INTEGRAIS Definição: Uma função F é uma antiderivada de f em

1
Professor Mauricio Lutz
INTEGRAIS
Definição: Uma função F é uma antiderivada de f em um intervalo I
se F ' ( x)  f ( x) para todo x em I .
Chamaremos também F (x) uma antiderivada de f (x) . O processo de
determinação de F , ou F (x) , é chamado ANTIDIFERENCIAÇÃO.
Exemplos: a) F ( x)  x 2 é uma antiderivada de f ( x)  2x .
Por que F ' ( x)  Dx ( x 2 )  2x  f ( x)
Há muitas outras derivadas de 2x, tais como x 2  4 , x 2 
2
e x2  5 5 .
8
De modo geral, se C é uma constante ARBITRÁRIA, então x 2  C é uma
antiderivada de 2 x , porque Dx ( x 2  C)  2x  0  2x .
Assim, há uma família de antiderivadas de 2 x da forma F ( x)  x 2  C
onde C é uma constante arbitrária.
b) Outros exemplos
f (x)
Antiderivadas de f (x)

x2
1 3 1 3
1
x ; x  8; x3  C
3 3
3

8x3
2x 4 ;2x 4  2;2x 4  C

cos x
3
senx; senx  ; senx  C
8
Definição:Se F é uma antiderivada de f em I , então a família de
funções F ( x)  C , C constante, será chamada de INTEGRAL INDEFINIDA de f
em I e denotada por:
 f (x)dx  F (x)  C , se F ' (x)  f (x)
Observação: O símbolo
Chamamos de
 f (x)dx

x  I .
usado na definição acima é o SINAL DE INTEGRAL.
a INTEGRAL DEFINIDA de f (x) . A expressão f (x) é o
INTEGRANDO e o C é a CONSTANTE DE INTEGRAÇÃO.
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2
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1) Fórmulas fundamentais de integração
 dx  f ( x)dx  f ( x)  C ;
d
a)
b) 1dx   dx  x  C ;
 (u  v)dx   udx   vdx ;
d)  audx  a udx , onde a é uma constante qualquer;
c)
x n1
 x dx  n  1  C , se n  1;
1
dx
 ln x C ;
f)  dx  
x
x
n
e)
ax
 C , se a  0 ;
ln a
1
h)  eaxdx  eax  C , onde a é uma constante qualquer;
a
x
 a dx 
g)
i)
j)
 senxdx   cos x  C ;
 cos xdx senx  C .
Exemplos: Calcule as integrais indefinidas:
x51
x6
C  C
5 1
6
a)
5
 x dx 
b)
dx
x 31
x 2
1
3

x
dx


C

C   2 C
 x3 
 3 1
2
2x
c)
d)
e)


3
3
1
3
u du   u du 
u
dz

z
2
 (2x
 2.

dz
z
2
2
3
1
1
3
1
1
3
2
3
C 
  z dz 
z
u
2
 1
3
2
 1
3
4
3
4
3
4
3
 C  u3  C
4
C 
z
1
3
1
3
 C  33 z  C
 5x  3)dx   2x2dx   5xdx   3dx  2 x2dx  5 xdx  3 dx
x 21
x11
2
5
 5.
 3x  C  x3  x 2  3x  C
2 1
11
3
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1
1
3
1
3
1
3
 12

x2
x2
2
2

f)  (1  x) xdx   (1  x) x dx   x  x dx  x dx   x 2 dx 

C
1
3


1
1
2
2
1
2
3
5
3
5
x2 x2
2
2

 5  C  x2  x2  C
3
3
5
2
2
g)  (3s  4)2 ds   (9s 2  24s  16)ds   9s 2ds   24sds  16ds  9 s 2ds  24 sds  16 ds
 9.
s 21
s11
9
24
 24.
 16s  C  s 3  s 2  16s  C  3s 2  12s 2  12s  C
2 1
11
3
2
h) 
x 3  5x 2  4
dx   ( x3  5x 2  4) x 2 dx  ( x  5  4x 2 )dx  xdx   5dx   4 x 2 dx
2
x
x11
x 21
  xdx   5dx   4x dx   xdx  5 dx  4 x dx 
 5x  4.
C
11
 2 1
x2
4
  5x   C
2
x
2
2
i)  (5x3  2 cos x)dx   5x3dx  2 cos xdx 5 x3dx  2 cos xdx
5.
x31
5
 2senx  C  x 4  2senx  C
3 1
4
j) 

( x 2  1) 2
dx   ( x 4  2 x 2  1) x 2 dx  ( x 2  2  x 2 )dx  x 2 dx  2 dx   x 2 dx
x2
x 21
x 21
x3
1
 2x 
 C   2x   C
2 1
 2 1
3
x
Um problema aplicado pode ser enunciado em termos de uma
EQUAÇÃO DIFERENCIAL, isto é, uma equação que envolve derivadas de uma
função incognita. Uma função f é uma solução de uma equaçãovdiferencial se
verifica a equação, isto é, se a substituição da função incógnita por f resulta em
uma afirmação verdadeira. Resolver uma equação diferencial significa achar todas
as suas soluções.
Exemplos:
a) Resolva a equação diferencial f ' ( x)  6x 2  x  5 , sujeita à condição inicial
f (0)  2 .
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 f ' (x)dx   (6x
2
 x  5)dx  6x2dx   xdx   5dx  6 x2dx   xdx  5 dx
6x 21 x11
6 x3 x 2
x2

 5x  C 
  5x  C  2 x 3   5x  C
2 1 11
3
2
2
f (0)  2

2  2(0)3 
(0) 2
 5(0)  C  C  2
2
Logo a solução de f da equação diferencial, com condição inicial
1
f (0)  2 , é y  2x3  x 2  5x  2 .
2
b) Resolva a equação diferencial f " ( x)  5 cos x  2senx , sujeita às condições iniciais
f (0)  3 e f ' (0)  4 .
 f "(x)dx   (5 cos x  2senx)dx  5 cos xdx   2senxdx  5 cos xdx 2 senxdx
 5senx  2( cos x)  C  5senx  2 cos x  C
Portanto f ' ( x)  5senx  2 cos x  C .
Aplicando a condição inicial f ' (0)  4 , temos:
4  5sen0  2 cos 0  C  4  0  2  C  C  6
Logo f ' ( x)  5senx  2 cos x  6
 f ' (x)dx   (5senx  2 cos x  6)dx  5senxdx   2 cos xdx   6dx
5 senxdx  2 cos xdx  6 dx  5( cos x)  2(senx)  6x  C  5 cos x  2senx  6x  C
Aplicando agora a outra condição inicial f (0)  3 obtemos:
3  5 cos 0  2sen0  6.0  C  3  5  C  C  8
Portanto, a solução da equação diferencial com condições iniciais dadas
é f ( x)  5 cos x  2senx  6x  8 .
Exercícios
1) Calcule:
a)
 (4x  3)dx
b)
d)
 (2t
1 3
e)   3  2 dz
z 
z


3
 t 2  3t  7)dt
g)   3 u 
1 
du
u
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 (4x


2
 8x  1)dx
1
2
c)
 (9t
2
 4t  3)dt
4 7

f)   7  4  z dz
z
z



h)   u 3  u 2  5 du
1
 5

i)   2v 4  6v 4  3v 4 dv


5
Professor Mauricio Lutz
5


j)   3v5  v 3 dv


k)
 3x 1 dx
1

l)   x   dx
x

 x(2x  3)dx
n)
 (2x  5)(3x  1)dx
o)

q)
(t 2  3) 2
 t 6 dt
r)
( t  2) 2
 t 3 dt
t)
  5 senudu
m)
2x 2  x  3
dx

x
3
s)  cos udu
4
p)
2
2
8x  5
dx
3
x
1
2) Calcule a integral para a e b constantes.
a)
 a dx
b)
 abdx
e)
 (a  b)du
f)
 (b  a )du
2
c)
a 
t dt
2 
b 
d)  
 (at  b)dt
2
3) Resolva a equação diferencial sujeita às condições dadas.
a) f ' ( x)  12x 2  6x  1; f (1)  5 .
b) f ' ( x)  9x 2  x  8 ; f (1)  1.
1

dy
c)
 5x 3 ; y  70 se x  27 .
dx
e) f " ( x)  4x  1 ; f ' (2)  2 ; f (1)  3 .
1
dy
d)
 4x 2 ; y  21 se x  4 .
dx
f) f " ( x)  6x  4 ; f ' (2)  5 ; f (2)  4 .
d2y
g)
 3senx  4 cos x ; f (0)  7 e y' 2 se x  0 .
dx2
h)
d2y
 2 cos x  5senx ; y( )  2  6 ; y' 3 se x   .
dx2
4) Calcule as integrais indefinidas.
a)
 (x
2
 1 1 1
b)   5  3  dz
z
z
z
 3).(x3  2)dx
 15 
d)   3x x  5)dx


e)
y 2 x2
 x dx
1
j)  ( senx  4 x5  2 x 2 )dx
2
x3  1
 x2 dx
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3
h)  ( x  1).(x  1)3 dx
g)
m)
 (2x  1) dx
k)
n)
 2cos x  x dx
x2  y 2  3
 x dx
c)

  3
3
x
1 
dx
x
f)  (2x  3 y 2 )dx
i)

2x  1
dx
x
l)  (2senx  5 cos x)dx
o)  ( z 3 y 2 x  3 cos x  senx)dx
6
Professor Mauricio Lutz
Gabarito
1) a) 2 x 2  3x  C ; b)
4 x3
t 4 t 3 3t 2
 4 x 2  x  C ; c ) 3t 3  2t 2  3t  C ; d)
 
 7x  C ;
3
2 3 2
5
1 3
2 2 1
2
7
z2
3
e)  2   C ; f)  6  3   C ; g) 2 u  2 u  C ; h) u 
 5u  C ;
2z
z
3z 3z
2
5
2u
5
4
9
4
8
3
6
x3
1
 2x   C ;
3
x
8
24v
1
v 3v
v 
 3  C ; j)

 C ; k) 3x3  3x 2  x  C ; l)
i)
9
5
v
2
8
3
2
5
3
2
2
3
5
3
1
24 x 15x
2 x 3x
13x
4x 2 2x 2

 C ; p)
m)

 C ; n) 2x3 
 5x  C ; o)

 6x 2  C ;
5
2
5
3
3
2
2
1 2 9
3
1
1
8
2
q)   3  5  C ; r)  
 2  C ; s) senu  C ; t) cos u  C .
t t 5t
4
5
t 3 t3 t
2) a) a 2 x  C ; b) abx  C ; c)
3) a)
at 2
at 2
 bt  C ; d) 2  C ; e) (a  b)u  C ; f) (b  a 2 )u  C .
2
2b
f ( x)  4x  3x  x  3 ; b)
3
2
x2
9
f ( x)  3x   8x  ; c)
2
2
3
2
15
5
f ( x)  x 3  ;
2
2
3
8
1
2 x3 x 2
65
d)
f) f ( x)  x3  2x 2  x  2 ;
f ( x)  x 2  ; e) f ( x) 
  8x  ;
3
2
6
3
3
g) f ( x)  3senx  4 cos x  5x  3 ; h) f ( x)  2 cos x  5senx  8x  2 .
4) a)
1
1
x 6 3x 4 2 x 3


 6 x  C ; b)  4  2  ln | z | C ; c)
4z
2z
6
4
3
11
d)
h)
6
15 5 25 5
x  x C ;
11
2
93 4
x 2 x C ;
4
e) 2x 4  4x3  3x 2  x  C ; f) x 2  3 y 2 x  C ; g)
x5 x 4
  x2  x  C ;
5 2
3
i)
4
 x x 2 x C ;
3
j)
5
2 2 2
y x C;
5
1
2
2
cos x  x6  x3  C ;
2
3
3
2
x2 1
x2
k) 2senx  x 2  C ; l)  2 cos x  5sex  C ; m)
  C ; n)
 y 2 ln | x | 3 ln | x | C ;
2 x
3
2
o)
z3 y2 x2
 3senx  cos x  C .
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2) Mudança de variável ou método de substituição
F
Definição:
Se
é
uma
antiderivada
 f (g(x)).g' (x)dx  F (g(x))  C .
 f (u)du  F (u)  C .
Se
u  g (x)
e

a)  x 2  1 .2 xdx .
80
u  x 2  1  du  2xdx
 x

u 801
u 81
C 
C
80  1
81
80
81
1 2
x 1  C
Portanto  x 2  1 .2 xdx 
81
Verificação:
2
 1 .2 xdx   u 80du 
80










81
80
80
d 1 2
 81 2
x  1  C 
x  1 .2x  x 2  1 .2x

dx  81
 81
b)

5x  7dx .
u  5x  7  du  5dx 

5x  7dx  
Portanto

du
 dx
5
1
1
2
1
2
3
2
5x  7dx  (5x  7) 2  C
15
3
1
 2 3
d 2
 (5x  7) 2  C   . 5x  72 .5  5x  7
dx 15
 15 2
 cos 4xdx
du
 dx
4
1
1
1
 cos 4xdx   cosu 4 du  4  cosudu  4 senu  C 
u  4 x  du  4dx 
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3
1
1
1u
1u
2
u du   u du 
C 
 C  u2  C
5
5
5 1 1
5 3
15
2
2
Verificação:
c)
3
2
f,
du  g ' ( x)dx ,
Exemplos: Calcule as derivadas.

de
então
então
8
Professor Mauricio Lutz
1
 cos 4xdx  4 sen4x  C
Portanto
Verificação:
d 1
 1
sen
4
x

C
  4 (cos 4x).4  cos 4x
dx  4
d)
 2x

7
 1 .x 2 dx
3
u  2 x3  1  du  6 x 2 dx 
 2x
3

 1 .x 2 dx   u 7
7
Portanto
 2x
3
du
 x 2 dx
6
du 1 7 1 u 7!
1 u8
u8
 u 
C 
C  C
6 6
6 7 1
6 8
48

7
 1 .x 2 dx 
2x

8
1
C
48
3
Verificação:




8
 8 2 x3  1 7 .6 x 2
7
d  2 x3  1
 C 
 2 x3  1 x 2

dx  48
48

e)
x
3


7  6 x 2 dx
u  7  6 x 2  du  12 xdx  
du
 xdx
12
1
4
1
1
1 u3
1 u3
1
 1
2
3
3
x
7

6
x
dx

u
.

du


u
du



C


 C   u3  C



  12 

12
12 1  1
12 4
16
3
3
4
1
Portanto  x3 7  6x 2 dx   7  6 x 2 3  C
16
Verificação:
1
3

d  1

7  6x 2
dx  16
f)

4
3
1



1

1 4
 C  
7  6x 2 3 (12 x)  x 7  6x 2
16 3

4

1
3
 cos 5x.sen5xdx
3
u  cos 5x  du  5sen5xdx  
3
3
 cos 5x.sen5xdx   u .
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du
 sen5xdx
5
du
1
1 u 31
1 u4
1
   u 3du  
C  
 C   u4  C
5
5
5 3 1
5 4
20
9
Professor Mauricio Lutz
Portanto
1
 cos 5x.sen5xdx   20 cos
3
4
5x  C
Verificação:
d  1
1

4

cos
5
x

C


4cos 5x3 .5(sen5x)  cos3 5x.sen5x


dx  20
20


g)
cos x
dx
x
1
1 
1
u  x  du  x 2 dx  2du 
dx
2
x

cos x
dx   cos u.2du  2 cos udu  2senu  C
x
Portanto

cos x
dx  2sen x  C
x
Verificação:


1
d
1 
cos x
2sen x  C  2 cos x . x 2 
dx
2
x
 x
h)
x2  1
3

 3x  1
6
dx
u  x3  3x  1  du  (3x 2  3)dx  3( x 2  1)dx 
du
 ( x 2  1)dx
3
1 du 1 6
1 u 61
1 u 5
1
dx   6 .   u du 
C 
 C   u 5  C
6
3
u 3 3
3  6 1
3 5
15
x  3x  1

x2  1
Portanto

 x
x2  1
3

 3x  1
6
dx  
1 3
1
( x  3x  1)5  C  
C
3
15
15( x  3x  1)5
Verificação:
d  1 3
1
5 3( x 2  1)
( x 2  1)

5
3
6
2

(
x

3
x

1
)

C


(

5
)(
x

3
x

1
)
(
3
x

3
)



dx  15
15
15 ( x3  3x  1)6 ( x3  3x  1)6
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10
Professor Mauricio Lutz
Exercícios
1) Calcule a integral por meio da substituição indicada, e expresse a resposta em
termos de x .
a)
 x2x
c)
x .
2 3

x
 3 dx ; u  2x 2  3 .
b)
 x
3x3  7dx ; u  3x3  7 .
d)

f)
 5x  4
10
2
1  x  dx ; u 1 
2
e)

g)

i)
x.
x
3
2
x 3
2
 x
8x 2
3
2
dx ; u  x 2  3 .
1
10
dx ; u  5x  4 .
1
2
h)  ( x  2) .x 2 dx ; u  x3  2 .
x . cos x dx ; u  x .
3

5
5x
3
dx ; u  x 2  5 .
3
3
dx ; u  x3  2 .
3
j)


x2
4
x 3
3
dx ; u  x3  3 .
2) Calcule as integrais.
a)

3x  2dx
b)

2x  5dx
c)

d)

1
dt
4  5t
e)
 3z  1 dz
f)
 2z
g)
v
v 3  1dv
h)
v
9  v 2 dv
i)

 3  x  x dx
k)
 s

l)
 3  s  ds
j)
2
4 3

3

4
x 3
dx
x
m)

p)
 4 cos 2 xdx
s)
1

cos 3 v
3
v
2
dv
4
4
2
2
 1 ds
t 2
n)
 t
q)
 sen(1  6x)dx
2

 4t  3
dt
3
o)
3
8t  5dt
2

5
 3 zdz
x
3
1  2x2
2 2
t2  t
 4  3t
2
 
3) Resolva a equação diferencial sujeita às condições indicadas.
dy
 x x 2  5 ; y  12 se x  2 ..
dx
c) f " ( x)  16 cos 2x  3senx ; f (0)  2 , f ' (0)  4 .
b)
d) f " ( x)  4sen2x  16 cos 4x ; f (0)  6 , f ' (0)  1 .
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 2t 3
r)  vsen v 2 dv
t)  cos 3x3 sen3xdx
a) f ' ( x)  3 3x  2 ; f (2)  9 .
dx

4
dt
11
Professor Mauricio Lutz
Gabarito:



4
1
1  x  C ; f)
2
e)
i) 

1
4
11
1
1
1
3
3  C ; d) 5x 2  32  C ;
2 x 2  3  C ; b) 
;
c)

C


3
x

7
44
4( x 2  5) 2
12
1)a)


2
4 3
x 2 C
3


e)
1
3z  15  C ; f)
15
i) 
3
1  2x2
8



2
3
C ;

2
sen x3  C ; h)
3


3
2 3
x 2 2 C;
9

3
4 3
x 3 4 C .
9
j)
3
2
3x  22  C ; b)
9
2)a)
1
 C ; g)
45(5x  4)9
5
4
1
2
2x  54  C ; c) 3 8t  53  C ; d)  2 4  5t 2  C ;
5
32
5
3
3
6
1
2 3
1
2 z 2  3  C ; g)

v  12  C ; h)  9  v 2 2  C ;
24
9
3

j) 



4
1
s 5 2s 3
9s 2 6s 5 s 8
3  x 4  C ; k)

 C;

 s  C ; l)
16
2
5
8
5
3




2
3
1
1
1
2 x3
4  3t 2  6t 3  C ; p) 8sen x  C ;
 C ; n)  t 2  4t  3  C ; o)
4
18
2
5
4
1
1
1
q)  cos(1  6 x)  C ; r)  cos v 2  C ; s) 3sen3 v  C ; t) sen3x 3  C .
6
2
4
m)
3
3x  24


3
1
x2  5  3 ;
3
4
c) f ( x)  4 cos 2x  3senx  x  2 ; d) f ( x)  sen2x  cos 4x  3x  C .
3) a) f ( x) 
 5 ; b) f ( x) 
3) Integração por partes
Sejam u  f (x) , v  g (x) funções deriváveis com derivadascontínuas. O
método da integração por partes é baseado na regra da derivada do produto de
duas funções.
d
 f ( x).g ( x)  f ' ( x).g ( x)  f ( x).g ' ( x)
dx
d
f ( x).g ' ( x)   f ( x).g ( x)  f ' ( x).g ( x)
dx
Assim
 f (x).g' (x)  f (x).g(x)   f ' (x).g(x)dx
Em outra linguagem
u  f (x) , du  f ' ( x)dx
v  g (x) , dv  g ' ( x)dx
Assim
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 udv  uv   vdu
12
Professor Mauricio Lutz
Exemplos: Calcule as integrais.
a)
 xe dx
x
u  x , du  1dx
dv  e x dx , v  e x
 udv  uv   vdu   xe dx  x.e   e dx  xe
Portanto  xe dx  e ( x  1)  C
x
x
x
x
x
 e x  C  e x ( x  1)  C
x
Verificação:


d x
e ( x  1)  C  e x ( x  1)  e x  xe x
dx
b)
 x e dx
2 x
u  x 2 , du  2xdx
dv  e x dx , v  e x
 udv  uv   vdu   x e dx  x .e   e .2xdx  x e
2 x
2
x
x
2 x
 2 e x xdx

xex e x C
 x 2e x  2xe x  2e x  C  e x ( x 2  2x  2)  C
Portanto
 x e dx  e (x
2 x
x
2
 2x  2)  C
Verificação:


d x 2
e ( x  2 x  2)  C  e x ( x 2  2x  2)  (2 x  2)e x  x 2e x
dx
c)
 x e dx
3 x
u  x3 , du  3x 2 dx
dv  e x dx , v  e x
 udv  uv   vdu   x e dx  x .e   e .3x dx  x e
3 x
3
x
x
2
3 x
 3  e x x 2 dx



e x ( x2 2 x2)C
 x e  3x e  6xe  6e  C  e ( x  3x  6x  6)  C
3 x
2 x
x
Portanto
x
x
 x e dx  e (x
3 x
x
3
3
2
 3x2  6x  6)  C
Verificação:


d x 3
e ( x  3x 2  6x  6)  C  e x ( x3  3x 2  6 x  6)  (3x 2  6x  6)e x  x3e x
dx
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13
Professor Mauricio Lutz
d)
x e
2 3x
dx
u  x 2 , du  2xdx
dv  e3x dx , v 
e3x
3
(1)   udv  uv   vdu   x 2e3 x dx 
x 2 .e3 x
e3 x
x 2 e3 x 2 3 x

.2 xdx 
  e xdx
3
3
3
3


A
Calculando A
u  x , du  1dx
dv  e3x dx , v 
e3x
3
3x
 udv  uv   vdu   e xdx 
xe3 x
e3 x
xe3 x e3 x

dx 

C
3
3
3
9



e3 x
C
9
Substituindo em (1) temos:
2 3x
 x e dx 
x 2 .e3x 2  x.e3x e3x 
e3 x  2 2
2
 
  C 
x  x C
3
3 3
9 
3 
3
9
Portanto
2 3x
 x e dx 
e3 x  2 2
2
x  x  C
3 
3
9
Verificação:
 3x  2 2
d  e3x  2 2
2
2  e3 x 
2  2 3x
x

x


C

e
x

x





 2x    x e


dx  3 
3
9
3
9 3 
3


e)
 ln xdx
u  ln x , du 
1
dx
x
dv  dx , v  x
1
 udv  uv   vdu   ln xdx  x. ln x   x. x dx  x ln x   dx  x ln x  x  C  x(ln x  1)  C
Portanto  ln xdx  x(ln x  1)  C
Verificação:
d
x(ln x  1)  C  ln x  1  x. 1  ln x
dx
x
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14
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f)
 x ln 5xdx
u  ln 5x , du 
1
1
.5dx  dx
5x
x
x2
dv  xdx , v 
2
 udv  uv   vdu   x ln 5xdx  ln 5x.
Portanto
 x ln 5xdx 
x2
x2 1
x2
x
x2
x2
  . dx  ln 5x   dx  ln 5x   C
2
2 x
2
2
2
4
x2
x2
ln 5x   C
2
4
Verificação:
 2x
d  x2
x2
x2 1
2x
 x ln(5x)
 ln 5x   C   ln 5x  . .5 
dx  2
4
2 5x
4
 2
g)
 x senxdx
2
u  x 2 , du  2xdx
dv  senxdx , v   cos x
(1)   udv  uv   vdu   x 2 senxdx  x 2 ( cos x)    cos x.2xdx   x 2 cos x   2x cos xdx

A
Calculando A
u  2 x , du  2dx
dv  cos xdx , v  senx
 udv  uv   vdu   2x cos xdx  2xsenx   2senxdx  2xsenx  2 senxdx  2xsenx  2 cos x  C
Substituindo em (1) temos:
 x senxdx  x
2
2
cos x  2xsenx  2 cos x  C
Portanto
 x senxdx  x
2
2
cos x  2xsenx  2 cos x  C
Verificação:


d
 x 2 cos x  2 xsenx  2 cos x  C  2 x cos x  x 2 senx  2senx  2x cos x  2senx  x 2 senx
dx
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15
Professor Mauricio Lutz
Exercícios
1)Calcule as integrais.
 xe dx
e)  xe dx
i)  xe dx
m)  x( x  5)
a)
 xsenxdx
f)  x ln xdx
j)  (3x  1)e dx
n)  x( x  5) dx
x
b)
2 x
2
x
2x
14
10
dx
 x sen4xdx
g)  x ln xdx
k)  x2 dx
o)  x ( x  1) dx
 x cos5xdx
h)  (2x  9)e dx
l)  x5 dx
2
c)
d)
x
x
x
2
9
Gabarito
1) a)  e x ( x  1)  C ; b)
 x cos x  senx  C ;
c)
 x 2 cos 4 x xsen4x cos 4x


C ;
4
8
32
3
2x 2
xsen5x cos 5x
 e2 x 
1
x3
x3

 C ; e)
d)
;
f)
;
g)
x


C
ln
x


C


3
5
25
2 
2
3
9
h)
 x 1
e x (2x  7)  C ; i) e2 x     C ; j)
 2 4
l)
5x 
1 
x 
C;
ln 5 
ln 5 
m)
 e x (3x  2)  C ; k)
x( x  5)15 x  516

C ;
15
240
n)
2

 ln x    C ;
3

2x 
1 
x 
C ;
ln 2 
ln 2 
x( x  1)11 x  112

C ;
11
132
x 2 ( x  1)10 xx  111 x  112
o)


C;
10
55
660
INTEGRAL DEFINIDA
f (x) uma função e g (x) uma de seua primitivas. Portanto
Seja
 f (x)dx  g(x)  C .
Teorema fundamental do cálculo: Suponhamos f contínua em um
intervalo fechado [a, b] . Definimos a integral definida de f (x) entre os limites a e
b como a diferença g (b)  g (a) , e indicamos simbolicamente

b
a
f ( x)dx  g (b)  g (a)
A diferença g (b)  g (a) também costuma ser indicada pelo símbolo
g( x) ba
b
ou g ( x) a .
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16
Professor Mauricio Lutz
Esta definição não depende da primitiva considerada, pois se h(x) for
outra primitiva de f (x) , então a diferença entre h(x) e g (x) é uma constante;
consequêntemente g (b)  g (a)  h(b)  h(a) .
4) Propriedades da integral definida
a)
  f ( x)  g ( x)dx  
b)
 Cf ( x)dx  C 
c)

d)

b
b
a
a
b
b
a
a
b
a
a
a
f ( x)dx   g ( x)dx .
b
a
f ( x)dx ; C é uma constante real.
f ( x)dx   f ( x)dx .
a
b
f ( x)dx  0 .
e) Se a  c  b então

c
a
f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx .
b
b
c
a
Exemplos: Calcule as intregais definidas.
a)

5
2
x 2 dx
x3
x3
Como  x dx   C , uma das primitivas da função dada é
.
3
3
Assim:
2
 x3 

53 23 117
2 x dx   3   3  3  3  39
2
5
5
2
b)

2
1
1
dx
x
Temos:

2
1
c)
1
dx  ln | x |12  ln 2  ln 1  ln 2
x

3
2
(6 x 2  5)dx
3



 6 x3

3
3
(
6
x

5
)
dx

 3  5x  23  53  2 2  5 2  54  15   16  10  39  6  45
2

 2
3
2
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
d)
2
1
( x3  1) 2 dx
 27 24
   17  14 
 x7 2x4

1 ( x  1) dx  1 ( x  2x  1)dx   7  4  x   7  2  2   7  2  1
1
128 16
1 1
129 15
258  105  42 405

  2   1 
 3

7
2
7 2
7
2
14
14
2
2
3
2
2

  5x  2
4
e)
x
1
6
3
32 
dx
x3 
4
4
3
3

 

1
2

2
2

4
4
 5x 2 x 2 32 x   5x 4 x 2 16 
32 
3
2


5
x

2
x

dx

5
x

2
x

32
x
dx




 2



 
3
1 
1 

3
x 
2

2
2
3
x 


 
1
2

1 
 542 4 43 16   512 4 13 16  
4.8   5 4



 2

 2   5.8 
 1     16
3
3
3
4   2
1  
 2 3

 2
32
5 4
28 5 330  56  15 259
 40   1    16  55   

3
2 3
3 2
6
6
f)
3
dx
5x  1

10
2
u  5x  1  du  5dx 
du
 dx
5
10
10
1
dx  3
2
5x  1
3
10
2



 1
1 10
10
10
1 du 3
3 u 2 
3 2
3
  u du     2u   2 5x  1 2
5 1 
5
u 5 5 2
2 5
 2 2

1

2

3
3
24
2 49  2 9  14  6 
5
5
5
Exercícios
1) Calcule as integrais definidas.
 x  4x  3dx
d)  z  2 z dz
4
a)
2
1
2
4
3
0
g)

2
1
5
dx
x6
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b)
 5  x  4x dx
c)
 8z
e)

f)

h)

i)

3
2
2
12
7
4
1
dx
16 x 5 dx
3
3
2
1
6
9
4

 3z  1 dz
8dx
t 3
dt
t
18
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j)
m)
p)
2t  7
dt
1 t 3

 s  2ds
k)

2
1 2x  3 dx
n)
 4x
x3  8
dx
x2
q)
 4x
t)

2
0

1
0
2
1

s)   x   dx
2
x

1
8
8
2
2
3
5
1
1
1
4
1
2

100
s
0
2 3
1

o)

dx
r)

 5x 4 dx
5
l)
2
3
3
1

s  s ds
x2  1
dx
x 1
2 x3  4 x 2  5
dx
x2
5  x dx
Gabarito
115
265
8
31
1016
20
45
; c)
; d)  ; e) 5 ; f) 40 ; g)
; h)
; i)
; j)  ;
6
5
3
8
2
32
7
352
1
13
481
7
16
10
5
14
k)
; l)  ; m)
; n) 
; o)  ; p)  ; q) 0 ; r)
; s) ; t)
.
5
70
3
3
6
3
16
2
3
1)a)  18 ; b) 
Seja f (x) uma função contínua e não negativa definida num intervalo
a, b. A integral definida a
b
f ( x)dx representa a área da região compreendida entre
o gráfico de f (x) , o eixo x e as vertivais que passam por a e b . Veja afigura
abaixo.
A área destacada representa a integral definida de f (x) entre a e b .
Assim, indicando por A a área destacada da figura acima, teremos:
A   f ( x)dx
b
a
Caso f (x) seja negativa no intervalo a, b ,
a área A da da região
delimitada pelo gráfico de f (x) , eixo x , e pelas verticais que passam por a e por
b é dado por:
A   f ( x)dx
b
a
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Vejamos a figura abaixo.
A área destacada é o oposto da integral definida.
De fato, se considerarmos a função h( x)   f ( x) definida no intervalo
a, b, teremos o gráfico da figura abaixo:
Gráfico de f (x) é  f (x) .
Como os gráficos de f (x) e h(x) são simétricos em relação ao eixo x , a
área compreendida entre h(x) , eixo x , e as verticais que passam por a e b é igual
à área compreendida entre f (x) , eixo x , e as verticais que passam por a e b .
Logo, indicando por A a referida área teremos:
A   h( x)dx    f ( x)dx    f ( x)dx
b
b
b
a
a
a
Exemplos: Calcule as áreas destacadas abaixo:
a)
 x3  33 13 26
x dx    


3
3
3
 3 1
3
A
3
1
2
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b)
 x3 3x 2   33 332   03 302 

9
x  3x dx   
 





2 0  3
2   3
2 
2
3
Logo , a área destacada A vale:

3
0
3

2
 9 9
A     
 2 2
c)
Chamando de A1 a área destacada quando f (x) é negativa, e A2
quando f (x) é positiva, teremos:


A1   x 2  3x dx 
3
0
A2  
4
3
9
2
 x 3 3x 2   43 342   33 332 

   11
x  3x dx   
 





2 3  3
2   3
2 
6
3


2
4
Logo a área destacada vale A1  A2 
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9 11 19
  .
2 6 3
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Exercícios
1)Obtenha as áreas destacadas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
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i)
Gabarito
1) a)
1
8
9
8
; b) 9 ; c) ln 2 ; d) 4 ln 2 ; e) ; f) ; g) 4 ; h) ; i) 4 .
3
3
2
3
INTEGRAIS DUPLAS
Se f for contínua no retângulo R  x, y b / a  x  b; c  y  d , então
calculamos a integral dupla de f em R através de integrais iteradas, como
mostrada abaixo na figura e pelo Teorema de Fubini.
Teorema de Fubini: A integral dupla de uma função contínua f ( x, y)
num retângulo R  a, bxc, d  é igual à integral iterada (em qualquer ordem):
 f ( x, y)dA   
R
b
d
a
c
d
b
f ( x, y)dydx    f ( x, y)dxdy


c 
a
Exemplos: a) Calcule o valor da integral
 x
2
ydA , onde R  0,3x1,2 .
R
2
2
3  x 2
 x2 y 2 
x 2 12 

x ydydx   
dx



0  2
dx
0
2
 2 1


2
 x
R
2
ydA  

3 2
0 1
2
3
2
 x 2 4 x 2 
3  3x 
 3x 3   x 3 

33 03 27
  
 dx   
dx   6    2   2  2  2
0
0
2 
 2 

0  0
 2
3
3
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3
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3
2  3 y
 x3 y 
03 y dy

dy



 3 
1  3
3 

0

3
 x
ou
2
R
ydA  
x
2 3
1
2
0
ydxdy  
2
1
9 y2 
922 912 36 9 27
9 ydy    

  
2
2
2 2 2
 2 1
2

2
1
b) Calcule a integral
 2x  6x y dA,onde R  1,4x 1,2 .
2
R
 2x  6x ydA    2x  6x ydydx   2xy  3x y 
4 2
2
1
R

4
2
1
2
1

 

2 2
1
dx

 
  2 x2  3x 2 22  2 x 1  3x 2  12 dx   4 x  12 x 2   2 x  3x 2 dx
4
1


 

4
1
 

  6 x  9 x 2 dx  3x 2  3x 3 1  342  343  312  313  234
4
1
4
Pode-se definir como a integral uma integral dupla iterada sobre a região
Rx ou Ry do tipo exibido abaixo:

b
g2 ( x )
a g1 ( x )
b
g2 ( x )
f ( x, y)dydx   
f ( x, y)dydx


a  g1 ( x )

d
h2 ( y )
c
h1 ( y )
d
h2 ( y )
f ( x, y)dxdy   
f ( x, y)dxdy


c  h1 ( y )
Exemplos: Calcule as integrais duplas.
a)
  x
2 2x
x2
0
  x
2
2x
0
x
0
2
 4 y dydx




 

2
2
 4 y dydx   x 2 y  2 y 2 2 dx   2 x3  8x 2  x 4  2 x 4 dx

0
0
x
2x
2
 x 4 8 x 3 3x 5 
64 96 120  320  288 152
2 x  8x  3x dx   

8  


3
5 0
3 5
15
15
2

2
2
2
3
2
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4

24
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b)

3
1
  2 y cos xdxdy
y2
3

1
6
y
3
3
3
 y2

1


2
2




2
y
cos
x
dx
dy

2
ysenx

 dy   2 y seny   dy    2 yseny  y dy



1
1
1
2

 (*)

6

6
2
3

y2  
9 
1
9
1
  cos y 2      cos 9      cos1     cos 9   cos1   4  cos1  cos 9
2 1 
2 
2
2
2

Calculo de (*):
 2 yseny dy   senudu   cosu   cos y
2
2
u  y 2  du  2 ydy
Exercícios
1) Calcule as integrais duplas.
a)
  12xy
d)

g)
  x
j)
2 2
1
1
2
1

 8x 3 dydx
 xy 
x3  e dydx
x
x2
2
2
0 0

2
2
x3
0 0
  x y dydx
c)
  4x  y dxdy
e)
   y  2xdxdy
f)
  xy dxdy
e dxdy
i)
  y cos x dydx
dydx
l)

2
x
2
1 1 x
4
2
1 1

h)


dydx


k)

cos xy dydx

y


7
 16  x
b)
y
2
0 0
2
2 4x
0
x
3
y2
2 2y
y2
0
1 3y
2
0 2 y
4
x
2
0 0
2
y
0
y2
2
dxdy
Gabarito




163
36
1
75
1
1
1 4
4e  e4 ; e)
e 1 ;
; c)
; d)
; f)
; g) 1  cos 8 ; h)
120
2
2
3
4
5
2
sen16
12
2
i)
; j)
; k) 4 ; l) .
4
7
3
a)  36 ; b)
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INTEGRAIS TRIPLAS
As
integrais triplas de
funções f ( x, y, z) de três variáveis são
uma generalização bastante imediata
das integrais duplas. Em vez de um
retângul a figura abaixo.
Q  x, y, z b / a  x  b; c  y  d ; p  z  q
Consistindo em todos os
pontos ( x, y, z) em R 3 .
Teorema de Fubini para integrais triplas: Se f ( x, y, z) for contínua em
Q  a, bxc, d x p, q então existe a integral tripla e é igual à integral iterada:
 f ( x, y, z)dV    
Q
b d
q
a c
p
f ( x, y, z)dzdydx
Além disso, a integral iterada pode ser calculada em qualquer ordem.
Observação: A notação dA , usada anteriormente, sugere área e ocorre nas
integrais duplas em domínios no plano. Analogamente, dV sugere volume e ocorre
em integrais triplas em região de R 3 .
Exemplos: Calcule as integrais triplas.
a)
 xy
2

 yz 3 dV se Q  x, y, z b /  1  x  1;3  y  4;0  z  2.
Q
   xy
1
4 2
1 3 0

1

4
1 3
2

 yz dzdydx  
3
1

4
1 3
2
4
 2 xy 2  yz 3 dzdydx  1 4  xy 2 z  yz  dydx
1 3 
0

4  0


 2
1 4
y24   2
y04 





xy
2


xy
0

dy
dx

2 xy 2  4 y dydx








1
3
4  
4 



4
3
3
3
4
1  2 xy
1  2 x4

2   2 x3
2
2





   2 xy  4 y dy dx   
 2 y  dx   
 24   
 232  dx

1 
1
1
3
 3
3
  3

 3
1

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Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
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
26
Professor Mauricio Lutz
1
1  74 x
 74 x 2

 128x
  54 x


  
 32   
 18 dx   
 14 dx  
 14 x
1
1
  3

 3

 3
 6
 1
1
 7412
  74 12
  74
  74

 
 141  
 14 1    14     14   14  14  28
 6

 6
  6
  6
b)
3 2 3 x5 y

x y
0 0
3 2 3 x5 y

x y
0 0
zdzdydx
2
2
3 2  3x  5 y 
x  y 2 dydx
 3 x5 y zdzdydx 3 2  z 
dy
dx



0 0  2 
0 0  2
x y

2 
x y
3 x5 y
zdzdydx  

3 2
0 0

 
 9x 2  30xy  25 y 2
x 2  2xy  y 2

0 0 
2
2


3 2


dydx 


  4x
3
2
0
0

2

 14 xy  12 y 2 dydx

 

  4 x 2 y  7 xy 2  4 y 3 dx   4 x 2 2  7 x22  423  4 x 2 0  7 x02  403 dx
3
0


0
0
0
3

2
 
2
4
2 x
 
2
3
 8x 3

8x  28x  32 dx  
 14 x 2  32 x  72  126  96  294
 3
0
3
c)
2
4
2
0
4 y
2 x 2 0
4 y
dzdydx
dzdydx  
2
 
4
2 x 2
4 y
0
2 4
2
4
dzdydx    2 z 04 y dydx    2 4  ydydx


2 x
2 
x

   
4
2
2 2 
4


2 
  2



y2 
4
x
dx  2 16  8   4 x 2  x dx
 4 x 
  4 y   dx    44 




2

2

2
2  x2
2  
2 
2 





2
2
 x4

 x5 4 x3

 32 32
  32 32

    4 x 2  8 dx   
 8x     16       16 
2
3
  10 3

2

10
 2  10 3
2
 64 64
 192  640  960 512 256
    32  


30
30
15
 10 3

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27
Professor Mauricio Lutz
Exercícios
1) Calcule as integrais triplas.
a)
   x  2 y  4z dxdydz
c)
 
e)
   2x y dzdydx
g)
i)
3 0
2
0 1 1
1 2x
x z
0 x1 z
2
x y
x2
1 1
2 z
2
0
2
 
1
xdydzdx
1 0
1 x2 z 2
 
0 x3 0
4 z
0
dxdydz
dydzdx
b)
   6x z  5xy dzdxdy
d)
 
f)
   2x  y  z dxdzdy
h)

j)
1 2
3
2
2
0 1 1
z3
2
1
3 3y
1
9 x 2
2
3 1 0

6 1
zdydxdz
yz
2 0
3
x z
x z
0
3
0 1 0
dzdydx
dydzdx
Gabarito
a)
39
1
513
7561
40
1
; b) 77 ; c)  ; d)  21 ; e)
; f)
; g)
; h) 108 ; i)
; j) 36 .
70
8
5
3
2
12
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