semelhança de triângulos

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Dois triângulos ∆ ABC e ∆ DEF dizem-se semelhantes (através da correspondência
A a D , B a E , C a F ), e escrevemos ∆ ABC ≅ ∆ DEF, se:
¾ os ângulos correspondentes forem congruentes (isto é, ∠A ≅ ∠D, ∠B ≅ ∠E ,
∠C ≅ ∠F )
AB
BC
CA
¾ e os lados forem proporcionais (isto é ,
).
=
=
DE
EF
FD
À razão entre lados correspondentes de triângulos semelhantes chamamos razão de
AB
semelhança desses triângulos; assim sendo, se ∆ ABC ~ ∆ DEF, o quociente
éa
DE
razão de semelhança entre ∆ ABC e ∆ DEF. Tal como no caso das congruências de
triângulos, convém assinalar que ∆ ABC ~ ∆ DEF não significa o mesmo que ∆ ABC
~ ∆ EFD.
Critério AAA – (teorema fundamental da semelhança de triângulos): Dois
quaisquer triângulos com ângulos internos iguais são semelhantes: mais precisamente,
se os triângulos ∆ ABC e ∆ DEF forem tais que ∠A ≅ ∠D, ∠B ≅ ∠E e ∠C ≅ ∠F ,
então ∆ABC ~ ∆DEF
A
D
C=F
Demonstração: Quer-se mostrar que
AB
DE
demonstração vai depender da natureza do λ .
•
B
E
=
BC
EF
1º caso: λ ∈ ℵ (demonstração por indução):
=
AC
DF
. Seja λ =
AB
DE
; a
se for λ = 1; então
AB = DE , ∠A ≅ ∠D e como ∠B ≅ ∠E , por ALA
AB
∆ABC ~ ∆DEF ; em particular
DF
=1=
BC
EF
passo por indução: suponho λ ∈ ℵ \ {1} e que o resultado é válido para
λ − 1 (dois triângulos com ângulos congruentes em que a razão entre dois lados
correspondentes seja λ − 1 são necessariamente semelhantes, isto é, a razão
entre os restantes pares de lados correspondentes é também λ − 1 ).
Sei que ∆ABC e ∆DEF têm os mesmos ângulos; seja x ∈ AB tal que
AX = DE , y ∈ AC , z ∈ BC , xy //BC e xz//AC.
Por ALA. Temos ∆AXY ≅ ∆DEF ; além disso, ∆XBZ e ∆DEF têm os mesmos
XB
XZ
ângulos , mas
= λ − 1 . Por hipótese de indução
= λ −1 e
DE
DE
BZ
EF
= λ − 1 ; assim sendo BC = BZ + ZC
= (λ − 1) EF + EF
= λ EF
e AC = AY + YC = DF + (λ − 1) DF = λ DF , o que completa a indução. Fica
assim provado o resultado quando λ ∈ ℵ .
•
2º caso: λ ∈ Q
seja
λ=
AB
DE
; fazendo
λ=
p
, obtemos
q
p DE = q AB . Consideramos
∆XYZ com os mesmos ângulos e tal que XY = p DE = q AB , pelo caso
anterior, temos ∆XYZ ~ ∆DEF e ∆XYZ ~ ∆ABC e portanto
XY
YZ
XZ
YZ
AC
BC
p
se temos
=
=p e
=
= q então
=
= =λ
DE
EF
AC
BC
DF
EF
q
como queríamos.
•
3º caso: λ ∈ ℜ \ Q
Seja
AB
DE
= λ . Vamos mostrar que, para qualquer número racional s tal que
s< λ , se tem
AC
DF
>s,
BC
EF
>s.
Atendendo à densidade de Q em ℜ , isso obriga a que se tenha
s< λ ⇔ s<
AB
DE
AC
DF
,
BC
EF
≥λ
↔ s DE < AB
seja X ∈ AB e AX = s DE e XY // BC .
Pelo caso racional, também AY = s DF e XY = s EF
Logo s DF = AY < AC
⇒
DF
>s
BC
>s
EF
o que conclui a demonstração.
s EF = XY < BC
⇒
AC
Critério LAL : Se, em dois quaisquer triângulos, ângulos iguais subentenderem lados
proporcionais, então esses triângulos são semelhantes.
AB
AC
(por ex., se ∆ABC e ∆DEF forem tais que ∠A ≅ ∠D e
=
, então
DE
DF
∆ABC ~ ∆DEF ).
A
D
C=F
E
B
Demonstração: A ideia é combinar o critério anterior com o critério de congruência
apropriado. Consideramos o triângulo ∆AZY tal que AZ = DE , e em que ZY//BC ,
Z ∈ AB e Y ∈ AC. Pelo critério anterior, temos ∆ABC ~ ∆AZY
e portanto
AY = DF ; e pelo critério de congruência LAL, temos ∆AZY ≅ ∆DEF , e portanto
∆AZY ~ ∆DEF .
Critério LLL: Dois quaisquer triângulos com lados proporcionais são semelhantes.
AB
AC
BC
então ∆ABC ~ ∆DEF .
(por ex.,se tivermos
=
=
DE
DF
EF
A
D
C=F
E
B
Demonstração: É análoga à do critério anterior. Definimos ∆AZY como antes, sendo
AZ = DE e ∆ABC ~ ∆AZY : pelo critério LLL de congruência, ∆AZY ≅ ∆DEF , e
portanto ∆ABC ~ ∆DEF .
Mais resultados importantes sobre semelhança de triângulos
Teorema de Pitágoras: Se ∆ABC for um triângulo rectângulo de hipotenusa BC ,
então a 2 = b 2 + c 2 .
Demonstração:
Pelo critério AA temos ∆ABC ~ ∆DBA ~ ∆DAC e destas semelhanças obtemos
b a−x
x c
=
⇒ b 2 = a 2 − ax
= ⇒ c 2 = ax
e
a
b
c a
Adicionando membro a membro resulta a igualdade pretendida:
a2 = b2 + c2 .
Note-se que o recíproco deste teorema também é válido: se num ∆ABC tivermos
a 2 = b 2 + c 2 , então esse triângulo é rectângulo de hipotenusa BC . Para o
demonstrarmos basta observar que podemos considerar um rectângulo de catetos de
medida b e c :pelo teorema de Pitágoras, a hipotenusa desse triângulo mede
b 2 + c 2 = a e por LLL, esse triângulo é congruente a ∆ABC , que portanto é também
rectângulo.
Realizado por :Sílvia Rocha