PONTOS NOTAVEIS NO TRIANGULO

PONTOS NOTAVEIS NO TRIANGULO
1. (Udesc) Observe a figura.
Sabendo que os segmentos BC e DE são paralelos, que o ponto I é incentro do triângulo
 é igual a 105°, então o segmento AC mede:
ABC e que o ângulo BIC
a) 5 2
b)
10 2
3
c) 20 2
d) 10 2
e)
20 2
3
2. (Ita) Em um triângulo isósceles ABC, cuja área mede 48cm2 , a razão entre as medidas da
altura AP e da base BC é igual a
2
. Das afirmações abaixo:
3
I. As medianas relativas aos lados AB e AC medem 97 cm;
II. O baricentro dista 4 cm do vértice A;
III. Se α é o ângulo formado pela base BC com a mediana BM, relativa ao lado AC, então
3
cos α =
,
97
é (são) verdadeira(s)
a) Apenas I.
b) Apenas II.
c) Apenas III.
d) Apenas I e III.
e) Apenas II e III.
3. (Unesp) Um aluno precisa localizar o centro de uma moeda circular e, para tanto, dispõe
apenas de um lápis, de uma folha de papel, de uma régua não graduada, de um compasso e
da moeda.
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Nessas condições, o número mínimo de pontos distintos necessários de serem marcados na
circunferência descrita pela moeda para localizar seu centro é
a) 3.
b) 2.
c) 4.
d) 1.
e) 5.
4. (Ufc) Na figura a seguir, temos dois triângulos equiláteros ABC e A'B'C' que possuem o
mesmo baricentro, tais que AB A'B', AC A'C' e BC B'C'. Se a medida dos lados de ABC é
igual a 3 3 cm e a distância entre os lados paralelos mede 2 cm, então a medida das alturas
de A'B'C' é igual a:
a) 11,5 cm
b) 10,5 cm
c) 9,5 cm
d) 8,5 cm
e) 7,5 cm
5. (Ufpi) No triângulo ABC (figura abaixo), os lados AB, AC e BC medem respectivamente 5
cm, 7 cm e 9 cm. Se P é o ponto de encontro das bissetrizes dos ângulos B e C e PQ//MB,
PR//NC e MN//BC, a razão entre os perímetros dos triângulos AMN e PQR é:
10
9
9
b)
8
7
c)
6
a)
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4
3
7
e)
5
d)
6. (Pucmg) Na figura, o triângulo ABC é equilátero e está circunscrito ao círculo de centro 0 e
raio 2 cm. AD é altura do triângulo. Sendo E ponto de tangência, a medida de AE, em
centímetros, é:
a) 2 3
b) 2 5
c) 3
d) 5
e)
26
7. (Unirio)
Na figura anterior, o triângulo ABD é equilátero, e seu lado mede 3m.; H é o ortocentro, sendo
que os pontos F e G são os pontos médios dos lados AD e BD , respectivamente. Quantos
rolos de fita adesiva serão necessários, no mínimo, para cobrir todos os segmentos da figura,
se cada rolo possui 1m de fita?
a) 18
b) 20
c) 22
d) 24
e) 26
8. (Unitau) O segmento da perpendicular traçada de um vértice de um triângulo à reta suporte
do lado oposto é denominado:
a) mediana.
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b) mediatriz.
c) bissetriz.
d) altura.
e) base.
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[D]
Considere a figura, com BC = 10 u.c.
 = 2β e CBA
 = α, BCA
 = 2θ. Como BC e DE são paralelos, tem-se que EDA
 = 2θ
Sejam BAC
 = 2β. Além disso, sendo BI e CI bissetrizes de CBA
 respectivamente, segue
 e BCA,
e DEA
 = β.
 = θ e BCI
que CBI

Portanto, sabendo que BIC
=
105°, do triângulo BCI, vem
 + CBI
 + BCI
= 180° ⇔ θ + β= 75°.
BIC
Agora, do triângulo ADE, temos
 + DEA
 + DAE
= 180° ⇔ 2(θ + β) + =
ADE
α 180°
⇔ α = 30°.
Finalmente, pela Lei dos Senos, aplicada ao triângulo ABC, vem
AC
BC
AC 10
=
⇔ =


1
2
senCBA senBAC
2
2
⇔ AC =
10 2 u.c.
Resposta da questão 2:
[A]
[I] Verdadeira. Sabendo que a área do triângulo ABC mede 48 cm2 e que AP=
2
⋅ BC, vem
3
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1
2
(ABC) = ⋅ BC ⋅ AP ⇔ 48 = ⋅ BC ⋅ ⋅ BC
2
2
3
⇔ BC =32 ⋅ 42
⇒ BC =
12cm.
Logo,
2
AP = ⋅ 12 =8 cm.
3
Como P é ponto médio de BC, é imediato, pelo Teorema de Pitágoras aplicado no
triângulo APC, que AB
= AC
= 10 cm.
Portanto, sendo M o pé da mediana relativa ao lado AC, tem-se
2
2
2
1
⋅ 2 ⋅ (AB + BC ) − AC
2
1
= ⋅ 2 ⋅ (102 + 122 ) − 102
2
= 122 − 25
BM =
= 97 cm .
[II] Falsa. De fato, sendo G o baricentro do triângulo ABC, temos
2
2
AG = ⋅ AP = ⋅ 12 =8 cm.
3
3
2
2 97
[III] Falsa. Sabendo que BM = 97 cm, vem BG = ⋅ BM =
cm. Assim, do triângulo BGP,
3
3
obtemos
=
α
cos
BP
6
=
=
BG 2 97
3
9
97
.
Resposta da questão 3:
[A]
Marcando três pontos na circunferência, determinamos os vértices de um triângulo inscrito na
mesma. O centro da moeda é o circuncentro do triângulo obtido.
Resposta da questão 4:
[B]
Resposta da questão 5:
[D]
Resposta da questão 6:
[A]
Resposta da questão 7:
[E]
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Resposta da questão 8:
[D]
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Resumo das questões selecionadas nesta atividade
Data de elaboração:
Nome do arquivo:
27/05/2015 às 08:04
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Legenda:
Q/Prova = número da questão na prova
Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro®
Q/prova Q/DB
Grau/Dif.
Matéria
Fonte
Tipo
1 ............. 138404 ..... Média ............ Matemática ... Udesc/2015 .......................... Múltipla escolha
2 ............. 129801 ..... Média ............ Matemática ... Ita/2014 ................................ Múltipla escolha
3 ............. 125101 ..... Média ............ Matemática ... Unesp/2013.......................... Múltipla escolha
4 ............. 47474 ....... Não definida .. Matemática ... Ufc/2002............................... Múltipla escolha
5 ............. 46927 ....... Não definida .. Matemática ... Ufpi/2000.............................. Múltipla escolha
6 ............. 23532 ....... Não definida .. Matemática ... Pucmg/1997 ......................... Múltipla escolha
7 ............. 23851 ....... Não definida .. Matemática ... Unirio/1996........................... Múltipla escolha
8 ............. 2055 ......... Não definida .. Matemática ... Unitau/1995.......................... Múltipla escolha
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