Funktionsgleichungen bestimmen Polynome 1

Bernd Sumpf
Eichberg1 • 07987 Reudnitz 03661/435814 • [email protected]
Funktionsgleichungen bestimmen ­ Polynome
1.)
Bestimmen Sie die Gleichung eines Polynoms vierten Grades, von dem
folgendes bekannt ist:
Der Graph dieser Funktion hat einen horizontalen Wendepunkt W(0;­4).
Die Funktion hat bei P(­3;2,75) ein lokales Extremum.
2.)
Bestimmen Sie die Gleichung eines Polynoms dritten Grades, von dem
folgendes bekannt ist:
Der Graph dieser Funktion hat einen Wendepunkt W(0;­1).
Die Funktion hat bei P(1;­3) ein lokales Extremum.
3.)
Bestimmen Sie die Gleichung eines Polynoms vierten Grades, von dem
folgendes bekannt ist:
Der Graph dieser Funktion hat einen horizontalen Wendepunkt W(­2;4).
Die Funktion hat bei P(1;­2,75) ein lokales Extremum.
4.)
Bestimmen Sie die Gleichung eines Polynoms möglichst geringen Grades, von dem folgendes bekannt ist:
Die Funktion hat genau drei lokale Extremstellen bei x=­1, x=1 und x=3.
f(0) = 0;
f(1) = 1,75
Bernd Sumpf
Eichberg1 • 07987 Reudnitz 03661/435814 • [email protected]
Lösungen:
1.)
allgemeine Funktionsgleichung:
f(x) = a∙x4 + b∙x³ + c∙x² + d∙x + e f'(x) = 4∙a∙x³ + 3∙b∙x² + 2∙c∙x + d
f“(x) = 12∙a∙x² + 6∙b∙x + 2∙c
erste Bedingung: f(0)=­4 und f'(0)=0 und f“(0)=0
zweite Bedingung: f(­3)=2,75 und f'(­3)=0
Gleichungssystem:
a∙04+ b∙0³ + c∙0² + d∙0 + e = ­4
4∙a∙0³ + 3∙b∙0² + 2∙c∙0 + d = 0
12∙a∙0² + 6∙b∙0 + 2∙c = 0
a∙34 – b∙3³ + c∙3² – d∙3 + e = 2,75
4∙a∙(­3)³ +3∙b ∙3² + 2∙c∙3 + d = 0
//
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f(0)=­4
f'(0)=0
f“(0)=0
f(­3)=2,75
f'(­3)=0
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//
//
f(0)=­1
f“(0)=0
f(1)=­3
f'(1)=0
Lösung:
e = ­4
d = 0
c = 0
81∙a – 27∙b = 6,75
­108∙a + 27∙b = 0
a = ­0,25
b = ­1
f(x) = ­0,25∙x 4 ­ x³ ­4
2.)
a∙0³ + b∙0² + c∙0 + d = ­1
6∙a∙0 + 2∙b = 0
a∙1³ + b∙1² + c∙1 + d = ­3
3∙a∙1² + 2∙b∙1 + c = 0
d = ­1
b = 0
a + c = ­2
3∙a + c = 0
a = 1
c = ­3
f(x) = x³ – 3∙x ­1
Bernd Sumpf
3.)
Eichberg1 • 07987 Reudnitz 16∙a – 8∙b + 4∙c – 2∙d + e = 4
­32∙a + 12∙b ­ 4∙c + d = 0
48∙a – 12∙b + 2∙c = 4
a + b + c + d + e = ­2,75
4∙a + 3∙b + 2∙c + d = 0
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//
//
f(­2) = 4
f'(­2) = 0
f“(­2) = 0
f(1) = ­2,75
f'(1) = 0
a = 0,25
b = 1
c = 0
d = ­4
e = 0
f(x) = 0,25∙x 4 + 1∙x³ – 4∙x
4.)
Die erste Ableitung hat genau drei Nullstellen, ist also mindestens dritten
Grades.
Damit muss die eigentliche Funktion mindestens vierten Grades sein.
Wegen den Extremstellen muss die erste Ableitung die Form
f'(x) = k∙(x+1)∙(x­1)∙(x­3) haben // k ≠ 0 beliebig
ausmultipliziert ergibt sich
f'(x) = k∙(x³ – 3∙x² – x + 3) und damit für die Funktion:
f(x) = k∙(0,25∙x 4 – x³ ­ 0,5∙x² + 3∙x) + C
, // C ist irgendeine Zahl
Wegen f(0) = 0 gilt C = 0;
und wegen f(1) = 1,75 also k∙(0,25­1­0,5+3)=1,75
ist k=1
f(x) = 0,25∙x
4 – x³ ­ 0,5∙x² + 3∙x
/*
Nachdem man erkannt hat, dass die Funktion vierten Grades ist,
führt auch ein Gleichungssystem zum Erfolg:
­4∙a + 3∙b – 2∙c + d = 0
//f'(­1) = 0
4∙a + 3∙b + 2∙c + d = 0
//f'(1) = 0
108∙a + 27∙b + 6∙c + d = 0
//f'(3) = 0
e = 0
//f(0) = 0
a + b + c + d + e = 1,75
//f(1) = 1,75
*/