Regras de L`Hospital

Regras de L’Hospital
Esboço de Gráfico - Exemplos
e Regras de L’Hospital
Aula 23
Alexandre Nolasco de Carvalho
Universidade de São Paulo
São Carlos SP, Brazil
06 de Maio de 2014
Primeiro Semestre de 2014
Turma 2014106 - Engenharia Mecânica
Alexandre Nolasco de Carvalho
ICMC - USP
SMA 301 Cálculo I
Regras de L’Hospital
Exemplo
Esboce o gráfico de f (x) = x 2/3 (6 − x)1/3 .
Calculando as derivadas
f ′ (x) =
4−x
,
− x)2/3
x 1/3 (6
f ′′ (x) =
−8
.
− x)5/3
x 4/3 (6
Os pontos crı́ticos são x = 4, x = 0 e x = 6. Analisando o sinal da
derivada primeira
◮
◮
◮
◮
Se x < 0 ⇒ f ′ (x) < 0 ⇒ f é estritamente decrescente.
Se 0 < x < 4 ⇒ f ′ (x) > 0 ⇒ f é estritamente crescente.
Se 4 < x < 6 ⇒ f ′ (x) < 0 ⇒ f é estritamente decrescente.
Se x > 6 ⇒ f ′ (x) < 0 ⇒ f é estritamente decrescente.
Alexandre Nolasco de Carvalho
ICMC - USP
SMA 301 Cálculo I
Regras de L’Hospital
Pelo teste da Derivada Primeira
◮
x = 0 é um ponto de mı́nimo local.
◮
x = 4 é um ponto de máximo local.
Observe que o teste da Derivada Segunda poderia ser usado em 4,
mas não em 0. Analisando o sinal da derivada segunda
◮
◮
◮
Se x < 0 ⇒ f ′′ (x) < 0 ⇒ f é côncava para baixo.
Se 0 < x < 6 ⇒ f ′′ (x) < 0 ⇒ f é côncava para baixo.
Se x > 6 ⇒ f ′′ (x) > 0 ⇒ f é côncava para cima.
O único ponto de inflexão é x = 6. Observe que as retas tangentes
em x = 0 e x = 6 são verticais.
Alexandre Nolasco de Carvalho
ICMC - USP
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Regras de L’Hospital
Exemplo
1
Esboce o gráfico de f (x) = x 2 + .
x
Calculando as derivadas
f ′ (x) = 2x −
1
2x 3 − 1
=
,
x2
x2
f ′′ (x) = 2 +
2
2(x 3 + 1)
=
.
x3
x3
1
Os pontos crı́ticos são x = 0 e x = √
. Analisando o sinal da
3
2
derivada primeira
1
1
√
⇒ f é crescente em ( √
3
3 , +∞).
2
2
1
◮ f ′ (x) < 0 se x < √
⇒ f é decrescente em (−∞, 0) e
3
2
1
é um
Pelo teste da Derivada Primeira ou Segunda x = √
3
2
◮
f ′ (x) > 0 se x >
de mı́nimo local.
Alexandre Nolasco de Carvalho
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SMA 301 Cálculo I
(0,
1
√
3 ).
2
ponto
Regras de L’Hospital
Analisando o sinal da derivada segunda
◮
◮
Se −1 < x < 0 ⇒ f ′′ (x) < 0 ⇒ f é côncava para baixo.
Se x > 0 ou x < −1 ⇒ f ′′ (x) > 0 ⇒ f é côncava para cima.
O único ponto de inflexão é x = −1.
Alexandre Nolasco de Carvalho
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Regras de L’Hospital
Regras de L’Hospital
As regras de L’Hospital se aplicam a cálculos de limites que
apresentam as seguintes indeterminações
0
0
ou
∞
.
∞
Teorema (De Cauchy)
Se f e g são contı́nuas em [a, b] e diferenciáveis em (a, b), existe
c ∈ (a, b) tal que
[f (b) − f (a)]g ′ (c) = [g (b) − g (a)]f ′ (c).
Prova: Considere h(x) = [f (b) − f (a)]g (x) − [g (b) − g (a)]f (x) e
aplique o Teorema de Role.
Alexandre Nolasco de Carvalho
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Regras de L’Hospital
Teorema (Regra de L’Hospital)
Sejam f e g funções differenciáveis em x com g ′ (x) 6= 0 em
(p − r , p + r )\{p} para algum r > 0. Se
lim f (x) = 0 = lim g (x)
x→p
x→p
f ′ (x)
f (x)
= ℓ ∈ R (ou ℓ = ±∞), então lim
=ℓ
x→p g ′ (x)
x→p g (x)
e lim
Alexandre Nolasco de Carvalho
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Regras de L’Hospital
Prova: Como os valores de f (p) e g (p) não influem no cálculo do
limite, podemos assumir que f (p) = g (p) = 0. Assim, do Teorema
de Cauchy, para cada x ∈ (p − r , p + r )\{p} existe c entre x e p
(distinto de ambos) tal que
f ′ (c)
f ′ (x)
f (x) − f (p)
= lim ′
= lim ′ .
x→p g (c)
x→p g (x)
x→p g (x) − g (p)
= lim
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Regras de L’Hospital
Observação: A regra de L’Hospital ainda será válida se, em lugar
de x → p , tivermos x → p + , x → p − , x → +∞ ou x → −∞ .
Exemplo
1 − e 2x
.
x→0
x
Calcule lim
Como lim 1 − e 2x = 0 e lim x = 0 pela Regra de L’Hospital,
x→0
x→0
1 − e 2x
(1 − e 2x )′
−2e 2x
= lim
= −2.
=
lim
x→0
x→0
x→0
x
x′
1
lim
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Regras de L’Hospital
Exemplo
sen x
.
x→0 x
Como lim sen x = 0 e lim x = 0 pela Regra de L’Hospital,
Calcule lim
x→0
x→0
sen x
(sen x)′
cos x
= lim
= 1.
= lim
′
x→0
x→0
x→0 1
x
x
lim
Alexandre Nolasco de Carvalho
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Regras de L’Hospital
a Regra de L’Hospital: Sejam f e g funções deriváveis em
2¯
(p − r , p + r )\{p} , r > 0 , com g ′ (x) 6= 0 para 0 < |x − p| < r .
Se
lim f (x) = +∞ = lim g (x)
x→p
x→p
′ (x)
f
existir (ou divergir para ± infinito), então o
x→p g ′ (x)
f (x)
limite lim
também existirá (ou divergirá para ± infinito) e
x→p g (x)
teremos
e o limite lim
lim
x→p
Alexandre Nolasco de Carvalho
f ′ (x)
f (x)
= lim ′
.
g (x) x→p g (x)
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Regras de L’Hospital
Observação: A 2¯a regra de L’Hospital ainda será válida se, em
lugar de x → p , tivermos x → p + , x → p − , x → +∞ ou
x → −∞ . Esta regra também permanecerá válida caso tenhamos
−∞ em lugar de +∞ em um ou ambos os limites.
Exemplo
ex
.
x→+∞ x
Como lim e x = +∞ e lim x = +∞ pela Regra de L’Hospital,
Calcule lim
x→+∞
x→+∞
ex
(e x )′
ex
= lim
= lim
= +∞.
′
x→+∞ x
x→+∞ x
x→+∞ 1
lim
Alexandre Nolasco de Carvalho
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Regras de L’Hospital
Exemplo
tg x − x
.
x3
Como lim tg x − x = 0 e lim x 3 = 0 usamos a Regra de L’Hospital
Calcule lim
x→0
x→0
x→0
lim
x→0
tg x − x
sec2 x − 1
=
lim
.
x→0
x3
3x 2
Como lim sec2 x − 1 = 0 e lim 3x 2 = 0 usamos mais uma vez a
x→0
Regra de L’Hospital
lim
x→0
x→0
2 sec2 x tgx
sec2 x − 1
=
lim
.
x→0
3x 2
6x
Como ainda o numerador e o denominador tendem a zero, usamos
pela terceira vez a Regra de L’Hospital
lim
x→0
4 sec2 x tg2 x + 2 sec4 x
1
2 sec2 x tgx
= lim
= .
x→0
6x
6
3
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Regras de L’Hospital
Observação: As Regras de L’Hospital se aplicam a
0 ∞
. As outras formas de
indeterminações da forma e
0 ∞
0
indeterminação, 0 · ∞, ∞ − ∞, 0 , ∞0 , 1∞ , podem ser reduzidas a
estas.
Alexandre Nolasco de Carvalho
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Regras de L’Hospital
Exemplo
1
1 .
x
sen x
x→0
Observe que é uma indeterminação da forma ∞ − ∞. Escrevendo
Calcule lim+
−
1
x
−
1 sen x − x
=
sen x
x sen x
0
obtemos uma indeterminação da forma e podemos aplicar a
0
Regra de L’Hospital.
Alexandre Nolasco de Carvalho
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Regras de L’Hospital
Exemplo
Calcule lim+ x ln x.
x→0
Observe que é uma indeterminação da forma 0 · −∞. Escrevendo
ln x
−∞
x ln x = 1 obtemos uma indeterminação da forma
. Pela
∞
x
Regra de L’Hospital,
lim+ x ln x = lim+
x→0
Alexandre Nolasco de Carvalho
x→0
ln x
1
x
= lim+
ICMC - USP
x→0
1
x
− x12
= lim+ −x = 0.
x→0
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Regras de L’Hospital
Exemplo
Calcule lim+ x x .
x→0
Observe que é uma indeterminação da forma 00 . Escrevemos
x
x x = e ln x = e x ln x , e como a função exponencial é contı́nua,
lim+ x x = lim+ e x ln x = exp lim+ x ln x = e 0 = 1.
x→0
Alexandre Nolasco de Carvalho
x→0
x→0
ICMC - USP
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Regras de L’Hospital
Exemplo
1
Calcule lim x x .
x→+∞
Observe que é uma indeterminação da forma ∞0 . Escrevemos
1
1
x x = e ln x x = e
ln x
x
, e como a função exponencial é contı́nua,
1
lim x x = lim e
x→+∞
ln x
x
x→+∞
= exp
ln x .
x→+∞ x
lim
∞
Observe que temos uma indeterminação da forma
, então pela
∞
Regra de L’Hospital
1
(ln x)′
ln x
x
= lim
=
lim
= 0.
x→+∞
x→+∞ 1
x→+∞ x
x′
lim
Logo,
1
lim x x = e 0 = 1.
x→+∞
Alexandre Nolasco de Carvalho
ICMC - USP
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Regras de L’Hospital
Exemplo
1 x
1+
.
x→+∞
x
Observe que é uma indeterminação
da forma 1∞ . Escrevemos
x
1
1 + x1 = e x ln 1+ x . Agora temos uma indeterminação da forma
∞
0 · ∞ que pode ser reduzida a
. Então, pela regra de L’Hospital
∞
ln 1 + x1
1
1
= lim
=1
= lim
lim x ln 1 +
1
x→+∞ 1 + 1
x→+∞
x→+∞
x
x
x
Calcule lim
e como a função exponencial é contı́nua,
1
1 x
lim 1 +
= lim e x ln 1+ x
x→+∞
x→+∞
x
1 = e 1 = e.
= exp lim x ln 1 +
x→+∞
x
Alexandre Nolasco de Carvalho
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