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Resolução do Nível 2 Segunda fase de 2005 2005 01. Sendo p um número primo, temos que p2 tem apenas três divisores naturais: 1, p e p2. Portanto, os números são: 4, 9, 25 e 49. alternativa C 02. 1) No início, temos 1 rapaz e 99 moças. 2) Ao retirarmos x moças, o único rapaz presente passa a representar 2% do total; logo (99 - x) , número de moças restantes, passa a 98% do total. Assim, x = 50. alternativa D 03. Sendo 1 um número real, podemos x2 − 4x + m afirmar que x2 - 4x + m ≠ 0 para todo x real, logo seu discriminante é negativo. Assim: 14 - 4m < 0 ⇒ m > 4 alternativa E 08. h Todo triângulo retângulo está inscrito numa semi-circunferência, sendo o diâmetro a hipotenusa. Portanto, a maior altura será igual 5cm ( o raio da circunferência). Só existe uma alternativa com medida igual ou menor que o raio. alternativa D Portanto, a altura pode ser no máximo igual a 5 m. alternativa D 09. 6 1,6 y = x + 1 ⇒ y = 2x + 2 2 Para y = 0, temos x = -1. Portanto, intercepta o eixo das abscissas no ponto (-1,0). alternativa E 04. 05. A face oposta a X é a O. alternativa B πx - π2 > 5x - 25 πx - 5x > π2 - 25 x . (π - 5) > (π - 5) . (π + 5) Observe que (π - 5) < 0. Dividindo-se os dois membros da desigualdade por (π - 5) invertemos seu sentido. Assim: x < π + 5 ≅ 8,14 06. Como x é natural, V = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. alternativa B 07. f(1) + f(2) + f(3) = 1 − f(1) + f(2) + f(3) = 1 − alternativa B 1 1 1 1 1 + − + − 2 2 3 3 4 1 3 = 4 4 x 1,5 - x Sendo x a distância que a garota pode se afastar. Temos que: 6 1,5 = ⇒ x = 1,1 m 1,6 1,5 - x alternativa B 10. 1) MB = BN = OD = DP = x 2) Seja S a área do quadrilátero MNOP, obtida pela diferença entre a área do retângulo ABCD e dos 4 triângulos AMP, DOP, BMN e CON. Assim: (6 - x) . (10 - x) x2 −2. 2 2 S = 2x 2 - 16x, sendo 0 < x < 6 3) A área máxima é dada pela ordenada do vértice da parábola 2x 2 - 16x. S = 60 − 2 . ∆ ⇒ SMAX = 32 cm2 4a alternativa D SMAX = − Resolução do Nível 2 Segunda fase de 2005 2005 11. Sabemos que em um triãngulo ao maior ângulo está oposto o maior lado. 1) No ∆ ABC temos que: AB < AD < BD 2) No ∆ BCD temos que: BC < BD < CD 3) O maior segmento é CD. alternativa C 12. 1) x = 2700 = (27)100 = 128100 2) y = 11 200 = (11 2)100 = 121100 3) z = 5300 = (53)100 = 125100 4) Portanto: x > z > y alternativa C 13. 1) x = 1 é solução, pois 1 2) Para x > 0 e x ≠ 1 1 x = xx ⇒ x x = x2 ⇒ x = x 2 Quadrando, temos que: x2 4 que resulta em x = 4 ou x = 0 (não serve, x > 0) 3) De (1) e (2), temos que V = {1, 4} e 1 . 4 = 4 alternativa E x= 14. P = 10 . 102 . 103 . 104 . ....1015 P = 101 + 2 + 3 + 4 + 5 + ....+ 15 P = 10120 P tem 121 algarismos alternativa B 15. GH x1 x2 Uma matriz quadrada de ordem 2 é da forma x3 x4 JK 20 π = 1,6666... .Aumento aproximado de 66,67% 12 π alternativa E 4) 18. Repare no enunciado: “ .... Gatos, gatinhos, sacos e mulheres ....”. Ele não inclui o homem na pergunta. Temos 7 mulheres; 72 sacos; 73 gatos e 74 gatinhos. Sua soma é igual a 74 + 73 + 72 + 7. alternativa E = 11 x x 17. Seja C1 o comprimento inicial e C2 , o final. Seja A 1 a área inicial e A 2 , a final. 1) A 2 = 100π ⇒ π R2 = 100 π ⇒ R = 10 2) R = r + 4 ⇒ r = 6 3) C1 = 12.π e C2 = 20 π , portanto tem 4 elementos. 19. Seja n o número procurado. Temos que: 1) n = 15 q1 + 4 ⇒ n - 4 = 15 q1 (q1 ∈N) 2) n = 25 q2 + 4 ⇒ n - 4 = 25 q2 (q2 ∈N) 3) n = 40 q3 + 4 ⇒ n - 4 = 40 q3 (q3 ∈N) 4) Concluímos que (n - 4) é múltiplo de 15, 25 e 40, assim (n - 4) é múltiplo do mmc de 15, 25 e 40. 5) mmc (15, 25, 40) = 600 6) como n deve ser mínimo, n - 4 = 600 ⇒ n = 604 alternativa D 20. 1) Vgelo = 840 . 2 . 2 .2 ⇒ Vgelo = 6720 cm3 2) Vágua = 0,9 . 6720 ⇒ Vágua = 6048 cm3 3) 30 . 50 . h = 6048 ⇒ h ≅ 4 cm alternativa E 21. 1 1 2 2 4 2 3 3 1 1− 2 + 2 − 2 = 2 − 1 + 2 − 2 = 1 alternativa E 1 3 Cada elemento pode assumir 5 valores: 0 , 1, 2, 3 e 4. Portanto, existem 5 . 5 . 5 . 5 = 54 matrizes. alternativa D 16. 0 0 0 alternativa C 2 4 2 4 2 0 2 Resolução do Nível 2 Segunda fase de 2005 2005 22. 1) concavidade voltada para baixo, então a < 0. b <0 ⇒ b< 0. a 3) intercepto do eixo das ordenadas negativo, c < 0. alternativa B 2) xv < 0 ⇒ − 23. Número de triângulos 1 2 3 4 . . . n número de palitos 3 =2.1+1 5 =2.2+1 7 =2.3+1 9 =2.4+1 . . . 2n + 1 , sendo n natural Assim, 2n + 1 = 134 ⇒ n = 67 triângulos alternativa E 24. idade de Diofanto = x x x x x + + + 5 + + 4 ⇒ x = 84 anos 6 12 7 2 alternativa D x= 25. 1) Para x = 1 x +1 , é igual a -3. 2 x -1 -3 +1 1 = -3 - 1 2 alternativa C 2)