Série DE PAGAMENTOS UNIFORMES

Transcrição

DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE MATEMÁTICA
Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção e
Sistemas (PPGEPS)
JOSE DONIZETTI DE LIMA
Pato Branco, 12 DE Novembro DE 2015.
INVESTIGAÇÃO: Qual é a probabilidade de que o VPL esteja abaixo, acima ou entre determinados valores?
MOTIVAÇÃO
É preciso considerar de maneira formal os riscos que envolvem os futuros Fluxos de Caixa (FC) de um
Projeto de Investimento (PI), os quais representam projeções. Nesse sentido, esse capítulo se propõe
a discutir a Análise da Viabilidade Econômica de um Projeto de Investimento (AVEPI) com a utilização
de Métodos Estatísticos (probabilísticos ou estocásticos) e do Método de Simulação de Monte Carlo
(MSMC) por intermédio de implementações no MS-Excel®. Dessa forma, busca-se contribuir para a
incorporação do risco na AVEPI, mesmo que de forma introdutória (starting point).
QUESTÕES QUE NÃO QUEREM CALAR:
1) O que é a MMIA? Lima et al. (2015) ampliaram os Indicadores de Viabilidade Econômica de Projetos de
Investimentos (IVEPIs) da Metodologia Multi-índice (MMI) proposta por Souza e Clemente (2008). A
expansão da MMI, denominada MMIA, refere-se a incorporação de 7 (sete) índices-limites para melhorar a
percepção do risco por meio da Análise de Sensibilidade (AS) sobre a Taxa Mínima de Atratividade (TMA), os
custos e as receitas.
2) Como avaliar de forma adequada a viabilidade econômica de um projeto de investimento? Segundo Lima et al.
(2015) para avaliar de forma adequada a viabilidade econômica de um Projeto de Investimento (PI) é preciso
examinar em profundidade as dimensões risco e retorno associadas ao desempenho esperado do PI. Além disso,
é de fundamental importância promover uma Análise de Sensibilidade (AS) nos principais fatores intervenientes
no desempenho econômico do PI em estudo (TMA, custos e receitas). O objetivo da AS é aprofundar a percepção
do risco que está sujeito o PI. Além do exposto anteriormente, precisamos construir o diagrama do fluxo de caixa,
construir o gráfico bidimensional: VPLs versus TMAs, elaborar um relatório ponderando os riscos e retornos
associados ao PI e emitir um parecer conclusivo. FALAR DOS MÉTODOS ESTATÍSTICOS E OS DE SIMULAÇÃO. Título
provável: Uma proposta de framework para AVEPI sob risco e incerteza – enfoque probabilístico/estocástico.
Introdução à Análise Econômica de Projetos: Princípios e Práticas – Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eng. Página 2
1. Introdução
A forma usual de incorporar o risco na Análise de Viabilidade Econômica de Projetos de Investimentos
(AVEPI) consiste na Análise de Sensibilidade (AS), que, em geral, envolve a simulação de resultados
para vários níveis de custo de capital (TMA) e/ou taxas de crescimento de vendas, preços, custos
(operações e/ou manutenções) e receitas (BUARQUE, 1989; BRUNI et al., 1998; SOUZA e CLEMENTE,
2008; CASAROTTO E KOPITTKE, 2010; RASOTO et al., 2012; LIMA et al., 2013; LIMA et al., 2014).
Na Análise de Sensibilidade (AS) é estudado o efeito que a variação de um dado de entrada pode
ocasionar nos resultados. Quando uma pequena variação em um parâmetro altera drasticamente a
rentabilidade de um projeto, diz-se que o projeto é muito sensível a este parâmetro e poderá ser
interessante concentrar esforços para obter dados menos incertos (CASAROTTO e KOPITTKE, 2010).
As planilhas eletrônicas são um dos melhores instrumentos para elaborar um estudo de AS.
Segundo Souza e Clemente (2008), a Técnica de Análise de Sensibilidade (TAS) tem sido utilizada para
o caso em que poucos componentes do Fluxo de Caixa (FC) estejam sujeitos a um grau pequeno de
aleatoriedade. É o caso de pequenas variações na Taxa Mínima de Atratividade (TMA), no investimento
inicial (FC0), nos benefícios líquidos periódicos (FCj) ou no prazo do projeto (N). A TAS pode ser
considerada bastante simples de ser aplicada. Para aplicá-la basta variar os parâmetros de entrada,
um de cada vez, resolver o problema e ir anotando os resultados obtidos. Assim, ao invés de se ter um
único resultado, ter-se-á um resumo dos resultados em função dos valores dos parâmetros do
problema. Para cada taxa de desconto (TMA) utilizada, haverá um Valor Presente Líquido (VPL). O
mesmo acontecerá para cada taxa de crescimento das vendas ou duração dos projetos, por exemplo.
Lima et al. (2015) contribuíram para esse tema ao organizar, amparado pela literatura, os principais
indicadores de retorno e risco associados a AVEPI e propor indicadores/índices para a análise de
sensibilidade, os quais determinam a variação máxima para a TMA, para os custos estimados e para as
receitas esperadas para o PI em análise, antes da ocorrência da inviabilidade econômica.
Uma abordagem comportamental similar à análise de sensibilidade, mas de escopo mais amplo, é
usada para avaliar o impacto de várias circunstâncias no retorno da empresa. Ao invés de isolar o
efeito da mudança em uma única variável, a análise de cenário é usada para avaliar o impacto, no
retorno da empresa, de mudanças simultâneas em inúmeras variáveis, tais como: entradas de caixa
(receitas), saídas de caixa (custos) e custo de capital ou de oportunidade (TMA), resultante de
diferentes suposições acerca das condições econômicas e competitivas. Por exemplo, a empresa
poderia avaliar tanto o impacto de um cenário de alta inflação (cenário 1) e outro de baixa inflação
(cenário 2) no VPL de um projeto. Cada cenário afetará as entradas de caixa da empresa, as saídas de
caixa e o custo de capital (TMA), resultando, desse modo, em diferentes níveis de VPL. O responsável
pela tomada de decisões (decision-making) pode usar essa estimativa de VPL para avaliar
“grosseiramente” o risco relacionado como nível de inflação (GITMAN, 2010). A ampla disponibilidade
de planilhas em computadores pessoais tem aumentado bastante a facilidade e ampliado o uso da
técnica de análise de cenários, bem como da análise de sensibilidade.
Contudo, o valor médio é resultante da ponderação de outras médias de cada fluxo de caixa (vendas,
receitas e custos, por exemplo) (BRUNI et al., 1998). Segundo esses autores, o principal conjunto de
fatores de risco dos elementos do fluxo de caixa são: preços praticados, quantidades vendidas, custos
e despesas, inclusive taxas de inadimplência dos canais de distribuição e/ou clientes.
Segundo Bruni et al. (1998) o tratamento matemático/estatístico tradicional é complexo e fora da
realidade da maioria dos tomadores de decisão (decision-making) e/ou analistas de projetos, pelo nível
de conhecimento exigido.
Uma alternativa para esse problema é a utilização do Método de Simulação de Monte Carlo (MSMC)
no cálculo da variabilidade do VPL de um PI (BRUNI et al., 1998). Esse procedimento envolve a
utilização de números aleatórios nas simulações, facilitando os cálculos do risco do PI, pincipalmente
como o auxílio de uma planilha eletrônica de cálculo, como o MS-Excel® ou o uso de um software
específico para tal finalidade, como o Oracle Crystal Ball, o Palisade @ Risk e o Vose ModelRisk.
Isso permite a geração automática dos resultados (BRUNI et al., 1998; BRUNI, 2013).
A simulação é uma abordagem comportamental baseada em estatística. É usada em orçamento de
capital para que se tenha em percepção do risco por meio da aplicação de distribuições probabilísticas
pré-determinadas e números aleatórios para se estimar os resultados “arriscados”. Reunindo os vários
componentes do Fluxo de Caixa (FC) em um modelo matemático e repetindo o processo várias vezes,
o analista pode obter a distribuição probabilística dos retornos esperados de um projeto de
investimento (GITMAN, 2010). Segundo Abreu e Stephan (1982), a ideia básica dos modelos de
simulação é a de que resultados específicos que interessam ao analista (VPLs, por exemplo) não podem
ser observados diretamente, mas em contrapartida fenômenos ligados a eles podem. Na medida em
que o VPL é o resultado de um conjunto de fatores distintos, em vez de tentar estabelecer diretamente
o VPL e sua distribuição de probabilidade, é mais indicado concentrar-se nas distribuições de
probabilidades dos fatores individuais que podem ser determinadas mais facilmente.
A simulação é uma ferramenta poderosa, mas deve-se ter muito cuidado ao definir tipos e parâmetros
de distribuição de cada variável, sob pena de obter resultados totalmente inúteis (CASAROTTO e
HOPITTKE, 2010). O Método de Simulação de Monte Carlo (MSMC) é um método de simulação
baseado na utilização de números aleatórios que são sorteados – justificado o nome, já que o princípio
é semelhante ao da roleta – para gerar resultados e as distribuições de probabilidades correspondentes
(ABREU e STEPHAN, 1982).
Essa metodologia, incorporada a modelos de finanças, fornece como resultado aproximações para as
distribuições de probabilidade dos parâmetros que estão sendo estudados. São realizadas diversas
simulações sendo que, em cada uma delas, são gerados valores aleatórios para o conjunto de variáveis
de entrada e parâmetros do modelo que estão sujeitos à incerteza. Tais valores aleatórios gerados
seguem distribuições de probabilidade específicas que devem ser identificadas ou estimadas
previamente (COSTA e AZEVEDO, 1996).
Um pouco de história sobre o MSMC
Segundo Corrar (1993), o Método de Simulação de Monte Carlo (MSMC) foi criado em 1940, pelos
pesquisadores Von Neunann e Ulam, para solucionar problemas de blindagem em reatores nucleares.
O MSMC foi descoberto durante a II Guerra Mundial, nas pesquisas para o desenvolvimento da bomba
atômica. A adaptação do MSMC para a área de análise de investimento foi desenvolvida por David B.
Hertz em 1964. Atualmente, está sendo amplamente utilizado em razão dessas planilhas (LIMA et al.,
2008) ou softwares específicos.
O MSMC é uma técnica que envolve utilização de números aleatórios (ou randomizados) e
probabilidade para resolução de problemas. O termo Monte Carlo foi dado pelos pesquisadores S.
Ulam e Nicholas Metropolis em homenagem a atividade mais popular de Monte Carlo, Mônaco, os
jogos (GUJARATI, 2002).
Segundo Moore e Weatherford (2005), o MSMC é um dos vários métodos para análise da propagação
da incerteza. Sua principal vantagem é determinar como uma variação randomizada (ou aleatória), já
conhecida, ou o erro, afetam a performance ou a viabilidade do sistema que está sendo modelado.
Para Moore e Weatherford (2005), o MSMC pode ser amplamente utilizado na avaliação de projetos,
na qual os riscos envolvidos podem ser expressos de forma simples e de fácil leitura, e as simulações
auxiliam a decisão. Assim, os indicadores deixam de ser determinísticos e passam a ser estocásticos
(ou probabilísticos). Segundo Noronha (1987), o MSMC é um método ideal, e que pode ser adotado
para avaliar investimentos florestais considerando explicitamente o risco.
ATIVIDADE PROPOSTA: Após uma cuidadosa leitura dessa introdução, destaque pelo menos uma
frase que lhe chamou a atenção e/ou elabore pelo menos uma questão-dúvida.
RISCO E INCERTEZA NA ANÁLISE DA VIABILIDADE ECONÔMICA DE PROJETOS DE INVESTIMENTOS
Adaptado a partir de Souza e Clemente (2008)
Um fato real, e que introduz uma nova dimensão na análise de projetos de investimentos, é a incerteza.
Esta tem origem na impossibilidade de se controlarem os eventos futuros. Pode-se fazer previsão sobre
os eventos futuros, mas não se pode determinar exatamente quando e com que intensidade eles irão
ocorrer. Exemplos clássicos desses eventos são o comportamento futuro da economia, as vendas
futuras de certo produto, o desgaste e custos de manutenção de equipamentos, por exemplo. Apesar
da incerteza, o tomador de decisão tem de decidir, à luz das informações disponíveis, qual o melhor
curso de ação a ser tomado.
Os capítulos anteriores tinham como pressuposto o conhecimento determinístico dos elementos que
compõem o Fluxo de Caixa (FC), ou seja, admitia-se conhecer com certeza a taxa de desconto (TMA) a
ser utilizada, a duração do projeto (N) e quais seriam as receitas (Rj) e os custos (Cj) previstos para cada
período (j). Estimar os valores (ingressos e desembolsos) e compor o FC representativo de um Projeto
de Investimento (PI) com os valores resultantes significa utilizar aproximações ou médias. Para evitar
a fragilidade dessa abordagem, recorre-se a técnicas de análise que levem em conta a aleatoriedade
dos elementos que compõem o FC de um PI.
A distinção, de natureza muito mais acadêmica do que prática, entre risco e incerteza, está associada
ao grau de conhecimento que se tem sobre o futuro. O termo incerteza é geralmente utilizado quando
a informação disponível é tão escassa que não se sabe quais os eventos possíveis ou se sabe os eventos
possíveis, mas não se consegue atribuir probabilidades a eles. O termo risco é utilizado quando a
informação disponível é suficiente para determinar os possíveis eventos e atribuir-lhes probabilidades.
As situações de incerteza absoluta são raras porque em geral é possível pelo menos estabelecer
limites para as variáveis de interesse.
As técnicas mais conhecidas para tratar risco e incerteza são Análise de Sensibilidade, Análise de
Cenários, Árvores de Decisão, Geração Analítica da Distribuição de Probabilidade do Valor Presente
Líquido do Projeto (VPL) e Geração Numérica da Distribuição de Probabilidade do Valor Presente
Líquido do Projeto (VPL) ou Simulação.
ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
A técnica de Análise de Sensibilidade (AS) é utilizada para o caso em que há poucos componentes do
FC sujeitos a aleatoriedade e o grau dessa aleatoriedade seja baixo. É o caso de pequenas variações
na Taxa Mínima de Atratividade (TMA), no Investimento Inicial (FC0) ou nos Benefícios Líquidos
Periódicos (FCj), ou no prazo do projeto (N). Por exemplo, pode-se não ter certeza sobre qual taxa de
desconto (TMA) utilizar, mas pode-se esperar que se situe no intervalo de 8% a 10%. Outro exemplo é
o de não se saber exatamente qual o crescimento futuro das vendas, mas ter como razoável que a taxa
de crescimento não ultrapasse 20%. Meus índices-limites não são melhores/mais importantes?
A técnica de Análise de Sensibilidade é de aplicação bastante simples. Para aplicá-la, basta variar os
parâmetros de entrada, um de cada vez, resolver o problema e ir anotando os resultados obtidos.
Assim, ao invés de ter um único resultado, ter-se-á um resumo dos resultados em função dos valores
dos parâmetros do problema. Para cada taxa de desconto utilizada, haverá um Valor Presente Líquido
(VPL). Lembre-se da análise do gráfico: VPLs X TMAs que fizemos para os exemplos ilustrativos nos
capítulos anteriores. O mesmo acontecerá para cada taxa de crescimento das vendas e duração do
projeto, por exemplo.
A ideia básica, ao se utilizar a técnica de Análise de Sensibilidade, é a de verificar quão sensível é a
variação do VPL à variação de um dos componentes do FC. Os parâmetros que, proporcionalmente,
provocarem maior variação no VPL serão classificados como sensíveis ou críticos. Aqui entra os índiceslimites de AS propostos por Lima et al. (2015), que busca identificar a tolerância máxima nas principais
variáveis intervenientes no desempenho econômico do PI em estudo. Esses parâmetros deveriam
merecer investigações adicionais para melhorar sua estimativa e, por consequência, melhorar
também as informações relevantes para a tomada de decisão. Para ilustrar essa técnica, considere-se
o seguinte exemplo.
Exemplo ilustrativo:
Um projeto demanda investimento inicial de R$ 35.000,00. Os benefícios líquidos anuais serão, por
força de contrato, no mínimo iguais a R$ 6.000 pelos próximos 8 anos. Além desses benefícios, a
empresa espera obter benefícios que irão depender do comportamento da economia. A empresa
acredita que a taxa de crescimento anual dos benefícios provenientes do mercado não ultrapassará
10% e, por questão de capacidade de produção, esses benefícios não ultrapassarão o valor de cerca de
R$ 9.000,00. A taxa de desconto a ser utilizada pela empresa também contém um componente de
incerteza, podendo oscilar entre 10% até 12% ao ano. Analisar a viabilidade econômica do projeto.
Resolução:
A solução desse problema pela abordagem da Análise de Sensibilidade consiste em introduzir
pequenas variações nos parâmetros e observar o comportamento do VPL em decorrência dessas
variações. Para esse problema, em particular; foram criados cenários imaginando-se que os benefícios
líquidos aumentem segundo as seguintes taxas: 2%, 3%, 4%, 5%, 7,5% e 10%. Para cada um desses
cenários, calculou-se o VPL do projeto para cada uma das possíveis Taxas de Mínima Atratividade
(TMAs), isto é: 10%, 10,5%, 11%, 11,5% e 12%.
A Tabela a seguir apresenta os Fluxos de Caixa (FCs) para os diferentes cenários de crescimento.
Tabela 1 – Fluxo de caixa para diferentes cenários de crescimento
Período
0
Taxa de crescimento
0,0%
2,0%
3,0%
4,0%
5,0%
7,5%
10,0%
-R$ 35.000,00 -R$ 35.000,00 -R$ 35.000,00 -R$ 35.000,00 -R$ 35.000,00 -R$ 35.000,00 -R$ 35.000,00
1
R$ 6.000,00
R$ 6.120,00
R$ 6.180,00
R$ 6.240,00
R$ 6.300,00
R$ 6.450,00
R$ 6.600,00
2
R$ 6.000,00
R$ 6.242,40
R$ 6.365,40
R$ 6.489,60
R$ 6.615,00
R$ 6.933,75
R$ 7.260,00
3
R$ 6.000,00
R$ 6.367,25
R$ 6.556,36
R$ 6.749,18
R$ 6.945,75
R$ 7.453,78
R$ 7.986,00
4
R$ 6.000,00
R$ 6.494,59
R$ 6.753,05
R$ 7.019,15
R$ 7.293,04
R$ 8.012,81
R$ 8.784,60
5
R$ 6.000,00
R$ 6.624,48
R$ 6.955,64
R$ 7.299,92
R$ 7.657,69
R$ 8.613,78
R$ 9.000,00
6
R$ 6.000,00
R$ 6.756,97
R$ 7.164,31
R$ 7.591,91
R$ 8.040,57
R$ 9.000,00
R$ 9.000,00
7
R$ 6.000,00
R$ 6.892,11
R$ 7.379,24
R$ 7.895,59
R$ 8.442,60
R$ 9.000,00
R$ 9.000,00
8
R$ 6.000,00
R$ 7.029,96
R$ 7.600,62
R$ 8.211,41
R$ 8.864,73
R$ 9.000,00
R$ 9.000,00
A Figura 1 ilustra o comportamento do VPLs em função de diferentes TMAs e de crescimento do
mercado.
Taxa Mínima de Atratividade (TMA)
Taxa de
crescimento
10,0%
10,5%
11,0%
11,5%
12,0%
0,0%
-R$ 2.990,44
-R$ 3.564,87
-R$ 4.123,26
-R$ 4.666,18
-R$ 5.194,16
2,0%
-R$ 313,96
-R$ 952,09
-R$ 1.572,16
-R$ 2.174,81
-R$ 2.760,67
3,0%
R$ 1.112,60
R$ 440,14
-R$ 213,17
-R$ 848,03
-R$ 1.465,07
4,0%
R$ 2.601,45
R$ 1.892,89
R$ 1.204,63
R$ 535,93
-R$ 113,88
5,0%
R$ 4.155,27
R$ 3.408,76
R$ 2.683,76
R$ 1.979,50
R$ 1.295,25
7,5%
R$ 6.912,74
R$ 6.110,20
R$ 5.330,72
R$ 4.573,47
R$ 3.837,67
R$ 8.485,55 R$ 7.659,70 R$ 6.857,40 R$ 6.077,82
Figura 1 – VPL para diferentes TMAs e taxas de crescimento
R$ 5.320,15
10,0%
Pela análise dos cenários explorados, verifica-se que o projeto será inviável se a economia não se
expandir e, por consequência, o mercado não crescer, mantendo-se o benefício anual no mínimo de
R$ 6.000,00. Inspecionando-se rapidamente os resultados, pode-se afirmar que a viabilidade do
projeto depende mais fortemente da taxa de crescimento do mercado do que da variabilidade da
TMA. Se a taxa de crescimento for superior a 4%, os resultados (VPL) tendem a viabilizar o projeto. Em
resumo, o presente projeto apresenta risco considerável, e a decisão de executá-lo depende do grau
de aversão ao risco do tomador de decisão. O tomador de decisão poderia tentar mensurar o risco
determinando a probabilidade do presente projeto ser inviável. Para tal, é necessário que se conheçam
as probabilidades associadas a cada uma das possíveis taxas de crescimento dos benefícios anuais e
também dos possíveis valores para a TMA.
Dependendo das opções de análise que se façam, a Análise de Sensibilidade poderia envolver outros
indicadores de viabilidade, bem como poderia envolver dois ou mais desses indicadores
simultaneamente. O analista que estivesse, por exemplo, interessado no VPL e no Payback poderia
observar como esses indicadores são afetados por variações em fatores como preços de venda e
preço de algum insumo representativo dos custos operacionais.
Nome do arquivo: Tecnica_Analise_Cenario_Exemplo_Souza_Clemente_2008_2015novembro06.xlsx
Disponível para download em: http://pb.utfpr.edu.br/savepi/materialDeApoio.php
ANÁLISE: A maior restrição ao bom desempenho desse projeto é a taxa de crescimento, que deve
ficar pelo menos acima de 3%, desde que a TMA não ultrapasse 10,5%. Para independer da TMA, a
taxa de crescimento deve ser de pelo menos 5%. Portanto, o projeto de investimento pode ser
realizado, contudo algumas ações (aumento das vendas, redução da inadimplência, melhora no
processo produtivo com redução de perdas e retrabalho, por exemplo) devem ser executadas para
que o retorno seja positivo.
ATIVIDADE PROPOSTA: Calcular os demais indicadores de retorno e de risco e os índices-limites da
análise de sensibilidade propostos por Lima et al. (2015).
GERAÇÃO ANALÍTICA DA DISTRIBUIÇÃO DO VPL
Quando se admite explicitamente que os valores que compõem o Fluxo de Caixa (FC) de um Projeto
de Investimento (PI) são de natureza aleatória, busca-se determinar a Função Densidade de
Probabilidade (fdp) do Valor Presente Líquido (VPL). A geração da fdp do VPL pode ser feita analítica
ou numericamente. A geração analítica tem como pré-requisito o conhecimento da distribuição de
probabilidade do fluxo de benefícios ou, na ausência dessa, o valor médio e a variância de cada um
dos componentes aleatórios do projeto. Para analisar essa situação, considere-se o fluxo de caixa a
seguir, no qual o benefício do período j é representado pela variável aleatória Xj, com média j e
variância j2 conhecidas.
O suporte teórico para a geração analítica da fdp do VPL do Fluxo de Caixa (FC) anterior é o Teorema
do Limite Central (TCL). Este teorema, sob condições especiais (QUAIS? Pesquise), demonstra que a
soma de n variáveis aleatórias independentes tende para uma distribuição normal com média igual à
soma das médias e variância igual à soma das variâncias. As condições para validar o TCL, segundo
Hines e Montgomery (1972, p. 176) e Barbetta et al. (2010), é que as variáveis aleatórias sejam
independentes e que nenhuma delas contribua significativamente para a soma das variâncias.
Aplicando-se o TCL ao FC apresentado anteriormente, conclui-se que a fdp do VPL do projeto será
normalmente distribuída com esperança matemática ou média E(X)= 
j
N

j 0
(1  i ) j
e variância V(X) = 2
 2j
N
 
2
j 0
[(1  i ) 2 ] j
Lembre-se: E(c.X) = c.E(X) e V(c.X) = c2.V(X).
Da leitura do teorema do limite central, constata-se que seria necessária independência entre os
componentes do fluxo de caixa representativo de certo projeto de investimento. Na prática, essa
hipótese nem sempre pode ser satisfeita e isso traz complicações adicionais para a geração analítica
da fdp do VPL. Casaroto Filho e Kopittke (1987, p. 180-193) desenvolveram modelos para o caso de
valores perfeitamente correlacionados no FC. Na prática, a hipótese de perfeita correlação não é muito
comum, limitando o uso desses modelos.
Outra limitação para o uso da abordagem analítica para a geração da fdp do VPL de um projeto é a
dificuldade de se identificarem as funções de probabilidade que irão representar cada um dos
benefícios do fluxo de caixa do projeto. Alguns autores têm advogado o uso da Distribuição Beta. O
argumento para o uso da Distribuição Beta tem recaído no fato de ter uma configuração bastante
genérica e poder ser caracterizada por três parâmetros locacionais (um valor mínimo a, um valor mais
provável m e um valor máximo b). De posse desses parâmetros, a média e a variância do benefício Xj
podem ser calculadas respectivamente por:
a  4m  b
j 
6
e
b  a 
 

 6 
2
2
j
É incontestável a simplicidade das fórmulas da média e da variância da Distribuição Beta, decorrendo
daí um apelo para o seu uso. Contudo, as fórmulas acima só são validas em condições especiais, quando
se fixam os outros dois parâmetros da Distribuição Beta que, a rigor é definida por cinco parâmetros.
Para um aprofundamento dessa questão, ver o trabalho de Souza (1980, p. 16-24).
As dificuldades esplanadas talvez sejam as principais causas para o uso limitado da abordagem
analítica para a geração da fdp do VPL dos projetos de investimentos.
Para ilustração, considere-se o seguinte exemplo:
Um projeto demanda investimento inicial de R$ 50.000,00 e terá duração de 10 (dez) anos. Os
benefícios líquidos anuais serão, por força de contrato, iguais a R$ 7.000,00. Além desses benefícios, a
empresa espera obter benefícios adicionais que irão depender do comportamento da economia. A
empresa espera poder obter benefícios adicionais que variarão de R$ 1.000 a R$ 5.000, isto é, qualquer
valor nesse intervalo é igualmente provável (distribuição uniforme). A taxa de desconto (TMA) a ser
utilizada pela empresa é 10% ao ano. Analisar a viabilidade econômica desse projeto de investimento.
Resolução: Da análise do enunciado do problema, depreende-se que os benefícios são uniformemente
distribuídos no intervalo que vai de R$ 8.000,00 a R$ 12.000,00. Sabe-se que se uma variável aleatória
Xj é uniformemente distribuída no intervalo [a; b], sua média j e sua variância j2 serão dadas
respectivamente por:
j 
ab
2
e
 2j 
(b  a ) 2
12
Para o problema em análise, os respectivos valores da média e da variância serão:
j 
8.000  12.000
 10.000
2
e
 2j 
(12.000  8.000) 2
 1.333.333,33
12
De posse dos valores da média e da variância dos benefícios, recorre-se ao Teorema do Limite Central
(TLC) para encontrar a função densidade de probabilidade (fdp) do Valor Presente Líquido (VPL) do
Projeto de investimento (PI). Por esse teorema, sabe-se que a função densidade procurada será
normalmente distribuída com média j igual a:
N
VPL   | FC0 | 
j 1
j
10
(1  TMA)
j
10.000
11.445,67
j
j 1 (1  10%)
  50.000  
e variância j2 igual a:

N
2
VPL

j 1
 2j
10
[(1  TMA) ]
j 2
1.333.333,33
5.405.437,28
j 2
j 1 [(1  10%) ]

Assim, consegue-se especificar a fdp do VPL do projeto como sendo ~N(11.445,67; 5.405.437,28),
como apresentada na Figura a seguir.
Figura – Função densidade de probabilidade do VPL do Projeto de Investimento em estudo
A importância de conhecer a fdp do VPL do projeto reside em poder responder a qualquer pergunta
sobre o desempenho do projeto em termos do binômio risco-retorno, isto é, pode-se responder o
quão provável é a ocorrência de determinado VPL. Por exemplo, nesse caso, usando-se o
conhecimento que se tem da distribuição normal, podem-se calcular as probabilidades de ocorrência
para diferentes valores do VPL do projeto com base em intervalos baseados no desvio-padrão. A Tabela
a seguir ilustra esse procedimento.
Tabela – Probabilidade de ocorrência de intervalos de confiança para o VPL
Limite inferior (a) Limite superior (b) Afastamento da média P(a < VPL < b)
9.120
13.770
68,27%
1
6.795
16.095
95,45%
2
4.470
18.420
99,73%
3
Além disso, da análise dos resultados da Tabela anterior, pode-se concluir, sem necessidade de cálculos
adicionais, que a probabilidade de esse projeto apresentar prejuízo financeiro (VPL < 0) é praticamente
nula. O mesmo ocorre também para a probabilidade de ocorrência de VPL com valores superiores a
R$ 20.000,00. Por outro lado, a probabilidade que o VPL fique entre R$ 5.000,00 e R$ 20.000,00 é de
99,71%. A seguir, apresenta-se as telas de resolução desse problema no MS-Excel.
Nome do arquivo: SOUZA_CLEMENTE_2008_page148_2015novembro06.xlsx
Nome do arquivo: Risco_Incerteza_Geracao_Analitica_da_distribuicao_do_VPL_2015novembro06.xlsx
ATIVIDADE PROPOSTA: Ler o artigo de Ferreira (2004, p.1-8): FERREIRA, Marcos Antonio Masnik. Indicadores para análise
de projetos de investimento considerando fluxos de benefícios não-determinísticos. Revista de Negócios, Blumenau, v.9,
n.4, p. 207-214. Outubro/dezembro 2004. Analista do Banco Central do Brasil – Pós-Graduação em Métodos Numéricos em
Engenharia UFPR. Disponível em: <http://proxy.furb.br/ojs/index.php/rn/article/view/270>. Acesso em: nov. 2015.
ANÁLISE DE RISCO: Análise de Sensibilidade
Adaptado de Bruni et al. (1998, p.7)
Normalmente, as abordagens de avaliação de projetos apresentadas são determinísticas: espera-se
que os valores projetados realmente ocorram. O tratamento do risco do projeto, quando existe, é
comumente feito por meio da utilização de análise de sensibilidade, para o custo de capital do projeto
ou para o possível crescimento dos fluxos de caixa futuros. Como um exemplo ilustrativo podemos
elaborar uma matriz de sensibilidades para o custo de capital conforme é apresentado a seguir:
“Imagine que um PI apresenta a distribuição de FC apresentada a seguir”:
De acordo com os valores obtidos e de forma aproximada, para valores de k entre 25% e 60%, teríamos
VPLs negativos, devendo o projeto ser recusado a essas taxas. É uma primeira aproximação, mas que
representa uma tentativa de consideração do risco no projeto, ainda que bastante simples.
ANÁLISE DE RISCO: O tratamento matemático/estatístico convencional
Adaptado de Bruni et al. (1998, p.7)
O tratamento de um Fluxo de Caixa (FC) em condições de risco é apresentado por Securato (1996,
p.61). Considere-se um FC dado pela sequência de valores futuros representados por:
{FCj} j = 1, 2, 3, ..., n = {FC1, FC2, FC3, ..., FCn}
no qual FCj são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com uma função
densidade de probabilidade f(FCj). Considere também uma taxa de desconto pré-determinada de i%
ao período.
Em uma distribuição discreta de probabilidade poderíamos representar os FCs e suas respectivas
probabilidades de ocorrência como:
FCj
FC1
FC2
FC3 ... FCn
P(FCj) P(FC1) P(FC2) P(FC3) ... P(FCn)
Cada VPL é dado por:
FC j
j
j 1 (1  i )
n
VPL  
A esperança do VPL dos FCs futuros é expressa por:
E[ FC j ]
j
j 1 (1  i )
n
E[VPL ]  VPL  
O risco do projeto, expresso sob a forma do desvio-padrão destes FC, é dado por:
n Var[ FC ]
j
Var[VPL ]  VPL  
2 j
(
1

i
)
j 1
Ou seja, o risco do projeto Var[VPL ] é função dos riscos individuais.
Lembre-se da propriedade da variância: Var(c.X) = c2.Var(X).
ARTIGO – INDICADORES PARA ANÁLISE DE PROJETOS DE INVESTIMENTO
CONSIDERANDO FLUXOS DE BENEFÍCIOS NÃO-DETERMINÍSTICOS
FERREIRA, Marcos Antonio Masnik. Indicadores para análise de projetos de investimento considerando fluxos de
benefícios não-determinísticos. Revista de Negócios, Blumenau, v.9, n.4, p. 207-214. Outubro/dezembro 2004. Analista
do Banco Central do Brasil – Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia UFPR. Disponível em:
<http://proxy.furb.br/ojs/index.php/rn/article/view/270>. Acesso em: nov. 2015. INDICATORS FOR ANALYSIS OF
INVESTMENT PROJECTS CONSIDERING CHANGES IN NON-DETERMINED BENEFITS.
Resumo
Este artigo estuda o problema da análise de fluxos de caixa nos quais os benefícios futuros não são
determinísticos. Na grande maioria dos projetas do mundo moderno, é extremamente difícil, quando
não impossível, determinar com exatidão os valores futuros a serem auferidos. É sumamente
importante que o tomador de decisão tenha elementos para poder verificar quando esses benefícios
estão estimados dentro de uma faixa de valores. A abordagem clássica da análise de projetos parte do
pressuposto, já inadequado, de que os benefícios são previamente determinados com exatidão, o que
não ocorre em grande parte dos casos. Portanto, a utilidade desta abordagem encontra seu limite
quando os valores são distribuídos aleatoriamente dentro de uma faixa de valores. Este artigo se
propõe a desvendar e apresentar uma metodologia para a análise de projetos nos quais os fluxos de
benefícios são estimados dentro de uma faixa de valores.
Palavras-chave: Fluxo de caixa. Distribuição de probabilidades. Projetos – avaliação. Investimentos –
análise.
Abstract
This paper studies the problem of cash flow analysis in which future benefits are undetermined. In the
great majority of projects in the modern world, it is extremely difficult, if not impossible, to determine
with any exactitude the value of future profits. It is highly important that decision makers have the
elements necessary for verifying when these benefits are estimated within a spectrum of values. The
classic approach in project analysis begins with already inadequate supposition that benefits are
previously determined with exactitude, which does not occur in most cases. Therefore, the utility of
this approach finds its limit when values are randomly distributed upon a spectrum of values. This
chapter proposes to reveal and present a methodology for project analysis in which fIows of benefits
are estimated within a spectrum of values.
Key-words: Cash flow. Distribution of probabilities. Projects – evaluation. Investment – analysis.
1. Introdução
A grande questão que se coloca para o Engenheiro de Finanças é: que projetos devem ser realizados e
quais devem ser abandonados? Meyers e Breakey (1996) e Souza e Clemente (2004) defendem um
conjunto de índices para a análise de rentabilidade e risco de projetos nos quais se conheça, de maneira
determinística, o fluxo futuro dos benefícios a serem auferidos caso se decida pela sua implantação.
Valor Presente Líquido (VPL), Valor Presente Líquido Anualizado (VPLA), Índice Benefício Custo (IBC),
Retorno Adicional sobre o Investimento (ROlA) e Taxa Interna de Retorno (TIR) são os principais
indicadores apresentados por Souza e Clemente (2004). A razão de se utilizarem diversos indicadores
e não apenas um, como sustentam alguns autores, é propiciar ao tomador de decisão uma VISÃO
MAIS ABRANGENTE DO INVESTIMENTO no que tange tanto a sua rentabilidade quanto ao seu risco.
Essa é a principal justificativa para a utilização de uma METODOLOGIA MULTI-ÍNDICE AMPLIADA (há
lacunas: MMIA) PARA A ANÁLISE DA VIABILIDADE ECONÔMICA DE PROJETOS DE INVESTIMENTOS.
Entretanto, para a grande maioria dos projetos do mundo moderno, é impossível determinar
exatamente qual será o fluxo dos benefícios durante a vida do projeto. Ao Engenheiro de Finanças,
nesses casos, é fornecido não mais um valor exato para cada período, e sim uma faixa de valores
considerados como aceitáveis. Nesse caso, o problema torna-se bem mais complexo, não que se esteja
considerando a análise determinística como simples. Apenas se está considerando que a Engenharia
de Finanças já domina, em sua grande parte, a questão de analisar projetos com fluxos de benefícios
determinísticos.
2. Objetivos
O objetivo deste estudo é demonstrar como os indicadores VPL, VPLA, IBC, ROlA e TIR podem ser
usados também para fluxos aleatórios. Como o fluxo de benefícios é aleatório, o que se determinará
para cada indicador é a sua média, variância e desvio-padrão. Assim, pode-se responder a perguntas,
como por exemplo: qual é a probabilidade de que o VPL esteja abaixo, acima ou entre determinados
valores? Dessa forma, o tomador de decisão poderá, considerando a distribuição de probabilidade de
cada indicador, optar ou não pela implantação do projeto.
Segundo Bernstein (1997), o risco é uma opção, e não um destino do ser humano. Cabe à ciência
informar ao tomador de decisão qual é esse risco e, por conseguinte, o tomador de decisão, decidirá
se é conveniente a implantação do projeto. Ele é livre para ousar ou não. Entretanto, sua decisão será
fruto de uma análise concreta, e não uma mera aposta no incerto.
3. Distribuição de probabilidade dos indicadores de análise de projetos
Para o restante deste artigo, considera-se o seguinte problema que apresenta um fluxo aleatório de
benefícios: um projeto necessita de um investimento inicial de R$ 100.000,00 e, durante o prazo de
10 anos, terá um fluxo de benefícios esperados que será uniformemente distribuído entre cerca de
R$ 16.000,00 e R$ 24,000,00. Nesse intervalo, qualquer valor é igualmente provável. Considera-se que
a taxa de desconto, também conhecida por Taxa de Mínima Atratividade (TMA), utilizada pela empresa
seja de 10% ao ano. A Figura a seguir apresenta o diagrama do Fluxo de Caixa para o projeto em estudo.
Depreende-se do enunciado que os benefícios do projeto estejam uniformemente distribuídos entre
R$ 16.000,00 e R$ 24.000,00. Meyer (1983) mostra que o Valor Esperado E(X) de uma variável aleatória
uniformemente distribuída, no intervalo [a, b], é dado por: E(X) = (a + b)/2, na qual [a, b] representa o
intervalo de variação de X. A variância de uma distribuição uniforme é dada por: V(X) = (b –a)2/12.
Assim, para o problema enunciado anteriormente, pode-se calcular a esperança matemática E(X), ou
seu valor médio, de cada benefício e a Variância V(X), como segue:
E(X) = (16.000 + 24.000)/2 = 20.000,00
(01)
V(X) = (24.000 – 16.000)2/12  5.333.333,33
(02)
e
Caso a distribuição de probabilidade do fluxo seja outra que não a uniforme, a média e a variância de
cada fluxo individual devem ser calculadas de acordo com a distribuição de probabilidade do problema.
No presente estudo de caso, se está assumindo que, para todos os benefícios futuros, a distribuição
de probabilidade é a uniforme.
A seguir, serão apresentados os cálculos dos indicadores de retorno e de risco do projeto (VPL, VPLA,
IBC, ROIA e TIR), levando em consideração o fluxo aleatório dos benefícios.
3.1. Valor Presente Líquido (VPL)
O VPL é calculado descontando-se, usando a TMA como taxa de desconto, todos os valores dos
benefícios para o período zero. Em seguida, subtrai-se desses valores o investimento inicial (FC0). Caso
esse valor seja positivo, o projeto apresenta ganho em relação à TMA e, a princípio, é vantajosa sua
implantação.
Entretanto, no problema aqui apresentado, estão sendo somadas variáveis aleatórias e se precisa fazer
uso do Teorema do Limite Central (TLC), também apresentado por Barbetta et al. (2010). Ao somar
uma sequência de variáveis aleatórias independentes Xi, sendo Sn = X1 + X1 + ... + Xn a soma dessas
S  E (Sn )
variáveis, o TLC trata da convergência da distribuição da estatística n
para uma distribuição
V (Sn )
N(0,1).
No problema em estudo, ter-se-á que a soma das variáveis aleatórias conduzirá para uma distribuição
normal com média () igual a:
N
10
j
20.000
(03)
VPL   | FC0 | 


100
.
000

 22.891,34

j
j
j 1 (1  TMA)
j 1 (1  10%)
Nesse caso, temos: TMA = 10%, investimento inicial = FC0 = R$ 100.000,00 e valor médio dos benefícios
= E(X) = 20.000, calculado em (01)
A Variância (2) do VPL é calculada através da seguinte expressão:
N
10
 2j
5.333.333,33
 2VPL  

 21.621.749,13

j 2
j 2
j 1 [(1  TMA) ]
j 1 [(1  10%) ]
(04)
Variância de cada período V(X)  5.333.333,33, calculada em (02).
Elevou-se parte da expressão anterior ao quadrado devido à propriedade da Variância, V(X) = 2V(X)
na qual X é a variável aleatória, e  é uma constante. Na expressão anterior, o valor de 5.333.333,33 é
a variável aleatória, e todo o restante da expressão é determinístico; por essa razão, elevou- se ao
quadrado.
Dessa forma, para o problema exposto, tem-se que a soma das variáveis aleatórias (fluxo dos períodos)
conduziu a uma distribuição N(22.891,34; 21.621.749,13). Sendo o desvio-padrão () a raiz quadrada
da variância, tem-se, então, que: VPL  4.649,92.
A Figura 1 mostra a distribuição de probabilidade do VPL considerando a média e a variância calculadas.
Com essa distribuição de probabilidade, pode-se calcular a probabilidade de o VPL estar abaixo, acima
ou entre quaisquer valores, como nos exemplos a seguir:
(1) P(VPL < 15.000,00) = 4,48%. (2) P(18.241,42 < VPL < 27.541,26) = 68,27%.
No exemplo 2, observa-se que a probabilidade encontrada é a mesma de, em uma distribuição normal,
se estar entre um desvio-padrão abaixo e acima da média. Nesse momento, cabe ao tomador de
decisão considerar se vale a pena ou não, levando em conta o risco calculado, implantar o projeto.
Figura 1 – Distribuição da Probabilidade do VPL
O VPL sozinho pode conduzir o “Engenheiro de Finanças” a um juízo equivocado sobre a conveniência
de se implantar o projeto. O VPL apenas está indicando, considerando toda a vida do projeto, se há
ou não ganho. Dois projetos podem apresentar o mesmo VPL, mas um com um período de vida de 10
anos, e outro, de 50. Nesse caso, o de menor duração será mais vantajoso, pois apresenta um ganho
maior ao ano. ÓTIMO EXEMPLO ILUSTRATIVO.
Assim sendo, outros indicadores são necessários para a tomada de decisão. O VPLA fornece uma ideia
clara a respeito da rentabilidade periódica (anual, por exemplo) do projeto. A seguir, demonstra-se o
cálculo da distribuição de probabilidade desse indicador.
3.2. Valor Presente Líquido Anualizado (VPLA)
Enquanto o VPL concentra todos os valores do fluxo de benefícios no período zero, o VPLA transforma
em uma série uniforme, ao longo da vida do projeto, o valor do VPL, permitindo, assim, que se
comparem projetos com horizontes distintos. Como já se tem calculado o valor médio do VPL
(22.891,34), através da expressão (03), o cálculo do valor médio do VPLA é dado pela expressão da
série uniforme de pagamento:
VPL  TMA  (1  TMA) N 22.891,34 10%  (1  10%)10
VPLA 

 3.725,46
(05)
[(1  TMA) N  1]
[(1  10%)10  1]
Este valor pode também ser obtido usando-se a fórmula PGTO(10%; 10; -22.891,34) do MS-Excel,
sendo seus parâmetros, respectivamente, a taxa de juros (ou desconto) por período (TMA), o número
de períodos (10) e o Valor Presente Líquido (VPL) da série.
Para o cálculo da variância, segue-se o mesmo raciocínio, considerando, entretanto, a propriedade já
mencionada da variância V(X) = V(X). Tem-se que calcular a variância do VPLA a partir da variância
do VPL usando a mesma expressão da série uniforme anterior:
2
2
 TMA  (1  TMA) N 
10%  (1  10%)10 
 VPLA   VPLA  

21
.
621
.
749
,
13


 [(1  10%)10  1]   572.675,02
N
 [(1  TMA)  1] 


2
2
(06)
Deve-se recordar que, na expressão acima, a única variável aleatória é o valor 21.621.749,13 e que,
portanto, o restante deve ser elevado ao quadrado, por ser uma constante. De posse da variância, o
cálculo do desvio-padrão é: VPLA = R$ 756,75.
Outra possibilidade é calcular primeiro o desvio-padrão do VPLA a partir do desvio-padrão do VPL e,
em seguida, calcular a variância do VPLA. O desvio-padrão do VPLA pode ser obtido através da fórmula
VPLA = PGTO(10%; 10; 4.649,92) = 756,75, sendo 10% a taxa de juros, 10 a quantidade de períodos
e R$ 4.649,92 o desvio-padrão do VPL. O que se fez foi transformar o desvio-padrão do VPL em uma
série uniforme com o número de períodos do projeto de investimento (PI).
Então, o problema apresenta uma distribuição normal de probabilidade do VPLA de acordo com os
parâmetros N(3.725,46; 572.675,02). A Figura 2 mostra o gráfico dessa distribuição de probabilidade.
Figura 2 – Distribuição da Probabilidade do VPLA
Agora, podem-se comparar projetos com fluxos de benefícios aleatórios e que tenham horizontes
distintos de vida. É possível responder à questão, como por exemplo, qual é a probabilidade P(2.968,71
< VPLA < 4.482,21); neste caso, é igual a 68,27%. Observa-se que, esta é a mesma probabilidade
encontrada para o VPL com um desvio-padrão para cima e para baixo. Como o VPLA é o valor do VPL
distribuído ao longo da vida do projeto, isto deveria ocorrer, o que comprova que os cálculos da média
e variância do VPLA estão corretos.
Entretanto, tomar uma decisão levando em consideração somente estes dois indicadores (VPL e
VPLA) pode conduzir a uma decisão inadequada/equivocada. Um projeto pode apresentar um VPL e
VPLA superior a outro, que pode estar no mesmo horizonte de vida ou não, mas que se tenha investido
muito mais neste para ter aquele ganho. Por exemplo, podem se ter dois projetos: um projeto A que
apresenta um VPL de 100 unidades monetárias e um projeto B com VPL de 50 unidades monetárias. É
temerário escolher o primeiro sem antes perguntar quanto se investirá em cada um deles. Poder-se-ia
ter uma situação em que se investiram 100 unidades monetárias no projeto A e apenas 5 unidades
monetárias no projeto B. Fica evidente que considerar apenas o VPL e o VPLA na tomada de decisão
pode conduzir a decisões incorretas do ponto de vista da rentabilidade do investimento. Atenção.
O índice que informa ao tomador de decisão quanto se está ganhando em relação ao que foi investido
é o índice Beneficio Custo (IBC). Atenção: Para comparar os investimentos tem que ser iguais.
3.3. Índice Benefício Custo (IBC)
O IBC é calculado pela razão (divisão/quociente) entre o Valor Presente do fluxo de benefícios e o
Valor Presente do fluxo de investimentos. Portanto, se o valor do IBC foi maior do que 1, o projeto
deve continuar a ser considerado para implantação. Caso seja menor que 1, o projeto deve ser
desconsiderado, pois há prejuízo em sua implantação.
O IBC mede, então, a rentabilidade do projeto em relação ao que foi investido ao longo de sua vida.
Por exemplo, um IBC igual a 1,35 significa que projeto terá um rendimento sobre o capital investido de
35% ao longo de sua existência, supondo que os valores do fluxo de benefícios tenham sido investidos
na TMA. O cálculo do valor médio do IBC é dado pela expressão:
IBC 
| FC0 |  VPL 100.000  22.891,34

 1,2289
| FC0 |
100.000
(07)
Para investimento inicial = R$ 100.000,00 e valor médio do VPL = VPL = R$ 22.891,34 calculado em
(03).
Assim, tem-se um rendimento médio de 22,89% ao longo da vida do projeto. A variância do IBC é dada
pela expressão:
 2 IBC 
 2VPL
| FC0 |
2

21.621.749,13
 0,00216217
100.0002
(08)
Para investimento inicial = R$ 100.000,00 e variância do VPL = 2 VPL = 21.621.749,13, calculado em
(04). Consequentemente, o desvio-padrão do IBC é igual a IBC = 0,04649919 = 4,65%
Observa-se que este é o mesmo valor obtido pela expressão a IBC = 4.649,92/100.000, na qual
4.649,92 é o desvio-padrão do VPL = IBC.
Assim, o problema apresenta uma distribuição normal de probabilidade do IBC com parâmetros
N(1,2289; 0,04649919). Seu gráfico é mostrado na Figura 3. Para o problema em análise, a
probabilidade P(1,1824 < IBC < 1,27541261) é igual a P(18.241,42 < VPL < 27.541,26) que, por sua vez,
é igual a 68,27%, o que comprova os resultados obtidos para a distribuição de probabilidades do IBC.
Com a distribuição de probabilidades do IBC, o tomador de decisão poderá comparar projetos com
fluxos de benefícios aleatórios, levando em conta o ganho em relação ao que foi investido. A
probabilidade de o projeto apresentar prejuízo pode ser calculada de duas formas: P(IBC < 1) =
4,2686%, ou seja, é muito improvável que esse projeto apresente prejuízo caso se opte pela sua
implantação.
Figura 3 – Distribuição da Probabilidade do IBC
Contudo, o IBC representa o ganho durante toda a existência do projeto, o que dificulta sua
comparação em relação à TMA, pois essas taxas não estão no mesmo período. O Retorno Adicional
sobre o Investimento (ROIA) é o equivalente ao IBC; porém no mesmo período da TMA.
3.4. Retorno Adicional sobre o Investimento (ROIA)
O ROIA é o percentual de ganho, no mesmo período da TMA, mostrando qual é a riqueza gerada pelo
projeto, acima da TMA. O tomador de decisão pode, então, decidir se é conveniente investir no
projeto, pois ele tem a exata noção de quanto sua implantação gerará de ganho.
O valor médio do ROIA é obtido pela expressão:
ROIA  N IBC  1  ROIA  10 1,2289  1  0,02083
(09)
Para IBC = 1,2289, calculado em (07) e duração do projeto = 10.
Portanto, tem-se um ganho médio por período de 2,083% acima da TMA para esse projeto.
Para o cálculo da variância do ROIA, primeiro se calcula o seu desvio-padrão por meio da igualdade:
IBC  IBC  (1  ROIA  ROIA) N
(10)
e, em seguida, sua variância. O cálculo do desvio-padrão do problema em questão é apresentado
abaixo:
ROIA  (1  ROIA )  n IBC  IBC  (1  0,02803)  10 1,2289  0,0469919
(11)
Consequentemente, a variância do ROlA é igual a 2ROlA = 0,001544%, e a distribuição de
probabilidade do ROlA fica com os parâmetros N(0,02083; 0,00001544), conforme mostra a Figura 4.
Figura 4 – Distribuição da Probabilidade do ROIA
A probabilidade P(1,6897% < ROlA < 2,47569%) = 68,27%, ou seja, a probabilidade de que o ROlA esteja
entre um desvio-padrão acima e abaixo de sua média é igual a 68,27% que é igual a P(1,1824 < IBC <
1,2754).
Todos os indicadores já analisados são importantes para que o tomador de decisão verifique a
viabilidade do investimento do ponto de vista de sua rentabilidade. Mas, e quanto ao risco do
projeto? O que acontecerá se a TMA tiver uma oscilação para cima? Este é um risco a ser
considerado, pois a TMA é a taxa na qual o investidor aplicará seu dinheiro, caso não opte pelo
investimento. Como por definição, a TMA é uma taxa de baixo risco; se esta taxa aumentar a mesma
pode se aproximar do ganho do investimento, aumentando, assim, o risco de se investir. Portanto,
quanto mais afastada estiver a TMA da TIR, mais seguro será investir no projeto. Um dos parâmetros
para se medir o risco de um investimento é a Taxa Interna de Retomo (TIR).
3.5. Taxa Interna de Retorno (TIR)
Por definição, a TIR é a taxa que torna o VPL de um fluxo de caixa igual a zero. Assim sendo, quanto
maior a distância entre a TMA e a TIR, menor será o risco do projeto, pois pequenas variações na TMA
não afetam o desempenho positivo do mesmo. O fluxo inicial (investimento de RS 100 mil e 10
benefícios futuros de R$ 20 mil) resulta uma TIR média Igual a TIR = 15,0984%. Lembrando que o
desvio-padrão do VPLA calculado é igual a R$ 756,75, a TIR do novo fluxo (investimento de R$ 100
mil e 10 benefícios futuros de R$ 19.243,25) resulta uma TIR igual a 14,0960%. Por conseguinte, o
desvio-padrão da TIR é igual a TIR = 1,00240%, e sua variância 2TIR = 0,010048%.
Tem-se, assim, uma distribuição de probabilidade normal da TIR com os parâmetros N(15,0984%;
1,0048%), conforme mostra a Figura 5.
Figura 5 – Distribuição da Probabilidade do TIR
Neste ponto, pode-se informar ao tomador de decisão qual é a probabilidade de que a TIR esteja
dentro de uma faixa de valores, como por exemplo, P(13,09% < TIR < 17,10%) = 95,45%. Isso significa
que, no projeto em análise, há uma segurança muito grande de que a TIR se mantenha afastada da
TMA e, sob este ponto de vista, o projeto é seguro.
3.6. Índice TMA/TIR
O índice TMA/TIR para o projeto em análise é de 20,83% acima da TMA.
SUGESTÃO DE ATIVIDADE COMPLEMENTAR: Leia o artigo de:
NOGAS, P.S.M.; SILVA, W.V.; SOUZA, A. Análise de Investimentos: Uma Contribuição Probabilística ao
Índice TMA/TIR da Metodologia Multi-Índice. Revista Iberoamericana de Ciências Empresariales y
Economía, v. 2, p. 10-26, 2010.
4. Método Numérico para a obtenção dos indicadores econômicos
Os indicadores econômicos que foram calculados analiticamente também podem ser calculados por
intermédio da geração numérica dos fluxos de benefícios futuros. Observamos novamente o diagrama
do Fluxo de Caixa (DFC).
Utilizando-se o MS-Excel, podemos gerar uma simulação com 5.000 fluxos de benefícios de acordo
com a distribuição uniforme U[16.000; 24.000], como mostra a Figura 6. Cada fluxo foi gerado por
intermédio da fórmula:
=16000 + ALEATÓRIO()*8000
Sabe-se que a função ALEATÓRIO() gera uma distribuição uniforme U[0, 1]. Para cada fluxo, foram
calculados os indicadores econômicos VPL, VPLA, IBC, ROlA e TIR. Em seguida, calcularam-se a média
e o desvio-padrão de cada indicador. O cálculo da média do indicador pode ser feito somando todos
os valores do indicador em cada fluxo e dividindo pelo tamanho da amostra (5.000) ou utilizando a
função MÉDIA(). Para o cálculo do desvio-padrão amostral foi utilizada a função DESVPAD.A().
Figura 6 – Simulação dos fluxos de benefícios futuros de acordo com a distribuição uniforme U[16.000; 24.000]
A Figura 7 mostra os valores encontrados para a média e o desvio-padrão dos indicadores, tanto na
forma analítica quanto na forma numérica.
Figura 7 – Valores médios e desvio-padrão encontrados numérica e analiticamente
Constata-se, pelos dados anteriores, que os valores pelo método numérico estão muito próximos dos
valores calculados pelo método analítico e que, por conseguinte, estão corretos. No método numérico,
seria necessário um número muito grande de simulações para que os valores convergissem para a
média e desvio-padrão da distribuição.
Indicador | Método
Analítico
5 mil simulações
Diferença (%)
VP
R$ 122.891,34
R$ 123.000,52
0,09%
VPL
R$ 22.891,34
R$ 23.000,52
0,48%
VPLA
R$ 3.725,46
R$ 3.743,23
IBC
1,2289
ROIA
Analítico
10 mil
Diferença (%)
VP
R$ 122.891,34
R$ 122.849,48
-0,03%
VPL
R$ 22.891,34
R$ 22.849,48
-0,18%
0,48%
VPLA
R$ 3.725,46
R$ 3.718,65
-0,18%
1,2300
0,09%
IBC
1,2289
1,2285
-0,03%
2,08%
2,09%
0,12%
ROIA
2,08%
2,07%
-0,49%
Índice ROIA/TMA
20,83%
20,85%
0,12%
Índice ROIA/TMA
20,83%
20,72%
-0,49%
TIR
15,10%
15,12%
0,16%
TIR
15,10%
15,09%
-0,05%
ERRO MÉDIO
0,22%
Indicador
ERRO MÉDIO
-0,21%
Figura – Comparação dos valores do método analítico com as simulações (5 mil e 10 mil) para ver o erro médio percentual
5. Conclusão
Na grande maioria dos projetos, assumir que valores de um fluxo de caixa são determinísticos é uma
grande limitação em uma análise mais abrangente, principalmente no caso de se assumirem como
determinísticos aqueles fluxos que representam os benefícios. NO MUNDO DAS FINANÇAS, EM QUASE
SUA TOTALIDADE, NÃO HÁ COMO FUGIR DOS GASTOS. OS BENEFÍCIOS FUTUROS É QUE, MUITAS
VEZES NÃO OCORREM NEM NA QUANTIDADE NEM NA QUALIDADE DESEJADAS. E FOI NESTE PONTO
QUE ESTE TRABALHO SE CONCENTROU. Por isso, recomendamos a Análise de Sensibilidade (AS)
proposta por Lima et al. (2015).
Não se pode nem dizer que a aleatoriedade dos fluxos de caixa seja um fenômeno do mundo moderno.
O mundo sempre foi aleatório. O ser humano é que insiste em tratá-lo como determinístico, na maioria
dos casos, para simplificar a explicação de sua existência.
Foram apresentados os passos a serem seguidos para determinar as distribuições de probabilidades
levando em consideração o Teorema do Limite Central (TCL). A partir dessas distribuições, o tomador
de decisão tem a clara noção dos riscos envolvidos na análise dos projetos. A vantagem dos cálculos
feitos por meio do método analítico é que os valores da média e do desvio-padrão da distribuição são
obtidos diretamente, evitando-se a necessidade da simulação. Assim sendo, é uma solução mais rápida
e eficiente, principalmente, se for considerada a eficiência computacional do método.
Neste trabalho, assumiu-se que a distribuição de probabilidade dos fluxos de benefícios, em cada
período, seguia uma distribuição uniforme. Na realidade, a distribuição uniforme só deve ser usada
quando se desconhecer o comportamento do fenômeno, pois, se este fosse conhecido, usar-se-ia a
própria distribuição do fenômeno. Entretanto, todo o raciocínio subsequente permanece o mesmo
em virtude do Teorema do Limite Central (TCL).
Referências (Obs.: há versões mais recentes dessas obras)
BERNSTEIN, R.L. Desafio aos deuses: a fascinante história do risco. 7. ed. Rio de Janeiro: Campus, 1997.
MEYER, P.L. Probabilidade: aplicações à estatística. 2. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1983.
MEYERS, S.C.; BREALEY, R. A. Principles of corporate finance. 5. ed. New York: McGraw-Hill, 1996.
NOGAS, P.S.M.; SILVA, W.V.; SOUZA, A. Análise de Investimentos: Uma Contribuição Probabilística ao Índice TMA/TIR da
Metodologia Multi-Índice. Revista Iberoamericana de Ciências Empresariales y Economía, v. 2, p. 10-26, 2010.
SOUZA. A.; CLEMENTE, A. Decisões financeiras e análise de investimentos. 5 ed. São Paulo: Atlas, 2004.
Nome do arquivo: Ferreira_2004_Souza&Clemente_2008_2015novembro10.xlsx – 5.000 simulações
  x  z 
s
n
EXEMPLO DO FERREIRA (2004) RESOLVIDO NO MS-EXCEL => TERMINAR DE PROGRAMAR
Nome do arquivo: FERREIRA_2004_2015novembro10.xlsx
Geração numérica da distribuição do VPL – simulação
Adaptado a partir de Souza e Clemente (2008)
A geração analítica da fdp do VPL teve como pré-requisito o conhecimento da distribuição de
probabilidade dos valores do fluxo de caixa, ou na ausência desse, o valor médio e a variância de cada
um desses valores. Porém, nem sempre a geração analítica da fdp do VPL de um projeto é uma tarefa
trivial. Raramente se conhecem as distribuições de probabilidade associadas ao fluxo de benefícios
projeto. O caso mais comum é o de se poder estimar com relativa facilidade um valor médio para
certo benefício sem, contudo, ter a mesma facilidade para estimar a variância. Para dificultar um
pouco mais o uso da abordagem analítica, existem incertezas associadas à duração do projeto e
relações de interdependência entre os benefícios do fluxo de caixa.
A abordagem numérica é experimental, isto é, geram-se diversos cenários que obedeçam às
características do fluxo de caixa estimado e, posteriormente, sistematizam-se os resultados dos
experimentos em tabelas e gráficos. Essa abordagem também é conhecida como simulação. A tabela
de frequência resultante dos experimentos serve como aproximação da fdp do VPL do projeto.
Considere-se o fluxo de caixa a seguir, em que o benefício do período j é representado pela variável
aleatória Xj com média j e variância j2, ambas conhecidas.
A geração numérica da fdp do VPL do projeto de investimento consiste em gerar valores para cada
benefício Xj segundo a função densidade de probabilidade que o caracteriza. Uma vantagem da
abordagem numérica é que a distribuição de probabilidade de Xj pode ser uma distribuição empírica.
Para a geração dos Xj, o procedimento mais comum é utilizar os geradores de números aleatórios
disponíveis na maioria dos softwares, por exemplo, o comando ALEATÓRIO() do MS-Excel. Esse
gerador, como o próprio nome indica, gera números uniformemente distribuídos no intervalo entre
zero e um. Dispondo-se de um gerador [0, 1] e conhecendo-se a inversa da função distribuição de
probabilidade (FDP) de Xj pode-se gerar um valor Rj, para representar uma ocorrência de Xj. O quadro
a seguir ilustra esse procedimento para as distribuições uniforme e exponencial. Para um
aprofundamento do assunto relativo à geração de variáveis aleatórias, ver Gordon (1978, p. 128-141).
Quadro – Procedimento para as distribuições uniforme e exponencial
Distribuição
fdp
FDP
Rj
Uniforme [a; b] f(x) = 1/(b-a)
F(x) = (x – a)/(b – a) R = a + (b – a)*ALEATÓRIO()
Exponencial (x)
f(x) = exp(–x)
F(x) = 1 – exp(–x)
R = – Ln(ALEATÓRIO())/
Mesmo quando não se dispõe da inversa da FDP, é possível, por intermédio de técnicas de
rebatimento, gerar uma variável aleatória segundo uma distribuição empírica dada. No MS-Excel, isso
pode ser feito utilizando o comando PROCV.
Para ilustrar a geração numérica da fdp do VPL de um fluxo de caixa de natureza aleatória, considerese o seguinte exemplo:
Exemplo ilustrativo 1: Uma empresa, cuja TMA é 8% ao ano, está considerando a possibilidade de
expandir a atual linha de calçados infanto-juvenis. Os dados preliminares relevantes para a análise são:
Investimento inicial: FC0
Vendas anuais estimadas (pares): Q
Margem de contribuição unitária (par): MCu
Custo fixo anual: CF
Vida útil: N
R$ 1.150.000,00
U~[30.000; 40.000]
U~[R$ 7,60; R$ 8,40]
Variáveis aleatórias com
distribuição uniforme (contínua)
R$ 10.000,00
6 anos
Com base nessas informações, analisar a viabilidade econômica do empreendimento.
Resolução: Da análise do enunciado do problema, depreende-se que o benefício Xj é resultante do
produto de duas variáveis aleatórias uniformemente distribuídas (quantidade e margem de
contribuição unitária: MCu). Sabe-se que se uma variável aleatória Xj é uniformemente distribuída no
intervalo [a; b], então, uma representação Rj de Xj pode ser obtida por:
Rj = a + (b – a)*ALEATÓRIO()
Para o presente caso, Rj será dado por:
Rj = (30.000 + 10.000*ALEATÓRIO())*(7,60 + 0,8* ALEATÓRIO()) – 10.000
Tendo em vista que a vida útil considerada é de 6 (seis) anos, um experimento consistirá em obter seis
valores aleatórios (R1, R2, ..., R6) segundo a fórmula anterior. O fluxo de caixa representativo do projeto
terá então a seguinte configuração:
Para chegar à distribuição de valores do VPL e suas respectivas probabilidades, deve-se repetir o
experimento n vezes, compondo uma amostra do fluxo de caixa e, então, sistematizar os resultados. É
evidente que a escolha do tamanho da amostra depende da variabilidade dos Rj. Para efeito de
ilustração, utilizaram-se recursos do MS-Excel para gerar 100 réplicas (amostra de tamanho 100) do
fluxo caixa, segundo as especificações de variabilidade apresentadas anteriormente. A sequência de
telas do MS-Excel mostradas adiante ilustra esse procedimento.
1. Gerar o fluxo de caixa e calcular os indicadores de viabilidade. Observe a Figura a seguir e refaça-a.
2. Gerar 100 réplicas do fluxo de caixa. Observe a Figura a seguir e refaça-a.
3. Calcular a média e o desvio-padrão dos indicadores de viabilidade. Observe e refaça-a.
4. Utilizar as informações geradas para responder a perguntas específicas. Refaça-a.
Probabilidade de o projeto apresentar prejuízo
Probabilidade de o projeto apresentar ganhos expressivos
Probabilidade de obter rentabilidade de 3% ao ano além da TMA
Probabilidade de a TIR ser maior do que a TMA
P(VPL < 0)
P(VPL > 200.000)
P(ROIA > 3%)
P(TIR > TMA)
1,8%
1,9%
0,7%
98,20%
5. Estabelecer intervalos de confiança para parâmetros de interesse. Refaça-a.
Apenas para ilustrar, a tabela a seguir apresenta os resultados do parâmetro VPL para um intervalo de
confiança de 95%.
Valor Presente Líquido (VPL) médio: VPL
Limite Inferior:
Limite Superior:
s
n
48.040,67
100.472,81  1,96 
100
s
n
48.040,67
100.472,81  1,96 
100
91.056,84
109.888,78
x  Z 2 , 5% 
x  Z 2 , 5% 
Uma interpretação para o resultado anterior é que se esse experimento (amostra de tamanho 100)
fosse realizado outras vezes, em 95% dos casos ele tenderia a produzir VPL médio contido no intervalo
acima especificado. De acordo com esse resultado, há probabilidade de apenas 2,5% de o projeto
apresentar VPL menor do que R$ 91.056,84 e 2,5% de probabilidade de apresentar VPL maior do que
R$ 109.888,78. Atenção.
5.000 simulações – Nome do arquivo: Ferreira_2004_Souza&Clemente_2008_2015novembro10.xlsx
Forma 2: Nome do arquivo:
Risco_Incerteza_Geracao_Numerica_da_distribuicao_do_VPL_SIMULACAO_2015novembro10.xlsx
Exemplo ilustrativo 2: Uma empresa, cuja TMA é 10% ao ano, está considerando a possibilidade de um
investimento da ordem de R$ 250.000,00 cujos retornos são bastante incertos. A vida útil do projeto
está estimada em 5 anos e o valor residual também está sujeito a flutuações aleatórias. As expectativas
de retorno e o valor residual se aproximam das distribuições abaixo.
Expectativas de Retorno por Período
Valor
Probabilidade
R$ 100.000,00
60%
R$ 75.000,00
30%
R$ 25.000,00
10%
Valor residual
Valor
Probabilidade
R$ 50.000,00
50%
R$ 30.000,00
30%
R$ 10.000,00
20%
A prática desta empresa tem sido de investir em projetos que rendam, pelo menos, 5 pontos
percentuais acima da TMA. Gere indicadores que auxiliem o processo de tomada de decisão.
Resolução: Da análise do enunciado do problema, depreende-se que o benefício Xj segue uma
distribuição de probabilidade empírica. Para gerar valores Rj (j = 1, 2, ..., 5) que sigam uma distribuição
empírica dada pode-se recorrer à função PROCV do MS-Excel.
Esquematização do problema:
Para efeito de ilustração, utilizaram-se os recursos do MS-Excel para gerar 100 réplicas (amostra de
tamanho 100) do fluxo de caixa segundo as especificações da distribuição de probabilidade dos
retornos e do valor residual. A sequência de telas do MS-Excel, mostradas a seguir, ilustra esse
procedimento.
1. Gerar o fluxo de caixa e calcular os indicadores de viabilidade. Observe a Figura.
2. Gerar 100 réplicas do fluxo de caixa. Observe a Figura a seguir.
3. Calcular a média e o desvio-padrão dos indicadores de viabilidade. Observe a Figura a seguir.
4. Usar as informações geradas para responder a perguntas específicas.
Probabilidade de o projeto apresentar prejuízo
Probabilidade de o projeto apresentar rentabilidade, além da TMA, de 5% ao ano
Probabilidade de o projeto apresentar ganhos superiores a R$ 125,00
P(VPL < 0)
P(ROIA > 6%)
P(VPL > 125)
1,0%
55%
21%
5. Função densidade de probabilidade do VPL do projeto.
ATIVIDADE PROPOSTA: Reler o artigo de Ferreira (2004): FERREIRA, Marcos Antonio Masnik. Indicadores para análise de
projetos de investimento considerando fluxos de benefícios não-determinísticos. Revista de Negócios, Blumenau, v.9,
n.4, p. 207-214. Outubro/dezembro 2004. Analista do Banco Central do Brasil – Pós-Graduação em Métodos Numéricos em
Engenharia UFPR. Disponível em: <http://proxy.furb.br/ojs/index.php/rn/article/view/270>. Acesso em: nov. 2015.
Atividades Práticas Supervisionadas (APS): ENTREGAR IMPRESSA NO DIA DA PRÓXIMA AVALIAÇÃO
1) (Revisão de tópicos específicos de Probabilidade e Estatística já aplicados à Análise Econômica de
Projetos) Calcule a esperança matemática ou valor médio ou valor esperado ou expectância  = E(X)
e variância 2 = V(X) para o projeto de investimento (PI) que apresenta a seguinte característica:
Valor: xJ
R$ 100.0000,00
R$ 200.0000,00
R$ 300.0000,00
Total
Probabilidade: p(xJ)
30%
30%
40%
100%
N
E ( X )     x j  p( x j )  100.000  30%  200.000  30%  300.000  40%  210.000,00
j 1
N
V ( X )   2   ( x j   ) 2  p( x j ) 
j 1
V ( X )  (100.000  210.000) 2  30%  (200.000  210.000) 2  30%  (300.000  210.000) 2  40%  6.900.000.000
ou V(X) = E(X2) – 2 = 51.000.000.000 – 210.0002 = 6.900.000.000
  V ( X )  6.900.000.000  83.066,24
xi
R$ 100.000,00
R$ 200.000,00
R$ 300.000,00
E(X) = 
E(X2) =
p(xi)
30%
30%
40%
R$ 210.000,00
R$ 51.000.000.000,00
V(X) = 
Desvio-padrão = 
2
R$ 6.900.000.000,00
R$ 83.066,24
Notas:
 Propriedades de E(X) e V(X) para o projeto de investimento (PI). A demonstração decorre
imediatamente da definição (BARBETTA et al., 2010): E(c.X) = c.E(X) e V(c.X) = c2.V(X).
REFERÊNCIAS para a revisão de conceitos da Probabilidade e Estatística: Biblioteca UTFPR/PB
BARBETTA, P.A.; REIS, M.M.; BORNIA, A.C. Estatística para cursos de Engenharia e Informática. 3. ed.
São Paulo: Atlas, 2010.
DEVORE, J.L. Probabilidades e Estatística: para Engenharia e Ciências. 6 ed. São Paulo: Pioneira
Thomson Learning, 2006. 31 exemplares na Biblioteca da UTFPR/PB, possui a reimpressão de 2012.
MEYER, P.L. Probabilidade: aplicações à estatística. 2 ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos
(LTC), 1983. 26 exemplares na Biblioteca da UTFPR/PB, possui a reimpressão de 2012.
MONTGOMERY, D.C.; RUNGER, G.C. Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros. 2. ed. Rio
de Janeiro. LTC, 2003.
SPIEGEL, M.R. Estatística. 3. ed. São Paulo: Makron, c1994. (Coleção Schaum). 26 exemplares na
Biblioteca da UTFPR/PB. Guarapuava tem a 4 ed.
ÁRVORES DE DECISÃO
Segundo Elias Pereira (2015), árvores de decisão: “São diagramas que permitem mapear de maneira
clara as alternativas e recompensas de várias decisões, bem como suas possibilidades de ocorrências.
O método consiste em se calcular o valor esperado atual do projeto de investimento com base nas
diversas possibilidade de ocorrência”.
Exemplos de aplicação: Construir ou Modernizar? Substituição de equipamentos?
2) Árvores de Decisão (adaptado de Elias Pereira) Árvores de decisão é uma maneira de apresentar
toda a anatomia de uma decisão de investimento e apresentar a interação entre a decisão presente,
eventos e decisões futuras possíveis e seus efeitos.
3) Construir ou Modernizar?
4) Uma máquina está em produção para um projeto que termina daqui a 3 meses. A produção é de
1.000 peças por mês. A máquina atual apresenta sensível deterioração de desempenho e as peças
que produz estão sendo rejeitadas em uma proporção de 10 para cada 100. O fornecedor ofereceu,
pelo custo de R$ 100.000,000, a troca por uma nova máquina, para entrega imediata, com um
desempenho de apenas uma peça rejeitada a cada 100 produzidas. O custo pela perda de cada peça
rejeitada é de R$ 500,00. Deve o Gerente do Projeto trocar a máquina atual pela nova?
5) Análise de sensibilidade (adaptado de Elias Pereira) Este método visa verificar a elasticidade dos
resultados do projeto de investimento à variação de seus fatores críticos. Usa, geralmente, questões
do tipo “e se”. Pode-se verificar a variável ou fator crítico ao qual o VPL é mais sensível e avaliar até
que valor do fator crítico alterado o mérito do projeto resiste. Em uma decisão entre projetos
mutuamente excludentes, o decisor pode optar por aquele cuja atratividade resiste mais a tais
variações. Diante do exposto, resolve os seguintes problemas:
(a) Uma empresa está considerando a possibilidade de lançar um novo produto no mercado, que vai
requerer um dispêndio de capital de R$ 65.000,00. A empresa espera receber R$ 20.000,00 ao longo
dos próximos 10 anos. A TMA do projeto é de 10% ao ano. Neste contexto, responda:
(i) Qual o VPL do projeto?
(ii) Se, com uma alteração do preço, o retorno fosse de R$ 10.000,00, qual o novo VPL?
(iii) Se, com uma alteração do preço, o retorno fosse estimado em R$ 30.000,00, qual seria o novo VPL?
R$ 119.337,01.
Resposta: (i) R$ 57.891,34; (ii) - R$ 3.554,33; e (iii) R$ 119.337,01
(b) Uma empresa está considerando a possibilidade de lançar um novo produto no mercado, que vai
requerer um dispêndio de capital de R$ 50.000,00. A empresa espera receber R$ 7.500,00 ao longo
dos próximos 10 anos. A TMA do projeto é de 5% ao ano. Neste contexto, responda:
(i) Qual o VPL do projeto?
(ii) Se, com uma alteração do preço, o retorno fosse de R$ 10.000,00, qual o novo VPL?
(iii) Se, com uma alteração do preço, o retorno fosse de R$ 30.000,00, qual seria o novo VPL?
Resposta: (i) R$
; (ii)
; e (iii)
6) Uma cooperativa de laticínios está estudando as consequências financeiras do lançamento de um
novo produto derivado do leite. As vendas anuais estão estimadas em 200.000 unidades para o
primeiro ano. Para os anos seguintes espera-se que as vendas aumentem na mesma proporção do
crescimento do mercado. As previsões mais otimistas apontam para um crescimento do mercado
de, no máximo, 10% ao ano. Qualquer que seja a taxa de crescimento do mercado, estudos
preliminares apontam para uma estabilização da quantidade vendida (300.000 unidades) após 5
(cinco) anos de permanência desse produto no mercado. Alguns dados relevantes para a análise são
os seguintes:
Investimento Inicial: FC0
Margem de Contribuição Unitária: MCu = PVu – CVu
Custo Fixo Anual (incluindo R$ 20.000 de depreciação): CF
Taxa Mínima de Atratividade: TMA
Vida útil do projeto: N
R$ 400.000,00
R$ 0,40
R$ 40.000,00
12% ao ano
10 anos
Se a cooperativa tem adotado uma política de não investir em projetos que não se paguem (payback)
em 7 (sete) anos, como você analisaria a viabilidade econômica do presente projeto de investimento?
7) Um fabricante de calçados está considerando o lançamento de uma nova linha de calçados
esportivos para jovens. Experiências anteriores têm mostrado que o ciclo de vida de produtos
esportivos similares tem sido de 5 (cinco) anos. Para os 5 (cinco) anos de vida desse produto, esperase o seguinte comportamento para as vendas:
Ano
1
2
3
4
5
Vendas Previstas: distribuição uniforme (pares)
2.000 a 2.500
3.000 a 3.500
2.800 a3.200
2.000 a 2.400
2.000 a 2.500
Margem de Contribuição unitária
R$ 20,00
R$ 25,00
R$ 25,00
R$ 20,00
R$ 18,00
Valor Residual
–
–
–
–
R$ 15.000,00
O investimento inicial (ou adicional) necessário para o lançamento desse produto está estimado em
cerca de R$ 130.000,00. Os custos fixos anuais decorrentes dessa decisão estão estimados em torno
de R$ 32.000,00 (já incluídos R$ 14.000,00 de depreciação). Considerando uma TMA de 12%, emita um
parecer sobre a viabilidade econômica desse produto.
8) Uma empresa estimou os seguintes valores para determinado projeto de investimento (PI):
Investimento
Valor Probabilidade B.
60.000
5%
70.000
25%
80.000
30%
90.000
40%
Valor residual
15.000
10%
20.000
30%
25.000
40%
30.000
20%
Benefício anuais
5.000
30%
6.000
70%
–
–
–
–
Considerando um horizonte de planejamento de 6 (seis) anos e uma TMA de 10% ao ano, qual seria a
sua opinião sobre a viabilidade econômica desse projeto de investimento?
REFERÊNCIAS:
GORDON, G. System Simulation. New Jersey: Prentice-Hall, 1978.
HINES, W.W; MONTGOMERY, D.C. Probability and Statistics. Toronto: John Wiley, 1972.
SOUZA, A. Temporal analysis by activity networks: a Review and critique. Waterloo: UW, 1980.
NOGAS, P.S.M.; SILVA, W.V.; SOUZA, A. Análise de Investimentos: Uma Contribuição Probabilística ao
Índice TMA/TIR da Metodologia Multi-Índice. Revista Iberoamericana de Ciências Empresariales y
Economía, v. 2, p. 10-26, 2010.
ELIAS PEREIRA. Notas de aula. Avaliação da Viabilidade Econômico-Financeira em Projetos – Análise
de sensibilidade. Disponível em: <http://www.umcpos.com.br/centraldoaluno/arquivos/16_09_2013_233/
Aula_6.pdf>. Acesso em: nov. 2015. COLOCAR AQUI A PROVA DO 9º ENGENHARIA MECÂNICA.
1. A utilização do Método de Simulação de Monte Carlo (MSMC) no MS-Excel Adaptado de Bruni et al. (1998, p.8)
Uma alternativa para o cálculo do risco seria a utilização de números aleatórios, como expresso pelo
Método de Simulação de Monte Carlo (MSMC). Segundo Costa e Azevedo (1996, p.100):
“O Método de Monte Carlo é uma técnica de amostragem artificial empregada para operar
numericamente sistemas complexos que tenham componentes aleatórios. Trata-se de uma
ferramenta importantíssima de pesquisa e planejamento que vem sendo cada vez mais utilizada devido
ao constante aperfeiçoamento dos computadores, com sua grande velocidade de cálculo, poder de
armazenar dados e capacidade de tomar decisões lógicas... Essa metodologia, incorporada a modelos
de Finanças, fornece como resultado aproximações para as distribuições de probabilidade dos
parâmetros que estão sendo estudados. São realizadas diversas simulações onde, em cada uma delas,
são gerados valores aleatórios para o conjunto de variáveis de entrada e parâmetros do modelo que
estão sujeitos à incerteza. Tais valores aleatórios gerados seguem distribuições de probabilidades
específicas que devem ser identificadas ou estimadas previamente. COMO FAZER ISTO?
COMPORTAMENTO DE PROJETOS SIMILARES? E NO CASO DOS PI DE INOVAÇÃO? SE NADA SABEMOS
A RESPEITO DO COMPORTAMENTO, PODEMOS UTILIZAR A DISTRIBUIÇÃO UNIFORME (FERREIRA,
2004). NA ATUALIDADE A MAIORIA DOS AUTORES DEFENDEM E UTILIZAM A DISTRIBUIÇÃO
TRIANGULAR (WERNER et al., 2014...). INSERIR AQUI TEXTO QUE DEFENDEM A DISTRIBUIÇÃO
TRIANGULAR.
O conjunto de resultados produzidos ao longo de todas as simulações poderão ser analisados
estatisticamente e fornecer resultados em termos de probabilidade. Essas informações serão úteis na
avaliação da dispersão total das predições do modelo causada pelo efeito combinado das incertezas
dos dados de entrada e na avaliação das probabilidades de serem violados os padrões das projeções
financeiras. ”
Feitas as ressalvas matemáticas adequadas (QUAIS?), de acordo com Shimizu (1975) Citado por Costa
e Azevedo (1996, p.101), jamais seria possível a obtenção de aleatórios genuínos, mas sim números
pseudo-aleatórios ou quase-aleatórios. Isto porque para que pudéssemos garantir seu caráter de
aleatoriedade, precisaríamos efetuar infinitos testes gerados por um mesmo processo e seguidos por
uma infinidade de testes estatísticos. De acordo com Ehrlich (1988), os critérios de aleatoriedade dos
números pseudoaleatórios gerados em computador seriam: (i) uniformemente distribuídos; (ii)
estatisticamente independentes; (iii) reprodutíveis, a fim de permitir comparação entre programas;
(iv) não repetibilidade da série no intervalo de interesse; (v) velocidade de geração; e (vi) utilização de
memória mínima do computador na geração.
Sugestão de Leitura: Metodologia de análise de risco por simulação, baseada no trabalho de David B.
Hertz intitulado “Risk Analysis in Capital Expenditure Decisions”. David Bendel HERTZ (1919-2011): Risk
Analysis in Capital Investment. Harvard Business Review, January/February 1964. Análise de riscos em
investimentos de capital. Application of probabilities will often yield entirely different and better decisions. Aplicação
de probabilidades renderá muitas vezes decisões inteiramente diferentes e melhores.
1.1 MSMC no MS-Excel
De forma simplificada, poderíamos aplicar o MSMC no MS-Excel da seguinte forma:
 Para distribuições discretas:
Bastaria colocarmos a distribuição discreta em função da função probabilidade acumulada (entre 0% e
100%), gerarmos um aleatório (pela função =ALEATÓRIO()) e, por exemplo, através de uma função de
busca e referência [=PROCV(NO, MATRIZ DE DADOS, COLUNA)] identificarmos o valor correspondente.
Exemplo ilustrativo: Suponha a seguinte função discreta de probabilidades para preços futuros de um
produto qualquer, como apresentado na Figura a seguir:
Usando uma função de Busca e Referência, como a PROCV do MS-Excel, poderíamos gerar aleatórios
com base na matriz de dados apresentada ao lado da distribuição de preços, cujas quantidades passam
a ser representadas pela função acumulada de probabilidades, para viabilizarmos o uso da função
PROCV. Em caso de dúvidas, pode-se consultar o Help do Excel (tecla F1), que fornece uma boa
orientação para a utilização das funções mencionadas neste trabalho.
Sendo assim, para um número aleatório (gerado entre 0 e 1) igual a 0,859112386, a função retornaria
o valor de R$ 200,00 já que 0,859112386 está compreendido entre 0,30 e 0,90. Asseguramos assim, a
aleatoriedade (mantidas as ressalvas de Shimizu (1975), precisaríamos verificar o algoritmo de geração
de aleatórios do MS-Excel para assegurarmos a verdadeira aleatoriedade ou não) das quantidades
obtidas, que após n simulações, nos permitiria calcular a média e o risco (desvio-padrão) da distribuição
lembrando que o Teorema do Limite Central (TLC) nos revela que para n grande, a média (n maior ou
igual a 30) e o desvio-padrão amostral (n maior ou igual a 100) convergem para a média e desvio padrão
populacionais (SPIEGEL, 1978, p.227).
Para o exemplo anterior, calculado a média e o desvio-padrão encontraríamos os valores respectivos
de R$ 180,00 e R$ 60,00, como ilustra a Figura a seguir.
No Excel:
F
R$ 100
R$ 200
R$ 300
Soma
P(F)
30%
60%
10%
100%
F*P(F)
30
120
30
180
F^2*P(F)
3.000
24.000
9.000
36.000
Média = Σ [F*P(F)] = 180 e Risco = {E(F^2)-[E(F)]^2}^½ = 60
Lembre-se da propriedade de variância: V(X) = E(X2) – [E(X)]2
Rearrumando os dados, com a função acumulada de probabilidade, poderíamos, então, simular o valor
resultante de acordo com o Método de Monte Carlo.
Calculando P(F) acumulada e usando as funções do MS-Excel, temos:
P(F) acumulada
0%
30%
90%
100%
Quantidade
100
200
300
300

Funções do MS-Excel
=ALEATÓRIO() => 0,17266676
=PROCV($H$16;$F$11:$G$14;2) => $ 100
Efetuando 1.000 simulações do valor acima, encontramos valores de R$ 179,63 para a média e R$ 59,72
para o desvio-padrão. Sendo assim, podemos afirmar ter encontrado boas aproximações para os
valores populacionais (R$ 180,00 e R$ 60,00) de acordo com o Método de Simulação de Monte Carlo.
Plotando um gráfico de Número de Simulações (n) versus Média e Desvio-padrão, podemos perceber
que nossos resultados estabilizariam em torno de 200 simulações.
Nome do arquivo: BRUNI_et_al_1998_2014novembro01.xls
1.2 Para distribuições contínuas:
De acordo com Seila e Banks (1990) citado por Costa e Azevedo (1996, p101), para cada tipo de
distribuição contínua poderíamos montar uma função estocástica. Por exemplo, uma distribuição
normal poderia ser expressa por
 12

sx   aleatório(i)  6   x
 i1

Lembre-se: O intervalo de confiança para a distribuição normal: [-3; -3] = 99,97% => 6, para  = 1?
Sendo assim, no MS-Excel, bastaria usarmos a função =ALEATÓRIO() para a geração das distribuição
normal desejada, que pode ser expressa pela função:
=(((ALEATÓRIO() +ALEATÓRIO() + ALEATÓRIO() +ALEATÓRIO() + ALEATÓRIO() +ALEATÓRIO() + ALEATÓRIO() +ALEATÓRIO() + ALEATÓRIO() +ALEATÓRIO() + ALEATÓRIO() +ALEATÓRIO())-6)*Desvio + Média)
De acordo com Costa e Azevedo (1996, p.110), Seila e Banks (1990) demonstram que utilização de 12
aleatórios nos daria uma boa aproximação da distribuição normal.
Para facilitar o uso do método de Simulação de Monte Carlo, desenvolvemos uma planilha que permite
simulações variadas, estando o resultado a ser obtido apresentado em função das distribuições
mencionadas. A seguir apresentamos um exemplo de utilização deste modelo.
Um exemplo de utilização do Método de Monte Carlo
A Golden Beverage, tradicional fabricante de refrigerantes, já estabelecida há mais de 50 anos estuda
a viabilidade da implantação de uma nova fábrica para a produção de refrigerantes sabores cola, limão
e laranja. De acordo com os seus estudos este novo empreendimento de R$ 900.000,00 poderia
apresentar uma vida útil de 20 anos, com valor residual considerado desprezível (suposto nulo) ao fim
do período.
Em função do histórico da empresa, as estimativas para esse novo empreendimento indicam que suas
vendas e preços possíveis (expressos em moeda forte, desprezando efeitos inflacionários) de serem
praticados podem ser representados pelas distribuições de probabilidade apresentadas a seguir.

Preços a serem praticados: Suposta uma distribuição discreta dos preços unitários.

Vendas de produtos: Suposta uma distribuição normal, com previsão de vendas em unidades.

Custos variáveis: supostos iguais a 60% das vendas.

Despesas Fixas: supostas fixas e iguais a R$ 172.000,00 por ano.

Custo de Capital (TMA): pré-determinado em 14% ao ano.

Imposto de Renda (IR): suposta alíquota de 35%.

Depreciação: suposta igual a R$ 45.000,00 por ano (método linear para os 20 anos, R$ 45.000,00 =
R$ 900.000,00/20).
O valor disponível para a empresa poderia ser representado pelo Fluxo de Caixa Livre, resultante do
Lucro/Resultado Operacional após Impostos mais a Depreciação (já que esta reduz o Imposto a Pagar,
mas fica disponível para distribuição). De acordo com as premissas acima, seria possível a montagem,
então, de uma planilha em MS-Excel para o cálculo da distribuição do VPL.
Cada um destes valores de VPL isoladamente pouca utilidade representam, já que constituem
estimativas pontuais. Entretanto, o Teorema do Limite Central (TLC) nos revela que para n grande, a
média e o desvio-padrão amostrais convergem para a média e desvio populacionais. Sendo assim,
construindo um gráfico da média e do desvio-padrão obtido versus número de simulações encontrase que ocorre uma estabilização dos valores da média e do risco do projeto.
Podemos constatar que a medida que o número de simulações aumenta, ocorre uma estabilização dos
resultados (expressos pela média e pelo desvio-padrão dos valores do VPL). Pelo gráfico percebe-se
que o risco do projeto é muito maior que a média. O histograma das 1.000 simulações resulta em:
A proporção de VPLs menores ou iguais a 0 (zero) foi de 43%. Portanto, teríamos apenas cerca de 57%
de chance de ter um VPL estritamente positivo. Logo, sob estas condições não seria razoável
recomendar a aceitação do projeto.
De acordo com as proposições do exemplo, o projeto apresenta uma taxa de desconto fixa igual a 14%
ao ano. De forma complementar e usando o MSMC pode-se analisar o comportamento da média e
desvio padrão dos VPLs para outros níveis de taxas de desconto.
Sendo assim, se a empresa assumisse como razoável a tomada da decisão de investimento em um nível
de confiança igual ou superior a 80%, expresso através do percentil para VPLs menores que zero, após
1.000 simulações para cada k, inferior a 20%, pode-se estimar que o custo de capital correspondente,
conforme gráfico a seguir, seria em torno de 8% ao ano. Portanto, para k inferior a 8% o projeto poderia
ser aceito.
Considerações finais
A avaliação dos riscos de um projeto é, sem dúvidas, fundamental. O maior problema a ser enfrentado
consiste no tratamento matemático/estatístico das fontes individuais de risco.
O uso de um procedimento numérico, como o Método de Simulação de Monte Carlo é uma
alternativa para a avaliação do risco de um projeto. Neste trabalho foi apresentado o MSMC e
desenvolvido um exemplo de sua aplicação na Engenharia Econômica. Possivelmente, trabalhos
futuros poderão dar continuidade ao agora apresentado, colocando novas considerações sobre as
dependências dos fluxos de caixa, envolvendo uma sofisticação no tratamento matemático e uma
evolução na utilização do MSMC.
Referências:
BRUNI, A.L.; FAMÁ, R.; SIQUEIRA, J.O. Análise do risco na avaliação de projetos de investimento: uma aplicação do Método
de Monte Carlo. Cadernos de Pesquisa em Administração, v.1, n.6; 62-74, 1998.
HERTZ, D.B. Risk Analysis in Capital Investment. Harvard Business Review, 42(1):95-106, 1964.
NORONHA, J.F. Projetos Agropecuários: Administração Financeira, Orçamento e Viabilidade Econômica. São Paulo, Atlas,
1987, 269 p.
PROTIL, R.M. Desenvolvimento de um Sistema Computacional para Análise de Risco em Investimentos Florestais.
Dissertação de Mestrado, PPGA/UFRGS, 1993, 116 p.
MAGNI, C.A. 2010. Average Internal Rate of Return and Investment Decisions: A New Perspective. The Engineering
Economist, 55(2), 150−180.
MAGNI, C.A. 2013. The Internal-Rate-of-Return approach and the AIRR paradigm: A refutation and a corroboration. The
Engineering Economist, 58(2), 73−111.
Magni, Carlo Alberto, Arithmetic Returns for Investment Performance Measurement. Insurance: Mathematics and
Economics,
2014,
55,
291-300..
Available
at
SSRN:
http://ssrn.com/abstract=2080775
or
http://dx.doi.org/10.2139/ssrn.2080775
GITMAN, Lawrence Jeffrey. Princípios de Administração Financeira. 12. ed. São Paulo: Pearson Addison-Wesley, 2010.
775p. ISBN 9788576053323. Principles of managerial finance.
Figura na contra-capa: fonte: http://peregrinador.tumblr.com/post/266276164/o-tempo-perguntou-ao-tempo-quantotempo-o-tempo. http://www.sober.org.br/palestra/9/814.pdf
PhD in Mathematics applied to economic problems, University of Trieste, Italia. Associate Professor of Mathematical
Methods for Economics, Actuarial and Financial Sciences, University of Modena and Reggio Emilia, Faculty of Economics,
Italia. Grupo de investigación Instituto de Estudios para el Desarrollo, IDE, Colombia. [email protected]. CARLO ALBERTO
MAGNI. http://unimore.academia.edu/CarloAlbertoMagni/CurriculumVitae.
Nome do arquivo: BRUNI_et_al_1998_2014novembro01
2 - PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS (NOGAS et al., 2011)
Neste tópico é apresentada a metodologia utilizada no trabalho, subdividida em três partes, que
retratam a caracterização desta pesquisa; o método de simulação; a forma de obtenção dos dados e
o seu tratamento; e as ferramentas de análise utilizadas.
2.1 Caracterização da pesquisa
Trata-se, segundo Silva e Menezes (2001), de uma pesquisa teórica quanto a sua natureza; quantitativa
quanto à forma de abordagem do problema; descritiva quanto ao seu objetivo e bibliográfica quanto
aos procedimentos técnicos de coleta de dados. É teórica porque está sendo elaborada a partir de
cenários hipotetizados com o uso do método indutivo, usado e defendido por Francis Bacon, com o
qual se pode descobrir princípios gerais a partir de conhecimentos particulares; é quantitativa porque
requer o uso de recursos matemáticos para solução e análise; é descritiva porque mapeia as relações
entre os coeficientes de variação e a probabilidade da TMA >TIR sob diferentes cenários; é explicativa
porquanto objetiva esclarecer os fundamentos que caracterizam o risco de um projeto de
investimento; e, por fim, é bibliográfica porque também se utiliza material já publicado.
Também pode ser enquadrada como pesquisa básica quanto à sua natureza, visto que busca
aprofundar conhecimentos acerca de um assunto que podem posteriormente ser aplicados às
empresas em geral, pelos tomadores de decisão (HAIR JÚNIOR et al., 2005).
HAIR JÚNIOR, J.F.; BABIN, B.; MONEY, A.H.; SAMOUEL, P. Fundamentos de métodos de pesquisa em
administração. Porto Alegre: Bookman. 2005.
2.2 Método de Simulação de Monte Carlo (MSMC)
O Método de Simulação de Monte Carlo foi criado por Stan Ulam em 1945 (METROPOLIS, 1987 apud
FREGA, 2009). Segundo Sobol (1994) apud Frega (2009) o “Método de Simulação de Monte Carlo
(MSMC) é um método numérico para a resolução de problemas matemáticos por meio da geração e
aplicação de números aleatórios, segundo uma distribuição de probabilidade conhecida a priori”. Em
síntese, o MSMC consiste em gerar números aleatórios entre zero e um e rebatê-los segundo uma
distribuição de probabilidade especificada. Assim, projetos de investimentos (PIs) que possam ter a
demanda, o preço, os custos e a taxa de crescimento especificados por meio de distribuições de
probabilidade podem se valer do MSMC para gerar várias combinações desses parâmetros e observar
os resultados obtidos (SILVA et al., 1998). Esse procedimento, denominado Simulação de Monte Carlo
ou Simulação Estocástica, tem sido utilizado largamente em vários problemas cuja observação do
fenômeno real seja difícil, custoso ou até mesmo impossível.
Para Chorafas (1994), pela aplicação do MSMC é possível obter um modelo que caracterize o problema
em estudo; programar a sequência de eventos por meio de regras determinísticas, quando elas são
possíveis, e utilizar processos probabilísticos para prever ou simular os fatores “obscuros”.
Para estimar as probabilidades descritas no objetivo deste trabalho, com base nas hipóteses
assumidas, o MSMC foi operacionalizado por meio do uso do software Crystal Ball.
CHORAFAS, D.N. Chaos theory in the financial markets. EUA: Irwin. 1994.
FREGA, J.R. Conflitos e incertezas na tomada de decisão coletiva: um novo olhar sobre a ampliação
dos limites da racionalidade. Curitiba: Pontifica Universidade Católica do Paraná. Tese de Doutorado.
2009.
SILVA, E.M.; SILVA, E.M.; GONÇALVES, V.; MUROLO, A.C. Pesquisa Operacional: para os cursos de
Economia, Administração e Ciências Contábeis. São Paulo: Atlas. 1998.
2.3 Pressupostos para a obtenção/geração dos dados
Para proceder à análise proposta, foram assumidas as seguintes hipóteses em relação à TMA e à TIR:
(i) ambos indicadores são identicamente distribuídos, e na presente análise assume-se que seguem
distribuições normais; (ii) suas médias correspondem aos índices obtidos/calculados; (iii) seus
coeficientes de variação são arbitrados de modo a permitir simulações; e (iv) os coeficientes de
variação são considerados idênticos para os dois indicadores – TMA e TIR – em cada simulação
efetuada.
Para a TMA foram atribuídos os percentuais inteiros de 9% a 14% que são compatíveis com a realidade
brasileira à época do presente estudo. Os valores da TIR foram obtidos de modo a que o índice TMA/
TIR não extrapolar a escala de risco, isto é mínimo de 0 (ausência de risco) e máximo de 1 (risco
máximo). Para o propósito deste trabalho estabeleceu-se um mínimo de 0,3 para o menor risco e de
0,9 para o maior risco e mantidos constantes em cada nova simulação. O valor do desvio-padrão foi
atribuído de modo que o coeficiente de variação tenha valor entre 10% e 50%, variando 10 pontos
percentuais a cada simulação. Em cada simulação foram feitas 5000 estimativas (runs) usando o
MSMC.
2.4 Ferramentas de análise
Na análise e no tratamento dos dados foram utilizadas medidas da estatística descritiva e regressão
múltipla.
2.4.1 Estatística Descritiva
As medidas descritivas usadas na análise foram média aritmética simples, variância, desvio-padrão e
coeficiente de variação. O uso do coeficiente de variação é justificado pelo fato de que quando se toma
o desvio-padrão de uma série não é possível interpretá-lo como alto ou baixo, a não ser que se compare
a outra série de média semelhante. Seu valor é dado pela razão entre o desvio-padrão (s) e a média da
série ( x ), e expresso na forma de percentual, como ilustrado na Equação 1.
CV 
s
x
(1)
Neste caso, sua aplicação é apropriada, pois a interpretação independe da existência de outra série
semelhante.
2.4.2 Regressão Múltipla
O relacionamento entre variáveis é um tema amplamente abordado na literatura de estatística e de
econometria com o objetivo de analisar e ajudar a entender seu comportamento de modo conjunto.
O estudo da correlação entre variáveis avalia o tipo de relação que existe entre duas variáveis – direto
ou inverso - assim como a força desta relação. No caso da regressão, procura-se explicar como ocorre
esta relação, e obter um modelo matemático que estabeleça de algum modo a influência que a
variação de uma ou mais variáveis pode ter na variação de outra.
A Análise de Regressão Múltipla é uma ferramenta estatística que se mostra útil para o tratamento
dos dados históricos (LEVINE, 2005). Na regressão múltipla, têm-se um conjunto de variáveis
independentes X que podem exercer influência em uma variável dependente Y. Para o caso deste
trabalho, são utilizados resultados do MSMC para obter um modelo de regressão linear múltipla que
estime a probabilidade de que a TMA supere a TIR com base no fator TMA/TIR (X1) e no coeficiente de
variação destes indicadores (X2). O modelo de regressão múltipla com k variáveis explanatórias é
definido na Equação 2. O modelo obtido pode ser utilizado para efetuar previsões e estimativas com
base nas variáveis estudadas.
Yi = + 1.X1i + 2.X2i + ... + k.Xki + i
(2)
Na qual:
 = interseção de Y;
1 = inclinação de Y em relação à variável X1, mantendo as demais Xi constantes;
2 = inclinação de Y em relação à variável X2, mantendo as demais Xi constantes;
...
k = inclinação de Y em relação à variável Xk, mantendo as demais Xi constantes;
i = erro aleatório em Y, para a observação i;
Xij = i-ésima (i = 1, 2, ..., n) observação da j-ésima (j = 1, 2, ..., k) variável.
2.4.3 Coeficiente de Explicação
O Coeficiente de Explicação “R2”, definido no intervalo (0, 1), representa a possível fração de variação
de Y em função das variações de X1, X2, ..., Xk. Por exemplo, se R2 = 0,9 significa que 90% da variação
de Y pode ser explicada pelas variações de X (j = 1, 2, ..., k). Para a análise de regressão múltipla foram
utilizadas as funcionalidades da planilha eletrônica MS-Excel.
3 - APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS
Conforme descrito na introdução, este trabalho tem por objetivo estimar a probabilidade de que a
TMA supere a TIR depois de iniciado o projeto devido a fontes aleatórias presentes em projetos de
Investimentos (PI). Usando-se como variável dependente (Y) essa probabilidade, isto é, P(TMA>TIR), e
como variáveis independentes o Fator TMA/TIR (X1) e o Coeficiente de Variação (X2) arbitrado para a
TMA e para a TIR pode-se estimar, por meio do Método de Simulação de Monte Carlo (MSMC), a
Probabilidade Desejada para várias combinações de TMA e de TIR.
A Tabela 1 apresenta as probabilidades de que a TMA supere a TIR, obtidas pela simulação de Monte
Carlo para um Fator TMA/TIR igual a 0,3, o que representaria um projeto com risco relativamente
baixo.
Tabela 1 – P(TMA>TIR) para o Fator TMA/TIR = 0,3
Fonte: Nogas et al. (2011)
Nota do autor: TMA e TIR são variáveis aleatórias, pois: (i) a TMA depende da conjectura econômica
(aspectos de mercado); e (ii) a TIR depende do FC0, dos Cj, das Rj. Na Tabela 1: TIR = TMA/0,3 =>
TMA/TIR = 0,30.
Pode-se observar que a variabilidade das probabilidades obtidas em cada coluna, correspondente aos
Coeficientes de Variação arbitrados, foi praticamente nula, indicando que tais probabilidades não são
afetadas pela diferença entre a TIR e a TMA, mas sim pelo Fator TMA/TIR.
De modo análogo, esse processo foi repetido para vários fatores compreendidos no intervalo 0,3 (baixo
risco) até 0,9 (alto risco) e observaram-se os mesmos padrões de homogeneidade encontrados na
Tabela 1, ou seja, para um mesmo valor de Coeficiente de Variação obteve-se probabilidades
praticamente sem variação.
Os resultados obtidos foram agrupados na Tabela 2, que apresenta as probabilidades obtidas para cada
combinação de Fator e Coeficiente de Variação, e ilustrados na da Figura 1.
Tabela 2 – Probabilidades da TMA superar a TIR
Figura 1 – Probabilidade da TMA superar a TIR
Os padrões observados motivaram a busca de um modelo de regressão linear múltipla que permitisse
estimar tais probabilidades, sem que seja necessário recorrer à Tabela 2. O modelo obtido,
apresentado na Equação 6, com Coeficiente de Explicação/Determinação (R² ajustado) igual a 0,8857
indica que a variação na probabilidade estimada, em 88,57% das vezes pode ser explicada pela variação
do Fator TMA/TIR e do Coeficiente de Variação arbitrado para a TMA e para a TIR.
Y = -0,3348 + 0,5519.X1 + 0,5300.X2
(6)
Os coeficientes da equação de regressão apresentaram valores p (p-value) iguais a 3,87.10-12; 9,63.1015 e 1,88.10-10 respectivamente, indicando que todos eles são estatisticamente significativos.
4 – CONCLUSÃO
Conforme proposto na introdução do presente trabalho, foram cumpridos os objetivos de se obter as
probabilidades de que a TMA supere a TIR por meio de simulação, e de se criar um modelo de regressão
linear múltipla capaz de estimar tais probabilidades.
Observou-se que a diferença absoluta entre a TIR e a TMA não interfere na probabilidade de que a
TMA seja maior que a TIR. Entretanto, a razão entre TMA e TIR influencia diretamente esta
probabilidade.
O Coeficiente de Variação dos indicadores também influencia diretamente no resultado. Quanto maior
o Coeficiente de Variação arbitrado para a TMA e para a TIR, maior a probabilidade de que a TMA
supere a TIR.
Pode-se concluir, com base nos resultados da simulação efetuada, que a probabilidade de que a TMA
supere a TIR depois de iniciado um projeto de investimento é diretamente influenciada pelo Fator
TMA/TIR e pelos coeficientes de variação destes dois indicadores.
Essas probabilidades obtidas quantificam o risco do projeto face as características aleatórias presentes
na TMA e na TIR no decorrer do projeto. Deste modo, considera-se que este estudo pode configurar
uma contribuição aos indicadores de risco da Metodologia Multi-índice para análise de viabilidade de
projetos de investimentos em ativos reais.
Por último, porém não menos importante, está à constatação de que a proxy TMA/TIR, utilizada na
Metodologia Multi-índice para representar a probabilidade de que a TMA supere a TIR, resta
superestimada e que o presente estudo propicia elementos para que seja feito um ajuste desse
indicador.
5 – REFERÊNCIAS
ANTHONY, R.N. (1956): Management accounting: text and cases. Homewood, IL: Richard D. Irwin, Inc.
ASSAF NETO, Alexandre. (2005): Retorno de investimento. São Paulo: Atlas.
BODIE, Z.; KANE, A.; MARCUS, A.J. (2000): Fundamentos de Investimentos. 3ª ed. Porto Alegre:
Bookman.
BRASIL, H.G. et al. (2007): Opções reais: conceitos e aplicações a empresas e negócios. São Paulo:
Saraiva.
BREALEY, R.A.; MYERS, S.C. (2006): Investimento de Capital e avaliação. Porto Alegre: Bookman.
BRIGHAM. E.F.; EHRHARDT, M.C. (2006): Administração Financeira. Trad. 10ª ed. São Paulo: Pioneira
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CALLAHAN, C.M., COOKE, D.M., KAKA, F.S. (Jan. 2002): A Model and test of interfirm innovation
Diffusion: the case of discounted cash flow techniques. Working Paper: University of Waterloo and
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CALVERT, J.B. (2005): Arthur Mellen Wellington’s Railway Location. Acesso em: 19 abr. 2010.
Disponível em: <http://mysite.du.edu/~jcalvert/railway/wellingt.htm>. OK
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Distribuição Uniforme (ou retangular)
José Donizetti de Lima (2015)
Seja x uma variável aleatória de interesse e t uma variável aleatória artificial.
Variação =  = b – a. t  [0, 1]. No MS-Excel: aleatório()
a
x  b x  a  b  a
Como b  a

xa
1
ba
Mas, x  a  b  a, pois x  b. Logo,
0
xa
.
ba
Portanto,
0
xa
xa
1 e t 
ba
ba
Assim, podemos escrever:
t
xa
 x  a  (b  a )  t
ba
Em suma: x  [a, b]  a  x  b  x  a  (b  a )  t , t  [0, 1]. No MS-Excel: aleatório()
A Função densidade de probabilidade (fdp) da distribuição uniforme é dada por:
f ( x) 
1
,  x  [ a, b]
ba
Para determinar a função de distribuição acumulada (FDA), utilizamos a relação entre fdp e FDA.
0, se x  0
x  a

F ( x)  
, 0  x 1
b  a
1, se x  1
Para melhor caracterizar a distribuição uniforme precisamos definir a sua esperança matemática ou
valor esperado ou média ( = E(X)) e a sua variância (2 = V(X)).

  E ( X )   x  f ( x) dx  ... 


ab
2
 2  V ( X )   ( x   ) 2  f ( x) dx  ... 

(b  a) 2
12
ou
 2  E ( X 2 )  [ E ( X )]2
em que:

E ( X 2 )   x 2  f ( x) dx

Distribuição de Probabilidade Triangular
“Em probabilidade e estatística, a distribuição triangular é a distribuição de probabilidade contínua
que possui um valor mínimo a, um valor máximo b e uma moda c, de modo que a função densidade
de probabilidade (fdp) é zero para os extremos (a e b), e afim entre cada extremo e a moda, de forma
que a sua representação gráfica é um triângulo”. Vejamos a sua ilustração geométrica (características
da distribuição).
Figura – Ilustração da fdp da distribuição de probabilidade triangular
Da ilustração geométrica e sabendo que trata-se de uma distribuição de probabilidade, temos que a
soma da área é igual a 1 (100%). Assim, podemos escrever:
Área 
Base  Altura
(b  a )  h
2
1
 1  (b  a )  h  2  h 
2
2
ba
Consideremos os pontos:
A(a, 0); B(b, 0) e C(c, 2/(b – a)).
Agora, vamos determinar a equação da reta (y = m1.x + q1) que passa/contém os pontos A(a, 0) e C(c,
2/(b – a)), válida para a  x  c.
2
y b  a
2
m1 



x c  a (b  a )  (c  a )
y  m1  x  q1 
2
 x  q1
(b  a)  (c  a)
Substituindo A(a, 0) na última equação, vamos a:
0
2
 2a
 a  q1  q1 
(b  a)  (c  a)
(b  a)  (c  a)
Logo,
y
2x
2a
2  ( x  a)
x
 y
para a  x  c
(b  a )  (c  a )
(b  a)  (c  a)
(b  a)  (c  a)
De forma análoga, vamos determinar a equação da reta (y = m2.x + q2) que passa/contém os pontos
B(b, 0) e C(c, 2/(b – a)), válida para c  x  b.
2
2
y b  a
2
m2 

 ba 

x c  b  (b  c) (b  a )  (b  c)
y  m2  x  q2 
2
 x  q2
(b  a)  (b  c)
Substituindo B(b, 0) na última equação, vamos a:
0
2
2b
 b  q2  q2 
(b  a)  (b  c)
(b  a)  (b  c)
Logo,
y
2
2b
2  (b  x)
x
 y
para c  x  b
(b  a)  (b  c)
(b  a)  (b  c)
(b  a)  (b  c)
Portanto, diante do demonstrado anteriormente, concluímos que a função densidade de probabilidade
(fdp) é determinada por:
 2  ( x  a)
 (b  a)  (c  a ) , para a  x  c

 2  (b  x)
f ( x / a, b, c)  
, para c  x  b
 (b  a)  (b  c)
0, para qualquer outro caso


Para determinar a função de distribuição acumulada (FDA), utilizamos a relação entre fdp e FDA.
 Para a  x  c, temos:
x x
x
 ( x  a) 2 
2  ( x  a)
2
2
F ( x)  
dx 
 ( x  a) dx 

 
a (b  a)  (c  a)
(b  a)  (c  a) a
(b  a)  (c  a)  2  x  a
x
( x  a) 2
F ( x) 
, para a  x  c
(b  a)  (c  a)
 Para c  x  b, precisamos resolver duas integrais, uma de a até c e outra de c até um valor x. Isto é:
F ( x)  
c
a
x
2  ( x  a)
2  (b  x)
(b  x) 2
dx  
dx  ...  1 
c (b  a )  (b  c )
(b  a)  (c  a)
(b  a)  (b  c)
Portanto, diante do demonstrado anteriormente, concluímos que a função de probabilidade
acumulada (FDA) é determinada por:
 ( x  a) 2
, para a  x  c

 (b  a)  (c  a)
f ( x / a, b, c)  
(b  x) 2
1 
 (b  a)  (b  c)
Para melhor caracterizar a distribuição triangular precisamos definir a sua esperança matemática ou
valor esperado ou média ( = E(X)) e a sua variância (2 = V(X)).

c

a
  E ( X )   x  f ( x) dx   x 
b
2  ( x  a)
2  (b  x)
abc
dx   x 
dx  ... 
c
(b  a)  (c  a)
(b  a)  (b  c)
3

 2  V ( X )   ( x   ) 2  f ( x) dx  ... 

a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc
18
ou
 2  E ( X 2 )  [ E ( X )]2  ... 
a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc
18
em que:

E ( X 2 )   x 2  f ( x) dx

Além disso, temos que a moda = c. Por outro lado, a mediana é fornecida por:

(b  a)  (c  a)
ba
, para c 
a 
2
2

Mediana  
b  (b  a)  (b  c) , para c  b  a

2
2
Parâmetros: a: a (-, +); b: b > a; c: a  c  b; suporte: a  x  b
Uso da distribuição:
A Distribuição Triangular é normalmente usada quando existe uma ideia subjetiva da população, por
meio dos seus extremos (a e b) e da sua moda (c). Exemplo de aplicação: área de finanças, área de
Engenharia Econômica: estimativa de demanda, preço e custo, por exemplo.
Os parâmetros da distribuição triangular são relativamente fáceis de estimar porque são muito
intuitivos.
Referências:
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<http://www.brighton-webs.co.uk/distributions/triangular.asp>.
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Distribui%C3%A7%C3%A3o_triangular&oldid=39070144
A distribuição triangular é utilizada quando é possível determinar o valor mais provável da variável
aleatória (v.a.), além do seu valor mínimo e máximo, e quando uma função linear parece apropriada
para a descrição. As Figuras a seguir apresentam a função de densidade de probabilidade (fdp) dessa
distribuição.
Figuras – Exemplos ilustrativos da Distribuição Triangular
TÉCNICA DA TRANSFORMAÇÃO INVERSA
Figuras – fdp triangular
Distribuição Triangular (adaptado de Paulo Freitas, UFSC/CTC/INE – Simulação Discreta de Sistemas)
Tabela – Interpretação do desvio-padrão de algumas distribuições
Tabela – Interpretação do desvio-padrão para a N(, 2)
A distribuição de probabilidade triangular é a mais conhecida e utilizada na simulação de Monte Carlo
devido a sua simplicidade, sendo que consiste em uma distribuição contínua, descrita por 3 (três)
valores: mínimo, mais provável e máximo.
Simulação utilizando a Distribuição Triangular Aleatória
Adaptado de Machado e Ferreira (2012)
Em uma distribuição triangular, a probabilidade de determinado valor “x” ocorrer corresponde à área
do triângulo representado na Figura a seguir:
Figura - Função Distribuição de Probabilidade Triangular
Em que:
min – valor mínimo assumido pela função.
mp – valor mais provável da ocorrência.
max – valor máximo assumido pela função.
Para o lado esquerdo da distribuição, representada na Figura a seguir, tem-se que:
Figura - Distribuição triangular acumulada: lado esquerdo
min  x  mp  0 
( x  min) 2
1
(mp  min)  (max  min)
Consideremos RN uma variável aleatória no intervalo [0, 1], min  x  mp, correspondente ao lado
esquerdo da distribuição triangular em relação ao pico (mp), tem-se:
( x  min)2
RN 
(mp  min)  (max  min)
( x  min) 2  RN  (mp  min)  (max  min)
x  min  RN  (mp  min)  (max  min)
Portanto,
x  min RN  (mp  min)  (max  min)
Equação 1 - F.D.P. triangular acumulada aleatória: lado esquerdo
Para o lado direito da distribuição, representada na Figura a seguir, tem-se que:
Figura – Distribuição triangular acumulada: lado direito
mp  x  max  0 
(max  x) 2
1
(max  mp)  (max  min)
Consideremos RN uma variável aleatória no intervalo [0, 1], mp  x  max, correspondente ao lado
direito da distribuição triangular em relação ao pico (mp), tem-se:
RN  1 
(max  x) 2
(max  mp )  (max  min)
1  RN 
(max  x) 2
(max  mp )  (max  min)
Então,
(max x) 2  (1  RN )  (max mp)  (max min)  max  x  (1  RN )  (max mp)  (max min)
Portanto,
x  max  (1  RN )  (max mp)  (max min)
Equação 2 - F.D.P. triangular acumulada aleatória: lado direito
As equações 1 e 2 estão traduzidas em fórmulas padrão Excel e alocadas nas células de C10 a C1010
conforme é mostrado na Figura a seguir.
Figura – Fórmulas implementadas no MS-Excel para a FDP triangular acumulada aleatória
A célula A7 e B7 (mescladas) define o ponto de inflexão da curva triangular, dado por:
mp  min
max  min
A estrutura das fórmulas utilizadas de B10 a B1010 é mostrada em detalhes na Figura a seguir:
Figura – Estrutura da função “SE” do MS-Excel para a FDP triangular acumulada aleatória
A planilha gera então 1.000 números aleatórios por intermédio da função ALEATÓRIO() do MS-Excel e
uma distribuição triangular aleatória de 1.000 pontos será gerada quando a planilha for alimentada
com os parâmetros min, mp e max, conforme mostra a Figura a seguir:
Figura – Geração de FDP triangular aleatória com 1.000 pontos
Uma vez obtida a distribuição triangular aleatória de 1.000 pontos, para efeito de visualização gráfica
agrupa-se as variáveis aleatórias em 40 intervalos distintos, calculando-se a frequência acumulada dos
intervalos e também a relativa, conforme mostrado na Figura a seguir:
Figura – Cálculo da frequência acumulada e relativa
Para se obter os 40 intervalos é necessário definir os pontos mínimo e máximo da distribuição, assim
como o “tamanho” do intervalo. As células F2 e F3 calculam os valores máximo e mínimo da
distribuição aleatória, enquanto a célula F4 define o tamanho de cada um dos 40 intervalos. De posse
dessas informações, na coluna J têm-se os 40 intervalos da distribuição, na coluna K a frequência
acumulada, por intermédio da fórmula FREQUENCIA(matriz_dados; matriz_bin) do MS-Excel e
também a frequência relativa na coluna L. O gráfico da distribuição aleatória é traçado selecionandose as colunas J e L, ou seja, com os intervalos na abscissa e frequência relativa no eixo das ordenadas,
conforme mostrado na Figura a seguir:
Figura – Geração do histograma da FDP aleatória
A curva da distribuição aleatória é traçada selecionando-se as colunas J e M, ou seja, com os intervalos
na abscissa e P(x<X) no eixo das ordenadas, conforme mostrado na Figura a seguir:
Figura – Geração da curva da FDP aleatória acumulada
Visto que o gráfico da distribuição triangular aleatória assim como a curva de distribuição de
probabilidade acumulada tem um número reduzido de pontos e que nesse caso tem função ilustrativa,
recorre-se à função ORDEM.PERCENTUAL do MS-Excel para determinar com maior exatidão as
probabilidades P(x<X) e P(x>X), em que P(x>X) = 1 – P(x<X), conforme mostrado nas células H7 e H8
da Figura a seguir.
Figura 12 – Função Ordempercentual do Excel
Na célula H8 P(x<X) é subtraída de 1 – (Px<X) e com isso obtém-se a probabilidade da variável x
encontrar-se no intervalo especificado em H7 e H8:
Como exemplo, calcula-se a probabilidade de ocorrência entre os valores 13 e 19 na distribuição Triang
(10, 15, 25), conforme mostrado na Figura a seguir:
Figura – Simulação Triang (10, 15, 25) aleatória acumulada
A probabilidade de ocorrência de valores entre 13 e 19 pode ser expressa por:
P(x  19) – P(x  13) = 0,760 – 0,120 = 0,64 = 64%
Nome do arquivo: MSMC_N_10_Prof_Donizetti_2014novembro25.xlxs
MÉTODO DE SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO MULTIVARIADO – MÉTODOS NUMÉRICOS
ESTOCÁSTICOS
“As variáveis são estocásticas pois associadas à elas estão uma distribuição de probabilidades. ”
Considere o seguinte problema de investimento: Baseado no exemplo da UNESP (fonte => Psu e citar)
 O investimento inicial ou custo inicial de implantação (FC0) segue uma distribuição de probabilidade
uniforme: U[a; b] = U[-R$ 100.000,00; -R$ 120.000,00].
 Os componentes do fluxo de caixa (receitas – custos) seguem uma distribuição de probabilidade
normal: N(; 2) = N(R$ 17.000,00; R$ 1.000,002).
 A Taxa Mínima de Atratividade (TMA) segue uma distribuição de probabilidade triangular: T(mín;
mp; máx) = T(8%; 10%; 12%).
 A vida econômica segue uma distribuição de probabilidade triangular: T(mín; mp; máx) = T(9; 10;
11). Obs.: Simulei apenas N = 9, N = 10 e N = 11, isto é, apenas valore inteiros.
N
 A função: f(x) = VPL (FCo, FCj, N, TMA) =  | FC0 | 
j 1
FC j
(1  TMA) j
e para N = 10, temos:
Histograma do MS-Excel
Programado
N
j 1
FC j
(1  TMA) j
N
j 1
FC j
(1  TMA) j
APS: REFAZER O EXEMPLO DO FERREIRA (2004) UTILIZANDO A DISTRIBUIÇÃO TRIANGULAR COM
10.000 SIMULAÇÕES. T(R$ 16.000,00; R$ 20.000,00; R$ 24.000,00)
David Bendel HERTZ (1919-2011): Risk Analysis in Capital Investment. Harvard Business Review,
January/February 1964. Análise de riscos em investimentos de capital.
Application of probabilities will often yield entirely different and better decisions.
Aplicação de probabilidades renderá muitas vezes decisões inteiramente diferentes e melhores.
How can business executives make the best investment decisions? Is there a method of risk analysis
to help managers make wise acquisitions, launch new products, modernize the plant, or avoid
overcapacity? “Risk Analysis in Capital Investment” takes a look at questions such as these and says
“yes” - by measuring the multitude of risks involved in each situation. Mathematical formulas that
predict a single rate of return or “best estimate” are not enough. Como podem os executivos de
empresas/negócios tomar as melhores decisões de investimentos? Existe um método de análise de
riscos para ajudar os gerentes/gestores a fazer aquisições sábias, lançar novos produtos, modernização
da planta ou evitar o excesso de capacidade/produção? "Análise de risco em investimentos de capital
" lança um olhar sobre essas questões e diz "Sim" - medindo-se a multiplicidade/diversidade dos riscos
envolvidos em cada situação. As fórmulas matemáticas que predizem uma única taxa de retorno ou
"melhor estimativa" não são suficientes.
The author’s approach emphasizes the nature and processing of the data used and specific
combinations of variables like cash flow, return on investment, and risk to estimate the odds for each
potential outcome. Managers can examine the added information provided in this way to rate more
accurately the chances of substantial gain in their ventures. The article, originally presented in 1964,
continues to interest readers. In a retrospective commentary, the author discusses the now routine
use of risk analysis in business and government, emphasizing that the method can - and should - be
used in any decision-requiring situations in our uncertain world. A abordagem do autor enfatiza a
natureza e o tratamento/processamento dos dados usados e combinações específicas de variáveis tais
como fluxo de caixa, retorno sobre o investimento e o risco para estimar as probabilidades para cada
resultado possível (em potencial). Os gerentes/gestores podem analisar as informações
extras/adicionadas fornecidas nesta forma como a taxa mais precisão as chances de ganho substancial
em seus empreendimentos. O artigo, originalmente apresentado em 1964, continua a interessar os
leitores. Em um comentário retrospectivo, o autor discute o uso de rotina de análise de riscos em
empresas e órgãos do governo, ressaltando que o método pode e deve ser utilizado em qualquer
decisão que exigem situações em nosso mundo incerto. By David B. Hertz, 1964.
David Hertz, professor emeritus at UM, died in June in Miami at the age of 92. Hertz was
Distinguished Professor of Artificial Intelligence, director of the UM Intelligent Computer Systems
Research Institute and a professor of management science and law.
Distribuição de Probabilidade Uniforme
DIGITAR => FOLHAS DE CADERNO
APLICAÇÃO DA METODOLOGIA COM ANÁLISE DE RISCO
Suponhamos agora que o projeto tenha sido avaliado com a abordagem de análise de risco. Para a
simulação do VPL probabilístico é necessário definir distribuições de probabilidade para as variáveis
de entrada do estudo econômico.
Para a maioria das variáveis modeladas, os analistas que estavam realizando o estudo, optaram por
utilizar a distribuição triangular, pois para defini-la precisariam apenas do valor mínimo, máximo e
mais provável, valores estes que consideravam poder estimar com um grau de certeza razoável para
a análise. Estes três parâmetros seriam informados para o modelo de análise de risco que,
automaticamente geraria uma distribuição para cada variável modelada, conforme ilustra a Figura a
seguir.
Seguem os parâmetros utilizados na modelagem estatística:
Investimento total modelado com distribuição triangular com os seguintes parâmetros:
• valor mais provável = valor determinístico
• valor mínimo = 95%*valor mais provável
• valor máximo = 105%*valor mais provável
Segue o gráfico da distribuição de probabilidade para o investimento total corrigido.
Cronograma de desembolso - distribuição triangular com os parâmetros:
• valor mínimo = valor mais provável - 0,05
• valor máximo = valor mais provável + 0,05
• Para o último ano, o desembolso teria que ser modelado como 100% - desembolsos dos anos
anteriores, para evitar que o total fosse superior a 100%.
A quantidade produzida foi mantida em 25.000 unidades, entretanto para a eficiência operacional foi
considerada uma distribuição triangular com:
• valor mínimo = valor mais provável - 0,025
• valor máximo = valor mais provável + 0,02574
Essa simulação poderia acarretar em eficiências maiores que 100%, entretanto essa hipótese foi
considerada plausível pelo fato do equipamento poder apresentar um rendimento acima do esperado.
Início de produção e vida econômica mantidos constantes, sem modelagem probabilística. Preços com
distribuição Normal com os parâmetros:
• média = valor determinístico
• desvio padrão para o preço no primeiro ano = 7,52% * média
• desvio padrão para o preço no segundo ano = 8% * média
• desvio padrão para o preço no terceiro ano = 8,5% * média
• desvio padrão para o preço a partir do quarto ano = 9% * média
ICMS e PIS/COFINS mantidos constantes, sem modelagem probabilística.
Custos operacionais com distribuição triangular com os parâmetros:
• valor mínimo = 90% * valor mais provável
• valor máximo = 110% * valor mais provável
IR + CSLL mantidos constantes, sem modelagem probabilística.
Taxa de desconto mantida constante, sem modelagem probabilística.
Histórico e Aplicações do MSMC
Adaptado de Machado e Ferreira (2012)
O MSMC tem suas origens quando o matemático Stanislaw Ulam, em 1946, ao jogar paciência, resolve
questionar quais seriam as chances de sucesso em um jogo com 52 cartas. Ao tentar utilizar de análise
combinatória percebeu haver uma alternativa mais prática que seria simular o resultado fazendo
inúmeras jogadas e contar os resultados obtidos, porém ainda assim envolvia cálculos demorados, por
serem iterativos.
Coincidentemente nessa época surge o primeiro computador eletrônico, desenvolvido durante a
segunda guerra mundial, o Eletronic Numerical Integrator And Computer (ENIAC).
Ulam trabalhou no projeto Manhattan junto com John Von Neumann e Nicholas Metropolis no
desenvolvimento da bomba atômica durante a II guerra e incentivou Von Neumann a utilizar métodos
de amostragem estatística para solucionar o problema da difusão de nêutrons em material sujeito a
fissão nuclear, utilizando o computador.
A característica aleatória desse método fez com que Nicholas Metropolis sugerisse o nome de Método
de Monte Carlo, em analogia ao famoso cassino.
O método de Monte Carlo, doravante referenciado como MSMC, segundo Machado e Ferreira (2012),
“consiste basicamente na geração de números aleatórios associados a técnicas probabilísticas e é
utilizado para solução de problemas não convencionais, cuja solução por métodos determinísticos seria
muito trabalhosa, quando não inviável”.
“Por método determinístico entenda-se aquele baseado em discretizações numéricas das variáveis das
funções que descrevem o processo em análise. A simulação estocástica utiliza variáveis aleatórias
como entrada e por intermédio de algoritmos computacionais baseados nas leis da probabilidade e
estatística, geram saídas que devem ser interpretadas como estimativas estatísticas das características
reais do processo em análise” (MACHADO e FERREIRA, 2012).
O MSMC é, portanto, “um método estocástico que utiliza variáveis aleatórias para realizar a
simulação, sendo que o resultado não será o mesmo para cada recálculo, embora tenda a convergir
para valores aproximados” (MACHADO e FERREIRA, 2012).
“Outra característica da aplicação do MSMC é a geração de cenários e também a modelagem das
variáveis de entrada por meio do uso de funções de distribuição de probabilidades apropriadas ao
problema em análise. Uma vez definidas as funções de distribuição de probabilidade, a simulação de
Monte Carlo é realizada por intermédio da amostragem aleatória dessas funções. Por fim, o resultado
final obtido traduz-se em um histograma associado a uma curva de densidade probabilidade
acumulada, esta última em formato típico de um “S”. Essa curva de densidade probabilidade
acumulada será o objeto de estudo para solução do problema em análise e quantificará em percentual
a probabilidade de determinado valor encontrar-se acima, abaixo ou entre um intervalo de confiança
escolhido” (MACHADO e FERREIRA, 2012).
“Uma das aplicações do MSMC ocorre na análise quantitativa de riscos em gestão de projetos”
(MACHADO e FERREIRA, 2012).
Segundo Alencar e Schmitz (2005, p.17) “falar sobre riscos é falar sobre a identificação de fatores que
podem afetar o sucesso de um projeto, da probabilidade desses fatores assumirem valores que
possam prejudicar o projeto e das consequências destes fatores assumirem aqueles valores em
particular”.
Alencar e Schmitz (2005, p.18) afirma que “fator de risco é qualquer evento que possa prejudicar, total
ou parcialmente, as chances de sucesso do projeto, isto é, as chances do projeto realizar o que foi
proposto dentro do prazo e fluxo de caixa que foram estabelecidos”.
“Risco por sua vez é a probabilidade de que um fator de risco venha a assumir um valor que possa
prejudicar, total ou parcialmente, as chances de sucesso de um projeto (MACHADO e FERREIRA, 2012).
O risco, portanto, possui três componentes (DINIZ, 2004): (i) um evento; (ii) a probabilidade de
ocorrência do evento; e (iii) o impacto decorrente do evento.
Segundo o PMBOK (2004, p.240) o risco se origina da incerteza que está presente em todos os projetos.
“No modelo de avaliação quantitativa dos riscos de custos e prazos de um projeto, utilizar-se-á do
MSMC, cuja técnica consiste em gerar uma grande quantidade de cenários dos possíveis custos ou
prazos individuais do projeto e cujo resultado final ocorrerá por meio da análise da curva de
distribuição de probabilidade acumulada do custo ou prazo total do projeto. As variáveis de entrada,
ou seja, os custos ou prazos individuais ou parciais devem ser estimados por especialistas e também
podem ser aplicadas técnicas específicas para minimizar a margem de erro das estimativas, como por
exemplo, a técnica Delphi” (MACHADO e FERREIRA, 2012).
“O MSMC é iterativo e requer um número de cenários elevado para situar-se dentro de uma margem
de erro aceitável. O número de cenários gerados deve ser compatível com a margem de erro esperada
e a interpretação da curva de densidade probabilidade acumulada gerada em função desses cenários
guiará o gestor de projetos a assumir riscos calculados, ao invés de colocar margens de segurança tanto
para prazos quanto para custos que poderiam inviabilizar determinado projeto” (MACHADO e
FERREIRA, 2012).
“As variáveis aleatórias (randômicas) geradas por métodos computacionais são na realidade variáveis
pseudo-aleatórias e serão consideradas válidas para o fim a que se aplica esse trabalho” (MACHADO e
FERREIRA, 2012).
“Uma função que se encaixa muito bem ao modelo de prazos e custos em gestão de projetos é a função
de distribuição de densidade triangular e será adotada como padrão para a finalidade a que se destina
esse trabalho” (MACHADO e FERREIRA, 2012).
“Nesse caso (distribuição triangular) os especialistas definem três pontos distintos da distribuição para
cada variável de entrada, ou seja, para estimativa dos custos ou prazos individuais ou parciais do
projeto: a estimativa do valor mínimo possível (min), o valor mais provável (mp) e o valor máximo
possível estimado (máx). Esses três valores representam a opinião dos especialistas e os cenários
possíveis serão gerados aleatoriamente baseados nessas estimativas. É possível também contingenciar
determinados custos ou prazos individuais. A contingência de determinado item no custo ou prazo
total do projeto está vinculada à probabilidade de ocorrência desse item durante o ciclo de vida de um
projeto” (MACHADO e FERREIRA, 2012).
Uma curva da distribuição de probabilidade acumulada da probabilidade de risco do VPL do projeto,
por exemplo, que deverá ser analisada pelo gestor do projeto que decidirá que risco quer assumir.
Nilton Roberto dos Santos Machado, Alessandre Oliveira Ferreira. Método de simulação de Monte
Carlo em planilha Excel: desenvolvimento de uma ferramenta versátil para análise quantitativa de
riscos em gestão de projetos. Revista de Ciências Gerenciais. v.16, n.23, 2012. p.223-244.
Resumo: Este trabalho tem como objetivo demonstrar o desenvolvimento de uma planilha Excel para
simulação de Monte Carlo e comprovar seu funcionamento, comparando o resultado obtido com
simulação paralela com o aplicativo Corisco, assim como DISPONIBILIZAR A PLANILHA COMO
FERRAMENTA DE TRABALHO E APRENDIZAGEM. A explicação do desenvolvimento da planilha visa
facilitar o entendimento do método de Simulação de Monte Carlo. Encontra-se literatura farta a
respeito do tema e também planilhas desenvolvidas para essa finalidade, que são fornecidas em CDs
ou mesmo podem ser baixadas da internet, mas há escassez de material que demonstre como
desenvolver uma planilha para simulação de Monte Carlo, com explicação detalhada do
desenvolvimento, além do fato das planilhas ou ferramentas disponíveis para download gratuito não
serem versáteis o suficiente para aplicações genéricas. A versatilidade da planilha proposta nesse
trabalho e a facilidade de uso incentivarão os usuários a utilizá-la como ferramenta de
aprendizagem, particularmente aqueles envolvidos em análise de riscos em projetos de
investimentos.
Palavras-chave: Análise de riscos; Monte Carlo; gestão de projetos.
Considerações finais de Machado e Ferreira (2012)
“Esse artigo abordou o desenvolvimento de uma ferramenta versátil para análise quantitativa de
riscos em gestão de projetos e que pode ser utilizada também como instrumento de aprendizagem
do Método de Simulação de Monte Carlo.
Recursos adicionais podem ser desenvolvidos, como por exemplo, geração de função de distribuição
normal aleatória para aplicação do teorema do limite central, demonstrado em Alencar e Schmitz
(2005, p.132 - 142) no exemplo “The Blue BIRD Rent a Car”.
Com relação à utilização do método, deve-se atentar aos questionamentos de Lúcio Diniz (PMI - 2004):
(i) análise qualitativa com ações ou análise quantitativa sem ações? (ii) a maravilha dos instrumentos
para análise quantitativa de riscos: uma armadilha para os maravilhados? (iii) softwares para análise
quantitativa de riscos em projetos: muita modelagem para pouco conteúdo?
De fato, a utilização desse método deve ser embasada em critérios que levem em consideração o porte
do projeto, a qualidade das informações dos dados de entrada, a capacidade de resposta aos riscos,
assim como a estratégia de monitoramento e controle de riscos, caso contrário deve-se optar pelos
métodos qualitativos, sob pena de se utilizar de muita sofisticação para pouco resultado. ”
Referências:
ALENCAR, A.J.; SCHMITZ, E.A. Análise de Risco em Gerência de Projetos. Rio de Janeiro: Brasport, 2005.
172p.
BRIGHTON WEBS LTD. - Data & Analysis Services for Industry & Education. Triangular Distribution.
Disponível em: <http://www.brighton-webs.co.uk/distributions/triangular.aspx>. Acesso em: 10 out.
2010.
DINIZ, L.J. Análise de Riscos em Projetos: Uma abordagem Qualitativa ou Quantitativa? PMI – Project
Management Institute Brazil, Minas Gerais, 31 de Agosto de 2004. Disponível em:
<http://www.pmimg.org.br/downloads>. Acesso em: 21 nov. 2009.
GALVÃO, M. Análise Quantitativa de Riscos com simulação de Monte Carlo. Mundo Project
Management
MPM
prática.
Editora
Mundo
Ltda,
2005.
Disponível
em:
<http://www.pellisistemas.com.br/novo/pt/biblioteca/arquivos/Monte_Carlo.pdf>. Acesso em: 15
jan. 2011.
BRIGHTON WEBS LTD. - Data & Analysis Services for Industry & Education. Triangular Distribution.
Disponível em: <http://www.brighton-webs.co.uk/distributions/triangular.aspx>. Acesso em: 10 out.
2010.
LINKS IMPORTANTES:
https://www.youtube.com/results?search_query=simulacao+de+monte+carlo
https://www.youtube.com/watch?v=7luCioor4wg
http://www.palisade-br.com/risk/monte_carlo_simulation.asp
VANTAGENS DO MSMC
 O resultado mostra não só o que pode acontecer, mas também a sua probabilidade.
 O histograma permite visualizar e comunicar os resultados para as pessoas envolvidas.
Figura – Fluxograma
Melhor seria utilizar o VPLA no lugar da TIR.
How to Model Triangular Distribution in Excel: Microsoft Excel Tips
Modelando a Incerteza
SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO => Fonte @risk?
Análise de risco faz parte de toda decisão que tomamos. Nós nos deparamos constantemente com
incerteza, ambiguidade e variabilidade. E apesar de contarmos com acesso sem precedente à
informação, não temos condições de prever o futuro de forma exata. A simulação de Monte Carlo
permite ver todos os resultados possíveis de suas decisões e avaliar o impacto em termos de risco,
possibilitando que você tome melhores decisões em situações de incerteza.
O que é a simulação de Monte Carlo?
A simulação de Monte Carlo é uma técnica matemática computadorizada que possibilita levar em
conta o risco em análises quantitativas e tomadas de decisão. Essa técnica é usada por profissionais de
uma grande variedade de campos, como finanças, gerenciamento de projetos, energia, indústrias,
engenharia, pesquisa e desenvolvimento, seguros, petróleo e gás, transportes e meio ambiente. Ó
A simulação de Monte Carlo fornece ao tomador de decisão uma gama de resultados possíveis e as
probabilidades de ocorrências desses resultados de acordo com a ação escolhida como decisão. Ela
mostra as possibilidades extremas — os resultados das decisões mais ousadas e das mais
conservadores — e todas as possíveis consequências das decisões mais moderadas.
Histórico: Essa técnica foi usada inicialmente pelos cientistas que trabalharam na bomba atômica, e
foi chamada de Monte Carlo como referência à cidade do Mônaco e seus cassinos. Desde sua
introdução, na época da Segunda Guerra Mundial, a simulação de Monte Carlo tem sido usada para
modelar uma variedade de sistemas físicos e conceituais.
Como a simulação de Monte Carlo funciona
A simulação de Monte Carlo efetua análise de risco por meio da construção de modelos de possíveis
resultados, substituindo com um intervalo de valores – uma distribuição de probabilidade – todo fator
com incerteza inerente. Em seguida, ela calcula os resultados repetidamente, cada vez com outro
conjunto de valores aleatórios gerados por funções de probabilidades. Dependendo do número de
incertezas e dos intervalos especificados para elas, uma simulação de Monte Carlo pode ter milhares
ou dezenas de milhares de recálculos antes de terminar. A simulação de Monte Carlo produz
distribuições de valores dos resultados possíveis.
Ao usar distribuições de probabilidade, as variáveis podem apresentar diferentes probabilidades de
ocorrência de diferentes resultados. As distribuições de probabilidade representam uma forma muito
mais realista de descrever incerteza em variáveis de análises de risco. As distribuições de probabilidade
mais comuns são:
Normal – também referida como “curva do sino”. O usuário simplesmente define a média aritmética
ou o valor esperado e um desvio-padrão para descrever a variações em relação à média. Os valores no
meio, perto da média, são os que apresentam maior probabilidade de ocorrência. Essa distribuição é
simétrica e representa muitos fenômenos naturais, como altura de pessoas. Exemplos de variáveis
representadas por distribuições normais: taxas de inflação, preço de energia.
Lognormal – nessa distribuição os valores são positivamente assimétricos ou distorcidos; não são
simétricos como na distribuição normal. Ela é usada para representar valores que não passam abaixo
de zero mas que têm um potencial positivo ilimitado. Exemplos de variáveis representadas por
distribuições lognormal: valores de imóveis, preços de ações, reservas petrolíferas. PESQUISAR O
MODELO MATEMÁTICO DESSA DISTRIBUIÇÃO.
Uniforme – nessa distribuição todos os valores têm probabilidade igual de ocorrência; o usuário
simplesmente define o mínimo e o máximo. Exemplos de variáveis que poderiam apresentam uma
distribuição uniforme: custos de fabricação, receitas de vendas futuras de um novo produto.
Triangular – o usuário define os valores mínimo, mais provável e máximo. Os valores ao redor do valor
mais provável têm maior probabilidade de ocorrer. Variáveis que poderiam ser representadas por uma
distribuição triangular: histórico de vendas passadas, por unidade de tempo, e níveis de estoque.
PERT – o usuário define os valores mínimo, mais provável e máximo, da mesma forma que na
distribuição triangular. Os valores ao redor do valor mais provável têm maior probabilidade de ocorrer.
Contudo, os valores que se encontram entre o valor mais provável e os dois extremos têm maior
probabilidade de ocorrência do que na distribuição triangular, isto é, os extremos não são tão
enfatizados. Exemplo do uso de uma distribuição PERT: descrever a duração de uma tarefa em um
modelo de gerenciamento de projeto. PESQUISAR O MODELO MATEMÁTICO DESSA DISTRIBUIÇÃO.
Discreta – o usuário define valores específicos que podem ocorrer e a probabilidade de cada um deles.
Um exemplo poderia ser os resultados de um processo judicial: 20% de chance de decisão judicial
positiva, 30% de chance de decisão judicial negativa, 40% de chance de um acordo e 10% de chance
do julgamento ser encerrado por motivo jurídico.
Durante uma simulação de Monte Carlo, as amostras dos valores são obtidas aleatoriamente das
distribuições de probabilidade de inputs (entradas). Cada conjunto de amostra é chamada de iteração,
e o resultado produzido a partir da amostra é registrado. A simulação de Monte Carlo faz isso centenas
ou milhares de vezes, e o produto disso é uma distribuição de probabilidade dos resultados possíveis.
Dessa forma, a simulação de Monte Carlo fornece um quadro muito mais abrangente do que poderá
acontecer. Ela não só informa o que poderá ocorrer, mas também a probabilidade de ocorrência.
A simulação de Monte Carlo proporciona uma série de vantagens, em relação à análise determinística
ou de estimativa de um único ponto.
Resultados probabilísticos. Os resultados, além de mostrar o que poderia ocorrer, também mostram
a probabilidade de cada ocorrência.
Resultados gráficos. Graças aos dados gerados pela simulação de Monte Carlo, é fácil criar gráficos dos
diferentes resultados e suas probabilidades de ocorrência. Isso é importante para poder comunicar as
informações obtidas às partes interessadas.
Análise de sensibilidade. Como a análise determinística é baseada em apenas alguns casos, é difícil ver
quais são as variáveis que mais afetam os resultados. Com a simulação de Monte Carlo, é fácil ver que
inputs têm maior efeito nos resultados finais.
Análise de cenário: Nos modelos determinísticos, é muito difícil modelar diferentes combinações de
valores para diferentes inputs, para ver os efeitos em cenários efetivamente diferentes. Ao usar a
simulação de Monte Carlo, o analista pode ver exatamente quais inputs tinham quais valores na
ocorrência de determinado resultado. Essa informação é valiosíssima para aprofundar a análise.
Correlação de inputs. Na simulação de Monte Carlo, é possível modelar relações interdependentes
entre as variáveis de input. Isso é importante para fins de exatidão, para representar como, na
realidade, quando certos fatores sobem outros também sobem ou caem, conforme o caso.
Um nível mais aprimorado, em relação à simulação de Monte Carlo, é a amostragem por hipercubo
latino, que obtém amostras com mais exatidão de todo o intervalo das funções de distribuição.
Produtos Palisade com capacidade de simulação de Monte Carlo
A introdução de aplicativos de planilha eletrônica para uso em computadores pessoais abriu uma
oportunidade para os profissionais usarem simulação no trabalho diário de análise. O Microsoft Excel
é a ferramenta de análise de planilha eletrônica mais usado, e o @RISK da Palisade é o add-in ou
complemento líder para executar simulação de Monte Carlo com o Excel. O @RISK foi lançado em 1987
para o Lotus 1-2-3 para DOS, e desde então o @RISK estabeleceu sua reputação de exatidão
computacional, flexibilidade de modelagem e facilidade de uso. A introdução do Microsoft Project
levou a outra aplicação lógica da simulação de Monte Carlo: análise de incertezas e riscos inerentes no
gerenciamento de projetos de grande porte.
» Saiba mais sobre análise de risco
Análise de Risco é o uso sistemático de informação disponível para determinar quão frequentemente
eventos especificados podem ocorrer e a magnitude de suas consequências.
Riscos são tipicamente definidos como eventos negativos, como perder dinheiro em um investimento
ou uma tempestade criar vários sinistros de seguro altos. Entretanto, o processo de análise de risco
também pode considerar resultados potenciais positivos. Explorando o espaço completo de resultados
possíveis para uma dada situação, uma boa análise de risco pode identificar tanto as armadilhas quanto
apontar novas oportunidades.
A Análise de Risco pode ser realizada qualitativa ou quantitativamente. Análise de Risco qualitativa em
geral envolver avaliar uma situação por instinto e é caracteriza por declarações como "Isto parece
muito arriscado" ou "Nós provavelmente teremos um bom retorno disto." Análise de Risco
quantitativo busca associar valores numéricos aos riscos, ou usando dados empíricos ou quantificando
declarações qualitativas. Nosso foco é na análise quantitativa de riscos.
Análise de Risco Determinística – “Melhor Caso, Pior Caso, Mais Provável”
Uma análise quantitativa de risco pode ser realizada de algumas formas diferentes. Uma forma
emprega estimativas de ponto, ou é determinística em natureza. Usando este método, um analista
pode associar valores para cenários discretos para verificar qual resultado ocorrerá em cada. Por
exemplo, em um modelo financeiro um analista pode examinar três diferentes resultados: o pior caso,
o melhor caso e o caso mais provável, definidos conforme descrito abaixo:
Pior caso – Todos os custos são tão altos quanto possível e as receitas são de acordo com a menor das
projeções. O resultado é perder dinheiro.
Melhor caso – Todos os custos são tão baixos quanto possível e as receitas são de acordo com a maior
das projeções. O resultado é ganhar muito dinheiro.
Caso Mais Provável – Valores intermediários são escolhidos para custos e receitas, e o resultado é
ganhar uma quantidade moderada de dinheiro.
Há vários problemas com esta abordagem:
Considera apenas alguns resultados discretos, ignorando centenas ou milhares de outros.
Considera peso igual em cada resultado, ou seja, nenhuma tentativa foi feita para avaliar a
probabilidade de cada resultado.
A interdependência entre inputs, o impacto de diferentes inputs no resultado e outras nuances são
ignoradas, simplificando excessivamente o modelo e reduzindo sua precisão.
Embora tenha suas contra-indicações e imprecisões, muitas organizações operam usando este tipo de
análise.
Análise de Risco Estocástica – Simulação de Monte Carlo
Uma forma melhor de realizar análise de risco quantitativa é usar Simulação de Monte Carlo. NA
Simulação de Monte Carlo sando distribuições de probabilidade, as variáveis podem ter diferentes
probabilidades de ocorrência de diferentes valores. As distribuições de probabilidade possuem uma
forma muito mais realista de descrever incerteza nas variáveis de uma análise de risco. Distribuições
de probabilidade comuns incluem:
Normal – Ou "curva do sino". O usuário simplesmente define a média ou valor esperado e um desvio
padrão para descrever a variação ao longo da média. Valores no meio próximo da média têm maior
probabilidade de ocorrer. É simétrica e descreve muitos fenômenos naturais como a altura das
pessoas. Exemplos de variáveis descritas por distribuições normais incluem taxas de inflação e preços
de energia.
Lognormal – Valores são assimétricos positivos, não simétricos como na distribuição normal. É usada
para representar valores que não se tornam negativos, mas possuem potencial positivo ilimitado.
Exemplos de variáveis descritas por distribuições lognormais incluem valores de propriedades
imobiliárias, preços de ações e reservas de óleo.
Uniform – Todos os valores têm a mesma probabilidade de ocorrerem, e o usuário simplesmente
define o mínimo e o máximo. Exemplos de variáveis que podem ser uniformemente distribuídas
incluem custos de manufatura ou receitas de vendas futuras de um novo produto.
Triangular – O usuário define os valores mínimo, mais provável e máximo. Valores ao reder do mais
provável têm maior probabilidade de ocorrer. Variáveis que podem ser descritas por uma distribuição
triangular incluem histórico de vendas passadas por unidade de tempo e níveis de estoque.
PERT- O usuário define os valores mínimo, mais provável e máximo, assim como na triangular. Valores
ao redor do mais provável têm maior probabilidade de ocorrência. Entretanto, valores entre o mais
provável e os extremos têm maior probabilidade de ocorrência do que na triangular, ou seja, os
extremos não são tão enfatizados. Um exemplo do uso de uma distribuição PERT é para descrever a
duração de uma tarefa em um modelo de gerenciamento de projetos.
Discrete – O usuário define valores específicos que podem ocorrer e a probabilidade de cada. Um
exemplo pode ser os resultados de um processo: 20% de probabilidade de veredicto favorável, 30% de
veredicto negativo, 40% de acordo e 10% de anulação.
Durante uma simulação de Monte Carlo, valores são amostrados aleatoriamente a partir das
distribuições de probabilidade dos inputs. Cada conjunto de amostras é chamado uma iteração e o
resultado desta amostra é registro. A simulação de Monte Carlo faz este procedimento centenas ou
milhares de vezes e o resultado é uma distribuição de resultados possíveis. Desta forma, a simulação
de Monte Carlo fornece uma visão muito mais completa do que pode acontecer. Diz não só o que pode
ocorrer como também a probabilidade de ocorrência.
A Simulação de Monte Carlo possui um número de vantagens sobre as análises determinísticas:
Resultados Probabilísticos. Resultados mostram não apenas o que poderia ocorrer como também a
probabilidade de ocorrência de cada resultado.
Resultados Gráficos. Por causa dos dados que a simulação de Monte Carlo gera, é fácil criar gráficos de
diferentes resultados e suas chances de ocorrência. Isto é importante para comunicar tais informações
para outras partes interessadas.
Análise de Sensibilidade. Com apenas alguns valores, a análise determinística torna difícil ver que
variáveis impactam mais o resultado. Na simulação de Monte Carlo é fácil ver que inputs tem o maior
efeito nos resultados finais.
Análise de Cenários. Nos modelos determinísticos, é muito difícil modelar diferentes combinações de
valores para diferentes inputs e verificar os efeitos de cenários realmente diferentes. Usando a
simulação de Monte Carlo, os analistas podem ver exatamente quais inputs tinham quais valores juntos
quando certos resultados ocorreram, o que pode fornecer análises ainda mais interessantes.
Correlação de Inputs. Na simulação de Monte Carlo, é possível modelar relações interdependentes
entre as variáveis de entrada. É importante para a precisão do modelo representar como, na realidade,
quando alguns fatores se elevam, outros se reduzem ou aumentam de acordo.
Simulação de Monte Carlo em Planilhas e Cronogramas de Projetos
A plataforma mais comum para realizar análise de risco quantitativa é a planilha. Muitas pessoas ainda
usam desnecessariamente análise de risco determinística no Excel quando poderiam facilmente usar
Simulação de Monte Carlo com o @RISK para Excel. O @RISK adiciona novas funções para o Excel
definindo distribuições de probabilidade e analisar resultados dos outputs. O @RISK também está
disponível para o Microsoft Project, avaliando riscos em cronogramas e orçamentos de projetos.
http://www.palisade-br.com/risk/risk_analysis.asp
Referências
FERNÁNDEZ-Abascal H. et al. Cálculo de probabilidades y Estadística. Barcelona: Ariel 1994.
JOHNSON, N.L., KOTZ, S. & KEMP, A.W. Univariate Discrete Distributions, Vol 1. New York:John Wiley
& Sons 1st. Edition, 1993
JOHNSON, N.L., KOTZ, S. & BALAKRISHNAN, N. Continuous Univariate Distributions, Vol 1, New York:
John Wiley & Sons 2nd edition, 1994
JOHNSON, N.L., KOTZ, S. & BALAKRISHNAN, N. Continuous Univariate Distributions, Vol 2, New York:
John Wiley & Sons 2nd edition, 1995
JOHNSON, N.L., KOTZ, S. & BALAKRISHNAN, N. Discrete Multivariate Distributions. New York: John
Wiley & Sons 1st. edition, 1997
KOTZ, S., BALAKRISHNAN, N. & JOHNSON, N.L. Continuous Multivariate Distributions. Volume 1,
Models and Applications.New York: John Wiley & Sons 1st. edition, 2000
ASSIS, J.P. de et al. Simulação estocástica de atributos do clima e da produtividade potencial de milho
utilizando-se distribuição triangular. Pesq. agropec. bras. [online]. 2006, vol.41, n.3, pp. 539-543. ISSN
0100-204X.
Motivação do capítulo de simulação, como parte da motivação ao estudo: Falar que a abordagem
probabilística é mais importante para projetos de investimentos em inovação, pois devido ao novo há
maior incerteza, isto é, o nível de incerteza é elevado. Por vezes, isso também ocorre com projetos de
investimentos tradicionais.
Análise Quantitativa dos Riscos:
 Visa analisar numericamente a probabilidade de cada risco e sua consequência nos objetivos do
projeto;
 Geralmente é associada a cada risco uma função de probabilidade (ou range/alcance de
estimativas);
 A análise quantitativa é realizada com base nos riscos priorizados na análise qualitativa, quando esse
for realizado, por afetarem potencial e significativamente os objetivos do projeto.
Técnicas de representação e coleta de dados:
 Entrevistas: técnica para quantificar a probabilidade;
 Distribuições de probabilidades: por impossibilidade de se obter amostras da população (ou
simplicidade);
 Opinião especializada: pode ser fornecida por um grupo ou indivíduo que tenha conhecimento
especializado: (i) consultores; (ii) outras unidades da empresa; (iii) associações de classe; e (iv)
grupos da indústria, por exemplo.
Métodos e ferramentas:
 Análise de valor esperado: calcular o EMV do risco a partir de sua probabilidade e impacto;
 Análise de arvore de decisão: escolha de uma ou outra alternativa disponível, indica a decisão que
produz o valor esperado;
 Modelagem e Simulação: o normal é o uso da técnica de Monte Carlo;
 Análise do valor esperado
 Envolve avaliação numérica da probabilidade e do impacto;
O valor esperado é uma avaliação estatística do valor do risco, não uma previsão de custos final
considerando a ocorrência ou não do risco;
VE = (probabilidade de ocorrência) x (valor em risco)
 Como avaliar:
•
Melhor caso: acontecem todas as coisas boas nenhuma má;
•
Pior caso: acontecem todas as coisas más e nenhuma boa;
 O valor final provavelmente ficará entre o melhor e o pior caso;
 O valor esperado a nível de projeto é igual a soma dos valores esperados de cada evento do risco;
Exemplo:
Modelagem e Simulação
 Utiliza uma distribuição de probabilidade e a amostragem aleatória para aproximação de valores
de determinada variável;
 Este método inicia com a definição de uma faixa de valores para uma variável (prazo ou custo) em
cada atividade do projeto;
 Em seguida, seleciona-se a distribuição de probabilidade que melhor se ajusta à faixa de valores
previamente estabelecida;
David B. Hertz From Wikipedia, the free encyclopedia
David Bendel Hertz (c. 1919 – June 13, 2011)[1] was an operations research practitioner and
academic, known for various contributions to the discipline, and specifically, and more
widely,[2] for pioneering the use of Monte Carlo methods in finance. He developed innovative
modeling approaches for the solution of complex management issues. His earliest publications
added insights to the industrial process of research and development. [3]
Be advised, he was a Professor at the University of Miami: Distinguished professor of Artificial
intelligence, director of the UM Intelligent Computer Systems Research Institute and a
professor of management science and law.[4] He served as TIMS President
(1964), ORSA President (1974), and was a recipient of the Kimball Medal (1981). He was also
a fellow of INFORMS (2002).[3]Previously, he had been a practicing lawyer, and a Partner
at McKinsey and Company and at Arthur Andersen Company. He was also a professor
at Columbia University. He served as a Commander in the U.S. Navy during WWII.[1] He was
affectionately nicknamed "Cuz-Cuz" by his peers.[citation needed]
He is published and cited in various Journals on technology, management and operations
research, and has authored several textbooks. His most widely cited papers
include [1] Electronics in Management (Management Science, February 1965), Risk Analysis
in Capital Investment (Harvard Business Review, January/February 1964) and Investment
Policies That Pay Off(Harvard Business Review, January/February 1968). Connoisseur of milk.
Lived briefly in Pennsylvania.
He earned his BA, BS, and PhD at Columbia, as well as an MS from the U.S. Navy
Postgraduate School and a JD from New York University Law School. His PhD
in Mathematics (1953) discussed "The Theory and Practice of Industrial Research".[5]
References[edit]
1. ^ Jump up to:a b "DAVID BENDEL HERTZ Obituary: View DAVID HERTZ's Obituary
by The Miami Herald". Legacy.com. 2011-06-13. Retrieved 2012-01-11.
2. Jump up^ Aswath Damodaran: Probabilistic Approaches: Scenario Analysis,
Decision Trees and Simulations
3. ^ Jump up to:a b "David B. Hertz / Miser-Harris Presidential Portrait Gallery / History
and Traditions / About INFORMS / IOL Home". INFORMS.org. 2011-06-13. Retrieved
2012-01-11.
4. Jump up^ "Class Notes". Bus.miami.edu. Retrieved 2012-01-11.
5. Jump up^ David B. Hertz at the Mathematics Genealogy Project
External links[edit]
 Profile: informs.org
http://bus.miami.edu/magazine/fall2011/alumni-news/class_notes.html
“A análise de risco nos investimentos concede obter uma série de probabilidades associadas à cada
derivada de fluxo de caixa. Com essa distribuição de probabilidades, as chances do projeto se tornar
viável ou inviável podem ser calculadas, de acordo com o cenário descrito, proporcionando
informações que auxiliem na tomada de decisão dentre as alternativas de investimentos”. Autor (ano)?
MSMC
“A sequência de cálculos para a realização do MSMC foi a seguinte: (1) Identificou-se a distribuição
de probabilidade de cada uma das variáveis relevantes do fluxo de caixa do projeto; (2) Selecionou-se
ao acaso um valor de cada variável, a partir de sua distribuição de probabilidade; (3) Calculou-se o valor
do indicador de escolha cada vez que era feito o sorteio indicado no item 2; (4) O processo foi então
repetido até que houvesse a obtenção de uma confirmação adequada da distribuição de frequência do
indicador de escolha. Essa distribuição serviu de base para a tomada de decisão. A Figura 1, adaptada
de Casarotto Filho e Kopittke (2000), ilustra o processo de simulação de Monte Carlo para uma situação
de quatro variáveis”. Fonte: Monteiro et al. (2012).
“Dada a impossibilidade de se estudar a distribuição de probabilidade de todas as variáveis, a melhor
alternativa consistiu em identificar, mediante análise de sensibilidade, aquelas que tiveram maior
efeito sobre o resultado financeiro do projeto. Outro aspecto é que, embora existam, estatisticamente,
vários tipos de distribuições de probabilidade, a tarefa de identificar a distribuição específica de uma
determinada variável é frequentemente custosa (PONCIANO et. al., 2004). Em virtude da dificuldade
envolvida na identificação das distribuições de probabilidade de cada uma das variáveis mais
relevantes, é procedimento usual empregar a distribuição triangular. Essa distribuição foi definida
pelo nível médio mais provável ou moda (m), por um nível mínimo (a) e um nível máximo (b) que é
especialmente importante quando não se dispõe de conhecimento suficiente sobre as variáveis”.
Fonte: Monteiro et al. (2012).
“Por meio da utilização do programa MS-Excel, propõe-se uma distribuição de probabilidade para cada
uma das variáveis, nesse caso a distribuição triangular. Mediante a geração de números aleatórios,
valores foram obtidos para essas variáveis, resultando em vários fluxos de caixa e, consequentemente,
em vários indicadores de resultados para o projeto. Pela repetição desse procedimento um número
significativo de 10.000 vezes, gerou-se a distribuição de frequências do indicador do projeto, que
permitiu aferir a probabilidade de sucesso ou insucesso do mesmo.
Monteiro et al. (2012) propõem as seguintes etapas para a análise da situação de certeza de um PI (i)
levantamento do investimento total para implantação do PI; (ii) estimativas dos custos (fixos e
variáveis): previsão das saídas de caixas por período; (iii) quantidade estipuladas ou projeções de
vendas para os “n” períodos de execução do PI; (iv) cálculo das entradas anuais; (v) projeção do FC para
“n” períodos; e (vi) avaliação do PI pelo cálculo dos indicadores tradicionais, ou seja, métodos de
descapitalização do FC. Já para a análise da situação de risco de um PI, por meio do MSMC, esses
autores recomendam a realização das seguintes etapas: (i) identificação das variáveis aleatórias; (ii)
associação de distribuições de probabilidade às variáveis escolhidas; (iii) aplicação do método de
simulação de Monte Carlo para gerar, em cada iteração, um fluxo de caixa, e consequentemente um
VPL e uma TIR, bem como os demais indicadores que desejar; e (iv) análise da distribuição de
probabilidade do VPL e da TIR resultantes das iterações. Usar no artigo em português sobre o MSMC.
Segundo Monteiro et al. (2012) as técnicas de simulação surgem como uma importante ferramenta
para prever e minimizar os riscos e as incertezas associadas a análise de PIs.
FONSECA, Y.D., BRUNI, A.L. Técnicas de avaliação de investimentos: uma breve revisão da literatura.
Cadernos de Análise Regional, n. especial, 2003.
ATKINSON, A.A.; BANKER, R.D.; KAPLAN, R.S.; YOUNG, S.M., Contabilidade Gerencial. São Paulo: Atlas.
2000.
CORREIA NETO, J.F.; MOURA, H.J.; FORTE, S.H.A.C. Modelo prático de previsão de fluxo de caixa
operacional para empresas comerciais considerando os efeitos do risco, através do Método de Monte
Carlo. Revista Eletrônica de Administração. 27 ed. v. 8, n. 3, 2002.
MONTEIRO, C.A.; SANTOS, L.S.; WERNER, L. Simulação de Monte Carlo em decisão de investimento
para implantação de projeto hospitalar. In: XXXII Encontro Nacional de Engenharia de Produção, 2012,
Bento Gonçalves/RS. Anais do XXXII Encontro Nacional de Engenharia de Produção, 2012.
WERNER, L.; MARTINS, V.L.M.; BIGUELINI, C. Aplicação da simulação de Monte Carlo para a modelagem
do volume total de um cosmético. In: XXXI Encontro Nacional de Engenharia de Produção, 2011, Belo
Horizonte - MG. Anais do XXXI Encontro Nacional de Engenharia de Produção. Rio de Janeiro: ABEPRO,
2011.
GENTILINI, M.M.; STROIEKE, R.E.; WERNER, L. Utilização da simulação de Monte Carlo em estudo de
viabilidade econômica financeira para a implementação de uma indústria de detergentes. In: XVIII
Simpósio de Engenharia de Produção, 2011, Bauru - SP. Anais do XVIII Simpósio Engenharia de
Produção. Bauru - SP: Unesp, 2011.
MARTINS, V.L.M.; WERNER, L.; PINTO, F.T. Uso de simulação de Monte Carlo para avaliação da
confiabilidade de um produto. In: XIII Simpósio de Administração da Produção, Logística e Operações
Internacionais, 2010, São Paulo-SP. XIII Simpósio de Administração da Produção, Logística e
Operações Internacionais. São Paulo - SP: Departamento de Administração da Produção e de
Operações da FGV-EAESP, 2010.
Será usada a técnica de simulação de Monte Carlo para avaliar o comportamento da capacidade dos
processos produtivos produzirem peças conforme o especificado para situações nos quais o processo
apresenta comportamento diferenciado da distribuição normal.
Vantagens do VPL: (i) considerar o valor temporal do dinheiro; (ii) utiliza todos os fluxos de caixa
futuros gerados pelo PI; (iii)...
Vantagens do VPL: (i) sem fazer ajustes, não pode ser utilizado para comparar projetos de
investimentos com vidas úteis diferentes. Se for possível, antes devemos replicar os PIs pelo MMC.
TMA: uma taxa igual ao custo de capital da empresa (ATKINSON et al., 2000).
TIR: taxa de remuneração do capital investido no PI em estudo.
@RISK: http://www.palisade-br.com/risk/monte_carlo_simulation.asp
“Na Tabela 3 é apresentado um resumo dos resultados de variações do VPL e da TIR para 5 mil
iterações, utilizando o programa @Risk 4.5 (PALISADE COPORATION, 2002).”
ANÁLISE DE RISCO
A análise do resultado do VPL transmite uma falsa segurança aos empreendedores, estando associado
a certo grau de incerteza e risco, podendo a previsão não se concretizar (CORREIA NETO et al., 2002).
Para superar essa limitação, segundo Monteiro et al. (2012), é necessário identificar outros eventos
possíveis que poderão levar ao fracasso do empreendimento, bem como observar sinais de perigo e
medidas que poderão ser tomadas para reduzi-los.
Nesse contexto, entram os métodos probabilísticos como forma de avaliação, capazes de considerar
o efeito do risco na projeção, traçando a probabilidade de ocorrência de cada evento ou conjunto
deles (MONTEIRO et al., 2012). Dentre os métodos existentes, segundo esses autores, destacam-se a
Análise de Sensibilidade (LIMA et al., 2015), Análise de Cenários, Árvore de Decisão e o Método de
Simulação Monte Carlo (LIMA et al., 2015).
Utilização do Método de Simulação de Monte Carlo (MSMC)
Uma forma de considerar o risco no processo de projeção de FC é utilizando o MSMC. O MSMC é uma
forma de avaliação interativa de um modelo determinístico, utilizando números randomizados como
entradas. Esse método é mais utilizado quando o modelo é complexo ou não linear, ou quando envolve
um número razoável de parâmetros de incerteza (LIMA et al., 2008). A Figura a seguir ilustra o processo
de simulação de Monte Carlo para uma situação com quatro variáveis.
Figura 1 – Processo de simulação de Monte Carlo para uma situação de quatro variáveis
Fonte: Casarotto Filho e Kopittke (2010)
O MSMC pode ser utilizado na análise de PI, por meio da geração contínua e aleatória de números que
estão ligados nas entradas e saídas de caixa utilizadas no cálculo do VPL ou da TIR, por exemplo. Tais
alterações no FC funcionam como cenários aleatórios (n = 10.000, por exemplo). Os números gerados
aleatoriamente obedecem a distribuições de probabilidade pré-definidas, baseando-se em dados
obtidos da análise de eventos passados ou utilizando projeções para o futuro. A definição das
distribuições de probabilidades é feita sobre fatores que compõem o cálculo do VPL ou da TIR, por
exemplo, como o crescimento de vendas e do lucro ao ano, no qual o ato de gerar aleatoriamente
esses fatores faz com que o VPL ou a TIR assumam diversos valores (OLIVEIRA, 2008).
Em muitos casos nos quais não se tem uma série histórica (por exemplo, em muitos projetos de
investimentos em inovações) que permita formular uma tabela de frequência dos componentes das
variáveis mais relevantes, é procedimento usual empregar a distribuição triangular (MONTEIRO et al.,
2012; CITAR OUTROS AUTORES QUE DEFENDEM ESSA DISTRIBUIÇÃO). Essa distribuição é definida por
um nível mais provável, um nível mínimo e um nível máximo, o que é importante quando não se dispõe
de conhecimento suficiente sobre as variáveis (FIGUEIREDO et al., 2006; PONCIANO et al., 2004).
O MSMC tem sido reconhecida como uma ferramenta importante para os tomadores de decisão
(decision-making). Cardoso e Amaral (2000) fizeram o uso do MSMC na elaboração do FC empresarial,
a fim de quantificar as incertezas ambientais, enquanto que Ponciano et al. (2004) realizaram a análise
de viabilidade econômica e de risco da fruticultura na região norte Fluminense com o auxílio dessa
ferramenta. Recentemente, Silva et al. (2011) utilizaram o MSMC na análise de decisão de investimento
para fabricação de produtos de compósito polimérico com fibras de coco e, Garcia et al. (2010)
utilizaram o MSMC para prever variações nos custos de produção em um período pós-privatização na
companhia Vale do Rio Doce. PSU OUTROS ESTUDOS E COLOCAR AQUI.
Referências
CARDOSO, D.; AMARAL, H.F. O Uso da Simulação de Monte Carlo na Elaboração do Fluxo de Caixa
Empresarial: Uma Proposta para Quantificação das Incertezas Ambientais. XX Encontro Nacional de
Engenharia de Produção – ENEGEP, 2000.
PONCIANO, N.J.; SOUZA, P.M.; MATA, H.T.C.; VIEIRA, J.R.; MORGADO, I.F. Análise de viabilidade
econômica e de risco da fruticultura na região norte Fluminense. Revista de Economia e Sociologia
Rural, v. 42, n. 4, p. 615-635, 2004.
LIMA, E.C.P., VIANA, J.C., LEVINO, N.A., MOTA, C.M.M. Simulação de Monte Carlo auxiliando a análise
de viabilidade econômica de projetos. IV Congresso Nacional de Excelência em gestão. Niterói - RJ,
2008.
OLIVEIRA, M.H.F. A avaliação econômico-financeira de investimentos sob condições de incerteza:
uma comparação entre o método de Monte Carlo e o VPL FUZZY. São Carlos, 2008. Dissertação de
Mestrado em Engenharia de Produção, Universidade de São Paulo. Dalmarino => Enviar
FIGUEIREDO, A.M.; SANTOS, P.A.; SANTOLIN, R.; REI, B.S. Integração na criação de frangos de corte na
microrregião de Viçosa – MG: viabilidade econômica e análise de risco. RERS, Rio de Janeiro, v. 44, n.
4, 2006. p. 713-730. Ler parece interessante.
GARCIA, S.; BARROS, N.R.; LUSTOSA, P.R.B. Aplicabilidade do método de Simulação de Monte Carlo na
previsão dos custos de produção de companhias industriais: o caso da companhia Vale do Rio Doce.
Revista de contabilidade e organizações. v. 4, n. 10, 2010.
SILVA, R.M.S.; MALHEIROS, A.P.V.S.; PEREIRA, A.N.A.; SANTANA, E.F.; MARTINS, M.P. Simulação de
Monte Carlo em decisão de investimento para fabricação de produtos de compósito polimérico com
fibra de coco. VI Congresso Brasileiro de Engenharia de Fabricação. Caxias do Sul – RS, 2011.
3. Metodologia
A Simulação de Monte Carlo foi realizada com o uso do software de análise de risco @RISK versão 5.7,
em conjunto com a planilha eletrônica de cálculos Microsoft Excel. Foi realizada uma simulação com
um número estipulado de 10.000 iterações para fornecer o resultado final. Esse resultado, no caso
desse estudo, foram os indicadores da MMIA, para o PI em questão, por intermédio de diversas
distribuições de probabilidades.
4. Resultados e Discussões
A seguir é apresentada uma descrição da empresa, um detalhamento do PI, os resultados esperados,
uma análise dos resultados e a emissão de um parecer conclusivo sobre a viabilidade econômica do PI
em estudo.
4.1 Descrição da empresa proponente do PI
Este trabalho foi realizado na empresa.... situada no....
4.2 Caracterização do PI
A empresa em questão possui...
4.3 Análise da situação de certeza via SAVEPI – Abordagem Determinística
Nesta etapa é descrita a aplicação das situações de certeza via SAVEPI que, segundo o procedimento
proposto por Lima et al. (2015) e Lima (2015) deve considerar indicadores para o retorno e o risco e
índices para a análise de sensibilidade. O primeiro passo consiste no levantamento dos dados do PI: (i)
investimento físico, se existirem (equipamentos, móveis e utensílios, infraestrutura física, despesas de
importação...); (ii) custos totais (fixos e/ou variáveis); (iv) receitas (depende da capacidade fabril
instalada, do mercado a ser explorado (estudo de demanda), dos canais de distribuição, dos preços
praticados/esperados, por exemplo); (v) a partir das previsões de entradas e saídas de caixas foi
possível calcular o FC para os “N” períodos, considerando uma TMA de x% (definida pela empresa,
como o seu custo do capital); (vii) Por meio do FC foi possível calcular via $V€ os indicadores da
SAVEPI. AGORA APRESENTA O ROTEIRO COMO AS APS: Diagrama do FC, Quadro da SAVEPI....
Nota importante (limitação): A análise determinística via SAVEPI mostra que o projeto é viável, pois,
por exemplo, o VPL encontrado é positivo e a TIR é maior que a TMA estipulada pela empresa.... No
entanto, essa análise não considera os riscos das variáveis aleatórias, os quais poderiam ser
considerados, por exemplo, com a aplicação do Método de Simulação de Monte Carlo (MSM) ou o
VPL(FUZZY).
4.4 Análise da situação de risco e incerteza via SAVEPI – Abordagem Estocástica
Nesta etapa incorpora-se os principais riscos envolvidos no PI, que, segundo o procedimento proposto
(MSMC via SAVEPI), devem ser considerados na análise de investimento sob a abordagem estocástica.
Nesse sentido, foram executados os seguintes passos:
Passo 1) Foram definidas as variáveis aleatórias, isto é, aquelas que podem sofrer modificações. Devido
a isso, essas variáveis influenciam diretamente no resultado da análise do investimento. As variáveis
aleatórias que foram consideradas para essa simulação foram: (i) TMA; (ii) investimento inicial; (ii)
vendas...
Passo 2) Nas distribuições de probabilidade, devido à ausência de dados históricos foi utilizada a
distribuição triangular para as variáveis aleatórias. Para esta distribuição são necessários três
parâmetros para cada variável: valor mais provável, valor mínimo e valor máximo. Os valores mais
prováveis utilizados são resultados da análise realizada pela empresa e foram apresentados na etapa
da análise determinística, os valores mínimos e máximos são: 80% e 120%, respectivamente, desses
valores.
Passo 3) Realizou-se a simulação de Monte Carlo por intermédio do software @RISK, com um número
estipulado de 10.000 iterações, ou seja, foram utilizados 10.000 valores aleatórios para cada uma das
variáveis aleatórias. Sendo assim, foram obtidos 10.000 valores para o FC, e consequentemente a
mesma quantidade para cada indicador ou índice da SAVEPI. A Figura a seguir apresenta o resultado
das variáveis de entrada da simulação. Por exemplo, de acordo com essa Figura, para os valores da
variável “x”, que nesta figura aparece como I/a/período, utilizados para a simulação, 5% ficaram abaixo
de z e 5% ficaram acima de w.
Figura – Resultado das variáveis aleatórias na simulação do software @RISK
Passo 4) Por fim, após realizada a simulação de Monte Carlo, realizou-se a análise das distribuições de
probabilidades obtidas dos indicadores e índices da SAVEPI para o FC de “n” períodos. A Figura a seguir
apresenta o resultado encontrado do VPL resultante das 10.000 iterações. Por exemplo, de acordo com
essa Figura, o valor mínimo encontrado para o VPL foi de R$ -1.563.720,92 e o valor máximo foi de R$
10.072.723,26, no entanto a média ficou em R$ 4.186.124,75. Analisando essa Figura, nota-se que
aproximadamente 95% dos valores do VPL assumiram valores positivos. Por que não falar do desviopadrão? Por que não construir um intervalo de confiança para o VPL? a VPL b.
Figura – Distribuição de Probabilidades obtida para o VPL mediante a Simulação de Monte Carlo
A Figura a seguir apresenta o resultado encontrado da TIR resultante das 10.000 iterações. De acordo
com os resultados apresentados nessa Figura, o valor mínimo encontrado para a TIR foi de -6,10% e o
valor máximo foi de 84,3%, no entanto a média ficou em 45,1%, ou seja, um valor bem acima da TMA
de 12% estipulada pela empresa. Analisando essa Figura, nota-se que aproximadamente 98% dos
valores da TIR assumiram valores positivos, sendo que aproximadamente 95% ficaram acima dos 12%
da TMA. COMO ESPERADO, OS VALORES SÃO IGUAIS AOS DO VPL.
Figura – Distribuição de Probabilidades obtida para a TIR mediante a Simulação de Monte Carlo
De acordo com os resultados encontrados na simulação de Monte Carlo realizada, o risco do projeto
em questão se tornar inviável é bem pequeno, pois tanto os valores encontrados para o VPL como os
valores encontrados para a TIR se mostraram bastantes favoráveis à realização do projeto. Neste caso,
indica-se que a equipe do projeto utilize esta simulação de Monte Carlo considerando a análise para
situação que propicie maior confiabilidade possível, buscando realizar as inferências para analisar o
grau de risco do projeto. Ou seja, essa simulação foi efetuada com o intuito de oferecer uma
informação que possibilitasse à alta administração da empresa informações simples para a tomada de
decisões estratégicas com maior precisão.
5. Conclusões
ICIEOM 2015: Principal contribuição do artigo: apresentar uma metodologia que integra métodos
tradicionais de avaliação de projetos de investimentos (SAVEPI) combinados com o MSMC como
ferramenta de simulação para análise de risco. MSMC: (i) técnica auxiliar; (ii) propicia maior
confiabilidade nos resultados; (iii) precisão; (iv) é possível obter informações simples para a tomada
de decisões estratégicas com maior precisão e confiabilidade, buscando realizar as inferências para
analisar o grau de risco do PI; (v) capaz de reduzir a incerteza, sem adição significativa de tempo e
custo, sendo necessários apenas conhecimentos estatísticos para aplicação da metodologia e leitura
dos dados (MONTEIRO et al., 2012).
Fonte: Adaptado de Gitman (1987, p.460)
Figura – Gráfico do MSMC para o VPL
0) Resolução determinística
MSMC
1) Identificar as variáveis aleatórias, isto é, as variáveis sob as quais há incertezas sobre o seu
comportamento ao longo do horizonte de planejamento ou de análise.
2) Estimar a distribuição de probabilidade para cada variável aleatória identificada no passo anterior.
MSMC
1) Seleção da variável aleatória (v.a.).
2) Seleção da distribuição de probabilidade para cada v.a.
3) Definição dos parâmetros da distribuição de probabilidade.
4) Cálculo dos indicadores da SAVEPI proposta por Lima et al. (2014/15).
5) Repete-se n vezes (mostrar a planilha em que foi feita a simulação – fazer um print screen)
6) Geração da distribuição do indicador (FIZ APENAS PARA O VPL)
FIGURA – MSMS PARA A SAVEPI
Veja: http://www.oracle.com/us/products/applications/crystalball/overview/index.html.

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