Checkliste Sinus, Kosinus, Tangens

Checkliste Sinus, Kosinus, Tangens
Nr.
K1
K2
K3
K4
K5
K6
K7
K8
Kompetenz
Ich kann....
in einem rechtwinkligen Dreieck
Kathete, Gegenkathete und
Hypotenuse bestimmen
in einem rechtwinkligen Dreieck die
Seitenverhältnisse sin, cos und tan
aufstellen und fehlende Längen
berechnen.
mithilfe von Seitenverhältnissen
fehlende Winkel berechnen.
die oben beschriebenen
Kompetenzen in Sachaufgaben
anwenden
in Körpern rechtwinklige Dreiecke
nutzen, um Längen und Winkel zu
berechnen.
zeichnerische Lösungen im
geeigneten Maßstab anfertigen.
mit dem Sinus- und Kosinussatz
fehlende Winkel und Seitenlängen in
einem beliebigen Dreieck
berechnen.
mithilfe der Seitenverhältnisse im
rechtwinkligen Dreieck und dem
Sinus- und Kosinussatz Vermessungsaufgaben im Gelände durchführen, skizzieren und berechnen
Aufgabe
--
-
o
+
++ L.
Aufgabe 1, 2, 3 und
4
Aufgabe 1, 2, 3 und
4
Aufgabe 5, 6 und 7
Aufgabe 8, 9, 10,
11, 12, 13 und 14
Aufgabe 15, 16 und
17
Aufgabe 18, 19 und
20
Aufgabe 21, 22, 23
und 24
Aufgabe 12 und 13;
Aufgabe 25,26 und
27
Liebe Schülerin, lieber Schüler,
arbeite zunächst das „Grundwissen“ zum Thema Trigonometrie durch. Danach bearbeite den
Test 1 und werte ihn aus. Im Anschluss solltest du deine Kompetenzen mithilfe dieser
Checkliste einschätzen.
Nun musst du die Inhalte üben, die du nicht sicher beherrscht. Zum Schluss wird mit dem
Test 2 dein Wissen getestet. Danach ist die Wiederholungseinheit abgeschlossen.
Grundwissen Trigonometrie
Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck
Dividiert man in einem rechtwinkligen
Dreieck zwei Seitenlängen durcheinander,
so erhält man eine Dezimalzahl (ohne
Maßeinheit). Eine solche Zahl nennt man
ein Seitenverhältnis. Diese Seitenverhältnisse sind für ähnliche Dreiecke gleich.
Im rechtwinkligen Dreieck sind die Seitenverhältnisse in Abhängigkeit von den Winkeln (nicht dem 90° Winkel) mit Hilfe der
Verhältnisse sin, cos und tan erfasst und
mit dem Taschenrechner abrufbar.
Die Seitenverhältnisse sin , cos und tan
werden ausgehend von einem nicht 90°
Winkel wie folgt definiert:
sin (Winkel ) =
Gegenkathete
Hypotenuse
cos (Winkel ) =
Ankathete
Hypotenuse
tan (Winkel ) =
Gegenkathete
Ankathete
Für das oben abgebildete Dreieck mit dem Winkel γ = 90° ergeben sich folgende Seitenverhältnisse:
a
c
b
cos(α ) =
c
a
tan(α ) =
b
sin(α ) =
b
c
a
cos( β ) =
c
b
tan( β ) =
a
sin( β ) =
Man sollte sich die oben aufgeführten
Seitenverhältnisse merken. Die links
stehenden Formeln gelten nur für das oben
abgebildete Dreieck mit der speziellen Lage
des 90° Winkels.
Berechnung von fehlenden Seiten im rechtwinkligen Dreieck:
Sind in einem rechtwinkligen Dreieck drei voneinander unabhängige Größen gegeben, so
kann das Dreieck konstruiert werden. Mithilfe der Trigonometrie können die fehlenden Seiten
berechnet werden.
Beispiel:
Gegeben: c = 7cm, α = 65°, γ = 90°
Berechnung von a:
sin(α ) =
a
c
a
| ⋅7
7
sin(65°) ⋅ 7 = a
a = 6,344
sin(65°) =
Berechnung von b:
cos(α ) =
b
c
b
| ⋅7
7
cos(65°) ⋅ 7 = b
b = 2,96
cos(65°) =
Bei der Arbeit mit dem Taschenrechner muss sichergestellt werden, dass der Taschenrechner auf Winkeleingabe (degree) eingestellt ist.
Berechnung von fehlenden Winkeln im rechtwinkligen Dreieck:
Die Winkelsumme im ebenen Dreieck beträgt 180°. Vie le fehlenden Winkel können mit dem
Winkelsummensatz berechnet werden.
Auch wenn von einem rechtwinkligen Dreieck nur der rechte Winkel und zwei Seiten
gegeben sind, können Winkel berechnet werden. Der Taschenrechner liefert zu einem
gegebenen Winkel ein entsprechendes Seitenverhältnis (Tasten sin, cos oder tan) und auch
umgekehrt zu einem Seitenverhältnis (Dezimalzahl) einen Winkel (Tasten 2nd sin, 2nd cos
oder 2nd tan )
Beispiel:
b
c
5,01
cos α =
7,45
cos α = 0,6724
cos α =
α = 47,74°
Berechnungen in ebenen Figuren:
Viele geometrische Figuren können nur dann mithilfe der Trigonometrie berechnet werden,
wenn man sie so zerlegt, dass rechtwinklige Dreiecke entstehen, in denen gerechnet werden
kann (in denen drei Größen gegeben sind). Häufig werden die folgenden Figuren zerlegt:
Gleichschenkliges Dreieck, gleichseitiges Dreieck, symmetrisches und unsymmetrisches
Trapez, Parallelogramm, usw.. Auch das allgemeine Dreieck kann durch eine Höhe in zwei
rechtwinklige Dreiecke zerlegt werden.
Berechnungen im allgemeinen Dreieck:
Im allgemeinen Dreieck können sin, cos und tan nicht angewandt werden. Hier kann mit dem
Sinus- und dem Kosinussatz gerechnet werden.
Sinussatz:
sin α a
=
sin β b
sin β b
=
sin γ c
Zwei Seiten verhalten sich im beliebigen
Dreieck wie die Sinus Werte.
Kosinussatz:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cos α
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac ⋅ cos β
c 2 = a + b 2 − 2ab ⋅ cos γ
Übungen zu den Kompetenzen K1 und K2
Aufgabe 1:
Stelle für die dargestellten rechtwinkligen Dreiecke die Seitenverhältnisse sind, cos und tan
für den eingezeichneten Winkel auf.
a)
b)
c)
Aufgabe 2:
Berechne die gesuchten Größen. Fertige für jede Teilaufgabe eine Planungsskizze an.
c = 7,8 cm
a) Gegeben: α = 48°
β = 90°
b) Gegeben: γ = 72°
γ = 90°
Gesucht: b ?
α = 90°
c) Gegeben: b = 6,7 cm
γ = 38°
b = 12 cm
Gesucht: a ?
Gesucht: c und a ?
Aufgabe 3:
Berechne die fehlenden Seiten im rechtwinkligen Dreieck.
Seite a
Seite b
Seite a
Winkel α
Winkel β
Winkel γ
12,5 km
27,5 m
5,8 cm
47°
90°
27,4 m
4,35 dm
90°
72°
90°
45°
68,5°
90°
17°
90°
Aufgabe 4:
Berechne fehlende Seiten. Wähle selber eine sinnvolle Bezeichnung für die Ecken und
Seiten und nutze die Variablen bei der Berechnung.
Übungen zu den Kompetenzen K3
Aufgabe 5:
Berechne die fehlenden Winkel in den gegebenen rechtwinkligen Dreiecken.
Aufgabe 6:
Berechne die fehlenden Seiten und Winkel in den folgenden rechtwinkligen Dreiecken.
Fertige zu jeder Teilaufgabe eine entsprechende Planfigur an.
Teilaufgabe
Winkel α
Winkel β
Winkel γ
Seite a
Seite b
Seite c
a)
90°
b)
c)
d)
90°
12,5 m
90°
90°
12 dm
5,8 dm
2,3 km
5,6 km
5,2 cm
10,2 m
3,4 cm
Aufgabe 7:
Fülle die Tabelle aus.
Teilaufgabe
Winkel
sin α
cos α
tan α
a)
30°
b)
c)
d)
e)
0,6
f)
0,22
0,33
2,56
0,95
Übungen zur Kompetenz K4
Aufgabe 8:
Ein gleichseitiges Dreieck hat eine Seitenlänge von 7,5 cm. Berechne die Höhe und den
Flächeninhalt dieses Dreiecks.
Aufgabe 9:
Ein gleichseitiges Dreieck hat eine Höhe von 10 cm.
a) Fertige eine Skizze an.
b) Berechne die Seitenlänge dieses gleichseitigen Dreiecks.
c) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.
Aufgabe 10:
In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Seiten a=b=8,2 cm lang. Der Winkel γ beträgt
52°.
a) Fertige eine Skizze dieses Dreiecks an.
b) Berechne die Seite c.
c) Berechne Umfang und Flächeninhalt dieses Dreiecks.
Aufgabe 11:
Ein senkrecht stehender Stab mit einer Länge von 2,80 m wirft einen Schatten von 2,50 m.
a) Skizziere die Situation.
b) Unter welchem Winkel treffen die Sonnenstrahlen auf der Erdoberfläche auf?
Aufgabe 12:
Wie breit ist der Fluss?
Aufgabe 13:
Um die Breite eines Flusses zu bestimmen, wird eine Hilfslinie AH festgelegt und
gemessen. Mit einem Theodolit (Gerät zum genauen Messen von Winkeln) werden vom
Standpunkt S aus die Winkel in Richtung A und B gemessen. Wie breit ist der Fluss?
Aufgabe 14:
Ein Kreis mit dem Radius von 7 cm enthält ein regelmäßiges Fünfeck.
a) Fertige eine Skizze an.
b) Berechne den Umfang und den Flächeninhalt.
c) Mithilfe desselben Kreises wird ein regelmäßiges 10 Eck konstruiert. Jutta behauptet,
der Flächeninhalt und der umfang dieses regelmäßiges 10 Ecks ist genauso groß wie
der Umfang und der Flächeninhalt des regelmäßigen Fünfecks. Nimm zu dieser
Meinung begründet Stellung.
Übungen zur Kompetenz K5
Aufgabe 15:
Ein Würfel besitzt eine Seitenlänge von 6 cm. Berechne die Länge der Raumdiagonalen und
verdeutliche deine
Berechnungen durch eine
Skizze.
5 cm
Aufgabe 16:
Abgebildet ist das Netz einer
Pyramide mit quadratischer
Grundfläche.
a) Berechne die Höhe der
Seitenfläche hs
b) Berechne die
Körperhöhe der
Pyramide hk.
c) Berechne die
Oberfläche der
Pyramide (O).
d) Berechne das Volumen
der Pyramide (VP).
Aufgabe 17:
Das abgebildete Netz ergibt ein Prisma.
a) Beschreibe den Körper, der durch den
Zusammenbau des Netzes
2,8 cm
entstehen kann.
b) Berechne die eingezeichnete Höhe
im Trapez.
c) Berechne den Flächeninhalt der
Rechtecke A,B und C. Ermittle dazu
alle notwendigen Maße im Trapez.
d) Berechne Oberfläche und Volumen des
Körpers.
5 cm
4,2 cm
4,2 cm
C
A
B
65 °
Trapez
45 °
2,2 cm
7,2 cm
Übungen zur Kompetenz K6
Aufgabe 18:
Konstruiere das Dreieck mit c=12,5 m, b = 4,8 m und γ = 90° im Maßstab 1:100. Berechne
alle nicht angegebenen Winkel und Seiten. Vergleiche die berechneten mit den gemessenen
Werten.
Aufgabe 19:
a) Konstruiere ein regelmäßiges Fünfeck in
einem Kreis mit einem Radius von 8 cm.
b) Miss und berechne die Höhe h eines
Dreiecks im regelmäßigen Fünfeck.
c) Berechne den Flächeninhalt dieses
regelmäßigen Fünfecks.
Aufgabe 20:
Ein Tennisball hat einen Durchmesser von 8 cm.
Die Firma Tennisass stellt diese Bälle her und
verkauft sie in einer Packung, in die sechs Bälle
verpackt sind. Die Verpackung ist ein Prisma mit einem regelmäßigen Achteck als
Grundfläche.
a) Skizziere die Grundfläche einer solchen Verpackung. Die Tennisbälle sollen gerade
hineinpassen.
b) Konstruiere die Grundfläche einer 1:1 und führe alle notwendigen Berechnungen
durch.
Übungen zur Kompetenz K7
Aufgabe 21:
Berechne die fehlenden Größen in den abgebildeten Dreiecken.
C
E
H
4,1 cm
44 °
D
4,9 cm
97 °
4,4 cm
109 °
41 °
K
F
38 °
B
A
8 cm
G
Aufgabe 22:
Berechne im spitzwinkligen Dreieck ABC die fehlenden Stücke. Fertige jeweils eine Planfigur
an.
a) a = 5,6cm b = 20,9cm γ = 82°
b) a = 2,5cm b = 2,4cm β = 47°
c) c = 5,6m b = 3,4m γ = 78°
Aufgabe 23:
Berechne die fehlenden Größen in den abgebildeten Dreiecken.
E
C
105 °
H
37 °
B
4,7 cm
4,1 cm
43 °
6 cm
K
116 °
39 °
8,4 cm
A
F
D
G
Aufgabe 24:
Berechne in den folgenden nicht rechtwinkligen Dreiecken die fehlenden Stücke.
1. b = 7cm; α = 123°; c = 12,5cm
2. a = 7 dm; b = 8,2dm; γ = 58°
3. c = 3,5cm; β = 78°; a = 9,5cm
Übungen zur Kompetenz K8
Aufgabe 25:
Ein Heißluftballon wird von zwei Standpunkten aus,
die 245 m auseinander liegen, unter den Höhenwinkeln
38° und 52° angepeilt. Welche Höhe hat die Gondel
des Heißluftballons über dem Gelände?
Aufgabe 26:
Um die Entfernung zwischen zwei
Geländepunkte A und B zu bestimmen,
wird im Geländepunkt B eine Messlatte
aufgestellt. Am Theodoliten wird der Winkel
α = 2,7° gemessen. Der Theodolit hat eine
Standhöhe von 1,70 m. An der Messlatte
wird die Entfernung BH = 2,25 m gemessen.
Bestimme die horizontale Entfernung vom
Punkt A nach B.
245 m
Aufgabe 27:
Um die Länge eines Sees zu bestimmen wird auf einer gradlinigen Straße eine Strecke
AB = 340m abgesteckt. Von den Messpunkt A und B werden jeweils zwei Winkel zu den
Peilpunkten C und D bestimmt.
a) Trage die gemessenen Winkel in die Skizze ein.
b) Zeichne die zu bestimmende Strecke CD ein
c) Bestimme mit diesem Messungen die Länge des Sees in mehreren
Rechenschritten
D
C
BAD 32°
BAC 92 °
ABC 28 °
ABD 95 °
A
340 m
B
Test 1:
Aufgabe 1:
Berechne die fehlenden Größen in den dargestellten Dreiecken.
Aufgabe 2:
Aufgabe 3:
Test 2:
Aufgabe 1:
Berechne die fehlenden Größen in den dargestellten Dreiecken.
Aufgabe 2:
Aufgabe 3: