¨Ubung (IV) zur Statistischen Physik Wintersemester 2012/13

Übung (IV) zur Statistischen Physik
Wintersemester 2012/13
HU-Berlin - Institut für Theoretische Biophysik
Abgabe bis Montag, 17.12.2012
Aufgabe 1 Master-liche Weihnachten
Wie wir bereits im Verlauf der Vorlesung gelern haben, ist die satistische Physik von
so unumgänglicher Wichtigkeit, dass sich niemand davor verstecken kann - nicht mal
der Weihnachtsmann.
Auf seinem Weg von Schornstein zu Schornstein folgt er nämlich unbewusst einem
Markov-Prozess, den wir hier etwas genauer betrachten (wollen).
Teil 1: Über Berliner Dächern Alle Berliner Kinder, deren Eltern nicht einen
finanziell ambitionierten Biophysik-Studenten als Weihnachtsmann mit Plastikbart engagiert haben, wissen natürlich um die baldige Ankunft ihrer heiß
ersehnten Barbie-Puppen und Justin-Bieber-CD’s. Sie gehen deshalb leise murrend ins Bett, nachdem sie einen Teller mit BIO-Vollkorn-Keksen vor den Kamin gestellt haben. Der Weihnachtsmann kann also erwarten, ein völlig leeres
Wohnzimmer mit biologisch abbaubaren Leckereien vorzufinden, die ihn mit
einer Wahrscheinlichkeit von p = 0.5 für die nächsten 10 min auf dem Schornsteinrand Sn beschäftigen. Genauso wahrscheinlich ist es aber, dass er sich
pflichtbewusst zum Dach des nächsten Hauses schwingt.
a) Unter welchen vorraussetzungen können wir diesen Prozess als MarkovKette beschreiben?
b) Formuliere die Mastergleichung für die Wahrscheinlichkeit den Weihnachtsmann auf einem bestimmten Schornstein Sn sitzend anzutreffen
und benenne alle vorkommenden Terme. Eine Skizze der dahinter liegenden Markov-Kette wäre überaus festlich.
Teil 2: Metropolis, Illinois Während einer 10-minütigen Markov-Adventure-Verweilpause in seiner Lieblings-Kleinstadt Berlin erhält der Weihnachtsmann
einen Notruf aus seinem fernen Hauptquartier im Erzgebirge (1 ). Der Aufenthaltsort eines (hier anonym bleibenden) Most-Wanted2 ist seinen Wichteln
bekannt geworden und befindet in der nordamerikanischen Pampa. In seinem
1
Kinder, der Nordpol ist eine glatte Lüge und bloßes Ablenkungsmanöver!!
Background story: Über das Jahr hinweg ist er bei seinen Good/Bad -Recherchen auf einen
verwegenen Trickbetrüger in den Vereinigten Staaten gestoßen, der ihm seither ein Dorn im Auge
ist. Dieser Scharlatan gibt sich für einen unbescholtenen Bio-Physiker aus und räumt einen Nobelpreis nach dem anderen ab ... was er dabei verbirgt: Er ist in Wirklichkeit ein Außerirdischer
Super-GFP-Abhängiger, der seine Kräfte zu diesen Missetaten missbraucht.! PFUI!!!
2
“Lab of Solitude” plant der Bösewicht seinen nächsten Coup. Eine Konfrontation ist unvermeidlich!
Der Weihnachtsmann sendet eine Special-Force-Population von Super-Wichteln
(W ) aus, die darauf trainiert sind Super-Fiesewichte zur Strecke zu bringen.
XXXXXman sieht, dass er ohne einen guten Einfall verlieren wird und inspiriert von der schier endlos wachsenden Zahl guter Biophysik-Studenten beginnt er, sich zu klonen (S). Unabdingbar ist hierbei natürlich Super-GFP
(SUGF P ) als Treibstoff des Klonfermenters (Glg. 1). In diesen Zusammenhang
hat der Wicht jedoch übersehen, dass Kampf-Wichtel sich naturgemäßnur von
geklonter Materie ernähren (Glg. 2). Dem exponentiellen Wachstum der Wichtelpopulation wirkt nur die Abbaurate k3 entgegen, die sich aus der Anzahl
der verzogenen Yuppie-Kinder berechnet, die pro Minute den Glauben an die
Wichtel verlieren (Glg. 3).
Zusammenfassen können wir also formulieren:
k
1
S + SUGF P −
→
2 S,
k2
S+W −
→ 2 W,
k
3
W −
→
∗ plop ∗
(1)
(2)
(3)
Auch diese dramatische Auseinandersetzung lässt sich wieder als MarkowProzess beschreiben.
a) Wie würde ein ODE-system der beiden Parteien für diesen Fall aussehen?
b) Stellen Sie die Master-Gleichung für den epischsten Kampf des Jahrhunderts auf! (Keine Angst, Sie müssen diesen Konflikt nicht lösen.)
Im Anhang (Abbildung 1) finden Sie verschiedene Beispiele des Prozesses.
Teil 3: Morgenröthe-Rautenkranz, Erzgebirge Über ein altes Radio verfolgt
der Weihnachtsmann das Geschehen in der Pampa und muß dabei feststellen,
dass die Reichweite seiner veralteten Technik leider zu schlecht ist und er nur
“noise” hören kann. Dennoch entspannt ihn der an modernes Elektro der älteren Berliner Kinder erinnernde Sound außerordentlich und er beschließt, spontan einzuschlafen. Um dies zu erreichen, beginnt der Weihnachtsmann statt
Schafen oder Wichteln die Ankunft der Elektronen (welche den sog. “shotnoise” erzeugen) an der Anode zu zählen3 . Die Elektronen im Gerät kommen
unabhängig voneinander an und verhalten sich dabei wie in Abbildung 2, Anhang. Betrachtet der Weihnachtsmann die Anzahl der Elektronen n die zum
Zeitpunkt t angekommen sind als eine statistische Größe die mit der Wahrscheinlichkeit P (n, t) beschrieben wird, so kommt ihm beim Einschlummern
die Annahme der unabhängigen Ankunft sicher wage als Markov-Annahme in
Erinnerung. Er schließt daraus, dass die Wahrscheinlichkeit für die Ankunft
eines Elektrons im Zeitintervall [t, t + 4t] unabhängig von t und n ist und
nur von 4t abhängen kann. Voll des Glühweins wählt er eine Konstante λ und
3
Jaaa, sein Weihnachtsmanngehör kann das! Er hört ja auch die Flöhe husten und die bösen
Kinder ihre Untaten begehen.
schreibt in seinem schläfrigen Kopf die Übergangswahrscheinlichkeit für diesen
“pure-birth”-Prozess als
P rob(n → n + 1, in4t) = λ4t
Weiter kommt er leider nicht, aber er hat auch das Einschlafen noch nicht
geschafft. Das ruft nach studenti... ääääh Wichtel-Hilfskräften:
a) Stellen Sie die Mastergleichung des Prozesses auf, um dem Weihnachtsmann das Einschlafen zu erleichtern.
b) Wie lautet die erzeugende Funktion für die Mastergleichung?
c) Lösen Sie diese mit der Annahme, dass zum Zeitpunkt t = 0 kein Elektron
angekommen ist (P (0, 0) = 1 und P (n, 0) = 0 ∀n ≥ 1).
d) Wie heißt die Verteilung P (n, t) aus dem vorhergehenden Schritt?
Die Schneeflocken fallen, eine Seifener Pyramide dreht sich friedlich in ihrem ewigen Kreis, der Weihnachtsmann schlummert daneben selig den Schlaf
der Geschafften und irgendwo draußen in den kalten Weiten der GFP-losen
Eiswüste kapituliert ein armer Nobelpreisträger beim Anblick von zweitausend gefrässigen Zwergen, setzt seine Brille ab, zieht sich Strumpfhosen an,
hängt sich einen Vorhang um die Schultern, nennt sich fortan “Superman”
und rettet die Welt nur noch auf ehrliche Art und Weise.
Aufgabe 2 Erzeugende Funktionen
a) Leite die erzeugende Funktion G(s) =
PN
n=0
sn P (n) der Poissonverteilung
λn −λ
e
n!
her und berechne mit ihrer Hilfe Mittelwert und Varianz.
P (n) =
b) Gegeben sei die erzeugende Funktion
G(s) =
p
.
1 − s(1 − p)
Wie kann diese genutzt werden um die Wahrscheinlichkeiten für P (n = 1), P (n =
2) usw. zu berechnen? Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung würdest du aufgrund deiner so berechneten Wahrscheinlichkeitswerte vermuten?
c) In der Vorlesung wurden bis jetzt die Vorteile und Anwendung von charakteristischen Funktionen, erzeugenden Funktionen und der Fouriertransformation
eingeführt.
Stelle hier vergleichend das mathematische Konzept, Eigenschaften und den
Anwendungsbereich dieser Methoden gegenüber. (Am Besten gefallen uns Tabellen.)
Anhang
Zu Teil 2:
Beispiele für den Prozess des gemeinhin bekannten und ebenso beliebten “XXXXXmanWichtel”-Kampfes (1932, copyright by RTL-0.2) sowie an Wände prallende Elektronen:
Abbildung 1: a) Lösung der deterministischen Gleichung (Erstellung: Ihre Aufgabe!). b) Daten für den Prozess, erhoben 1932 von der lokalen Statistikbehörde Nordpol e.V. - (Angaben werden in tausend Stück gegeben.)
Zusatzaufgabe: Welchen Fehler könnte die Behörde bei der Auswertung der Daten gemacht haben? c) Stochastische Simulation mithilfe
der bald von Ihnen gefunden sein werdenden Gleichungen.
Zu Teil 3:
Abbildung 2: Illustration von “shot-noise”: Identische Pulse erreichen unabhängig
die Anode an zufälligen Zeitpunkten.