¨Ubungen zu Integrierter Kurs II - Festkörper und Statistische Physik

Fakultät für Physik
Prof. Milena Grifoni, Prof. Jascha Repp
WS 2014/15
Übungen zu Integrierter Kurs II - Festkörper und Statistische Physik
Blatt 11 (10.12.2014)
Übungsleiter:
Prof. Jascha Repp (1.1.24, phone 4201)
Dr. Magdalena Margańska-Lyżniak (3.1.22, phone 2042)
(experiment)
(theory)
Part I: Theory
1. Occupation number representation
Let us consider a fermionic system with two single particle states |αi and |βi that
span the (two-dimensional) one-particle Hilbert space.
(a) What is the dimension of the two-particle Hilbert space? What is the dimension
of the Fock space? Write down the basis of the Fock space explicitly as Slater
determinants of the wave functions φα (r), φβ (r) and in the occupation number
representation.
(2 Points)
(b) Calculate, in the Fock basis, the matrix representation of the creation and
annihilation operators ĉµ , ĉ†µ (µ = α, β) and also of the occupation operators
n̂i = ĉ†µ ĉµ .
(2 Points)
(c) Using explicitly the matrix multiplication of the matrices calculated in (b),
calculate the anticommutator relations
h
i
h
i
[ĉµ , ĉν ]+ = ĉ†µ , ĉ†ν = 0;
ĉµ , ĉ†ν = δij
+
+
(2 Points)
2. A system of interacting fermions
Consider a Hamiltonian operator
Ĥ = T̂ + V̂ ,
where T̂ is a one-body operator and V̂ a two-body one. Remember that in second
quantization one and two body operators are respectively written as
T̂ =
X
λ,µ
ĉ†λ hλ| t̂ |µiĉµ ,
V̂ =
1 X † †
ĉλ ĉµ hλ|hµ| v̂ |λ0 i|µ0 i ĉµ0 ĉλ0 ,
2
0 0
λµλ µ
where {|λi} represents a generic single particle basis and ĉ†λ the corresponding creation operator. For the (first quantization) matrix element in the two body operator
we adopt the convention
Z
0
0
hλ|hµ| v̂ |λ i|µ i ≡ dr1 dr2 φ∗λ (r1 )φ∗µ (r2 ) v(r1 , r2 ) φλ0 (r1 )φµ0 (r2 ).
With respect to the single particle basis {|αi, |βi} the (first quantization) matrix
elements are:
hα|t̂|αi = hβ|t̂|βi = ;
hα|t̂|βi = hβ|t̂|αi = t
hα|hβ| v̂ |αi|βi = U ;
hα|hβ| v̂ |βi|αi = J.
The other two-body matrix elements follow using the definitions above.
(a) Write the operator Ĥ in second quantization and in the matrix representation
(starting from the single particle basis introduced). Calculate the eigenvalues
and eigenvectors for Ĥ.
(2 Points)
(b) Again, write Ĥ in the second quantization, but this time as a single particle
basis use the eigenvectors of T̂ . What is the connection between these creation
and annihilation operators and those considered in part (a) and in 11.1? Is this
a unitary transformation?
(2 Points)
Part II: Experiment
1. De-Haas-van-Alphen-Effekt
Wie in der Vorlesung besprochen, ändert sich bei starken Magnetfeldern die Zustandsdichte aufgrund der Quantisierung in Landauniveaus. Das führt dazu, dass
viele experimentelle Messgrößen in Abhängigkeit der externen Magnetfeldstärke Oszillationen zeigen. Eine dieser oszillierenden Größen ist die Magnetisierung der Probe, was als de-Haas-van-Alphen-Effekt bekannt ist. Machen Sie die nachfolgenden
Schritte jeweils für ein zwei- und ein dreidimensionales freies Elektronengas. Bestimmen Sie zunächst die Zustandsdichte als Funktion der Energie. Berechnen Sie
die Gesamtenergie E des Elektronengases. Wie hängt die Magnetisierung der Probe mit der Ableitung ∂E/∂B zusammen und warum? Welche Größen müssen bei
der partiellen Ableitung konstant gehalten werden? Bestimmen Sie schließlich die
oszillierende Magnetisierung der Probe.
2. Wasserstoffatom-Modell für Dotieratome im Halbleiter
Wie in der Vorlesung besprochen, kann man Dotieratome, die das Elektron oder
Loch nicht stark binden, im Wasserstoffatom-Modell beschreiben. Dazu wird das
umgebende Halbleitermaterial als Dielektrikum mit der entsprechenden Dielektrizitätskonstante berücksichtigt und die nächstliegende Band mit der entsprechenden
effektiven Masse m∗ als Vakuum“genähert.
”
(a) Stellen Sie die entsprechende Schrödingergleichung auf.
(b) Versuchen Sie, die Ortskoordinate und die Energie so zu skalieren, dass die
Schrödingergleichung seine ursprüngliche (reskalierte) Form des WasserstoffatomProblems erhält.
(c) Um welchen Faktor vergößert sich die Ausdehnung der Wellenfunktionen und
um welchen Faktor senken sich die Energieeigenwerte?
(d) Die Dielektrizitätskonstanten von Silizium und GaAs betragen Si ' 12 und
GaAs ' 13, die effektiven Massen der Elektronen mnSi ' 1 m0 , mnGaAs '
0.07 m0 , und die der Löcher mpSi ' 0.8 m0 , mpGaAs ' 0.5 m0 . Bestimmen Sie
daraus die typischen Bindungsenergieen von Dotierniveaus.
Integrierter Kurs II
Übungsblatt 11
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