Matemática

Matemática
Atividades Adicionais
Módulo 1
1.A negação da sentença: existem números irracionais e
todos os naturais são racionais é:
Miletrês " Miledois: Se eu não sou o espião, então o
Mileum também não é.
a)Não existem números irracionais e nem todos os
naturais são racionais.
b)Todos os números não são irracionais, mas todos
os naturais são não irracionais.
c)Nem existem números irracionais e nem todos os
naturais são racionais.
d)Todos os números não são irracionais ou existem
naturais que não são racionais.
e)Existem números não irracionais ou todos os naturais não são racionais.
Determine quem é o espião, justificando seu raciocinio.
2.(IBMEC) Sabe-se que entre os agentes Mileum, Miledois e Miletrês do Serviço Secreto Vitruviano há um
espião (e apenas um). Esses três agentes trabalham
em equipe da seguinte maneira:
• Cada um deles recebe duas mensagens, que sempre são sentenças (ou seja, declarações que somente podem ser verdadeiras ou falsas);
• Cada mensagem vem endereçada a um dos outros dois membros da equipe;
• Assim, cada uma das duas mensagens deve ser
fielmente transmitida pelo agente que a recebeu
para os outros dois membros da equipe, cada uma
para seu destinatário.
Ainda não se sabe qual dos três é o espião, mas já foi
descoberto que o espião transmite sempre as negações das mensagens que ele recebe, no lugar das
sentenças originais. Dessa forma, para desmascará-lo foram enviadas seis mensagens verdadeiras para
os agentes, duas para cada um, que deveriam circular conforme o esquema anteriormente apresentado. A transmissão das informações entre os agentes
foi registrada a seguir:
Mileum " Miledois: Eu não sou o espião e Miletrês
também não é.
Mileum " Miletrês: Você não é o espião.
Miledois " Mileum: Se Miletrês não é o espião, então
o espião é você.
Miledois " Miletrês: Mileum é o espião.
Miletrês " Mileum: Miledois é o espião.
3.(IBMEC) Duas personalidades inseparáveis, Gollum e
Sméagol, dialogam de uma maneira bem peculiar:
• Gollum sempre inicia com uma declaração que
necessariamente é verdadeira ou falsa;
• Para cada declaração verdadeira proferida por
Gollum, Sméagol faz em seguida uma declaração
falsa e, para cada declaração falsa proferida por
Gollum, Sméagol faz em seguida uma declaração
verdadeira;
• Independente do que foi dito por Sméagol,
Gollum faz na sequência uma outra declaração
que é necessariamente verdadeira ou falsa, caso
queira continuar o diálogo.
Considere que no diálogo a seguir, "nós" sempre se
refere apenas a Sméagol e Gollum e que o "Mestre"
não é nenhum dos dois.
1)Gollum: Se nós arrancarmos o dedo do precioso,
então nós nunca mais morreremos.
2)Sméagol: Se nós nunca morreremos, então o Mestre é imortal.
3)Gollum: O Mestre é mortal, e estamos com o dedo
certo, com o do precioso.
4)Sméagol: O dedo que arrancamos é o do precioso,
nos vamos morrer, ou o Mestre é imortal.
Classifique cada uma das sentenças a seguir como
verdadeira ou falsa, justificando seu raciocínio.
p: Sméagol e Gollum arrancaram o dedo do precioso.
q: Sméagol e Gollum nunca mais morrerão.
r: O Mestre é imortal.
4.(PUC) Sendo A = {{1}, {2}, {1, 2}}, pode-se afirmar que:
a){1} z A
b){1} f A
c){1} + {2} j A
d)2 d A
e){1} , {2} d A
133
1
5.(FAAP) Analisando-se os resultados dos 112 alunos do 1 o- semestre de uma faculdade verificou-se
que 58 ficaram reprovados em matemática, 42
em informática e 31 foram reprovados em todas
as disciplinas. Quantos desses alunos ficaram reprovados nas duas disciplinas: matemática e informática?
a)15
b)19
c)23
d)25
e)39
n(A , B) = 12, n(A + B) = 5 e n (B − A) = 3. Nestas condições, n(A × B) é igual a:
a)21 c)40 e)72
10. Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e
B = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Sejam M = {(a; b)} d A × B  mdc
(a; b) = 2} e N = {(a; b) d A × B  b = 2a}. Determine:
a)N k Mb)
N,M
6.(UERJ) Considere um grupo de 50 pessoas que foram
identificadas em relação a duas categorias: quanto à
cor dos cabelos, louras ou morenas; quanta à cor dos
olhos, azuis ou castanhos. De acordo com essa identificação, sabe-se que 14 pessoas no grupo são louras
com olhos azuis, que 31 pessoas são morenas e que
18 têm olhos castanhos.
Calcule, no grupo, o número de pessoas morenas
com olhos castanhos.
11. (CESGRANRIO) Dados os conjuntos
1
A = 1, , {x d R  2 < x < 3}
2
e B = {x d R  1≤ x ≤ 2}, o gráfico de A × B é melhor
representado por:
a) 2
40% dos entrevistados Ieem o jornal A;
55% dos entrevistados Ieem o jornal B;
35% dos entrevistados Ieem o jornal C;
12% dos entrevistados Ieem os jornais A e B;
15% dos entrevistados Ieem os jornais A e C;
19% dos entrevistados Ieem os jornais B e C;
7% dos entrevistados Ieem os três jornais;
135 pessoas entrevistadas não Ieem nenhum dos
três jornais.
Considerando-se esses dados, é correto afirmar que o
número total de entrevistados foi:
•
•
•
•
•
•
•
•
b)1 500
d)1 350
8.(FGV) Para esta questão, considere a seguinte notação:
A' = complemento de A em relação ao universo U.
Sejam os conjuntos X, Y e Z. Qual das afirmações é
falsa?
a)Se x f Y f Z então (Z − Y) f (Z − X)
b)(X , Y) − Y = X − Y
c) X + X' = X.
d)Se X = Y’, então Y = X'.
e)(X , X') + (Y + Y') = 0
9.lndica-se por n (X) o número de elementos de um
conjunto X. Sejam os conjuntos A e B tais que
b)
2
1
1
1 3 2
2
c)
7.(UFMG) Em uma pesquisa de opinião, foram obtidos
estes dados:
a)1 200 c)1 250 b)36
d)56
3
1 3 2
2
3
1 3 2
2
3
2
d)
2
1
1
1 3 2
2
3
1 3 2
2
3
e) 2
1
12. (UNIFESP) Há funções y = f(x) que possuem a seguinte propriedade: “a valores distintos de x correspondem valores distintos de y".
Tais funções são chamadas injetoras.
Qual, dentre as funções cujos gráficos aparecem a
seguir, é injetora?
a)
y
c)
y
e)
y
1
b)
y
d)
y
x
1
x
1
x
1
x
1
x
133
2
13. (ESPM) O gráfico a seguir mostra uma reta que representa a função f(x), cuja inversa é f−1(x). O valor
de f−1(1) é:
c)
f(x)
2
1
y
1
–1
e)
2
d)
f(x)
2
1
2
3
x
1
2
3
x
–1
1
2
3
x
f(x)
2
1
–1
0
a)1
4
b)
3
2
c) 2
x
d)
18. (UNIFESP) Seja a função f: R " R, dada por f(x) = sen x.
5
2
e) 3
14. (AFA) Se f e g são funções de R em R definidas por
3x − 2
e g(x − 3) = 5x − 2, então f(g(x)) é:
f(3x + 2) =
5
b)
5x + 9
5
c)5x + 13
d)
5x + 11
5
e)
5x + 9
3
x
x−1
Então, f(f(x)) é sempre igual a:
a)x
b) −x
c) f(x)
2
2
e) f(x )
d)f(x)
16. (VUNESP) Considere as funções f(x) = 2x + 3 e
g(x) = ax + b. Determine o conjunto C dos pontos
(a; b) d R2 tais que f ο g = g ο f.
17. (FCC) O gráfico de uma função y = f(x) de domínio
real, periódica, de período 3, no intervalo [2; 5], é:
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
a)Qual é a sua produção até o meio-dia?
b)Qual é a sua produção durante a quarta hora de
trabalho?
x
No intervalo [−1; 1], o gráfico será:
b)
f(x)
1
1
–1
21. (UFMA) Dada a função f:[−2; + ∞ ] " [−4; + ∞ ) definida por f(x) = x2 + 4x:
f(x)
2
2
133
I. Toda função bijetora é uma função ímpar.
II. Toda função par é bijetora.
III. A função de R em R, definida por f(x) = ax + b, com
a, b ≠ 0, não é par, nem ímpar.
π π
IV. A função de [−1; 1] em − ; , definida por f(x) =
2 2
arc sen x, é impar.
a)São verdadeiras as afirmações I e II.
b)São verdadeiras as afirmações I e III.
c)São verdadeiras as afirmações II e IV.
d)São verdadeiras as afirmações III e IV.
e)São verdadeiras as afirmações I e IV.
20. (PUC) A produção diária de um certo produto, realizada por um determinado operário, é avaliada por:
Produção = 8 ⋅ x + 9 ⋅ x2 − x3 unidades, x horas após
às 8 horas da manhã, quando começa o seu turno.
f(x)
a)
()
19. (MACK) Considerando-se as afirmações a seguir, assinale a alternativa correta:
15. Para cada número real x ≠ 1, define-se f(x) por
f(x) =
1)A função f(x) é uma função par, isto é, f(x) = f(−x),
para todo x real.
2)A função f(x) é periódica de período 2π, isto é,
f(x + 2π) = f(x), para todo x real.
3)A função f(x) é sobrejetora.
π
π
4)f(0) = 0, f = 3 e f = 1
2
3
2
São verdadeiras as afirmações:
a)1 e 3, apenas.
b)3 e 4, apenas.
c)2 e 4, apenas.
d)1, 2 e 3, apenas.
e)1, 2, 3 e 4.
()
x−4
5
a)
Considere as afirmações seguintes:
1
2
3
x
–1
1
2
3
x
a)Esboce o gráfico cartesiano de f.
b)A função f admite a inversa? Em caso afirmativo,
calcule f−1(x).
3
22. Das representações gráficas a seguir, a que melhor representa o esboço do gráfico da função f: R − {2} " R
x 2 - 4x + 4
é:
definida por f(x) =
x-2
a)
b)
y
y
1
1
2
x
2
x
d)
y
1
2
e)
y
1
x
2
( )As raízes de f são −1 e 1.
( )O produto de f(3) e g(f(7)) é igual a 60.
( )O resto da divisão de f(g(x)) por g(x) é igual a −
–1
c)
27. Sejam f e g funções reais tais que f(g(x)) = x2 − 3x + 2
e g(x) = 2x − 3, para todo x d R. A partir dessas informações, considere as seguintes afirmativas,
atribuindo V para a(s) verdadeira(s) e f para a(s)
falsa(s):
x
y
( )Para todo x ≤ 3 tem-se que f(g(x)) ≤ 2.
a)F, F, V, F.
b)V, F, V, F.
c)F, V, V, F.
d)V, V, F, V.
e)F, V, F, V.
1
.
4
28. (FAAP) Dados os seguintes intervalos:
–1
A = [3, 6[ = { x d R, tal que 3 ≤ x < 6}
2
x
23. (FEI) Se A(x) = x2 − 1 e B(x) = 1 − x2, determine o domínio
e o conjunto imagem da função f(x) = A (x) + B (x) .
24. (FGV) seja f uma função de N* " R tal que
2 . f (n) + 1
f(n + 1) =
e f(1) = 2.
2
Nessas condições, f(101) é igual a:
a)49
b)50
c)51
d)52
e)53
25. Dizemos que (a, f(a)) é um ponto fixo do gráfico de
uma função real f : R " R se f(a) = a. Se f(x) = x2 + 8x + 6,
então a distância entre os pontos fixos do gráfico
de f é:
a)7
b)4
c)8
d)5
e)6
2
2
2
2
2
26. (UFSCar) Seja f: N " Q uma função definida por
x + 1, se x é impar
f(x) = x
,se x é par
2
Se n é impar e f(f(f(n))) = 5, a soma dos algarismos de
n é igual a:
a)10
b)9
c)8
d)7
e)6
B = ]2, 7] = { x d R, tal que 2 < x ≤ 7}
C = [2, 6[ = { x d R, tal que 2 ≤ x < 6}
em que R é o conjunto dos números reais, o intervalo (A , B) + (A , C) é igual a:
a)[2; 6]
b)[2; 6[
c) ]2; 6]
d)]2; 6[
e)n.r.a.
29. Se x = 1, 666..., o valor numérico da expressão
1
x2 + x
é:
1
x+ x −1
3
a) 5
b)
4
3
3
c) 8
d)
8
3
e)
5
3
p
6,888...
é a fração irredutível equivalente a
,o
q
2,444...
valor de p + q é:
30. Se
a)38
b)39
c)40
d)41
e)42
133
4
31. (FUVEST) Dados dois números reais a e b que satisfazem as desigualdades 1 ≤ a ≤ 2 e 3 ≤ b ≤ 5, pode-se
afirmar que:
a)
a 2
≤ b 5
a 2
b) ≥
b 3
c)
36. Um automóvel flex, que funciona com álcool e gasolina misturados em qualquer proporção, está
com meio tanque de combustível, com uma mistura de álcool e gasolina na proporção de 3 : 7. O motorista, então, completa o tanque colocando o restante com uma mistura de álcool e gasolina na
proporção de 3 : 5. A proporção final de álcool e
gasolina no tanque cheio é de:
1 a 2
≤ ≤ 5 b 3
1 a 1
d) ≤ ≤
5 b 2
e)
a)7, 6
b)8, 4
c)7
d)9, 5
e)9
3 a
≤ ≤5
2 b
32.(FATEC) sejam a e b números irracionais. Das afirmações:
I. a ⋅ b é um número irracional.
II.a + b é um número irracional.
III.a − b pode ser um número racional.
pode-se concluir que:
a)as três são faIsas.
b)as três são verdadeiras.
c)somente I e II são verdadeiras.
d)somente I é verdadeira.
e)somente I e II são falsas.
37. (MACK) Subtraindo
x
y
38. (FUVEST) Usando (1, 41)2 < 2 < (1,42)2, prove que:
50
< 6,3
6,1 <
1 + 50
1
39. (MACK) I. Se k +
Qual a posição do número xy?
II.( 3 + 5 +
a)À esquerda de 0.
b)Entre 0 e x.
c)Entre x e y.
d)Entre y e 1.
e)À direita de 1.
34. Sendo A =
3
3–
1
k3 + 3 = 3 2 .
k
5 )2 = 10
x 2 – 4x + 4
= x − 2
x –2
Relativamente às afirmações anteriores, é correto
afirmar que:
7+
7−
9,
A2 + B2 .
35. (MACK) Em uma promoção de final de semana, uma
montadora de veículos colocou à venda n unidades, ao preço único de R$ 20.000, 00.
2
No sábado, foram vendidos dos veículos, no do9
1
mingo, do que restou, e sobraram 300 veículos.
7
Nesse final de semana, se os n veículos tivessem
sido vendidos, a receita da montadora, em miihões
de reais, seria de:
133
1
= 3, então
k
III. Não existe x real tal que
10 - 2 6 + 3 8 e B =
calcule o valor de
12
, obtém-se:
7 +3
5
de
8–3 7
a) 81 − 4 7
b)22 + 21 7
c)−22 − 21 7
d)41 7 − 81
e)n.r.a.
33. (FUVEST) Na figura estão representados geometricamente os números reais 0, x, y e 1.
0
a)9 : 35
b)27 : 53
c)15 : 21
d)36 : 35
e)27 : 35
a)todas são verdadeiras.
b)todas são falsas.
c)somente I e II são verdadeiras.
d)somente I e Ill são verdadeiras.
e)somente II e Ill são verdadeiras.
a 2 + ab – ac – bc
,
40. (PUC) Simplificando a fração
2
a
–
ac
obtém-se:
a+b
a)ab − acb)
a
2
a + ab
a–c
c) a d)
c
e)a − b
5
41. (MACK) O valor da expressão
2 n + 4 + 2 n + 2 + 2 n–1
é:
2 n–2 + 2 n–1
a)1
b) 2n+1
3
c) 83
82
d) 3
e)n
a)370
b)380
c)400
d)410
e)440
42. (FATEC) Se os números reais x e y são tais que
x 3 + 2x 2 + x
, então y é igual a:
y= 3
x + 3x 2 + 3 x + 1
2
a) 7
x+2
b) x + 3
x+1
c) x + 3
x
d) x + 1
2x + 1
e) 3 (x + 1)
43. (FGV) A expressão
a)a−2 − b−2
b)a−2 + b2
c)a2 − b−2
d)a2 − b2
e)a−2 + b−2
a –4 – b –4
equivale a:
a –2 – b –2
a3 + b3 a3 – b3
44. A expressão d a + b nd a – b n (a ≠ ±b) é equivalente a:
a)a2 + 2ab + b2
b)a3 + ab − b3
c)a4 + b4
d)a4 + a2b2 + b4
e)a4 − a2b2 + b4
45. (FGV) Uma empresa, a título de promoção, tira fotocópias cobrando R$ 0,10 por folha, até um máximo
de 100 foIhas; o que exceder a 100 folhas, a empresa cobra R$ 0,08 por folha.
a)Se um cliente deseja tirar 200 fotocópias, qual o
preço total?
b)Chamando de y o preço total e x o número de fotocópias tiradas por um cliente, expresse y em
função de x.
46. (MACK) Em cada uma das salas de aula de uma escola existem 30 carteiras. Distribuídos os alunos da
escola nas salas, uma delas fica com exatamente 20
6
carteiras vazias e, as demais salas, totalmente ocupadas. Utiiizando 4 salas a menos, e acrescentando
10 carteiras em cada uma delas, todas ficam totalmente ocupadas. O número de alunos da escola é:
47. (FUVEST) Os estudantes de uma classe organizaram
sua festa de final de ano, devendo cada um contribuir com RS 135,00 para as despesas. Como 7 alunos deixaram a escola antes da arrecadação e as
despesas permaneceram as mesmas, cada um dos
estudantes restantes teria de pagar RS 27, 00 a mais.
No entanto, o diretor, para ajudar, colaborou com
R$ 630,00. Quanto pagou cada aluno participante
da festa?
a)R$ 136,00
b)R$ 138,00
c)RS 140,00
d)R$ 142,00
e)R$ 144,00
32
48. (FATEC) Sobre as raízes reais da equação x + x – 12 = 0,
é verdade que:
a)uma delas é o dobro da outra.
b)têm sinais contrários.
c)são maiores que 10.
d)não são inteiras.
e)são inexistentes.
49. (FAAP) Determine o valor de p para que as raízes da
p 2 + 4p
= 0 sejam reais e
equação x2 − (p + 1)x +
4
iguais.
50. (VUNESP) Um vaIor de m para o quaI uma das raízes
da equação x2 − 3mx + 5m = 0 é o dobro da outra é:
5
a)−
2
b)2
c)−2
d)−5
5
e)
2
51. Determine os valores de m para que a equação
(m + 1)x2 − 2mx + (m − 1) = 0 tenha uma raiz positiva
e outra negativa.
52. (UFMS) Considere os poIinômios p(x) = x2 − mx + 4 e
q(x) = x2 − 4x + n, onde m, n d R. Sabendo que p(x)
133
tem uma única raiz real e que uma das raízes de q(x)
é zero, considere as seguintes afirmações:
I.m + n = 4, se m > 0.
II.m − n = −4.
III.{0; 4} é o conjunto solução da equação q(x) = 0.
IV.A soma das raízes de p(x) é 4 ou −4.
V. Se p(1) = 9, então m = 4.
Somente estão corretas as afirmações:
a)I e II.
b)III, IV e V.
c)III e IV.
d)II, IV e V.
e)I, III e IV.
53. Resolva as equações seguintes (U = R):
a)x4 − x2 − 12 = 0
b)x6 − 28x3 + 27 = 0
54. . Determine as raízes da equação:
d x2 –
2
7
7
n − 1,25 d x 2 – x + 1 n + 0, 25 = 0
x
+
1
4
4
55. (FUVEST) Sejam x1 e x2 as raízes da equação 10x2 +
33x − 7 = 0. O número inteiro mais próximo do número 5x1x2 + 2(x1 + x2) é:
a)−33
b)−10
c)−7
d)10
e)33
61. Resolva o sistema:
x2 – 1
x –3 ≥0
x 2 – 4x + 3
≤0
x
62. (FUVEST) Três cidades A, B e C situam-se ao Iongo de
uma estrada reta; B situa-se entre A e C, e a distância
de B a C é igual a dois terços da distância de A a B.
Um encontro foi marcado por 3 moradores, um de
cada cidade, em um ponto P da estrada, Iocalizado
entre as cidades B e C e à distância de 210 km de A.
Sabendo-se que P está 20 km mais próximo de C do
que de B, determinar a distância que o morador de
B deverá percorrer até o ponto de encontro.
63. (FUVEST) No segmento AC, toma-se um ponto B de
BC
BC
AB
forma que AC = 2 AB ⋅ Então, o valor de AB é;
b)
a)V = {3, 5}
b)V = {x d R  −3 < x < 5}
c)V = {x d R  x ≠ −3 e x ≠ 5}
d)V = {x d R  x < −3 ou x > 5}
e)n.d.a
3 –1
2
c) 5 – 1
d)
e)
5 –1
2
5 –1
3
64. O ângulo agudo formado pelos ponteiros de um relógio às 8 horas e 56 minutos é:
57. (FAAP) Resolver a inequação (x2 − 5x + 6)(−x2 + 5x − 4) > 0.
x2 – x – 1
≥ 0.
x 2 – 3x
59. (FGV) Seja R o conjunto dos números reais. O conx –3
junto solução da inequação x – 2 ≤ x − 1 é:
a){x d R 1 ≤ x < 2}
b){x d R x > 2}
c){x d R x ≤ 1}
d){x d R x ≥ 2}
e){x d R x < 0}
2
1
a) 2
56. (PUC-C) No conjunto R, o conjunto verdade de
−x2 + 2x + 15 < 0 é:
58. (FUVEST) Resolver a inequação
4
x
− 3x + 9 ≤ 0, então:
3x – 27
a)x d ] −∞ ; −1] , [4; +∞ [
b)x d ] −∞ ; −3] , [−1; 3[ , [4; +∞ [
c)x d ]−∞ ; −4] , [−3; 1] , ]3; +∞ [
d)x d ]; −3; −1] , ]3; 4]
e)n.r.a
60. (FATEC) Se
a)60° c)68° e)82°
b)64°
d)72°
65. (FUVEST) No retângulo a seguir, o valor, em graus,
de a + b é:
40°
a)50 b)90
c)120 d)130
e)220
133
7
66. (INSPER) Na figura a seguir:
•os segmentos AF e BF são congruentes;
•a soma das medidas dos ângulos ∠BĈ E, ∠AD̂ E e
∠CÊD totaliza 130°.
E
A
69. (PUC-C) O triângulo ABC é isósceles (AC = BC). AO,
BO, CO são bissetrizes respectivamente dos ângulos
Â, B̂ e Ĉ . Sendo AÔB = 130°, então:
C
B
O
F
C
A
D
a)AĈO + B̂ = 90°
b)Â = 65°, B̂ = 65º, Ĉ = 50°,
c)AÔC = 135°
d)OĈB = 60°
e)n.r.a.
Nessas condições, o ângulo ∠DÂB mede:
a)25°
b)30°
c)35°
d)40°
e)45°
67. (UFT) Na figura a seguir, os comprimentos dos Iados
AB e BC do triângulo ABC são iguais.
A
70. (FUVEST) Na figura a seguir, o Iado de cada quadrado da malha quadriculada mede 1 unidade de comDE
primento. Calcule a razão BC .
B
125°
145°
B
A
C
165°
F
E
D
O valor do ângulo a na figura é:
a)18°
b)20°
c)25°
d)22°
e)17°
C
B
68. Na figura a seguir, o triângulo ADE é equilátero e
AD = BD.
A
71. (VUNESP) Um obelisco de 12 m de altura projeta,
num certo momento, uma sombra de 4, 8 m de extensão. Calcule a distância máxima que uma pessoa
de 1, 80 m de altura poderá se afastar do centro da
base do obelisco, ao Iongo da sombra, para, em pé,
continuar totalmente na sombra.
72. (FUVEST) Na figura, os ângulos assinalados são retos. Temos necessariamente:
E
B
D
C
y
Além disso, o triângulo ABC é isósceles de base BC. A
medida do ângulo a é:
a)25° b)30°
c)35° d)40°
e)45°
8
m
x
p
p
x
a) y = m x
m
b) y = p
c)xy = pm
1
1
1
1
e) x + y = m + p
d)x2 + y2 = p2 + m2
133
73. (FUVEST) No triângulo acutângulo ABC, a base AB
mede 4 cm e a altura relativa a essa base também
mede 4 cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e
N pertencem ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q,
ao lado AC. O perimetro desse retângulo, em cm, é:
C
Q
A
a)4
b)8
c)12
d)14
e)16
76.O mapa de uma região utiliza a escala de 1: 200 000.
A porção desse mapa, contendo uma Área de Preservação Permanente (APP), está representada na
figura, na qual AF e DF são segmentos de reta, o
ponto G está no segmento AF, o ponto E está no
segmento DF, ABEG é um retângulo e BCDE é um
trapézio. Se AF = 15, AG = 12, AB = 6, CD = 3 e
DF = 5 5 indicam valores em centímetros no
mapa real, então a área da APP é:
P
M
N
B
74. (FUVEST) No retângulo ABCD da figura tem-se CD = l
e AD = 2l. Além disso, o ponto E pertence à diagonal BD, o ponto F pertence ao lado BC e EF é perpendicular a BD.
F
B
1
BD
Sabendo-se que AD = 2 , podemos concluir que
BD
BC é igual a:
1
a) 3 b) 2
1
c) 2 d) 3
e)n.r.a.
G
A
F
E
B
C
C

B
D
Obs.: figura ilustrativa sem escala
a)100 km2
b)108 km2
c)210 km2
A
D
2
Sabendo que a área do retângulo ABCD é cinco vezes a área do triângulo BEF, então BF mede:
 2
a) 8
 2
b) 4
 2
c) 2
3 2
d) 4
e) 2
d)240 km2
e)444 km2
77. (FUVEST) Considere em um triângulo acutângulo
ABC as alturas AD e BE.
a)Demonstre que os triângulos ADC e BEC são semelhantes e escreva a relação de proporcionalidade entre os lados desses triângulos.
b)Demonstre, a seguir, que os triângulos ABC e DEC
são semelhantes.
75. Na figura a seguir, BÂC ≅ BĈ D e BD = CD.
B
78. (MACK) Na figura ao Iado, pelo ponto O, foram traçadas retas paralelas aos lados do triângulo ABC,
obtendo-se os triângulos assinalados com áreas 1, 4
e 9. Então a área do triângulo ABC é:
A
O
D
B
A
133
C
A
a)25 b)36
c)49 d)64
e)81
9
79. (VUNESP) Uma certa propriedade rural tem o formato de um trapézio como na figura. As bases WZ e
XY do trapézio medem 9,4 km e 5,7 km, respectivamente, e o Iado YZ margeia um rio.
W
9,4 km
D
G
E
Z
b
F
rio
2b
X
A
Y
5,7 km
(figura fora de escala)
81. (FUVEST) No quadrilátero ABCD, temos AD = BC = 2
e o prolongamento desses lados forma um ângulo
de 60°.
D
(figura fora de escala)
C
Se o ângulo XŶ Z é o dobro do ângulo XŴ Z, a medida, em km, do lado YZ que fica à margem do rio é:
3)7,5 b)5,7
c)4,7
d)4,3
e)3,7
80.Define-se geometricamente a razão áurea do seguinte modo: O ponto C da figura abaixo divide
o segmento AB na razão áurea quando os valores AC/AB e CB/AC são lguais. Esse valor comum
é chamado "razão áurea"
A
C
B
"A razão áurea, também denominada proporção áurea, número de ouro ou divina proporção, conquistou a imaginação popular e é tema
de vários livros e artigos. Em geral, suas propriedades matemáticas estão corretamente enunciadas, mas muitas afirmações feitas sobre ela
na arte, na arquitetura, na literatura e na estética são falsas ou equivocadas. lnfelizmente, essas afirmações sobre a razão áurea foram amplamente divulgadas e adquiriram status de
senso comum. Mesmo livros de geometria utilizados no ensino médio trazem conceitos incorretos sobre ela."
a)lndicando por Â, B̂ , Ĉ e D̂ , respectivamente, as
medidas dos ângulos internos do quadrilátero de
vértices A, B, C e D, calcuie  + B̂ e Ĉ + D̂ .
b)Sejam J o ponto médio de DC, M o ponto médio
de AC e N o ponto médio de BD. Calcule JM e JN.
c)Calcule a medida do ângulo MĴN.
82. (EN) Considere o triângulo ABC de área S, baricentro
G e medianas CM e BN. A área do quadrilátero AMGN
é igual a:
S
a) 2 2S
b) 3
S
c) 3 S
d) 4
3S
e) 4
83. (FGV) As medianas BD e CE do triângulo ABC indica
do na figura são perpendiculares, BD = 8 e CE = 12.
Assim, a área do triângulo ABC é:
B
Trecho traduzido e adaptado do artigo de G. Markowsky.
Misconceptions about the golden ratio. The College
Mathematics Journal, 23, 1º January, 1992, p. 2-19.
E
A
Na figura a seguir, o polígono ADEFG é um pentágono regular.
Utilize semelhança de triângulos para demonstrar
que o ponto C da figura divide o segmento AB na
razão áurea.
10
B
A
D
C
a)96 b)64
c)48 d)32
e)24
133
84. (UNEMAT) Na figura a seguir, o triângulo ABC é um
triângulo equilátero de 3 cm de Iado, e o triângulo
retângulo BCD tem lados BD = 4 cm e CD = 5 cm e
CB̂ D = 90°.
86. (FAAP) No triângulo ABC, retângulo em A, ao lado,
têm-se AC = 8 cm e BC = 10 cm. Sendo AD ⊥ BC, calcule o comprimento do segmento AD.
C
C
D
A
8
D
B
B
A
Qual a medida do segmento AD?
a) 3
87. (FGV) No triângulo retângulo ABC, retângulo em C,
tem-se que AB = 3 3 . Sendo P um ponto de AB tal
que PC = 2 e AB perpendicular a PC, a maior medida
possível de PB é igual a:
3 3 + 11
a)
2
b) 4 3
c)
10
100 + 3
d) 25 + 12 3
e) 2 3
85. (MACK) A folha de papel retangular da figura I é dobrada como mostra a figura II. Então o segmento DP
mede:
D
C
b) 3 + 11
3_ 3 + 5 i
2
3_ 3 + 7 i
d)
2
3 _ 3 + 11 i
e)
2
c)
88. (ITA) Seja ABC um triângulo retângulo cujos catetos
AB e BC medem 8 cm e 6 cm, respectivamente. Se D
é um ponto sobre AB e o triângulo ADC é isósceles,
a medida do segmento AD, em cm, é igual a :
20
A
B
16
Figura I
C
D
3
15
a) 4 b)
6
25
15
c) 4 d) 4
25
e) 2
89. No trapézio ABCD, as diagonais AC e BD são perpendiculares, BC = AD = 5 e a base AB mede 7. A medida
da base CD é:
C
D
A
P
B
Figura II
a)12 5
b)10 5
c)8 5
d)21
e)25
133
A
1
a) 2 c)2 e)4
B
b)1
d)3
11
90. (FUVEST) Para se calcular a altura de uma torre, utilizou-se o seguinte procedimento ilustrado na figura: um aparelho (de altura desprezível) foi colocado
no solo, a uma certa distância da torre, e emitiu um
raio em direção ao ponto mais alto da torre. O ânπ
gulo determinado entre o raio e o solo foi de a = 3
radianos. A seguir, o aparelho foi deslocado 4 metros em direção à torre e o ângulo então obtido foi
de b radianos, com tgb = 3 3
α
É correto afirmar que a altura da torre, em metros, é:
a)4 3
b)5 3
c)6 3
93. (FEI) No momento em que a incidência dos raios solares ocorre segundo um ângulo de 30°, a partir da linha
do horizonte, a sombra projetada no solo (horizontal)
por um poste tem comprimento x. No momento em
que a incidência ocorre segundo um ângulo de 60°, o
comprimento da sombra é y. Se x − y = 2 m, então a
altura do poste mede:
a)2 m b)2 3 m
c)4 m d) 3 m
e)3 3 m
94. (UnicaMP) Caminhando em Iinha reta ao longo de
uma praia, um banhista vai de um ponto A a um
ponto B, cobrindo a distância AB = 1 200 metros.
Quando em A, ele avista um navio parado em N de
tal maneira que o ângulo NÂB é de 60°; e, quando
em B, verifica que o ângulo NB̂ A é de 45°.
a)Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.
b)Calcule a distância em que se encontra o navio
da praia.
d)7 3
e)8 3
91. (FATEC) No triângulo ABC, onde CM é a altura sobre
o Iado AB, temos tg a = 0, 2, tg b = 0, 5 e h = 10. A
medida do Iado AB é:
95. (VUNESP) Na figura, os pontos C, D e B são colineares e os triângulos ABD e ABC são retângulos em B.
A
C
α
h
A
B
M
60°
30°
a)18
b)20
c)21
d)22
e)24
C
D
B
Se a medida do ângulo ADB é 60° e a medida do
ângulo ACB é 30°, demonstre que:
a)AD = DC 92. (FUVEST)
M
b)CD = 2 ⋅ DB
96. Na figura a seguir, o triângulo BCD é isósceles de
base DC, o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC é 2 3 e os ângulos têm as medidas assinaladas. Determine:
t
C
Q
75°
P
A
30°
s
Dados: MP ⊥ s; MQ ⊥ t; MQ ⊥ PQ; MP = 6. Então, PQ é
igual a:
a)3 3 b)3
c)6 3 d)4 3
O
60°
A
B
D
e)2 3
133
12
a)o comprimento de BD.
b)o comprimento de DC.
a)12 3 b)18 3
97. No triângulo ABC, AB = 8, AC = 6 e m (BÂC) = 60°.
BE e CF são alturas do triângulo, sendo que E está
sobre AC e F está sobre AB. Quanta mede EF?
a) 11 b) 12
c) 13 d) 14
c)10 3 d)20 3
e)15 3
100. (EEM-FEI) a) No ∆ABC temos BC = a, AC = b, CÂB =
45° e CB̂ A = 30°. Sendo a + b = 1 + 2 , calcule a.
e) 15
98. Na figura ao Iado, D e E são pontos médios dos segmentos AB e BC, respectivamente, e F é a intersecção de AE e CD. Determine os possiveis valores de
11
FD, sabendo que cos(AF̂ C) = −
, AD = 3 e AE = 6.
16
C
a
b
45°
A
30°
B
b)No paralelogramo ABCD, onde AB = 2 m, BC = 1 m
e BÂD = 60°, calcule a diagonal maior AC.
C
D
C
E
F
1m
A
B
D
60°
A
2m
B
99. (MACK) A área do triângulo da figura a seguir é:
5
7
60°
133
13
Respostas das Atividades adicionais
Matemática
1.D
9.E
2.O enunciado não explicita se os agentas que não são o
espião transmitem aos outros membros da equipe as
mesmas mensagens que recebem; assim, resolveremos
esse problema sem essa suposição.
Se Mileum é o espião, ele transmitiu a negação das afirmações que recebeu. Assim, podemos concluir a partir
da segunda sentença que Miletrês é o espião, uma contradição. Logo Mileum não é o espião.
Se Miletrês é o espião, podemos concluir que a última
sentença é falsa. Como uma sentença do tipo p & q é
falsa se, e somenta se, p é V e q é F, conclui-se que Miletrês não é o espião, uma contradição.
Portanto, o espião é Miledois.
10.Temos M = {(2; 4), (2; 6), (2; 8), (2; 10), (4; 6), (4; 10), (6; 4), (6;
8), (6; 10)} e N = {(2; 4), (3; 6); (4: 8); (5; 10)}.
a) N + M = {(2; 4)}
b)N , M = {(2; 4), (2; 6), (2; 8), (2; 10), (3; 6), (4; 6), (4; 8), (4;
10), (5: 10), (6; 4), (6; 8), (6; 10)}
3. De acordo com o enunciado, as sentenças podem ser representadas da seguinte forma:
1)Gollum: p & q
2)Sméagol: q & r
3)Gollum: ∼r ∧ p
4) Sméagol: p ∨ ∼q ∨ R
Fazendo a tabela verdade temos;
16.C = {(a; b) d R2  3a − b − 3 = 0}
p
q
∼q
r
∼r
1
2
3
4
V
V
F
V
F
V
V
F
V
V
F
V
V
F
F
V
F
V
V
V
F
F
V
V
F
V
V
V
F
V
F
V
F
V
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
V
F
F
V
V
F
V
V
F
V
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
F
V
F
V
V
V
F
V
11.B
12.E
13.C
14.B
15.A
17.A
18.C
19.D
20.a) 112 unidades
b)34 unidades
21.a) A função f : R " R dada por f(x) = x2 + 4x tem como gráfico uma parábola com concavidade para cima, cujas raízes são −4 e 0 e cujo ponto de mínimo é o ponto (−2; −4)
Como o domínio de f é [−2; +∞ [, seu gráfico é o seguinte:
y
–2
Como Gollum e Sméagol não fazem afirmações consecutivas, ambas falsas ou verdadeiras, temos que nem as
colunas 1 e 2, nem as colunas 3 e 4 podem ser ambas
verdadeiras ou ambas falsas, ou seja, p e r são verdadeiras e q é falsa.
4.E
5.B
6. 13 pessoas
7.B
x
–4
b)Como f é injetora e sobrejetora, segue que esta admite
inversa.
Sendo y = x2 + 4x, trocando x por y, temos:
x = y2 + 4y + y2 + 4y + 4 = x + 4 + (y + 2)2 = x + 4
+ y + 2 = x + 4 + y = x + 4 − 2 = f−1(x)
22.A
8.C
14
133
23.f(x) =
A (x) +
B (x) =
x2 – 1 +
1 – x 2 devemos ter:
x2 − 1 ≥ 0 x2 − 1 ≥ 0
+ 2
+ x2 − 1 = 0 + x = 1 ∨ x = −1
1 − x2 ≥ 0
x −1≤0
D(f) = {1,−1}
Como f(1) = f(−1) = 0, temos lm(f) = {0}.
46.C
47.E
48.A
49.p =
1
2
24.D
50.E
25.A
51.Para tal, devemos ter:
P<0
m–1
+
<0
m
+1
∆>0
(−2m)2 − 4(m − 1)(m + 1) > 0
m<1
+ −1 <
+ −1 < m < 1
2
2
4m − 4(m − 1) > 0
4>0
+ −1 < m < 1
26.A
27.B
28.D
29.C
30.E
52.E
31.C
53.a) V = {−2; 2}
b)V = {1; 3}
32.E
33.B
34.A =
=
3
3
10 –
3
6+
3
8 =
3
10 –
3
2
7
7
x + 1 k − 1,25 a x 2 – x + 1 k + 0, 25 = 0 +
4
4
5
1
m2 − m +
= 0
4
4
+
+
7
m = x2 −
x+ 1
4
54. a x 2 –
6+2 =
10 – 2 = 2
eB=
7+
Logo
A2 + B2 =
7–
9 =
7+
7–3 =
7 + 2 = 3.
16 + 9 = 5.
35.A
1
7
x2 −
x + 1 = 1
4x2 − 7x = 0
4
4
+
+
ou
+
ou
7
7
1
2
2
2
m=x −
x + 1 x − x + 1 = 4x − 7x + 3 = 0
4
4
4
7
x = 0 ou x = 4
+
3
x = 1 ou x =
4
3 7
V = % 0, 1, , /
4 4
m = 1 ou m =
36.B
37.C
38.(1,41)2 < 2 < (142)2 +1,41<
+ 7,05 <
1
2 < 1, 42 + 7, 05 < 5 2 < 7,10
50 < 7,10 + 8,05 < 1 +
1
1
50 < 8,10 +
50
50
+ 8, 05 >
>
+ 8, 05 >
>
8, 10
1 + 50
1 + 50
50
50
+
6,22 >
> 6,17
8, 10
1 + 50
50
+ 6,3 > 6,22 >
> 6,17 > 6,1
1 + 50
50
+ 6,3 >
> 6,1
1 + 50
39.C
>
55.B
56.D
57.V = ]1; 2[ , ]3; 4[
40.B
58.V = {x : x d R e (x ≤
41.D
59.B
42.D
60.B
43.E
44.D
45.a) R$ 18,00
b) y = 0,10x, para 0 ≤ x ≤ 100
y = 0, 08x + 2, para x > 100
133
61.
1–
5
2
ou x > 3)}
x2 – 1
≥ 0 (I)
x–3
x 2 – 4x + 3
≤ 0 (II)
x
Cálculo de VI:
Sendo A = x2 − 1 e B = x − 3, temos o seguinte quadro de sinais:
15
–1
1
71.4,08 m
3
A
72.B
B
73.B
A/B
Assim, VI = [-1; 1] , ]3; + ∞ [
Cálculo de VII:
Sendo C = x2 − 4x + 3 e D = x, temos o seguinte quadro de
sinais:
0
1
74.E
75.E
76.E
AA
77.a) AD̂ C = BÊC (retos)
& ∆ADC ∼ ∆ABEC
A ĈD = B ĈE (medem a)
AD
AC
DC
∆ADC ∼ ∆BEC &
=
=
BE
BC
EC
que é a relação de proporcionalidade desejada.
3
C
D
C/D
A
Logo VII = ]-∞ : 0[ , [1; 3].
–1
0
1
3
VI
VII
V = VI ∩ VII
E
Portanto, o conjunto verdade do sistema é dado por
V = VI + VII = [-1; 0[ , {1}.
62.Seja x a distância, em km, entre A e B. Assim, a distância
5x
2
2
entre B e C é x e a distância entre A e C é x + x =
,
3
3
3
conforme mostra a figura a seguir:
5x
3
x
A
B
P
C
α
B
D
C
AC
DC
AC BC
=
+ DC = EC .
BC
EC
Po outro lado, AĈB ≅ DĈE (medem a)
AC BC
=
LAL
DC EC
& ∆ABC ∼ ∆DEC
AĈB ≅ DĈE
b) Da proporção anterior:
78.B
210
Como a distância entre P e B é 210 − x e entre P e C é
5x
− 210, temos:
3
5x
− 210 = (210 − x) − 20 + x = 150 km
3
A distância que o morador de B deve percorrer é igual à
distância entre P e B, ou seja, 210 − 150 = 60 km.
63.B
64.C
65.D
66.A
67.B
68.D
69.A
70.
79.E
80.O ângulo interno do pentágono regular mede
(5 – 2) 180º
= 108º. Assim, no triângulo ADE, que é isós5
180º − 108º
= 36º. Analogaceles, m(DÂE) = m(DÊA) =
2
mente, m (AD̂ G) = m(FD̂ E) = 36º.
No triângulo ABD, m(BÂD) = 36º, m(AD̂ B) = m(AD̂ E) −
m(FD̂ E) = 108º − 36º = 72º e m(AB̂ D) = 180º − 36º − 72º =
72º. No triângulo BCD, m(BD̂ C) = m(AD̂ B) − m(AD̂ G) = 72º
− 36º = 36º.
Assim, os triângulos ABD e DBC têm ângulos de mesma
medida, sendo semelhantes pelo caso AA. Além disso,
são isósceles. Sendo m(AD̂ G) = m(DÂE) = 36º, o triângulo
ACD é também isósceles. Logo AD = AB e BD = CD = AC.
AD BD
AB AC
=
+ AC = BC e, portanto, C
Pela semelhança,
DC BC
divide AB na razão áurea.
81.a) m(Â) + m(B̂ ) = 120º; m(Ĉ ) + m(D̂ ) = 240º.
b)JM = JN = 1
c) m(MĴN) = 60º
2
3
133
16
82.C
d
+ 1200 – d =
83.B
+ d( 3 +1) = 1 200 3
84.D
+d=
85.B
1200 3 _ 3 – 1 i
1200 3
=
= 600(3 −
_ 3 + 1 i_ 3 – 1 i
3 +1
3 )m.
95.a) Pelo teorema do ângulo externo, m (CÂD)+ m (AĈ D) =
m (AD̂ B) + m (CÂD) + 30° = 60° + m(CÂD) = 30º.
Logo o triângulo ADC é isósceIes de base AC, isto é,
AD = DC.
DB
b) No triângulo ADB temos que
= cos 60º.
AD
1
DB
=
+ CD = 2DB.
Portanto, como AD = CD,
2
CD
86.AD = 4,8 cm
87.A
88.D
89.B
90.C
91.D
92.B
93.D
94.a)
3 + d = 1 200 3 − d 3 +
A
B
1 200 m
60°
45°
A
C
60°
96.a) Sendo BC = BD = x e R = 2 3 o raio da circunferência
circunscrita, pela lei dos senos:
x
BC
= 2R +
=2⋅2 3 +x=6
sen 60º
3
2
B o ângulo CB̂ D é externo ao triângulo ABC, m(CB̂ D)
b)Como
45°
= 60° + 75° = 135° e, portanto, pela lei dos cossenos:
CD2 = 62 + 62 − 2 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ cos135° + CD2 = 72 + 36 2
+ CD = 6 2 + 2
45°
N
N
Bb) A
1 200 m
45°
C
60°
B
45°
45°
N
A distância do navio à praia é d = NC, sendo NC ⊥ AB.
Como o ∆BCN, retângulo em C, é isósceles, concluímos
que BC = NC = d.
Logo AC = 1 200 − d. No triângulo ACN, retângulo em C,
CN
temos
= tg 60º
AC
97.E
98.Sendo F a mediana do triângulo ABC, F divide o segmento
AE na razão 2 : 1, ou seja, AF = 4 e FE = 2.
Sendo θ a medida do ângulo AF̂C, m(AF̂D) = 180° − θ e,
− 11
11
assim, cos(AF̂D) = cos(180° − θ) = −cos θ = −
=
⋅
16
16
Dessa forma, pela lei dos cossenos, no triângulo AFD,
AD2 = AF2 + FD2 − 2 AF ⋅ FD ⋅ cos(AF̂D) +
11
+ 9 = 16 + FD2 − 2 ⋅ 4 ⋅ FD ⋅ 16 +
11
+ FD2 − 2 ⋅ FD + 7 = 0 +
7
+ FD = 2 ou FD = 2 .
99.C
100.a) a =
2 b) AC =
7 m
133
17