Unidade IV – Matemática – Série 10 – Semelhança

Unidade IV – Matemática – Série 10 – Semelhança de triângulos

01
a) ADE ~ ABC 
AD DE 6 4

  x  6
AB BC 9 x
b) ADE ~ ABC 
DE AE 9
x

 
x  3
BC AC 15 x  2
ˆ e DÂE  CÂB)
c) AED ~ ABC (temos AÊD  ABC
AD ED
x
5



x  8
AC BC 24 15
Resposta:
a) 6
b) 3
c) 8
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
02
Como:
DE  EF  FD  26 cm
DE  12 cm
FD  6 cm
Temos FE  8 cm (I)
Como ABC ~ DEF , temos:
AB BC CA AB  BC  CA



(II)
DE EF FD DE  EF  FD
Sabendo, por (I), que o menor lado do DEF é FD, o menor lado do
ABC é o correspondente a FD, isto é, CA.
Tomando parte das igualdades de II e substituindo os valores, temos:
CA
6,5 cm

 CA  1,5 cm
6 cm 26 cm
Resposta: 1,5 cm
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
03
ˆ  DCE
ˆ , temos ABC ~ EDC .
ˆ  EDC
ˆ e BCA
a) Como ABC
Logo,
AB AC 2,5
x



 x  0,7
ED EC 7,5 2,1
ˆ  DCE
ˆ , temos ABC ~ EDC .
ˆ  EDC
ˆ e BCA
b) Como ABC
Logo,
AB AC 7
x



x  5
ED EC 14 15  x
Resposta:
a) 0,7
b) 5
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
04
A figura abaixo representa o enunciado, isto é, ED = 2,2 m, AC = 3,2 m e
CB = 0,8 m.
ˆ  ADE
ˆ e CAB
ˆ  EAD
ˆ , temos que ABC ~ ADE , então:
Como ABC
AC BC 3,2m 0,8m



 AE  8,8m
AE DE
AE
2,2m
Assim, o paciente ainda deve percorrer 8,8 m – 3,2m = 5,6m
Resposta: D
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
05
Seja x a altura do poste. Assim, temos a seguinte igualdade:
x
12m

 x  20m
1m 0,6m
Resposta: D
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
06
a medida do lado do losango. Como AB //DF e ACB  DCF , temos
AB CB 8
que ΔACB ~ ΔDCF 



  4,8
DF CF 12 12 
Seja,
Resposta: B
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
07
ˆ .
ˆ  BRP
ˆ  PBR
ˆ e BCA
ˆ , temos ABC ~ PBR
Como ABC
Logo:
BC altura ABC

BR alturaPBR
11 altura ABC

5
8
8  11
altura ABC 
 17,6
5
Resposta: C
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
08
Seja BC a régua de Rafael e DE os doze apartamentos que ele visualiza.
Temos
AF BC 1,2 m
0,2 m



 AG  201,6 m
AG DE
AG 12  2,8 m
Resposta: B
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
09
Note que:
ˆ  CDA
ˆ  60º (II)
ACD é equilátero. Logo AC = AD = 2 cm (I) e DAC
ˆ  CÂE , por II, temos: CÂE  60º .
Como DAC
Consequentemente EÂB  60º .
ˆ e ABE
ˆ  DBC
ˆ , ou seja, ABE ~ DBC . Logo:
Temos então EÂB  CDB
AE AB
AE
6 cm
3



 AE  cm
(I)
DC DB
2 cm 8 cm
2
Resposta: D
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
10
Note que TPC  45, logo PT  TC PT  z
Note que TPA  40 e TPB  50 , logo ΔTPA ~ ΔTBP, isto é:
TP TA z x

   z2  xy  z  xy
TB TP y z
Resposta: C
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11
Pela escala fornecida temos que 1 cm na maquete equivale a 250 cm, isto
é, 2,5 m na realidade. Sendo x e y as medidas do comprimento e largura,
respectivamente, da maquete, temos:
x
1cm

 x  11,2 cm
28 m 2,5 m
y
1cm

 y  4,8 cm
12 m 2,5 m
Resposta: C
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
12
Seja o lado do quadrado. Como AB //FE e ECF  BCA , temos que,
ΔECF ~ ΔBCA, logo:
EF CF
3
3

 
   0,75
BA CA 1
3
4
Resposta: B
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Seja x a altura do retângulo. Assim a base dele mede 2x.
Temos a seguinte relação:
alturaADG baseADG h  x 2x



 2hx  bh  bx
alturaABC baseABC
h
b
 2hx  bx  bh  x(2h  b)  bh  x 
Resposta: D
bh
2h  b
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
14
Seja y a altura do retângulo e seja x a medida da base. Temos a seguinte
relação:
alturaCAB baseCAB
4
4
1
1


 

alturaCQP baseCQP 4  y x 4  y x
 x  4  y  x  y  4  2x  2y  8
Resposta: B
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Marcado os ângulos é fácil verificar que:
p m x m
  
y x y p
Resposta: B
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
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AD DE AE AD DE AE





AB BC AC 28 35 21
4
3
 AD   DE e AE   DE
5
5
.
Calculemos o perímetro do trapézio:
BD  DE  EC  CB  74
AB AD
AC AE
4
3
28   DE  DE  21   DE  35  74
5
5
2
  DE  10 DE  25 cm
5
Logo DB  8 cm e EC  6cm
Resposta:
DE  25 cm; BD  8 cm; EC  6cm
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
17
Como HC || GA, temos que HCD ~ GAD . Logo:
HC CD HC 1



(I)
GA AD GA 3
Como JE || GA, temos que JEF ~ GAF . Logo:
JE EF JE 1



(II)
GA AF GA 5
Dividindo (I) e (II) membro a membro, temos:
HC 1
GA  3  HC  5
JE
1 JE 3
GA 5
Resposta: A
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
18
Note que T1 é obtido ligando os pontos médios de T 2. Logo, a razão das
alturas é a mesma razão dos lados, isto é:
alturaT2 lT2 alturaT2
 
2
alturaT1 lT1 alturaT1
Resposta: E
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
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ˆ  PAB
ˆ e QBA
ˆ  ABP
ˆ , logo AQB  PAB . Assim:
AQB
AB QB 2 10
QB



 QB  5 cm
PB AB
8
2 10
Resposta: E
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
20
ˆ  72 ABD
ˆ  DBC
ˆ  36 .
Temos que ABC
Logo, temos que os ABC e BCD são ambos isósceles cujo ângulo da
base mede 72 . Em outras palavras ABC ~ BCD , AC  AB e
AD  BD  BC  1 . Portanto:
AB BC AB
1



 AB2  AB  1  0  como AB  0 temos:
BC CD
1
AC  AD
1 5
AB 
2
Resposta:
1 5
AB 
2
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
21
O lado de cada quadrado da figura 3 é equivalente ao lado de dois
quadrados da figura 2.
Isto é, se o lado do quadrado da figuras 2 mede
A base da figura 2 mede, então, 3
A base da figura 3 mede, então, 2  2  4 .
4
4
 .
Assim o fator de ampliação é
3
3
Resposta: C
, o da figura 3 mede 2 .
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
22
Como AM / /PD , temos:
DP DC
DPC ~ MAC 

MA MC (I)
DQ DB

MA MB (II)
Somando membro a membro (I) e (II), temos:
DQB ~ MAB 
 2MB
DP DQ DC DB
DP  DQ DC  DB DP  DQ BC DP  DQ








2
MA MA MC MB
MA
MB
MA
MB
MA
MB
DP  DQ  2  MA