Circunferência e círculo - Professor Clayton Palma

Circunferência e círculo
A evolução da humanidade foi acelerada por algumas descobertas e
invenções.
Entre elas, podemos citar a imprensa de Johannes Gutenberg (1400-1468), na
Alemanha, por volta de 1450, que permitiu a disseminação dos conhecimentos
em maior escala, por intermédio dos livros.
Outras invenções, tais como a bússola, que facilitou as Grande Navegações, e
a máquina a vapor, que permitiu a incrementação das ferrovias, possibilitaram
uma considerável evolução do conhecimento humano.
Circunferência
Se O é um ponto do plano e r um número real positivo, chama-se
circunferência de centro O e raio r o lugar geométrico dos pontos do
plano que estão à distância r do ponto O.
A
B
P
r
r
r
r
O
r
r
E
D
C
Elementos
P
A
O
r
r
O
Q
Corda PQ
C= 2π
πr
Diâmetro AB
D = 2r
B
Elementos
B
Arco AMB
N
M
A
Arco ANB
Arcos e ângulos
A≡B
arco completo
A≡B
arco nulo
Arcos e ângulos
B
O
Arco de meia volta
(Semicircunferência)
A
Círculo
O conjunto constituído por uma circunferência e
pelos pontos interiores a ela é chamado círculo ou
disco.
O
r
Área do Círculo
2
Área: é dada por: S = πR
R
=>
2πR
S = 2 πR.R
2
2
=> S = πR
Posições relativas de ponto e
circunferências
P
O
r
B
A
O ponto A é interno à circunferência
dOA < r
O ponto B pertence à circunferência
dOB = r
O ponto P é exterior à circunferência
dOP > r
Posições relativas de reta e
circunferências
r é tangente à circunferência
dOP = r
r
r
P
⇔
O
r e a circunferência têm um único
ponto comum.
Posições relativas de reta e
circunferências
A
P
B
s é secante à circunferência
dOP < r
O
⇔
s
s e a circunferência têm dois
pontos comuns.
Posições relativas de reta e
circunferências
t é exterior à circunferência
dOP > r
⇔
O
P
t
t e a circunferência não têm
ponto comum.
Propriedades da reta tangente à
circunferência
Uma reta é tangente a uma circunferência
se, e somente se, ela é perpendicular ao
raio no ponto de tangência.
r
O
r
P
Por um ponto de uma circunferência, podese traçar uma única tangente a essa
circunferência.
Propriedade da reta secante à
circunferência
Uma reta secante que passa pelo centro da
circunferência é perpendicular a uma corda
se, e somente se, divide essa corda ao meio.
s
B
O
M
A
s ⊥ AB por O ⇔ AM = MB
Consequência
Um diâmetro perpendicular a uma corda
divide essa corda ao meio.
C
B
O
M
D
A
CD ⊥ AB por O ⇔ AM = MB
Posições relativas de duas
circunferências
C2
C1
A
R
r
B
C1 é externa C2
Todos os pontos de C1 são
externos a C2
⇔
dAB > r + R
Posições relativas de duas
circunferências
C2
C1
B
A
R
r
P
C1 e C2 são tangentes externamente em P
C1 e C2 têm um só ponto comum
e não têm ponto interior comum
⇔
dAB = r + R
Posições relativas de duas
circunferências
C2
C1
B
A
r
R
C1 e C2 são secantes
Têm dois pontos comuns
⇔
R – r < dAB < R + r
Posições relativas de duas
circunferências
C2
C1
P
A
B
C1 e C2 são tangentes
internamente em P
Têm um só ponto comum e os
demais pontos de C1 são
interiores a C2
⇔
dAB = R – r
Posições relativas de duas
circunferências
C2
C1
A
B
C1 é interna a C2
Todos os pontos de C1 são
interiores a C2
⇔
0 ≤ dAB < R – r
Ângulos na circunferência
Ângulo central
Chama-se de ângulo central de uma circunferência todo
ângulo que tem como vértice o seu centro.
B
C
β O α
D
γ
A
E
F
A cada ângulo central corresponde
um arco, interseção do ângulo com
a circunferência.
Ângulo central
Um ângulo central tem a mesma medida do arco
correspondente.
A
AÔB é ângulo central
O
α
m(AÔB) = m(AB) = α
B
Unidade de ângulo e arco
Representação
Medida em
graus
Arco
completo
360º
Arco de
meia
volta
180º
Arco de
¼ de
volta
90º
Arco nulo
0º
Ângulo Inscrito
Chama-se ângulo em uma circunferência todo ângulo cujo
vértice é um de seus pontos e cujos lados são secantes a ele.
A
APB é ângulo inscrito
O
α
P
B
m(APB) = α =
AB
2
Ângulo Inscrito - Propriedade
Ângulos inscritos em um mesmo arco são congruentes.
Q
P
R
Os ângulos inscritos de vértices
P, Q e R são congruentes
B
A
m(APB) = m(AQB) = m(ARB) =
AB
2
Ângulo Inscrito - Propriedade
Todo ângulo inscrito numa semicircunferência é reto.
M
N
A
B
P
AB diâmetro da circunferência, os
ângulos de vértices M, N e P são
retos, porque o arco AB mede 180o.
Ângulo Inscrito - Propriedade
Todo triangulo inscrito numa semicircunferência e
retângulo.
M
r
A
r
r
B
Como conseqüência a mediana
relativa a hipotenusa tem medida
igual a metade da hipotenusa.
Conexão
Para você fazer – p. 45
A área circular da praça é de
S =πR² = 3,14 . 35² = 3846,5 m².
Como a cada m deveriam estar
quatro pessoas, podemos multiplicar
a área circular da praça por 4 para
obter uma estimativa da quantidade
de pessoas presentes sobre a área
circular:
3846,5 . 4 = 15 386
Logo, aproximadamente 15 386
pessoas estariam presentes à
apresentação e sobre a área circular.
Para você fazer – p. 46
Em um círculo de centro O e raio
medindo 4 cm, considere um setor
circular de 30º e um triângulo AOB:
Área do setor circular(S seg )
área
π 42
S set
16π
S set
S set =
ângulo
→
→
=
360º
30º
360º
30º
4π
cm 2
3
Área do triângulo(Stri )
Área do segmento circular(S seg )
Sseg = S set − Stri
1
Stri = OA.OB.sen( AÔB)
4π
4π 12
− 4 → S seg =
−
Sseg =
2
3
3
3
1
4π − 12
4(π − 3)
Stri = 4.4.sen(30º )
→ Sseg =
Sseg =
3
3
2
4
Stri = 4cm2
Sseg = (π − 3)cm 2
3
Para você fazer – p. 49
α = 2β ⇒ β =
α
2
α
160º
β = → 5θ =
2
2
80º
5θ = 80º → θ =
5
θ = 16º
Para você fazer – p. 49
Para cada dois pontos escolhidos como vértices do triângulo, que são
também extremidades de um mesmo diâmetro, existem quatro opções
de escolha.
Por exemplo, se escolhermos os pontos M e N como dois dos três
vértices do triângulo retângulo (MN será a hipotenusa), existem quatro
opções para escolher o terceiro vértice: A, B, C ou D.
Mas podemos escolher a hipotenusa de três maneiras diferentes (AB,
CD ou MN).
Se para cada escolha da hipotenusa existem possibilidades, podemos
escolher o terceiro vértice de quatro maneiras diferentes.
Então existem 3 x 4 = 12 triângulos retângulos que podem ser
construídos com vértices nos pontos destacados.