Rekapitulation:Stammfunktionen, Differentialformen, Wegabhängigkeit

Rekapitulation: Stammfunktionen,
Differentialformen, Wegabhängigkeit
Roman Wienands
Sommersemester 2010
Mathematisches Institut
der Universität zu Köln
Roman Wienands (Universität zu Köln)
Mathematik II für Studierende der Chemie
Sommersemester 2010
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Totales Differential für n = 1
Bei einer Funktion y = f (x) von einer Veränderlichen vereinfacht sich
das totale Differential zu
dy = f 0 (x) · dx .
Sei umgekehrt eine stetige Funktion g(x) gegeben. Aufgrund des
Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung existiert dann
immer eine Funktion v = u(x) mit
dv = g(x) · dx .
Hierbei sind u(x) =
Rx
a
g(t) dt und g = u 0 .
Bei u handelt es sich also um die klassische Stammfunktion von g, die
bei vorausgesetzter Stetigkeit von g durch Integration einer Funktion
von einer Veränderlichen immer konstruiert werden kann.
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Definition: Stammfunktion (n > 1)
Gegeben sei ein Vektorfeld ~f (~r ). Eine Funktion F (~r ) heißt
Stammfunktion von ~f , wenn
 ∂F 
~
∂r1 (r )
∂F

~
~ (~r ) =  .. 
(~r ) = fi (~r ) ⇒ ∇F
.  = f (~r ) .
∂ri
∂F ~
∂rn (r )
~ (~r ) bezeichnet man den Gradienten der Funktion F .
Mit ∇F
Die lineare Differentialform
~f · dr
~ = f1 dr1 + · · · + fn drn
(= dF !?)
heißt vollständig bzw. exakt, wenn es zu ~f eine Stammfunktion F gibt.
~f · dr
~ ist dann das totale Differential dF der Funktion F .
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Kriterium für die Existenz einer Stammfunktion
Von einem gegebenen Vektorfeld ~f (~r ) seien alle
Komponentenfunktionen fi (i = 1, . . . , n) auf einem einfach
zusammenhängenden Gebiet stetig differenzierbar.
~f (~r ) besitzt genau dann eine Stammfunktion F bzw. die lineare
~ ist genau dann exakt bzw. vollständig, wenn
Differentialform ~f · dr
∂fi
∂fk
=
∂rk
∂ri
(i, k = 1, . . . , n) .
Notwendigkeit bzw. “⇒”:
∂fi
∂ 2 F Satz von Schwarz ∂ 2 F
∂fk
=
=
=
∂rk
∂rk ∂ri
∂ri ∂rk
∂ri
(i, k = 1, . . . , n) .
Man spricht dann von einem konservativen Vektorfeld bzw. von einem
Potentialfeld.
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Satz: Verknüpfung der Begriffe exakte
Differentialform, Stammfunktion, Wegunabhängigkeit
Unter geeigneten (s.o.) Voraussetzungen sind folgende Aussagen
äquivalent:
1
~ ist exakt bzw. vollständig.
Die lineare Differentialform ~f (~r ) dr
2
Das Vektorfeld ~f (~r ) hat eine Stammfunktion.
3
∂fi
∂rk
4
5
=
∂fk
∂ri
(i, k = 1, . . . , n) .
Das zugehörige Wegintegral über eine geschlossene Kurve
verschwindet, d.h.
I
~f (~r ) dr
~ =0 .
Das Wegintegral über ~f (~r ) ist wegunabhängig.
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Zum Beweis des Satzes verwendet man die
verallgemeinerte Kettenregel (vgl. Abschnitt 2.4)
Die verallgemeinerte Kettenregel läßt sich auf Funktionen von mehr
als zwei Veränderlichen erweitern.
Für Funktionen von drei Veränderlichen
u = f (x, y , z) = f (x(t), y (t), z(t) ergibt sich
du
∂u dx
∂u dy
∂u dz
=
+
+
.
dt
∂x dt
∂y dt
∂z dt
Ganz analog erhält man für Funktionen von n Veränderlichen
u = f (x1 , x2 , . . . , xn ) = f (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)):
du
∂u dx1
∂u dx2
∂u dxn
=
+
+ ··· +
.
dt
∂x1 dt
∂x2 dt
∂xn dt
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Anwendung: Thermodynamik
Thermodynamische Größen werden mit Wegintegralen berechnet.
Unterscheide:
Zustandsfunktionen: Größe z hängt nur vom Endzustand des
Systems nicht von der Historie (Weg) ab. Zur rechnerischen oder
experimentellen Bestimmung von z kann ein bequemer Weg
ausgewählt werden. Änderungen in den Zustandsfunktionen
können mit exakten linearen Differentialformen identifiziert
werden.
Beispiele: Druck p, Volumen V , innere Energie U.
Prozessfunktionen: Größe hängt nicht nur vom Endzustand
sondern auch von der Historie ab.
Beispiel: Wärmemenge Q.
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Anwendung: Thermodynamik
Betrachte ein ideales Gas:
J
J
, CV = 12.5
.
K mol
K
Gesucht: Wärmemenge Q bei isochorer Erhitzung von 300 K auf 500
K und anschließender isothermer Ausdehnung von 75 l auf 125 l.
pV = nRT
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mit
R = 8.3
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Anwendung: Thermodynamik
8. Übung: Aufgabe 2
Vergleich der Zustandsfunktion “innere Energie” (führt auf eine
exakte lineare Differentialform) mit der Prozessfunktion “Wärme”
(liefert keine exakte lineare Differentialform).
9. Übung: Aufgabe 3
Bestimmung des Wirkungsgrades (Nutzeffekts) des Carnotschen
Kreisprozesses mit Hilfe von Wegintegralen über die
Prozessfunktion “Wärme” und die Zustandfunktion “innere Energie”.
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