Avaliação I

Avaliação I – Princípios de Modelagem Matemática
Modelagem Matemática e Computacional
Prof.
José Geraldo
(Dated: 11 de junho de 2014)
Nome:
Observações
1. É proibido o uso de calculadora ou de qualquer outro dispositivo eletrônico.
2. A consulta a qualquer tipo de material não é permitida.
3. Justifique suas respostas.
4. Boas férias!
Questões
1. Um experimentador deseja determinar como a deflexão y sofrida por uma viga presa
em uma de suas extremidades depende do seu comprimento x para uma carga (força)
aplicada na extremidade livre. Para isso, o experimentador escolhe um conjunto de
vigas feitas do mesmo material (i.e., com o mesmo módulo de elasticidade E), com a
mesma largura l e a mesma espessura e, mas de diferentes comprimentos, todas presas
em uma de suas extremidades. Nas extremidades livres, o experimentador aplica uma
carga F e mede a deflexão sofrida por cada viga.
(a) (3 pontos) Use o método básico de análise dimensional e obtenha a relação
x
Ely
=f
,
F
e
onde f é uma função desconhecida que o experimentador quer determinar.
(b) (5 pontos) Para determinar f , o experimentador construiu o gráfico de ln Ely
F
versus ln xe . Ao ajustar a melhor reta para os dados experimentais que mediu,
o experimentador obteve o coeficiente linear 1, 39 e o coeficiente angular 1, 10.
Obtenha a relação entre a deflexão sofrida por uma viga presa em uma de suas
2
extremidades devido a uma carga aplicada à extremidade livre e o comprimento
da mesma.
Adjutório 1: [E] = MT−2 L−1 .
Adjutório 2: exp 1, 39 ' 4 e exp 1, 10 ' 3.
2. Considere uma camada de líquido sobre um fundo horizontal. A distância entre a
superfície do líquido e o fundo, quando este não está perturbado, é h. A superfície
do líquido é livre, i.e., não está limitada por qualquer obstáculo ou parede. Nesta
situação, quando o líquido é posto em movimento, a superfície se deforma apresentando
ondulações. O desvio da superfície em relação ao nível quando não está perturbado é
dado por u (x, t), onde x é a direção de movimento do fluido e t o tempo. O líquido é
um fluido incompressível com densidade uniforme de massa e sobre ele atua apenas a
força da gravidade. A equação que governa o comportamento de u (x, t), no limite de
ondas de pequena amplitude e de longos comprimentos, é
r
√
p ∂u
ghh2 ∂ 3 u 3 g ∂u
∂u
= − gh
−
−
u .
∂t
∂x
6 ∂x3 2 h ∂x
(a) (4 pontos) Desconsiderando condições iniciais e de contorno, quais são os parâmetros envolvidos neste modelo?
(b) (2 pontos) Quais são as variáveis dependentes e independentes neste modelo?
(c) (4 pontos) Verifique que a equação acima é dimensionalmente homogênea.
(d) (6 pontos) Reduza os parâmetros desta equação, definindo quantidades adimensionais x̄, t̄ e ū.
3. (6 pontos) Obtenha a dimensão de Hausdorff-Besicovich (dimensão fractal) do fractal
conhecido como “floco de neve quadrático de Koch”, cujas duas primeiras iterações são
mostradas na figura 1.
3
Figura 1: Floco de neve quadrático de Koch (duas primeiras iterações).
(http://en.wikipedia.org/wiki/Koch_curve)
Fonte: Wikipedia