Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II

Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II
Teil 9: Extremwertaufgaben
Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik
Sommersemester 2010/11
Internetseite zur Vorlesung:
http://www.mathematik.hu-berlin.de/˜neumann/
Didaktik der Mathematik der S II, Differentialrechnung
Sommersemester 2010/11
Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II
Extremwertaufgaben
Analytisches Standardverfahren
Öffnung des Standardverfahrens
Didaktik der Mathematik der S II, Differentialrechnung
Sommersemester 2010/11
Analytisches Standardverfahren
Für
welche
Lage
von
P wird der
Flächeninhalt
des
Rechtecks PQRS
maximal?
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Analytisches Standardverfahren
1. Zielfunktion mit Definitionsmenge:
I
I
Welche Größe ist zu optimieren?
Hauptbedingung abhängig von mehreren Variabeln
A(a, b) = (4 − a) · b
Elimination von Variabeln über: Nebenbedingung: b =
7 2
16 a
+2
2. Bestimmung der Extremstellen
über notwendige und hinreichende Bedingung
3. Untersuchung der Ränder des Definitionsbereichs
nach globalen Extremwerten
4. Interpretation auf Sachzusammenhang
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Analytisches Standardverfahren
7 2
Zielfunktion A(a) = (4 − a)( 16
a + 2) mit DA = [0; 4]
Die Fläche wird maximal mit 8 FE für a = 0, also für P(0|2).
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Analytisches Standardverfahren
Vorteile:
I
"[...] Stärke universeller Lösungsalgorithmen, nicht bei jedem
Einzelproblem in tiefes Nachdenken gestoßen zu werden."1
Nachteile:
I
Wenn das globale Maximum nicht gefunden werden kann,
(siehe Einführungsbeispiel!) ist der Algorithmus wenig sinnvoll.
I
Der Erfolg hängt vom Auffinden der Zielfunktion ab, schwache
Schüler sind hier überfordert.
I
Modellierung tritt in den Hintergrund
I
Elementares Verständnis des Problems wird vernachlässigt → G3
1
Danckwerts, Vogel: Analysis verständlich unterrichten, S. 186
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Öffnung des Standardverfahrens
1. Sinnliche Erfahrung
a) Isoperimetrisches Problem für Rechtecke:
Welches Rechteck hat unter allen umfangsgleichen Rechtecken den
größten Inhalt?
⇒ Funktionaler Aspekt: Welche Größe ist variabel? Welche ist fest?
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Öffnung des Standardverfahrens
Beispiel b) Falten einer Schachtel:
Größtes Volumen eines oben geöffneten Quaders bei gleicher
Oberfläche
⇒ Funktionaler Aspekt: Welche Größe ist variabel? Welche ist fest?
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Öffnung des Standardverfahrens
2. Empirisch-numerisches Vorgehen
Beispiel a) Isoperimetrisches Problem für Rechtecke:
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Öffnung des Standardverfahrens
Beispiel b) Falten einer Schachtel:
Werte ins Koordinatensystem eintragen lassen oder über dynamische
Software:
http://wiki.zum.de/Mathematik-digital/
Anwendungsbezogene_Extremwertaufgaben
⇒ Funktionaler Aspekt, Lösung (!) des Verfahrens näherungsweise
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Öffnung des Standardverfahrens
Beispiel c) Die optimale Dose:
Welche Abmessungen hat die zylindrische 0,33l-Dose
mit minimaler Oberfläche?
q
330
2
Zielfunktion: O(r) = 2(πr + r ) für r in cm und r ∈ [0; 330
π ]
Veranschaulichung gefunden bei:
http://www.unterrichtsportal-m-ph.de/Peter/
geogebra/geogebra3/
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Öffnung des Standardverfahrens
3. Anbieten elementarer Lösungen
Beispiel a) Isoperimetrisches Problem
Zielfunktion: A(x) = x · ( U2 − x) für die Seitenlänge x mit x ∈ [0; U]
Auffinden der Extremalstelle über das Vorwissen von Parabeln:
Extremstelle = arithmetisches Mittel der Nullstellen 0 und U2 .
Der maximale Flächeninhalt liegt also bei U4 .
⇒ Intuition und Testwerte werden durch Theorie bestätigt,
Zusammenhänge werden verdeutlicht.
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Öffnung des Standardverfahrens
Beispiel b)
Auf einer Geraden ist der Standort eines Punktes P so zu wählen, dass
die Summe der Entfernungen zu den Punkten A und B minimal wird.
p
√
Zielfunktion: Streckenlänge s(x) = (100 − x)2 + 802 + x2 + 402
für Strecke x = PD mit x ∈ [0; 100]
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Öffnung des Standardverfahrens
Beispiel b)
Spiegelung des Punktes B an der Geraden durch P und D:
Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ist eine Gerade!
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Öffnung des Standardverfahrens
Fazit:
Das Verständnis der Problemstellung und elementare
Lösungsstrategien sollten vorrangig betrachtet werden.
Der Einsatz des Standardschemas zum Lösen von
Optimierungsproblemen sollte für den Schüler ein Gewinn sein.
Es sollte also nur dann erfolgen, wenn Genauigkeit oder
Sachzusammenhang es erfordern.
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