = Nachstellzeit !
⇒ der einfachste realisierbare Regler ist der Regler 2
(mit dem noch freien Parameter K = Übertragungsbeiwert) !
39
Kapitel 5
Schaltung zur modifizierten Modellierung des dynamischen Systems:
Step
12.9s+1
1
1
12.9s
5s+1
12.9s+1
PI−Regler
Ente_a
Ente_b
Scope
1
64.5s2 +17.9s+1
t
Clock
Ente_ges
To Workspace
ente733bs
cmds733bs
To Workspace1
Pol−Nullstellen−Diagramm der RKG des offenen Regelkreises
0.15
dom. Pol: −1/Ta
Pol: −1/T
b
Pol Regler
Nullstelle Regler
0.1
ℑ
0.05
0
−0.05
−0.1
−0.25
cmds733_pn
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
ℜ
40
Kapitel 5
PI−Regler:
40
Amplitudenrand = 486.0718, Phasenrand = + 69.9884°
G
0
30
Ente
20
|G(ω)|dB
PI−Regler
10
0
−10
−20
−30
−40
−3
10
−2
−1
10
PI−Regler:
Amplitudenrand = 486.0718,
10
−1
s
ω
cmds733bmf
0°
0
10
Kreisfrequenz ω
Phasenrand = + 69.9884°
Ente
−20
−40
φ(ω)
−60
−80
PI−Regler
G
−100
0
−120
−140
−160
−180
−3
10
−2
−1
10
0
10
10
Kreisfrequenz ω
cmds733bpf
ω
−1
s
41
Kapitel 5
Simulationsergebnis mit dem eingestellten Wert der Nachstellzeit T n = 12, 9 s
Sprungantwort der Regelung mit PI−Regler mit T =T =12,9 s
n
a
x +ε
∞
1
x∞−ε
0.9
w(t), x(t)
0.8
w(t)
0.7
0.6
0.5
x(t)
0.4
0.3
x =1,0
∞
ε=0,02
Tan≈30 s
T =T
0.2
0.1
0
an
0
cmds733bsf_n
10
20
30
40
50
60
70
80
aus
90
100 s
t
Deutlich ist zu erkennen, daß der Regelkreis jetzt schneller eingeschwungen ist. Die Ausregelzeit T aus ist jetzt
mit dem PI - Regler halb so groß wie vorher mit dem I - Regler.
42
Kapitel 5
PN - Diagramm
Die Gütekriterien (siehe Kapitel 3.5.6) mit dem allgemeinen Wunsch, daß ein geregeltes System auf eine
(sprungförmige) Änderung der Eingangsgröße (Führungsgröße w) mit minimaler Anregelzeit Tan und Ausregelzeit Taus und der bleibenden Regeldifferenz e∞ = 0 reagiert, kann im einfachsten Fall mit einem P2 - Verhalten
erreicht werden. Der Regelkreis sollte so eingestellt werden, daß er P2 - Verhalten zeigt mit den weiteren Randbedingungen:
- Dämpfungsgrad D ≈ 0, 7
- Eigenkreisfrequenz ω0 maximal
→
→
Überschwingweite vm ≈ 5 %
An-, Ausregelzeit Tan , Taus minimal
Diese Bedingungen sind durch bestimmte Pole im Pol-Nullstellen-Diagramm ersichtlich (siehe Beispiel 4.3.3 in
Kapitel 4). Die Übertragungsfunktion G(s) eines Systems mit P2 - Verhalten lautet (hier für Führungsgrößenverhalten Gw (s)):
G(s) =
mit:
K
T
D
=
=
=
K
= Gw (s)
(s · T )2 + 2 · D · T · s + 1
Übertragungsbeiwert
Schwingungsdauer
Dämpfungsgrad
G(s) =
s2
und mit:
ω02 · K
+ 2 · D · ω0 · s + ωo2
1
= Eigenkreisfrequenz
T
ω0 =
Die Polstellen in der komplexen Ebene sind damit (vergleiche Kapitel 4, Beispiel 4.3.3)
Polstelle:
s
2
komplexe Polstelle:
mit
δe
ωe
=
=
ω0 · D
√
ω0 · 1 − D 2
s2 + 2 · ω0 · D · s + ω02
+ 2 · ω0 · D · s + (ω0 · D)2
(s + ω0 · D)2
s1,2
s1,2
s1,2
=
=
=
=
=
=
0
− ω02 + (ω0 · D)2
− ω02 · (1 − D 2 )
− ω02√· (1 − D 2 )
− ω0 · D ±
− ω0 · D ± j · ω 0 · 1 − D 2
−δe ± j · ωe
= Abklingkoeffizient, Abklingkonstante
= Schwingfrequenz
Die Lage der Polstellen (siehe Kapitel 4) wird bestimmt durch den Dämpfungsgrad D und der Eigenkreisfrequenz ω0 . Geringe Überschwingweite vm mit z.B. vm ≈ 5 % erhält man bei einem Dämpfungsgrad D ≈ 0, 7.
vm
vm /%
D
D
δe
δe
·π
·π
−√
−√
−
·π
·π
−
1
1
2
ω
ω
1
−
D
1
− D2
·e e
= √
= √
·e
≈ e e
= e
1 − D2
1 − D2
cot φ
φ /◦
D
10
0, 7329
53, 8
0, 591
8
0, 8040
51, 2
0, 627
6
0, 8955
48, 2
0, 667
5
0, 9536
46, 36
0, 690
4
1, 0246
44, 3
0, 716
2
1, 2452
38, 8
0, 780
43
Kapitel 5
Die Ausregelzeit Taus verringert sich für gegebenem Dämpfungsgrad D mit zunehmender Eigenkreisfrequenz ω0 .
1
1
· ln(vm · 1 − D2 ) ≈ −
· ln(vm )
Taus = −
δe
δe
bzw. bei vorgegebener Ausregelzeit Taus verschiebt sich der Realteil der komplexen Polstelle δe = D · ω0 weiter
zu negativen Werten mit wachsender Eigenkreisfrequenz ω0 .
δe = −
1
· ln(vm ·
Taus
1 − D2 ) ≈ −
1
· ln(vm )
Taus
Beide Forderungen zusammen (bestimmter Winkel φ und Realteil δe ) münden in einen Bereich der gewünschten Polstellen, die der geschlossene Regelkreis haben sollte. Es wird ein Regler mit der Übertragungsfunktion
GR (s) gesucht, der zusammen mit der Übertragungsfunktion der Regelstrecke GS (s) die Übertragungsfunktion
G(s) des geschlossenen Regelkreises mit den obigen dominierenden Polstellen besitzt. Hierbei ist es belanglos,
ob der Regelkreis für Führungsgrößenverhalten oder Störgrößenverhalten optimiert werden soll.
Beispiel 7.3.1 a: Pol - Nullstelle der “Ente“ mit Aktor , Fahrzeug und Sensor (ungeregelte System G S (s))
00001
00002
00003
00004
00005
00006
00007
00008
00009
00010
00011
00012
00013
00014
% cmds731adat -> gesteuertes Fahrzeugmodell für cmds731a im Pol-Nullstellen-Diagramm -> WOK
% beeinflußt durch:
%
- Straßensteigung alpha
%
- Antriebskraft Fe
m = 500
A = 1
rho = 1.293
g = 9.81
v0 = 30
KF = 1/(rho*v0*A)
KS = 0.1
KM = 5000
Kente = KF*KS*KM
%
%
%
%
%
%
%
%
%
Automasse in kg
Stirnfläche des Autos in m^2
Dichte der Luft in kg/m^3
Erdbeschleunigung in m/s^2
mittlere Geschwindigkeit = vmax/2 in m/s
Übertragungsbeiwert des Fahrzeugs in s/kg
Übertragungsbeiwert des Sensors in Vs/m
Übertragungsbeiwert des Motors in N/V
Übertragugsbeiwert der "Ente"
44
Kapitel 5
00015
00016
00017
00018
00019
00020
00021
00022
00023
00024
00025
00026
00027
00028
00029
00030
00031
00032
% Zeitkonstante des Motors in s
% Zeitkonstante des Fahrzeugs in s
TM = 5
Tv = 12.9
zs = [Kente]
ns = [TM*Tv TM+Tv 1]
ente = tf(zs, ns)
r = roots(ns)
rr = real(r)
ri = imag(r)
% Pole der Ente
plot(rr,ri,’rX’)
axis([-.22 0 -.11 .11])
grid
xlabel(’Realteil’)
ylabel(’Imaginärteil’)
text(-.21, .01,’s1’)
text( -.07, .01,’s2’)
Pole der “Ente“
r=
-0.2000
-0.0775
rr =
-0.2000
-0.0775
ri =
0
0
Pol - Nullstellen - Diagramm zum Beispiel 7.3.1
0.1
0.08
0.06
ℑ
0.04
Imaginärteil
0.02
s1
s2
0
−0.02
−0.04
−0.06
−0.08
−0.1
−0.22
cmds731adatf
−0.2
−0.18
−0.16
−0.14
−0.12
−0.1
Realteil
−0.08
−0.06
−0.04
ℜ
−0.02
45
Kapitel 5
Die Regelstrecke S (einschließlich Aktor und Sensor) haben 2 reelle Pole bei
s1S = − 0, 2
und
s2S = − 0, 0775
Im geschlossenen Regelkreis G(s) sollen die dominanten Pole (hier für φ = 45 ◦ , d.h. D = 0, 707 und
ω0 = 1 s−1 ) bei
und
s2 = − δe − jωe
s1 = − δe + jωe
liegen.
Mit der Forderung der Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises Gw (s) und seinen Polen s1 und s2
kann man jetzt bei Kenntnis der Übertragungsfunktion der Regelstrecke GS (s) und seinen Polen s1S und s2S
die dafür erfoderliche Übertragungsfunktion des Reglers GR (s) bestimmen. Ausgehend von der Übertagungsfunktion des geschlossenen Regelkreises Gw (s) löst man diese nach der Übertragungsfunktion des Reglers GR (s)
auf:
Reglerermittlung:
Gw (s)
=
G0 (s)
1 + G0 (s)
֒→
Gw (s) · [1 + G0 (s)]
=
G0 (s)
֒→
Gw (s) + Gw (s) · G0 (s)
=
G0 (s)
→
Gw (s)
=
G0 (s) − Gw (s) · G0 (s)
→
Gw (s)
=
G0 (s) · [1 − Gw (s)]
→
G0 (s)
=
mit offenem Regelkreis
G0 (s)
=
֒→ Regler (allgemein)
GR (s)
=
Zusatzbedingung
Gw (s)
=
⇒ Regler für P2 − Verhalten (Kreis)
GR (s)
=
Führungsgrößenverhalten
Gw (s)
1 − Gw (s)
GR (s) · GS (s)
Gw (s)
1
·
GS (s) 1 − Gw (s)
K=1
2
(s · T ) + s · 2 · D · T + 1
1
1
·
2
GS (s) (sT ) + s2DT
Setzt man die Übertragungsfunktion GS (s) der Regelstrecke und des geschlossenen Regelkreises Gw (s) in obige
Gleichung ein, so erhält man in diesem Fall die gesuchte Übertragungsfunktion GR (s) des Reglers einschließlich
seiner Parameter:
“Ente“
GS (s)
=
mit
GR (s)
=
֒→
GR (s)
=
mit Daten
GR (s)
=
֒→
GR (s)
=
֒→
GR (s)
=
֒→
GR (s)
=
Regler ?
1
(s · Ta + 1) · (s · Tb + 1)
1
1
·
GS (s) (s · T )2 + s · 2 · D · T
1
(s · Ta + 1) · (s · Tb + 1)
·
1
(sT )2 + s · 2 · D · T
64, 5 · s2 + 17, 9 · s + 1
s2 + s · 1, 414
64, 5 · s2 + 17, 9 · s + 1
64, 5 · s2 + 17, 9 · s + 1
=
s · (s + 1, 414)
1, 414 · s · (0, 707 · s + 1)
1
64, 5 · s2
1
64, 5 · s
17, 9
17, 9 · s
+
+
+
+
1, 414 · s 1, 414 · s 1, 414 · s
1, 414 1, 414 · s
1, 414
=
0, 707 · s + 1
0, 707 · s + 1
1
12, 66 · [1 +
+ 3, 60 · s]
17, 9 · s
=
ˆ (P ID)1 − Regler
0, 707 · s + 1
46
Kapitel 5
und jetzt mit Matlab !!!
Beispiel 7.3.1 b: Pol - Nullstelle der “Ente“ mit Aktor, Fahrzeug, Sensor und Regler
00001
00002
00003
00004
00005
00006
00007
00008
00009
00010
00011
00012
00013
00014
00015
00016
00017
00018
00019
00020
00021
00022
00023
00024
00025
00026
00027
00028
00029
00030
00031
00032
00033
00034
00035
00036
% cmds731bdat -> geregeltes Fahrzeugmodell für cmds731a im Pol-Nullstellen-Diagramm -> WOK
% beeinflußt durch:
%
- Straßensteigung alpha
%
- Antriebskraft Fe
m = 500
A = 1
rho = 1.293
g = 9.81
v0 = 30
KF = 1/(rho*v0*A)
KS = 0.1
KM = 5000
Kente = KF*KS*KM
TM = 5
Tv = 12.9
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
Automasse in kg
Stirnflche des Autos in m^2
Dichte der Luft in kg/m^3
Erdbeschleunigung in m/s^2
mittlere Geschwindigkeit = vmax/2 in m/s
Übertragungsbeiwert des Fahrzeugs in s/kg
Übertragungsbeiwert des Sensors in Vs/m
Übertragungsbeiwert des Motors in N/V
Übertragugsbeiwert der "Ente"
Zeitkonstante des Motors in s
Zeitkonstante des Fahrzeugs in s
zs = [Kente]
;
ns = [TM*Tv TM+Tv 1];
ente = tf(zs, ns)
s = roots(ns)
sr = real(s)
si = imag(s)
;
;
;
;
zk = [1]
nk = [1 1.414 1]
k = roots(nk)
kr = real(k)
ki = imag(k)
kreis = tf(zk,nk)
;
;
;
% Pole der Ente
% Zähler Kreis
% Nenner Kreis
regler = kreis/(ente*(1-kreis))
minregler = minreal(regler)
[zr,nr] = tfdata(minregler,’v’)
Die gewünschte Übertragungsfunktion des Regelkreises war:
⇒
Gw (s) =
1
+ 1, 414s + 1
s2
Übertragungsfunktion des Reglers (Ergebnis mit Matlab):
⇒
GR (s) =
64, 5s4 + 109, 1s3 + 90, 81s2 + 19, 31s + 1
12, 84s4 + 36, 45s3 + 38, 66s2 + 18, 23s
Übertragungsfunktion des “genäherten Reglers“ (mit dem Befehl “minreal“ wurde die Ordnung reduziert !):
⇒
GR (s) =
5, 004s2 + 1, 389s + 0, 07758
s2 + 1, 414s
Durch Umformung obiger Gleichung des genäherten Reglers erkennt man folgende Reglerstruktur:
GR (s) =
1
s · T1 + 1
· KP R ·
s2 · T V + s +
s
1
Tn
=
1
1
+ s · TV )
· KP R · (1 +
s · T1 + 1
s · Tn
47
Kapitel 5
Man erkennt den PID - Regler mit einer Verzögerung 1.Ordnung. Führt man einen Koeffizientenvergleich durch,
erhält man folgende beim PID - Regler einzustellende Parameter:
− Übertragungsbeiwert KP R ≈ 0, 983
− Nachstellzeit
Tn ≈ 17, 375 s
− Vorhaltezeit
TV ≈ 3, 597 s
− Verzögerungszeit
T1 ≈ 0, 707
Wendet man diesen Regler auf diese Regelstrecke an, so erhält man (zur Kontrolle) obige geforderte Polstellen
für den geschlossenen Regelkreis:
00001
00002
00003
00004
00005
00006
00007
% cmds731ddat -> geregeltes Fahrzeugmodell für cmds731a im Pol-Nullstellen-Diagramm -> WOK
% beeinflußt durch:
%
- Straßensteigung alpha
%
- Antriebskraft Fe
m = 500
A = 1
;
;
% Automasse in kg
% Stirnfläche des Autos in m^2
00008
00009
00010
00011
00012
00013
00014
00015
00016
00017
00018
00019
00020
00021
00022
00023
00024
00025
00026
00027
00028
00029
00030
00031
00032
00033
00034
00035
00036
00037
00038
00039
00040
00041
00042
00043
00044
00045
00046
00047
00048
rho = 1.293
g = 9.81
v0 = 30
KF = 1/(rho*v0*A)
KS = 0.1
KM = 5000
Kente = KF*KS*KM
TM = 5
Tv = 12.9
;
;
;
;
;
;
;
;
;
%
%
%
%
%
%
%
%
%
Dichte der Luft in kg/m^3
Erdbeschleunigung in m/s^2
mittlere Geschwindigkeit = vmax/2 in m/s
Übertragungsbeiwert des Fahrzeugs in s/kg
Übertragungsbeiwert des Sensors in Vs/m
Übertragungsbeiwert des Motors in N/V
Übertragugsbeiwert der "Ente"
Zeitkonstante des Motors in s
Zeitkonstante des Fahrzeugs in s
zs = [Kente]
;
ns = [TM*Tv TM+Tv 1];
ente = tf(zs, ns)
s = roots(ns)
sr = real(s)
si = imag(s)
;
;
;
;
% Pole der Ente
TV = 3.597
Tn = 17.375
KPR = .983
T1 = 0.707
% Vorhaltezeit in s nicht Tv = Zeitkonstante des Fahrzeugs
% Nachstellzeit in s = 1/(0.08*1.4)
zr = KPR*[TV 1 1/Tn]
nr =[T1 1 0]
regler = tf(zr,nr)
r = roots(nr)
rr = real(r)
ri = imag(r)
% PID-Regler (Zähler)
% PID-Regler (Nenner)
% Verzögerung in s
[zgo,ngo] = series(zr,nr,zs,ns)
[zk,nk] = cloop(zgo,ngo,-1)
kreis = tf(zk,nk)
t=[0:0.01:10];
y = step(zk,nk,t);
plot(t,y)
grid
xlabel(’Zeit t in s’)
ylabel(’Regelgröße x(t)’)
title(’Regelung mit PID-Regler mit Verzögerung 1.Ordnung’)
48
Kapitel 5
Zählerpolynom zr und Nennerpolynom nr des Reglers :
zr =
3, 5359
0, 9830
0, 0566
nr =
0, 7070
1, 0000
0
Transfer function des Reglers;
GR (s) =
3, 536s2 + 0, 983s + 0, 05658
0, 707s2 + s
Pole r des Reglers (Realteil=rr, Imaginärteil=ri)
r =
0
−1, 4144
0
−1, 4144
0
0
rr =
ri =
Zähler z und Nenner n des offenen go und geschlossenen Regelkreises k
zgo =
0
0
45, 5768
12, 6709 0, 7293
ngo =
45, 6015
77, 1553
18, 6070
0
0
45, 5768
12, 6709 0, 7293
nk =
45, 6015
77, 1553
64, 1838
13, 6708 0, 7293
1, 0000
0
zk =
Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises;
Gw (s) =
45, 6s4
45, 58s2 + 12, 67s + 0, 7293
+ 77, 16s3 + 65, 18s2 + 13, 67s + 0, 7293
Pole k des geschlossenen Regelkreises (Realteil=kr, Imaginärteil=ki)
k =
−0, 7073 + 0, 7063i
kr =
−0, 7073
ki =
0, 7073
−0, 7073 − 0, 7063i
−0, 7073
−0, 7073
−0, 1955
−0, 1955
0
−0, 0819
−0, 0819
0
49
Kapitel 5
Pol−Nullstellen−Diagramm des mit (PID) −Regler geregelten Systems "Ente"
1
k1
Streckenpole ("Ente")
Pole des Regelkreises
0.6
Pol des PID−Reglers
0.4
ℑ
Imaginärteil
0.2
s1
0
s2
r
−0.2
−0.4
−0.6
k2
−0.7
−0.6
−0.5
−0.4
Realteil
cmds731ddat_pnf_n
−0.3
−0.2
−0.1
0
ℜ
Beispiel 7.3.1c: Kontrolle mittels Sprungantwort der Regelung
Sprungantwort der Regelung mit (PID) −Regler mit K=12,66 , T =17,9 s, T =3,6 s, T =0,707 s
1
n
v
1
x∞ + ε
1
x∞ − ε
0.9
w(t), x(t)
0.8
w(t)
0.7
0.6
0.5
0.4
x(t)
0.3
x∞=1,0
ε=0,02
T ≈ 3,2 s
an
Taus=6 s
0.2
0.1
0
0
cmds733csf_n
1
2
3
4
5
6
7
8
t
9
10 s
50
Kapitel 5
Reglerentwurf, Vergleich der Methoden (hier: P2 -Verhalten des Regelkreises)
1. Methode: I1 -Verhalten des aufgeschnittenen Regelkreises G0 (s)
Reduktion der Strecke GS (s) so, daß bei
→ proportionalen Regelstrecken P1 -Verhalten entsteht (nur dominanten Pol berücksichtigen)
֒→ I0 -Regler ⇒ große Ausregelzeit Taus des Regelkreises
→ integralen Regelstrecken I1 -Verhalten (bzw. I0 -Verhalten) entsteht
֒→ P0 -Regler (bzw. P1 -Regler) ⇒ große Ausregelzeit Taus des Regelkreises
2. Methode: Pol-Nullstellen-Kompensation
→ Kompensation des/r dominante(n) Pol(e) der Regelstrecke GS (s) durch Nullstellen des Reglers GR (s)
֒→ Reglerstruktur GR (s) komplizierter, wegen Realisierbarkeit
֒→ eventuell zusätzliche (unbestimmte) Reglerparamter Tx , Ty , . . .
֒→ kleinere Ausregelzeit Taus des Regelkreises
3. Methode: Berechnung der Übertragungsfunktion der Reglers GR (s)
→ GR (s) berechnet für GS (s) und gewünschtes Gw (s) (mit z.B. P2 -Verhalten)
⇒ GR (s) =
1
Gw (s)
·
GS (s) 1 − Gw (s)
֒→ im allg. GR (s) kompliziert (heute als Rechenalgorithmus darstellbar, Numerikproblem)
֒→ kleine Ausregelzeit Taus des Regelkreises
51
Kapitel 5
P adé - Approximation
In den vorigen Beispielen beim PN - Diagramm wurden stets Regelkreise betrachtet, die keine Totzeit T t
hatten. Das Pol - Nullstellen - Diagramm zeigt weder Pol- noch Nullstellen. Demnach kann in einem Regelkreis
eine Totzeit Tt nie durch einen Regler mittels Pol - Nullstellen - Kompensation verbessert werden.
Abhilfe zeigt in diesem Fall die P adé-Approximation des Totzeit -RKG. Hier wird ein mathematischer Ansatz durchgeführt, der die Übertragungsfunktion GT t (s) des Tt -RKG als Zählerpolynom und Nennerpolynom
darstellt.
e−x =
bn · xn + . . . + b3 · x3 + b2 · x2 + b1 · x + 1
an · xn + . . . + a3 · x3 + a2 · x2 + a1 · x + 1
Eine Exponentialfunktion kann um ihren Ursprung nach Taylor entwickelt werden:
e−x = 1 −
x2
x3
x
+
−
± ...
1!
2!
3!
Setzt man beide Audrücke gleich, so erhält man ein Polynom mit den noch unbekannten Koeffizienten ai und
bi , i = 1 . . . n:
1 −
x2
x3
x
+
−
± ... =
1!
2!
3!
bn · xn + . . . + b3 · x3 + b2 · x2 + b1 · x + 1
an · xn + . . . + a3 · x3 + a2 · x2 + a1 · x + 1
Diese Gleichung stellt die P adé - Approximation n-ter Ordnung dar, deren Koeffizienten noch berechnet werden
müssen. Der Einfachste Fall der P adé - Approximation stellt die Näherung 1. Ordnung dar:
1 −
x
x2
x3
b1 · x + 1
+
−
± ... ≈
1!
2!
3!
a1 · x + 1
Hierbei wird das Polynom der Übertragungsfunktion nach dem linearen Glied abgebrochen. Anschließend wird
die Gleichung mit dem Nennerpolynom multipliziert und dann ein Koeffizientenvergleich durchgeführt !
x
x2
x2
· (1 + a1 · x) +
· (1 + a1 · x) −
· (1 + a1 · x) ± . . . ≈ 1 + b1 · x
1!
2!
3!
1 2
1
1 3
1
1 + a1 · x − x − a1 · x2 +
·x +
· a1 · x3 −
·x −
· a1 · x4 ± . . . ≈ 1 + b1 · x
2
2
6
6
1 · (1 + a1 · x) −
Es sind die Gleichungen in Potenzen von x:
0:
1:
1 =
x · (a1 − 1) =
1
2 : x2 · ( − a1 ) =
2
1
b1 · x
0
Aus den Bestimmungsgleichungen 1 und 2 ergeben sich die Koeffizienten:
a1
b1
=
=
+ 0, 5
− 0, 5
Somit kann das Element Totzeit Tt durch folgende Gleichung mittels P adé - Approximation 1. Ordnung mit
x = s · Tt genähert werden:
GT t (s) = K · e
−s·Tt
1
· s · Tt + 1
− s · Tt + 2
2
≈ K·
= K·
1
+ s · Tt + 2
+ · s · Tt + 1
2
−
52
Kapitel 5
Zur Berechnung der Koeffizienten der P adé - Approximation wird dieses Verfahren für höhere Potenzen analog
durchgeführt.
Es lauten die Koeffizienten der P adé - Approximation in abfallender Ordnung in s für die Totzeit Tt = 1 Sekunde:
(mittels Matlab - Befehl ermittelt: [b, a] = pade(1, 2), für Tt = 1 der Ordnung 2 etc.)
Ordnung a5
1
2
3
4
5 1
a4
a3
a2
a1
a0 b 5
1
2
1
6
12
1
12
60
120
1 20 180
840 1680
30 420 3360 15120 30240 1
b4
b3
b2
b1
b0
−1
2
1
−6
12
1
12
−60
120
1 −20 180
−840 1680
30 −420 3360 −15120 30240
Das Totzeit - RKG hat demnach (in diesem Beispiel für Tt = 1 Sekunde) folgende Pol- bzw. Nullstellen:
Pol−Nullstellen−Diagramm des Tt−RKG für Tt=1s mit Padé−Approximation
5
4
3
ℑ
2
Imaginärteil
1
0
−1
−2
−3
−4
−5
−5
−4
−3
−2
pade_pnf
−1
0
Realteil
1
2
3
4
ℜ
mit den Daten der Pol- und Nullstellen:
Ordnung
P olstelle
N ullstelle
1
− 2, 0000
+ 2, 000
2
− 3, 0000 + 1, 7321 i
− 3, 0000 − 1, 7321 i
+ 3, 0000 + 1, 7321 i
+ 3, 0000 − 1, 7321 i
3
− 3, 6678 + 3, 5088 i
− 3, 6678 − 3, 5088 i
− 4, 6444
+ 3, 6678 + 3, 5088 i
+ 3, 6678 − 3, 5088 i
+ 4.6444
5
53
Kapitel 5
Der Phasengang dieser P adé - Approximation für die Ordnungen 1 . . . 3 im Vergleich zur reinen Totzeit ergibt
folgenden Verlauf:
Phasengang φ(ω) des T −RKG für T = 1s und die Padé−Approximation
t
0°
t
−50
−100
φ(ω)
−150
1.Ordn.
−200
−250
−300
2.Ordn.
−350
−400
−450
−500
3.Ordn.
−2
10
−1
0
10
1
10
2
10
3
10
Kreisfrequenz ω
10
s−1
ω
pade_bode_pf
Die Sprungantwort h(t) des genäherten Totzeitelementes wird mit höherer Ordnung einem realen Totzeitelement
ähnlicher. Hier sind die Sprungantworten der 1. . . . 3. und 9.Ordnung dargestellt.
Übergangsfunktion h(t) des Tt−RKG für Tt= 1s mit Padé−Approximation
1
0.8
0.6
h(t)
0.4
0.2
0
−0.2
9
−0.4
3
−0.6
2
−0.8
1
−1
0
pade_stepf
0.5
1
1.5
Zeit t
2
2.5
t
3 s
54
Kapitel 5
Mittels P adé - Approximation kann für unterschiedliche Näherungsgrade (= Ordnung n) ein Tt - RKG in
ein Zähler - und Nennerpolynom überführt werden und so zum Entwurf eines geeigneten Reglers eine Pol Nullstellen - Kompensation durchgeführt werden.
Dies sei am folgenden Beispiel eines Regelkreises gezeigt:
Step
T_x , 1
T_t , 1
w (t)
e (t)
Sum
b_i
0.4
x (t)
y (t)
a_i
Slider
Gain
Regler
T_t der Strecke
Strecke ohne T_t
T_r , 1
r (t)
c_pade
Sensor
1.Fall:
P adé - Approximation 1.Ordnung
1
GS1 (s) =
s · Tx + 1
; sP x
=
−
1
1
= − 4
= −
Tx
0, 25
GS2 (s) =
1
s · Tr + 1
;
sP r
=
−
1
1
= − 10
= −
Tr
0, 1
GT t (s) =
− 0, 5 · s · Tt + 1
− s · Tt + 2
=
+ s · Tt + 2
+ 0, 5 · s · Tt + 1
;
sP 1
=
−
1
1
= − 2
= −
0, 5 · Tt
0, 5
Die dominierende Polstelle wird von der Näherung 1. Ordnung der Totzeit Tt = 1 Sekunde dargestellt, so daß
in der weiteren Betrachtung die Pole der Strecke (ohne Totzeit) und des Sensors nicht berücksichtigt werden
müssen.
Bei der Pol - Nullstellen - Kompensation bestimmen die dominierenden Polstellen der Regelstrecke die Nullstelle
des Reglers, d.h. das dominierende Nennerpolynom der Strecke wird zum Zählerpolynom des Reglers und so
erhält man die Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises G0 (s):
G0 (s) = GR (s) · GS (s) ≈ GR (s) · GT t (s)
G0 (s) =
0, 5 · s · Tt + 1 − 0, 5 · s · Tt + 1
·
?
+ 0, 5 · s · Tt + 1
Wählt man als Nennerpolynom des Reglers: 0, 5 · s · Tt = s · Tn
so stellt die Übertragungsfunktion des Reglers einen PI - Regler dar mit der Kenngröße:
Nachstellzeit Tn = 0, 5 · Tt = 0, 5 Sekunden
d.h. die Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises G0 (s) und des Reglers GR (s) mit dem unbekannten
Übertragungsbeiwert K lauten:
G0 (s) = GR (s) · GS (s) = K ·
s · Tn + 1 − 0, 5 · s · Tt + 1
1
1
·
·
·
s · Tn
+ 0, 5 · s · Tt + 1 0, 25 · s + 1 0, 1 · s + 1
Simulationsschaltung zur Kompensation der Totzeit Tt mittels P adé - Approximation 1.Ordnung
T_t, 1
w(t)
e(t)
0.28
Step
Slider
Gain
0.5s+1
0.5s
Regler
T_x, 1
u(t)
x(t)
Scope
T_t der Strecke
Strecke ohne T_t
c_pade1f_linux
T_r, 1
To Workspace
r(t)
t
c_pade1_linux
Sensor
Clock
To Workspace1
55
Kapitel 5
Das Pol - Nullstellen - Diagramm hat damit folgendes Aussehen:
Pol−Nullstellen−Diagramm der RKG des offenen Regelkreises mit Padé−Approximation
5
4
3
ℑ
2
Imaginärteil
1
0
−1
−2
−3
−4
−5
−10
−8
−6
−4
Realteil
−2
0
pade_c1_pnf
2
ℜ
Für ein Überschwingen von vm = xü ≈ 5 % wird der Übertragungsbeiwert des Reglers auf K = 0, 28
eingestellt. Das geregelte System anwortet auf ein Sprungsignal zur Zeit t = 0, 5 s der Höhe Δ w = 1
folgendermaßen:
Pade−Approximation 1.Ordnung zur P−N−Kompensation mit PI−Regler
x +ε
∞
1
x∞ − ε
w(t), x(t)
0.8
x(t)
w(t)
0.6
KR = 0,28
x∞ = 1,0
0.4
ε = 0,02
T ≈ 2,8 s
an
T
≈ 4,3 s
aus
0.2
0
0
c_pade1f_linux
1
2
3
4
5
6
7
8
9
t
10 s
1
Kapitel 6
6. Regelkreisstrukturen
Grundlegende Verbesserungen des dynamischen Verhaltens von Regelkreisen lassen sich erreichen, indem die
Struktur der Regelkreise geändert werden. Hierbei kann man unterscheiden in eine Modifizierung des Regelkreises zur Verbesserung des Führungs- bzw. des Störgrößenverhaltens.
6.1 Mehrschleifige Steuerung/Regelung
6.1.1 Störgrößenaufschaltung
Wenn eine Sörgröße z(t) meßtechnisch erfaßbar ist, so ist es sinnvoll, diese möglichst früh unwirksam zu
machen, d.h.durch Kompensation deren Wirkung aufzuheben. Hierzu dient das Aufschaltgerät A mit der Übertragungsfunktion:
GA (s) = 1
Bei geeignetem Aufschaltgerät A kann man so Störungen vollständig“ kompensieren. Wenn es aus tech”
nischen Gründen unmöglich ist, das Ausgangssignal des Aufschaltgerätes A dem Reglerausgangssignal u(t) zu
subtrahieren, so kann folgende Anordnung angewendet werden:
Jetzt muß das Aufschaltgerät A folgende Übertragungsfunktion GA (s) besitzen:
GA (s) · GR (s) =
֒→ GA (s) =
1
1/GR (s)
Da die Störgrößenaufschaltung eine reine Steuerung ist, können keine Stabilitätsprobleme auftreten.
Anwendung: Steuerung der Vorlauftemperatur einer Heizungsanlage mit z(t) = Außentemperatur !
2
Kapitel 6
6.1.2 Vorregelung
Um den Einfluß einer Störgröße auf den Regelkreis zu vermindern, kann man eine Vorregelung anwenden.
Hierzu wird ein einfacher Regler RV verwendet. Dieser verringert in der (Teil-)Regelstrecke SV den Einfluß der
Störgröße z(t) zur Störung zv (t).
Anwendung: Vorregelung des Gasdruckes am Gasbrenner beim Gasofen, Gasheizung etc.
6.1.3 Vorsteuerung (Führungsgrößenaufschaltung)
Für ein verbessertes Führungsgrößenverhalten (z.B. bei Folgeregelungen) kann man die Vorsteuerung anwenden:
Sollwertänderungen wirken über das Aufschaltgerät direkt auf die Regelstrecke S und entlasten so den
Regler R. Bestimmt man das dynamische Verhalten dieses Systems ergibt sich folgende Relation:
x(s)
=
GS (s) · [y(s) + yA (s)]
uA (s)
=
GA (s) · w(s)
u(s) =
GR (s) · [w(s) − x(s)]
→ x(s)
=
GS (s) · {GR (s) · [w(s) − x(s)] + GA (s) · w(s)}
{1 + GS (s) · GR (s)} · x(s)
=
w(s) · GS (s) · {GR (s) + GA (s)}
3
Kapitel 6
Damit lautet die Übertragungsfunktion für das Führungsgrößenverhaltens Gw (s) der Vorsteuerung mit dem
Aufschaltgerät A:
x(s)
→
Gw (s) =
w(s)
֒→
Gw (s) =
GS (s) · GR (s) + GS (s) · GA (s)
1 + GS (s) · GR (s)
Wählt man die Übertragungsfunktion des Aufschaltgerätes GA (s):
GA (s) =
1
GS (s)
so folgt für die Übertragungsfunktion des Führungsgrößenverhaltens Gw (s):
Gw (s) =
GS (s) · GR (s) + 1
=1=
ˆ P0 − Verhalten
1 + GS (s) · GR (s)
Beispiel: Die Regelstrecke GS (s) habe folgende Übertragungsfunktion
GS (s) =
֒→
GA (s) =
KI
1
·
s 1+s·T
s · [1 + s · T ]
1
=
+
GS (s)
KI
nicht realisierbar !
Zählergrad: GA (s)
m =
1
Nennergrad: GA (s)
n =
0
⇔
m >
n
aber
uA (s) =
somit
uA (s) =
⇒
uA (t) =
GA (s) · w(s)
1
T 2
· s · w(s) +
s · w(s)
KI
KI
1
T
· ẇ(t) +
· ẅ(t)
KI
KI
Ist der zeitliche Verlauf der Führungsgröße w(t) bei einer Folgeregelung (z.B. Drehbank, Fräßmaschine, etc.)
bekannt, so ist es zur Verbesserung des dynamischen Verhaltens des Systems sinnvoll als Eingangssignal dem
Aufschaltgerät A die zeitlichen Ableitungen der Führungsgröße ẇ(t), ẅ(t) ... zu verwenden.
Nachteil: Bei Änderung des des Verlaufs der Führungsgröße w(t) muß auch der Verlauf deren Ableitungen
(hier: ẇ(t), ẅ(t)) neu berechnet werden !
Abhilfe: Modifikation dieses Verfahrens nach Kreisselmeier (at, 6, 266).
4
Kapitel 6
Das Führungsgrößenverhalten eines dynamischen Systems kann (nach Kreisselmeier at 99, 6, 266) auch für
vollkommen unbekannten Verlauf der Führungsgröße w(t) wesentlich verbessert werden.
Da das Aufschaltgerät mit der Übertragungsfunktion :
GA (s) =
1
GS (s)
bestimmt wird und dies (ohne Beweis) wegen Verletzung der Kausalität so nicht darstellbar ist, fügt
Kreisselmeier ein Sollwertfilter mit der Übertragungsfunktion GF (s) in den Regelkreis ein.
Die Übertragungsfunktion des Sollwertfilters GF (s) wird somit bestimmt nach der Gleichung:
GF (s) = GA (s) · GS (s)
mit der Nebenbedingung, daß, wegen der Kausalität, der Grad des Zählers des Sollwertfilters ≤ dem Grad des
Nenners des Sollwertfilters ist.
Ziel: Aufstellen der Gleichung zur Realisierung des Aufschaltgerätes GA (s) mit einem Filter GF (s) für ein
Führungsgrößenverhalten Gw (s) = P0 -Verhalten mit dem Übertragungsbeiwert K = 1 !
Methode: Aufstellen der Gleichungen der Regelkreisglieder A, F, R, S zur Berechnung von G w (s)
(1)
x(s)
(2)
u(s) =
(3)
uA (s) =
GA (s) · w(s)
(4)
f (s) =
GF (s) · w(s)
(2), (3) → (1)
x(s)
=
GS (s) · {GR (s) · [f (s) − x(s)] + GA (s) · w(s)}
֒→
{1 + GS (s) · GR (s)} · x(s)
=
GS (s) · GR (s) · f (s) + GA (s) · w(s)
mit (4)
{1 + GS (s) · GR (s)} · x(s)
=
GS (s) · {GF (s) · GR (s) + GA (s)} · w(s)
mit:
x(s)
=
w(s)
GF (s) =
GS (s) · GA (s) + GS (s) · GF (s) · GR (s)
1 + GS (s) · GR (s)
GA · GS (s)
⇒
Gw (s) =
GF (s) ·
⇒
=
Gw (s) =
GS (s) · [u(s) + uA (s)]
GR (s) · [w(s) − x(s)]
1 + GS (s) · GR (s)
= GF (s)
1 + GS (s) · GR (s)
d.h. nach obiger Aussage wird das Führungsgrößenverhalten Gw (s) durch die Übertragungsfunktion GF (s) des
Vorfilters bestimmt, die “frei wählbar“ ist !
5
Kapitel 6
Beispiel: Regelstrecke mit P2 -Verhalten
GS (s)
=
Zeitkonstante:
Ta
=
1
(s · Ta + 1) · (s · Tb + 1)
4 min
Zeitkonstante:
Tb
=
0, 0625 min
Regelstrecke:
Das gewählte Sollwertfilter habe proportionales Verhalten mit Verzögerung 1.Ordnung, d.h. P1 -Verhalten mit
der Übertragungsfunktion:
Sollwertfilter:
GF (s)
=
TF
=
Zeitkonstante:
1
s · TF + 1
0, 5 min
Damit ergibt sich mit obiger Formel zur Berechnung der Übertragungsfunktion des Aufschaltgerätes:
GA (s)
=
GA (s)
=
GF (s)
GS (s)
(s · Ta + 1) · (s · Tb + 1)
1
·
s · TF + 1
1
Dieses Sollwertfilter F mit der Übertragungsfunktion GF (s) ist nicht richtig gewählt, da der Zählergrad > als
der Nennergrad des Aufschaltgerätes GA (s) ist.
Jedoch ist die nichtdominante Zeitkonstante Tb = 0, 0625 min ≪ Ta = 4 min der Regelstrecke und damit
kann diese Zeitkonstante Tb vernachlässigt werden ohne großen Fehler zu begehen. Damit wird die Übertragungsfunktion des Aufschaltgerätes:
GA (s)
=
GA (s)
=
(s · Ta + 1)
1
·
s · TF + 1
1
1 + s · Ta
s · TF + 1
Die Übertragungsfunktion des Aufschaltgerätes A wird so durch ein (P D)1 -Verhalten realisiert.
T_F, T_v=T_A, 1
Strecke:
T_a = 4,0
min
T_b = 0,0625 min
−> T = 0,5
min
−> D = 4,0625
u_A (t)
Step1
Aufschaltgerät A
T_F, 1
w (t)
Step
T_a, T_b, 1
u (t)
f (t)
Sollwertfilter F
z (t)
Regler
x(t)
P_2−Strecke
rt613c_n_linux
Der Einfluß des Aufschaltgerätes A und des Vorfilters F ist leicht beim Führungs- und Störgrößenverhalten des
Regelkreises zu erkennen.
Durch das Aufschaltgerät A und das Vorfilter F wirkt sich eine Änderung der Führungsgröße w1 (t) → w2 (t)
nur minimal in der Regeldifferenz e(t) aus (Ungenauigkeit wegen der Vernachlässigung der Zeitkonstante Tb und
damit des nichtdominanten Poles der Regelstrecke).
Damit sind die Reglerparameter ohne großen Einfluß auf das Führungsgrößenverhalten und damit unkritisch
(auch hinsichtlich der Stabilität, denn es handelt sich um eine reine Steuerung).
6
Kapitel 6
Stör− und Führungsgrößenverhalten mit Aufschaltgerät A und Sollwertfilter F
5
w(t)
4
x(t)
e(t), w(t)
x(t), y(t)
z(t)
3
2
z(t)
1
e(t)
0
−1
y(t)
−2
0
5
10
15
rt613c_exp_f
20
25 min
t
Der Regler des Regelkreises kann so für optimales Störgrößenverhalten eingestellt werden.
Das Stör- und Führungsgrößenverhalten sind damit voneinander entkoppelt und lassen sich so getrennt optimieren !
Kapitel 6
7
6.1.4 Hilfsstellgröße
Kann die Regelstrecke in mehrere Teilstrecken aufgeteilt werden und hat man die Möglichkeit mittels einer
weiteren Stellgröße (Hilfsstellgröße) die Regelstrecke zu beeinflussen, so ergibt sich folgender Regelkreis:
Der Hilfsregelkreis unterstützt die Wirkung des Hauptregelkreises. Dieser Hauptregelkreis kann kritischer“
”
bezüglich der Stabilität eingestellt werden. Die Gefahr einer Instabilität entsteht dann bei Ausfall des Hauptregelkreises (Siehe 6.1.6 Kaskadenregelung)
6.1.5 Hilfsregelgröße
Kann wie in 6.1.4 die Regelstrecke in mehrere Teilregelstrecken aufgeteilt werden, so können auftretende
Störungen z1 (t), z2 (t) durch folgende Anordnungen gleichzeitig ausgeregelt werden:
bzw.
8
Kapitel 6
6.1.6 Kaskadenregelung
Wenn, wie in Kapitel 6.1.4 und 6.1.5, mehrere Teilregelstrecken vorliegen und wie in 6.1.5 zusätzlich ein
Hilfsregler existiert, so bietet sich folgende Struktur des Regelkreises (= Kaskadenregelung) an:
Bei der Einstellung der Reglerparameter des Kaskadenregelung (Optimierung des dynamischen Verhaltens
des Regelkreises) wird zuerst der Hilfsregelkreis (=innere Regelkreis) und dann der Hauptregelkreis optimiert.
Auftretende Störungen z1 (t) und z2 (t) werden in diesem Fall im Hilfsregelkreis ausgeregelt. Der Hilfsregelkreis
wird auch als unterlagerter Regelkreis bezeichnet.
Beispiel: Berechnung der Kaskadenregelung
(1) Regelgröße
x1
=
S1 · u 1 + z
(2) Regelgröße
x2
=
S2 · x1
(3) Stellgröße
u1
=
R1 · e 1
(4) Stellgröße
u2
=
R2 · e 2
(5) Regeldifferenz
e1
=
u2 − x1
(6) Regeldifferenz
e2
=
w − x2
Es wird die Regelgröße x2 = x2 (w, z) gesucht. Dazu muß obiges Gleichungssystem gelöst werden.
Rechenweg:
(5) → (3), (6) → (4)
(1) Regelgröße x1
=
S1 · u 1 + z
(2) Regelgröße x2
=
S2 · x1
(3) Stellgröße
u1
=
R1 · (u2 − x1 )
(4) Stellgröße
u2
=
R2 · (w − x2 )
9
Kapitel 6
(4) → (3)
(1) Regelgröße x1
=
S1 · u 1 + z
(2) Regelgröße x2
=
S2 · x1
(3) Stellgröße
u1
=
R1 · (R2 · {w − x2 } − x1 )
(1) Regelgröße x1
=
S1 · R1 · (R2 · {w − x2 } − x1 ) + z
(2) Regelgröße x2
=
S2 · x1
(3) → (1)
Gleichung (1) wird nach der Variablen x1 aufgelöst(separiert) und dann in die Gleichung (2) eingesetzt:
(1) Regelgröße
x1
=
S1 · R1 · (R2 · {w − x2 } − x1 ) + z
(1 + R1 · S1 ) · x1
=
R2 · R1 · S1 · (w − x2 ) + z
x1
=
R2 · R1 · S1
R2 · R1 · S1
1
·w −
· x2 +
·z
1 + R1 · S 1
1 + R1 · S 1
1 + R1 · S 1
(1) → (2)
(2) Regelgröße
[1 +
x2
=
x2
=
R2 · S2 · R1 · S1
] · x2
1 + R1 · S 1
=
R2 · R1 · S1
·w −
1 + R1 · S 1
R2 · S2 · R1 · S1
·w −
1 + R1 · S 1
R2 · S2 · R1 · S1
·w +
1 + R1 · S 1
S2 [·
R2 · R1 · S1
1
· x2 +
· z]
1 + R1 · S 1
1 + R1 · S 1
R2 · S2 · R1 · S1
S2
· x2 +
·z
1 + R1 · S 1
1 + R1 · S 1
S2
·z
1 + R1 · S 1
Erweitern des Ausdruckes mit dem Nenner 1 + R1 · S1 ergibt:
[1 + R1 · S1 + R2 · S2 · R1 · S1 ] · x2
⇒ x2 =
=
R2 · S 2 · R1 · S 1 · w + S 2 · z
R 2 · S2 · R 1 · S1
S2
·w +
·z
1 + R 1 · S1 + R 2 · S2 · R 1 · S1
1 + R 1 · S1 + R 2 · S2 · R 1 · S1
Fallunterscheidung:
- Führungsgrößenverhalten (w = 0, z = 0):
→ x2 =
→ Gw =
R2 · S2 · R1 · S1
·w
1 + R1 · S 1 + R2 · S 2 · R1 · S 1
x2
R2 · S2 · R1 · S1
=
w
1 + R1 · S 1 + R2 · S 2 · R1 · S 1
- Störgrößenverhalten (z = 0, w = 0):
→ x2 =
→ Gz =
1 + R1 · S 1
S2
·z
+ R2 · S 2 · R1 · S 1
x2
S2
=
z
1 + R1 · S 1 + R2 · S 2 · R1 · S 1
In beiden Fällen ist der Nenner identisch und damit sind das Stör- und Führungsgrößenverhalten miteinander
verkoppelt.
Diese Kaskadenregelung muß beginnend vom inneren Regelkreis, bestehend aus R 1 und S1, zum äußeren Regelkreis optimiert werden !
Kapitel 6
10
Beispiel: Füllstandsregelung mit innerem Regelkreis (Hilfsregelkreis) zur Regelung des konstanten
Zuflusses ṁzu (t) trotz Schwankung der Förderleistung der Pumpe.
Achtung: Hier werden im inneren Regelkreis (=Strömungsregelkreis) nur diese Schwankungen ausgeregelt, nicht
eine Störung durch Änderung des Winkels α(t) des (Abfluß-)Ventils !
Beispiel: allg. Lageregelung
Dies ist ein Standardregelkreis in der Robotertechnik um z.B. eine Verschiebung mit definierter Beschleunigung a(t) und Geschwindigkeit v(t) vom Punkt x0 (t0 ) zum Punkt x1 (t1 ) durchzuführen. Da in der Kinematik
3 Translationen (x,y, und z-Achsen) und 3 Rotationen (Winkel α, β und γ) d.h. 6 Freiheitsgrade existieren,
müssen im allgemeinen für jeden Punkt so maximal 6 (Lage-)Regelkreise vorhanden sein !
Beispiel: Regelkreis für einen Freiheitsgrad (z.B. Translation in x-Richtung) mit Führungsgrößenaufschaltung
(Kapitel 6.1.3) aus at...
11
Kapitel 6
Wie im Kapitel 6.1.3 der nach Kreisselmeier modifizierten Vorsteuerung gezeigt, kann dieses Verfahren nach
Graf und Wurmthaler (at,2003,3,113) erfolgreich auch auf die Kaskadenregelung angewendet werden.
z (t)
rt616f
Step1
v_2(t)
w_2 (t)
Step
w_1 (t)
y (t)
v_1(t)
x_1 (t)
x_2 (t)
???
???
???
???
Element G_A2
Element G_A1
Strecke G_S1
Strecke G_S2
y_1 (t)
???
Regler G_R1
e_1 (t)
???
f_1 (t)
Filter G_F1
y_2 (t)
???
Regler G_R2
e_2 (t)
???
f_1f_2
(t) (t)
Filter G_F2
Analog zur Kaskadenregelung ohne Vorsteuerung kann man das gleiche Verfahren zur mathematischen Beschreibung der modifizierten Kaskadenregelung (mit Vorsteuerung) anwenden.
Ansatz:
innere Regelkreis:
(1a)
v1
=
A1 · w1
(1b)
f1
=
F1 · w1
(1c)
y1
=
R1 · (f1 − x1 )
(1d)
x1
=
S1 · y + z
(1e)
y
=
v1 + y 1
äußere Regelkreis:
(2a)
v2
=
A2 · w2
(2b)
f2
=
F2 · w2
(2c)
y2
=
R2 · (f2 − x2 )
(2d)
x2
=
S2 · x1
(2e)
w1
=
v2 + y2
Durch Einsetzten dieser Gleichungen ineinander ergibt sich mit w2 = w folgende Gleichung:
(1 + R1 · S1 + S1 · R2 · S2 · [A1 + R1 · F1 ]) · x2 = S1 · S2 · (A1 + R1 · F1 ) · (A2 + R2 · F2 ) · w + S2 · z
bzw.
⇒ x2 =
S1 · S2 · (A1 + R1 · F1 ) · (A2 + R2 · F2 )
S2
·w +
·z
1 + R1 · S1 + S1 · R2 · S2 · [A1 + R1 · F1 ]
1 + R1 · S1 + S1 · R2 · S2 · [A1 + R1 · F1 ]
12
Kapitel 6
Fallunterscheidung:
- Führungsgrößenverhalten (w = 0, z = 0):
→ x2 =
→ Gw =
S1 · S2 · (A1 + R1 · F1 ) · (A2 + R2 · F2 )
·w
1 + R1 · S1 + S1 · R2 · S2 · [A1 + R1 · F1 ]
x2
S1 · S2 · (A1 + R1 · F1 ) · (A2 + R2 · F2 )
=
w
1 + R1 · S1 + S1 · R2 · S2 · [A1 + R1 · F1 ]
- Störgrößenverhalten (z = 0, w = 0):
→ x2 =
S2
·z
1 + R1 · S1 + S1 · R2 · S2 · [A1 + R1 · F1 ]
→ Gz =
S2
x2
=
z
1 + R1 · S1 + S1 · R2 · S2 · [A1 + R1 · F1 ]
Mit den “Einstellregeln“ für das Aufschaltgerät A:
Ai =
1
;
Si
i = 1, 2
und das Vorfilter F :
Fi = Ai · Si ;
i = 1, 2
folgt nach Einsetzen für das Führungsgrößenverhalten:
x2
→ Gw =
= 1
w
d.h. wie beim einzelnen Regelkreis mit Aufschaltgerät und Vorfilter.
Das Störgrössenverhalten hat dann folgende Übertragungsfunktion Gz :
→
Gz
=
→
Gz
=
→
Gz
=
→
Gz
=
→
Gz
=
S2
1 + R1 · S1 + S1 · R2 · S2 · [A1 + R1 · F1 ]
S2
1 + R1 · S1 + S1 · R2 · S2 · [A1 + R1 · A1 · S1 ]
S2
1 + R1 · S1 + S1 · R2 · S2 · A1 · [1 + R1 · S1 ]
S2
1 + R1 · S1 + R2 · S2 · [1 + R1 · S1 ]
S2
(1 + R1 · S1 ) · (1 + R2 · S2 )
Die Regelkreises sind jetzt entkoppelt, sodaß die Regler unabhängig voneinander eingestellt werden können.
Damit ist jetzt die Reihenfolge des Einstellvorganges nicht mehr festgelegt wie im Falle der “alten“ Kaskadenregelung.
Die Regler beeinflussen sich nicht gegenseitig !
13
Kapitel 6
6.1.7 internal model control (IMC)
Bis jetzt wurde das Verhalten der Regelstrecke durch die Parameter der unterschiedlichen Reglertypen wie P,
PI, PD oder PID für “optimales Regelverhalten“ bestimmt.
Idee: In diesem Kapitel wird ein Modell der Regelstrecke G∗ (s) in den Regler inplementiert und so die
Struktur des Reglers einschließlich seiner Reglerparameter spezifiziert.
Daher wird dieser Reglertyp auch IMC bzw. internel model control genannt.
Man hat folgenden Regelkreis für Stör- und Führungsgrößenverhalten:
d (t)
mismatch
of the plant G’
u (t)
r (t)
Step
controller K_IMC
y (t)
plant G
y* (t)
modelled plant G*
dyns75e
bzw. nach Neuzeichnen des Regelkreises:
d (t)
u (t)
r (t)
Step
controller K_IMC
y (t)
plant G
y* (t)
modelled plant G*
dyns75b
kann man mit dem neuen Regler K(s) der Regelkreis so darstellen:
d (t)
r (t)
Step
u (t)
e (t)
controller K
y (t)
plant G
dyns75c_i
Der Regler K(s) stellt so den IMC-Regler KIMC (s) einschließlich der modellierten Regelstrecke G∗ (s) dar.
u(s) = K(s) · [r(s) − y(s)] =
KIMC (s)
· [r(s) − y(s)]
1 − G∗ (s) · KIMC (s)
d.h. der Regler K(s) wird bestimmt (in Struktur und Parameter) durch die Gleichung:
⇒ K(s) =
KIMC (s)
1 − G∗ (s) · KIMC (s)
14
Kapitel 6
Stör- und Führungsgrößenverhalten mit dem KIMC -Regler
d (t)
u (t)
r (t)
Step
controller K_IMC
y (t)
plant G
y* (t)
modelled plant G*
dyns75b
Das Führungs- und Störgrößenverhalten dieses Regelkreises (mit perfektem Model G∗ (s)) kann mathematisch
durch die Gleichung formuliert werden:
(1) Regelgröße:
y(s)
=
G(s) · u(s) + d(s)
(2) Reglerausgangssignal: u(s)
=
KIMC (s)
· [r(s) − y(s)]
1 − G∗ (s) · KIMC (s)
Setzt man die Gleichungen (2) in die Gleichung (1) ein und löst diese Gleichung nach der Regelgröße y(s) auf,
erhalten wir:
1 − KIMC (s) · G(s)
KIMC (s) · G(s)
· r(s) +
· d(s)
⇒ y(s)
=
1 + KIMC (s) · [G(s) − G∗ (s)]
1 + KIMC (s) · [G(s) − G∗ (s)]
Führungsgrößenverhalten des Regelkreises: (d(t) = 0)
y(s)
r(s)
⇒ Gr (s) =
G(s) · KIMC (s)
1 + KIMC (s) · [G(s) − G∗ (s)]
=
Störgrößenverhalten des Regelkreises: (r(t) = 0)
y(s)
d(s)
⇒ Gd (s) =
1 − G(s)∗ · KIMC (s)
1 + KIMC (s) · [G(s) − G∗ (s)]
=
bzw. bei exakter Modellierung der Regelstrecke G∗ (s) = G(s)
⇒ y(s)
=
KIMC (s) · G(s) · r(s) + [1 − KIMC (s) · G(s)] · d(s)
erhalten wir als Ergebnis für das Stör- und Führungsgrößenverhalten des geschlossenen Regelkreises :
Führungsgrößenverhalten: (d(t) = 0 , G(s) = G∗ (s))
y(s)
r(s)
⇒ Gr (s) =
G(s) · KIMC (s)
=
Störgrößenverhalten: (r(t) = 0 , G(s) = G∗ (s))
y(s)
d(s)
⇒ Gd (s) =
Es sei
1 − G(s)∗ · KIMC (s)
=
1
KIMC (s)
=
mit:
y(s)
=
KIMC (s) · G(s) · r(s) + [1 − KIMC (s) · G(s)] · d(s)
⇒
y(s)
=
1 · r(s) + 0 · d(s) !!
G∗ (s)
?? Alle Probleme der Regelungstechnik gelöst ??
15
Kapitel 6
Entwurf des IMC-Reglers
“Optimales“ Verhalten der Regelstrecke erhalten wir (ohne Beweis), falls die Übertragungsfunktion des Reglers
KIMC (s) berechnet wird nach der Formel:
1
KIMC (s) =
G∗ (s)
Unglücklicherweise wird hierbei meistens das Prinzip der Kausalität verletzt und es sind die Probleme der
Regelungstechnik so nicht gelöst. Es muß zur Realisierung des Reglers (bzw. des Regelalgorithmus) zusätzlich
ein Vorfilter F (s) in Reihe mit dem Regler K(s) eingefügt werden (vergl. Kapitel 6.1.3).
⇒ KIMC (s) wird ersetzt durch F (s) · KIMC (s) mit KIMC (s) = 1/G∗ (s) bzw KIMC (s) = 1/G(s) !
Damit folgt für den Regler K(s):
es war:
K(s) =
modifiziert:
K(s) =
mit dem Modell
KIMC (s) =
� =
K(s)
erhalten wir speziell:
KIMC (s)
1 − G∗ (s) · KIMC (s)
F (s) · KIMC (s)
1 − G∗ (s) · F (s) · KIMC (s)
1
∗
G (s)
G∗ (s)
F (s)
· [1 − F (s)]
Beispiel:
G∗ (s)
=
KIMC (s)
=
Model der Regelstrecke:
“Regler“:
K∗
s · T1 + 1
s · T1 + 1
1
=
G∗ (s)
K∗
Aus Gründen der Kausalität muß die Übertragungsfunktion des Reglers KIMC (s) modifiziert werden mit einer
Filterfunktion F (s). Mit der Funktion F (s):
F (s) =
1
s · TF + 1
lautet die Gleichung des Reglers K(s):
F (s) · KIMC (s)
1 − G∗ (s) · F (s) · KIMC (s)
1
s · T1 + 1
=
G∗ (s)
K∗
K(s)
=
KIMC (s)
=
�
K(s)
=
F (s)
G∗ (s) · [1 − F (s)]
G∗ (s)
=
K∗
s · T1 · s + 1
→
�
K(s)
=
→
�
K(s)
=
⇒
�
K(s)
=
mit
erhalten wir mit:
und:
1
1
K∗
· [1 −
]
(s · TF + 1) ·
s · T1 + 1
s · TF + 1
1 s · T1 + 1
·
K∗
s · TF
1
T1
1
·
· [1 +
]
K ∗ TF
s · T1
Diese Relation stellt die Gleichung eines P I-Reglers dar mit den Parametern:
KR =
1
T1
·
K ∗ TF
und
Tn = T1
16
Kapitel 6
Beispiel: Ente als P2 -Element (vergl. Beispiele 7.3.3a, 7.3.3b und 7.3.1c)
In diesem Beispiel soll der dominante Teil der Regelstrecke als G(s) = G∗ (s) im Regler K(s) modelliert werden. Der nichtdominante Teil der Regelstrecke wird nur als Fehlanpassung (mismatch) der Regelstrecke G ′ (s)
berücksichtigt (d.h. das zeitliche Verhalten der Regelstrecke). Der statische Anteil wird mittels Variation des
Übertragungsbeiwertes K ′ untersucht !
GS (s)
=
G(s) · [1 + G′ (s)]
mit
G(s)
=
G∗ (s)
und
GS (s)
=
Modell
G∗ (s)
=
KS
+ 1) · (s · Tb + 1)
=
Ente:
֒→
(s · Ta
1
֒→
s · Tb + 1
mit
=
KS
(s · Ta + 1) · (s · Tb + 1)
K∗
s · Ta + 1
K∗
· [1 + G′ (s)]
s · Ta + 1
K∗
· [1 + G′ (s)]
KS
KS
K∗
α
=
֒→
α
s · Tb + 1
=
1 + G′ (s)
⇒
G′ (s)
=
−
KS
Ta
Tb
=
=
=
1
12, 9 Sek.
5 Sek.
KF
TF
=
=
1
4 Sek.
Übertragungsbeiwert
KR
=
֒→
KR
=
1 Ta
·
K ∗ TF
3, 225
Tn
Tn
=
=
Ta
12, 9 Sek.
1 − α + s · Tb
=
ˆ (P D)1 − Verhalten
s · Tb + 1
Daten (Strecke):
Übertragungsbeiwert
dom. Zeitkonstante
nichtdom. Zeitkonst.
gewählte Daten (Filter):
Übertragungsbeiwert
Zeitkonstante
⇒ PI-Reglerdaten:
Nachstellzeit
֒→
Fehlerbetrachtung bei der Modellierung des Übertragungsbeiwertes KS = K ∗ :
1.Fall:
֒→
֒→
2.Fall:
֒→
֒→
3.Fall:
֒→
֒→
K∗
α
=
=
1, 0 · KS
1, 0
G′ (s)
=
−
K∗
α
=
=
1, 2 · KS
1, 2
G′ (s)
=
−
K∗
α
=
=
0, 8 · KS
0, 8
G′ (s)
=
−
s · Tb
=
ˆ D1
s · Tb + 1
−0, 2 + s · Tb
=
ˆ A
s · Tb + 1
0, 2 + s · Tb
=
ˆ (P D)1
s · Tb + 1
17
Kapitel 6
Beispiel: Ente mit Fehlanpassung
dyns75c_entef_0
5s
d (t)
5s+1
r (t)
mismatch
of the plant G’
u (t)
e (t)
Step1
To Workspace1
y (t)
Scope
controller K
Step
plant G
t
dyns75c_ente
Clock
To Workspace
control loop with IMC−controller (with mismatch)
u(t) mit
3
d(t), r(t),
u(t), y(t)
K*=0,8K
S
K*=1,0K
S
K*=1,2K
S
2
1
r(t)
d(t)
0
y(t) mit
K*=0,8K
S
*
K =1,0KS
*
K =1,2KS
−1
−2
0
10
20
30
40
50
60
dyns75c_entef_d
70
80
90
100 s
t
Will man die Regelstrecke GS (s) der Ente mit P2 -Verhalten exakt im Regler modellieren so erhält man
(siehe J.Lunze, Regelungstechnik I, 486) folgende Gleichung für den Regler K(s):
→ K(s)
=
(s · Ta + 1) · (s · Tb + 1)
K ∗ · s · TF · (s · TF + 2)
⇒ K(s)
=
1
Ta · Tb
1
Ta + Tb
· [1 +
+ s·
·
]=
ˆ (P ID)1 -Verhalten
2 · K ∗ · TF s · 0, 5 · TF + 1
s · (Ta + Tb )
Ta + Tb
mit den Reglerparametern:
Übertragungsbeiwert: KR
=
Nachstellzeit:
Tn
=
Vorhaltezeit:
TV
=
Ta + Tb
2 · K ∗ · TF
Ta + Tb
Ta · Tb
Ta + Tb
≈
2, 2375
=
17, 9 Sek.
=
3, 60 Sek.
18
Kapitel 6
Beispiel: ohne Fehlanpassung
dyns75c_entef_ex
0.
d (t)
5s+1
r (t)
e (t)
64.5 s2+17.9 s+1
mismatch
of the plant G’
u (t)
Step1
To Workspace1
y (t)
Scope
16s 2+8 s
Step
plant G
controller K
for P_2−plant1
t
Clock
dyns75c_ente_ex
To Workspace
control loop with IMC−controller (without mismatch)
4
3
d(t), r(t);
u(t), y(t)
u(t)
2
1
r(t)
y(t)
d(t)
0
−1
−2
−3
0
dyns75c_entef_ex
10
20
30
40
50
60
70
80
90
t
100 s
19
Kapitel 6
6.1.8 Prädiktorregelung
Regelstrecken mit Totzeiten Tt , die bei jedem Stoff- bzw. Datentransportvorgang auftreten, sind schwierig
zu regeln. Mit einem Prädiktorregler (Smith-Prädiktor) kann dies vereinfacht werden.
Das zu regelnde System (= Regelstrecke) habe Verzögerung höherer Ordnung mit Totzeit Tt . Der Anteil der
Verzögerung sei in der Strecke S1 (s) und der Anteil der Totzeit in der Strecke S2 (s) dargestellt. Dieses System
werde mit einem Prädiktorregler P R(s) beeinflußt.
Damit ergibt sich (hier: ohne Sensor) folgender Regelkreis 1:
Welche Struktur muß der Prädiktorregler P R(s) besitzen, damit die (Teil-)Regelstrecke S2 (s) mit der Totzeit Tt bei der Einstellung der Reglerparameter nicht mehr berücksichtigt werden muß ? Zur Ermittlung dieser
Reglerstruktur geht man von folgendem Blockschaltbild des Regelkreises 2 aus bei dem sich die Totzeit T t der
Regelstrecke S2 (s) nicht mehr im Regelkreis befindet und so dessen Stabilität reduziert.
In beiden Fällen soll das Führungsgrößenverhalten x = x(w(t), t) des Regelkreises identisch sein, d.h. es lauten
die Gleichungen für die Übertragungsfunktionen Gw1 (s) = x(s)/w(s) und Gw2 (s) = x(s)/w(s):
Gw1 (s) =
Gw2 (s) =
P R(s) · S1 (s) · S2 (s)
1 + P R(s) · S1 (s) · S2 (s)
R(s) · S1 (s)
· S2 (s)
1 + R(s) · S1 (s)
Setzt man gemäß obiger Forderung beide Übertragungsfunktionen gleich und ls̈t diese Gleichung nach der
Übertragungsfunktion des Prädiktorreglers P R(s) auf, so ergibt sich folgende Relation:
P R(s) · S1 (s) · S2 (s)
=
1 + P R(s) · S1 (s) · S2 (s)
P R(s) · S1 (s) · S2 (s) · [1 + R(s) · S1 (s)] =
P R(s) · [1 + R(s) · S1 (s)] =
P R(s) + P R(s) · R(s) · S1 (s) − R(s) · P R(s) · S1 (s) · S2 (s) =
P R(s) · [1 + R(s) · S1 (s) − R(s) · S1 (s) · S2 (s)] =
P R(s) · [1 + R(s) · S1 (s) · {1 − S2 (s)}] =
=⇒ PR(s) =
R(s) · S1 (s)
· S2 (s)
1 + R(s) · S1 (s)
R(s) · S1 (s) · S2 (s) · [1 + P R(s) · S1 (s) · S2 (s)]
R(s) · [1 + P R(s) · S1 (s) · S2 (s)]
R(s)
R(s)
R(s)
R(s)
1 + R(s) · S1 (s) · {1 − S2 (s)}
20
Kapitel 6
Damit erhält man als Blockschaltbild für den Regelkreis mit Prädiktorregler (- - -):
Optimales Führungsgrößenverhalten ergibt sich jedoch nur bei genauer Kenntnis der Totzeit T t (dargestellt
durch S2 (s)) !
Mit der Nachbildung der Regelstrecke aus S1 (s) und S2 (s) im Prädiktorregler P R(s), kann der Regler R(s) so
eingestellt werden, als ob die Totzeit Tt sich nicht im Regelkreis befindet.
Beispiel: modellierter Regelkreis mit Smith-Prädiktor mit Matlab/Simulink
K_R, T_n
w (t)
T_S, T_m, 1
e (t)
T_t
x (t)
y (t)
Scope
Step
reale Strecke
Regler
reale T_t
smith_konz_f_m
To Workspace1
smith_konz
Streckenmodell
t
modellierte T_t
Clock
To Workspace
Beispiel einer Konzentrationsregelung (aus Regelungstechnik I, J.Lunze, 489):
1
· e−s·Tt
(s · TS + 1) · (s · Tm + 1)
1
1
= KR · [1 +
]
KR +
s · TI
Tn
Übertragungsfunktion der Strecke mit Sensor:
S(s)
=
Übertragungsfunktion des Reglers:
R(s)
=
Zeitkonstante der Regelstrecke:
Zeitkonstante des Sensors:
Totzeit wegen des Transportes durch das Rohr:
TS
Tm
Tt
=
=
=
1 min
0, 2 min
0, 4 min
Übertragungsbeiwert des Reglers:
Integrierzeitkonstante des Reglers:
KR
TI
=
=
2
0, 5 min
mit:
KR
Tn
֒→
֒→
⇒ Pol-Nullstellen-Kompensation
Tn
Tn
Tn
=
=
=
=
1
TI
KR · TI
1 min
TS
21
Kapitel 6
Ergebnis:
1.6
PI−Regler
1.4
x(t)
1.2
1
0.8
0.6
Smith−Prädiktor
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
smith_konz_f_pi
8 min
t
1
x(t)
Smith−Prädiktor
mit
0,9*T
t
1,0*T
t
1,1*Tt
0.8
kompensiert
0.6
Tt=0 s
Tt=0,4s
0.4
0.2
0
0
smith_konz_f_Tt
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
t
4.5 min
22
Kapitel 6
6.2 Darstellung von dynamischen Systemen mit mehreren Regelgrößen (Mehrgrößenregelung)
Bisher wurde eine Regelgröße x(t) i.a. durch eine Stellgröße y(t) mittels einem Regler beeinflußt. In vielen
Fällen möchte man (oder ist es unumgänglich) mehrere Regelgrößen x1 (t), x2 (t), . . . xn (t) gleichzeitig und unabhängig voneinander zu beeinflussen.
6.2.1 Beschreibung von dynamischen Mehrgrößensystemen
Dynamische Mehrgrößensystemen lassen sich prinziell in 2 unterschiedlichen Strukturen darstellen:
- P-Struktur
- V-Struktur
6.2.1.1 Darstellung des dynamischen Systems in P-Struktur
Beispiel:
Der Durchlauferhitzer bzw. die Warmwasserbereitung der Heizung sollen mittels zweier Ventile y 1 (t) und y2 (t)
so eingestellt werden, daß die Mischungstemperatur ϑ(t) und der Durchfluß (Massenstrom) ṁ(t) voneinander
unabhängig beeinflußbar sind.
Hierzu werden die Regler R11 und R22 verwendet und der Regelkreis könnte dann durch folgende Anordnung
dargestellt werden:
Bei der Modellierung der Regelstrecke mittels Gleichungen, hat man die physikalischen Effekte des Transportvorgangs von den Ventilen y1 (t) und y2 (t) zum Mischungsort (Mischstelle) bei unterschiedlichen Strömungsgeschwindigkeiten v1 (t) und v2 (t) zu beachten. Ferner ist die Trägheit der Ventile zu berücksichtigen durch deren
Verzögerung (= Zeitkonstante) T1 und T2 . Somit kann man (in der s-Darstellung) für die Temperaturänderung
Δϑ(s) → ϑ(s) folgende Gleichung annehmen:
e−Tt1 ·s
e−Tt2 ·s
· y1 (s) − K12 ·
· y2 (s)
1 + T1 · s
1 + T2 · s
ϑ(s) =
K11 ·
ṁ(s) =
+K21 · y1 (s) + K22 · y2 (s)
Die 2. Gleichung zeigt, daß der gesamte Massenstrom ṁ(s) direkt proportional der Ventilstellung y 1 (s) und
y2 (s) ist.
Man sieht sofort, daß die Temperatur ϑ(s) und der Massenstrom ṁ(s) nicht unabhängig voneinander einstellbar sind. Diese Eigenschaft ist im Strukturbild bzw. Signalflußplan leicht zu erkennen:
23
Kapitel 6
Strukturbild:
Signalflußplan:
Die Übertragungsfunktionen Gi (s) sind in diesem Beispiel:
G11 (s)
G12 (s)
G21 (s)
G22 (s)
e−Tt1 ·s
1 + T1 · s
e−Tt2 ·s
= −K12 ·
1 + T2 · s
= +K21
= +K22
= +K11 ·
Achtung:
Die Übertragungsfunktionen G(s) können negativ sein !
Der mathematische Zusammenhang für 2 Eingangssignale und 2 Ausgangssignale wird allgemein durch
folgendes Gleichungssystem dargestellt:
X1 (s)
= G11 (s) · Y1 (s) + G12 (s) · Y2 (s)
X2 (s)
= G21 (s) · Y1 (s) + G22 (s) · Y2 (s)
noch kürzer als Matrix:
X(s) = G(s) · Y (s)
mit:
X(s) =
x1 (s)
x2 (s)
Y (s) =
y1 (s)
y2 (s)
und
G(s) =
G11 (s) G12 (s)
G21 (s) G22 (s)
24
Kapitel 6
In unserem Beispiel der Mischungsstrecke mit den Ventilstellungen y 1 (s) und y2 (s) als Eingangssignale und
der Temperatur ϑ(s) = x1 (s) und dem Massenstrom ṁ(s) = x2 (s) als Ausgangssignal erhält man mit den
jeweiligen Übertragungsfunktionen G11 (s), G12 (s), G21 (s) und G22 (s):
e−Tt1 ·s
·
+K
11

1 + T1 · s
=

x1 (s)
x2 (s)

e−Tt2 ·s
−K12 ·
1 + T2 · s 
·
K21 (s)
y1 (s)
y2 (s)
K22 (s)
Wegen der Richtungspfeile der Signale vom Eingang zum Ausgang wird diese Struktur auch als P -Struktur
bezeichnet !
Beispiel: Modellierung eines Mehrgrößensystems (aus O.Föllinger,Regelungstechnik, 372 (1992))
Mit den Gleichungen des dynamischen Systems:
(1) x1 (s)
=
K
K
· y2 (s)
· y1 (s) +
3
(s · Ta + 1)
(s · Tb + 1) · (s · Ta + 1)
(2) x2 (s)
=
−K
K
· y1 (s) +
· y2 (s)
2
(s · Ta + 1)
(s · Ta + 1) · (s · Tb + 1)2
und den Übertragungsfunktionen Gi (s) in diesem Beispiel:
G11 (s)
=
G12 (s)
=
G21 (s)
=
G22 (s)
=
K
(s · Ta + 1)3
K
(s · Tb + 1) · (s · Ta + 1)
−K
(s · Ta + 1)2
K
(s · Ta + 1) · (s · Tb + 1)2
und den Kenndaten K = 1; Ta = 0, 025 Sek und Tb = 0, 1 Sek folgt die Modellierung
s11(t)
y1(t)
Step1
s1(t)
x1(t)
Strecke 11
Strecke 1
Sum3
rt62o1c2
aus O.Föllinger 371 bzw. H.Schwarz,
rt9(1962), 454−459 und 505−510
t
Strecke 21
Clock
To Workspace
rt62o1c2f
To Workspace1
gelb
Strecke 120
Strecke 121
lila
x2(t)
y2(t)
Step2
Strecke 22
s22(t)
s2(t)
Strecke 2
bleu
Scope
Sum2
rot
Mux1
25
Kapitel 6
mit dem Ergebnis:
5
y1(t), x1(t)
y2(t), x2(t)
4
x1(t)
3
y2(t)
2
x2(t)
1
y (t)
1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4 s
t
rt62o1c2fp
Deutlich sieht man die gegenseitige Beeinflussung der Signale. Zum Zeitpunkt t = 0, 1s wurde bei konstanter
Stellgröße y2 (t) = 2, 0 die Stellgröße y1 (t) geändert von:
y1 (t < 0, 1s) = 0, 5
→
y1 (t ≥ 0, 1s) = 1, 5
֒→
x1 (t < 0, 1s) = 2, 5
→
x1 (t ≥ 0, 1s) = 3, 5
֒→
x2 (t < 0, 1s) = 1, 5
→
x1 (t ≥ 0, 1s) = 0, 2
Anschließend wurde zur Zeit t = 2, 1s die Stellung der Stellgröße y1 (t) = 1, 5 nicht verändert und die
Stellgröße y2 (t) vergrößert von:
y2 (t < 2, 1s) = 2, 0
→
y2 (t ≥ 2, 1s) = 4, 0
֒→
x1 (t < 2, 1s) = 3, 5
→
x1 (t ≥ 2, 1s) = 5, 4
֒→
x2 (t < 2, 1s) = 0, 2
→
x2 (t ≥ 2, 1s) = 2, 5
26
Kapitel 6
6.2.1.2 Darstellung des dynamischen Systems in V-Struktur
In einem weiteren Beispiel wird ein System (Niveauregelstrecke) beschrieben mit den Ausgangsgrößen
Füllstand h(t) und Abflußstrom ṁab (t). Dies wird beeinflußt durch Verändern des Zuflußventils ye (t) und des
Abflußventils ya (t) :
Es werden wieder die das System beschreibenden Gleichungen formuliert:
Behältergleichung :
h(t) =
1
ρ · A0
[ṁzu (t) − ṁab (t)] · dt
Zufluß :
ṁzu (t) =
ce · ye (t)
Abfluß :
ṁab (t) =
c11 · ya (t) + c12 · h(t)
Zur besseren Handhabung werden die Gleichungen wieder im s-Raum (L-Transformation) dargestellt und nach
Ein- und Ausgangssignalen sortiert:
Füllstand :
Abfluß :
h(s)
ṁab (s)
=
ce
1
· ye (s) −
· ṁab (s)
s · ρ · A0
s · ρ · A0
= c11 · ya (s) + c12 · h(s)
Durch Ausklammern des Faktors des jeweiligen Eingangssignales erhält man die Form zur Darstellung
der V - Struktur:
ce
1
Füllstand :
h(s) =
· [ye (s) −
· ṁab (s)]
s · ρ · A0
ce
c12
Abfluß :
ṁab (s) = c11 · [ya (s) +
· h(s)]
c11
Strukturbild:
Signalflußplan:
27
Kapitel 6
6.2.2 Regelung von gekoppelten Mehrgrößensystemen (hier eines Systems in P-Struktur)
Durch die gegenseitige Beeinflussung der Signale (Kopplung) wird es notwendig die Regelkreise zu entkoppeln.
6.2.2.1 Regelung von gekoppelten Mehrgrößensystemen ohne Entkopplungsregler
In den beiden Beispielen wurde bisher lediglich die Regelstrecke mit den 2 Eingangs- und 2 Ausgangssignalen
und ihren Kopplungen dargestellt.
Für das Beispiel (O.Föllinger) werde nun eine Regelung entwickelt. Hierbei werden die Regelgrößen x1 (t) und
x2 (t) (ohne Darstellung des jeweiligen Sensors) mit einer Führungsgröße w1 (t) und w2 (t) verglichen. Diese
Differenzsignale e1 (t) und e2 (t) sind die Eingangssignale der Regler R11 und R22 . Damit ergibt sich folgendes
Blockschaltbild:
Nimmt man das Führungsgrößenverhalten jedes Regelkreises für sich getrennt auf (indem man z.B. den
jeweils anderen Regler ausbaut, bzw. dessen Übertragungsfunktion R11 = 0 oder R22 = 0 setzt), so können
durchaus brauchbare Ergebnisse erzielt werden.
In diesem Beispiel ergab sich folgender Verlauf der Regelgröße x1 (t):
w2(t)
Step
ew2(t)
Sum
Regler 22
Mux
s22(t)
r22(t)
Strecke 22
Sensor 2
Mux
Scope
rt62r1b2f
x2(t)
To Workspace1
tb
rt62r1b2
Clock
To Workspace
28
Kapitel 6
3.8
x1(t)
w1(t)
3.6
3.4
w1(t), x1(t)
3.2
3
2.8
2.6
2.4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
t
rt62r1a2fp
bzw. x2 (t):
w2(t)
ew2(t)
Step
Sum
Strecke 22
Regler 22
Mux
s22(t)
r22(t)
Sensor 2
Mux
Scope
rt62r1b2f
x2(t)
To Workspace1
tb
rt62r1b2
Clock
2.8
w2(t)
To Workspace
x2(t)
2.6
2.4
w2(t), x2(t)
2.2
2
1.8
1.6
1.4
0
rt62r1b2fp
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
1.2 s
s
29
Kapitel 6
Mit der Kopplung der dynamischen Systeme ergibt sich bei gleicher Reglereinstellung folgendes zeitliche Verhalten der Regelgrößen:
e1(t)
w1(t)
Sum
Step1
s11(t)
r11(t)
s1(t)
x1(t)
Strecke 11
Regler 11
Strecke 1
rt62r1c2
Sum3
t
Strecke 21
O.Föllinger 371 bzw. H.Schwarz,
rt9(1962), 454−459 und 505−510
Clock
To Workspace
rt62r1c2f
gelb
To Workspace1
Strecke 120
Strecke 121
lila
w2(t)
x2(t)
e2(t)
Step
r22(t)
Sum1
Strecke 22
Regler 22
s22(t)
s2(t)
Strecke 2
Sum2
Scope
bleu
rot
Mux1
x (t)
1
4
3.5
w (t), x (t)
1
1
w2(t), x2(t)
3
w (t)
1
2.5
x (t)
w (t)
2
2
2
1.5
1
0.5
0
rt62r1c2fp
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4 s
t
Durch eine geeignete (Reihen-)Entkopplung mittels mehrerer Regler versucht man eine Wirkung zu erzielen,
die das Verhalten (hier:)
30
Kapitel 6
zweier getrennter entkoppelter einschleifiger Regelkreise zeigen und die sich so ihrerseits wesentlich einfacher
für optimales Stör- und Führungsgrößenverhalten einstellen lassen:
Eine Möglichkeit die Einstellvorschrift für die Reihenentkopplung einer 2-Fachregelung ohne Matrizenrechnung zu erhalten, ergibt sich aus der Überlegung, daß die (Quer-)Kopplungen e1 (t) → x2 (t) und e2 (t) → x1 (t)
für Regeldifferenzen e1 (t) = 0 = e2 (t) wegkompensiert werden sollen, d.h.:
x1 (s)
x1 (s)
= 0
= 0
= e2 (s) · R12 (s) · G11 (s) + e2 (s) · R22 (s) · G12 (s)
= e2 (s) · [R12 (s) · G11 (s) + R22 (s) · G12 (s)]
⇒ R12 (s) = −
⇒
∗
(s) = −
R12
G12 (s)
· R22 (s)
G11 (s)
G12 (s)
G11 (s)
Analog gilt für die Entkopplung von e1 (t) → x2 (t):
x2 (s)
x2 (s)
= 0
= 0
= e1 (s) · R11 (s) · G21 (s) + e1 (s) · R21 (s) · G22 (s)
= e1 (s) · [R11 (s) · G21 (s) + R21 (s) · G22 (s)]
⇒
R21 (s) = −
G21 (s)
· R11 (s)
G22 (s)
⇒
∗
(s) = −
R21
G21 (s)
G22 (s)
Mit diesen Gleichungen der Regler R11 (s), R22 (s), R12 (s) und R21 (s) erhält man folgende Darstellung:
31
Kapitel 6
Das dynamische Verhalten des entkoppelten Regelkreises wird mit den Entkopplungsreglern G 12 (s) und G21 (s)
eingestellt !
Diese allgemeine Regelstruktur werde auf das Beispiel (aus Föllinger, Regelungstechnik) angewendet. Hierbei
galten folgende Gleichungen:
G11 (s) =
G21 (s) =
K
(s · Ta + 1)3
−K
(s · Ta + 1)2
; G12 (s)
=
; G22 (s)
=
K
(s · Tb + 1) · (s · Ta + 1)
K
(s · Ta + 1) · (s · Tb + 1)2
∗
∗
Mit obigen Übertragungsfunktionen ergeben sich folgende Entkopplungsregler R 12
(s) und R21
(s):
∗
R12
(s) =
−
֒→
∗
(s) =
R12
−
⇒
∗
R12
(s) =
G12 (s)
G11 (s)
K
(s · Ta + 1)3
·
(s · Tb + 1) · (s · Ta + 1)
K
(s · Ta + 1)2
−
s · Tb + 1
∗
(s) =
R21
−
G21 (s)
G22 (s)
֒→
∗
R21
(s) =
−
−K
(s · Ta + 1) · (s · Tb + 1)2
·
2
(s · Ta + 1)
K
⇒
∗
R21
(s) =
+
(s · Tb + 1)2
s · Ta + 1
∗
∗
(s), R21
(s) der Zählergrad > Nennergrad und demnach
In beiden Fällen ist bei den Entkopplungsreglern R12
nicht realisierbar. Abhilfe bietet die statische Entkopplung. Man betrachtet den eingeschwungenen Zustand
d.h. t → ∞ bzw. s → 0 und demnach reduzieren sich die Entkopplungsregler zu:
(s · Ta + 1)2
s · Tb + 1
∗
→ R12
(s)
=
−
∗
(s)
⇒ R12
=
−1
∗
→ R21
(s)
=
+
∗
⇒ R21
(s)
=
+1
(s · Tb + 1)2
s · Ta + 1
Wendet man das Verfahren der stationären Entkopplung auf das anfangs gezeigte Simulationsbeispiel an, so
erhält man folgendes zeitliche Verhalten:
e1(t)
w1(t)
Step1
r11(t)
y1(t)
s11(t)
rt62r1d2
s1(t)
x1(t)
Sum
Regler 11
Sum4
Strecke 11
Strecke 1
Sum3
r12(t)
t
O.Föllinger 371 bzw. H.Schwarz,
rt9(1962), 454−459 und 505−510
Regler 12
Clock
Strecke 21
gelb
r21(t)
Strecke 120
Strecke 121
w2(t)
x2(t)
e2(t)
Step
Sum1
rt62r1d2f
To Workspace1
lila
Regler 21
To Workspace
r22(t)
Regler 22
Sum5
y2(t)
Strecke 22
s22(t)
s2(t)
Strecke 2
Scope
bleu
Sum2
rot
Mux1
32
Kapitel 6
3.5
3.0
2
x (t)
w (t)
w (t), x (t)
1
1
w (t),x (t)
w (t)
1
1
2
2
2.5
x (t)
2
2
1.5
1
0
0.5
1
1.5
2
rt62r1d2fp
2.5 s
t
Reicht dieses Ergebnis nicht aus, so kann man ein verbessertes dynamisches Verfahren anwenden (Föllinger,
Otto, Regelungstechnik, Hüthig, 1992, S. 375). Bei dieser Optimierung werden nur die “großen “ Zeitkonstanten
berücksichtigt (Hinweis: Modellreduktion).
→
∗
R12
(s)
=
−
(s · Ta + 1)2
s · Tb + 1
→
∗
R12
(s)
=
−
(s · Ta )2 + s · 2 · Ta + 1
s · Tb + 1
hier: 0 ≈ 0, 000625 Sek = Ta2
≪
2 · Ta = 0, 05 Sek
⇒
∗
(s)
R12
≈
−
→
∗
R21
(s)
=
+
(s · Tb + 1)2
s · Ta + 1
→
∗
R21
(s)
=
−
(s · Tb )2 + s · 2 · Tb + 1
s · Ta + 1
hier:
⇒
0 ≈ 0, 01 Sek = Tb2
∗
(s)
R21
s · 2 · Ta + 1
s · Tb + 1
⇔
(P D)1
≪ 2 · Tb = 0, 2 Sek
≈
−
s · 2 · Tb + 1
s · Ta + 1
⇔ (P D)1
∗
∗
Wendet man diese “genäherten“ Entkopplungsregler R12
, R21
an so ergibt sich mittels Simulation folgendes
Ergebnis:
33
Kapitel 6
e1(t)
w1(t)
Step1
r11(t)
y1(t)
s11(t)
rt62r1e2
s1(t)
x1(t)
Sum
Regler 11
Sum4
Strecke 11
Strecke 1
Sum3
r12(t)
t
Regler 12
O.Föllinger 371 bzw. H.Schwarz,
rt9(1962), 454−459 und 505−510
Clock
Strecke 21
To Workspace
gelb
r21(t)
lila
Regler 21
Strecke 120
Strecke 121
w2(t)
x2(t)
e2(t)
Step
r22(t)
Sum1
rt62r1e2f
To Workspace1
Sum5
Regler 22
y2(t)
Strecke 22
s22(t)
s2(t)
Strecke 2
Scope
bleu
Sum2
rot
Mux1
3.5
3
2
x (t)
w (t)
1
1
w (t), x (t)
1
1
w (t), x (t)
w (t)
2
2
2.5
x (t)
2
2
1.5
1
rt62r1e2fp
0
0.5
1
1.5
2
2.5 s
t
Mittels dieser “genäherten“ dynamischen Entkopplung wurde der Kopplungseinfluß gegenüber der statischen
Entkopplung nochmals reduziert.
34
Kapitel 6
3.5
dynamisch
x (t)
w (t)
w (t),x (t)
1
1
w (t),x (t)
2
1
1
3
statisch
w (t)
2
2
2.5
dynamisch
2
statisch
x2(t)
1.5
1
0
0.5
1
1.5
2
rt62r1diff
2.5
3
t
Durch eine verbesserte Modellreduktion lässt sich dieser Effekt noch vergrößern.
Bei der Darstellung der Sprungantwort des geregelten Systems, so werden beim zeitgleichen Sprungsignal
w1 (t0 ), w2 (t0 ) die Sprungantworten der Regelgrößen x1 (t), x2 (t) nicht wahrheitsgetreu dargestellt, da sich die
Kopplungen der Signale verstärken oder (wie hier im Beispiel ersichtlich) gegenseitig abschwächen können.
3.5
x (t)
1
3
w (t)
1
w (t), x (t)
1
1
w2(t), x2(t)
2.5
x (t)
2
2
w (t)
2
1.5
1
rt62r1f2fp
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
1.2 s
1
Kapitel 7
7 Zustandsdarstellung
In den bisherigen Betrachtungen der Regelungstechnik wurden zu Beginn die Elemente des Regelkreises
mittels Differentialgleichungen beschrieben, die anschließend zu einer Differentialgleichung des geschlossenen
Regelkreises verknüpft wurden. Diese Differentialgleichung lieferte einige Anhaltspunkte über das dynamische
Verhalten dieses Regelkreises im “Zeitraum“. Detailiertere Ergebnisse über das dynamische Verhalten des geschlossenen Regelkreises wurde durch die Betrachtung im Frequenzraum mittels Laplace- bzw. Fouriertransformation als Übertragungsfunktion und deren Darstellung in Ortskurven bzw. Bode-Diagrammen erzielt.
In beiden Betrachtungsweisen (geschlossener Regelkreis im Zeitraum und Übertragungsfunktion im Frequenzraum) hatte man eine Ein- und Ausgangsgröße. Alle anderen Signale im Regelkreis wurden ersetzt.
Dieser Informationsverlust wird in der folgenden Betrachtung mittels Zustandsgrößen im Zustandsraum
vermieden und später in der Zustandsregelung angewendet. Zusätzlich können jetzt auch nichtlineare und zeitvariante Systeme betrachtet werden.
7.1 Zustandsgleichung, Zustandsgrößen (Zustandsvariable)
Im Folgenden wird an einem Beispiel ein dynamisches System mittels Zustandsgrößen beschrieben. Es wird
dabei die Nomenklatur nach DIN 19226 Teil 2, 1994 (ergänzend bzw. abweichend von den bisherigen Bezeichnungen des Regelkreises) verwendet:
xi
ui
yi
=
=
=
Zustandsgrößen i
Steuergrößen
i
Ausgangsgrößen i
=
=
=
1...m
1...n
1 . . . q nach DIN 19226
Beispiel:
In diesem Beispiel wird der Aufheizvorgang in einem Behälter (analog dem Rührwerksbehälter) detaillierter betrachtet. Die Differentialgleichungen, die dieses System beschreiben, lassen sich mittels Bilanzgleichungen
formulieren:
3 Bilanzgleichungen und Sensorgleichung:
Heizplatte :
cH · mH · ϑ̇H (t) =
P (t)
−
kHB [·ϑH (t) − ϑB (t)]
Behälterboden :
cB · mB · ϑ̇B (t) =
+kHB [·ϑH (t) − ϑB (t)]
−
kBL [·ϑB (t) − ϑL (t)]
Flüssigkeit :
cL · mL · ϑ̇L (t) =
+kBL [·ϑB (t) − ϑL (t)]
−
kLU [·ϑL (t) − ϑU (t)]
Temperatursensor :
TS · ṙ(t) =
−r(t) + KS · ϑL (t)
2
Kapitel 7
Dieses System aus Heizplatte H, Behälter B, Flüssigkeit L und Temperatursensor S wird durch 4 lineare
inhomogene Differentialgleichungen 1.Ordnung beschrieben. Löst man diese Differentialgleichungen nach deren
(höchste) Ableitungen auf, so erhält man folgendes Gleichungssystem:
Heizplatte :
ϑ̇H (t)
= −
kHB
· ϑH (t) +
cH · m H
kHB
· ϑB (t)
cH · m H
+
1
· P (t)
cH · m H
Behälterboden :
ϑ̇B (t)
= +
kHB
· ϑH (t)
cB · m B
kHB + kBL
· ϑB (t) +
cB · m B
kBL
· ϑL (t)
cB · m B
Flüssigkeit :
ϑ̇L (t)
kBL + kLU
· ϑL (t)
cL · m L
1
· r(t)
TS
kLU
· ϑU (t)
cL · m L
Temperatursensor :
−
kBL
· ϑB (t)
cL · m L
KS
= +
· ϑL (t)
TS
= +
ṙ(t)
−
−
+
Die 3 Temperaturen ϑH (t), ϑB (t) und ϑL (t) der Heizplatte H, des Behälters B und der Flüssigkeit L und
das Sensorsignal r(t) sind in diesem Beispiel die Zustandsgrößen x1 (t), x2 (t), x3 (t) und x4 (t) des Systems. Die
Heizleistung P (t) stellt als Eingangsgröße das Steuersignal u(t) und das Sensorsignal r(t) in diesem Falle das
Ausgangssignal y(t) dar.
Zur Vereinfachung sei hier die Umgebungstemperatur ϑU (t) = 0 gesetzt.
Mit den Koeffizienten:
a11
=
−
kHB
cH · m H
a12
=
+
kHB
cH · m H
a21
=
+
kHB
cB · m B
a22
=
−
kHB + kBL
cB · m B
a32
=
kBL
cL · m L
b1
a23
=
kBL
cB · m B
a33
=
−
a43
=
kBL + kLU
cL · m L
KS
TS
a44
=
−
1
TS
erhält man die Zustandsgleichung in der Matrixdarstellung:

ϑ̇H (t)


a11

 


 ϑ̇B (t)  
a21

 

=

 
 ϑ̇L (t)  
0

 

 
0
ṙ(t)
a12
0
a22
a23
a32
a33
0
a43
0
 
ϑH (t)

a44
0
r(t)

0
b1

 

 
 

 
0   ϑB (t)   0 
 

 
·
 · P (t)
+
 

 
0   ϑL (t)   0 
 

 
und die Ausgangsgleichung:
y(t) =

0 0
1
ϑH (t)





 ϑB (t) 


·



 ϑL (t) 


r(t)
=
1
cH · m H
3
Kapitel 7
Es wird:
a11
a12
0


 a21

A=

 0

a22
a23
a32
a33
0
a43

0
0



0 



0 

a44
als die Systemmatrix A,

b1





 0 


B=



 0 


0
als die Steuermatrix B und
C=
0
0 0
1
als die Ausgangs- bzw. Beobachtermatrix C bezeichnet.
Kurz läßt sich diese Zustandsdifferentialgleichung in Form als Vektordifferentialgleichung darstellen:
Zustandsgleichung :
ẋ(t) =
A · x(t)
+
B · u(t)
Ausgangs- bzw. Beobachtergleichung :
y(t) =
C · x(t)
+
D · u(t)
Allgemein sind bei dynamischen Systemen mehrere Ein- und Ausgangsgrößen vorhanden. Diese werden mathematisch durch die Komponenten der Vektoren u(t) und y(t) dargestellt.
Der Eingangsvektor bzw. Steuervektor u(t) habe r-Komponenten und
der Ausgangsvektor y(t) m-Komponenten.
die
die
die
die
Mit Matrizen werden die verschiedenen Vektoren miteinander verknüpft. Daher existiert:
Systemmatrix A,
Eingangs- bzw. Steuermatrix B,
Ausgangs- bzw. Beobachtermatrix C und
Durchgangsmatrix D (hier im Beispiel D = 0).
Man erhält so folgendes allgemeines Blockschaltbild des Mehrgrößensystems:
rtv610b
4
Kapitel 7
Beispiel: System Kompressor-Behälter (Übung 3.24)
Es lautete die Gleichung dieses Systems:
pB (t) = KI
c · [pK − pB (t)] · dt
Aufgelöst nach der höchsten vorkommenden Ableitung erhält man:
ṗB (t) = −KI · c · pB (t) + KI · c · pK
Der Behälterdruck pB (t) stellt die Zustandsgröße x1 (t) = pB (t) und der Kompressordruck pK den Steuervektor u(t) = pK (t) dar.
Mit der allgemeinen Darstellung der Zustandsgleichung:
ẋ(t) = A · x(t) + B · u(t)
wird in diesem Fall:
ẋ1 (t) = A · x1 (t) + B · u(t)
mit den Größen:
A =
B =
−KI · c = Systemmatrix (hier aus 1 Element) und
+KI · c = Steuermatrix (hier aus 1 Element)
Beispiel: Reihenschwingkreis (Übung 3.16)
di(t)
+ ua (t)
−ue (t) + R · i(t) + L ·
dt
1
Masche 2 :
−
· i(t) · dt + ua (t)
C
Masche 1 :
= 0
= 0
5
Kapitel 7
Durch Umformung der Maschengleichungen erhält man folgende linearen Differentialgleichungen:
L·
di(t)
+ R · i(t) = −ua (t) + ue (t)
dt
dua (t)
C·
= i(t)
dt
Im 1. Fall sei man an den Größen i(t) und ua (t) interessiert. Diese stellen damit den Zustandsvektor x(t):
x1 (t) =
i(t)
x2 (t) =
ua (t)
dar. Gleichzeitig erlangt man die linke Seite der Zustandsgleichung, d.h. die Ableitung des Zustandsvektors ẋ(t):


di(t)
 ẋ1 (t) =

dt




dua (t)
ẋ2 (t) =
dt
Zur Beschreibung in Form der Zustandsgleichung muß obige Gleichung nach der höchsten Ableitung aufgelöst
werden:
di(t)
dt
dua (t)
dt
= −
=
R
1
1
· i(t) − · ua (t) + · ue (t)
L
L
L
1
· i(t)
C
Diese beiden Differentialgleichungen sehen in der Matrix - Darstellung dann folgendermaßen aus:


 
di(t)
  1 

R
1
−
−
i(t)

  L
dt
L 


·
=
+
 L  · ue (t)


  1
dua (t)
ua (t)
0
0
C
dt
Als Ausgangsgröße y(t) bietet sich offensichtlich die Ausgangsspannung ua (t) an und somit lautet die Ausgangsgleichung:
ua (t) =
0
1
·
i(t)
ua (t)
Mit dem gewählten Zustandsvektor x(t) ergaben sich so die Systemmatrix A, die Steuermatrix B, die Ausgangsmatrix C und die Durchgangsmatrix D = 0:




R
1
1
−
−
 L
L 


;
A =
C = 0 1 ;
D = 0
B =  L ;
 1

0
0
C
Man erhält wieder die Zustandsgleichung und die Ausgangsgleichung:
Zustandsgleichung :
ẋ(t) =
A · x(t)
+
B · u(t)
Ausgangs- bzw. Beobachtergleichung :
y(t) =
C · x(t)
+
D · u(t)
6
Kapitel 7
Im 2.Fall sei man nur an der Ausgangsspannung ua (t) als Ausgangssignal des Schwingkreises interessiert. Durch
Einsetzen der 2.Maschengleichung (des Stromes i(t)) in die 1.Maschengleichung erhält man die bekannte lineare
Differentialgleichung 2.Ordnung des elektrischen Schwingkreises:
di(t)
+ R · i(t) = −ua (t) + ue (t)
dt
dua (t)
C·
= i(t)
dt
֒→ L · C · üa (t) + R · C · u̇a (t) + ua (t) = ue (t)
L·
In dieser Gleichung erscheint jetzt nur noch die Zustandsgröße x1 (t) = ua (t), die gleichzeitig auch die Ausgangsgröße y(t) darstellt. Zur Beschreibung in Form der Zustandsgleichung muß (wie im 1.Fall) obige Gleichung
nach der höchsten Ableitung aufgelöst werden:
üa (t) = −
1
R·C
1
· ua (t) −
· u̇a (t) +
· ue (t)
L·C
L·C
L·C
Damit ist im Prinzip der Zustandsvektor x(t) festgelegt! Es ist die 1.Komponente x 1 (t) = ua (t) ist und
damit ẋ1 (t) = u̇a (t)
Als höchste Ableitung des abgeleiteten Zustandsvektors erält man:
ẋ(t) = üa (t) ⇐⇒ ẋ2 (t) = üa (t)
Somit ergibt sich als vollständiger Zustandsvektor x(t) und dessen 1.Ableitung nach der Zeit ẋ(t):
x(t) =
x1 (t) = ua (t)
x2 (t) = u̇a (t)
ẋ(t) =
;
ẋ1 (t) = u̇a (t)
ẋ2 (t) = üa (t)
Die Zustandsgleichung in Matrixdarstellung hat jetzt folgendes Aussehen:


0
0
1
ẋ1 (t)
x1 (t)


=
+
·
· u (t)
1
R
1  e
ẋ2 (t)
x2 (t)
−
−
L·C
L
L·C
Die Ausgangsgleichung wird jetzt mit y(t) = ua (t):
y(t) =
1 0
·
x1 (t)
x2 (t)
Mit den Matrizen A, B, C (und D = 0):
0

A =
−
1
L·C
1

R
L
;
−

B =
0

C =
1 ;
L·C
Ergibt sich wieder die allgemeine Zustands- und Ausgangsgleichung !
Zustandsgleichung :
ẋ(t) =
A · x(t)
+
B · u(t)
Ausgangs- bzw. Beobachtergleichung :
y(t) =
C · x(t)
+
D · u(t)
1
0
;
D =
0
Kapitel 7
7
Stellt man die Zustandsgleichung des elektrischen Schwingkreises in beiden Darstellungen graphisch dar, so
erkennt man bestimmte Unterschiede, wie auch in den Systemmatrizen A:
Darstellung der Differentialgleichung in i(t) und u a (t) = uC (t) als Blockschaltbild:
Darstellung der Differentialgleichung in x1 (t) = ua (t) = uC (t) und x2 (t) = ẋ1 (t) = u̇a (t) = u̇C (t) als Blockschaltbild:
Offensichtlich kann man bei gleichen physikalischen Bedingungen unterschiedliche Beschreibung eines dynamischen Systems erhalten.
Im Beispiel des elektrischen Schwingkreises wurde
• im 1.Fall von den einzelnen (Differential-)Gleichungen ausgegangen, der Zustandsvektor ausgewählt und
dann diese in die Zustandsdarstellung gewandelt, während
• beim 2.Fall die Gleichungen zu einer Differentialgleichung zusammengefaßt wurden, der Zustandsvektor
bestimmt wurde und so die Zustandsdarstellung festgelegt.
Diese unterschiedliche Darstellung wirkt sich demnach auch im Blockschaltbild (und analog dazu auch in der
Simulationsschaltung) eines solchen dynamischen Systems aus !
Achtung: In der amerikanischen Literatur ist die 1.Komponente des Zustandsvektors x1 (t) die höchste Ableitung
in der Differentialgleichung. Demnach werden die Zustandsgrößen (im 2.Fall) von links nach rechts dargestellt.
Dies wirkt sich auch in der Zustandsmatrix A aus (siehe Beispiele in Matlab) !
8
Kapitel 7
Linearisierung der nichtlinearen Zustandsdarstellung
Nur in einem eingeschränkten Bereich kann man lineares Verhalten voraussetzen (vergleiche Kapitel 2
in RT 1). Will man die Zustandsdarstellung auch im nichtlinearen Fall anwenden, so kann man dies durch
die Linearisierung der nichtlinearen Gleichungen errreichen.
Es sei folgendes nichtlineare System gegeben:


ẋ1 (t)


 ẋ2 (t)

 ..
 .
ẋn (t)

f1 (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t), u(t))

 
 
  f2 (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t), u(t))
=
 
..
 
.
fn (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t), u(t))






bzw. in Kurzform:
(1) ẋ(t)
=
f (x(t), u(t))
(2)
=
g(x(t), u(t))
y(t)
,
x(0)
=
x0
Im stationären Zustand ist das System in Ruhe und man hat einen Gleichgewichtszustand , der durch folgende
Gleichungen beschrieben werden kann:
0
=
f (x, u)
y
=
g(x, u)
Betrachtet man jetzt lediglich Abweichungen vom Ruhezustand, Arbeitspunktwerten x, u so ergibt sich:
δx(t)
=
x(t) − x
δu(t)
=
u(t) − u
δy(t)
=
y(t) − y
d.h.
x(t)
=
x + δx(t)
u(t)
=
u + δu(t)
y(t)
=
y + δy(t)
Somit wird die nichtlineare Funktion f (x(t), u(t)) der Gl.(1)
֒→
ẋ(t)
=
δx(t)
dt
δx(t)
dt
=
f (x + δx(t), u + δu(t))
Entwickelt man jetzt diese Vektorfunktion f nach Taylor um den obigen Arbeitspunkt, so erhält man folgende
Gleichung:
dδx
dt
=
f (x, u) +
∂f
∂x
· δx(t) +
x,u
∂f
∂u
· δu(t) + r(δx, δu)
x,u
9
Kapitel 7
Ist der Arbeitsbereich ausreichend klein, sodaß man nur den linearen Term betrachten muß und das Restglied
r(δx, δu) ohne großen Fehler zubegehen vernachlässigen kann, erhält man die linearisierte Matrix A (JacobiMatrix oder Funktionalmatrix):
∂f1
 ∂x1

 ∂f

2

 ∂x1
=
 .
 .
 .


 ∂fn

A=
∂f
∂x
x,u
∂f1
∂x2
...
∂f2
∂x2
...
..
.
∂fn
∂x2
∂x1
...

∂f1
∂xn 

∂fn 


∂x2 

.. 

. 


∂fn 
∂xn
x,u
und die linearisierte Matrix B:

∂f1
 ∂u 




 ∂f2 


 ∂u 


=

 .. 
 . 




 ∂f 

B=
∂f
∂u
x,u
n
∂u
x,u
Mit diesen Matrizen läßt sich die Zustandsgleichung für einen Arbeitspunkt folgendermaßen formulieren:
d δx
≈ A · δx(t) + B · δu(t) , δx(0) = x(0) − x
dt
d,h, ohne das δ-Zeichen und ersetzen des Näherungszeichens ≈ durch ein Gleichheitszeichen ergibt sich:
dx
= A · x(t) + B · u(t) ,
dt
x(0) = x(0) − x
Analog erhält man im nichtlinearen Fall für die Ausgangsgleichung:
δy(t) ≈ C · δx(t) + D · δu(t)
bzw.
y(t) = C · x(t) + D · u(t)
mit
C=
D=
∂g
∂x
x,u
∂g
∂u
x,u
10
Kapitel 7
Beispiel: SIS-Modell aus der theoretischen Biologie
In der mathematischen Epidemologie, einem Teilgebiet der Theoretischen Biologie, beschreibt das SIS-Modell
die Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten ohne Immunitätsbildung.
Eine Gesamtpopulation mit der konstanten Anzahl von N-Individuen wird aufgeteilt in:
gesunde Individuen (susceptible individuals):
reversiebel erkrankte, ansteckende Individuen (infectible individuals):
Ausbreitungsgeschwindigkeit der Krankheit:
Gesundungsrate:
S(t)
I(t)
c
w
und durch folgendes Gleichungssystem beschrieben:
(a)
(b)
Ṡ(t)
˙
I(t)
=
=
− c · S(t) · I(t) + w · I(t)
+ c · S(t) · I(t) − w · I(t)
mit dem Zustandsvektor x(t):
x(t) =
x1 (t)
x2 (t)
=
=
S(t)
I(t)
Es sei die Meßgröße (Ausgangsgröße) y(t) = I(t) !
d.h. die nichtlineare “Zustandsgleichung“ lautet in diesem Beispiel:


 
ẋ1 (t) = Ṡ(t)
f1 (t) = −c · S(t) · I(t) + w · I(t) , 0


=
˙
f2 (t) = c · S(t) · I(t) − w · I(t) , 0
ẋ2 (t) = I(t)
und somit ergibt sich die Jacobi-Matrix bzw. Funktionalmatrix A durch Differentiation im Arbeitspunkt S 0 , I0 :
∂f1 (S, I)
∂S
S0 ,I0
∂f1 (S, I)
∂I
S0 ,I0
∂f2 (S, I)
∂S
S0 ,I0
∂f2 (S, I)
∂I
S0 ,I0
֒→
A
=
(− c · I)S0 ,I0
=
− c · I0
=
(− c · S)S0 ,I0 + w
=
− c · S0 + w
=
(+ c · I)S0 ,I0
=
+ c · I0
=
(+ c · S)S0 ,I0 − w
=
+ c · S0 − w
=
− c · I0
− c · S0 + w
+ c · I0
+ c · S0 − w
Damit lautet in diesem Beispiel die linearisierte Zustandsgleichung unter Berücksichtigung der Eingangsgröße u(t) = 0:

Ṡ(t)

˙
I(t)


− c · I0
− c · S0 + w
=
 
S(t)
·
+ c · I0
+ c · S0 − w


I(t)
Die Ausgangsgleichung ist mit der Ausgangsgröße y(t) = I(t) bereits linear und lautet damit:

I(t) = y(t) = (0
S(t)
1) · 

I(t)
mit der Ausgangsmatrix C:
C = (0 1)

11
Kapitel 7
7.1.1 Regelungsnormalform
Verfahren zur Ermittlung der Zustandsgrößen:
Hat man die Differentialgleichung des Systems mit den Eingangsgrößen u(t) und den Ausgangsgrößen y(t):
an · y (n) (t) + an−1 · y (n−1) (t) + . . . + a0 · y(t) = b0 · u(t) + . . . + bm · u(m) (t)
so bildet man davon den Frequenzgang G(jω) bzw. die Übertragungsfunktion G(s):
y(s) = G(s) · u(s) =
b0 + s · b 1 + . . . + s m · bm
Z(s)
· u(s)
· u(s) =
n
a0 + s · a 1 + . . . + s · a n
N (s)
Sonderfall: b0 = 0; b1 = b2 = . . . = bn = 0
Löst man obige Differentialgleichung nach der höchsten Ableitung auf, so erhält man:
y (n) (t) =
b0
1
· u(t) −
· [an−1 · y (n−1) (t) + . . . + a1 · ẏ(t) + a0 · y(t)]
an
an
mit dem entsprechenden Blockschaltbild:
und definiert die Zustandsvariablen:
ẋ1 (t) =
ẋ2 (t) =
..
.
ẋn (t) =
und
y(t) =
֒→
ẋn (t) =
x2 (t)
x3 (t)
1
1
· u(t) −
· [an−1 · y (n−1) (t) + . . . + a1 · ẏ(t) + a0 · y(t)]
an
an
b0 · x1 (t)
1
1
· u(t) −
· [an−1 · xn (t) + . . . + a1 · x2 (t) + a0 · x1 (t)]
an
an
12
Kapitel 7
Mit dem i - Komponenten xi (t) ergibt sich der Zustandsvektor x(t) und man erhält folgende Matrizen:
0
0
0
..
.

0
0
0
..
.


0
1
0
0
...
0







A =




0
..
.
0
1
0
...
..
.
0
..
.
0
0
0
0
...
1
a3
an
... −





;
















B =

 0 




 1 
an
und
D =
−
C =
a0
an
−
b0
0
a1
an
−
a2
an
0 0
−
an−1
an
0...0
0
allgemeiner Fall:
Jetzt wendet man die komplexe Übertragungsfunktion an:
b0 + s · b 1 + . . . + s m · bm
Z(s)
· u(s) =
· u(s)
n
a0 + s · a 1 + . . . + s · a n
N (s)
1
s
sm
· u(s) + b1 ·
· u(s) + . . . + bm ·
· u(s)
y(s) = b0 ·
N (s)
N (s)
N (s)
y(s) = G(s) · u(s) =
bzw.
y(s) = x1 (s) · [b0 + b1 · s + . . . + bm · sm ] mit x1 (s) =
1
N (s)
d.h.
x1 (s)
1
=
u(s)
a0 + a1 · s + . . . + an−1 · sn−1 + an · sn
Darstellung als Matrix in der Regelungsnormalform (= Frobeniusform)
C =

0
1
0
0
...
0







A =




0
..
.
0
1
0
...
..
.
0
..
.
0
0
0
0
...
1
a3
an
... −





;
















B =

 0 




 1 
an
a0
an
−
bn
an
b 1 − a1 ·
−
b 0 − a0 ·
a1
an
−
a2
an
bn
an
−
b 2 − a2 ·
bn
an
an−1
an
. . . bn−1 − an−1 ·
bn
an
und
D =
bn
an
13
Kapitel 7
Das allgemeine Blockschaltbild der Zustandsdarstellung in der Regelungsnormalform wird dann:
Lösung eines Beispiels mit Matlab:
Achtung: umgekehrte Zählrichtung der Zustandsgrößen !
num = [2] ; % Zähler
den = [1 4 6 4 1] ; % Nenner
[A,B,C,D] = tf2ss(num,den); % Übertragungsfunktion → Zustandsdarstellung
printsys(A,B,C,D)
a=
x1
x2
x3
x4
x1 4.00000 6.00000 4.00000 −1.00000
x2 1.00000
0
0
0
x3
0
1.00000
0
0
x4
0
0
1.00000
0
b=
x1
x2
x3
x4
c=
y1
x1
0
u1
1.00000
0
0
0
x2
0
x3
0
y1
u1
0
d=
x4
2.00000
14
Kapitel 7
weiteres Beispiel mit Matlab:
num = [1 2 3 4 5] ; % Zähler
den = [1 4 6 4 1] ; % Nenner
[A,B,C,D] = tf2ss(num,den); % Übertragungsfunktion → Zustandsdarstellung
printsys(A,B,C,D)
a=
x1
x2
x3
x4
x1 −4.00000 −6.00000 −4.00000 −1.00000
x2 1.00000
0
0
0
x3
0
1.00000
0
0
x4
0
0
1.00000
0
b=
x1
x2
x3
x4
c=
u1
1.00000
0
0
0
x1
x2
x3
y1 −2.00000 −3.00000 0
d=
y1
u1
1
x4
4.00000
15
Kapitel 7
7.1.2 Beobachtungsnormalform
Es gibt weitere Darstellungen der Matrizen. Diese lassen sich durch geeignete Transformationen ineinander umrechnen.
Beobachtungsnormalform:








A =







C =
0 0
0 0
...
1 0
0 0
...
0 1
0 0
...
..
.
0 0
0 0
0 0
0 0
a0
an
a1
−
an
a2
−
an
−
..
..
.
.
an−1
... −
an
...
1
an









;







a0
an
a1
b1 − bn ·
an
a2
b2 − bn ·
an

b0 − bn ·







B =



..


.

an−1
 b
n−1 − bn ·
an
und
D =















bn
an
Die graphische Darstellung der Zustandsdifferentialgleichung in Beobachternormalform hat dann folgendes
Aussehen:
16
Kapitel 7
7.1.3 Diagonalform
Zerlegt man die Übertragungsfunktion G(s) in Partialbrüche (hier mit einfachen reellen Polstellen λ). so folgt:
y(s) = G(s) · u(s) =
b0 + s · b 1 + . . . + s n · bn
r1
r2
rn
· u(s) = (
+
+ ... +
) · u(s)
a0 + s · a 1 + . . . + s n · a n
s − λ1
s − λ2
s − λn
so wird die Zustandsdifferentialgleichung und deren Matrizen:
C =

λ1
0
0
0
...







A =







0
λ2
0
0
0
0
λ3
0
0
0
0
0


0 



... 0 
;

..
.. 

. 
.


. . . λn 
r3
r4
. . . rn
r1
r2
..
.
0









B =







...
und
1



1 



1 


.. 

. 


1 
D =
0
Skizziert man diese Darstellung, so erkennt man , daß n - Differentialgleichungen 1.Ordnung entstanden sind.
Diese sind alle voneinander unabhängig lösbar. Diese Form wird Diagonalform bzw. Jordan’sche Diagonalform oder kurz Jordan-Form genannt.
17
Kapitel 7
Beispiel für die Transformation einer Übertragungsfunktion G(s) in die Diagonalform mittels Partialbruchzerlegung:
Es sei gegeben folgende Übertragungsfunktion:
→
5
(s + 1) · (s + 2)
5
=
5
s2 + 3 · s + 2
5
(s + 1) · (s + 2)
A
B
+
s+1 s+2
A · (s + 2) + B · (s + 1)
֒→
5
=
s·A + 2·A + s·B + B
֒→
0·s + 5
=
s · (A + B) + (2 · A + B)
→
0
=
A+B
⇒
A
=
−B
→
5
=
2·A+B
→
5−B
=
2·A
→
5+A
=
2·A
⇒
5
=
A
⇒
−5
=
B
⇒
G(s)
=
5
−5
+
s+1 s+2
֒→
mit:
G(s)
=
G(s)
=
=
Einfacher und schneller ergeben sich die obigen Daten mittels Matlab-Befehl residue !
Hinweis: Matlab-Hilfe für den Befehl: residue − > Wandlung einer Darstellung eines Zähler- und Nennerpolynoms in einen Partialbruch und zurück.
G(s) =
r1
r2
rn
b(s)
b0 + s · b 1 + . . . + s n · bn
=
+
+ ...+
+ k(s)
=
n
a(s)
a0 + s · a 1 + . . . + s · a n
s − λ1
s − λ2
s − λn
b
a
→ [r, λ, k]
=
=
=
r
=
[5]
[1 3 2]
residue(a, b)
5
−5
λ
=
−1
−2
k
=
[]
18
Kapitel 7
Damit ergibt sich folgende Struktur der diagonalisierten Matrix:
bzw. die Zustandsdarstellung:
y(s)
u(s)
=
֒→
y(s)
=
֒→
y(s)
=
֒→
y(s)
=
x1 (s) · 5 − x2 (s) · 5
Ausgangsgleichung:
y(s)
=
(5 − 5) ·
mit:
C
=
(5 − 5)
und:
x1 (s)
=
bzw:
x2 (s)
=
d.h.:
(s + 1) · x1 (s)
=
1
· u(s)
s+1
1
· u(s)
s+2
u(s)
֒→
ẋ1 (t)
=
−x1 (t) + u(t)
→
ẋ1 (t)
=
λ1 · x1 (t) + u(t) ; λ1 = −1
analog:
ẋ2 (t)
=
λ2 · x2 (t) + u(t) ; λ2 = −2
G(s) =
Zustandsgleichung:
ẋ1 (t)
ẋ2 (t)
=
5
−5
+
s+1 s+2
5
−5
· u(s) +
· u(s)
s+1
s+2
1
1
· u(s) · 5 +
· u(s) · (−5)
s+1
s+2
λ1
0
0
λ2
x1 (s)
x2 (s)
·
x1 (t)
x2 (t)
+
1
1
· u(t)
19
Kapitel 7
7.2 Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit
1960 führte Kalman in der Beschreibung dynamischer Systeme mittels Zustandsgleichungen
Zustandsgleichung :
ẋ(t) =
A · x(t)
+
B · u(t)
Ausgangs- bzw. Beobachtergleichung :
y(t) =
C · x(t)
+
D · u(t)
die Begriffe Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit ein.
rtv610b
Definitionen:
(aus H.Unbehauen,RT II, 52 (1989)
Steuerbarkeit:
Das durch die allgemeine Zustandsgleichung beschriebene lineare System ist vollständig zustandssteuerbar,
wenn es für jeden Anfangszustand x(t0 ) eine Steuerfunktion u(t) gibt, die das System innerhalb einer beliebigen
Zeitspanne t0 ≤ t ≤ t1 in den Endzustand x(t1 ) = 0 überführt.
Es läßt sich zeigen (siehe z.B. H.Unbehauen, RT II,52 (1989), daß ein lineares zeitinvariantes System steuerbar
ist, wenn die Spaltenvektoren
B, A · B, A2 · B, . . . , An−1 · B
linear unabhängig sind.
Mathematisch ist die Forderung: der Rang n der Steuerbarkeitsmatrix Q s aus obiger Bedingung muß gleich der
Zahl n der Zustandsgrößen im Falle der Steuerbarkeit sein.
Beispiel mittels Matlab:
(Übungsaufgabe Reihenschwingkreis 3.16
20
Kapitel 7
00001
00002
00003
00004
00005
00006
00007
00008
00009
00010
00011
00012
00013
00014
00015
00016
% Bestimmung der Steuerbarkeit der Übungsaufgabe 3.16 des Reihenschwing% kreises mittels "physikalischen" Matrizen A,B,C,D (Daten geändert)
% Zustandsgrößen sind i(t) und die Kondensator- bzw. Ausgangsspannung ua(t)
u = 10;
% u in Volt
R = 10;
% R in Ohm
L = 1;
% L in Henry
C = 0.0001;
% C in Farad
A=[-R/L -1/L ; 1/C 0]
B=[1/L;0]
C=[0 1]
D=[0]
Ad=eig(A)
% Eigenwerte der Matrix A
[V,E]=eig(A)
% Eigenvektoren V und Eigenwerte Matrix E
Qs=ctrb(A,B)
% Steuerbarkeit des Systems
des=det(Qs)
% Determinante der Matrix Qs
rs=rank(Qs)
% Rang der Matrix Qs
Ergebnis:
A=
B=
−10
10000
−1
0
1
0
C=
0
1
D=
0
Ad =
Eigenwerte:
-5.0000 +99.8749i
-5.0000 -99.8749i
V=
neue Eigenvektoren v1 , v2
−0.0005 + 0.0100i
1.0000
−0.0005 − 0.0100i
1.0000
E=
Diagonalmatrix mit den Eigenwerten (siehe Ad)
−5.0000 + 99.8749i
0
Qs =
0
−5.0000 − 99.8749i
Qs = (B
1
0
AB)
−10
10000
des =
10000
Determinante Qs = 0 ⇒ steuerbar
rs =
Rang der Matrix Qs = n ⇒ steuerbar
2
21
Kapitel 7
00001
00002
00003
00004
00005
00006
00007
00008
00009
00010
00011
00012
00013
00014
00015
00016
% Bestimmung der Steuerbarkeit der Übungsaufgabe 3.16 des Reihenschwing% kreises mittels Regelungsnormalform-Matrizen A,B,C,D (Daten gedert)
% Zustandsgrößen sind i(t) und die Kondensator- bzw. Ausgangsspannung ua(t)
u = 10;
% u in Volt
R = 10;
% R in Ohm
L = 1;
% L in Henry
C = 0.0001;
% C in Farad
A=[0 1;-1/(L*C) -R/L]
B=[0; 1/(L*C)]
C=[1 0]
D=[0]
Ad=eig(A)
% Eigenwerte der Matrix A
[V,E]=eig(A)
% Eigenvektoren V und Eigenwerte Matrix E
Qs=ctrb(A,B)
% Steuerbarkeit des Systems
des=det(Qs)
% Determinanate der Matrix Qs
rs=rank(Qs)
% Rang der Matrix Qs
Ergebnis:
A=
B=
0
−10000
1
−10
0
10000
C=
1
0
D=
0
Ad =
Eigenwerte:
-5.0000 +99.8749i
-5.0000 -99.8749i
V=
neue Eigenvektoren v1 , v2
−0.0005 + 0.0100i
1.0000
−0.0005 − 0.0100i
1.0000
E=
Diagonalmatrix mit den Eigenwerten (siehe Ad)
−5.0000 + 99.8749i
0
Qs =
0
−5.0000 − 99.8749i
Qs = (B
0
10000
AB)
10000
−100000
des =
100000000
Determinante Qs = 0 ⇒ steuerbar
rs =
Rang der Matrix Qs = n ⇒ steuerbar
2
22
Kapitel 7
00001
00002
00003
00004
00005
00006
00007
00008
00009
00010
00011
00012
00013
00014
00015
00016
% Bestimmung der Steuerbarkeit der Übungsaufgabe 3.16 des Reihenschwing% kreises mittels "physikalischen" Matrizen A,B,C,D (allgemeine Daten)
% Zustandsgrößen sind i(t) und die Kondensator- bzw. Ausgangsspannung ua(t)
syms u R L C
% u in Volt
% R in Ohm
% L in Henry
% C in Farad
A=[-R/L -1/L ; 1/C 0]
B=[1/L;0]
C=[0 1]
D=[0]
Ad=eig(A)
% Eigenwerte der Matrix A
[V,E]=eig(A)
% Eigenvektoren V und Eigenwerte Matrix E
Qs=ctrb(A,B)
% Steuerbarkeit des Systems
des=det(Qs)
% Determinanate der Matrix Qs
rs=rank(Qs)
% Rang der Matrix Qs
Ergebnis:
A=
B=
−R/L
1/C
−1/L
0
1/L
0
C=
0
1
D=
0
Ad =
Eigenwerte:
1/2/L/C ∗ (−C ∗ R + (C 2 ∗ R2 − 4 ∗ L ∗ C)( 1/2))
1/2/L/C ∗ (−C ∗ R − (C 2 ∗ R2 − 4 ∗ L ∗ C)( 1/2))
1/2/L/C ∗ (−C ∗ R + (C 2 ∗ R2 − 4 ∗ L ∗ C)( 1/2))
1
neue Eigenvektoren v1 , v2
1/2/L/C ∗ (−C ∗ R − (C 2 ∗ R2 − 4 ∗ L ∗ C)( 1/2))
1
1/2/L/C ∗ (−C ∗ R + (C 2 ∗ R2 − 4 ∗ L ∗ C)( 1/2))
0
Diagonalmatrix mit den Eigenwerten (siehe Ad)
0
1/2/L/C ∗ (−C ∗ R − (C 2 ∗ R2 − 4 ∗ L ∗ C)( 1/2))
V=
E=
Qs =
Qs = (B
1/L
0
des =
1/L2 /C → C/L2
rs =
AB)
−R/L2
1/L/C
Determinante Qs = 0 ⇒ steuerbar
außer: L → ∞ bzw. C → 0
Rang der Matrix Qs = n ⇒ steuerbar
2
23
Kapitel 7
Beobachtbarkeit:
Das durch die allgemeine Zustandgleichung beschriebene lineare System ist vollständig beobachtbar, wenn
man bei bekannter äußerer Beeinflussung B · u(t) und den bekannten Matrizen A und C aus dem
Systemvektor y(t) über ein endliches Zeitintervall t0 ≤ t ≤ t1 den Anfangszustand x(t0 ) eindeutig bestimmen
kann.
Zur Ermittlung der Beobachtbarkeit eines Systems mit n Zustandsgrößen müssen die Zeilenvektoren
C, C · A, C · A2 , . . . , C · An−1
bestimmt werden. Ist diese, aus obigen Zeilenvektoren gebildete Matrix Q b = 0, so sind die Zustandsgrößen
xi (t), i = 1 . . . n des Systems vollständig beobachtbar.
00001
00002
00003
00004
00005
00006
00007
00008
00009
00010
00011
00012
00013
00014
00015
00016
% Bestimmung der Beobachtbarkeit der Übungsaufgabe 3.16 des Reihenschwing% kreises mittels "physikalischen" Matrizen A,B,C,D (Daten geändert)
% Zustandsgrößen sind i(t) und die Kondensator- bzw. Ausgangsspannung ua(t)
u = 10;
% u in Volt
R = 10;
% R in Ohm
L = 1;
% L in Henry
C = 0.0001;
% C in Farad
A=[-R/L -1/L ; 1/C 0]
B=[1/L;0]
C=[0 1]
D=[0]
Ad=eig(A)
% Eigenwerte der Matrix A
[V,E]=eig(A)
% Eigenvektoren V und Eigenwerte Matrix E
Qb=obsv(A,C)
% Beobachtbarkeit des Systems
deb=det(Qb)
% Determinante der Matrix Qb
rb=rank(Qb)
% Rang der Matrix Qb
Ergebnis:
A=
B=
−10
10000
−1
0
1
0
C=
0
1
D=
0
Ad =
Eigenwerte:
-5.0000 +99.8749i
-5.0000 -99.8749i
V=
neue Eigenvektoren v1 , v2
−0.0005 + 0.0100i
1.0000
−0.0005 − 0.0100i
1.0000
E=
Diagonalmatrix mit den Eigenwerten (siehe Ad)
−5.0000 + 99.8749i
0
0
−5.0000 − 99.8749i
24
Kapitel 7
Qb =
Qb = (C
0
10000
CA)T
1
0
deb =
Determinante Qb = 0 ⇒ beobachtbar
-10000
rb =
Rang der Matrix Qb = n ⇒ beobachtbar
2
Beispiele der Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit:
00001
00002
00003
00004
00005
00006
00007
00008
00009
00010
00011
00012
% Bestimmung der Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit
% mit Matrizen A,B,C aus Unbehauen RT II, S 58
A=[1 -1 ; 0 -2]
B=[1;3]
C=[1 0]
Ad=eig(A)
Qs=ctrb(A,B)
des=det(Qs)
rs=rank(Qs)
Qb=obsv(A,C)
deb=det(Qb)
rb=rank(Qb)
Ergebnis:
A=
B=
1
0
−1
−2
1
3
C=
1
0
D=
0
Ad =
Eigenwerte:
1
-2
25
Kapitel 7
Qs =
Qs = (B
1
3
AB)
−2
−6
des =
0
Determinante Qs = 0 ⇒ nicht vollständig steuerbar
rs =
Rang der Matrix Qs < n ⇒ nicht vollständig steuerbar
1
Qb =
Qb = (C
1
1
CA)T
0
−1
deb =
-1
Determinante Qb = 0 ⇒ vollständig beobachtbar
rb =
Rang der Matrix Qb = n ⇒ vollständig beobachtbar
2
00001
00002
00003
00004
00005
00006
00007
00008
00009
00010
00011
00012
% Bestimmung der Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit
% mit Matrizen A,B,C aus Unbehauen RT II, S 60
A=[-2 0 ; -1 -1]
B=[1;1]
C=[0 1]
Ad=eig(A)
Qs=ctrb(A,B)
des=det(Qs)
rs=rank(Qs)
Qb=obsv(A,C)
deb=det(Qb)
rb=rank(Qb)
26
Kapitel 7
Ergebnis:
A=
B=
0
−1
−2
−1
1
1
C=
0
1
Ad =
Eigenwerte:
-1
-2
Qs =
Qs = (B
1
1
AB)
−2
−2
des =
0
Determinante Qs = 0 ⇒ nicht vollständig steuerbar
rs =
Rang der Matrix Qs = 1 < n = 2 ⇒ nicht vollständig steuerbar
1
Qb =
Qb = (C
0
−1
deb =
CA)T
1
−1
Determinante Qb = 0 ⇒ vollständig beobachtbar
1
rb =
Rang der Matrix Qb = n ⇒ vollständig beobachtbar
2
27
Kapitel 7
7.3 Zustandsregelung
Es wurde bisher das zu regelnde System betrachtet, das im allgemeinen aus dem Sensor, der Regelstrecke,
dem Regler und dem Aktor besteht. In der Literatur findet man Zustandsregelungen unterschiedlicher Art:
• Rückführung des Zustandsvektors x(t)
• Rückführung des Ausgangsvektors y(t)
• Regelung mit Beobachter
Wie bei den bisherigen Regelungen existiert auch hier das Problem der Stabilität. Ausgehend von der
Übertragungsfunktion G(s):
y(s) = G(s) · u(s) =
b0 + s · b 1 + . . . + s n · bn
r1
r2
rn
· u(s) = (
+
+ ... +
) · u(s)
n
a0 + s · a 1 + . . . + s · a n
s − λ1
s − λ2
s − λn
bestimmt der Nenner N (s) das dynamische Verhalten des Systems. Dies bedeutet, daß im diagonalisierten
Fall die Eigenwerte λ alle negativ sein müssen bzw. damit das System in endlicher Zeit einschwingt (λ ist
dann komplex mit negativem Realteil). Durch gezielte Beeinflussung dieser Polstellen λ kann so das Verhalten
des dynamischen Systems in gewünschter Form beeinflußt werden (siehe auch Pol-Nullstellen-Diagramm, Wurzelortskurvendarstellung WOK):
Ist zum Beispiel λ = reell, < 0 , d.h. die Polstelle ist auf der negativ reellen Achse, so klingt die Lösungsfunktion
exponentiell auf den Endwert um so schneller, je negativer der Eigenwert λ ist.
Differentialgleichung:
T · ẏ(t) + y(t) = u(t)
=⇒
y(t) = u · (1 − e−t/T )
d.h. als Übertragungsfunktion
y(s)
1
1/T
1/T
r1
= G(s) =
=
=
=
u(s)
1+s·T
1/T + s
s − (−1/T )
s − λ1
Bei komplexen Eigenwerten λ = a ± jb ergibt sich ein Einschwingvorgang mit der Eigenkreisfrequenz ω 0 und
dem Dämpfungsgrad D
28
Kapitel 7
7.3.1 Regelung mit Zustandsrückführung
Es gelten jetzt folgende Gleichungen für das dynamische System mit Zustandregler. Dieser habe proportionales
Verhalten und werde durch die Zustandsreglermatrix R dargestellt:
Für ein System mit einer Eingangs- und Ausgangsgröße vereinfacht sich obige Darstellung folgendermaßen:
Regelstrecke:
ẋ(t)
Regler:
uR (t)
Vorfilter:
uw (t)
= A · x(t) + b · [uw (t) − uR (t)]


x1 (t)


..
= r · x(t) = (r1 . . . rn ) · 

.
xn (t))
= vw (t) · w(t)
Setzt man die Gleichung des Reglers und des Vorfilters in die Gleichung der Regelstrecke ein, so erhält man
die Zustandsdifferentialgleichung des geschlossenen Regelkreises (es sei u w (t) = 0):
Regelkreis:
ẋ(t)
= A · x(t) − b · r(t) · x(t) = [A − b · r(t)] · x(t)
29
Kapitel 7
Diese Zustandsdifferentialgleichung läßt sich mittels Laplace-Transformation in den Frequenzraum (s-Raum)
umformen:
s · x(s) − x(0) = (A − b · r) · x(s)
s · x(s) − (A − b · r) · x(s) = x(0)
[s · E − (A − b · r)] · x(s) = x(0)
x(s) = [s · E − (A − b · r)]−1 · x(0)
mit der Abkürzung :
Systemmatrix der Zustandsregelung: AR = A − b · r
Steuerbare Regelstrecken sind in der Regelungsnormalform darstellbar. Für beliebig gewählte Pole der Systemmatrix der Zustandsregelung werden dann die Komponenten des Regelungsvektors ri , i = 1 . . . n bestimmt und
damit das dynamische Verhalten des Regelkreises festgelegt.
0
0
..
.
1
0
0
1
0
0
..
.
0
a0
−
an
0
a1
−
an
0
a2
−
an
0
a3
−
an




A−b·r =



0
0
..
.
...
1
an−1
... −
an
0
0
..
.
1
0
0
1
..
.
...
...
0
a0 + r1
−
an
0
a1 + r2
−
an
0
a2 + r3
−
an
...




A−b·r =



...
...


0
0
..
.

 

 

 

−
·
 

  0 
  1 
an
0
0
..
.
1
an−1 + rn
... −
an
r1
r2
. . . r−a
rn








Die Matrix [s · E − (A − b · r)] wird dann:
s
0
0
..
.
−1
s
0
0
−1
s
..
.
...
...
...
0
a0 + r1
+
an
0
a1 + r2
+
an
0
a2 + r3
+
an
...





s · E − (A − b · r) = 




0
0
0
..
.
−1
an−1 + rn
... s+
an










Wie bei der Betrachtung der Regelstrecke mittels Systemmatrix A, hat man jetzt im Falle der Regelung das
dynamische Verhalten des geregelten Systems durch diese Matrix beschrieben. In der letzten Zeile dieser Matrix
befindet sich die Information der Polstellen, die man mittels Rückführvektor r beeinflussen will.
Zur Lösung der Zustandsgleichung muß der Kehrwert obiger Matrix gebildet werden, d.h. 1/det(Matrix). Diese
Determinante wird = 0 für die Polstellen der Lösung, d.h. mit ai < 0, i = 0, . . . , n (siehe vorne).
det(s · E − AR ) = sn +
1
· [sn−1 · (an−1 + rn ) + . . . + s · (a1 + r2 ) + (a0 + r1 )] = 0
an
Das charakteristische Nennerpolynom Pn ist mit den gewählten Polstellen s1 , . . . , sn :
(s − s1 ) · (s − s2 ) . . . (s − sn ) = sn + pn−1 · sn−1 + . . . + p1 · s + p0
Führt man bei beiden Gleichungen einen Koeffizientenvergleich durch, so erhält man die Lösungen des Gleichungssystems zur Bestimmung der Reglerkoeffizienten r1 , . . . , rn :
a0 + r1
=
an
a1 + r2
=
an
..
.
an−1 + rn
=
an
p0
→
r1
=
an · p 0 − a0
p1
→
r2
=
an · p 1 − a1
..
.
pn
..
.
→ rn
..
.
=
an · pn − an−1
30
Kapitel 7
Beispiel: Polvorgabe durch Rückführung der Zustandsvariablen eines schwingfähigen Systems
Das zu regelnde System sei in der Regelungsnormalform durch folgende Gleichungen beschrieben:
ẋ1 (t)
ẋ2 (t)
y(t) =
=
0
2
−ω0S
2
KS · ω0S
0
1
−2 · D · ω0S
x1 (t)
x2 (t)
·
0
1
+
· u(t)
x1 (t)
x2 (t)
·
und mit der Zustandsrückführung dargestellt:
Die Berechnung der Determinante (s · E − (A − b · r) ergibt:
det[s · E − (A − b · r)] = det
s
0
0
s
det[s · E − (A − b · r)] = det
s
2
ω0S
det[s · E − (A − b · r)] = det
s
2
r1 + ω0S
−
0
2
−ω0S
1
−2 · D · ω0S
−1
s + 2 · D · ω0S
+
0
r1
+
0
1
·
r1
r2
0
r2
−1
s + 2 · D · ω0S + r2
Nach dem Ausmultiplizieren der Determinante erhält man:
det[s · E − (A − b · r)]
=
2
s · (s + 2 · D · ω0S + r2 ) − (r1 + ω0S
) · (−1)
det[s · E − (A − b · r)]
=
2
s2 + s · (2 · D · ω0S + r2 ) + ω0S
+ r1
Durch Nullsetzen obiger Determinante erhält man (wegen 1/det( . . . ) die Gleichung für die Polstellen:
2
+ r1 = 0
det[s · E − (A − b · r)] = s2 + s · (2 · D · ω0S + r2 ) + ω0S
s1,2 = −
2 · D · ω0S + r2
±
2
[
2 · D · ω0S + r2 2
2
] − ω0S
− r1
2
31
Kapitel 7
Diese Gleichung s1,2 wird für r1 = r2 = 0 (d.h.ohne Regelung) zur Bestimmungsgleichung der Polstellen für
die Regelstrecke. Bei unterschiedlichen (hier willkürlich gewählten) Reglerwerten r1 und r2 erhält man folgende
Polstellen s1,2 :
r1
r2
→
0
0
→
−0, 707 + 0, 707i −0, 707 − 0, 707i
0
0, 468 →
−0, 941 + 0, 338i −0, 941 − 0, 338i
0
0, 568 →
−0, 991 + 0, 133i −0, 991 − 0, 133i
0
0, 668 →
s1
s2
−0, 751
−1, 331
0, 4
0
→ −0, 707 + 0, 949i −0, 707 − 0, 949i
0, 5
0
→
0, 6
0
→ −0, 707 + 1, 049i −0, 707 − 1, 049i
−0, 707 + i
−0, 707 − i
Pol−Nullstellen−Diagramm des Systems mit/ohne Zustandsregler
1.5
s16
s15
1
s1
4
s10
ℑ
0.5
s11
s12
s2
s1
3
0
3
s22
s21
−0.5
s20
s2
4
−1
s25
s2
6
−1.5
−1.5
rt651a
−1.4
−1.3
−1.2
−1.1
−1
−0.9
−0.8
−0.7
ℜ
−0.6
−0.5
32
Kapitel 7
Im allgemeinen Fall wird man beide Rückführkoeffizienten r1 = 0 und r2 = 0 wählen um so dem Regelkreis
ein ganz bestimmtes Verhalten aufzuprägen. Ausgehend von der gleich Null gesetzten “Schwingungsgleichung“:
2
det[s · E − (A − b · r)] = s2 + s · (2 · D · ω0S + r2 ) + ω0S
+ r1 = 0
setzt man:
2
2
s · 2 · DZ · ω0Z + ω0Z
= s · (2 · D · ω0S + r2 ) + ω0S
+ r1
mit den geforderten neuen Daten für:
• DZ = Dämpfungsgrad des geregelten Systems
• ω0Z = Eigenkreisfrequenz des geregelten Systems
Durch Koeffizientenvergleich dieser Gleichung(-en) erhält man eine Einstellregel zur Berechnung der
Rückführkoeffizienten r1 und r2 :
2 · DZ · ω0Z
2
ω0Z
=
=
2 · D · ω0S + r2
2
ω0S
+ r1
⇒ r2
⇒ r1
= 2 · (DZ · ω0Z − D · ω0S )
2
2
= ω0Z
− ω0S
Im Beispiel sei der Dämpfungsgrad des ungeregelten Systems D = 0, 707 und die Eigenkreisfrequenz ω0S = 1s−1 . Durch die Zustandsregelung soll der Dämpfungsgrad des geregelten Systems DZ = 0, 707
unverändert bleiben, jedoch die Eigenkreisfrequenz von ω 0S = 1s−1 auf ω0Z = 2s−1 vergrößert werden.
Eingesetzt in obige Formeln erhält man für r1 = 3 und r2 = 1, 414 und mit der Simulationsschaltung den
folgenden zeitlichen Verlauf:
Simulationsschaltung:
1
Step
vw
1
s
1
s
Integrator
Integrator1
1
Scope
Komegaq
wf
−K−
To Workspace2
2Domega
yf
1
To Workspace1
omegaq
t
−K−
Clock
r2
3
r1
p_rt65a
To Workspace
33
Kapitel 7
Ergebnis der Simulation:
Führungssprung bei der Zustandsregelung
1
w(t)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15 s
t
p_rt65a_wf
Sprungantwort der Zustandsregelung (ohne Vorfilter)
0.25
y(t)
0.2
0.15
0.1
0.05
0
p_rt65a_yf
0
5
10
15 s
t